aula 16, cálculo vetorial e tensorialprofessor.ufabc.edu.br/.../wp-content/uploads/aula16.pdf ·...
TRANSCRIPT
Aula 16, Cálculo Vetorial e Tensorial
PROF. ROLDÃO DA ROCHA
1UFABC
15 Maio 2020
PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Resolva a equação de Navier-Stokeshttps://www.claymath.org/millennium-problemsUS$ 1.000.000,00
I
PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Resolva a equação de Navier-Stokeshttps://www.claymath.org/millennium-problemsUS$ 1.000.000,00
I
PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Resolva a equação de Navier-Stokeshttps://www.claymath.org/millennium-problemsUS$ 1.000.000,00
I
PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Resolva a equação de Navier-Stokes...
I Resolva a equação de Navier-Stokes,
−∇× (v× (∇× v)) =η
ρ0∇2(∇× v), (1)
para um fluido viscoso, laminar, longitudinal, em um tubo cilíndrico de raio R.I A velocidade do escoamento é
v = v(ρ) k̂ (2)
onde v(ρ) é uma função da coordenada radial, ρ, que denota a direção radial, apartir do eixo do tubo (ρ = 0) até a superfície do tubo (ρ = R). Aqui η denota aviscosidade do fluido e ρ0 sua densidade.
A velocidade do escoamento é dada por v(0) = vm k̂ e v(R) = ~0.
PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Resolva a equação de Navier-Stokes...
I Resolva a equação de Navier-Stokes,
−∇× (v× (∇× v)) =η
ρ0∇2(∇× v), (1)
para um fluido viscoso, laminar, longitudinal, em um tubo cilíndrico de raio R.I A velocidade do escoamento é
v = v(ρ) k̂ (2)
onde v(ρ) é uma função da coordenada radial, ρ, que denota a direção radial, apartir do eixo do tubo (ρ = 0) até a superfície do tubo (ρ = R). Aqui η denota aviscosidade do fluido e ρ0 sua densidade.
A velocidade do escoamento é dada por v(0) = vm k̂ e v(R) = ~0.
PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Resolva a equação de Navier-Stokes...
I Equação de Navier-Stokes,
−∇× (v× (∇× v)) =η
ρ0∇2(∇× v),
⇒ v =?
I Primeiro, calculemos o rotacional de v: coordenadas cilíndricasx = ρ cos θ,
y = ρ sin θ,
z = z
I
∇× v =1ρ
∣∣∣∣∣∣ρ̂ ρθ̂ k̂∂∂ρ
∂∂θ
∂∂z
vρ ρvθ vz
∣∣∣∣∣∣=
1ρ
∣∣∣∣∣∣ρ̂ ρθ̂ k̂∂∂ρ
∂∂θ
∂∂z
0 0 v(ρ)
∣∣∣∣∣∣ = · · · (3)
PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Resolva a equação de Navier-Stokes...
I Equação de Navier-Stokes,
−∇× (v× (∇× v)) =η
ρ0∇2(∇× v),
⇒ v =?
I Primeiro, calculemos o rotacional de v: coordenadas cilíndricasx = ρ cos θ,
y = ρ sin θ,
z = z
I
∇× v =1ρ
∣∣∣∣∣∣ρ̂ ρθ̂ k̂∂∂ρ
∂∂θ
∂∂z
vρ ρvθ vz
∣∣∣∣∣∣=
1ρ
∣∣∣∣∣∣ρ̂ ρθ̂ k̂∂∂ρ
∂∂θ
∂∂z
0 0 v(ρ)
∣∣∣∣∣∣ = · · · (3)
PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Resolva a equação de Navier-Stokes...
I Equação de Navier-Stokes,
−∇× (v× (∇× v)) =η
ρ0∇2(∇× v),
⇒ v =?
I Primeiro, calculemos o rotacional de v: coordenadas cilíndricasx = ρ cos θ,
y = ρ sin θ,
z = z
I
∇× v =1ρ
∣∣∣∣∣∣ρ̂ ρθ̂ k̂∂∂ρ
∂∂θ
∂∂z
vρ ρvθ vz
∣∣∣∣∣∣=
1ρ
∣∣∣∣∣∣ρ̂ ρθ̂ k̂∂∂ρ
∂∂θ
∂∂z
0 0 v(ρ)
∣∣∣∣∣∣ = · · · (3)
PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Resolva a equação de Navier-Stokes...
I Equação de Navier-Stokes,
−∇× (v× (∇× v)) =η
ρ0∇2(∇× v), (4)
I Agora, para que resolvamos o lado direito, lembremos que para qualquer campovetorial F de classe C2, temos que
∇2F = ∇×∇× F−∇(∇ · F). (5)
I Tomando-se o cmapo vetorial F = ∇× v, então o lado direito da Eq. (4) fica:
∇2(∇× v) = ∇× (∇× (∇× v))−∇(∇ · (∇× v))= ∇× (∇× (∇× v)), (6)
pois o divergente do rotacional de um campo vetorial de classe C2 é nulo.
PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Resolva a equação de Navier-Stokes...
I Equação de Navier-Stokes,
−∇× (v× (∇× v)) =η
ρ0∇2(∇× v), (4)
I Agora, para que resolvamos o lado direito, lembremos que para qualquer campovetorial F de classe C2, temos que
∇2F = ∇×∇× F−∇(∇ · F). (5)
I Tomando-se o cmapo vetorial F = ∇× v, então o lado direito da Eq. (4) fica:
∇2(∇× v) = ∇× (∇× (∇× v))−∇(∇ · (∇× v))= ∇× (∇× (∇× v)), (6)
pois o divergente do rotacional de um campo vetorial de classe C2 é nulo.
PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Resolva a equação de Navier-Stokes...
I Equação de Navier-Stokes,
−∇× (v× (∇× v)) =η
ρ0∇2(∇× v), (4)
I Agora, para que resolvamos o lado direito, lembremos que para qualquer campovetorial F de classe C2, temos que
∇2F = ∇×∇× F−∇(∇ · F). (5)
I Tomando-se o cmapo vetorial F = ∇× v, então o lado direito da Eq. (4) fica:
∇2(∇× v) = ∇× (∇× (∇× v))−∇(∇ · (∇× v))= ∇× (∇× (∇× v)), (6)
pois o divergente do rotacional de um campo vetorial de classe C2 é nulo.
PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC
Resolva a equação de Navier-Stokes
I