breve revisão de cálculo vetorial - engenharia...
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1
Breve Revisão de
Cálculo Vetorial
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2
1. Operações com vetores
Dados os vetores A = Axi + Ayj + Azk e B = Bxi + Byj + Bzk,
define-se:
Produto escalar entre os vetores A e B
AB
BABABA
Daí
AB
BABABA
zzyyxx
zzyyxx
cos
,
cosBA
BA
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3
Produto vetorial do vetores A e B
senAB
BABABABABABA
BBB
AAA
xyyxzxxzyzzy
zyx
zyx
BA
kji
kji
BA
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4
2. Uma definição física para Campo
Dada uma região D no espaço tridimensional e uma
grandeza física (escalar ou vetorial), então, essa regiãoserá chamada de campo se, nela, o valor da grandeza numdado ponto depender univocamente das coordenadasdesse ponto.
Se a grandeza for escalar (pressão, temperatura, etc.), o
campo é dito escalar.
Se a grandeza for vetorial (força, velocidade, etc), o
campo é dito vetorial.
O valor da grandeza também pode depender do tempo.
Nesse caso, o campo é dito variável (ou dinâmico). Casocontrário, ele é dito estacionário.
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5
Exemplos de campos escalares:
Em um campo escalar, um número é definido para cada ponto do espaço.
→ Campo de pressão em uma represa, p = γh.
→ Campos de Temperatura.
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6
→ Um valor escalar é definido para cada ponto do espaço
(analítico ou numérico).
Representação gráfica
0
50
100
0
50
100-10
-5
0
5
10
f
x
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7
→ Linhas de iso-contorno (temperatura (oC), altitude, etc.)
20 40 60 80 100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-4
-2
0
2
4
6
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8
→ Campos escalares em 3-D
0
10
20 05
1015
200
5
10
15
20
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
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9
Campos Vetoriais
Em um campo vetorial, um vetor é definido para cada pontodo espaço. Formalmente, temos:
→ Um campo Vetorial é definido, no 2, como uma função Fque associa a cada ponto M(x, y) em um subconjunto D do
2, um único vetor F(M) bidimensional, tal que,
→ Um campo Vetorial é definido, no 3, como uma função Fque associa a cada ponto N(x, y, z) em um subconjunto E do
3, um único vetor F(N) tridimensional, tal que,
jiFF ),(),(),()( yxQyxPyxM
kjiFF ),,(),,(),,(),,()( zyxRzyxQzyxPzyxN
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→ Campo de velocidade em uma roda ou turbina,
→ Campo gravitacional (campo do quadrado inverso),
rF ˆ2r
GMm
jiF xy
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Exemplo - Exercício
Faça um diagrama do campo vetorial
Este campo vetorial descreve a velocidade da corrente
num córrego ou rio em várias profundidades. Velocidade é
nula no leito.
iF yyx ),(
iF
iF
iF
iF
iF
iF
F
5)5,(
2)4,(
3)3,(
2)2,(
)1,(
)22()2/1,(
0)0,(
:.54,3,2,1,2
1,0:
x
x
x
x
x
x
x
TemoseydoConsideran
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Exemplo de uma representação numérica de um campo
vetorial.
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Exemplos de imagens de campos vetoriais
Há um vetor definido
para cada ponto do Es-
paço 2-D.
O tamanho das flechas
representa a magnitude
do vetor. -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
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Exemplos de campos escalares e vetoriais
→ Campo escalar → Campo vetorial
Mapa de temperatura Velocidade dos ventos
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4. Operador Nabla
“Nabla” (harpa em grego)
Aplicado sobre uma campo escalar, f, define um campovetorial chamado de Gradiente de f, f.
O produto escalar com um campo vetorial, F, define um
campo escalar chamado de Divergente de F, F.
Produto vetorial com um campo vetorial, F, define um novo
campo vetorial chamado de Rotacional de F, F.
kjizyx
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5. Campos Gradientes
Se f = f(x,y) é uma função escalar de duas variáveis,
então, seu gradiente é definido por,
Se f = f(x,y,z) é uma função escalar de três variáveis,
então, seu gradiente é definido por,
Onde é o vetor Nabla.
jijiy
f
x
ffou
y
f
x
fyxf grad),(
kjikjiz
f
y
f
x
ffou
z
f
y
f
x
fzyxf grad),,(
kjizyx
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Exercícios
1) Encontre os campos gradientes das funções abaixo etrace seus diagramas de campo.
a) f(x,y) = x2 y2
(Resolução a seguir)
b) f(x,y) = x + y
c) f(x,y) = ln(x+2y)
(Resolução no quadro)
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Resolução
Interpretação
O Gradiente é um campo
vetorial cujas componentes
são as derivadas do campo
escalar.
Em qualquer ponto, o Gra-
Diente “aponta” na direção
de máxima inclinação, e sua
magnitude é a inclinação.
jiji yxxyy
f
x
ff
yxyxf
22
22
22
),(
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
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19
Em outras palavras,
O gradiente de uma função escalar, calculado num dado
ponto, é um vetor cujo módulo representa a máxima taxade variação de crescimento dessa função naquele ponto.
Isto significa que o vetor gradiente calculado em (x0, y0,
z0) tem a direção para a qual ocorre o máximo crescimentoda função em (x0, y0, z0).
Além disso ele é perpendicular à superfície no ponto (x0,y0), no 2, ou (x0, y0, z0) no 3.
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20
Visualização,
→ Mapa de cores: função – campo escalar
→ Representação de setas: campo vetorial obtido a partir
do gradiente da função escalar.
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0
2
4
6
8
10
12
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21
6. Campos conservativos e funções potenciais
Se F é um campo vetorial em duas ou três dimensões.
Então, diz-se que F é um campo conservativo numa região
do 2 ou 3, se F for o campo gradiente de alguma função f
naquela região. Isto é, F = f. A função f é chamada de
função potencial.
Exemplo
Considere o campo vetorial do quadrado inverso em duasdimensões.
Mostre que F é um campo conservativo em qualquer região
do 2 que não contenha a origem e cuja função potencialseja
)()(
),(2/322
jiF yxyx
cyx
2/122 )(),(
yx
cyxf
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22
Resolução
Temos que mostrar que o campo gradiente de f, em
qualquer região que não contenha a origem, é F. Para isso,
calcularemos f
Logo, F é conservativo em qualquer região do 2, exceto
na origem, já que F = f. f é, portanto, função potencial de
F.
),()()()()(
,
)()(
2/3222/3222/322
2/3222/322
yxyxyx
c
yx
cy
yx
cxf
Daí
yx
cy
y
fe
yx
cx
x
f
y
f
x
ff
Fjiji
ji
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23
y
g
x
fdiv
tesimplesmenou
yxgy
yxfx
div
F
FF
,
),(),(
7. Divergência e Rotacional
Seja F(x,y) = f(x,y)i + g(x,y)j um campo vetorial em duas
dimensões, define-se a divergência de F, denotado por divF ou
•F, ao escalar
Em três dimensões, F(x,y) = f(x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k
z
h
y
g
x
fdivF
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24
kFFy
f
x
grot
Seja F(x,y) = f(x,y)i + g(x,y)j um campo vetorial em duas
dimensões, define-se o rotacional de F, denotado por rotF ou
xF, ao campo vetorial
Em três dimensões, F(x,y) = f(x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k
kjiFFy
f
x
g
x
h
z
f
z
g
y
hrot
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25
0
0
gf
yxrot
kji
FF
Os resultados anteriores podem ser reescritos como:
→ Em duas dimensões,
→ Em três dimensões,
hgf
zyxrot
kji
FF
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26
kjiF zzyyxzyx 32),,( 32
)(),,(2/3222
kjiF zyxzyx
czyx
O divF tem valores escalares, enquanto rotF tem
valores vetoriais. Ou seja, rotF é ele próprio um
campo vetorial.
Exercícios
1) Calcule a divergência e o rotacional do campo vetorial
2) Mostre que a divergência do campo do quadradoinverso
é nula
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27
362
)3()2()(
2
32
zyxydiv
zz
zyy
yxx
div
F
F
1) Resolução
Divergência de F
Rotacional de F
kiF
kji
kji
F
23
3223
32
2
)2()()()3()2()3(
32
xyrot
x
zy
y
yx
z
yx
x
z
z
zy
y
z
zzyyx
zyxrot
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28
2) Resolução
Levando-se em conta que (x2 + y2 + z2)1/2 = r,
5
2
332/1222
3
23
33
3
333
333
31
22
3
)(
,
,
),,(
r
x
rr
x
x
r
xxzyx
x
r
r
xrxr
r
x
x
Sendo
cr
z
zr
y
yr
x
xdiv
Daí
r
cz
r
cy
r
cxzyx
F
kjiF
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29
033
)(33313131,
31
22
3
)(
31
22
3
)(
,
5
2
3
5
222
35
2
35
2
35
2
3
5
2
332/1222
3
23
33
3
5
2
332/1222
3
23
33
3
cr
r
r
cr
zyx
rc
r
z
rr
y
rr
x
rdivAssim
r
z
rr
z
z
r
zzzyx
z
r
r
zrzr
r
z
z
r
y
rr
y
y
r
yyzyx
y
r
r
yryr
r
y
y
teAnalogamen
F
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30
Interpretações Física e Geométrica para o divergente
O divergente de um vetor, mede a variação do fluxo
desse vetor.
O divergente pode ser entendido no contexto da
Mecânica dos fluidos como:
→ Se F(x,y,z) é a velocidade de um fluido, então,
divF representa a taxa líquida de variação, com relação ao
tempo, da massa de fluido que passa pelo ponto (x, y, z).
→ Em outras palavras, divF, calculado num ponto
(x0, y0, z0) mede a tendência de um fluido deferir no ponto
(x0, y0, z0).
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31
→ Campos magnéticos não são divergentes,
→ Uma fonte de campo magnético é ao mesmo tempo fonte
e sorvedouro do campo.
0Hdiv
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32
→ Campos vetoriais constantes,
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Interpretações Física e Geométrica para o rotacional
O vetor rotacional está associado com rotações.
Se F representa um campo de velocidades em Mecânica
dos fluidos, por exemplo, então, partículas próximas de umponto (x0, y0, z0), tendem a rodar em torno do eixo que
aponta para a direção definida pelo rotF calculado nesse
ponto.
A magnitude do vetor rotF é uma medida do quão rápido
as partículas se movem em torno desse eixo. A rotaçãoobedece a regra da mão direita.
Regra da mão direita Furacão Katrina 25/08/2005
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8. Alguns conceitos e teoremas importantes
Teorema 1
Se f é uma função escalar de três variáveis e que tem
derivadas parciais de segunda contínuas. Então,
Como um campo vetorial conservativo é tal que F = f,
então, o teorema anterior pode ser reescrito como: Se Frepresenta um campo vetorial conservativo, então,
0)grad( ffrot
0Frot
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Teorema 2
Se F = f(x,y,z)i + g(x,y,z)j + h(x,y,z)k é um campo
vetorial no 3 e f, g, h têm derivadas parciais de segundaordem contínuas, então,
Laplaciano
É o resultado da aplicação do operador sobre si mesmo.É denotado por 2. Tem a forma,
Quando aplicado a uma função escalar Φ(x,y,z),
0)( Frotdiv
2
2
2
2
2
22
zyx
2
2
2
2
2
22
zyx
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Se
A equação 2Φ = 0 é conhecida como equação de Laplace.
02
2
2
2
2
22
zyx
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Fluxo de um Vetor qualquer A
A quantidade do vetor A, que passa por uma
determinada superfície dS é,
Convenciona-se que ndS = dS sempre aponta para fora e
é perpendicular à superfície fechada dS.
SAnA ddSd
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Teorema da divergência
A igualdade das duas integrais acima significa que o fluxo
do vetor A através de uma superfície fechada S é igual à
integral do divergente de A no volume V envolto por S
dSdivdVs
ASA
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Circulação de um Vetor
A circulação de um campo vetorial A ao longo de uma
linha L do ponto P ao ponto Q, conforme a figura abaixo, édada por,
dL simboliza uma parcela elementar da linha orientada L.
Q
P
Q
P dC LA
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Teorema de Stokes
O fluxo rotacional de um campo vetorial F através de
uma superfície aberta S é igual à circulação do vetor A ao
longo do caminho L que delimita S.
Se A for uma força, esse teorema é uma forma de
calcular o trabalho realizado por essa força ao longo docaminho L.
SALA drotdSL