Asal Sayılar ve Şifreleme

Güvenliğin Matematiği

Hikmet Coşkun Gündüz

Özgür Yazılım A.Ş.coskun.gunduz@ozguryazilim.com.tr

İhtiyaç?

İlk yöntemler

Makine çağı

Diffie-Hellman

Sihirli fonksiyonlar

RSA ve asallar

Mektupları neden zarfa koyarız?

Nasıl daha güvenli olur?

Mesajı kodlama?

Kod iletimi?

Yakınsa önceden anlaşma

Uzaksa önce kodların gönderimi

Kryptos : gizli saklı

Graphein : yazmak

Kriptanaliz: anlamsız metinden doğru metni bulma

Steganografi

Dövme

Limon suyu

Sezar şifresi

Metin → Anahtar ile şifreleme → Şifreli metin

Kerckhoff prensibi

Kerckhoff prensibi

“Sistem gizliliğe dayanmamalı. Sistem hakkında her şey herkes tarafından bilinmeli.”

1883 – La Cryptographie Militarie

Makinelerin devreye girmesi

1. Dünya Savaşı'nda kriptanaliz büroları

Zimmermann telgrafı (16 Ocak 1917)

Simetrik şifreleme sistemleri– Kapalı anahtarlı sistemler

– Tek bir gizli anahtar

– DES (1975), 56 bit anahtar boyutu

Diffie-Hellman anahtar değişimi– Çanta-kilit örneği

Ayşe-Barış telefonda konser-tiyatro tartışması yaparken:

Matematikte sihirli fonksiyonlar– f(x)=x5+x

f(x)=x5+x

Her zaman çifttir.

f(x) bilinirse, x tek mi çift mi?

Açık anahtarlı bir kriptografik sistem

Ayrık logaritma problemi:Özel anahtarları kullanarak ortak anahtar

üzerinde anlaşma senaryosu:

1) A ve B bilinen asal p ve sihirli mod p'ye göre g sayısı üzerinde anlaşır

2)a ve b özel anahtarlar a,b < p-1

3)ga mod p ve gb mod p hesaplanır ve açık olarak paylaşılır

4) A, (gb mod p)a mod p'yi bulur.

p=13, g=2, a=5, b=4

Ortak anahtar: 9

Gizli anahtar üzerinde anlaşma zorunluluğu ortadan kalktı

Açık Anahtarlı Kriptografi

Kişilerin birbirlerini tanımadan gizli bir şekilde haberleşebilmesi

Rivest & Shamir & Adleman

Büyük sayıların çarpanlara ayrılması problemi.

1) Alıcı iki asal p ve q seçer. N=p.q

(N'in uzunluğu anahtar uzunluğudur)

2)(p-1).(q-1) hesaplanır. phi(N)

3)Alıcı phi(N) ile ortak böleni olmayan bir e sayısı seçer. 1<e<N

N ve e açık anahtarlar, p ve q özel anahtarlardır.

Gönderici: N ve e bilgisine ulaşır

İletilecek mesaj: M

Me mod N hesaplanır ve alıcıya gönderilir.

Alıcının mesajı çözmesi:

N, e, p, q, phi(N) mevcut.

1)e.d=1 mod phi(N) denkliğinden d değeri bulunur.

2)Me.dmod N = M

Ayşe, Burak'a DEFA mesajını iletecek:

Barış: p=2, q=11

N=p.q=2.11=22

phi(n)=(p-1).(q-1)=1.10=10

e=7

(N,e)=(22,7) açık anahtar

Mesaj: DEFA (4561)

47 = 16 mod 22

57 = 3 mod 22

67 = 8 mod 22

17 = 1 mod 22

(16-3-8-1) → (NÇĞA)

Barış şifreyi çözer: (16-3-8-1)

e.d=1 mod phi(N)

7.d=1 mod 22 → d=3

163 = 4 mod 22

33 = 5 mod 22

83 = 6 mod 22

13 = 1 mod 22 (4-5-6-1)->DEFA

Büyük asallar olduğunda güvenli

Açık anahtar sadece şifrelemede kullanılır, şifre çözmede işe yaramaz

p ve q en az 512 bit olmalı (idi)

2010'da 768 bitlik bir sayı çarpanlarına ayrıldı (232 basamaklı)

Sonuçlar:

Bilgisayarlar güçlendikçe kriptanaliz hızlanıyor.

Eliptik eğri kriptografisi.

Teşekkürler

E-posta: coskun.gunduz@ozguryazilim.com.tr