aula 4 - elementos planimétricos

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS DE SINOP

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Elementos Planimtricos

Prof.: Rogrio Dias Dalla Riva

ESTRADAS I

Elementos Planimtricos

1.Consideraes Iniciais

2.Estaqueamento

3.Concordncia com Curva Circular Simples

1. Consideraes Iniciais

Elementos do eixo de uma rodovia

Poligonal aberta, orientada, cujos alinhamentos so concordados, nos vrtices, por curvas horizontais

O eixo compreende trechos retos e curvos; na terminologia de projeto geomtrico, os trechos retos do eixo so denominados tangentes (no sendo chamados retas)

O eixo orientado, isto , tem um ponto de origem e um sentido de percurso definidos; as curvas horizontais podem ser curvas direita ou curvas esquerda, conforme o sentido de desenvolvimento das curvaturas

As distncias so sempre tomadas horizontalmente, sendo expressas em metros, com a preciso padronizada de 0,01 m

2. Estaqueamento


Estacas marcadas a cada 20,00 m de distncia a partir do ponto de incio do projeto e numeradas sequencialmente

Estaca 0 (zero) representada por 0 = PP (estaca zero = Ponto de Partida; os demais pontos, equidistantes de 20,00 m, constituem as estacas inteiras (estaca 1, estaca 2, )

2. Estaqueamento


Tangentes: no ocorre perda de preciso terica quando se medem distncias ao longo de retas; o procedimento de marcao no oferece dificuldades maiores

Curvas: ocorre alguma perda de preciso, pois as distncias (reais ou de projeto) entre as estacas correspondem a comprimentos de arcos de curvas, ao passo que as medidas de distncias no campo, quando da marcao das posies das estacas com os recursos normais da topografia, so sempre tomadas ao longo de segmentos retos

2. Estaqueamento

RAIOS DE CURVA (R) CORDA MXIMA (c)

R < 100,00 m 5,00 m

100,00 m < R < 600,00 m 10,00 m

R > 600,00 m 20,00 m

Tabela 4.1 Cordas admissveis para as curvas

Fonte: Manual de projeto de engenharia rodoviria (DNER, 1974, v.3, cap. 9, p.4).

Visando minimizar esses erros de mensurao e de referenciamento dos trechos curvos do eixo, as normas do DNIT estabelecem a obrigatoriedade de se marcar, nos trechos em curva, alm dos pontos correspondentes s estacas inteiras, outros pontos correspondentes a estacas intermedirias de forma a melhorar a preciso na caracterizao do eixo nas curvas, por meio de cordas

2. Estaqueamento

Notao quilomtrica

Exemplo: Estaca situada a 5.342,87 m da origem

Mtodo convencional de estaqueamento: estaca 267 + 2,87 m

Notao quilomtrica: km 5 + 342,87 m

3. Concordncia com Curva Circular Simples

Esquema da concordncia com curva circular simples

Para a concordncia de dois alinhamentos retos que se interceptam em um vrtice, utiliza-se geralmente, no projeto geomtrico de rodovias, a curva circular

Vantagens: Esta preferncia devido s boas propriedades que a curva circular oferece tanto para trfego, pelos usurios da rodovia, como para o prprio projeto da curva e para a sua posterior materializao no campo, por processos de locao

A

3. Concordncia com Curva Circular Simples


PI: Ponto de Interseo

PC: Ponto de Curva PT: Ponto de Tangente

I: ngulo de Deflexo

AC: ngulo Central

T: Tangente Externa ou Exterior (m)

D: Desenvolvimento (ou Comprimento) da Curva Circular (m)

R: Raio da Curva Circular (m)

O: Centro da Curva Circular (m)

A

A: Afastamento

3.1 Clculo da Concordncia


A

As normas do DNIT estabelecem tambm, para cada classe de projeto e para as diferentes condies de relevo da regio atravessada (que condicionam as velocidades diretrizes de projeto), os valores de raios mnimos a serem utilizados nos projetos das concordncias horizontais, observadas as superelevaes mximas recomendadas para cada caso (vide valores constantes nas Tabelas 2.3.a, 2.3.b, 2.4 e 2.5)

AC = I

A


tg2

ACT R

180

R ACD R AC

sec 12

ACA R

EST PC EST PI T

EST PT EST PC D


Exemplo 4.1: Para ilustrar o procedimento de clculo com concordncias com curvas circulares simples, imagine-se o projeto de um eixo, com os alinhamentos definidos na forma da figura a seguir, no qual se queira efetuar as concordncias com os raios de curva R1 = 200,00 m e R2 = 250,00 m


Alinhamentos para clculo de concordncias

Use as frmulas do slide 11 para determinar as tangentes, os desenvolvimentos e as estacas

correspondentes aos pontos PC1, PT1, PC2, PT2 e PF


Desenho do eixo projetado

Desenhado de acordo com as convenes recomendadas pelo DNIT, na forma indicada pelo Manual de servios de consultoria para estudos e projetos rodovirios (DNER, 1978, v.2)

3.2 Locao de Curvas Circu-lares

Locao por deflexes acumuladas

A locao dos trechos em curva deve ser feita por mtodo apropriado, j que no praticvel riscar a curva no terreno com auxlio de algum compasso, e nem se conseguem visadas curvas ou marcao de distncias curvas com os recursos da topografia Processo de locao por deflexes acumuladas: consiste no

posicionamento de pontos da curva a partir das medidas dos ngulos de deflexo em relao tangente curva onde est instalado o teodolito, e das respectivas distncias, medidas ao longo da curva, desde o teodolito at os pontos em questo

A preciso resulta aceitvel, para os fins prticos, quando se marcam as curvas com pontos que compreendam cordas no superiores a 20,00 m, a 10,00 m ou a 5,00 m, dependendo dos raios das curvas, de acordo com o indicado na Tabela 4.1 slide 6

3.2.1 Grau de Curva

Grau da curva circular para uma corda c

c MN

cG MONO grau de uma curva (Gc) para uma determinada corda (c) , por definio, o ngulo central que corresponde corda considerada

3.2.1 Grau de Curva

Grau da curva circular para uma corda c

2: 2

c

cG MP

OPM senR R

22

c

cG arcsen

R

3.2.1 Grau de Curva

Exemplo 4.2: Na concordncia projetada para o PI1, no Exemplo 4.1, foi utilizada uma curva circular com raio R1 = 200,00 m, em funo do qual deve ser considerada, como j visto, corda de 10,00 m

Use a frmula do slide 17 para determinar o Grau da Curva para essa corda, que ser representada por G10

Deflexo da curva circular para uma corda c

lc

3.2.2 Deflexes de uma Curva Circular

1

2c cd G

cc l

Embora no seja matematicamente exato, considera-se que a deflexo para um arco de 5,00 m, de 10,00 m ou de 20,00 m (conforme o raio da curva), seja igual, respectivamente, deflexo para uma corda de 5,00 m, de 10,00 m ou de 20,00 m

A deflexo (dc) de uma curva circular, para uma corda c, o ngulo formado entre essa corda e a tangente curva em uma das extremidades da corda

3.2.2 Deflexes de uma Curva Circular

Exemplo 4.3: O grau da curva circular de raio R = 200,00 m G10 = 25154, conforme visto no Exemplo 4.2. A deflexo para uma corda de 10,00 m resulta, portanto:

Use a frmula do slide 19 para determinar a Deflexo da Curva para essa corda, que ser representada por d10

3.2.3 Deflexo por Metro

cm

dd

c

dm: valor da deflexo para o arco (ou corda) de 1,00 m. Usado quando a deflexo da curva no coincide com os valores de 5,00 m, 10,00 m ou 20,00 m


Exemplo 4.4: O valor da deflexo por metro para a curva circular com raio R = 200,00 m utilizado na concordncia projetada para o PI1, no caso do Exemplo 4.1, calculado por meio da frmula do slide 21, resulta

Use a frmula do slide 21 para determinar a Deflexo por Metro para essa corda, representada por dm


l md l d

dl: valor da deflexo que corresponde a um arco de comprimento l.

3.3 Mtodos de Locao

Mtodos de locao

Locao por estaca fracionria

Locao por estaca inteira

3.3.1 Locao por Estaca Fra-cionria

Exemplo 4.5: Na Figura a seguir est ilustrado, em escala deformada, o trecho inicial da curva projetada para a concordncia do PI1, no Exemplo 4.1

Preencha a caderneta de locao do slide 36


X, Y e Z cordas inteiras (c = 10,00 m)

Y = 5 + 11,07 m

X = 5 + 1,07 m

Z = 6 + 1,07 m


So locados pontos que correspondem a arcos inteiros, i.e., mltiplos do valor da corda c



Em X (corda = cx; ngulo central = G10)

dx = d10

Em Y (corda = cy; ngulo central = 2.G10)

dy = dx + d10 = 2.d10

Em Z (corda = cz; ngulo central = 3.G10)

dz = dy + d10 = 3.d10



dy = 1o2557 + 1o2557 = 2o5154

dz = 2o5154 + 1o2557 = 4o1751

dx = 1o2557



Instalando-se o teodolito no PC1 e tomando-se a direo da tangente curva como origem para a contagem de ngulos, posiciona-se a visada correspondente deflexo dX = 12557, e marca-se o comprimento correspondente ao arco de 10,00 m (substitudo pela corda) ao longo do alinhamento visado, obtendo-se a posio do ponto X



A seguir, mantido o teodolito estacionado no mesmo ponto, gira-se a luneta at se obter a visada correspondente deflexo acumulada para o arco de 20,00 m (dY = 25154), e mede-se o comprimento do arco de 20,00 m; para tanto, basta tomar a medida de 10,00 m a partir do ponto X, de modo que a extremidade da medida coincida com a linha de visada, obtendo-se a posio do ponto Y



Ainda com o teodolito posicionado no PC1, pode-se repetir o procedimento para a marcao das demais estacas fracionrias correspondentes s cordas de 10,00 m; assim, para a materializao da prxima estaca (ponto Z), posiciona-se a visada correspondente deflexo acumulada (dZ = 41751), para um arco de 30,00 m, e mede-se esse arco acrescentando uma medida de 10,00 m a partir do ponto Y, obtendo-se a posio do ponto Z ao se interceptar a extremidade dessa medida com a linha de visada


Caso exista alguma obstruo que impea as visadas a partir do teodolito instalado no PC1, pode-se mudar a posio do teodolito, instalando-o no ltimo ponto locado da curva, e reiniciando a locao a partir da. Para isso, ser necessrio obter a direo da tangente curva nesse ponto, que ser a nova referncia (ou origem) para a contagem dos ngulos de deflexo.

Mudana de aparelho na locao da curva circular


A direo da tangente pode ser obtida conhecendo-se o ngulo entre a ltima corda (cZ) e a tangente cuja orientao se quer determinar, ngulo esse que denominado ngulo de r, em contraposio ao ngulo correspondente ao da ltima deflexo visada antes da mudana de instalao do teodolito (dZ), e que denominado ngulo de vante. Por simetria, o ngulo de r igual ao ngulo de vante, quando se tratar de curvas circulares simples



Instalando-se ento o teodolito na nova estao (no ponto Z), visa-se a estao anterior (PC1) e fixa-se a visada que corresponde a um giro de 41751 (ngulo de r), obtendo-se a direo da tangente no sentido contrrio ao da locao. Para se obter a orientao correta, basta agora girar a luneta em 180, ou ento mergulhar a luneta, girando-a no sentido vertical. Assim, com o teodolito instalado no ponto Z e com as novas contagens de ngulos referenciadas tangente curva nesse ponto, pode-se marcar os demais pontos de interesse da curva circular



Locao da ltima estaca

Estaca fracionria 8 + 11,07 m, remanescendo um arco fracionrio de 4,51 m de comprimento

(PT1 = 8 + 15,58 m)

4,51

o o

4,51

4,51

4,51 0 08 36 0 38 47

l m md l d d d

d


Tabela 4.2 Locao da curva por estaca fracionria

ESTACAS ARCOS (m)

DEFLEXES AZIMUTES OBSERVAES

SIMPLES ACUMULADAS

PC1 = 4 + 11,07 m - - - 550000 Tangente 0-PC1

Caderneta de locao


Tabela 4.2 Locao da curva por estaca fracionria

ESTACAS ARCOS (m)

DEFLEXES AZIMUTES OBSERVAES

SIMPLES ACUMULADAS

PC1 = 4 + 11,07 m - - - 550000 Tangente 0-PC1

5 + 1,07 m 10,00 12557 12557

5 + 11,07 m 10,00 12557 25154

Z = 6 + 1,07 m 10,00 12557 41751 633542 R = 41751

6 + 11,07 m 10,00 12557 12557

7 + 1,07 m 10,00 12557 25154

7 + 11,07 m 10,00 12557 41751

8 + 1,07 m 10,00 12557 54348

8 + 11,07 m 10,00 12557 70945

PT1 = 8 + 15,58 m 4,51 0o3847 74832 791246 R = 74832

3.3.2 Locao por Estaca In-teira

Marcam-se os pontos que correspondem s estacas inteiras e mltiplas da corda mxima

permitida para a locao da curva circular

Estaca fracionria na locao do primeiro ponto

da curva (PC)

Pontos intermedirios da curva (arcos de comprimentos inteiros)

Procedimento de clculo o mesmo que o da locao por estaca fracionria

Estaca fracionria na locao do ltimo ponto da

curva (PT)


Exemplo 4.6: Utilizando a mesma concordncia horizontal que serviu para exemplificar o tipo de locao anterior, pode se calcular os elementos para a locao da curva circular por estaca inteira, chegando-se aos resultados que constam na Tabela 4.3

Preencha a caderneta de locao do slide 40, com mudana de teodolito nas estacas 6, 7 e 8


ESTACAS ARCOS (m) DEFLEXES

AZIMUTES OBSERVAES SIMPLES ACUMULADAS

PC1 = 4 + 11,07 m - - - 550000 Tangente 0-PC1

Tabela 4.3 Locao da curva por estaca inteira




PC1 = 4 + 11,07 m - - - 550000 Tangente 0-PC1

5 + 0,00 m 8,93 11648 11648

5 + 10,00 m 10,00 12557 24245

6 + 0,00 m 10,00 12557 40842 631724 R = 40842

6 + 10,00 m 10,00 12557 12557

7 + 0,00 m 10,00 12557 25154 690112 R = 25154

7 + 10,00 m 10,00 12557 12557

8 + 0,00 m 10,00 12557 25154 744500 R = 25154

8 + 10,00 m 10,00 12557 12557

PT1 = 8 + 15,58 m 5,58 0o4759 21356 791252 R = 21356

Tabela 4.3 Locao da curva por estaca inteira

3.4 Raios de Curva Tabelados

Exemplo 4.1 Utlizados raios de curvas inteiros (R1 = 200,00 m e R2 = 250,00 m)

Clculos para fins de locao de curvas deflexes fracionrias demandando arredondamentos

Dificulta o posicionamento das visadas no campo (d10 = 1o2557 e dm = 0o0836)

Melhor seria se as deflexes de interesse resultassem inteiras ou, pelo menos, mltiplas de valores que possam ser facilmente marcados nas

visadas dos teodolitos empregados para as locaes


8md

Exemplo

o

10 10 10 8 1 20 00md d

Fcil definio em teodolitos convencionais

Qual o valor correspon-dente a uma corda de 10,00 m (d10)?


Combinando as frmulas abaixo:

22

c

cG arcsen

R

Obtemos

2 sen c

cR

d

1

2c cd G


Exemplo 4.7: Utilizando a frmula do slide anterior, calcule o valor do raio ao qual correspondem as deflexes inteiras que interessam (dm = 8 e d10 = 12000), com o devido arredondamento

Use a frmula do slide 44


o10,00

2 sen 1 20 00R

214,88mR

O valor encontrado para o raio compatvel com o tamanho da corda utilizada (c = 10,00 m), de acordo com o DNIT


R < 100,00 m

c = 5,00 m 100,00 m < R < 600,00 m

c = 10,00 m R > 600,00 m

c = 20,00 m

R

(m) d5 =

G5/2 dm

R

(m) d10 =

G10/2 dm

R

(m) d20 =

G20/2 dm

31,86 43000 54 107,47 24000 16 644,60 0o5320 240

34,41 41000 50 122,81 22000 14 736,68 0o4640 220

39,09 34000 44 143,27 20000 12 859,46 0o4000 200

45,26 31000 38 171,91 14000 10 1.031,34 0o3320 140

50,58 25000 34 214,88 12000 8 1.289,17 0o2640 120

61,41 22000 28 286,49 10000 6 1.718,88 0o2000 100

71,63 20000 24 343,79 05000 5 2.578,32 1o1320 040

85,96 14000 20 429,73 04000 4 3.437,75 0o1000 030

95,50 13000 18 572,97 03000 3 5.156,62 0o0640 020

Tabela 4.4 Raios de curva tabelados


Exemplo 4.8: Considerando os alinhamentos representados no slide 13 e projetando nova concordncia horizontal para o PI1, com curva circular simples de raio R = 214,88 m, chega-se determinao de outras posies para os pontos singulares (PC1 e PT1). Calcule esses pontos e os ngulos de deflexo para a locao por estaca fracionria, organizando os resultados na forma de caderneta de locao. Mude a posio do teodolito nas estacas 6 + 7,88 m e 7 + 7,88 m




Tabela 4.5 Locao por estaca fracionria: raio tabelado




PC1 = 4 + 7,88 m - - - 550000 Tangente 0-PC1

4 + 17,88 m 10,00 12000 12000

5 + 7,88 m 10,00 12000 24000

5 + 17,88 m 10,00 12000 40000

6 + 7,88 m 10,00 12000 52000 654000 R = 52000

6 + 17,88 m 10,00 12000 12000

7 + 7,88 m 10,00 12000 24000 710000 R = 24000

7 + 17,88 m 10,00 12000 12000

8 + 7,88 m 10,00 12000 24000

8 + 17,88 m 10,00 12000 40000

PT1 = 8 + 18,68 m 0,80 00624 40624 791248 R = 40624

Tabela 4.5 Locao por estaca fracionria: raio tabelado

aula 4 - elementos planimétricos

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