aritmÉtica - secuencia 1 clase 1
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Conjuntos numéricos
Naturales: ℕ1, 2, 3, …+∞
Cero: 0
Naturalescon el cero: ℕ𝟎
Negativos:-1, -2, -3, …-∞
Enteros: ℤ
Enteros positivos: ℤ+
Enteros negativos: ℤ−
Fraccionarios:2,5 ;
9
15; 0,73
Racionales: ℚ
Desempolvando neuronas
Repasemos algunas cuestiones:
ARITMÉTICA - Secuencia 1 – Clase 1
Operaciones y operandos
Adición
6 + 5 = 11 suma
sumandos
Multiplicación
7 . 4 = 28 producto
factores
Potenciación
exponente
32 = 9 potencia
base
Sustracción
minuendosustraendoresta o diferencia
División
Dividendo
15 6 divisor3 2 cociente
resto
Radicación
índice
38 = 2 raíz
radicando
símbolo radical
Operaciones combinadas
Pasos
Separar en términos
Secuenciar los pasos hacia abajo
Resolver teniendo en cuenta los símbolos que asocian
Respetar las jerarquías de las operaciones
Aplicar la regla de los signos
Destacar el resultado
Recordar
Los signos que separan términos son: + y –
El = es el símbolo conector que marca inicio y fin de cada
paso
Los símbolos que asocian son: (paréntesis), [corchetes] y
{llaves}; y se trabajan en ese orden
Jerarquías:
1ª) Potenciación y radicación
2ª) Multiplicación y división
3ª) Adición y sustracción
La regla de los signos se usa solo en multiplicación y división
Algunas propiedades que ayudan
• Conmutativa: solo en adición y multiplicaciónEj: 10 + 8 = 8 + 10 6 . 5 = 5 . 6
18 = 18 30 = 30• Asociativa: solo en adición y multiplicación
Ej: −2 + 9 + 3 = −2+ 9 + 3 10 . 4 . −5 = 10 . 4 . −57 + 3 = −2 + 12 10 . −20 = 40 . −5
10 = 10 −200 = −200• Distributiva
• de la multiplicación respecto de la adición y la sustracción:
Ej: 3 . 11 ± 4 = 3 . 11 ± 3 . 4 7 ± 5 . 9 = 7 . 9 ± 5 . 9
• de la divisón respecto de la adición y la sustracción se cumple solo a derecha:
Ej: 18 ± 6 : 2 = 18 ∶ 2 ± 6 ∶ 2• Cancelativa:
suprime números opuestos en una operación o números iguales en distintos miembrosde una igualdad
Ej: 30 + 𝟖 + 4 − 𝟖 = 28 − 𝟔 + 𝟏𝟐 = −𝟔 + 14 . 2 + 𝟏𝟐= 30 + 4 = 28 = 28= 34
Expresión coloquial Expresión simbólica Ejemplos
Todo número (excepto cero)elevado al exponente cero, da uno
𝑏0 = 1 con 𝑏 ≠ 0 50 = 117
3
0= 1 −3 0 = 1
El producto de dos o más potencias de igual base, es otra potencia con la misma base, cuyo
exponente es la suma de los exponentes de las potencias factores.
𝑏𝑎. 𝑏𝑐. 𝑏𝑚 = 𝑏𝑎+𝑐+𝑚32. 35. 33 = 310
El cociente de dos potencias de igual base, es otra potencia con la misma base, cuyo exponente es la
diferencia de los exponentes de las potencias dividendo y divisor.
𝑏𝑎: 𝑏𝑐 = 𝑏𝑎−𝑐 412: 43 = 49
La potencia de otra potencia es una potencia con la misma base cuyo exponente es el producto de
los exponentes de las potencias base.𝑏𝑎 𝑚 = 𝑏𝑎.𝑚 62 7 = 614
Una potencia de exponente negativo obliga a invertir la base y conservar el exponente positivo. 𝑏−𝑛 =
1
𝑏
𝑛 3−𝟐 =1
3
𝟐−5 −𝟐 = −
1
5
𝟐
11
4
−𝟑=
4
11
𝟑−
6
23
−𝟒= −
23
6
𝟒
¡Hasta la próxima!
¡A trabajar!
ACTIVIDAD 1
1) Establecé si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, en este último caso explicá por qué
a) 6
3 es un elemento de Z
b) −1
2 es un elemento de Q
c) 0.1333… es un número racional
d) Los ℕ son los opuestos de los Z- e) 1.5 es un número racional f) Los Z+ coinciden con los N
g) 8
0 es un elemento de Q
h) Todo número negativo es un número entero
i) -4 es un elemento de Z y su opuesto a N
j) 0.121212… es un número racional
k) -1 es un elemento de Z, pero a Q
l) Todo número entero es un número racional
m) Algunos números racionales son números enteros
2) Resolvé e indicá cuál es el primer conjunto numérico al que pertenece el resultado:
a) 1 52 − 32 − (9− 7)3 − −5 3 0 2 −1=
b) 23 − 5 + 2. 1253
=
c) 1−7
8
3+
3
4
8: 3
4 6
−7
8=
d) 1 + 4
3 2
− 3−2 − 1−8
9 :
2
9=
e) 1− 0,19+ 0,32 : −3 =
f) 1
4−
2
3 −2
. −144 −1− −1
125
3. −
1
5 6
: −1
5 5
=
g) 37
27+1
3−
5
12∙
4
5 2
=
h) 100− −7 3: −7 2 + −2 2+ −2163
=
Sistema de medición de ángulos
Para medir ángulos se pueden usar distintos sistemas de medición.
Sistema sexagesimal: la unidad de medida de este sistema es el grado sexagesimal (1°), que se obtiene de dividir el ángulo recto en 90 partes iguales.
Los submúltiplos del grado sexagesimal son los minutos sexagesimal (1’) y el segundo sexagesimal (1”).
1° = 60’ y 1’ = 60” entonces 1° = 3600”
Sistema centesimal: la unidad de medida en este sistema es el grado centesimal (1G), que se obtiene de dividir el ángulo recto en 100 partes iguales.
Los submúltiplos del grado centesimal son los minutos centesimal (1M) y el segundo centesimal (1S).
1G = 100M y 1M = 100S entonces 1G = 10.000S
TRIGONOMETRÍA - Secuencia 1 – Clase 1
Sistema circular: la unidad de medida en este sistema es el radián.
Se llama radián al ángulo que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la misma.
El valor de un ángulo de un giro es de 2π radianes.
Equivalencias entre los distintos sistemas
Sistema sexagesimal Sistema centesimal Sistema circular
90° 100G𝜋
2
180° 200G π
360° 400G 2π
Si deseas y puedes visualizar estos videos te pueden llegar a servir de guía o ayuda para resolver las actividades. Se sugiere hacerlo en un lugar tranquilo, en el que pueda prestar atención al discurso. Cuando lo haga, sería conveniente que pueda tomar notas, algunos apuntes. Si fuera necesario, vuelva a verlo.
https://www.youtube.com/watch?v=lpCYh33U18I
https://www.youtube.com/watch?v=vLRFIsolrOA
https://www.youtube.com/watch?v=lKpxxsAX7BY
1. Completar el siguiente cuadro.
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
Sistema Circular
150°
8π
120g
2. Completar si es verdadero o falso según corresponda, justificando su respuesta. (realiza la operación correspondiente)
a. 5
4𝜋 = 225°
b. 100° = 150g
c. 120g = 120°
Sistema sexagesimal Sistema centesimal Sistema
Circular
150°
8π
120g
Números fraccionarios: *fraccionescifras decimales
*Fracciones
𝑎
𝑏
Numerador: indica cuántas partes se consideran, de las que establece el denominador
Denominador: indica en cuántas partes iguales queda dividido el entero
Raya fraccionaria: representa división
Los números fraccionarios de esta forma, expresan una división entre dos números enteros, en
donde 𝒂 puede tomar cualquier valor, pero 𝒃 no puede ser 0.
El cociente de dicha división es la expresión decimal que equivale a la fracción.
ARITMÉTICA - Secuencia 1 – Clase 2
…más de ℚ
Números fraccionarios: fracciones*cifras decimales
*Cifras decimales
Finitas o exactas: son cocientes de divisiones exactas de enteros, por lo tanto los dígitos
decimales tienen fin. Ej.: 0,36 ; 14,5 ; 718,125.
Periódicas Puras: toda la parte decimal forma un período que se repite infinitamente.
Ej.: 0, 2 ; 45,23 ; 6, 1111…
Infinitas: tienen infinitos dígitos decimales.
Mixtas: solo una parte de los dígitos decimales forma un período que se repite
infinitamente. Ej.: 0,72 ; 16,9457 ; 3, 23454545…
No Periódicas: no provienen de una división de enteros, por lo tanto no se pueden expresar como
fracción, no tienen período, constituyen el conjunto de los números Irracionales.
Finitas o exactas Periódicas Puras Periódicas Mixtas
Numeradorcifra significativa sin considerar la coma
cifra significativa sin considerar la coma, menos la cifra que queda formada a la izquierda del período
Denominador1 seguido de tantos 0 como
dígitos tenga la parte decimaltantos 9 como dígitos tenga el
período
tantos 9 como dígitos tenga el período, seguidos de tantos 0
como dígitos tenga la parte decimal no periódica
Ejemplos 0,3 =3
108,45 =
845
100
0,82 =82
99
14,7 =147 − 14
9=133
9
0,28 =28 − 2
90=26
90
3,127 =3127 − 31
990=3096
990
Conversión de cifras decimales en fracciones
Adición-Sustracción Multiplicación DivisiónPotenciaciónRadicación
De igualDenominador
Se suman o restan los numeradores y el denominador se conserva
Ej.: 2
5+7
5=9
5
5
4−11
4= −
6
4
Se multiplican los numeradores entre sí
para formar el numerador del
resultado, luego se repite el procedimiento con los denominadores
Ej.:
8
5.7
11=56
55
43
10. −2
7= −
86
70
Se convierte en la multiplicación de la 1ª
fracción por la 2ª invertida
Ej.:
8
5:7
11=8
5.11
7=88
35
−9
25:2
3= −
9
25.3
2= −
27
50
Se aplica la propiedad distributiva de ambas operaciones respecto
de la división expresada por la raya
fraccionaria
Ej.:
−2
5
2
=−2 2
52
3 8
125=
38
3125
De distintodenominador
Se buscan fracciones equivalentes(1) a las dadas, con igual denominador y se opera como en el caso anterior
Ej.: 2
5+4
3=6
15+20
15=26
15
13
7−9
2=26
14−63
14= −
37
14
Se busca el mcm(2) entre los denominadores, luego éste se divide por el 1er denominador y se multiplica por su
numerador, el valor resultante se suma o resta al obtenido de igual forma de la segunda fracción, y así sucesivamente
Ej.: 2
5+4
3−1
6=12+40−5
30=47
30
Operaciones con fracciones
(1) Fracciones equivalentes: son las que representan la misma cantidad. Se pueden obtener por amplificación o simplificación, es decir, multiplicandoo dividiendo, numerador y denominador por un mismo número.
(2) mcm: mínimo común múltiplo.
ACTIVIDAD 2
1) Expresá las cifras decimales como fracción, luego resolvé e indicá cuál es el primer conjunto numérico al que pertenece el resultado:
2) Clasificá las siguientes cifras decimales y expresalas como fracción:
a. 1,125 =
b. −0, 09 =
c. −12,75 =
d. 1,53 =
e. 0,037037… =
f. −42,24 =
g. 0, 07 =
h. −53,25 =
i. −28,57 =
j. −0,026026… =
TRIGONOMETRÍA – Secuencia 2 – Clase 1
Clasificación de triángulos según sus lados y sus ángulos
Escaleno: Todos sus lados son distintos.
Según sus lados Isósceles: Tiene dos lados iguales.
Equilátero: Todos sus lados son iguales.
Acutángulo: Todos sus ángulos son iguales.
Según sus ángulos Rectángulo: Tiene un ángulo recto.
Obtusángulo: Tiene un ángulo mayor que 90°
Respondé y justificá tu respuesta.
¿Se puede armar un triángulo rectángulo que sea equilátero? Si o no. ¿Por qué?
¿Se puede armar un triángulo rectángulo que sea isósceles? Si o no ¿Por qué?
¿Un triángulo rectángulo puede tener dos ángulos rectos? Si o no. ¿Por qué?
¿Un triángulo rectángulo puede tener un ángulo obtuso? Si o no. ¿Por qué?
¿Un triángulo puede ser equilátero obtusángulo?
¿Un obtusángulo puede isósceles?
Marcá con una V (verdadero) o F (falso), según corresponda.
1° Un triángulo escaleno tienen todos sus ángulos distintos.___________
2° Un triángulo isósceles tiene por lo menos dos lados iguales._________
3° Los triángulos equiláteros son siempre acutángulos. _______________
4° Todos los triángulos rectángulos son isósceles.____________________
5° Todos los triángulos equiláteros son isósceles.____________________
6° Un triángulo rectángulo puede ser equilátero.____________________
7°Los ángulos de un triángulo isósceles son iguales.__________________
8° Un triángulo puede tener dos ángulos obtusos. ___________________
Suma de los ángulos internos de un triángulo
1° herramienta en la resolución de triángulo
¿Cuánto mide el ángulo señalado en cada caso? Clasifica los
triángulos.
1- De acuerdo con las medidas de sus ángulos.
2- De acuerdo con las medidas de sus lados (pensá si es necesario medirlos)
a)
b)
c)
d)
e)
Números irracionales: 𝕀
Radicales
Los números irracionales tienen infinitos dígitos decimales no periódicos, no provienen de
una división de enteros, por lo tanto no se pueden expresar como fracción.
Algunos son muy famosos como 𝜋 = 3,1415926… , 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑜 𝜑 =1+ 5
2, ℮ = 2,71…
Otros son las raíces no exactas de números enteros como 32 , 5 ,
47, los cuales se
denominan radicales.
Semejantes: Son aquellos que tienen la misma parte radical, es decir con igual índice y radicando.
Ej.: 2 𝑦 11 2 857 𝑦 − 2
57
Antes de pasar a las operaciones con radicales, es conveniente recordar la ubicación de este nuevo
conjunto numérico en el esquema que ya tenías en carpeta y algunas propiedades más.
𝑎𝑛𝑏Coeficiente → ← parte radical propiamente dicha
ARITMÉTICA - Secuencia 2 – Clase 1
…cosa de 𝕀
Conjuntos numéricos
Naturales: ℕ1, 2, 3, …+∞
Cero: 0
Naturalescon el cero: ℕ𝟎
Negativos:-1, -2, -3, …-∞
Enteros: ℤ
Enteros positivos: ℤ+
Enteros negativos: ℤ−
Fraccionarios:2,5 ;
9
15; 0,73
Racionales: ℚ
Irracionales: 𝕀𝜋 = 3,14… ; ℮ = 2,71… ; 5 ;
32
Reales: ℝ
Los números irracionales completan la recta numérica, por lo tanto, todos los conjuntos numéricos conocidos hasta aquí,
constituyen el conjunto de los números reales: ℝ
Propiedades de la radicación
Expresión coloquial Expresión simbólica Ejemplos
Toda raíz se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario
𝑐𝑏𝑎 = 𝑏
𝑎𝑐
352 = 5
23
(1) El producto de dos o más raíces de igual índice, es otra raíz con el mismo índice, cuyo radicando es el producto de los radicandos de las raíces factores.
𝑎 𝑝. 𝑎 𝑞. 𝑎 𝑟 = 𝑎 𝑝. 𝑞. 𝑟 32.
33.
336 =
32.3.36
(2) El cociente de dos raíces de igual índice, es otra raíz con el mismo índice, cuyo radicando es la cociente de los
radicandos de las raíces dividendo y divisor.
𝑎 𝑝 ∶ 𝑎 𝑞 = 𝑎 𝑝: 𝑞 564 :
52 =
564: 2
La raíz de otra raíz es una raíz con el mismo radicando y cuyo índice es el producto de los índices de las raíces
anteriores.
𝑎 𝑚𝑏 =
𝑎.𝑚𝑏
548 =
5.48
Si el índice de una raíz y el exponente del radicando son múltiplos de un mismo número, se pueden simplificar.
Si índice y exponente son iguales y número impar, el resultado es la base del radicando.
Si índice y exponente son iguales y número par, el resultado es el valor absoluto de la base del radicando.
𝑐𝑏𝑎 =
𝑐:𝑛𝑏𝑎:𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ≠ 0
643 =
6:343:3 = 4
343 = 4
5(−3)5= −3
454 = 5 (−𝟕)𝟐= 𝟕
Propiedad distributiva
Expresión coloquial Expresión simbólica Ejemplo
Toda raíz se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario
𝒄𝒃𝒂 = 𝒃
𝒂𝒄
𝟑𝟓𝟐 = 𝟓
𝟐𝟑
La propiedad distributiva relaciona dos operaciones
La potenciación es distributiva respecto de la multiplicación
𝒂 .𝒃 𝒏 = 𝒂𝒏. 𝒃𝒏 𝟐 . 𝟑 𝟒 = 𝟐𝟒. 𝟑𝟒
La potenciación es distributiva respecto de la división 𝒂: 𝒃 𝒏 = 𝒂𝒏: 𝒃𝒏 𝒂
𝒃
𝒏=
𝒂𝒏
𝒃𝒏𝟐: 𝟑 𝟒 = 𝟐𝟒: 𝟑𝟒 𝟐
𝟑
𝟒=
𝟐𝟒
𝟑𝟒
(5) La radicación es distributiva respecto de la multiplicación
𝒄𝒂 .𝒃 = 𝒄 𝒂 .
𝒄𝒃 𝟒 . 𝟗 = 𝟒 . 𝟗
(6) La radicación es distributiva respecto de la división
𝒄𝒂 ∶ 𝒃 = 𝒄 𝒂 :
𝒄𝒃
𝒄 𝒂
𝒃=
𝒄 𝒂𝒄𝒃
𝟑𝟔𝟒 ∶ 𝟖 =
𝟑𝟔𝟒 :
𝟑𝟖
𝟑𝟔
𝟒=
𝟑𝟔
𝟒
En general las propiedades de la potenciación se cumplen análogamente para la radicación,
ya que son operaciones muy relacionadas, de hecho:
Adición y Sustracción Multiplicación y DivisiónPotenciación
y Radicación
Se suman o restan
los coeficientes de radicales
semejantes y se conserva
la parte radical.
Ej.:
334 + 25
34 −
34 =
= 3 + 25 − 134 =
= 2734
De igual índice De diferente índice
Ver cuadro de
propiedad
distributiva(5) y (6)
Ver cuadro de
Propiedades
de la radicación
(1) y (2)
Se busca el mci(3) entre los índices de las raíces dadas y se
las convierte en raíces de igual índice(4), para proceder
como en el cuadro anterior se indica.
Ej.:
324 .
52 =
324 ∶
52 =
=3.𝟓
24.𝟓 .5.𝟑
21.𝟑 = =3.𝟓
24.𝟓 ∶5.𝟑
21.𝟑 =
=15
220 .15
23 = =15
220 ∶15
23 =
=15
223 =15
217
Operaciones con radicales
(3) mci: mínimo común índice, o sea el mínimo común múltiplo entre los índices. Ej.: mci(3,5)=15(4) Tener en cuenta que por el mismo número que se multiplica al índice, se debe multiplicar al exponente del radicando.
ACTIVIDAD
1. Hallá la mínima expresión aplicando las propiedades de la potenciación y la radicación:
a. (3. 32)2 ∶ 35 =
b. 1
4
5
3
: 1
4 .
1
4
2=
c. (5. 5−2)3 . 52 =
d. (𝑛2 .𝑚)4 . (𝑛.𝑚)−2 =
e. 11
93 5
. 11
9 −3
=
f. (𝑝−2 . 𝑞3)3 . (𝑝4 .𝑞−7) =
g. 23 . 2 . 24 =
h. 𝑥46 . 𝑥69
. 𝑥1015=
i. 𝑎12
𝑏15
9=
j. 𝑧2.𝑤53 . 𝑧7.𝑤
3=
2. Calculá aplicando las propiedades de la potenciación y la radicación:
a. 25
23 + 3−1 − 2. 2 + 1
2 −2
=
b. 3−2 . 1
33 . 36 + 625
81+
2
3 −1
=
c. 4
24 −1
3−1 +23 . 4
32−
37
33 =
d. 10 . 6
15−
1
2
4: 2−2 + 8 . 8
27
3=
3. Resolvé las siguientes operaciones con radicales:
a. −4 5 +3
2 5 −
1
2 5 =
b. 3 𝑛3 −
6
5 𝑛3 +
1
5 𝑛3 =
c. 26
. 46
. 86
=
d. 𝑚25 . 𝑚3 =
e. 93
274 =
f. 34315 ∶ 725=
TRIGONOMETRÍA – Secuencia 2 – Clase 2
El Teorema de Pitágoras
Uno de los teoremas más conocidos y útiles en Geometría plana es el teorema de Pitágoras, llamado
así por el matemático griego Pitágoras.
Si tenemos un triángulo rectángulo:
H= Hipotenusa
C1= Cateto 1
C2= Cateto 2
El teorema dice que el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo
rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos del
triángulo.
En los ejemplos 1 a 3, encuentre la manera de contar las pequeñas unidades cuadradas para
mostrar que el área de los cuadrados A y B es igual al área del cuadrado C sobre la hipotenusa.
Teorema de Pitágoras: En todo triángulo Rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos.
Conocida esta relación y aplicando ecuaciones, se puede calcular cada uno de los lados de un
triángulo rectángulo si se tiene como datos los otros dos.
H2=C12+C22
H=√𝐶12 + 𝐶22
Aplicación práctica del teorema de Pitágoras para calcular un lado
desconocido en un triángulo rectángulo
Se quiere sujetar un poste vertical de 5 metros de altura con un cable tirante desde su parte más alta
hasta el suelo. Si la distancia desde el punto de anclaje del cable en el suelo a la base del poste es
de 12 meros ¿cuánto debe medir el cable?
Como el poste vertical es perpendicular al suelo, forma un ángulo recto (90°) con él. Si consideramos
el propio poste, el cable y la distancia entre la base del poste y el punto de anclaje al suelo, tenemos
un triángulo rectángulo.
Llamando x a la longitud del cable, y aplicando el teorema de Pitágoras, se debe cumplir que:
X2 = 52m + 122m
X2 = 25m + 144m
X2 = √169𝑚= 13m
Es decir, el cable debe medir 13 metros.
Ejercitación:
1. A un terreno rectangular de 6 m por 8 m se lo quiere dividir diagonalmente con alambre.
¿Cuántos metros de alambre se necesitan?
2. Calcular el valor del lado faltante en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos.
a- C1= 6 cm
C2= 8 cm
H= x
b- C1= 3 cm
C2= x
H= 5 cm
c- C1= x
C2= 9 cm
H= 15 cm
3. Unir con una flecha cada triángulo con el valor del lado desconocido.
Escuela Técnica “Gral. Joaquín de Madariaga”
Madariaga Nº 1565 – Paso de los Libres- Ctes. [email protected]
03772-425074
Cuadernillo de actividades
Espacio curricular: MATEMÁTICA APLICADA
Ciclo lectivo:2020
Nivel: Orientado
Curso: 4º año - Todas las divisiones y carreras
Profesores:
Avancini, María Belén (4º año – EM - B y C)
Mariano, Silvia Miryam (4º año – EM - A)
Rojas, Javier Orlando (4º año – MMO y IMM)
Secuencia nº 2
Contenido:
Radicales. Extracción de factores de un radical. Operaciones con radicales.
Inicio:
¡Hola chicos! En esta clase trabajaremos con algunas herramientas de años anteriores, que nos permitirán llevar los radicales a su mínima expresión y, además, a poder resolver operaciones en principio imposibles. Será la clase de cierre del primer bloque del programa de este año.
Desarrollo
Clase nº 2: “Extracción de factores de un radical”
Escuela Técnica “Gral. Joaquín de Madariaga”
Madariaga Nº 1565 – Paso de los Libres- Ctes. [email protected]
03772-425074
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ACTIVIDAD
1. Extraé todos los factores posibles de los siguientes radicales:
a. √8 =
b. √0,27 =
c. √100003 =
d. √𝑥214=
e. √16. 𝑥3 =
f. √9. 𝑎2. 𝑏6. 𝑐 =
g. √−8. 𝑥6. 𝑦53=
h. √81.𝑚11.𝑛16
125
3=
i. √32.𝑥10
81.𝑦20
4=
j. √0,064.𝑎8.𝑏10
𝑐21
3=
2. Resolvé las siguientes operaciones, dejando el resultado lo más reducido posible:
a. √9𝑥 − √25𝑥 + √49𝑥 =
b. 3√18 − 11√2 + 2√50 =
c. √9. 𝑦84+ √27. 𝑦126
=
d. 3
2. √
16
27
3−
5
3 . √54
3+ 5 . √
2
125
3=
e. √81. 𝑎3 + √9. 𝑎3 − √25. 𝑎3 =
f.
√75 + √27 − √48 =
g. √𝑥5 + 𝑥. √𝑥3 + √√𝑥10 =
g. √𝑥5 + 𝑥. √𝑥3 + √√𝑥10 =
h. 5. √128. 𝑎3 + 3. √4. 𝑎26− 4. √16. 𝑎3 =
i. 4. √163 − 2. √813 + 5. √89 + √243
=
TRIGONOMETRÍA – Secuencia 2 – Clase 3
Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo
En un triángulo rectángulo se cumple:
Que los ángulos agudos son complementarios.
El teorema de Pitágoras
Razones trigonométricas
Se llama razones trigonométricas a aquellas que relacionan las longitudes de los lados de
un triángulo rectángulo con los ángulos agudos del mismo.
Para cada uno de los ángulos agudo de un triángulo rectángulo, uno de los catetos es al
adyacente y el otro el opuesto.
La relación general entre lados y ángulos se muestra en el diagrama siguiente.
El ángulo A está formado por la
hipotenusa y el cateto . Decimos
que el cateto es adyacente al
ángulo �̂�. Decimos que el
cateto es el lado opuesto al
ángulo �̂�. En otras palabras, el cateto adyacente es el lado que forma parte del ángulo; el cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo.
Ejemplo
Problema ¿Cuáles son las longitudes de los lados opuesto al
ángulo �̂� y adyacente al ángulo �̂�?
El lado opuesto al
ángulo 𝑋 es . Su longitud es 3. El lado adyacente al
ángulo 𝑋 es . Su longitud es 4.
Respuesta longitud del lado opuesto: 3
longitud del lado adyacente: 4
Ten en cuenta que las palabras “opuesto” y “adyacente” dependen de qué ángulo se está tratando. El lado opuesto al ángulo no necesariamente es la altura del triángulo. Considera el siguiente ejemplo:
Ejemplo
Problema ¿Cuál es el nombre del lado opuesto al ángulo de 40° y el nombre del lado adyacente al ángulo de 40°?
El ángulo 40° está formado por la hipotenusa y
, entonces es el lado
adyacente. Como no forma parte del ángulo de 40°, es el lado opuesto.
Respuesta lado opuesto:
lado adyacente:
Cada cateto en un triángulo rectángulo es adyacente a uno de los ángulos agudos y opuesto al otro ángulo agudo.
Ejemplo
Problema En , el lado ¿a qué ángulo es adyacente y a qué ángulo es opuesto?
El lado y la
hipotenusa forman 𝐴�̂�𝐵.
Entonces es adyacente a 𝐴�̂�𝐵.
Como no es parte del ángulo
agudo 𝐴�̂�𝐷, es el lado opuesto
𝐴�̂�𝐷 .
Respuesta adyacente a 𝐴�̂�𝐵
opuesto a 𝐴�̂�𝐷
Las razones o funciones trigonométricas se definen de la siguiente manera:
Supongamos que te piden a ti y a otro estudiante dibujar un triángulo cuyos ángulos midan 35°, 55°, y 90°. Probablemente, tú y tu amigo dibujarán triángulos de distintos tamaños. Pero, como los triángulos tienen medidas iguales en sus ángulos, van a ser similares.
Recuerda que esto significa que los lados correspondientes de los triángulos tendrán longitudes proporcionales.
Ejemplo: un triángulo podría tener lados el doble de largos que el otro triángulo, como se ve abajo.
Ahora supongamos que a cada uno de ustedes se le ha pedido encontrar la razón o funciones del lado opuesto al ángulo de 35° y la hipotenusa. Si bien estamos usando triángulos distintos y tendremos números distintos en el numerador y el denominador, nos dará el mismo resultado. Tú y tu amigo obtendrán:
𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 35° 𝑒𝑛 𝑇
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑇 =
𝑎
𝑐 y
𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 35°𝑒𝑛 𝑈
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑈 =
2𝑎
2𝑐=
𝑎
𝑐
Las dos razones son las mismas porque los 2s se cancelan.
Seno de un ángulo.
Es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Sen 35° = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝑯𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 entonces 𝑎
𝑐 en el triángulo chico y
2𝑎
2𝑐 en el triángulo
grande
Coseno de un ángulo.
Es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Cos 35° = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
𝑯𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 entonces 𝑏
𝑐 en el triángulo chico y
2𝑏
2𝑐 en el
triángulo grande
Tangente de un ángulo.
Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
tg x = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 entonces
𝑎
𝑏 en el triángulo chico y
2𝑎
2𝑏 en el triángulo
grande
Y AHORA…
Actividades:
1-
Determinar las tres razones trigonométricas para el ángulo �̂� en el siguiente
triángulo rectángulo.
longitud del lado opuesto a �̂� = 4
longitud del lado adyacente a �̂� = 3
longitud de la hipotenusa = 5
2- Escriban las razones trigonométricas correspondientes al siguiente triángulo rectángulo.
Ejemplo: Sen α = 𝑎𝑏̅̅̅̅
𝑐𝑏̅̅̅̅
a) Cos �̂� =
b) Tg �̂� =
c) Sen �̂� =
d) Cos �̂� =
e) Tg �̂� =
3- Halla el valor del lado desconocido en cada una de las siguientes figuras
.
a) b)
c)
4- Halla la razón trigonométrica.
Ejemplo: Sen 휀̂ = 6
10
a) Cos 휀̂=
b) Sen 𝛿=
c) Tg 𝛿=