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8/19/2019 Aula-17_ENE005

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Análise de Sistemas

Elétricos de Potência 1

7.0 Representação Matricial de Redes

UNIVERSIDADE FEDERALDE JUIZ DE FORA

P r o f . F l á v i o V a n d e r s o n G o m e s

E - m a i l : f l a v i o . g o m e s @ u f j f . e d u . b r

E N E 0 0 5 - P e r í o d o 2 0 1 2 - 3

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1. Visão Geral do Sistema Elétrico de Potência;

2. Representação dos Sistemas Elétricos de Potência;3. Revisão de Circitos !ri"#sicos E$ili%rados e

&ese$ili%rados;

'. Revisão de Representação (por nidade) *P+,;

-. Componentes Simétricas;

. C#lclo de Crto/circito Simétrico e 0ssimétrico;

. Representação atricial da !opoloia de Redes *4%arra5

6%arra,;

Ementa 7ase

An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF

2

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E$ivalência entre 8ontes de !ensão e Corrente


3

As fontes de tensão ecorrente são equivalentes

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E$aç9es :odais da Rede E

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5

Utilizando-se o modelo de cada elemento:


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6

Cada fonte de tensão em série com uma impedância foi transformada em umafonte de corrente em paralelo com uma admitância e as impedâncias das linhasforam transformadas em admitâncias.


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7


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8

Equações nodais do circuito:


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9

Agrupando-se os termos das equações para as barras 1, 2 e 3 vem:

Colocando-se as equações na forma matricial:


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10


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Generali>ando

1? @ei de AircBBo""

Reescrevendo em "nçãode 4 e V


11

iniiii I I I I I ++++= ...210

ii

n

j

jiiji V yV V y I 01

)( +−=∑=

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Representação atricial de ma Rede

Sendo

&esenvolvendo


12

( ) ( ) ( ) nini

n

j

ijiiii V yV y yV yV y I −++

+++−+−= ∑

=

......1

02211

ii

n

j

jiiji V yV V y I 01

)( +−=∑=

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Representação atricial de ma Rede

Portanto5 para m SEP com N %arras5 todas as tens9es e correntes nodaissão relacionadas pelo seinte sistema matricial

Vetor Vetor com as inDeç9es de corrente em cada m dos ns da rede

Vetor V Vetor com as tens9es nodais da rede

atri> 4 %s *4 %arra,

F a matri> admitncia nodal da rede.An. de Sist. Elét. de Potência 1 - UFJF

13

=

N NN N N

N

N

N V

V

V

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

I

I

I

&

M

&

&

K

MOMM

K

K

&

M

&

&

2

1

21

22221

11211

2

1

.

[ ] [ ] [ ]VYI . BUS =

[ ] [ ] [ ]VYI

.

BARRA=

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atri> 0dmitncia :odal *4%arra5 4%s,


14

=

N NN N N

N

N

N V

V

V

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

I

I

I

&

M

&

&

K

MOMMK

K

&

M

&

&

2

1

21

22221

11211

2

1

. [ ]

21

22221

11211

=

NN N N

N

N

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

K

MOMMK

K

BUSY

∑=

+=

n

j

ijiii y yY 1

0

ik ik yY −=

Elemento da &iaonal Principal Somatrio de todas as admitncias conectadas H %arra

Elemento 8ora da &iaonal :eativo da admitncia entre %arras

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Contri%ição de Elemento Série em 4%s

:a posição PP e II *diaonal,

:a posição PI e IP *"ora da dia.,


15

8ormação da atri> 0dmitncia

pq pq pq V y I && =

pq pq pq I zV && =

[ ]

21

22221

11211

=

NN N N

N

N

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

K

MOMM

K

K

BUS

Y pq y+

pq y−

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Contri%ição de Elemento em Derivação em 4%s

:a posição PP *diaonal,

:as demais posiç9es


16

8ormação da atri> 0dmitncia

000 p p p V y I && =

000 p p p I zV && =

[ ]

21

22221

11211

=

NN N N

N

N

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

K

MOMM

K

K

BUS

Y0 p y+

0

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atri> 0dmitncia :odal *4%arra5 4%s,

0 matri> 4%s em SEP

Simétrica; Comple

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atri> mpedncia :odal *6%arra5 6%s,


18

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]IZIYV ..1 BUS BUS == −

[ ]

21

22221

11211

-1

21

22221

11211

=

=

NN N N

N

N

NN N N

N

N

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

K

MOMMK

K

K

MOMMK

K

BUSZ

O%s. 0 o%tenção direta dos elementos de 6%s não é pr#tica5sendo a se c#lclo através da inversa de 4%s mais conveniente.

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19

atri> mpedncia :odal *6%arra5 6%s,

0 matri> 6%s em SEP

Simétrica; Comple

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20

E

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21

Escrever o diagrama unifilar de impedâncias do circuito:

E

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22

Cálculo dos parâmetros:

E

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23

Transformar todas as fontes de tensão em fontes de corrente:

E

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24

Montagem da Ybarra:

O sistema de equações com a matriz admitância de barras:

E

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25

nterpretação 8sica dos Elementos de 6 %arra

Seja a equação que descreve o circuito:

Os elementos da matriz impedância de barra podem ser calculados pelo ensaioem circuito aberto onde:Zkk: impedância própria de circuito aberto da barra k;Zik: impedância mútua de circuito aberto entre as barras i e k;

Ensaio de circuito aberto na barra 1: fontes de corrente inoperantes ou mortasem todas as barras com exceção da barra 1, Tem-se portanto I2 = I3 = 0

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26

nterpretação 8sica dos Elementos de 6 %arra

Ensaio de circuito aberto na barra 1: fontes de corrente inoperantes ou mortasem todas as barras com exceção da barra 1, Tem-se portanto I2 = I3 = 0

A expressão geral de cada elemento da matriz impedância de barra relaciona o

efeito à causa e é:

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27

nterpretação 8sica dos Elementos de 4 %arra e 6 %arra

• Se a corrente I1 (injetada na rede durante o ensaio) é de 1 pu:

ou seja, os elementos da coluna são numericamente iguais às tensões.

• Zkk é a impedância equivalente da rede vista entre a barra k e a referência

com as demais fontes de corrente inoperantes, ou seja, é a impedância doequivalente de Thèvenin:

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28

E

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29

Invertendo-se a matriz Ybarra:

O vetor tensão de barra é encontrado efetuando-se a multiplicação indicada:

E

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30

E

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31

E

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32

E

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E 6%s

@em%rando $e


33

1

13

Z

E I

curto

k

&& =φ

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Sistema atricial !ri"#sica


34

=

abc

N

abc

abc

NN N N

N

N

abc

N

abc

abc

V

V

V

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

I

I

I

&

M

&

&

K

MOMMK

K

&

M

&

&

2

1

abc

21

22221

11211

2

1

. [ ]

=

c

i

bi

a

i

abci

I

I

I

I

&

&

&

&

[ ]

=cc

ij

cb

ij

ca

ij

bc

ij

bb

ij

ba

ij

ac

ij

ab

ij

aa

ij

abc

ij

Y Y Y Y Y Y

Y Y Y

Y

[ ] [ ]∑=

+=

n

j

abc

ij

abc

i

abc

ii y yY

1

PrimPrim

0

[ ] Primabcik

abc

ik yY −=

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8ormação da atri> 4%s !ri"#sica


35

A

B

C

Z’ A

Z’B

Z’C

Z’ AB

Z’BC

Z’ AC

A

B

C

P Q

=

PQ

C

PQ

B

PQ

A

C CBCA

BC B BA

AC AB A

PQ

C

PQ

B

PQ

A

I

I

I

z z z

z z z

z z z

V

V

V

&

&

&

&

&

&

.

'''

'''

'''

[ ] [ ] [ ]abc pq

abc pq

abc pq z IV .

Prim=

[ ] [ ]( )1

1PrimPrim

'''

'''

'''−

−

==

C CBCA

BC B BA

AC AB A

abc

pq

abc

pq

z z z

z z z

z z z

z y

Elemento Série !ri"#sico

[ ] [ ] [ ]abc pqabc

pq

abc

pq y VI . Prim

=

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8ormação da atri> 4%s !ri"#sica


36

Elemento em &erivação !ri"#sico Conectado em Estrela *4,

Conectado em !rinlo *&elta,

[ ]

1

Prim

'

−

+−−

−+−

−+

=

BC CA BC CA

BC AB BC AB

AC ABCA AB

abc

pq

y y y y

y y y y

y y y y

y

[ ]

=

=

−

−

−

1

1

1

Prim

C

B

A

C

B

A

abc

pq

z

z

z

y

y

y

y

1−=

AB AB z y1−

= BC BC z y

1−= CACA z y

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8ormação da atri> 0dmitncia :odal

ontaem da atri> 4%s ontaem &ireta

0través do Gra"o da Rede


37

[ ]

21

22221

11211

=

NN N N

N

N

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

K

MOMM

K

K

BUSY

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ontaem &ireta da 4%s *4%arra,


38

[ ]

21

22221

11211

=

NN N N

N

N

Y Y Y

Y Y Y

Y Y Y

K

MOMM

K

K

BUSY

∑=

+=

n

j

ijiii y yY 1

0

ik ik yY −=

Elemento da &iaonal Principal Somatrio de todas as admitncias conectadas H %arra

Elemento 8ora da &iaonal :eativo da admitncia entre %arras

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ontaem de 4%s 0través do Gra"o da Rede

0 matri> 4%arra pode ser o%tida5 tam%ém5 através das matri>es deimpedncia primitiva e de incidência

atri> de ncidência 0 O%tida através de m ra"o orientado das correntes. atri> 4 Primitiva 8ormada pelos elementos da rede.

Procedimento ontaem do ra"o da rede adotando/se ma orientação *(aleatria), em "nção do "l de ncidência 0;

ontaem da atri> 4 Primitiva;

C#lclo da atri> 4 7s.


39

[ ] [ ] [ ] [ ]AYAY Primitiva ..T= BUS

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ontaem do Gra"o da Rede


40

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atri> de ncidência 0


41

+1 ; se a corrente no ramo j sai do vértice i

-1 ; se a corrente no ramo j entra no vértice i

0 ; se a corrente no ramo j não incide no vértice i

Matriz Incidência (nº de ramos x nº de vértices)

= jia= jia

= jia

+−

−+

−+

0

0

0

321

C

B

A

[ ]

101

110011

+−

−+

−+

= A

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atri> de ncidência 0 *red>ida,

Como a matri> incidência élinearmente dependente5 deve/se

eliminar m vértice o dere"erência do sistema *vértice 1,.

0ssim5 tem/se


42

[ ] 101

110

011

+−

−+

−+

= A

[ ]

10

11

01

+

−+

−

= A

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atri> 4 Primitiva


43

C

B

A

y y

y

0000

00

C B

A

C B A

[ ] 00

00

00Pr

=

C

B

A

imitiva

y y

y

Y

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atri> 4%s


44

[ ] [ ] [ ] [ ]AYAY Primitiva ..T= BUS

C

B

A

y

y

y

00

00

00

C

B

A

C B A

+−

−+

−+

0

0

0

321

C

B

A

[ ] 10

11

01

00

00

00

110

011

+

−+

−

+−

+−

=

C

B

A

BUS

y

y

y

Y

[ ]

+−

−+

=

C B B

B B A BUS

y y y

y y yY

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E incidência e a matri> admitncianodal do sistema a%ai

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ontaem da atri> 4%arra com Elementos 0coplados


46

Seja um trecho de circuito em que existe admitância ou impedância mútua entrealguns elementos do sistema elétrico.

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47

A polaridade da tensão induzida é importante.

Onde a matriz Z é denominada de matriz impedância primitiva do elemento.

d i % l l d

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48


Passando-se para admitância vem:

A matriz Y é chamada de matrizadmitância primitiva do elemento.

Expandindo-se a equação acima vem:

d i 4% El 0 l d

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49


Sabendo-se que e colocando-se a equação acimaem forma matricial tem-se:

Notar que os dois blocos com yij e ykl são termos da matriz Ybarra sem mútua.

t d t i 4% El t 0 l d

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50


E l

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51

E

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52

Sejam Z12 = Z34 = j0,25 pu e Zm = j0,15. Determinar a matriz Ybarra do sistema.

1) Determinar a matriz Z primitiva dos elementos com mútua:

2) Inverter a matriz Z primitiva do elemento para encontrar a matriz Y primitiva

E

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53

E

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Sejam z13 = z23 = j0,25 pu, zm = j0,15 pu.Determinar a matriz admitância de barra do circuito da figura abaixo.

E

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55

Sejam z13 = z23 = j0,25 pu, zm = j0,15 pu.

E

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56

E

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57

A seguir os cálculos que comprovam a exatidão damatriz Ybarra encontrada com a utilização da regraacima:

E

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58

Em forma matricial vem:

que confere com o exercício.

E

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