52

ARCHIMEDOVSKÉ MNOHOSTENY VESELO I VÁŽNE

Miroslava Konrádová, KAM SjF ŽU, Žilinská univerzit a, Žilina Úvod Počiatky samotnej teórie mnohostenov siahajú k počiatkom geometrických úvah vôbec. Pravidelné konvexné mnohosteny boli popísané už v 13.knihe Euklidových Základov. V staroveku a stredoveku sa tieto telesá stali zdrojom rôznych, väčšinou zavádzajúcich úvah filozofického charakteru. Hoci týchto päť mnohostenov dodnes nazývame „Platónske telesá“, neznamená to, že ich objavil Platón. Boli tak nazvané najmä preto, že Platón vo svojom diele „Tímaios“ pripisuje tvar prvých štyroch pravidelných mnohostenov atómom štyroch základných živlov. Johannes Kepler zas pomocou týchto telies určoval počet planét a vzdialenosti ich dráh. Skutočnosť, že pravidelných konvexných mnohostenov je len päť bola dokázaná až v 18. storočí.

1. Mnohouholníky a mnohosteny – základné pojmy 1.1 Rovinný mnohouholník Def.1.1: Rovinným mnohouholníkom sa nazýva rovinná lomená čiara A1A2A3...AnA1, t.j. zjednotenie úsečiek A1A2, A2A3, ...AnA1, kde A1A2A3...An sú rôzne nekolineárne body E2. Body A1A2A3...An sa nazývajú vrcholy mnohouholníka, úsečky A1A2, A2A3, ...AnA1 sa nazývajú strany mnohouholníka. ( Dve strany, ktoré majú spoločný vrchol, nazveme susedné strany). Často (ak nebude povedané inak i v nasledujúcich kapitolách) za mnohouholník považujeme nielen lomenú čiaru A1A2A3...AnA1, ale aj vnútornú oblasť ohraničenú touto lomenou čiarou. Def.1.2: Prostým mnohouholníkom nazveme taký mnohouholník, ktorého žiadne dve nesusedné strany sa nepretínajú, žiadny z vrcholov neleží na strane a každý vrchol je koncovým bodom práve dvoch strán mnohouholníka Predpokladáme, že definície vnútornej a vonkajšej oblasti mnohouholníka, konvexného mnohouholníka a vnútorného uhla mnohouholníka sú všeobecne známe, preto ju neuvádzame. 1.2 Mnohosten Def.1.3: Uvažujme o konečnom počte mnohouholníkov M „rozložených“ v priestore tak, že:

1) každá strana ľubovoľného z mnohouholníkov M je stranou ešte jedného a práve jedného mnohouholníka M,

symbol V S H reprezentant

[3,3] 4 4 6 štvorsten- tetraeder

[3,4] 6 8 12 osemsten- oktaeder

[4,3] 8 6 12 šesťsten- hexaeder

[5,3] 20 12 30 dvanásťsten- dodekaeder

[3,5] 12 20 30 dvadsaťsten- ikosaeder

Tab.1 Pravidelné konvexné mnohosteny

Obr.1

53

2) v prípade, že A je vrchol jedného z mnohouholníkov M a B je vrchol ľubovoľného iného, existuje lomená čiara, ktorej koncovými bodmi sú vrcholy A, B a stranami sú strany niektorých mnohouholníkov z M,

3) ak V je množina všetkých vrcholov mnohouholníkov M, potom aspoň jeden z vrcholov leží v inej rovine ako zvyšné.

Potom množinu zloženú z vrcholov, bodov strán a vnútorných oblastí mnohouholníkov M nazveme uzavretou mnohostenovou plochou resp. mnohostenom. Strany a vrcholy tvoriacich mnohouholníkov nazveme hranami a vrcholmi príslušného mnohostena. Mnohouholníky M (chápané ako časti roviny) nazveme steny mnohostena. Dve steny, ktoré majú spoločnú hranu, nazývame susedné steny a uhol, ktorý zvierajú nazveme dvojstenný uhol. Ak S je spoločným vrcholom viacerých stien mnohostena, potom časť priestoru ohraničenú týmto vrcholom a ním prechádzajúcimi stenami nazveme mnohostenný resp. vrcholový uhol mnohostena pri vrchole S. Uhol, ktorý zvierajú hrany tej istej steny mnohostena, sa nazýva hranový uhol. Def.1.4: Mnohosten nazveme jednoduchý resp. prostý, ak spĺňa podmienky:

1) všetky jeho steny sú prosté mnohouholníky, 2) žiadne jeho dve nesusedné steny nemajú spoločné body (vnútorné ani hraničné)

s výnimkou jediného spoločného vrcholu, 3) dve susedné steny majú iba jednu spoločnú hranu a nemajú iné spoločné body.

Def.1.5: Mnohosten nazveme konvexným, ak sa všetky jeho vrcholy nepatriace ľubovoľnej jednej stene mnohostena, nachádzajú v jednom a tom istom polpriestore vzhľadom na rovinu, v ktorej táto stena leží (obr.2a- konvexný mnohosten, obr.2b- nekonvexný mnohosten)

Najjednoduchšími konvexnými mnohostenmi sú n-boké ihlany a n-boké hranoly. 2. Dôležité vety o mnohostenoch Veta 2.1: Eulerova veta Pre každý konvexný mnohosten platí rovnosť: S + V – H = 2. Dôkaz Eulerovej vety je jednoduchý a prenecháme ho na čitateľa. Vo všeobecnosti je možné Eulerovu vetu dokázať matematickou indukciou pre všetky planárne mapy (teória grafov). Uvažujme o mnohostene na obr.3. V tomto prípade veta 2.1 neplatí: S+V-H = 12+12-24 = 0!

Prečo? Čím sa líši od iných mnohostenov? Nazvime tento mnohosten toroidný resp. mnohosten s „priechodným prstencom“ . Mnohosteny, ktoré takýto prstenec nemajú, nazveme mnohosteny nultého rádu. Rádom mnohostena teda budeme nazývať počet „priechodných prstencov“, ktoré prostý mnohosten obsahuje.

Odvoďme teda Eulerovu vetu vo všeobecnom tvare: Veta 2.2: Pre každý prostý mnohosten nultého rádu platí rovnosť : S + V – H = 2. Veta 2.3: Dôsledok Eulerovej vety

Obr.2a Obr.2b

Obr.3

54

a) S ≤ 2/3 H V ≤ 2/3 H b) S ≥ 1/3 H + 2 V ≥ 1/3 H + 2 c) V ≤ 2S -- 4 S ≤ 2V-- 4

Dôkaz: a)

� Každá stena mnohostena má najmenej tri hrany (S ≤ 1/3H ) a zároveň každá hrana patrí dvom stenám → 3S ≤ 2H → S ≤ 2/3H

� V každom vrchole sa „stretávajú“ tri hrany a zároveň každá hrana inciduje s tromi vrcholmi → 3V ≤ 2H → V ≤ 2/3H

b) Z EV →S+V = 2+H, z a) → V ≤ 3/4H, potom S+ 2/3H ≥ S + V → S ≥ + 1/3H+ 2 Analogicky dokážeme V ≥ 2 + 1/3H c) Z EV →H =S+V--2, z a) → V ≤ 2/3H, potom

2/3(S+V--2) ≥ V → 2/3S -- 4/3 ≥ 1/3 →2S – 4 ≥ V Analogicky dokážeme S ≤ 2V-- 4 Eulerova veta a jej dôsledky sú nevyhnutnými podmienkami k tomu, aby k ľubovoľnej trojici čísel S, V, H existoval mnohosten M taký, že S je počet jeho stien, V je počet vrcholov a H je počet jeho hrán. Sú to však aj postačujúce podmienky? Odpoveď na túto otázku dal v r.1906 nemecký univerzitný profesor E. Steinitz. Veta 2.4: Steinitzova veta Ku každej trojici prirodzených čísel S, V, H spĺňajúcej podmienky Eulerovej vety a jej dôsledkov existuje mnohosten M s počtom vrcholov V, stien S a hrán H. Dôkaz vykonáme tak, že tento mnohosten zostrojíme. 3. Kombinatorické – topologické vlastnosti mnohostenov → vlastnosti mnohostenov vyplývajúce len z incidenčných vzťahov medzi prvkami určujúcimi daný mnohosten Def.3.1: Dva mnohosteny sú izomorfné, ak medzi vrcholmi, hranami a stenami jedného mnohostena a medzi vrcholmi, hranami a stenami druhého mnohostena existuje také vzájomne jednoznačné zobrazenie, pre ktoré platí: a) vrcholom (hranám, stenám) jedného mnohostena priradí vrcholy (hrany, steny) druhého mnohostena, b) incidenčné vzťahy medzi jednotlivými vrcholmi, hranami a stenami sa zobrazením nemenia.

Ako príklad izomorfných mnohostenov uvádzame na obr.4a trojboký hranol, na obr.4b zrezaný trojboký ihlan a na obr.4c klin. O dvoch izomorfných

mnohostenoch potom hovoríme ako o mnohostenoch jedného kombinatorického typu. Pri skúmaní kombinatorických vlastností mnohostena teda môžeme tento zameniť ľubovoľným iným, ktorý je s ním izomorfný, čiže je toho istého kombinatorického typu. Ak teda chceme zadať mnohosten niektorého kombinatorického typu (hovoríme tiež, že zadávame mnohosten s presnosťou až na izomorfizmus), stačí, ak zadáme jeho vrcholy, hrany a steny a určíme, ktoré z nich sú navzájom incidentné.

Obr.4a Obr.4b Obr.4c

55

4. Metrické vlastnosti mnohostenov → vlastnosti mnohostenov opierajúce sa o pojmy ako sú veľkosť, dĺžka a pod. Metrická teória mnohostenov skúma teda povrch a objem mnohostenov, polomer opísanej, či vpísanej guľovej plochy, dĺžky hrán, obsahy stien, veľkosti vnútorných uhlov mnohostenov a podobne. 4.1 Zhodnosť mnohostenov Každý, kto lepil alebo aspoň držal v rukách papierový, či iný model mnohostena, si mohol všimnúť jeho tvar a možno sa nad ním zamyslel. Intuícia určite všetkým napovie, že tvar mnohostenov nie je náhodný, že je podmienený nejakými nejasnými, očividne existujúcimi vzťahmi medzi stenami mnohostena. Otázka tvaru mnohostenov je veľmi stará a ako sa ukázalo, vôbec nie jednoduchá. Prvý dôležitý krok pri jej riešení urobil až v roku 1813 francúzsky matematik A.L.Cauchy. Nie bez príčiny nesie veta o jednoznačnosti tvaru mnohostenov resp. o zhodnosti dvoch mnohostenov práve jeho meno. Dôkaz tejto vety bol, tak ako ho vo svojich prácach uviedol A.L.Cauchy, nedokonalý a až omnoho neskôr ho upravil E.Steinitz.

Veta 4.1: Cauchyho veta Nech M a M’ sú konvexné mnohosteny a nech existuje izomorfizmus φ taký, že zodpovedajúce si steny mnohouholníkov M a M’ sú zhodné. Potom sú tieto mnohosteny zhodné. Keďže podľa predpokladu vety je izomorfizmus φ taký, že odpovedajúce si steny M a M’ sú zhodné, stačí dokázať, že aj dvojstenné uhly pri odpovedajúcich si hranách sú v izomorfizme φ zhodné. Dôkaz samotnej vety je pomerne zdĺhavý, opiera sa o niekoľko pomocných tvrdení platných pre rovinné i sférické mnohouholníky a pre nedostatok priestoru ho neuvádzame. 4.2 Sieť mnohostena Def.4.1: Súhrn mnohouholníkov zhodných so stenami nejakého mnohostena (alebo ich časťami) spolu s označením vrcholov a strán, ktoré treba spolu zlepiť, nazveme sieť mnohostena. Je samozrejmé, že ak máme daný mnohosten, vždy môžeme zostrojiť jeho sieť. Už menej je jasné, či túto sieť môžeme zostrojiť jednoznačne, t.j. či pre daný mnohosten existuje jediná

sieť. Ďalej je otázne, či naopak, zadaním skupiny mnohouholníkov a schémy zlepovania jednotlivých strán a vrcholov vždy určíme nejaký mnohosten a ak áno, koľko rôznych mnohostenov môžeme týmto spôsobom zostrojiť. Inými slovami, vynárajú sa otázky:

1. o jednoznačnosti siete daného mnohostena,

2. o existencii a jednoznačnosti mnohostena s vopred danou sieťou.

Na prvú otázku odpovieme jednoduchým príkladom. Na obr.5 sú dve siete kocky.

A

A

A

A

B

B

C

C

D

D

E

E

E

E

Obr.5

A

A H

B

B

B

C

D

E

E

F

F

G

F

56

Hoci siete sú na pohľad rôzne, kocky, ktoré z nich vymodelujeme sú zhodné. Odpoveď na druhú otázku je o niečo zložitejšia. Z veľkej časti sme na ňu už odpovedali. Cauchyho vetou je totiž zaručená existencia a jednoznačnosť konvexného mnohostena daného sieťou, ktorej tvoriace mnohouholníky sú stenami, vrcholy vrcholmi a strany týchto mnohouholníkov sú hranami mnohostena. Na obrázku 5 je však znázornená sieť kocky, pre ktorú toto neplatí. Z akých sietí je teda možné zostrojiť konvexný mnohosten? Na túto otázku v roku 1939 odpovedal leningradský matematik A.D.Alexandrov. Veta 4.2: Alexandrovova veta K tomu, aby sme z danej mnohouholníkovej siete mohli zostrojiť konvexný mnohosten, je nevyhnutné a dostačujúce, aby boli splnené podmienky:

1. pre danú sieť musí platiť Eulerova veta : S+V–H = 2 (hrany, ktoré zlepujeme rátame 1x),

2. súčet hranových uhlov pri každom vrchole musí byť menší ako 360°. Dôkaz: 1. zrejmý z Eulerovej vety pre konvexné mnohosteny a z definície siete mnohostena,

2. predpokladajme, že súčet hranových uhlov pri niektorom vrchole by bol väčší nanajvýš rovný 360° : keby súčet bol rovný 360°, splynuli by všetky steny incidentné s daným vrcholom do jednej steny – tvorili by jednu rovinu; keby súčet uhlov by bol väčší ako 360°, existovali by aspoň dve steny incidujúce s týmto vrcholom, ktoré by nespĺňali podmienku konvexnosti mnohostena.

Alexandrovovu vetu môžeme teda vo všeobecnosti považovať za silnejšie tvrdenie ako je tvrdenie Cauchyho vety. Ak z danej siete možno zlepiť konvexný mnohosten, tak iba jeden. Navyše z tejto siete nemožno získať iné konvexné povrchy – mnohostena ani inej plochy. 5. Polopravidelné mnohosteny a ich vlastnosti Už v úvode článku sme spomenuli, že existuje 5 rôznych (s presnosťou až na podobnosť) topologicky i metricky pravidelných mnohostenov. Skôr ako sa dostaneme k mnohostenom polopravidelným a k ich vlastnostiam, považujeme za potrebné zadefinovať pojem hviezda vrcholu. Def.5.1: Hviezdou vrcholu A daného mnohostena nazývame množinu všetkých s ním incidentných stien a všetkých vrcholov a hrán týchto stien. Definícia izomorfizmu medzi dvomi hviezdami rôznych vrcholov je analogická definícii 3.1 izomorfných mnohostenov (stačí, ak pojem mnohosten nahradíme pojmom hviezda vrcholu). Hviezdu niektorého vrcholu zadáme s presnosťou až na izomorfizmus, ak určíme počet s stien tejto hviezdy, počet n1 vrcholov jednej zo stien α1, počet vrcholov n2 k nej susednej steny α2, ... počet vrcholov ni steny αi ... 5.1 Topologicky polopravidelné mnohosteny Def.5.2: Topologicky vrcholovo polopravidelným mnohostenom nazveme taký mnohosten, ktorého hviezdy všetkých vrcholov sú navzájom izomorfné. Pokúsme sa nájsť všetky také mnohosteny. Sústreďme sa pritom len na mnohosteny nultého rádu, ktoré nie sú topologicky pravidelné. Na vyčíslenie všetkých typov topologicky vrcholovo polopravidelných mnohostenov postačí nájsť všetky možné typy hviezd ich vrcholov. Pre každý nájdený typ hviezdy vrcholu potom dokážeme zostaviť schému

57

zodpovedajúceho mnohostena a pomocou Steinitzovej vety dokázať existenciu a jednoznačnosť hľadaného mnohostena až na izomorfizmus. Nech V, S a H sú počty vrcholov, stien a hrán mnohostena, pričom s1 je počet n1-uholníkových stien, s2 je počet n2-uholníkových stien,.... si je počet ni-uholníkových stien a podobne. Nech ďalej každý vrchol mnohostena je incidentný s s stenami, z toho nech je s1 n1- uholníkových,.... si ni- uholníkových atď. Ukážme predovšetkým, že v žiadnom z vrcholov mnohostena sa nemôže stretávať príliš mnoho stien, t.j. ohraničme s zhora. V každom vrchole sa stretáva s hrán, spoločný počet hrán vo všetkých vrcholoch mnohostena je teda Vs. . Keďže takto započítavame každú hranu dvakrát, musí platiť HVs 2. = . (1) Z vety 2.3.a) vyplýva HS 23 ≤ a podľa (1) platí ......... sVS ≤3 (2) Ak podľa vety 2.1 platí 2=−+ HVS teda HVS >+ , potom po dosadení (1) a (2) do tohto

vzťahu dostávame : sVs

HVSVs

VSVs <⇒=>+≥+⇒≥ 6

2

.

3

.

3

.. Počet stien s

incidentných s jedným vrcholom môže teda byť 3,4 alebo 5. Všetky n1-uholníkové steny obsahujú na jednej strane 11.Sn hranových uhlov a na strane

druhej Vs .1 hranových uhlov. Potom VsSn .. 111 = resp. 1

11

.

n

VsS = . Analogicky nájdeme

vzťah pre nSSS ..., 32 , vo všeobecnosti teda platí: k

kk n

VsS

.= . (3)

Pre spoločný počet stien mnohostena potom platí: .......2

2

1

121 ++=++= V

n

sV

n

sSSS (4)

Po dosadení (1) a (4) do Eulerovej vety dostávame rovnosť: 22

...2

2

1

1 +−=++ VVs

Vn

sV

n

s,

teda V

s

n

s

n

s 2

2

2...

2

2

1

1 +−=++ (5)

Hľadajme teda prirodzené čísla ,...,,,...,,, 321321 nnnsss a V tak, aby spĺňali vzťah (5).

Uvažujme o rôznych hodnotách s : A. s = 3 → v každom vrchole sa stretávajú tri steny, ktoré môžu byť 2 alebo 3 rôznych typov:

A.1. s1 = 2; s2 = 1 → rovnica (5) má tvar : Vnn

2

2

112

21

+=+ , teda 2

112

21

>+nn

. Ak 32 ≥n ,

musí byť 3

11

2

≤n

, preto 6

12 >n

a 121 <n . Z geometrického hľadiska ľahko zistíme, že počet

n1 musí byť párny, teda n1 môže nadobúdať hodnoty 4, 6, 8, 10.

A.1.a n1 = 4, zo vzťahu : Vnn

2

2

112

21

+=+ vyplýva 22nV = , čím je daný počet

V prirodzeným číslom pri ľubovoľnom celom nn =2 . Z (3) potom dostávame nnS == 21 a

22 =S . Našli sme teda mnohosten s n 4-uholníkovými stenami a s dvoma n-uholníkovými stenami. Tento mnohosten je izomorfný s n-bokou prizmou. Našli sme prvú nekonečnú sériu topologicky polopravidelných mnohostenov (pre rôzne n). Je nutné vylúčiť z tejto série mnohosten s n = 4, ktorý je pravidelný.

A.1.b n1 = 6, zo vzťahu : Vnn

2

2

112

21

+=+ vyplýva Vn

2

2

11

3

1

2

+=+ odkiaľ 2

2

6

12

n

nV

−= .

58

Je zrejmé, že 62 ≥n . Ak n2 = 3, V=12 → mnohosten má 12 vrcholov a v každom z nich sú dve 6-uholníkové a jedna 3-uholníková stena (mnohosten je izomorfný s otupeným dodekaédrom), ak n2 = 4, V=24 → mnohosten má 24 vrcholov a v každom z nich je jedna 4-uholníková a dve 6-uholníkové steny (mnohosten je izomorfný s otupeným hexaédrom), n2 = 5, V=60 → mnohosten má 60 vrcholov a v každom z nich sa stretajú dve 6-uholníkové steny s jednou 5-uholníkovou stenou (mnohosten je izomorfný s otupeným dodekaédrom).

A.1.c n1 = 8, zo vzťahu : Vnn

2

2

112

21

+=+ → Vn

2

2

11

4

1

2

+=+ odkiaľ 2

2

4

8

n

nV

−= teda

42 ≥n Jediná možnosť existuje pre n2 = 3, V=24→ mnohosten má 24 vrcholov a v každom z nich sú dve 8-uholníkové a jedna 3-uholníková stena (mnohosten je izomorfný s otupeným oktaédrom)

A.1.d n1 = 10, zo vzťahu : Vnn

2

2

112

21

+=+ → Vn

2

2

11

5

1

2

+=+ odkiaľ 2

2

310

20

n

nV

−= teda,

ak 0310 2 >− n , potom 32 ≤n a súčasne 32 ≥n , teda 32 =n → V=60→ mnohosten má 60 vrcholov a v každom z nich sú dve 10-uholníkové a jedna 3-uholníková stena (mnohosten je izomorfný s otupeným ikosaédrom). A.2. s1 = s2 = s3 =1 Aj v tomto prípade každá z hodnôt n1, n2, n3 musí byť párna → rovnica (5) má tvar :

Vnnn

2

2

1111

321

+=++ , teda 2

1111

321

>++nnn

musí aspoň jedna z neznámych na ľavej strane

byť väčšia ako 6

1. Nech napríklad

6

11

1

>n

, teda 61 <n . Odtiaľ n1 = 4, Vnn

2

4

111

32

+=+ . Je

očividné, že 4

111

32

>+nn

a teda jedna z hodnôt na ľavej strane musí byť väčšia ako 8

1. Nech

napríklad 8

11

2

>n

, teda 82 <n . Ak uvážime, že 21 nn ≠ , potom n2 = 6 a 12

11

3

>n

čiže

123 <n . Keďže 321 nnn ≠≠ ostávajú prípady, keď n3 = 10 alebo n3 = 8.

A.2.a n3 = 8, V = 48→ mnohosten má 48 vrcholov a v každom z nich je jedna 4-uholníková, jedna 6-uholníková a jedna 8-uholníková stena (mnohosten je izomorfný s otupeným kubooktaédrom) A.2.b n3 = 10, V = 120→ mnohosten má 120 vrcholov a každý z nich je incidentný s jednou 10-uholníkovou, jednou 6-uholníkovou a jednou 4-uholníkovou stenou (mnohosten je izomorfný s otupeným ikosododekaédrom). Tým sme vyriešili prípad, kedy je každý vrchol mnohostena incidentný s tromi stenami a ostáva nám vyriešiť prípad B, kedy každý vrchol je incidentný so štyrmi stenami (možnosti typov stien: 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1) a prípad C, keď každý vrchol je incidentný s 5 stenami. Túto analýzu však už ponecháme na čitateľa. Ak nepočítame dve nekonečné série – n-boké prizmy a n-boké antiprizmy, môžeme po vyčerpaní všetkých možností vysloviť nasledujúce tvrdenia: Veta 5.1: Existuje 14 kombinatorických typov topologicky vrcholovo polopravidelných mnohostenov nultého rádu (tab.2)

59

5.2 Metricky polopravidelné mnohosteny Def.5.3: Mnohosten sa nazýva metricky vrcholovo polopravidelným – archimedovským, ak všetky jeho steny sú pravidelné mnohouholníky viac ako jedného typu a všetky jeho mnohostenné uhly sú zhodné. Veta 5.2: Existuje 13 rôznych (s presnosťou až na podobnosť) metricky polopravidelných – archimedovských mnohostenov. 5.3 Archimedovské mnohosteny ako ich našiel Archimedes Svedectvo o Archimedovom objave polopravidelných mnohostenov sa zachovalo najmä zásluhou Alexandrijského encyklopedistu Pappa a jeho práce „Mathematikai synagogai“ (matematická zbierka). Predpokladá sa, že Archimedes zostrojil všetky tieto telesá z piatich pravidelných – Platónskych mnohostenov. Podľa ďalšieho alexandrijského matematika Heróna vznikli tieto telesá štyrmi spôsobmi : A. vrcholy pravidelných mnohostenov zrezal rovinami rozpoľujúcimi všetky hrany vedúce k

jednotlivým vrcholom B. rezovými rovinami odťal z hrán menšie časti ako polovice tak, aby vznikli pravidelné

mnohouholníky C. odsekol hrany platónskeho telesa rovinou rovnobežnou s hranou, odtínajúcou na ostatných

hranách rovnaké časti D. do steny pravidelného mnohostena umiestnil sústredný pravidelný mnohouholník, podobný

pôvodnému a pootočený o určitý uhol k hranám pôvodnej steny – vrcholy týchto mnohouholníkov pospájal a zvyšné časti odstránil

60

symbol S H V reprezentant objem povrch Obr.

[3,6,6] 8 18 12 otupený tetraéder 12

2233a 37 2a 6a

[3,8,8] 14 36 24 otupený hexaéder 3

214213 +a ( )56192 +a

6b

[3,10,10] 32 90 60 otupený dodekaéder 2103a ( )552682 +a 6c

[4,4,q] q+2 3q 2q q-boká prizma 6d [4,6,6] 14 36 24 otupený oktaéder 283a ( )13262 +a

6e

[4,6,8] 26 72 48 otupený kubooktaéder ( )214223 +a ( )1012242 +a 6f

[4,6,10] 62 180 120 otupený ikosododekaéder ( )5704423 +a ( )541462 +a 6g

[5,6,6] 32 90 60 otupený ikosaéder ( )5561553 +a ( )522422 +a 6h

[3,3,3] 2q+2 4q 2q q-boká antiprizma

( )3

1312

5333

nSn

a−

+

+

+ nSna 2

2

32

6i

[3,4,3,4] 14 24 12 kubooktaéder 3

253a ( )6322 +a 6j

[3,4,4,4] 26 48 24 rombokubooktaéder ( )3

25623 +a ( )18322 +a

6k

[3,4,5,4] 62 120 60 romboikosododekaéder ( )2143 3 +a ( )54692 +a 6l

[3,5,3,5] 32 60 30 ikosododekaéder ( )514103 +a ( )52772 +a 6m

[3,3,3,3,4] 38 60 24 obsekaný hexaéder 3

2683a ( )31662 +a 6n

[3,3,3,3,5] 92 150 60 obsekaný dodekaéder ( )5191473 +a ( )339412 +a 6o

Tab.2 Polopravidelné konvexné mnohosteny

Obr.6a

Obr.6b

61

Obr.6h

Obr.6f Obr.6g

Obr.6d

Obr.6e

Obr.6c

Obr.6j Obr.6i

62

Literatúra: [1] Enciklopedia elementarnoj matematiky IV.,V., Moska, Nauka, 1963. – 568s. [2] Jucovič, E.: Konvexné mnohosteny, Bratislava, veda vydavateľstvo SAV, 1981 [3] Kvant číslo 1/1978 str.8-17 [4] Kvant číslo 12/1980 str.9-14 [5] Kvant číslo 5/1988 str.6-14 [6] Sekanina, M.,Sekaninová, A..: Mnohostěny, Brno, Univerzita J.E.Purkyně, 1977

Obr.6m

Obr.6n

Obr.6k

Obr.6o

Obr. 6l