aristóteles, sobre las líneas indivisibles. mecánica. euclides, Óptica. catóptrica. fenómenos

5/24/2018 Aristteles, Sobre Las Lneas Indivisibles. Mecnica. Euclides, ptica. Catptrica. Fenmenos

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BIBLIOTECA CLSICA GREDOS 277SO RE LAS L ~ N E A SNDIVISI LES

MECNICAEUCLIDES

PTICA CA T~ PT RI CA FENMENOSINTRODUCCIONES T R A D U C C I ~ N NOTAS DE

PALOMA ORTIZ GARCA

EDITORI L GREDOS


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Asesor para la seccin griega: CARLOS AIIC~AUALSegn las normas de la B. C . G., la traduccin de este volumen ha sidorevisada por JAIME UKD ERA .

EDITORIAL GREDOS, S. A.Snchez Pacheco, 85, Madrid, 2000.www.editorialgredos.com

Depsito Legal: M. 24780-2000.ISBN 84-249-2265-4.Impreso en Espaa. Printed in Spain.Grficas Cndor, S. A.Esteban Serradas, 12. Polgono Industrial. Legans Madrid), 2000.

El presente volumen ofrece cinco trabajos poco divul-gados atribuidos a dos de las mentes ms preclaras del mun-do antiguo, Aristteles y Euclides. Cinco tratados que, enapariencia, se ocupan de materias muy diversas. Efectiva-mente, el debate Sob re las lneas indivisibles y su existenc iao inexistencia nos puede parecer una cuestin propia de lafilosofa; la astronoma, materia de los Fenmenos, es desdehace siglos una ciencia independiente; la mecnica y la p-tica sobre las que v ersan los otros tres tratados son, tam bindesde hace mucho tiempo, ramas separadas dentro de la f-sica.La primera razn para publicar juntas estas obras es decarcter literario: como caracterstica literaria comn pre-sentan la de ser obra s menores de au tores de primera fila, almenos en la atribucin de los antiguos; veremos despus losproblemas de autora que conciernen a cada tratado.La segunda razn, de ms peso, es de carcter histrico-filolgico, y nos la ofrece un texto de Hern Definitiones,pg. 165 , que es quien aporta el criterio para plantear lacuestin en sus justos trminos: al considerar cuntas sonlas partes de la m atemtica, distingue entre una matemticams hono rable y primera )), formada por la aritm tica y la


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8 ARIST~TELES.U LIDESgeometra, y otra que se ocupa de lo sensible y que constade seis partes: la logstica, la geodesia, la cannica, la pti-ca, la mecnica y la astronoma. Esta clasificacin de lasciencias procede, seguram ente, del perodo helenstico, perosus antecedentes parciales son m s antiguos, y podemos en-contrarlos en un pasaje de la Repblica platnica que co-mentaremos ms adelante y en la Fsica aristotlica, en don -de la ptica, la armona y la astronoma son consideradaslas ramas de la matemtica ms prximas a la ciencia na-tural .Desde este planteamiento, cuatro de los tratados queofrecemos en este volumen tienen en comn, segn el puntode vista de los griegos de la A ntigedad, el hecho de perte-necer a la matemtica que se ocupa de lo sensible : son laMecnica aristotlica y los tratados euclidianos de pticaCatptrica y Fenmenos. Todos ellos comparten, adems,la caracterstica de ser los ms antiguos que se nos conser-van sobre las materias a que se refieren.El tratado Sobre las lneas indivisibles tiene que ver,ms bien, con la matemtica ms honorable y primera . Alleer en los Elementos las Definiciones 2 y del Libro 1 queafirman que un a lnea es longitud sin anchura y los ex-tremos de una lnea son puntos , lo inmediato es pregun tar-se: ntonces la lnea, de qu est hecha? . Es difcilresponder a esa pregunta sin que la respuesta nos lleve a lacontradiccin y seguramente por eso la dej Euclides sinresponder. Pero tal planteamiento no puede proceder de unaintuicin genial; ser consciente de ese hecho requiere refle-xin y contraste de argumentos. Y eso es precisamente loque nos ofrece el tratado Sobre las lneas indivisibles: eltestimonio de los debates previos indispensables para le-vantar sobre fundam entos slidos el formidable monumentolgico que son los Elementos.

En estos tratados se encuentran, por tanto, los resultadosde los esfuerzos de los primeros pensadores por someternuestro conocimiento sobre el mundo a un tratamiento for-mal que nos permita explicar la realidad, predecirla y domi-narla mediante la razn. En algunos de ellos, incluso, co-mo en la ptica y la Catptrica de Euclides, encontramosenunciados algunos de los principios bsicos de esas mate-rias, tan vigentes hoy com o hace ms de dos mil aos y enlos Fenmenos veremos cm o las hiptesis de los pitagri-cos y el desarrollo de la Esfrica se unen para descubriraplicaciones sumamen te valiosas en el estudio de lo concer-niente a los astros; tan valiosas, que sus planteamientos se-guiran vigentes, en lo fundamental, hasta Coprnico y Ga-lileo.El hecho de que estas obras se consideren secundariasdentro del conjunto de los trabajos de sus autores les hacetener otros rasgos comunes, como son el menguad o nmerode traducciones a las lenguas modernas y la escasez de es-tudios literarios o filolgicos que se les han dedicado. LaMecnica y el tratado Sobre las lneas indivisibles an nocuentan con traduccin francesa; en ingls no hay traduc-cin de la Catptrica la ptica ha sido publicada una solavez - e n una versin sin notas aparecida en una revista es-pecializada- y los Fenmenos han sido vertidos por prime-ra vez a esta lengua en 1996 En espaol, slo la ptica y laCatptrica fueron impresas, con las limitaciones de que da-remos cuenta e n el lugar correspondiente, en el siglo XVI; laMecnica fue traducida en la misma po ca, pero la versinno lleg a pasar a la imprenta.En cuanto a los estudios de que han sido objeto, bastedecir que hemos de remontamos casi un siglo para encontrarlos nombres de dos especialistas familiarizados a fondo conestas materias: Heath, el gran historiador de la matemtica


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griega traductor y comentador de los lementos y estudiosode la obra aristotlica y Heiberg el fillogo dans editor detextos matemticos y cientficos; la mayor parte de los auto-res posteriores no han ido ms all del comentario puntualde algn pasaje o el estudio concreto de una de las obras; enel mejor de los casos de una de las materias.Precisamente por el escaso nmero de ediciones traduc-ciones y estudios que se les han dedicado cuestiones de granimpo rtancia siguen pendie ntes de s er dilucidadas. En los 1-timos tiempos han aparecido varios trabajos relativos a lasilustraciones que deban aco mpa ar a los textos antiguos: engeneral para sealar la poca atencin que se les ha prestado.Las obras que presentamos no son excepcin: no existe nin-

gn trabajo de conjunto sobre las ilustraciones para las obrasde Euclides ni tampoco relativo a las ilustraciones de unade las obras concretas ni se han publicado trabajos basadosen las ilustraciones que den cuenta de las relaciones entremanuscritos El caso de los dos tratados aristotlicos vams all: la Mecnica hace referencia a las figuras; el trata-do Sobre las lneas indivisibles menciona cuestiones mate-mticas que los manuscritos antiguos abordan siempre conla ayuda de ilustraciones; pero los manuscritos conservadoscarecen de figuras.Abordar en profundidad y con seriedad esas cuestionesqueda fuera de los objetivos perseguidos en esta coleccinpero debemos reclamar la atencin del lector sobre esepunto y sealarlo entre las tareas pendientes de los fillo-g o ~ . o habiendo nosotros llevado a cabo colacin de ma-nuscritos en las obras de Euclides nos hemos limitado a re-producir las figuras que aparecen en la edicin de Heibergla que hemos tomado com o base para nuestra traduccin yen los tratados de Aristteles hemos incluido figuras queson obra nuestra -y que no difieren mucho de las ofrecidas

por otros traductores puesto que las indicaciones del textoson en general inequvocas-; van junto al cuerpo de losescritos cuando en ellos se hace referencia a la ilustracin;de otro modo las figuras aparecen en las notas.Y una ltima cuestin: aun reconociendo que resultams que tpico al hablar de los griegos de la poca clsicarec ono cq en ellos a los padres del pensamiento el arte y laciencia occidentales tambin hemos de aceptar que si encuestin de pensamiento y arte cualquier ciudadano conoceal menos someramente las obras ms destacadas y los nom-bres de sus autores cuando nos aproximamos al terreno delo cientfico el asunto ya vara. Los nombres de EuclidesArqumedes o Ptolomeo s son conocidos para la mayorparte de las personas cultas pero es probable que ni siquieralos estudiosos de lo antiguo puedan enumerar los ttulos delas obras de cada uno de ellos. Y los cientficos por su par-te suelen prestar ms atencin a las investigaciones para elfuturo que a los logros del pasado. Por ello hemos conside-rado conveniente en la presentacin de cada uno de estosopsculos ofrecer una breve aproximacin general al desa-rrollo de las materias que en ellos se tratan de manera queel lector pueda ms fcilmente apreciar el valor de cada es-crito per se y en el marco histrico de la ciencia que desa-rrollan. La importancia absoluta de los descubrimientos delos antiguos ha ido quedando menguada con los avancesposteriores pero su importancia relativa sigue siendo in-mensa y se hace perceptible cuando se la contempla a la luzde su tiempo y sus antecedentes inmediatos.No puedo dejar de expresar aqu mi agradecimiento alos profesores Mariano Martnez y Antonio Arribas quehan tenido la gentileza de leer algunas de las traduccionesque siguen ayudarme a subsanar algunos errores.


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1. EDICIONES

1. Del tratado Sobre as lneas indivisibles))O. APELT,Aristotelis Opuscula, Leipzig, 1888.1 BEKKER, ristotelis opera edidit Academia Regia Borussica,cinco vols., Berln, 183 1-1870.W. S. HETT,0 n indivisible lines, en Aristotle. Minor Works, LoebClassical Library, Londres-Cambridge Massachussetts), 1963.M. TIMPANARO-CARDINI,seudo-Aristotele. De lineis insecabili-

bus, con introduccin, traduccin y comentario a cargo de .

O. APELT,Aristotelis Opuscula, Leipzig, 1888.1 BEKKER, ristotelis opera edidit Academia Regia Borussica,cinco vols., Berln, 1831-1870.M. E. BOTTECHIA, echanica, tradicin manuscrita, texto crtico,escolios editados por - Studia Aristotelica X, Padua, 1982,172 pgs., 18 lminas.W. S. HETT,Mechanical Problems, en Aristotle. Minor Works,

Loeb Classical Library, Londres-Cambridge Massachussetts),1963.


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1. L. HEIBERG, uclidis Optica, Opticorum Recensio Theonis, Ca-toptrica, c um Scholiis Antiquis en Euclidis Opera omnia, vol.VII, Leipzig, Teubner, 1895.

4. De los FenmenosH. MENGE,Phaenomena et Scripta musica, en Euclidis Operaomnia, vol. VIII, Leipzig, Teubner, 1916.

11 TRADUCCIONES

1. Del tratado ((Sobre as lneas indivisibles))W. S HETT,0 n ndivisible lines, en Aristotle. Minor Works, LoebClassical Library, Londres-Cambridge. Massachussetts), 1963.H. H. JOACHIM, oncerning indivisible lines, en The works ofAristotle translated into English (W. D. Ross ed.), Oxford,1913.2. De la ((Mecnica))E. S. FORSTER, echanica, en The works of Aristotle translated

into English (W. D. Ros s ed.), Oxford, 1913.W. S HETT,Mechanical problems, en Aristotle. Minor Works,Londres-Cambndge (Massachussetts), 1963.HURTADO E MENDOCA, iego, Mechanica de Aristotiles (tra-duccin al espaol hecha en Trento en 1545 por el represen-tante de Carlos Quinto en el Concilio); ed. por Foulch-Del-bosc, Revue Hispanique (1898), 365-405.

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4. De los ((Fenmenos))J. L. BERGGREN, R. S D. THOMAS, uclid s Phaenom ena: ATranslation and Study of a Hellenistic Treatise in Spherical

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111 SOBR E LA CIENCIA Y LA MATEMATICA EN LAANTIGUEDAD

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celona, Tusquets, 19916= La perspective co mme forme sym-bolique, Pars, 1975). La traduccin francesa cuenta con uninteresantsimo prefacio a cargo de M. DALAI MILIANIobreLa question de la perspective).A. M. SM ITH, The psichology of visual perception in Ptolemy sOptics)), sis 79 1988), 189-207.G. SIMON,e regard, l'etre et l'apparence dans I'optique de I n-tiquit, Pars, 1988.W. R. THEISEN,(Liber de visu: the greco-latin translation of Eu-clid s Optics)),Mediaeval Studies 41 1979), 44-61 (va acom-paado de la versin latina medieval de la Optica, que ocupalas pginas 62- 105).

- ((Euclid s Optics in the mediaeval curriculum, Archives Zn-ternationales dlHistoire des Sciences 32 1 982), 159-176.(Euclid, relativity and sailing)),Historia Mathematica 11 (1984),81-85.R. TOBIN, (Ancient perspective and Euclid s Optics)),Journal ofthe Wartburg and C ourtauld Znstitutes 53 1 99O), 14-4 1.

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al Renacimiento, Madrid, 1994.

A R I S T ~ T E L E SSOBR E LAS LNEAS INDIVISIBLES


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La tradicin atribuye a Aristteles los escritos de temamatemtico que ofrecemos ahora que llevan por ttulo So-bre las lneas indivisibles y Mecnica que han sido publi-cados en los ltimos tiempos como parte de lo que se hadado en llamar las Obras menores . Considerados general-mente espurios presentan ciertos rasgos comunes como labrevedad y el ocuparse de m aterias muy precisas. Coinci-den adems en que todos ellos tratan temas que el propioAristteles no haba abordad o especficamente en sus obrascon lo cual vienen a colmar lagunas que habran redundadoen perjuicio de los trabajos de la escuela y contribuy en ensentido general a redondear el carcter enciclopdico delCorpus.El tratado que slo en los ltimos cien aos ha sid o ob-jeto d e la atencin que merece despertar sin duda el inters

Bajo ese ttulo se publican en la edicin inglesa de las obras deristteles dirigida por W. D. Ross Opuscula) y la coleccin Loeb Mi-nor Works .


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de los fillogos y los historiadores de la filosofa y las ma-temticas.Los manuscritos lo atribuyen unnimemente a Arist-teles. Los autores antiguos sin embargo no lo mencionanentre las obras del Estagirita sino que Digenes LaercioSimplicio y Filpono lo citan entre las obras de Teofrasto.El acuerdo de estas fuentes no ha convencido sin embargoa los especialistas: Zeller opina que el tratado parece habersido escrito en poca de Teofrasto aunque no puede ser obrasuya; Heath participa de esa opinin pero considera tam-bin la posibilidad de que el propio Estagirita hubiera en-cargado a un discpulo la redaccin. Los especialistas enAristteles en general se refieren a l como pseudo-aris-totlico y rechazan tanto la autora de Teofrasto como la deEudemo2 a quien tambin se haba atribuido.Al plantear la cuestin de la autosa hemos de tomar enconsideracin las siguientes evidencias textuales: en primerlugar Aristteles rechaza en varios pasajes de sus obras laexistencia de lneas indivisibles; en segundo lugar en eltratado aparecen mltiples expresiones que revelan que elautor conoca la obra de Aristteles ; por ltimo las fuentestardas afirman unnimemente que la teora de las lneas in-divisibles era obra de Jencrates. De todo ello cabe deducirque en tiempo de Aristteles y sus sucesores inmediatos lacuestin deba de ser de completa actualidad. Estos hechospueden ser tomados como argumentos -aunque secunda-rios y no concluyentes- a favor de la teora de Heath segn

En ese sent ido se manifiesta Hr ~s cr r n Der pseudo-AristotelischeTraktat De lineis insecabilibus~ tesis doctoral indita, Heidelberg,1953 .No he podido consultarlo; lo cito segn las referencias de Timpa-naro-Cardini.Hr~


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de Antifonte de cuadrar el crculo mediante sucesivas apro-ximaciones de polgonos inscritos y circunscritos o las in-vestigaciones geomtricas de Demcrito en relacin con elcontinuo4. La polmica sobre la existencia de lneas indivi-si ble~ ebi de surgir en el marco de estos debates.Contamos con tres grupos de fuentes que nos permitenreconstruir los argumentos empleados. El primer grupo, elms antiguo y muy prximo en el tiempo al origen de lacuestin, est formado por las referencias que nos han que-dado en las obras de Aristteles; en segundo lugar tendramosa los comentaristas de la Antigedad tarda, como Alejandrode Afiodisias, Proclo, Simplicio, Temistio o Filponos; entercer lugar, el documento que nos ofrece la informacinms completa, aunque desde luego podra estar dndonos

una visin parcial, es el propio tratado Sobre las lneas indi-visibles.Aristteles pone en boca de Platn el trmino lneasindivisibles)) e indica que ste trat el tema muchas veces,lo que retrotrae el origen del debate al primer tercio del si-glo IV a. C. dos generaciones antes de la fecha ms proba-ble de nuestro escrito -fines del siglo IV o principios dela. C.-; testimonia tambin que Platn consideraba el puntouna mera nocin geomtrica)), lo llamaba principio deuna lnea)) y utilizaba como sinnimo de punto la expre-sin lneas indivisibles)) Metafisica 1 9,992 a 20).Frente al testimonio aristotlico, los comentaristas tar-dos concuerdan en sealar como autor de la teora de las 1-Uno de los problemas que plante fue el siguiente: si se corta uncono mediante un plano paralelo a la base cmo sern las dos secciones

iguales o desiguales? Si son desiguales la superficie exterior del cono nosera recta; si son iguales ser un cilindro.Los testimonios han sido recogidos por R. HPINZB enokvates ..pgs. 175-178.

neas indivisibles a Jencrates, contemporneo de Aristtelesalgo mayor que l y sucesor de Espeusipo al frente de laAcademia. Insisten en afirmar que la intencin de Jencra-tes era la de refutar las teoras eleticas que aceptaban la in-finita divisibilidad del continuo, y en indicar que al rechazarla divisibilidad infinita mediante la suposicin de las lneasindivisibles, Jencrates incurra en una contradiccin anmayor, la de hacer que una sola cosa fuera al mismo tiempomagnitud y no magnitud.

La obra consta de tres partes de extensin desigual y de-creciente. En la primera, la ms extensa, se intenta refutar lateora de la existencia de las lneas indivisibles; en la segun-da, notablemente ms breve, se intenta probar que la lneano est compuesta de puntos; en la tercera, slo unas pocasfiases, se intenta tirar por tierra dos definiciones de punto,la que dice que el punto es lo ms pequeo que hay en larecta)) y la que lo presenta como una articulacin sin par-tes)).Todos estos temas estn ya anunciados en la Fsicaaristotlica: el primero en 206a16-18: y ya se ha dicho quela magnitud no es actualmente infinita, aunque es infinita-mente divisible -no es difcil refutar la hiptesis de las 1-neas indivisiblesn y en 220a30: toda lnea es siempre divi-sible)); el segundo y el tercero en 215b12-22: no hayninguna proporcin segn la cual el vaco sea superado porun cuerpo, como no hay ninguna proporcin entre la nada yel nmero por esto tampoco la lnea supera al punto, a

menos que la lnea est compuesta de puntos)).


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El contenido preciso del escrito puede ser resumido dela manera siguiente:Primera parte 968a1-97 1a5): Existen las lneas indivisibles?

968a5-968b22: Exposicin d e los cinco argumentos de quie-nes defienden l a existencia de las lneas indivisibles.

968b22-969b26: Refutacin de los argumentos anteriores.969b26-971a2: Exposicin de las dos series de argumentosmatemticos que contradicen la existencia de las lneas in-div isibl e~. a primera serie 969b26-970a18) contiene seisargumentos y la segunda 970a18-971 a2) aade otros onceargumentos ms.97 1a2-97 1a5: Conclusin: es evidente que no existe una lnea

indivisible.Segunda parte 97 1a6-972a3 1): La lnea no se compon e de puntos.

971a6-972a12 C ontiene diez argumentos; unos son matemti-cos, otros lgicos y otros de carcter analgico con hechosfsicos.972a12-97 2a3 1: Conclusiones.Tercera parte 972a32-972b 33): El punto no es lo ms pequeo

que hay e n la recta ni tampoco una articulacin indivisible.972a32-972b24: Cinco argumentos tendentes a probar que elpunto no es lo ms pequeo que hay en la recta.972b24-972b33: Cinco argumentos en contra de la definicindel punto como articulacin indivisible)).

Para He ath6 el autor se dedica a desmenuzar la lgicams que a contribuir seriamente a la filosofa de las mate-mticas)) y el inters de la obra para la historia de las m a-temticas es nfimo)). Por el con trario, Hett afirma que sinel punto de vista moderno sobre el infinito, hay mucha bri-llantez matem tica, y el autor parece probar su tesis en s usA Hi stoy of Greek Mathematics vol. 1 pg. 347

propios trminos)). Esta opinin no gan, sin em bargo, mu-chos partidarios, hasta que el comentario de Timpanaro-Cardini plante la cuestin en trminos ms acordes con elvalor de la obra.Esta autora lamenta que no nos haya llegado otro ops-culo semejante en el que se defendiera la tesis contraria yobserva que el ttulo figura entre las obras atribudas a Teo-frasto, deduciendo de ello que no es improbable que toma-se esta cuestin como argumento de lecciones y discusionesescolsticas, lo que de mostrara que esta cuestin se contabaentre las ms debatidas en el ambiente cultural de la p oca yestaba relacionada con los mismsimos principios de lasdoctrinas fsico-matemticas)).La cuestin debatida afecta a las bases tericas de lageometra. Por ello merece especial consideracin, si toma-mos en cuenta que la naturaleza y la d efinicin de puntos ylneas son cuestiones fundamentales en el s istema geomtri-co euclidiano. En efecto, las dos primeras definiciones dellibro 1 de Euclides son precisamente las de punto y 1-nea)), temas centrales de este tratado. Dado que todos losautores consultados parecen datar el tratado en fecha previaa la aparicin de los Elementos de E uclides 7 no parece des-atinado considerar que este tratado es testimonio de los ml-tiples debates que debieron preceder a d icha obra.Ciertos rasgos de estilo y pensamiento parecen confir-mar la idea sealada por Heath de q ue nos enfrentam os a untexto de car cter escolar, sin introduccin ni rec apitulacin;los argumentos han sido recogidos y presentados ordena-

De ser as debemos incluir este escrito entre los pocos textos de ca-rcter matemtico anteriores a Euclides que se nos han conservado y te-ner presente que sera la nica obra completa de esa caracterstica juntocon los tratados de AUTLICO E PITANE obre la esfera en movimiento ySobre los ortos y los ocasos.


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damente, pero se introducen de modo abrqto, sin previaintroduccin, y se enumeran de modo mecnico con la ayu-da de la frmula ti e kai y adems))); la exposicin pre-tende ser clara y completa y da, en efecto, esa sensacin,pero carece de brillantez: un til trabajo de escuela, aparen-temente complementario de las palabras del maestro, peromuy lejos de la agudeza de sus anlisis.

EDICIONES Y TRADUCCIONESLa primera edicin del tratado fue la de Henricus Ste-phanus Henri tienne, Pars, 1557), seguida por la deBekker Berln, 1831 . Debido al lamentable estado de los

manuscritos el texto se presentaba lleno de pasajes incom-prensibles; uno de los copistas se desahoga en el margen:El modelo est demasiado estropeado; y que no me echenla culpa: como lo veo, as lo escribo)). En 1874 Hayduckpublic un artculo cf. bibliografa) en el que pasaba revistaal texto: sus acertadas y elogiadas propuestas dieron pie auna nueva edicin, que fue preparada por Apelt Leipzig,1888). En ella se han basado todos los editores y traductoresposteriores hasta la fecha presente. Los esfuerzos por sanarel texto no haban concluido: Joachim, Timpanaro-Cardini,Harlfinger y Federspiel han dedicado importantes trabajos aeste intento. Las enmiendas a la edicin de Apelt son ya tannumerosas que se hace tarea indispensable elaborar una nuevaedicin. En cuanto a comentarios, son dignos de mencinlos de Joachim y Timpanaro-Cardini. El primero es sobretodo un comentario textual y exegtico, mientras que el se-gundo procura situar la obra en el contexto de la historia delas matemticas y del debate intelectual de los siglos Vy111 a. C

En Espaa ser sta la primera traduccin directa delgriego. Para prepararla he seguido el texto de Apelt en laversin editada por Hett, si bien he alterado la puntuacinprocurando hacer coincidir los puntos y aparte con los fina-les de la exposicin de cada argumento.Para la numeracin marginal he seguido, como es tradi-cional, la de la edicin de Bekker; la numeracin que figuraen el cuerpo del texto en romanos, es obra ma y pretendefacilitar la inteleccin de la secuencia argumental.

TEXTOE HETT LECTURACEPTADA968b26-7 Ei Ev T O ~upprpoy ypap- E v T@ ouveErq~ aro-pai E ~ G L V pappai pot cicnv) ypappa969a4 bat Ev~at972b30 6tb 6 ~ ip06c 6 h Q L p0pov coni.TIMP.-CARDINI


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Existen acaso las lneas indivisibles y hay en todas las 968amagnitudes, en general, algo sin partes, como afirman algu-nos?

1 Pue s si se da semejantemente lo mucho y lo ((gran-de y los opuestos de stos, lo poco y lo pequeo y,por otra parte, lo que tiene divisiones casi infinitas no espoco, sino mucho, es evidente que lo po co y lo pe-queo tendrn divisiones finitas. Y si sus divisiones son fi-nitas, es necesario que exista una magnitud sin partes, demodo que en todas las m agnitudes habr alguna sin partes,puesto que en todas hay lo poco y lo pequeo.

11 Adems, si existe la idea de lnea y la idea es la oprimera de las de su nombre y las partes son previas al todopor su naturaleza, esta lnea2 sera indivisible, de la mismamanera que el cuadrado y el tringulo y las dem s figuras y,en general, el propio plano y el cuerpo3. Pues ocurrir queaqullas son previas a stas.

111 Adems, si existen los elementos de un cuerpo y no 15hay nada previo a los elem entos, y las partes son previas altodo, el fuego sera indivisible y, en general, lo sera cadaComienza en este punto la presentacin de los argumentos de quie-nes defienden l a existencia de las lneas indivisibles.Se refiere a una lnea ideal en el sentido platnico del trmino.Tambin aqu se refiere a cuadrados, tringulos, planos y cuerpos

ideales, previos, en tanto que ideas, a los existentes en el m undo per-ceptible.277. 2


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uno de los elementos del cuerpo, de manera que existe algosin partes no slo en los inteligibles sino tambin en los sen-sibles.IV. Adems, por otro lado, segn el argumento de Ze-2 nn, es necesario que exista una magnitud sin partes, si es

que es imposible en un tiempo finito tocar un nmero infi-nito de cosas tocadas una por una; y es necesario que lo quese mueve llegue primero a la mitad; y de lo que tiene partes25 sin duda existe la mitad. En ese caso, si lo que es transpor-tado sobre la lnea tambin toca un nmero infinito de cosasen un tiempo finito y lo ms rpido tambin consigue msen el mismo tiempo y el movimiento del pensamiento es elms rpido, entonces el pensamiento tocara una por una un

968b nmero infinito de cosas en un tiempo finito; de esa manera,si tocar las cosas una por una el pensamiento es contar, seadmite como posible contar lo infinito en un tiempo finito:ysi esto es imposible, existira una lnea indivisible4.V. Adems, tambin a partir de lo que afirman los quese ocupan de las matemticas existira una lnea indivisible,segn dicen; si conmensurables son las que se miden conla misma medida5, son conmensurables todas cuantas son

Aristteles en Fsica 187a3 hace referencia a este argumento, elargumento de la dicotomia, qu e supone magnitudes indivisibles . Paracomprender adecuadamente y situar en su contexto el prrafo convienerecurrir a ciertos pasajes de la Fisica aristotlica que nos transmiten elpensamiento de ZENN 239b9,239b11,233a21,239b14,239b30,239b33),reunidos, traducidos y comentados en G. S. ~ R J. E. R z v n ~ , osfil-sofos presocrticos, Madrid, Gredos, 1981, pgs. 408-1 5.Para interpretar correctamente este argumento es necesario tenerpresente el valor de los conceptos matemticos que en l se utilizan. Lamayor parte de las veces encontramos las aclaraciones que nos son preci-sas recurriendo a los Elementos de Euclides, si bien lo ms posible, com oseala HEATH Mathematics in Aristotle, Oxford, 1949, pg. 256 es queeste tratado sea de fecha anterior a Euclides y, por tanto, su autor tomara

medidas, pues existira una longitud con la que todas sonmedidas. Y esa longitud por fuerza ha de ser indivisible, l opues si fuera divisible tambin sus partes tendran una me-dida, pues son conmensurables con el todo. De manera quesu mitad sera el doble de una parte. Pero puesto que esto esimposible, sera una medida indivisible.As, se componen de elementos sin partes tanto las 1-neas medidas una sola vez por esta medida como todas laslneas compuestas de la medida. Lo mismo ocurrir en el scaso de las figuras planas. Todas las compuestas por rectasracionales6 sern conmensurables entre s, de manera que lamedida de stas carecer de partes. Pero si una medida va aser cortada de acuerdo con una lnea fijada y determinada,esa lnea no ser ni racional ni irracional -ni ninguna de

esas nociones de otros matemticos. Por ejemplo, trminos como bino-mial y aptoma pueden haber sido tomados de Teeteto, a quien seatribuye, segn una noticia de Papo, el descubrimiento y estudio de lasirracionales compuestas. La definicin que se da aqu de lneas conmen-surables coincide con la que ofrece EUCLIDES, lementos X, def. 1.En cuanto a las rectas racionales e irracionales, hay que recordarque, para la matemtica griega, las nociones de racionalidad e irraciona-lidad son relativas y de carcter geomtrico. As lo seala EUCLIDESnElem. X, def. 3: ...existen rectas, infinitas en nmero, conmen surables einconmensurables, unas slo en longitud, otras tambin en cuadrado, conuna recta propuesta: llmese, pues, racional a la recta propuesta y ra-cionales a las que son conmensurables con ella ya sea en longitud y encuadrado, ya sea slo en cuadrado, y llmese irracionales a las incon-mensurables con ella . Para explicar la nocin de wonmensurabilidad encuadrado resulta aclaradora la nota de H m : DOS neas, cuyas longi-tudes son respectivamente J 3 y J 6 son conmensurables en cuadradoporque sus cuadrados, y 6, son conmen surables, aunque hay que tenerpresente que trasladar el pensamiento geomtrico euclidiano a trminosnumricos comporta siempre cierta falsedad.


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2 aqullas de las que se ha venido hablando7, como la apto-ma o la binomia18- sino que ni siquiera por s mismas ten-drn caractersticas naturales; por el contrario, sern entre sracionales e irracionales.1. Ahora b ien9 , en primer lugar, no es preciso que lo queadmite divisiones infinitas no pueda ser pequeo y PO-CO.Y es que llamamos pequeo al espacio, a la magni-

25 tud y, en general, a lo continuo -incluso en los casos en losque conviene el calificativo poco- y sin embargo deci-mos que tienen infinitas divisiones.Adems, si hay lneas indivisibles en la longitud com-

969a puesta, pequeo se dice en relacin con sas indivisibles,y en ellas hay infinitos puntos. En tanto que lnea, admiteuna divisin por un punto, y d e la misma m anera por cual-quier otro punto. Por tanto, cualquier lnea que no fuera in-

Aptomas y binomiales son dos de los tipos de rectas irracionalesestudiadas por EUCLIDES n el libro X de ah que, como han indicadoHeath y Tim panaro, debamos rechazar la conjetura textual de A pelt).La definicin de la binomial aparece en EUCLIDES, lementos X 36:Si se suman dos rectas racionales conmensurables slo en cuadrado, larecta resultante es irracional: llmesela binomial)); las Segundas Defini-ciones y las proposiciones 42 y 48-66 se ocupan de la clasificacin y ca-ractersticas de las binomiales. La definicin de la aptoma aparece en X73: Si se quita d e una recta racional otra racional que sea conm ensurableslo en cuadrado con la recta entera, la restante es irracional: llmeselaaptoman; las proposiciones 74-75 dan la clasificacin de las aptomas;las proposiciones 79-81, las Terceras Definiciones y lo q ue sigue, propo-siciones 85-104 y 108-1 14 describen sus caractersticas y propiedades.Aqu comienza la enumeracin de los argumentos con los que elautor pretende refutar a los sostenedores de las lneas indivisibles. Laedicin de A pelt presenta la conjuncin disyuntiva 6 que probablementehay que corregir, a tenor del sentido y de lo expresado por DENNISTON,

e reek Particles Oxford, 1978, rp de la segunda edicin, pg. 279 ySS.) por la partcula e De hecho, los restantes traductores tambin hanobrado como si lo hubieran corregido.

divisible tendra infinitas divisiones. Algunas de stas sonpequeas. Y las razones1 son infinitas y es posible cortarcualquier recta que no sea indivisible segn la razn dada. sAdem s, si lo grande se compone de varias cosas pe-queas, o bien grande no significar nada o bien gran-de consistir en tener divisiones finitas; pues de manerasemejante lo entero tiene las divisiones de sus partes. P e-ro es irracional que lo pequeo tenga divisiones finitas ylo grande infinitas: eso opinan.De modo que es evidente que no se les llamara gran-de y pequeo por la razn de tener divisiones finitas oinfinitas. Y si alguien creyera que porque en los nm eros lopoco tiene divisiones finitas, tambin las tendr en laslneas lo pequeo , es que es tonto. Pues en aquel caso l elorigen procede de cosas sin partes y exis te algo q ue e s el 1sprincipio de los nmeros; y todo lo que no es infinito tienedivisiones finitas. Pero en el caso de las magnitudes no es lomismo.11. Por otro lado, los q ue propon en que las lneas in divi-si bl e~ stn en las Ideas toman quizs como axioma de loprecedente el argumento menos valioso, a saber: suponerque existen Ideas de estas cosas; y, en cierto modo, invali- 2dan el razonamiento mediante aquello que demu estran. Y esque por estos razonamientos se invalidan las Ideas.111. A la vez, es estpido considerar que lo que no tienepartes se cuenta entre los elementos corpreos. Aunque al-gunos demuestren que es as, toman como argumento parala investigacin propuesta lo mismo que tomaron comoprincipio. Y sobre todo, que cuan to ms parece que usan el 2s

Se refiere a las razones que surgiran entre las partes de estas l-neas divisibles si stas fueran cortadas)).Tendr las divisiones finitas)), se sobreentiende.l En el de los nmeros enteros.


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principio, tanto ms parece que el cuerpo y la longitud sondivisibles en volm enes y en longitudes.IV. el razonamiento de Zenn no prueba que en untiempo finito lo movido toque infinitas cosas as, en este

30 sentido. Pues infinito y finito se dicen del tiempo y dela longitud, y tienen las mismas divisiones.Y a la vez, el que el pensamiento toque una por una lasinfinitas cosas no es contar, si es que alguien cree que elpensamiento toca as las infinitas cosas, lo cual es tal vezimposible, pues el movimiento del pensamiento no transcu-

9 6 9 ~ re, como el de las cosas movidas, entre sujetos continuos.Y si, en efecto, cabe que se m ueva as, eso no es contar,pues contar va acompaado de pausas. Pero quiz sea irra-cional que presten sumisin a su debilidad quienes no han5 tenido fuerza para resolver el razonamiento y se engaen as mismos con engaos mayores reforzando su incapacidad.V. E n lo relativo a las lneas conmensurables, lo de quetodas son medidas por una cierta y nica medida es un ar-gumento com pletamente sofstico y en com pleto desacuerdocon las hiptesis matem ticas, que ni plantean esa hiptesis

lo ni les es til. la vez, incluso es contradictorio pensar quecualquier recta es conmensurable y que existe una medidacom n a todas la s Conmensurables.De manera que es ridculo, tras decir que se va a de-mostrar las opin iones de aqullos13 y aqu ello sobre lo quelas fundan, inclina r el discurso a lo erstico y a lo sofstico y

i s eso tan dbilmente. Pues es dbil en muchos sentidos paraescapar plenamente a las paradojas y a las refutaciones 4

l 3 Las opiniones de los matemticos)), se entiende.l Es decir: estos argumentos, supuestamente matemticos, no tienenfuerza bastante como para escapar...)).

Adem s, sera irracional, de un lado, que por causa delargumento de Zenn que establece que algunas lneas sonindivisibles nos desviemos del razonam iento correcto por nopoder argir en contra. Y por otro lado es f cil dejarse per-suadir por el argumento del movimiento de la recta que ge-nera un semicrculo, que es necesario si es que alcanza los 2puntos infinitos que hay entre los arcos y los radios; y lomismo cuando genera un crculo, porque por fuerza ha demoverse de un punto a otro si se mueve por el semicrculo;y por los restantes teoremas que se han estudiado en rela-cin con las lneas, que no es posible adm itir que exista unmovimiento semejante si no cae primero sobre cada uno de 2slos puntos interme diosi5. Pues estos argum entos son msaceptad os que el prim ero 16.

Es decir, el movim iento del radio que recorre un semicrculo reco-rre -dice el tratadista- todos los puntos de lneas divisibles, en lugar d e- c o m o pretenden sus oponentes- ir saltando del extremo de una indivi-sible al extremo de la indivisible siguiente.

l6 JOACIIIM op. cit., nota ad loc.) interpreta este prrafo de la si-guiente manera : En otras palabras: la geometria, asumiendo que el mo-vimiento es un hecho, muestra que el objeto que se mueve atraviesa enefecto la infinidad de puntos intermedios ymuestra que no puede haber movimiento enel que esto no se produzca. Quienes defien-den las lneas indivisibles no han llevado acabo intentos de refutar estas pruebas geo-mtricas. Su postulado de 'lneas indivisi-bl e~ ', ncluso si esquivan los argumentos de Zenn, entra en colisin conlos mucho ms slidos datos de la geometria: porque la geometra m ues-tra que es imposible la clase de movimiento que tendra lugar si existie-ran las lneas indivisibles. El texto est tan corrupto que parece imposibleaclarar el argumento en detalle.)) Las enmiendas al texto propuestas porFEDEKSPIELNotes exgtiques pgs. 504-7) no producen cambiosen el sentido del pasaje.


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De manera que a partir de los razonamientos expuestoses evidente que no es necesario que existan rectas indivisi-bles, ni creble. Y a partir de los que siguen ser an ms30 evidente. Primero, por lo demostrado y propuesto en lostratados matemticos, que lo justo es o bien mantenerlo o

bien rechazarlo mediante argumentos ms convincentes 171. Y es que ni la definicin de lnea ni la de rectaconcordarn con la de indivisible, puesto que ni est entrenada ni tiene medio 18970a 11. Adems, todas las lneas sern conmehsurables, puestodas sern medidas por las indivisibles, tanto las conmen-surables en longitud como las conmensurables en cuadra-do 19. Y las indivisibles sern todas conmensurables en lon-gitud, puesto que son iguales; de manera que tambin sern

conmensurables en cuadrado. Y si es as, el cuadrado sersiempre racional5 111. Adems, si la recta aplicada a la mayor produce de-terminada anchura, el (paralelogramo) igual al cuadrado dela indivisible -tmese como tal una recta de un pie de lar-go2 - aplicado al doble de esa recta, producir una anchura

l7 Da comienzo aqu la serie de argumentos matemticos contra laexistencia de las lneas indivisibles.I8 Referencia a dos definiciones que a nosotros nos han sido transmi-tidas por EUCLIDES, lem 1, def. 3 Los lmites de una recta son pun-tos))) y PLATN, armnides 137e Recto es aquello cuyo medio quedaenfrente de ambos extremos))).l9 Las cuestiones relativas a la conmensurabilidad de las rectas enlongitud y en cuadrado son la m ateria de la que trata Elem X. Vase nota 6.20 As, la aceptacin de la existencia de las lneas indivisibles entraraen conflicto con las teoras matemticas -ya bien asentadas en esta po-ca- sobre lo conmensu rable y lo inconmensurable y lo racional y loirracional, y ms concretamente con la irracionalidad existente entre ellado del cuadrado y su diagonal.2 En las lneas se usa la de un pie c omo si fuera indivisible)), afirmaAnstteles en Metafsica 1052b33.

menor que la indivisible; luego esa anchura ser menor quela indivisible22.IV. Adems, si un tringulo se compone de tres rectasdadasz3, ambin se compondr de indivisibles. Pero en todo ioequiltero la pe rpe ndi ~ul ar ~~ae sobre su punto medio, demanera que tambin sobre el punto medio de la indivisible.V. Adems, si existe el cuadrado de las indivisibles, tra-zada la diagonal y la perpendicular a sta, el cuadrado que

22 De acuerdo con ia explicacin, BCDes el cuadrado que tiene por lado la 1-nea indivisible. AE ZAB y el rectnguloAEFG ha sido construido de tal maneraque AE EF A B ~ . i eso es posible, afir-ma el tratadista, EF IhAB; es decir: se B Ehabra dividido por la mitad la lnea in-divisible, que dejara de ser tal.

23 EUCLIDES, n Elementos 1 22 ofrece la solucin al problema deconstruir un tringulo con tres rectas que son iguales a tres rectas da-das)), pero con la precisin de que es necesario que dos de las rectas,tomadas juntas de cualquier manera, sean mayores que la restante)), te-niendo en cuenta que en 1 2 0 s e ha demostrado que esto ltimo e s propie-dad de todo tringulo. La objecin a la existencia de las indivisibles es lamisma que en el argum ento anterior.4 La perpendicular a cualquiera de sus lados)), se entiende. En Eu-CLIUES, lementos 1 10 y 11 se plantean como problemas dividir en dospartes iguales una recta finita dada y tra-zar una lnea rectaperpendicular a una rectadada desde un punto dado en ella)). Ambosse resuelven mediante la construccin de untringulo equiltero, de tal manera que laafirmacin que se lee en el texto resultaracorolario de las dos proposiciones menciona-das. Sea ABC el tringulo formado por tres L C Dindivisibles y AD la perpendicular al lado

BC: la supuesta indivisible BC habra resultado dividida en dos partesiguales por la altura del tringulo, luego no sera indivisible.


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tenga un lado ser igual al cuadrado que tenga por ladola perpendicular ms media diagonal, de manera que no esla recta m s pequea posible 26.1 5 VI. Y tampoco el rea del cuadrado de la diagonal serel doble del cuadrado de la indivisible. Pues una vez restada

la parte igual, la recta restante ser menor que la indivisible;y, si fuera igual, la diagonal habra producido un cuadradoque fuera el cudruple.Se podran reunir otras muchas objeciones semejantes;pues, por as decirlo, se opone27a todo lo que hay en lasobras matemticas.

2 1 A la vez, la indivisible tiene una forma de contacto,mientras que la lnea tiene dos, ya que la lnea puede estaren contacto ella entera con otra lnea entera y por los extre-mos enfrentados 28.

5 ES decir, qu e tenga por lad o una recta indivisible.6 En efecto, en aplicacin del teorema de Pitgoras EUCLIDBS,le

m ntos 1 47), en el cuadrado de AB que es una lnea indivisible) po-

demos trazar la diagonal AC y una perpendicular a sta, BE; entonces, A B ~AE EB~, de donde resulta que AB no es la menor y, por tanto, tampoco

sera indivisible.7 Sobreentindase la teora que sostiene la existencia de las lneas

indivisiblesn. Con esta frase se introduce la segunda serie de argumentosmatemticos contra la existencia de las lneas indivisibles.

8 Cf. ms adelante 971a27 y SS. y nota a e se pasaje.

11 Adems, una lnea29unida a una lnea no har la 1-nea entera mayo r, pues las cosas indivisibles unidas no ha-rn una cosa mayor.

111 Adem s, si a partir de dos indivisibles no surge nin-gn continuo, ya que todo lo continuo admite mltiples di-visiones y toda lnea es continua salvo la indivisible, no 25existira la lnea indivisible.

IV. Adems, si toda lnea salvo la indivisible se puededividir en partes iguales y desiguales, aun si hubiera una 1-nea com puesta de tres indivisibles y, en general, de un n-mero impar de indivisibles, la indivisible sera divisible. Ylo mismo si se corta en partes iguales. Pues se puede cortartambin cualquiera compuesta de un nmero impar de indi-visibles. Pero si no se puede cortar por la mitad cualquiera, ssino la compuesta de un nmero par de indivisibles, y tam -bin si es posible cortar cualquier nmero de veces la lneacortada por la m itad, tambin as quedar dividida la indivi-sible, cuando se divida en partes desiguales la lnea com-puesta de un nm ero par de indivisibles.

V . A la vez, si lo movido recorre el trayecto completo 97oben determinado tiempo, recorrer la mitad en la mitad y enun tiempo menor, menos de la mitad, de manera que si lamagnitud est compuesta de un nmero impar de partes,se repetir el corte medio de las indivisibles, si es qu e en lamitad de tiempo va a recorrer la mitad del trayecto; pues el 5tiempo y la lnea quedarn cortados de manera semejante.De manera que ninguna de las lneas compuestas quedarcortada en partes iguales y desiguales. Y si van a ser corta-das de m anera semejante a los tiemp os, no sern lneas indi-visibles. Lo propio de este mismo argumento es, como se

9 Una lnea indivisible)), se entiende.


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haba dicho, el hacer que todas estas cosas 30 estn compues-lo tas de indivisibles.VI. Adems, toda la que no es infinita tiene dos extre-mos, pues ellos delimitan la lnea3 . Pero la indivisible no esinfinita, as que tendr extremo: luego es divisible, pues una

cosa es el extremo y otra aquello de lo que es extremo. Ohabr, aparte de stas, una lnea que no sea ni infinita ni fi-nita.VII. Adems, no habr un punto en cualquier lnea: en5 la indivisible no lo habr. Pues si hay slo uno, la lnea serun punto y si hay ms la lnea ser divisible. Por consi-guiente, si en la indivisible no hay un punto, tampoco lo ha-br, en absoluto, en la lnea, pues las dems se componen delas indivisibles.

VIII. Adems, o no habr nada entre medias de los20 puntos o habr una lnea. Y si entre medias hay una Inea,como en todas las lneas hay muchos puntos, la lnea no serindivisible.

IX. Adems, no existir el cuadrado de una lnea cual-quiera, pues tendr longitud y anchura, de modo que serdivisible, ya que lo uno y lo otro son magnitudes. Y si elcuadrado es divisible, tambin lo ser la lnea.X. Adems, el extremo de la lnea ser una lnea, pero25 no un punto, pues lo ltimo es el extremo, pero ltimo es lalnea indivisible 2. Y si el extremo es un punto, el punto se-

30 Con estas cosas se refiere fundamentalmente al espacio y eltiempo, aunque el argumento poda tambin emplearse para justificar laexistencia de indivisibles en otros gneros de magnitudes.

3 Nueva referencia a las definiciones de EUCLIDES,n este caso aElem 1 def. 3 v. ms arriba, nota 18).

3 Se abusa de la polisemia de ltimo schaton) al emplearlo en suprimera aparicin en la frase con sentido local-temporal y como sinnimode elemental en la segunda.

r el extremo de la lnea indivisible, y habr una lnea ma-yor que otra lnea en un punto; pero si el punto est dentrode la lnea indivisible, por ser extremo comn de las lneasque se continan, existir el extremo de lo que no tienepartes. Y entonces, en general, en qu diferir el punto dela lnea? Pues la lnea indivisible no tendr nada propiofrente al punto excepto el nombre. 30XI. Adems, de manera semejante, tambin el plano y elcuerpo sern indivisibles. Pues siendo uno indivisible, seseguir tambin lo restante, por dividirse el uno segn elotro. Pero el cuerpo no es indivisible, ya que en l hay pro- 97 afindidad y anchura; luego tampoco la lnea sera indivisible,pues el cuerpo es divisible por planos y el plano por lneas.Y puesto que los razonamientos mediante los cuales in-tentan convencer son dbiles y falsos, y esas opiniones soncontrarias a todos los argumentos vigentes que gozan decrdito, es evidente que no existira una lnea indivisible. 5

A partir de esto queda claro que la lnea tampoco secompondra de puntos33, y para ello convendr la mayorade los mismos argumentos.1. As, el punto quedar necesariamente cortado cuandose corte en partes iguales la recta compuesta de un nmero

impar de partes o en partes desiguales la compuesta de unnmero par de partes.11. Y tambin es necesario que una parte de una recta no l osea una recta, ni tampoco una parte del plano, un plano33 Tras la conclusin que se da al primer tema en el prrafo anterior,se aborda la segund a cuestin de las que componen el tratado. Los argu-mentos que s e exponen en ella coinciden en parte con los ya expresados yen parte con los que se contienen en Fis 231a20-232a22.


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111 Y tambin sera necesario que exista una lnea ma-yor que una lnea en un punto, pues podr excederla enaquello de lo que est compuesta. Que eso es imposiblequeda claro a partir de lo que se contiene en las obras ma-temticas; y adems ocurrir que un objeto transportado5 atravesar el punto en un tiempo, si es que va a recorrer ladistancia mayor en un tiempo mayor y la igual en uno igual;y si es que el exceso en el tiempo es tiempo. Pero quiztambin el tiempo est formado de los ahora y afirmarambas cosas corresponde al mismo discurso. Si efectiva-mente el ahora fuera el principio y el extremo del tiempoy el punto lo fuera de la lnea -y no cabe que el principio y

2 el extremo sean continuos, sino que hay algo entre me-dias- no existiran ni los ahora ni los puntos continuospor s mismos.)IV Adems, la lnea es una magnitud y la suma de lospuntos no forma ninguna m agnitud, puesto que no ocupa unespacio mayor. Pues cuando a una lnea se le aade y aplica

25 una lnea, no resulta una anchura mayor. Y si los puntosestn dentro de la lnea, los puntos no ocuparan un espaciomayor, de manera que no formaran una magnitud.V Adems, si en todo34 odas las cosas tocan o bien lacosa entera a la cosa entera, o bien una parte toca otra, o

34 ES decir, momo principio general)). Ese principio general apareceen ARISTTELES,is 231b2: n cuanto al contacto, dos cosas slopueden estar en contacto recproco si el todo de una toca al todo de laotra, o si una parte de una toca a una parte de la otra, o si una parte deuna toca el todo de la otra. Pero como los indivisibles no tienen partes,tendran que tocarse entre s como un todo con un todo. El pasaje citadoforma parte de la argumentacin con la que Aristteles pretende demos-trar que es imposible que algo continuo est hecho de indivisibles, co-mo, por ejemplo, que una lnea est hecha de puntos, si damos por su-puesto que la lnea es un continuo y el punto un indivisible)).

bien el todo toca una parte y, si el punto carece de partes, elcontacto sera completo. Pues sera necesario que la cosaentera tocada por la cosa entera fuera una sola cosa. P ero siuna de las cosas es algo que la otra no es, entonces la cosaentera no sera tocada por la cosa entera. Y a la vez, si las 3cosas sin partes existen, varias cosas ocupan el mismo espa-cio que ocupaba antes una sola cosa. Puesto que es propio 97 ibde las cosas que existen simultneamente y carecen de am-plitud por s mismas que ambas ocupen el mismo espacio. Ylo que no tiene partes no tiene dimensiones, de manera queno existira una m agnitud continua compuesta de cosas sinpartes. Luego tampoco la lnea se com pone de puntos ni eltiempo de ahoras.VI. Y adems, si es posible que se componga de puntos, 5el punto tocar al punto. Por consiguiente, si desde el puntoK se trazan las rectas AB y GD, tocarn a K tanto el punto quehay en AK como el que hay en KD, de manera que se tocarnambos entre s, ya que lo que no tiene partes entero tocaentero a lo que no tiene partes. De manera que ocupar elmismo lugar de K y estarn en contacto mutuo los puntosque ocupan el mismo lugar35.Y si estn en el mismo lugar, l o

35 Como seala JOACHIMnota ad loc. si B y c estn en contacto conK, puesto que el contacto entre los puntos slo puede ser del tipo el todo

con el todo)), tambin B y c estarn en contacto entre s y tambin en lamodalidad el todo con el todo)).


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tambin estn en contacto; pues es necesario que las cosasque estn las primeras en el m ismo lugar se toquen y, si esas, una recta toca a una recta en dos puntos, pues el puntoque hay en AK toca al punto que hay en KG y a otro punto,de manera que la recta AK toca a la GD en varios puntos. El1s mismo razonam iento se aplicara tambin si se tratara no dedos rectas, sino de un n mero cualquiera de ellas que se to-caran entre s.Y adems, tam bin la circunferencia del crculo tocaraa la tangente en varios puntos36, pues el punto de contactotanto el que hay en la circunferencia como el que hay en latangente se tocaran entre s. Y si eso no es posible, enton-ces tampoco es posible que un punto toque a un punto; y si20 no es posible que se toquen, entonces tampoco es posible

que la lnea est hecha de p untos, pues de otra manera seranecesario que se tocaran.VII. Y adems, jcmo ser entonces lo de la lnea rectay curva? En nada diferir el contacto de los puntos en larecta y en la curva. Pues lo que no tiene partes entero tocaentero a lo que no tiene partes, y no cabe que se toquen deotra manera; por consiguiente, si las lneas son distintas y el25 contacto es indiferente, no habr una lnea que se compo ngadel contacto, de manera que tam poco compuesta de puntos.

VIII. Adems, es necesario que los puntos entre s obien se toquen o bien no se toquen; y si por fuerza tocan aladyacente, ser el mismo razonamiento. Pero si cabe quehaya uno adyacente al que no toque, lo q ue llamamos conti-30 nuo no es nada distinto de lo compuesto de cosas que se to-can, de m anera que tambin as es m enester que los puntos

se toquen entre s o que la lnea no sea continua.

36 Por las razones aducidas en el prrafo anterior.

IX. Adems, si es absurdo que haya un punto junto a un 972apunto para que exista la lnea y junto a un punto para que lalnea sea un plano, es imposible que se d lo dicho 37.Pues si los puntos estn uno a continuacin del otro, lalnea no quedar cortada en ninguno de los puntos, sino en-tre medias de ellos. si se tocan, la lnea ser el lugar de un 5punto: pero eso es im posible.X. Y adems, todas las cosas se dividiran y se podrananalizar en puntos, y el punto sera una parte del cuerpo, sies que el cuerpo est formado de planos y el plano de lneasy las lneas de puntos. Pero si cada cosa est com puesta de i o

Tal es la traduccin literal del texto de Apelt que tomo como base.HETT que emp lea el mismo texto, refleja sin embargo en su traduccin laversin latina de Julius Martianus Rota. JOACHIMonsidera insalvable elcorrupto estado del pasaje y prefiere dejarlo en griego sin traducir. M.TIMPANAROARD INI ugiere invertir el orden de los dos prrafos que nos-otros hemos incluido en IX, pero ni aun as, a nuestro entender, se salvael problema de la relacin de este argumento con lo anterior y posterior.Entendemos, ms bien, que e s FEDERSPIEL Notes exgtiques pgs.511-12) quien da la interpretacin ms acertada al pasaje: de 971a30 a971b31 el refutador examina tres modos de relacin entre los puntos deacuerdo con lo que aparece en ARIST.Fs V 3, 226b18 y SS El ltimoargumento mostraba que la hiptesis de una relacin de consecutividadentre los puntos de una lnea o bien nos haca ca er de nuevo en los absur-dos de la relacin de contacto o bien nos obligaba a cambiar la definicinde continuo, lo cual es absurdo. El nuevo argumento prolonga el prece-dente estudiando una relacin an ms general que la de consecutividad,la relacin de yuxtaposicin. Al revs de lo qu e se ha venido diciendo, ellazo con el argumento anterior es evidente)). Con esta frase Federspiel re-chaza la propuesta de M. Timpanaro a la que aludamos ms arriba, y lojustifica de la manera siguiente: la segunda parte del argumento viene ademostrar el aserto contenido en la primera parte, puesto que si esta rela-cin de yuxtaposicin tiene consecuencias absurdas, la teora que afirmaque la lnea se com pone de puntos es falsa. La dem ostracin, igual que enel argumento anterior, se hace en dos tiempos, expresados en las dos fra-ses del segundo prrafo de nuestro argumento IX.


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las primeras que hay en ellas, sos son sus elementos, y lospuntos seran elementos de los cuerpos. De manera que loselementos seran sinnimos y no diversos en especie.Es evidente, a partir de lo dicho, que la lnea no se com-pone de puntos 8; pero tam poco es posible hacer desapare-cer el punto de la lnea; pues si cabe hacerlo desaparecer,1s tam bin es posible aad irlo. Y una vez aadido, aquello a loque le fue aadido ser mayor que lo del principio, si es quelo aadido era de tal clase que formara una unidad entera.Luego habr una lnea mayor que una lnea en un punto: pe-ro eso es imposible. Ahora bien, no es posible en cuanto al

2 punto en s, pero cabe que casualm ente de una lnea se quiteun punto, porque formara parte de la lnea quitada. Pues sial quitar algo entero tambin se quitan su principio y su ex-tremo y el principio y el ex tremo de una lnea era el punto, ysi tambin cabe quitar de una lnea una lnea, tambin cabra2s quitar un punto. Esta es la resta casual. Y si el extremo tocaaquello de lo que es extremo, bien a ello mismo bien a algu-na de sus partes, y el punto, que es el extremo de una lnea,la toca, la lnea ser mayor que la lnea en un punto, y elpunto estar formado de puntos, pues no puede haber nadaentre las cosas que se tocan.

8 El tratadista da por demostrada su tesis, pero an ha de abordarotra cuestin en relacin con ella: aunque no est compuesta de puntos,los puntos forman parte de la recta como extremos de la misma, comopoco tiempo despus recogera Euclides en sus definiciones. Tanto estasegunda cuestin (la Inea no est compuesta de puntos) como la tercera(el punto no es l o ms pequeo que hay en la recta ni tampoco una arti-culacin indivisible) aparecen ya suscitadas en ARISTTELES, sica215b12-22: Pero no hay ninguna proporcin segn la cual el vaco seasuperado por un cuerpo, como no hay ninguna proporcin entre la nada yel nmero por esto tampoco la lnea supera al punto, a menos que la l-nea est compuesta de indivisibles)).

El mismo razonamiento se utilizara en el caso de laseccin si la seccin lo es de un punto y la seccin toca al-go, y lo mism o en el caso del slido y en el del plano: de la 3misma manera el slido se compone de planos y el plano delneas.

Y no es cierto tampoco decir respecto al punto q ue es loms pequeo que hay en la recta39.1 Pues si se dice lo ms pequeo de lo que hay, loms pequeo, en lo que es lo ms pequeo, ha de ser tam-bin ms pequeo que algo, y en la lnea no hay ninguna 9721,cosa ms que puntos4 y lneas, y la lnea no es mayor que

el punto (como tampoco es m ayor el plano que la recta), demanera que lo ms pequeo que haya en la lnea no ser elpunto.11 Y si el punto es comparable con la lnea y lo ms pe- Squeo lo es e n tres sentidos, el punto no ser lo ms peque-o que hay en la lnea. Y aparte de los puntos y las lneashay otras cosas en la longitud, pues no se compone de pun-tos. Y si lo que est en el espacio o es un punto o una lon-gitud o un plano o un cuerpo o est compuesto de ellos,

aquello de lo que se compone la lnea est en el espacio lo(puesto que tambin lo est la lnea) y en la lnea no hay ni

9 En la tercera parte del tratado, que comienza aqu, se tratar la na-turaleza del punto de manera negativa, mediante la refutacin de dos de-finiciones que el tratadista considera errneas: el punto como lo mspequeo que hay en la recta)) y el punto como articulacin indivisible)).Ms adelante tambin EUCLIDESormulara su definicin de punto enforma negativa Elementos 1 def. 1): ((Punto es lo q ue no tiene partes)).40 LOS untos estaran en la lnea como extremos de la misma.


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un cu erpo ni un plano ni se compone de ellos, en la longitudno habr nada en absoluto aparte de los puntos y las lneas.111. Ade ms, de lo que hay en el espacio lo llam ado ma-yor es una longitud o un plano o un cuerpo; y el punto est15 en el espacio; y lo que hay en la longitud no es nada de lo

mencionado anteriormente salvo los puntos y las lneas, demanera que el punto no ser la menor de las cosas que hayen l4 .IV. Adems, si aquello de lo que decimos es lo mspequeo q ue hay e n la casa)) ni se compara con la casa ni, alcomparar la casa, se dice en relacin a ello, y lo mismo en2 los dems casos, tampo co lo ms peque o que hay en la 1-nea habr de com pararse con la lnea. De manera que no leconvendr el nombre de lo m s pequeo)).

V. Adems, si lo que no est en la casa tampoco es loms pequeo de lo que hay en la casa, y de la misma mane-ra en los otros casos (puesto que cabe que el punto existapor s m ismo) tampoco ser verdadero decir con relacin alpunto que es lo m s pequeo que hay en la lnea.25 Adem s, el punto no es una articulacin indivisible.1. Pues la articulacin siempre tiene dos extremos, mien-tras que el punto es lmite de una lnea.

11. Adems, ste es un extremo, mientras que aqulla42es ms bien una divisin.111. Adems, la lnea y el plano sern articulaciones, puestienen cierta analoga.IV. Adems, la articulacin existe en cierto modo porcausa del movimiento, por lo cual Empdocles escribi lo

41 En el espacio)).42 La lnea)).

de arequiere dos articulaciones)). Mientras que el punto se 3cuenta tambin entre las cosas inmv iles43.V. Adems, nadie tiene articulaciones infinitas en elcuerpo o en la mano, pero los puntos son infinitos.VI. Adems, no existe la articulacin de una piedra, nila tiene, pero s tiene puntos 44.

43 Algunos autores consideran que este pasaje, corregido de maneradiversa pero con sentidos no lejanos por Diels y Timpanaro, deba formarparte de un texto sobre las articulaciones de los animales.Aceptar la correccin propuesta por M. Timpanaro para la cita deEmpdocles un poco mas arriba es lo que nos permite interpretar esta l-tima frase, que de otro modo resulta incomprensible: las articulacionesseran exclusivas de los seres vivos. Tal caracterstica hara imposible de-finir el punto com o ninguna clase de articulacin.


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MECNICA TECNOLOGA Y CIENCIA EN LAANTIGUEDAD GRIEGA

El mundo occidental experimenta hoy ante la ciencia grie-ga un sentimiento doble de cercana y distancia: los griegosson para nosotros precursores pero los mtodos y los finesde la ciencia antigua eran muy distintos de los de nuestrosdas. La ciencia de la Grecia antigua pretenda responder ala pregunta de p r qu sucedan los fenmenos mientrasque la ciencia moderna intenta dar cuenta de mo sucedeny en la medida de lo posible formular matemticamenteesa descripcin.En nuestros das la ciencia se sirve de la interaccin delos mtodos inductivo y deductivo apoyndose firmementeen la experimentacin mientras que la Antigedad concedamayor importancia al mtodo deductivo y recurra rara-men te al experim ento -nunca a la experim entacin siste-mtica- cuyo papel a efectos inductivos era desem peadopor la observacin. El escaso desarrollo alcanzado entoncespor el mtodo experimental se debi en parte a la carenciade instrumentos de medida lo que a su vez era consecuen-

cia de la escasa interaccin entre ciencia y tecnologa.


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Otra gran diferencia reside en la funcin social de laciencia, que hoy avan za movida sim ultneamente por la cu-riosidad de los cientficos y por las exigencias tecnolgicasy, a la vez, recibe d e la tecnologa importantes apoyos paraavanzar en la investigacin que deber producir nuevosavances cientficos. En el mundo antiguo, por el contrario,los trabajos de resultados prcticos fueron siempre conside-rados serviles y vistos con cierto menosprecio; ese rechazode las aplicaciones prcticas de la ciencia tuvo como conse-cuencias el desperdicio de ingentes cantidades de talento, unempobrecimiento metodolgico e instrumental y el asenta-miento de un prejuicio social de larga pervivencia que haseguido vivo hasta la era del m aquinismo. Tener presentesestos hechos nos ayudar a comprender mejor la funcin dela Mecnica aristotlica.En el origen del adjetivo mechaniks, del que procedenuestro trmino M ecnica, se encuentra el sustantivo mechane?, que significaba primitivamente recurso, traza, aa-gaza, astucia)). Con ese valor aparece en los textos homri-cos y slo en el perodo helenstico encontramos acepcionesms prximas al sentido que hoy le damos de parte de lafsica que trata del equilibrio y del movimiento de los cuer-pos sometidos a cualesquiera fuerzas)).

Herdoto, el padre de la Historia, fue el primero en utilizarla palabra mchank en el sentido de mquina, en un pasaje enel que describe el sistema de construccin de la pirmide deQuops Hst . 11125); algo despus lo emplea otro historiador,Tucdides, para referirse a ciertas mquinas de guerra -unariete y un artilugio para provocar incendios- 1176 y IV 1OO ,y Platn se refiere con ese trmino a un mecanismo empleadoen escenografa teatral Cratilo 425d, Clitofonte 427a). En to-dos estos textos se puede observar que el significado sigue sien-do muy prxim o al primitivo recurso, astucia)).

El nacimiento de la mecnica terica se atribuye a vecesal pitagrico Arquitas de Tarento, contemporneo de Platn,pero si nos atenemos a los textos conservados, el primer f-sico terico fue A ristteles, cuyas teoras, expresadas en laFsica, desarrollaran el inters por la observacin de la na-turaleza y los estudios sobre el m ovimiento. El objeto de suinvestigacin es la naturaleza phisis), y su pretensin esconocer la materia y la forma de las cosas, as como suscausas. Aristteles reconoce la existencia de cuatro ele-mentos bsicos -aire, agu a, fueg o y tierra-, debate la exis -tencia del infinito, estudia el lugar, el vaco, el tiempo, elcambio y sus clases. Considera que una de las clases decambio es el movim iento y establece u teora clsica sobrel: es necesaria la existencia de un m ovimiento eterno, pro-ducido por un prim er motor inm vil; este movimiento eter-no debe ser uno, continuo y de traslacin; como no puedeser un m ovimiento rectilneo, porque la recta, finita, no po-dra contenerlo, ese movim iento debe ser circular.En todo caso, el enfoque dado por Aristteles y su es-cuela a estos estudios estaba en la lnea de los primeros fil-sofos jonios y de la filosofa propiamente dicha, y su objeti-vo era averiguar las causas de los fenmenos y elaborarhiptesis de valor general. No pretendan descubrir mecha-na -mquinas, recursos- que facilitaran la vida co-tidiana o la resolucin de problemas conc retos, sino explicarel mundo.El perodo helenstico fue testigo de un gran desarrollode los aspectos prcticos de la mecnica. Se produjerongrandes invenciones en el terreno de la poliorctica, lo mis-mo en lo concerniente a construccin de mquinas de asedioy defensa que en el perfeccionamiento de las tareas de forti-ficacin. Esta clase de trabajos se d esarrollaron favorecidossobre todo por los grandes seores helensticos, que estaban


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interesados en los resultados por sus efectos en las tcnicasde guerra. A la misma poca pertenecen los primeros estu-dios de mecnica cientfica, como la Mecnica que nosocupa, y el descubrimiento de la neumtica.Fue en este perodo cuando tuvieron lugar los descubri-mientos de Ctesibio fl. 270 a. C.) y su discpulo Filn deBizancio fines del 111 a. C). El primero sent las bases de laneumtica, parte de la mecnica que se aplic a la construc-cin de relojes de agua y a la construccin de autmatas,artefactos sumamente curiosos sin ms funcin que la deentretener, de los que nunca se pretendi obtener rendi-miento econmico algunoMucha ms trascendencia tuvieron los trabajos de Ar-qumedes 287-212 a. C.), notable inventor y fundador de lamecnica cientfica. Como prctico de la mecnica, inventlos espejos ustorios, construy un planetario y un rganohidrulico y cre gran nmero de ingenios blicos. Fueronesas invenciones las que granjearon a Arqumedes su popu-laridad, pero l siempre las consider un pasatiempo, y susescritos estn dedicados slo a los trabajos que fue capaz dedesarrollar matemticamente. Escribi dos libros Sobre elequilibrio de los planos en los que sienta los fundamentosde la Esttica, y otros dos Sobre los cuerposflotantes en los

Se trataba de objetos sumamente llamativos pero basados en princi-pios elementales. Entre ellos se mencionan animales que beban, grifosmaravillosos de los que manaba a veces vino, a veces agua, a veces unamezcla de ambos, pjaros que cantaban y movan las alas, rganos deagua. Donde mayores servicios prestaron estos autmatas fue en la cortebizantina. Segn las fuentes, en un saln destinado a la celebracin degrandes ceremonias se encontraban las figuras de un buey que beba y untrono, flanqueado por leones que rugan, que suba y bajaba sin que fueraposible ver el mecanism o, el llamado trono de Salomn . Embajado resy visitantes deban de quedar muy impresionados por semejante espec-tculo.

que crea la ciencia de la Hidrosttica; le debemos tambin elprincipio que lleva su nombre y la definicin de la nocinde peso especfico.Al hablar de mecnica no podemos dejar de mencionar aVitrubio siglo I a. C) y Hern siglo I d. C), pero sus obje-tivos y mtodos, volcados a la prctica ms que a la teora,pertenecen ms a la tradicin de la Tecnologa que a la de laCiencia.Sobre la posicin que ocupaba la Mecnica entre los co-nocimientos antiguos nos han llegado dos noticias proce-dentes de Proclo y Hern2. Ambas coinciden en considerarla mecnica una parte de la matemtica que se ocupa de losensible y material y en incluir en ella tareas de carcterprctico. Entre los contenidos propiamente cientficos de lamecnica, Proclo incluye el estudio de los equilibrios en ge-neral, de los centros de gravedad y todo lo relativo al mo-vimiento de la materia. Como ocupaciones ms prcticasmenciona la construccin de instrumentos blicos, de artilu-g i o ~ccionados mediante mecanismos neumticos, median-te contrapesos o mediante cuerdas y cuerdecitas y la cons-truccin de esferas a imitacin de las celestes.La imagen que nos transmiten es la de que en la antiguaGrecia se contemplaban los estudios tericos correspondien-tes a estas materias y la prctica de las mismas como unanica ocupacin y que las tareas del cientfico, el ingenieroy el inventor no estaban claramente delimitadas. El texto deHern nos hace ver que, en cualquier caso, quienes se ocu-paban de la mecnica no eran trabajadores manuales, puestoque ni la llamada tctica, ni la arquitectura, ni la msica

PROCLO n primum Euclidis Elementorum librum Commentarii ed.FRIEDLEIN eipzig, 1873, pg. 41; HERN Dejnitiones ed. HEIBERGLeipzig, 1912,pg. 164.


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popular o las apariciones de las estrellas, ni la llamada ho-mnimam ente mecnica son partes de la matemtica)).

A la luz de esta evolucin, la Mecnica -que tambinrecibe los ttulos de Quaestiones Mechanicae MechanicaProblemata Mechanica- es un testimonio del inters delLiceo por los temas relacionados con la Fsica. Su contenidoimplica un planteamiento que parece emparentado con la 1-nea de trabajo helenstica antes que con las inquietudes de laAcademia. En la actualidad ningn autor aboga por admitirla autora aristotlica, sino que se coincide en suponer que laobra es posterior en una o dos gen eraciones al propio Aris-tteles. La literatura cientfica antigua no m enciona una Me-cnica aristotlica, lo que hace pensar que en la Antigedadan no circulaba con esa atribucin.La terminologa matemtica de la Mecnica se encuen-tra ms prxima que la aristotlica a la de Euclides, perocomparte an ciertos usos con Aristteles. De ello deduce~ e a t h ~ue la obra debi de escribirse antes de que la ter-minologa euclidiana se impusiera o que, en el caso de quefuera compuesta despus de que Euclides diera a la luz susElementos debi de ser redactada por una persona sufi-cientemente prxima a Aristteles como para seguir in-fluenciado por su expresin. De admitir la hiptesis de quela obra fue redactad a, si no por Estratn -como sugeraDelambre-, al men os en poca prxim a a l, podram os

History of Greek Mathematics vol. 1 pg. 344

interpretar, con C laggett4, que este tratado es una impor-tante evidencia de la investigacin fsica en el periodo detransicin entre los trabajos aristotlicos y los del M useo deAlejandra.Independientemente de las cuestiones de autora y data-cin, varios rasgos saltan a la vista: el autor conoca la Fisi-ca y, en general, los escritos aristotlicos, como lo prueba elhecho de que m uchas de las ideas de la Mecnica aparezcantambin en las obras autnticas de A ristteles; segua la tra-dicin de la ciencia antigua de intentar explicar el porqu delas cosas y se dejaba influenciar por un cierto misticismoque parece m s propio de los pitagricos que del Liceo.Desde el punto de vista de la forma, en el tratado en-contramos una primera parte de carcter introductorio, en lacual, en lnea con las investigaciones sobre laphisis avanzaque procurar explicar la causa de los fenmenos en los quepequeas fuerzas consiguen mover grandes pesos. En estaespecie de prlogo e s donde encontramo s la definicin msantigua de mq uina (847a18-19): Cuando es preciso llevara cabo algo contra naturaleza, por su dificultad nos deja sinmedios y requiere una tcnica. Por eso precisamente llama-mos mquina a la parte de la tcnica que nos ayuda en esafalta de medios)).

Las m quinas nos ayudan multiplicando la fuerza y ob-tienen esa capacidad de la excelencia del movimiento cir-cular: El principio de la causa de todos los fenmenos deeste tipo est en el crculo)) (847 b 16) lo que pasa con labalanza tiene que ver con el crculo, lo de la palanca conla balanza, y casi todos los dems fenmenos sobre movi-mientos mecnicos, con la palanca. Adem s, puesto que sien-CLAGGETT . Greek sciences in Antiquity Londres 197g6 gs.

93-94.


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do uno el radio, ninguno de los puntos que hay en l semueve a la misma velocidad que otro, sino que siempre vams deprisa el ms lejano del extremo fijo, se producen mu-chas cosas adm irables en relacin con los movimientos delcrculo)) 848a12 y SS.).Dentro de la primera parte aclara tambin en qu con-sisten las cuestiones mecnicas, dndonos con ello la defini-cin ms antigua de esta ciencia: De ese tipo son las cosasen las que lo menor domina a lo mayor y las que con pocopeso mueve n grandes cargas y casi todos los problemas quedenominamos mecnicos)) 847a21). Al clasificar este tipode conocimiento, lo incluye dentro de las matemticas y delas especulaciones filosficas sobre la naturaleza: y estas

cosas ni son exactamen te las mismas ni estn excesivamentealejadas de los asuntos de la naturaleza, sino que son comu-nes a las especulaciones matemticas y a las de la naturale-za. Pues el cm o se hace evidente mediante la m atemti-ca, el sobre qu median te el estudio de la naturaleza)).En la segunda parte el tratado est compuesto por unaserie de preguntas y respuestas, forma literaria a la que se dael nombre de erotapcrisis, cuyo origen debemos situar enesta misma poca y que ms tarde se extendera amplia-mente en el campo de la literatura didctica5. Aqu en tra yaen el autntico objeto de la obra, que no es otro sino el deexplicar las causas del funcionamiento o de las peculiari-dades de funcionamiento- de una serie de instrumentos.Son treinta y cinco cuestiones planteadas en general comopreguntas Por qu.. ? Da ti.. ? acompaadas de res-puestas que adoptan la forma de interrogaciones retricas

Sigue viva hoy da en los catecismos y colecciones de problemasresueltos.

No ser porque...?)) k hti l diti...? las respuestasvan seguidas de explicaciones ms detalladas en las que,con escasas excepciones, se relaciona el fenmeno mec-nico)) descrito con el movimiento circular. En algunas oca-siones, el autor reconoce francamente sus dudas y sugieredos posibilidades de explicacin cuestiones 12, 34, 35);una sola vez declara abiertamente su ignorancia 32). Encualquier caso, el autor rara vez procede a mediciones ocuantificaciones y slo de m anera puntual aporta respuestasformuladas matemticamente.Aunque sus explicaciones no siempre son acertadas, seocupa de aspectos del funcionamiento de la balanza y laromana cuestiones 1, 2, 10, 20); la palanca 3); el remo, eltimn y la vela 4 a 7); tomos y cabrestantes 13); la cua17); la polea 9, 18 ); tenazas y cascanueces 2 1, 22); el ci-goal 28).El autor alcanza una formulacin matemtica para elfuncionamiento de la palanca cuestin 3, 850a39): sontres cosas las que hay en relacin con la palanca: el punto d eapoyo com o soporte y centro, y los dos pesos, el motor y elmovido; entonces estn en proporcin inversa el peso movi-

do respecto al que m ueve y la longitud respecto a la longi-tud. Y siempre, cuanto mayor sea la distancia al punto deapoyo, ms fcilmente se mover)).Tambin plantea de m odo matem ticamente acertado elllamado cparalelogramo de las velocidades)). Este problemafigura en las cuestiones 1 848b10): Cuando [un punto, uncuerpo] es transportado en determinada proporcin, porfuerza lo transportado ha de ser transportado en lnea recta,y esa recta e s diagonal de la figura que producen las lneascompuestas en esa proporcin)) y 23 854b16 y SS.)en don-de se refiere a un caso especial del anterior, el de u n rom-boide con lados de longitud muy desigual.


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Puntualmente aparecen cuestiones de alcance ms gene-ral, aunque el tratadista no es consciente de su autntica im-portancia: la friccin 8), a proporcin entre los tamaos delas ruedas y el movimiento que producen 9, 11, 12, 13), elrozamiento 15), fuerza, movimiento e inercia -aunqueni conoce esos conceptos ni les da nombre- 19, 31, 32,33,34).Otras veces las preguntas resultan sorprendentes; as, en25, una cuestin banal y carente de relacin con la mecnicaPor qu hacen los lechos con un lado doble que el otro,un lado de seis pies y un poco ms y el otro de tres? ,Y porqu no tensan las cuerdas segn las diagonales?)) es respon-dida en trminos geomtricos mediante comparacin de n-gulos y polgonos. Tambin sorprende, en este caso por suatrevimiento, la cuestin 35: Por qu los objetos movidosen aguas con remolinos son llevados al final todos al cen-tro?.

VALORACIONES DE LA OBRA

Son evidentes las diferencias que separan las reflexionesfsicas de la Antigedad de las de nuestro tiempo tanto enplanteamiento como en objetivo y mtodo. Eso explica, almenos en parte, que las valoraciones emitidas por los estu-diosos ms prximos a nosotros hayan pecado de simplistasen alguna ocasin. Algo de eso ocurre con Heiberg que serefiere a esta obra como una variada coleccin de proble-mas de inters sumamente desigual6.

eschichte .. pg. 67.

Para Taton, el autor sabe plantear hbilmente problemasmuy precisos y consigue asentar principios fundamentales,como el de la palanca o el paralelogramo de velocidades.Por contra -sigue el juicio de este autor- las solucionesque aporta no siempre son afortunadas y el autor mezcla de-masiado frecuentemente consideraciones metafsicas con susrazonamientos.Heath ha sido uno de los mejores comentaristas del tra-tado en los ltimos tiempos; sus comentarios, amplios, re-flexivos y bien documentados han pasado ms de una vez alas notaSSque emos aadido a nuestra traduccin, y all en-contrar el lector las referencias correspondientes. Las opi-niones expresadas por Heath han influido notablemente enlos escritos posteriores sobre la Mecnica, y no es raro en-contrar reflejos de sus comentarios en las explicaciones deotros autores.En la Antigedad la obra debi de ser objeto de lecturay estudio, como lo demuestran ciertos pasajes de Vitmbio yHern. El texto, olvidado en la Edad Media tanto en elmundo rabe como en el latino, fue recuperado por el Rena-cimiento, perodo en el que despert un inters singularsi-mo, para caer de nuevo en el olvido tras la aparicin de lamecnica de Galileo. Esta es la tesis que han demostradoDrake y Rose7, quienes han recogido y comentado datosque ponen de relieve la gran influencia ejercida por la Me-cnica a lo largo del siglo XVIA lo largo de ese siglo aparecieron media docena de tra-ducciones a distintas lenguas latn, italiano, alemn, espa-ol); fue objeto de cursos en Pars en 1565 y en Padua en1570, 1581 y 1598

aristóteles, sobre las líneas indivisibles. mecánica. euclides, Óptica. catóptrica. fenómenos

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