A U L A 4

PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES; INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO VETORIAL; PRODUTO MISTO.

PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES

Definição

É um produto definido apenas para vetores do ³ que resulta em um vetor do ℝpróprio ³.ℝ

O produto vetorial dos vetores = (x1, y1, z1) e = (x2, y2, z2) do ³, denotado por x ℝ(lê-se vetorial ), é definido como:

x =

PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES

Características do vetor x

Consideremos os vetores = (x1, y1, z1) e = (x2, y2, z2).a) Direção de x

O vetor x é simultaneamente ortogonal a e

𝜋

x

x

𝑣

�⃗�

PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES

Características do vetor x

Consideremos os vetores = (x1, y1, z1) e = (x2, y2, z2).b) Sentido de x

�⃗�

𝑣

x

PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES

Características do vetor x

Consideremos os vetores = (x1, y1, z1) e = (x2, y2, z2).c) Comprimento de x

Se é o ângulo entre os vetores e não-nulos, então

| x | = ||||sen

ExemploO produto vetorial dos vetores = (1, 2, 1) e = (–2, 3, 1) é dado por:

PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO VETORIAL

𝜃

|�⃗�|

|�⃗�|

sen

No paralelogramo ao lado, determinado pelos vetores não-nulos e , a medida da base é e da altura é sen, a área A deste paralelogramo é

A = (base)(altura) = sen ou seja,

A = | x |

∙

Exemplo

Determinar a área do paralelogramo formado pelos vetores = (2, 0, 0) e = (0, 3, 0)

PRODUTO MISTO

Definição

Chama-se produto misto dos vetores = x1 + y1 + z1, = x2 + y2 + z2 e = x3 + y3 + z3, tomados nesta ordem, ao número real ( x ).

O produto misto de , e também por (, , ).

( x ) =

PRODUTO MISTO

Propriedade do produto misto

(, , ) = 0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares.

𝜋

x

�⃗�

𝑣�⃗�

PRODUTO MISTO

Interpretação geométrica do módulo do produto misto

Geometricamente, o produtomisto ( x ) é igual, emmódulo, ao volume doparalelepípedo de arestasdeterminadas pelos vetoresnão-coplanares , e .

V = | (, , ) |

�⃗�

𝑣

�⃗�

x

PRODUTO MISTO

Exemplos

1. Calcular o produto misto dos vetores = 2 + 3 + 5, = – + 3 + 3 e = 4 – 3 + 2.2. Verificar se são coplanares os vetores = (2, –1, 1), = (1, 0, –1) e = (2, –1, 4).3. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores = (0, 1, 2), = (4, 2, 1) e = (3, m, 2) seja igual a 33.

REFERÊNCIAS

LORETO, A. P.; LORETO, A. C. C. Vetores e geometria analítica – teoria e exercícios. 2. ed. SP: LCTE, 2009.

WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000.

SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. SP: Bookman, 2009.

CORRÊA, P. S. Q, Álgebra linear e geometria analítica. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.

CENGAGE LEARNING 2010.