aritmética 0.5cmclasses residuais
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Aviso
Este material e apenas um resumo de parte do conteudo dadisciplina.
O material completo a ser estudado encontra-se no Capıtulo 11 -Secao 1.3 do livro texto da disciplina:
• Aritmetica, A. Hefez, Colecao PROFMAT.
Colaborou na elaboracao desse resumo a professora Liane MendesFeitosa Soares.
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Aritmetica
Classes Residuais
Carlos Humberto Soares Junior
PROFMAT - SBM
Objetivo:
Construir novas estruturas algebricas a partir da congruenciamodulo um numero natural m > 1.
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Classes Residuais
Dado um inteiro positivo m > 1, particionamos o conjunto Z emsubconjuntos, cada um formado pelos numeros inteiros que deixamo mesmo resto quando divididos por m.
Desta forma, obtemos os subconjuntos
[0] = {x ∈ Z / x ≡ 0 mod m},[1] = {x ∈ Z / x ≡ 1 mod m},
...
[m − 1] = {x ∈ Z / x ≡ m − 1 mod m}.
Observe que paramos em [m − 1] pois teremos repeticoes, isto e,[m] = [0], [m + 1] = [1], . . . .
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Classes Residuais
Definicao
Definimos a classe residual modulo m do elemento a ∈ Z,denotada por [a], como sendo o subconjunto
[a] = {x ∈ Z / x ≡ a mod m}.
O conjunto de todas as classes residuais modulo m sera denotadopor Zm, isto e,
Zm = {[0], [1], · · · , [m − 1]}.
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Exemplos
Exemplo 1: Para m = 2, temos:
[0] = {x ∈ Z / x ≡ 0 mod 2} = {x ∈ Z / x e par}, e
[1] = {x ∈ Z / x ≡ 1 mod 2} = {x ∈ Z / x e ımpar}.
Alem disso,
[a] = [0] ⇔ a e par, e
[a] = [1] ⇔ a e ımpar.
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Exemplos
Exemplo 2: Para m = 3, temos:
[0] = {3q / q ∈ Z},[1] = {3q + 1 / q ∈ Z},[2] = {3q + 2 / q ∈ Z}.
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Representante de uma classe residual
Definicao
Dado [a] ∈ Zm, um inteiro x tal que [x ] = [a] sera chamado umrepresentante de [a].
Observacao
Existe uma infinidade de representantes da classe [a] ∈ Zm.
Basta tomar qualquer inteiro da forma b = mq + a, q ∈ Z.
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Classe residual
Proposicao
1 Para cada a ∈ Z tem-se que [a] = [r ], para algumr ∈ {0, 1, · · · ,m − 1};
2 As classes [0], [1], · · · , [m − 1] sao duas a duas distintas.
Demonstracao:
• a ∈ Z⇒ a = mq + r , 0 ≤ r < m⇒ a ≡ r mod m⇒ [a] = [r ].
• O ıtem 2 segue da unicidade do resto. �
Obs.: Classe residuais transformam a congruencia a ≡ b mod mna igualdade [a] = [b].
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Operacoes em Zm
Definicao
Em Zm definimos adicao e multiplicacao por:
[a] + [b] := [a + b];
[a] · [b] := [a · b].
Obs.: Segue-se dos ıtens (i) e (ii) da proposicao 9.3 que asoperacoes definidas acima independem da escolha dosrepresentantes.
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Propriedades das operacoes em Zm
Observemos que as operacoes em Zm foram definidas a partir dasoperacoes de seus representantes. Desta forma, as operacoes emZm gozam das seguintes prorpiedades:
Propriedades
Propriedades da Adicao:
Dados [a], [b] e [c] ∈ Zm, temos
[A1] Associatividade: ([a] + [b]) + [c] = [a] + ([b] + [c]);
[A2] Comutatividade: [a] + [b] = [b] + [a];
[A3] Existencia de zero: [0] + [a] = [a], ∀ [a] ∈ Zm;
[A4] Existencia de simetrico: [a] + [−a] = [0].
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Propriedades das operacoes em Zm
Propriedades
Propriedades da Multiplicacao:
Dados [a], [b] e [c] ∈ Zm, temos
[M1] Associatividade: ([a].[b]).[c] = [a].([b].[c]);
[M2] Comutatividade: [a].[b] = [b].[a];
[M3] Existencia de unidade: [1].[a] = [a], ∀ [a] ∈ Zm;
[M4] Distributividade: [a].([b] + [c]) = [a].[b] + [a].[c].
Zm com as operacoes acima e um anel, chamado anel das classesresiduais modulo m, ou anel dos inteiros modulo m.
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Tabuadas
Definicao
Um elemento [a] ∈ Zm e dito invertıvel quando existir [b] ∈ Zm
tal que [a].[b] = [1]. Neste caso diremos que [b] e o inverso de [a].
Tabelas de adicao e multiplicacao em Z2 = {[0], [1]}.
+ [0] [1]
[0] [0] [1][1] [1] [0]
· [0] [1]
[0] [0] [0][1] [0] [1]
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Tabuadas
Tabelas de adicao e multiplicacao em Z3 = {[0], [1], [2]}.
+ [0] [1] [2]
[0] [0] [1] [2][1] [1] [2] [0][2] [2] [0] [1]
· [0] [1] [2]
[0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2][2] [0] [2] [1]
Observacao: Observe que todo elemento nao nulo de Z2 e de Z3
e invertıvel.
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Tabuadas
Tabelas de adicao e multiplicacao em Z4 = {[0], [1], [2], [3]}.
+ [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [1] [2] [3][1] [1] [2] [3] [0][2] [2] [3] [0] [1][3] [3] [0] [1] [2]
· [0] [1] [2] [3]
[0] [0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2] [3][2] [0] [2] [0] [2][3] [0] [3] [2] [1]
Observacao: Observe que o elemento nao nulo [2] ∈ Z4 nao einvertıvel. Alem disso, [2].[2] = [0].
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Divisor de zero
Definicao
Um elemento nao-nulo [a] ∈ Zm e chamado um divisor de zero seexistir um elemento nao nulo [b] ∈ Zm tal que [a].[b] = [0].
Observacao (1): Z2 e Z3 nao possuem divisores de zero;
Observacao (2): O elemento [2] ∈ Z2 e um divisor de zero, pois[2].[2] = [0];
Observacao (3): Um divisor de zero nunca e invertıvel. De fato,se [a] fosse um divisor de zero invertıvel, existiriam [b], [c] ∈ Zm
tais que [a].[b] = [0] e [a].[c] = [1];Neste caso,
[0] = [c].[0] = [c].([a].[b]) = ([c].[a]).[b] = [1].[b] = [b],
o que e um absurdo.PROFMAT - SBM Aritmetica , Classes Residuais slide 16/24
Tabuadas
Tabelas de adicao e multiplicacao em Z5 = {[0], [1], [2], [3], [4]}.+ [0] [1] [2] [3] [4][0] [0] [1] [2] [3] [4][1] [1] [2] [3] [4] [0][2] [2] [3] [4] [0] [1][3] [3] [4] [0] [1] [2][4] [4] [0] [1] [2] [3]
· [0] [1] [2] [3] [4][0] [0] [0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2] [3] [4][2] [0] [2] [4] [1] [3][3] [0] [3] [1] [4] [2][4] [0] [4] [3] [2] [1]
Observacao: Observe que todo elemento nao-nulo em Z2,Z3 e Z5
sao invertıveis.
Entretanto isso nao ocorre em todos os Zm, pois em Z4 vimos que[2] e um divisor de zero.
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Exercıcios
Exercıcio
Mostre que resolver em Zm a equacao
[a]Z = [b]
e equivalente a resolver a congruencia
aX ≡ b mod m.
Solucao: De fato
[x ] e solucao da equacao ⇔ [a].[x ] = [b]⇔ [a.x ] = [b]⇔
⇔ a.x ≡ b mod m⇔ x e solucao da congruencia. �
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Exercıcios
Exercıcio
Resolva a congruencia
3X ≡ 7 mod 5. (1)
Solucao: Pelo exercıcio anterior, essa congruencia e equivalente aresolver, em Z5, a equacao
[3]Z = [7].
Como, em Z5,[7] = [2],
basta resolvermos a equacao,
[3]Z = [2], em Z5.PROFMAT - SBM Aritmetica , Classes Residuais slide 19/24
Exercıcios
Consultando a tabuada de Z5, observamos que [3] e invertıvel emZ5 e
[2].[3] = [1].
Portanto,[2].[3].Z = [2].[2] = [4]⇒ Z = [4].
Desta forma, concluımos que as solucoes da equacao (1) sao dotipo x = 4 + 5t, com t ∈ Z. �
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Invertıveis em Zm
O exercıcio anterior ressalta a importancia de determinarmos se umelemento e invertıvel em Zm. Esses elementos sao caracterizadosna proposicao seguinte.
Proposicao
Os elementos invertıveis em Zm sao aqueles cujos representantessao primos com m.
Demonstracao: De fato:
(a,m) = 1⇔ ∃x , y ∈ Z tais que ax + my = 1⇔
⇔ ax ≡ 1 mod m⇔ [a].[x ] = [ax ] = [1]⇔ [a] e invertıvel.
�PROFMAT - SBM Aritmetica , Classes Residuais slide 21/24
Corpo
Corolario
Se p ∈ Z e um numero positivo primo, entao todos os elementosnao nulos em Zp sao invertıveis.
As estruturas algebricas, munidas de adicao e multiplicacao,satisfazendo as propriedades [A1], [A2], [A3], [A4], [M1], [M2],[M3], [M4] e o corolario anterior, sao chamadas de corpos.
Z2,Z3 e Z5 sao exemplos de corpos.
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Exercıcio
Exercıcio
Determine as raızes do polinomio p(X ) = X 2 + X , em Z6.
Demonstracao: Calculando diretamente, temos:
p([0]) = [0]2 + [0] =[0];
p([1]) = [1]2 + [1] = [2];
p([2]) = [2]2 + [2] = [4] + [2] = [6] = [0];
p([3]) = [3]2 + [3] = [3][3] + [3] = [12] = [0];
p([4]) = [4]2 + [4] = [4][4] + [4] = [16] + [4] = [20] = [2];
p([5]) = [5]2 + [5] = [5][5] + [5] = [25] + [5] = [30] = [0].
Portanto, [0], [1], [3], [5] sao raızes de p(X ) = X 2 + X .
Observe que o numero de raızes excedeu o grau do polinomio. Isso
ocorreu porque Z6 nao e um corpo.PROFMAT - SBM Aritmetica , Classes Residuais slide 23/24
Ate a proxima ...
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