aula 05 derivadas - conceitos iniciais
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Derivadas: Conceitos Iniciais, Definição e Exercícios aplicando a definição.TRANSCRIPT
AULA 05MATEMÁTICA II
Professor: João Alessandro
DERIVADAS:
CONCEITOS INICIAIS
A LINGUAGEM DO MOVIMENTO
A derivada expressa o ritmo da mudança instantânea em qualquer fenômeno que envolva funções.
Galileu, ao descrever pela primeira vez uma função que relacionava o espaço com o tempo na queda dos corpos, deixou em aberto a necessidade do Cálculo Diferencial, o cálculo com derivadas derivadas.
Mas, quando se trata de corpos em movimento, esta interpretação é especialmente precisa e interessante. De fato, historicamente, foi o que deu origem ao estudo das derivadas.
A LEI DA QUEDA DOS CORPOSA tentativa de Galileu de demonstrar que todos os corpos caem com a mesma aceleração esbarrou na falta de um instrumento matemático - as derivadas.• Quem foi capaz de completar a tarefa de Galileu?...
Isaac Newton e W.G. Leibniz, ambos separadamente e quase ao mesmo tempo, o que originou uma forte disputa entre eles.
Sir Isaac Newton
(Woolsthorpe, 4 de Janeiro de 1643 — Londres, 31 de Março de 1727)
Gottfried Wilhelm von Leibniz
(Leipzig, 1 de julho de 1646 — Hanôver, 14 de Novembro de 1716)
A LINGUAGEM DO MOVIMENTO
() O despeito de Newton (1642 – 1727) devido a algumas críticas desfavoráveis levou-o a manter em segredo durante 30 anos, sem publicá-las, as suas descobertas relativas ao Cálculo Diferencial e Integral. Na correspondência com Leibniz (1646 – 1716) deu-lhe alguns indícios e este foi capaz de por si só desenvolver o Cálculo com uma notação melhor. Quando o publicou, foi acusado de plágio. Leibniz recorreu à British Royal Society, presidida pelo próprio Newton; o que foi a sua perdição. Desacreditado pela opinião dominante, neste caso nada imparcial, a historia terminou amargamente para ele. Newton gabava-se de “ter desfeito o coração de Leibniz”.
Newton e Leibniz iniciaram o Cálculo Diferencial
e, ao medir o ritmo de mudança dos fenômenos
físicos, naturais e inclusivamente sociais, abriram
as portas ao espetacular desenvolvimento
científico e tecnológico que transformou o mundo
em 3 séculos tanto ou mais que em toda a história
anterior. Parecia que por fim se tinha cumprido o
sonho pitagórico: explicar o mundo com a
Matemática.
INTRODUÇÃO
a
f(b)
x
y
O b
f(a)
f(b) - f(a) y
b – a x
Se uma função é representada graficamente por uma reta
(função afim) facilmente sabemos com que velocidade varia
essa função. Corresponde, é claro, ao declive da reta
representativa da função.
yx
f b f a
b am
yy
xx
tmv = tg =tmv = tg =
taxa média de variaçãotaxa média de variação
O que o Matemáticos se lembraram foi de “substituir localmente” a curva por uma reta e calcular o declive dessa(s) reta(s) e… o resto é História e o estudo das Derivadas…
a
f(b)
b
f(a) b – a x
f(b) - f(a) y
x O
y
E... se o gráfico da função não for uma reta?
Com que velocidade (rapidez) varia essa função?
yx
f b f a
b am
yy
xx
tmv =tmv =
APLICAÇÃO DAS DERIVADAS
NA GEOMETRIA ANALÍTICA
APLICAÇÃO DAS DERIVADAS
NA GEOMETRIA ANALÍTICA
E… quando tomamos o limite?
x-x0
x0
f(x)
x
f(x0)
y f(x) - f(x0)
x O
y Vamos, então, estudar Derivadas!
mtgα)(x' f 0
)x(x).(x' f)f(xf(x) 00 x
)x'.(xy )f(xy 00
)xm(x)f(xf(x) 00
Exemplo 1 - Suponhamos que a temperatura de uma sala seja f(x) = x2.– Então temos que:
• A partir de x0 = 1h, a variável x aumentou de 2 unidades (horas) e passou para x = 3h.
x = x – x0 = 3 – 1 = 2
• A temperatura y = f(x) também sofre variação: passou de f(1) = 1ºC para f(3) = 9ºC, aumentando 8 unidades (ºC).
y = f(x) – f(x0) = 9 – 1 = 8
A razão y/x = 4ºC/h, significa que, entre 1h e 3h, a temperatura aumentou 4ºC por hora, em média.
OUTROS EXEMPLOS
y(ºC)
x0=1
y
f(3)=9
x(h)
f(1)=1
x=3
x
x x f(x) x y y/ x
1h30min 1,5 2,25 0,5 1,25 2,5
1h12min 1,2 1,44 0,2 0,44 2,2
1h06min 1,1 1,21 0,1 0,21 2,1
1h1seg1,000277
71,00055
50,000277
70,00055
52,000360
1
y(ºC)
x0=1
y
f(3)=9
x(h)
f(1)=1
x=3
x
TEMPERATURA DE UMA SALA• Noção Intuitiva
– Suponhamos que desejamos conhecer a temperatura num instante bem próximo de x0 = 1h.
À medida que x se aproxima de zero,
y/x se aproxima de 2.
O limite da razão y/x, quando x 0, exprime que, quando x aumenta de 1 unidade de tempo a partir de x0 = 1h, a temperatura y aumentará de aproximadamente 2ºC.
(aproximadamente, pois se trata de limites)
hCxx
xx
x
xxxx
/º2)1(lim1
)1)(1(lim
1
1lim
11
2
1
0
0
00
)()(limlim')('
0 xx
xfxf
x
yyxf
xxx
y(ºC)
x0=1
y
f(3)=9
x(h)
f(1)=1
x=3
x
TEMPERATURA DE UMA SALA
EXEMPLOSExemplo 2 – Determinar a derivada da função f(x) = 2x2 no ponto x0 = 3, ou seja, f’(3).
0
0
00
)()(limlim')('
0 xx
xfxf
x
yyxf
xxx
3
332
33
922
33
1822
33
xxx
xxx
xxx
xf
))((lim
)(limlim)('
Temos: x0 = 3 e f(x0) = f(3) = 2.32 = 18
12)3(2lim)3('3
xfx
EXEMPLOSExemplo 3 – Determinar a derivada da função f(x) = x2 - 6x no ponto x0 = 2, ou seja, f’(2).
0
0
00
)()(limlim')('
0 xx
xfxf
x
yyxf
xxx
2)4(lim2
)4)(2(lim
2
86lim)2('
22
2
2
x
x
xx
x
xxf
xxx
Temos: x0 = 2 e f(x0) = f(2) = 22 – 6.2 = -8
EXEMPLOSExemplo 4 – Uma fábrica produz, mensalmente, x unidades de motores, sendo o custo mensal de produção dado por:
C(x) = 1500 + x (em reais).
a) Determine a derivada no ponto x0 = 10 motores.
b) Interprete o resultado obtido.
b) O resultado f’(x0) = 1, significa que a cada aumento de unidade de motor, há um aumento de 1 real no custo mensal, a partir de 100 motores.
0
0
00
)()(limlim')('
0 xx
xfxf
x
yyxf
xxx
110
10
1010
15101500
100
xx
xxx
xxf limlim)('
a) f(x0) = f(10) = 1500 + 10 = 1510
Exemplo 5 - Consideremos a função C(x) = custo da produção de x sapatos, em reais.
Suponhamos que para uma produção x0 = 2000 sapatos, tenhamos a derivada C’(x0) = 20 reais por sapato.
O que significa isso?
Significa que, se aumentarmos a produção de 1 unidade e produzirmos x = 2001 sapatos, o aumento no custo será de 20 reais, aproximadamente.
EXEMPLOS
