aula_03_estado plano de deformações_prof. ulisses

EEN XXX – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Prof.: Ulisses A. Monteiro, D.Sc.

[email protected]íodo: 2013-1

03. Estado Plano de Deformações (Específicas)

O estado geral de deformações num certo ponto “Q”, pode ser representado por

seis componentes:

• Deformações (Específicas) Normais:

Estado Geral de Deformações num Corpo

• Deformações de Cisalhamento:

Lei de Hooke Generalizada:

Estado Geral de Deformações num Corpo

E = Módulo de Elasticidade; G = Módulo de Elasticidade Transversal; ν ν ν ν = Coef. Poisson;

Como se Transformam as Componentes das Deformações quando ocorre uma

Rotação dos Eixos Coordenados?

• Estado Plano de Deformações:

Estado Plano de Deformações

Há uma analogia formal entre as Eqs. de Transformação das Deformações no Plano e as Eqs. de Transformação das Tensões no Plano

Apenas relações trigonométricas são utilizadas

na derivação das relações de transformação

Queremos determinar a Deformação Específica Normal ε(θ) em qualquer

direção AB, em função das Componentes de Deformação εx, εy e γxy

• Pelas considerações geométricas, lei dos cosenos, supondo pequenas deformações e

desprezando termos de ordem superiores:


• Fazendo θ = 0o, 90o e 45o, teremos:

Queremos expressar as Deformações Específicas relativas aos eixos x’y’, em

função de “θ” e das Componentes de Deformação εx, εy e γxy

• Usando relações trigonométricas, podemos escrever a eq. ε(θ) na forma alternativa,

abaixo:


• Substituindo θ por (θ + 90o), vamos obter:

• Somando membro a membro as duas equações:

A soma das Deformações Específicas Normais numelemento submetido a um Estado Plano de Deformaçõesindepende da orientação desse elemento.



• Por outro lado, se substituirmos θ por (θ + 45o), na eq. para εx’ e, lembrando que,

cos(2θ + 90o) = -sin(2θ) e sin(2θ + 90o) = cos(2θ), teremos:


• Como:

• e:

• Obteremos:



• Resumindo:


Há uma analogia formal entre as Eqs. de Transformação das Deformações no Plano e as Eqs. de Transformação das Tensões no Plano

O Círculo de Mohr


• Fazendo,

• Teremos:

Representação Gráfica do EstadoPlano de Deformações

Deformações Principais & Direções Principais no Círculo de Mohr

• Ponto “A”: valor máximo de εx’;

• Ponto “B”: valor mínimo de εx’;


x’

• Pontos “A” & “B”: Correspondem a γx’y’ nulo;

• Fazendo γx’y’ igual a zero, na eq. de transformação:

• Esta eq. define dois valores 2θP separados por 180o; ou

• Dois valores θP separados por 90o;

• OBS: No Círculo de Mohr, representa-se o ângulo 2θ; Representação Gráfica do Estado

Plano de Deformações

Deformações Principais & Direções Principais no Círculo de Mohr

• As deformações normais, εmax e εmin, são chamadas de Deformações Principais no

Ponto “Q”;


• Direções Principais: definidos pelos dois valores de θP;

• Planos Principais de Deformação: contém as faces dos elementos para εmax e εmin, ;

• OBS: A Deformação de Cisalhamento, γγγγx’y’, não atua nos Planos Principais;

Deformação de Cisalhamento Máxima (no Plano) no Círculo de Mohr

• Pontos “D” e “E”: valores absolutos máximos de γγγγx’y’;

• A abcissa dos pontos “D” e “E” é dada por:


• A eq. abaixo define dois valores 2θS separados por 180o;

• Ou, dois valores θS separados por 90o; Representação Gráfica do EstadoPlano de Deformações

Deformação de Cisalhamento Máxima (no Plano) no Círculo de Mohr

• O valor máximo da deformação de cisalhamento, γγγγx’y’, é igual ao raio do círculo, no Ponto “Q”;

• A deformação normal, εεεεmed, corresponde à condição de deformação de cisalhamento

máxima;


máxima;

Tensão de Cisalhamento Máxima no Ponto “Q”

Os ângulos θθθθS e θθθθP estão separados por 45o, logo, os Planos da Deformação de Cisalhamento Máxima estão a 45o dos

Planos Principais (no círculo de Mohr estão a 90o);

Análise Tridimensional das Deformações Específicas

• A transformação das deformações no plano se limitou à

rotação em torno do eixo z;


• Para os outros eixos (x e y), as faces do cubo podem estar

sujeitas a deformação de cisalhamento maior do que o

calculado para o eixo z;

• Isto ocorre quando as Deformações Principais são ambas

de Tração ou de Compressão;

• Nesse caso, γγγγmax é dada por:

Exercício 01

• Para o EPD da figura ao lado, calcule:

• a) Os Eixos Principais;

• b) As Deformações Principais;


• b) As Deformações Principais;

• c) A Def. Máxima de Cisalhamento e a Def. Normal;

• d) As direções correspondentes ao item c);

• e) Desenhe o círculo de Mohr correspondente;

Exercício 01




04. Caso Particular do Estado Plano de Tensões

Situação encontrada numa placa fina, na superfície livre de um elemento

estrutural ou de um componente de máquina

• Nesse caso:

• Se o material for homogêneo e isotrópico (Lei de Hooke):

Caso Particular do Estado Plano de Tensões

• Se o material for homogêneo e isotrópico (Lei de Hooke):

• Assim, o eixo z também é um eixo principal de deformação;

• Mas, isso não implica que:

• Mesmo assim, pode-se utilizar o Círculo de Mohr para fazer a análise das

transformações de deformações no plano xy;

Chamando de “a” e “b” os eixos principais no plano das tensões, e de “c“ o

eixo perpendicular a esse plano, a Lei de Hooke é dada por:


• A eq. para εεεεc define a terceira deformação principal;

• Ponto B entre A e C: γγγγmax é igual ao diâmetro CA;

• Equivale a uma rotação em torno do eixo b;

Exercício 02

• Um strain gage do tipo roseta foi colado na superfície um componente de máquina e

foram calculadas as deformações específicas principais na superfície livre, como

mostrado no círculo de Mohr. Sabendo que νννν = 0,3, calcule:


mostrado no círculo de Mohr. Sabendo que νννν = 0,3, calcule:

• a) A Def. Máx. de Cisalhamento no Plano das Deformações;

• b) O valor máximo da Deformação de Cisalhamento;

Def. de Cisalhamento Máxima

Exercício 03

• Para o EPT da figura ao lado, calcule:

• a) Os Planos Principais;

• b) As Tensões Principais;


• b) As Tensões Principais;

• c) A Tensão Máxima de Cisalhamento e a Tensão Normal;

• d) As direções correspondentes ao item c);

• e) Desenhe o círculo de Mohr correspondente;

• f) Considerando νννν = 0,3 e E = 210 GPa, verifique que γγγγmax = γγγγxy ;

Exercício 03


05. Utilização dos SG Roseta na Determinação



05. Utilização dos SG Roseta na Determinação das Deformações Principais

Para qualquer tipo de Strain Gage Roseta:

• 1) Deve-se obter as deformações específicas normais em 3 direções diferentes:

Utilização dos SG Tipo Roseta na Determinação das Deformações Principais

• 2) Obter as Componentes de Deformação εεεεx, εεεεy e γγγγxy;

• 3) Obter as Deformações Principais & Direções Principais;

• 4) Obter a Deformação (e a Direção) de Cisalhamento Máxima;

• 5) Obter as Tensões Principais e a Tensão de Cisalhamento Máxima;

• 5) Comparar os resultados com os Critérios de Ruptura para o EPT;

SG do Tipo Roseta

Para o Caso Particular do Strain Gage Roseta Retangular:

• 1) As deformações específicas normais são dadas por:

Utilização dos SG Tipo Roseta na Determinação das Deformações Principais

• 2) Obter as Componentes de Deformação εεεεx, εεεεy e γγγγxy;

• 3) Obter as Deformações Principais & Direções Principais;

• 4) Obter a Deformação (e a Direção) de Cisalhamento Máxima;

• 5) Obter as Tensões Principais e a Tensão de Cisalhamento Máxima;

• 5) Comparar os resultados com os Critérios de Ruptura para o EPT;

SG Roseta Retangular

Referências Bibliográficas

Resistência dos Materiais:

- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS_1ed_Beer_Johnston;

- MECHANICS OF MATERIALS_5ed_Beer_Johnston;

- MECHANICS OF MATERIALS_6ed_Gere;- MECHANICS OF MATERIALS_6ed_Gere;

-STRAIN GAGE ROSETTES: SELECTION, APPLICATION AND DATA REDUCTION_Tech

Note 515_Vishay Group;

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