aula 5 casos absurdo

8/17/2019 Aula 5 Casos Absurdo

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Prova por

casos e

reduç̃ao ao

absurdo

Renata de

Freitas e

Petrucio

Viana

Prova por

casos

Redução ao

absurdo

Prova por casos e redução ao absurdo

Renata de Freitas e Petrucio Viana

Instituto de Matemática e Estat́ıstica, UFFMarço de 2011

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Prova por

casos e

reduç̃ao ao

absurdo

Renata de

Freitas e

Petrucio

Viana

Prova por

casos

Redução ao

absurdo

Sumário

• Prova por casos.

• Redução ao absurdo.

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Prova por

casos e

reduç̃ao ao

absurdo

Renata de

Freitas e

Petrucio

Viana

Prova por

casos

Redução ao

absurdo

Turing

• Matemático, lógico,criptoanalista e cientista dacomputação inglês.

• Formalizou os conceitos dealgoritmo e de computaçãocom a Máquina de Turing.

• Seu trabalho faz parte da

base teórica tornou posśıvel acriação do computador.

Alan Turing (1912 – 1954)

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Prova por

casos e

reduç̃ao ao

absurdo

Renata de

Freitas e

Petrucio

Viana

Prova por

casos

Redução ao

absurdo

Provando inclusões A ∪ B ⊆ C

Dados

A = {x ∈N

: o último algarismo de x é 0},

B = {x ∈ N : o último algarismo de x é 5} eC = {x ∈ N : x é múltiplo de 5}

temos A ∪ B ⊆ C ?

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Prova por

casos e

reduç̃ao ao

absurdo

Renata de

Freitas e

Petrucio

Viana

Prova por

casos

Redução ao

absurdo


Sejam A, B e C conjuntos definidos por propriedades.

Para justificar que A ∪ B ⊆ C , basta fazer o seguinte:

(1) Pegar um elemento genérico em A ∪ B , ou seja, pegar um

objeto que satisfaz a propriedade que define A ou quesatisfaz a propriedade que define B ;

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Prova por

casos e

reduç̃ao ao

absurdo

Renata de

Freitas e

Petrucio

Viana

Prova por

casos

Redução ao

absurdo


(2) Supor que ele satisfaz apenas a propriedade que define A eexplicar por que, neste caso, ele satisfaz a propriedade quedefine C .

(3) Supor que ele satisfaz apenas a propriedade que define B eexplicar por que, neste caso, ele satisfaz a propriedade quedefine C .

Se você fizer isso corretamente, todos vão considerar que A ∪ B está, de fato, contido em C .

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Prova por

casos e

reduç̃ao ao

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Renata de

Freitas e

Petrucio

Viana

Prova por

casos

Redução ao

absurdo

Chapeuzinho insegura

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Prova por

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Renata de

Freitas e

Petrucio

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Prova por

casos

Redução ao

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Chapeuzinho confiante

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Prova por

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reduç̃ao ao

absurdo

Renata de

Freitas e

Petrucio

Viana

Prova por

casos

Redução ao

absurdo


Dados os conjuntos A, B e C , tais que A ∪ B ⊆ C , a prova da

inclusão deve seguir o seguinte modelo de redação:

(1) Escreva “Prova:” ao iniciar a prova;

(2) Escreva “Seja x ∈ A ∪ B ” ou qualquer sentença contendoa mesma informação;

(3) Escreva “Caso 1) x ∈ A” ou qualquer sentença contendo amesma informação;

(4) Explique, tão detalhadamente quanto você acharnecessário, por que, no caso em que x ∈ A, temos tambémque x ∈ C ;

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Prova por

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Renata de

Freitas e

Petrucio

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Prova por

casos

Redução ao

absurdo


(5) Escreva “Caso 2) x ∈ B ” ou qualquer sentença contendo amesma informação;

(6) Explique, tão detalhadamente quanto você achar

necessário, por que, no caso em que x ∈ B , temostambém que x ∈ C ;

(7) Escreva “Em qualquer caso, x ∈ C ” ou qualquer sentença

contendo a mesma informação;

(8) Escreva “ ” para terminar a prova.

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Renata de

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Prova por

casos

Redução ao

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Problema 1

1. Prove que, para todos A, B , C ⊆ U ,

A ∪ (B ∩ C ) ⊆ (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ).

2. Prove que, para todos A, B , C ⊆ U ,

(A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ) ⊆ A ∪ (B ∩ C ).

3. Prove que, para todos x , y , z ∈ N,

se x |y ou x |z , então x |yz .

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Prova por

casos

Redução ao

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Provando inclusões A ⊆ B

Prove que, para todos A, B ⊆ U ,

A ⊆ B =⇒ B ⊆ A.

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casos e

reduç̃ao ao

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Renata de

Freitas e

Petrucio

Viana

Prova por

casos

Redução ao

absurdo


Sejam A e B conjuntos definidos por propriedades.

Para justificar que A ⊆ B , basta fazer o seguinte:

(1) Pegar um elemento genérico em A, ou seja, pegar um

objeto que satisfaz a propriedade que define A;

(2) Supor que ele satisfaz a propriedade que define B .

(3) Explicar por que esta suposição leva a conclusõescontraditórias.

Se você fizer isso corretamente, todos vão considerar que Aestá, de fato, contido em B .

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reduç̃ao ao

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Freitas e

Petrucio

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Prova por

casos

Redução ao

absurdo


Dados os conjuntos A e B , tais que A ⊆ B , a prova da inclusãodeve seguir o seguinte modelo de redação:


(2) Escreva “Seja x ∈ A” ou qualquer sentença contendo amesma informação;

(3) Escreva “Suponhamos, para uma contradição, que x ∈ B ”ou qualquer sentença contendo a mesma informação;



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Prova por

casos e

reduç̃ao ao

absurdo

Renata de

Freitas e

Petrucio

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Prova por

casos

Redução ao

absurdo


(4) Explique, tão detalhadamente quanto você acharnecessário, por que esta suposição nos permite tirarconclusões contraditórias;

(5) Escreva “Logo, x ∈ B ” ou qualquer sentença contendo amesma informação;


P

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Freitas e

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Prova por

casos

Redução ao

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Provando igualdades A = ∅

Prove que, para todo A ⊆ U ,

A ∩ A = ∅.

P

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Freitas e

Petrucio

Viana

Prova por

casos

Redução ao

absurdo


Seja A ⊆ U um conjunto definido por propriedade.

Para justificar que A = ∅, basta fazer o seguinte:

(1) Pegar um objeto genérico em U ;

(2) Supor que ele satisfaz a propriedade que define A.

(3) Explicar por que esta suposição leva a conclusões

contraditórias.

Se você fizer isso corretamente, todos vão considerar que, defato, A = ∅.

Pro a por



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Freitas e

Petrucio

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Prova por

casos

Redução ao

absurdo


Dado um conjunto A ⊆ U tal que A = ∅, a prova da igualdadedeve seguir o seguinte modelo de redação:


(2) Escreva “Seja x ∈ U ” ou qualquer sentença contendo amesma informação;

(3) Escreva “Suponhamos, para uma contradição, que x ∈ A”ou qualquer sentença contendo a mesma informação;

Prova por

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reduç̃ao ao

absurdo

Renata de

Freitas e

Petrucio

Viana

Prova por

casos

Redução ao

absurdo


(4) Explique, tão detalhadamente quanto você acharnecessário, por que esta suposição nos permite tirarconclusões contraditórias;

(5) Escreva “Logo, x ∈ A” ou qualquer sentença contendo amesma informação;


Prova por



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Freitas e

Petrucio

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Prova por

casos

Redução ao

absurdo

Problema 2

1. Prove que, para todo A ⊆ U ,

∅ ⊆ A.

2. Prove que, para todo A ⊆ U ,

U ⊆ A ∪ A.

Prova por

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Petrucio

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Prova por

casos

Redução ao

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Exerćıcios

1. Exerćıcios do Caṕıtulo 3 do Menezes(Paulo B. Menezes, Matemática Discreta para Computação e

Informática, 2a. edição, Sagra Luzzatto / Instituto de Informática da

UFRGS, Porto Alegre, 2006).

2. Exerćıcios do Caṕıtulo 2, pp. 73-75, itens 1, 2, 7, 10-15,16(a-e), 16(g,h), 17, 21, 22, 25, do Scheinerman(E.R. Scheinerman, Matemática Discreta, Thomson, São Paulo,

2006).

3. Exerćıcios da Lista 5.
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