aufgabe 7.1. prÄsentation von bastian obst und franz zeh erwartungswert

AUFGABE 7.1.PRÄSENTATION VON

BASTIAN OBST UND FRANZ ZEH

Erwartungswert

Gliederung

Aufgabenstellung , Lösungswege und Definition

Kritische Analyse unter (fach-)didaktischen Gesichtspunkten

Neue Aufgabe und LösungDefinition ErwartungswertModell- und BeobachtungsebeneQuellen

Aufgabenstellung

1. Lösungsweg

2. Lösungsweg

Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen Gesichtspunkten

Einordnung im Rahmenplan

Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung: Thema Oberstufe 11,12, Leistungskursniveau (II Anwendung, Vertiefung und Systematisierung)

Zufallsgrößen und deren Wahrscheinlichkeitsverteilung ( Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung), s. S 36f. Rahmenlehrplan für die gymnasiale Oberstufe


Welche allgemeinen Kompetenzen nach Rahmenplan werden angesprochen?

Sachkompetenz: Inhalte (Lösungen 1 und 2) verstehen, Ordnungen und Strukturen (Tabelle 1,2 und 3) erkennen

Methodenkompetenz: Umgang mit Medien (Buch), Begründung und Überprüfung von Annahmen ( der Lösungen 1 und 2)


Soziale Kompetenz: Eingehen auf (Buch-)Argumente

Personale Kompetenz: Entscheidungen fällen und begründen (Lohnt sich das Spielen von Glücksautomaten? Kann ich damit mein Taschengeld aufstocken?)


Welche prozessbezogenen mathematischen Kompetenzbereiche werden angesprochen?

Schöpferisch tätig sein, kreativ sein, Problem lösen: Zusammenhänge (Lösung 1 und Lösung 2) erkennen, nutzen und (später) auf ähnliche Situationen übertragen (Analogie bilden)

Argumentieren: Aussagen (Lösung 1 und Lösung 2) hinterfragen und überprüfen, Zusammenhänge erkennen (Erwartungswert) und Netzwerke bilden ( Wie berechne ich Erwartungswert E(x)?), Begründungen (Lösungen 1 und 2) suchen und nachvollziehen


Mathematisieren/ Modellieren: Sachtexten, Darstellungen (Tabellen in Lösung 1 und 2) etc. relevante Informationen entnehmen (filtern)

Formalisieren: Darstellungen (Lösungen 1 und 2 bzw. Tabelle 1 und 2) miteinander vergleichen und bewerten

Kommunizieren: Lösungswege andere verstehen und gemeinsam darüber reflektieren


Mögliche Lernziele der Unterrichtsstunde

SuS lernen Erwartungswert kennenSuS können mit Erwartungswert

argumentierenSuS können Erwartungswert anwenden(SuS können Erwartungswert auch bei

Variation anwenden)


Intelligenzentwicklung nach Piaget

Das viere Stadium der formalen Operationen wird angesprochen (kein Bild oder Automat vorhanden), Beginn des hypothetisch-deduktiven, formal abstrakten Denkens (nur Text und Tabellen vorhanden)


Operative Prinzipien (Zech)

Prinzip der Stufengemäßheit: Denkentwicklung verläuft von mehr konkret handelnden zu formal abstraktem Denken (hier nur Text und formal abstrakte Denken per Vorstellung der Lösungswege 1 und 2 vorhanden)


Prinzip der Verinnerlichung und Verzahnung der Darstellungsebenen: Auf jede (praktische) Handlung folgt eine Phase der Reflexion zu konkreter, formaler und symbolischer Ebene (enaktive Ebene ist nicht geboten, ikonische Ebene sind Tabellen, Kasten der Definition, Reflexion der Lösungswege 1 und 2, symbolische Ebene: Inhalt der Definition)


Prinzip der Variation des Unwesentlichen: Vermeidung falscher Vorstellungen Variation der Veranschaulichungsmittel (Text und

Tabellen) Mathematische Variation auf ikonischen Ebene: (nur

Tabellen vorhanden) Variation der Anwendungsgebiete (nicht vorhanden da

Einführung)Prinzip des operativen Durcharbeitens:

Systematische Variation der Ausgangssituation: (Nicht vorhanden)

Variation des Lösungsweges: (Ja, zwei Lösungen)Variation der gesuchten Größe: (nein, aber

auch für Einführung des Themas zu früh)


Motivation

Eingangsmotivation: SuS sehen die Notwendigkeit, Zweckmäßigkeit oder Sinn in der Beschäftigung mit einem Gegenstand? (Ja, ist vorhanden. Der Spielautomat gehört zu der Erfahrungswelt der SuS. SuS kennen Automaten, haben vielleicht schon gespielt. Wie Automat aus stochastischer Sicht aufgebaut ist, kann SuS motivieren, sie können entscheiden, ob sich das Spielen mit dem Automaten lohnt oder nicht.)


Bedingungen für Eingangsmotivation nach Zach: Es handelt sich um ein echtes Problem ( Ja, es fand

keine offensichtliche didaktische Reduktion statt) Leichtes Problem, dass nicht zu komplex ist (Ja,

Lösung 1 macht dies vorbildlich) Kurzer Weg zur Lösung (Nach Aufgabenstellung Ist die

Lösung sofort vorhanden) Mit Vorwissen gar nicht oder umständlich zu lösen:

(Davon ist auszugehen) Einfach und klar formuliert: (Dies gilt für die

Aufgabenstellung und die erste Lösung, dagegen ist Lösung zwei komplizierter formuliert)


Verlaufsmotivation: SuS sollten sehen, das jeder Schritt notwendig, zweckmäßig oder sinnvoll ist (Ja, Aufgabenstellung ist so angefertigt: „Welchen Gewinn kann man im Mittel pro Spiel erwarten? Bestimme zunächst den Mittelwert des Gewinns in 100 Spielen.“ Dies ist die Überführung zur Lösung 1. Allerdings ist keine Überführung von Lösung 1 zur Lösung 2 vorhanden, so dass diese alternative Lösung „vom Himmel fällt“. Schade, da diese Lösung, die auf bisheriges Wissen aufbaut „Analog zur Mittelwertbildung…“ dann auch zur Definition verwendet wird. Zwischen Lösung 2 und Definition wird per Reflexion nochmals auf das Ergebnis der oberen Aufgabe hingewiesen, bevor die Definition folgt. Nach der Definition kommt ein noch ein Ratschlag „Die Berechnung des Erwartungswertes einer Wahrscheinlichkeitverteilung erfolgt am zweckmäßigsten mithilfe einer Tabelle“)

Isomorphie- und Permanenzprinzip: Bekanntes soll erhalten bleiben (Ja, wird auch hier verwendet, da auf die Analogie zur Mittelwertbildung hingewiesen wird, und um Neues erweitert wird.)


Begriff (nach Vollrath)

Es handelt sich bei der Definition des Erwartungswertes gemäß Vollrath um einen Begriff, der in 5 Stufen erlernt werden kann.

Man kann eine Definition angeben (Ja, siehe Definition Buch)

Man kann Begriff identifizieren (Im vorliegenden Ausschnitt nicht vorhanden)

Selbst Beispiel angeben (Für die Einführung noch zu früh)

Kennt Eigenschaften des Begriffs (s.o.)Begriff anwenden (s. o.)

Aufgabe:

Der Trainer einer Schützenmannschaft steht vor der Wahl, von 2 guten Schützen A und B einen für einen internationalen Wettkampf zu nominieren.

Daher vergleicht er die letzen Schießleistungen der beiden Schützen.

Unter Verwendung von 10 Ring-Scheiben (10 im Zentrum) erbrachten die letzten 100 Schüsse der beiden Schützen die folgenden Ergebnisse:

Aufgabe

Schütze A:33 mal die 10, 37 mal die 9, 28 mal die 8, 2 mal die 7Schütze B:30 mal die 10, 44 mal die 9, 26 mal die 8,

keine 7Wie soll der Trainer auswählen?

Lösung:

Erklärung:Zufallsgröße X ordnet den Ringen von außen

nach innen die Zahlen 1,2,…,10 zu.Folglich wird Mittelwert berechnet, um den

besseren Schützen zu ermitteln.

Lösung:

Ersichtlich, dass Schütze B im arithmetischen Mittel höhere Trefferquote hat

Trainer erwartet, dass Schütze B auch in Zukunft besser als Schütze A

Trainer benutzt Mittelwerte als zukünftige Prognosen

Definition Erwartungswert

Bekannt ist: Relative Häufigkeiten bei häufiger

Durchführung eines Experimentes verwendbar, um Wahrscheinlichkeiten weiterer Experimente zu schätzen

Hier benutzt man den Mittelwert einer Häufigkeitsverteilung zur Prognose des Wertes, den man bei jeder Durchführung des Experimentes erwarten kann


Diesen Wert nennt man ErwartungswertDer Trainer nimmt 9,01 und 9,04 als

Erwartungswerte aller zukünftigen Schüsse der Schützen an

Der Trainer definiert die Zahlen, die für die rel. Häufigkeiten benötigt wurden, als Wahrscheinlichkeiten für die Ringzahlen bei weiteren Versuchen


Der Erwartungswert ist der Wert, der im Mittel als Wert der Zufallsgröße bei jeder weitern Durchführung des Experimentes zu erwarten ist.

Der Erwartungswert kann zum Schätzen des Mittelwertes einer noch durchzuführenden Messreihe genutzt werden

Der Erwartungswert hat Bedeutung eines im Idealfall auftretenden Mittelwertes


Daher analoge Berechnung zum Mittelwert, wobei rel. Häufigkeiten durch Wahrscheinlichkeiten ersetzt werden


Mögliche Definition durch Schüler:„Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsgröße X ist der Wert, der beim mehrfachen Durchführen des Zufallsexperimentes im Durchschnitt zu erwarten ist. Der Erwartungswert wird berechnet, indem man die einzelnen Werte der Zufallsgröße mit ihren Wahrscheinlichkeiten multipliziert und die Ergebnisse addiert“


Mögliche theoretischere Definition:


Wichtig:Algebraisch besteht kein Unterschied

zwischen Erwartungswert und Mittelwert, aber stochastisch!

Mittelwert macht Aussage über gesammelte Daten

Erwartungswert macht Aussage über in Zukunft zu erwartende Daten

Beobachtungs- und Modellebene

Quellen:

Einführung in die Mathematik, Stochastik Grundkurs (Kittler, Schröder, Wölz, Diesterweg Verlag, 1985)

aufgabe 7.1. prÄsentation von bastian obst und franz zeh erwartungswert

Documents