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HORMIGÓN ARMADO Y PRETENSADO I

HORMIGÓN PRETENSADO

Apuntes de Teoría

10 de abril de 2003 Unidad Docente de Hormigón Estructural Departamento de Mecánica de los Medios Continuos y Teoría de Estructuras Universidad Politécnica de Madrid

Documento nº: apuntes_pretensado EDB 100403 Edición nº: B Preparado: APC,MFD Comprobado: Aprobado: HCP

Hormigón Pretensado 2/28

Doc. No.: apuntes_pretensado EDB 100403.doc Unidad Docente de Hormigón EstructuralFecha: 16/05/03

INDICE

1 INTRODUCCIÓN 3

2 TIPOS DE PRETENSADO 3 2.1 Pretensado Preteso 3

2.2 Pretensado Posteso 4

2.3 Pretensado Exterior 5

3 DISEÑO DEL TRAZADO DEL PRETENSADO EN ESTRUCTURAS POSTESAS 6

4 PÉRDIDAS DE PRETENSADO 7 4.1 Pérdidas instantáneas 7

4.1.1 Pérdidas por rozamiento (20.2.2.1.1 EHE) 7

4.1.2 Pérdidas por penetración de cuña (20.2.2.1.2 EHE) 8

4.1.3 Pérdidas por acortamiento elástico (20.2.2.1.3 EHE) 10

4.2 Pérdidas diferidas (20.2.2.2 EHE) 10

5 SIMULACIÓN DE LOS EFECTOS DEL PRETENSADO MEDIANTE FUERZAS EQUIVALENTES DE PRETENSADO 11

5.1 Introducción 11

5.2 Deducción de la expresión de las fuerzas equivalentes de pretensado 11

5.3 Cálculo simplificado de Fuerzas equivalentes de pretensado 15

5.4 Modelización de estructuras de canto variable. 16

5.5 Momento hiperestático del pretensado 17

6 ESTADO LÍMITE ÚLTIMO 20

7 ESTADO LÍMITE DE SERVICIO 22 7.1 Comprobación de tensiones (49.2 EHE) 22

7.1.1 Comprobación en vacío 22

7.1.2 Comprobación a tiempo infinito 23

7.2 Comprobación de fisuración en secciones pretensadas 23

8 BIBLIOGRAFÍA 28



1 INTRODUCCIÓN En este documento se incluye una breve introducción al diseño de estructuras de hormigón pretensado. En él se incluye una definición de los principales tipos de pretensado, criterios para definir el trazado de tendones de pretensado posteso, cálculo de pérdidas de pretensado, formas de simular los efectos de pretensado (cargas equivalentes o deformaciones impuestas), determinación del momento último de secciones pretensadas, comprobaciones de tensiones (vacío y servicio) y cálculo de abertura de fisuras en elementos pretensados. Se trata por lo tanto de una visión global del proceso de diseño y verificación de estructuras de hormigón pretensado.

2 TIPOS DE PRETENSADO

2.1 Pretensado Preteso El pretensado preteso se caracteriza porque los cables se ponen en tensión antes de hormigonar el elemento. Para ello, resulta necesario disponer de un banco de tesado como el representado en la figura siguiente tomada de la referencia [1]:

En el pretensado preteso no se dispone ni vaina de pretensado ni anclajes en el hormigón. La fuerza de pretensado se transfiere al hormigón mediante adherencia. No obstante sí se disponen anclajes de cuña en la bancada, necesarios para la fijación provisional de los cordones de pretensado. En la figura siguiente, se muestran una vista de una bancada de pretensado con y sin la ferralla del elemento pretensado



En la figura siguiente se puede ver el anclaje de los cordones de pretensado en la bancada mediante un sistema de cuñas.

Como consecuencia de la forma en que se fabrica este tipo de elemento, en general el trazado de pretensado es recto, aunque, excepcionalmente, se pueden plantear trazados de tipo poligonal introduciendo desviadores intermedios.

2.2 Pretensado Posteso El pretensado posteso se caracteriza porque los cables se ponen en tensión despúes de hormigonado del elemento. Por ello, es necesario dejar prevista una vaina (ver foto) con objeto de permitir el libre desplazamiento del pretensado en el hormigón con objeto de poder realizar el tesado.

En este caso el anclaje del pretensado en el hormigón se hace por medios mecánicos mediante una placa que se apoya en una trompeta. En las fotos siguientes se muestran algunos detalles de este tipo de elemento.



Generalmente, una vez realizado el tesado, se procede a inyectar la vaina con lechada de cemento. La inyección dos funciones principales:

Proteger a la armadura activa de la corrosión Proporcionar adherencia entre armadura activa y hormigón

2.3 Pretensado Exterior El pretensado exterior se caracteriza porque el cable de pretensar discurre por fuera de la sección de hormigón, ya sea por el interior de un aligeramiento, ya sea por el exterior del canto del elemento como en el caso de soluciones con pretensado extradosado.

El pretensado exterior tiene grandes posibilidades debido a que sus aplicaciones no se limitan a los puentes de hormigón como puede verse en la figura siguiente donde se muestra el Puente sobre el Barranco de Cavalls que es una estructura de celosía mixta con pretensado exterior.



3 DISEÑO DEL TRAZADO DEL PRETENSADO EN ESTRUCTURAS POSTESAS

Para plantear el trazado de los cables de pretensado se pueden adoptar, en términos generales, las siguientes reglas:

En los anclajes, el trazado del pretensado debe pasar por el centro de gravedad de la sección, debido a que el momento en dicho punto suele ser nulo. No obstante, existen excepciones a esta regla, como por ejemplo cables pertenecientes a una fase de un procedimiento constructivo.

El cable debe tener su máxima excentricidad en los puntos de máximo momento (apoyos intermedios y centros de vanos interiores y a una distancia aproximada del 40% de la luz desde el apoyo extermo en vanos exteriores) Esta excentricidad viene limitada por la necesidad de dejar un recubrimiento geométrico de una vaina. Dependiendo del calibre de los tendones de pretensado, el diámetro de la vaina varía en aplicaciones de puentes entre 10 y 12 cm, por lo que el recubrimiento mecánico mínimo varía entre 15 y 18 cm.

En los puntos de máxima excentricidad el cable tiene tangente horizontal. El trazado de pretensado está compuesto por una succesión de parábolas

tangentes que en algún caso pueden degenerar en rectas. Es importante que el trazado sea recto en una longitud de 1.00 a 2.00 metros de la proximidad de un anclaje o un acoplador.

Si considera el tramo de trazado comprendido entre la máxima excentricidad en centro de vano (punto A) y la máxima excentricidad en el apoyo (Punto C), estos dos puntos están alineados con el punto en el que se produce la tangencia de las dos parábolas (punto B), como se demuestra en la figura siguiente.

Si se fija un criterio para definir la distancia del punto de tangencia al punto de máxima excentricidad, el trazado de pretensado queda perfectamente

1.5h

L1 L2

1.5φ

f2f1

h

1.5φ

A

BC

=

=

211 2

1

' 11 2

1

2

fy x

Lf

y xL

= =' 11 1

1

2fPara x L y

L

=

=

222 2

2

' 22 2

2

2

fy x

Lf

y xL

= =' 22 2

2

2fPara x L y

L

= ⇒ =' ' 1 21 2

1 2

f fy y

L LPor lo tanto A,B y C están alineados

1.5h

L1 L2

1.5φ

f2f1

h

1.5φ

A

BC

1.5h

L1 L2

1.5φ

f2f1

h

1.5φ

A

BC

=

=

211 2

1

' 11 2

1

2

fy x

Lf

y xL

= =' 11 1

1

2fPara x L y

L

=

=

222 2

2

' 22 2

2

2

fy x

Lf

y xL

= =' 22 2

2

2fPara x L y

L

= ⇒ =' ' 1 21 2

1 2

f fy y

L LPor lo tanto A,B y C están alineados



definido. Un posible criterio es limitar la longitud de la parábola del apoyo que tiene curvatura negativa a 1.5 veces el canto de la estructura, con objeto de conseguir que las fuerzas de desvío correspondientes a dicha parábola entren en el apoyo sin incrementar significativamente la necesidad de disponer armadura de cortante (ver figura)

4 PÉRDIDAS DE PRETENSADO La fuerza de pretensado que se especifica en el gato al tesar una estructura, no es la misma fuerza que alcanza las distintas secciones de la misma. De forma instantánea y a lo largo del tiempo, se producen pérdidas de pretensado que dependen de la sección considerada. Las pérdidas no afectan de igual forma los distintos tipos de pretensado (pretensado preteso, pretensado posteso, pretensado exterior) En esta sección se describen los distintos tipos de pérdidas de pretensado, relacionándolos con los distintos sistemas de pretensar.

4.1 Pérdidas instantáneas

4.1.1 Pérdidas por rozamiento (20.2.2.1.1 EHE) Las pérdidas por rozamiento se producen por fricción entre los cables de pretensado y la vaina. Este tipo de pérdidas se produce solamente en elementos postesos puesto que en elementos pretesos, el tesado se hace sin más rozamiento que el del aire. Las pérdidas por rozamiento pueden calcularse de acuerdo con la expresión siguiente:

1 1k

x

kP P eµ α

µ

− +

∆ = −

En esta expresión, µ es el coeficiente de rozamiento en curva, k es el coeficiente de rozamiento parásito en recta, α es la variación angular entre el punto en que se calcula la pérdida de pretensado y la sección en que la fuerza de pretensado es Pk y x es la distancia horizontal entre dichas secciones. En la tabla siguiente se presentan los valores más habituales de µ y k/µ.

1.5h

h

1.5h 1.5h

h

1.5h



Como valores típicos para un puente de hormigón posteso se pueden adoptar µ=0.21 y k/µ=0.006.

4.1.2 Pérdidas por penetración de cuña (20.2.2.1.2 EHE) Las pérdidas por penetración de cuñas se producen en el momento en que el gato suelta el cable. Debido a que el sistema de anclaje se produce por fricción, resulta inevitable un pequeño deslizamiento del cordón en la cuña. Este deslizamiento arrastra la cuña y estrecha el hueco por el que pasa el torón, aumentando el rozamiento hasta que se obtiene un anclaje total. Aunque el concepto es el mismo en puentes pretesos que postesos, su cálculo es diferente debido a que en unos ésta pérdida afecta a todo el cable por igual, mientras que en otros se produce un rozamiento negativo que limita la zona de cable afectada. El valor de la penetración de cuña (a) es un dato inherente al sistema de pretensado y su valor está en torno a 4-6 mm.

Elementos pretesos En elementos pretesos la pérdida por penetración de cuña viene dada por la siguiente expresión:

2 p p p p

aP E A E A

Lε∆ = ∆ =

Elementos postesos En elementos postesos el cálculo de las pérdidas por penetración de cuña supone la determinación de dos incógnitas (ver figura):

El valor de esta pérdida en la sección del anclaje La longitud x de cable afectada por la pérdida

11

8L

a=α

3211

ααααα ++==∑=

x

ii

α Variación angular total

0.240.200.15Con lubricación

ligera (aceite soluble)



0.280.220.18Sin lubricar2) Tendón formado por un único elemento aislado, en una vaina sin tratamiento.

Sin lubricar1) Tendón formado por varios elementos

agrupados en una misma vaina de acero sin

tratamiento superficial.

0.31

Barras laminadas corrugadas.

0.25

Barras laminadas lisas.

0.21

Alambres o cordones trefilados.

Naturaleza de los aceros constitutivos de las armadurasEstado superficial de

las armaduras.

Disposición de las armaduras en las

vainas.

Valores del coeficiente de rozamiento µ en curva.

0.006

>60

0.007

60

0.009

50

0.012

40

0.016

30

k/µ

Diámetro interior del conducto [mm]

11

8L

a=α

3211

ααααα ++==∑=

x

ii

α Variación angular total





0.280.220.18Sin lubricar2) Tendón formado por un único elemento aislado, en una vaina sin tratamiento.

Sin lubricar1) Tendón formado por varios elementos

agrupados en una misma vaina de acero sin

tratamiento superficial.

0.31

Barras laminadas corrugadas.

0.25

Barras laminadas lisas.

0.21

Alambres o cordones trefilados.

Naturaleza de los aceros constitutivos de las armadurasEstado superficial de

las armaduras.

Disposición de las armaduras en las

vainas.

Valores del coeficiente de rozamiento µ en curva.

0.006

>60

0.007

60

0.009

50

0.012

40

0.016

30

k/µ

Diámetro interior del conducto [mm]



Para resolver el problema se pueden plantear las siguientes consideraciones:

La penetración de cuña es un desplazamiento que se obtiene como integral de la deformación que se produce por la pérdida por penetración de cuña lo largo de la longitud de cable afectada por la misma:

( ) ( )2 2

1 1 1 1( ) 0

2

x x

p p p p p po o

a x dx P x dx S P x xE A E A E A

ε= ∆ = ∆ = ≈ ∆ = ×∫ ∫

Si se admite que el rozamiento al tesar es igual al rozamiento negativo que se

produce al anclar las cuñas, se puede establecer una relación de semejanza de triángulos según se muestra en la figura siguiente:

Combinando estas ecuaciones se puede obtener la pérdida por penetración de cuña en la sección del anclaje:

( ) [ ]22 2

2

1 1 1 10 ( 0)

2 4

( 0) 4

B A

p p p p A B

A Bp p

B A

x xa P x x P x

E A E A P P

P PP x aE A

x x

−= ∆ = × = ∆ =

−

−→∆ = =

−

22

( 0)1 1( 0)

2 2A B B A

B A A B

P xP P x xx P x

x x x P P∆ =− −

= → = ∆ =− −

∆P1

∆P2

P

P0

S

x

Ley de fuerza de pretensado al destesar.

Ley de fuerza de pretensado al tesar (P0-∆P1).

∆P1

∆P2

P

P0

S

x

Ley de fuerza de pretensado al destesar.

Ley de fuerza de pretensado al tesar (P0-∆P1).

Ley de fuerzas a lo largo del elemento

0

50

100

150

200

250

300

350

0 3 4 5 6 7 8 9

Distancia [m]

Fuer

za[k

N]

x

∆P2

AB

CD


0

50

100

150

200

250

300

350

0 3 4 5 6 7 8 9

Distancia [m]

Fuer

za[k

N]

x

∆P2


0

50

100

150

200

250

300

350

0 3 4 5 6 7 8 9

Distancia [m]

Fuer

za[k

N]

x

∆P2

AB

CD



De esta forma queda resuelto el problema.

4.1.3 Pérdidas por acortamiento elástico (20.2.2.1.3 EHE)

Elementos pretesos En elementos pretesos la pérdida por acortamiento elástico se produce al cortar los cables. En este caso la fuerza de cada uno de los cables produce un acortamiento en la viga que, a su vez se traduce en una pérdida de pretensado al acortarse el hormigón coincidente con la fibra media del pretensado. Por lo tanto, la pérdida de pretensado por acortamiento elástico se puede determinar multiplicando la deformación del hormigón debida al pretensado más las cargas permanentes ( εcgp=σ cgp /Ecj) por el módulo de deformación del acero (Ep) y por el área de pretensado (Ap):

3p

p cgp p cgp pcj

EP E A A

Eε σ∆ = =

Elementos postesos En el caso de elementos postesos, el problema es distinto debido a al procedimiento de tesado. Si se tesa un solo cable, no existe pérdida por acortamiento elástico debido a que al tesar se controla la fuerza y el acortamiento elástico se compensa aumentando el recorrido del gato hasta obtener la fuerza de tesado especificada. En el caso en que se tengan dos cables que se tesan de forma consecutiva, el último cable en tesarse no tendrá pérdida alguna por acortamiento elástico, mientras que el primer cable tendrá una pérdida equivalente a la producida por la mitad de la fuerza de tesado total. Por lo tanto la pérdida media de pretensado sería: de ( )0 1/ 2 / 2 1/ 4+ = de la que se habría producido en el caso de un elemento preteso. Con tres cables, la pérdida media sería ( )0 1/ 3 2 / 3 / 3 1/ 3+ + = de la de un elemento preteso. Con carácter general, la fórmula que se debe aplicar es la siguiente:

3

12

pp cgp p cgp p

cj

EnP E A A

n Eε σ−

∆ = =

4.2 Pérdidas diferidas (20.2.2.2 EHE) De acuerdo con el modelo de la EHE, las pérdidas diferidas pueden calcularse a partir de la siguiente expresión:

( )

0 0

2

0

( , ) ( , ) 0.8

1 1 1 ( , )

cp p cs prdif p

p c p

c c

n t t E t tP A

A A yn t t

A I

ϕ σ ε σ

χϕ

+ + ∆∆ =

+ + +

siendo: Ap Área de pretensado Ac Área de la sección de hormigón Ic Inercia de la sección de hormigón χ Coeficiente de envejecimiento. Se puede tomar igual a 0.8. ϕ Coeficiente de fluencia ver (39.8 EHE) εcs Deformación de retracción (37.7 EHE) n Coeficiente de equivalencia (n=Es/Ec)



∆σpr Relajación intrínseca del pretensado (38.9 EHE) En esta expresión, el denominador tiene en cuenta la coacción que ejerce la armadura adherente de pretensado frente al libre desarrollo de las deformaciones diferidas, mientras que el numerador corresponde a la pérdida de pretensado debida a la deformación que se produciría sin coacción alguna.

5 SIMULACIÓN DE LOS EFECTOS DEL PRETENSADO MEDIANTE FUERZAS EQUIVALENTES DE PRETENSADO

5.1 Introducción En este apartado se describe una forma de simular el efecto del pretensado sobre una estructura basado en la introducción de fuerzas en la estructura que tienen un efecto equivalente al efecto del pretensado. Este procedimiento permite el cálculo de esfuerzos y deformaciones debidas al pretensado. Cuando se estudia el estado tensional o los esfuerzos (no las flechas) debidos al pretensado, sólo es necesario recurrir al cálculo de fuerzas equivalentes de pretensado si la estructura es hiperestática. De otra manera, los esfuerzos se pueden obtener de forma directa y son iguales a:

( )( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )p cdg

N P xM P x y x y x P x e x== × − = ×

En este caso, no existe momento hiperestático de pretensado (ver 5.5).

5.2 Deducción de la expresión de las fuerzas equivalentes de pretensado

El conjunto de fuerzas equivalentes de pretensado es un sistema autoequilibrado de fuerzas concentradas en los anclajes y fuerzas distribuidas a lo largo del trazado de los cables de pretensado. El sistema debe ser autoequilibrado, debido a que, si se considera el sistema estructura+pretensado, al tensar sobre este sistema no se aplica ninguna carga exterior. El gato tira del cable de pretensar apoyándose en la estructura. Por esta razón, las fuerzas equivalentes de pretensado se calculan imponiendo la condiciones de equilibrio ( 0; 0; 0x yF F M= = =∑ ∑ ∑ ).

Como ya se indicó más arriba, el cable de pretensado ejerce sobre el hormigón:

- Unas fuerzas concentradas en los anclajes (o en la zona de transferencia si se trata de un pretensado preteso).

- Unas fuerzas normales al cable debidas a la curvatura del mismo y tangenciales al mismo, debidas al rozamiento. El problema resulta equivalente al de las fuerzas que ejerce un cable sobre una polea.



Figura 1 — Fuerzas equivalentes de pretensado Debido a que resulta difícil trabajar con fuerzas en un sistema de coordenadas curvilíneas (n,t), para plantear las ecuaciones de equilibrio, resulta cómodo proyectar las fuerzas n y t según 2 direcciones ortogonales (horizontal y vertical) y referir el punto de actuación de la componente horizontal de cada sección al centro de gravedad de la viga. De esta manera, el sistema de fuerzas n,t, se transforma en un sistema de fuerzas equivalente q,h,m:

coscos

( )cdg p

q n t senh n sen tm h y y

α αα α

= × + ×= × + ×= × −

siendo α ángulo que forma el cable de pretensado respecto de la horizontal yp distancia de la fibra de pretensado respecto una fibra de referencia

arbitraria ycdg distancia del centro de gravedad de la sección a una fibra de referencia

arbitraria

Figura 2 — Fuerzas equivalentes de pretensado proyectadas según 2 ejes ortogonales y referidas al centro de gravedad de la sección. En general, las fuerzas q, h y m varían a lo largo del eje del elemento. Para su cálculo se puede discretizar el elemento en rebanadas, suficientemente pequeñas como para que pueda considerarse que dentro de la rebanada q, h y m son constantes. Debido al efecto del pretensado cada rebanada está sometida a un conjunto de fuerzas autoequilibradas:

La fuerza de pretensado al inicio de la rebanada, Pk1. La fuerza de pretensado al final de la rebanada, Pk2. Las fuerzas distribuidas a lo largo de la rebanada q, h y m.

l

b

dd´

h

P 2P1 n

t

l

b

dd´

h

P 2P1 n

t

V1

h

d´d

b

l

H1

M1=H1 x e1

V2

H2

M2=H2 x e2

hx

n,t

q(x)

M(x)

V1

h

d´d

b

l

H1

M1=H1 x e1

V2

H2

M2=H2 x e2

hx

n,t

q(x)

M(x)



Pk1 y Pk2, pueden calcularse a partir de la fuerza de tesado en los extremos mediante el cálculo de pérdidas de pretensado y son por lo tanto valores conocidos. q, h y m pueden determinarse a partir de las ecuaciones de equilibrio. En lo que sigue se denomina V a la componente vertical de la fuerza de pretensado, H a la componente horizontal y M al producto de H por la excentricidad del pretensado respecto del centro de gravedad de la sección (momento isostático de pretensado).

V1

h

d´d

b

l

H1

M1=H1 x e1

V2

H2

M2=H2 x e2

hx

n,t

q(x)

M(x)

e 2

∆x

e 1

m

h

q

α1

Pk1

α2

Pk2

V1

h

d´d

b

l

H1

M1=H1 x e1

V2

H2

M2=H2 x e2

hx

n,t

q(x)

M(x)

V1

h

d´d

b

l

H1

M1=H1 x e1

V2

H2

M2=H2 x e2

hx

n,t

q(x)

M(x)

e 2

∆x

e 1

m

h

q

α1

Pk1

α2

Pk2

e 2

∆x

e 1

m

h

q

α1

Pk1

α2

Pk2

e 2

∆x

e 1

m

h

q

α1

Pk1

α2

Pk2



Figura 3 - Fuerzas de pretensado actuantes en una rebanada Equilibrio de fuerzas verticales:

Equilibrio de fuerzas horizontales:

Equilibrio de momentos (se toma momentos respecto del centro de gravedad de la sección 2):

Repitiendo este procedimiento para todas las rebanadas consideradas, se obtienen los valores del sistema de fuerzas equivalentes a lo largo del elemento (q(x), m(x) y h(x)).

e 2

∆x

e 1

m

h

q

α1

Pk1

∆x

m

h

V1

H1

M1= H1 e1

V2

H2 M2= H2 e2

q

e 2

∆x

e 1

m

h

q

α1

Pk1

e 2

∆x

e 1

m

h

q

α1

Pk1

∆x

m

h

V1

H1

M1= H1 e1

V2

H2 M2= H2 e2

q

∆x

m

h

V1

H1

M1= H1 e1

V2

H2 M2= H2 e2

q

1 1 2 21 21 2 0 k kP sen P senV V

q x V V qx x

α α−−∆ − + = ⇒ = =

∆ ∆

2 2 1 12 11 2

cos cos0 k kP PH H

h x H H hx x

α α−−∆ + − = ⇒ = =

∆ ∆

( ) ( )

21 2

1 1 2 1

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2

02 2

cos cos2

k k k k

x M M xV x M q m x M m V q

xP e P e P sen P sen

mx

α α α α

∆ − ∆− ∆ − + + ∆ + = ⇒ = + −

∆− +

= +∆



5.3 Cálculo simplificado de fuerzas equivalentes de pretensado El procedimiento explicado en el apartado anterior resulta adecuado para el cálculo por ordenador, pero resulta demasiado complejo para un cálculo a mano. Las expresiones anteriores, pueden, sin embargo simplificarse de forma muy notable si se admiten las siguientes hipótesis:

Se admite un coeficiente de pérdidas global, de tal forma que la fuerza de pretensado se considera igual en todas las secciones. Como valor indicativo, se pueden evaluar las pérdidas instantáneas de pretensado en un 10% de la fuerza de tesado (P0), mientras que las pérdidas de pretensado pueden estar en torno a un 15% de la fuerza de tesado. Con estas premisas, se puede escribir:

1 2 00.75P P P P≈ ≈ × =

El trazado de pretensado es tal que el ángulo que forma el cable con la

horizontal, α, es pequeño. Esta condición se cumple en la práctica debido a que las vigas son elementos alargados, en los cuales la luz puede ser del orden de 20 veces el canto. Esta condición da lugar a ángulos α máximos del orden de 10 a 15º. Con esta premisa, se pueden plantear las siguientes simplificaciones:

cos 1.0

( )sen tg radianesαα α α

≈≈ ≈

El trazado de pretensado está formado por un conjunto de parábolas

tangentes en sus extremos (o rectas, que pueden considerarse como parábolas degeneradas). Esta condición también suele cumplirse en la práctica.

Admitiendo estas simplificaciones, se pueden volver a examinar las ecuaciones de equilibrio anteriores.

Figura 4 — Definición geométrica de un tramo de trazado parabólico. Equilibrio de fuerzas verticales:

Dado que la parábola es de segundo grado:

( ) ( )( )1 1 2 21 2 2 2 2k kP sen P sen P P

q tg tg a x x ax aPx x x

α αα α

−= ≈ − = − +∆ + = −

∆ ∆ ∆

cdg

Sección 2Sección 1 ∆x

y 0

x

e 1

e 2

y = ax2-y0α1 α2

α=0

ySección 1 Sección 2

( )'1 1 1 2y tg sen a x xα α= = = − +∆

( )( )

21 1 0

21 1 0

y e a x x y

y e a x x y

=− = +∆ −

= = − +∆ +

'2 2 2 2y tg sen axα α= = =−

22 2 0

22 2 0

y e ax y

y e ax y

= − = −

= = − +cdg


y 0

x

e 1

e 2

y = ax2-y0α1 α2

α=0

y

cdg


y 0

x

e 1

e 2

y = ax2-y0α1 α2

α=0

y

cdg


y 0

x

e 1

e 2

y = ax2-y0α1 α2

α=0

cdg


y 0

x

e 1

e 2

y = ax2-y0α1 α2

α=0

ySección 1 Sección 2

( )'1 1 1 2y tg sen a x xα α= = = − +∆

( )( )

21 1 0

21 1 0

y e a x x y

y e a x x y

=− = +∆ −

= = − +∆ +

'2 2 2 2y tg sen axα α= = =−

22 2 0

22 2 0

y e ax y

y e ax y

= − = −

= = − +



1" 2y a

r≈ =

y la ecuación anterior puede escribirse como:

Pq

r=

Por lo tanto la fuerza de desvío producida por el pretensado es igual a la fuerza axil dividida por la curvatura (al igual que ocurre en una polea, o en un tubo sometido a presión). Equilibrio de fuerzas horizontales:

Debido a que se ha supuesto un coeficiente de pérdidas global y que se iguala el cosα a 1, no se requiere fuerza horizontal para garantizar el equilibrio. Equilibrio de momentos: De la ecuación de la parábola, se obtiene (ver figura 4):

y del equilibrio de momentos:

Este resultado también es lógico, puesto que m es el momento producido por h que, como se acaba de ver, es nulo. Por lo tanto de forma simplificada las fuerzas equivalentes de pretensado se reducen a:

Fuerzas concentradas en los anclajes o zona de transmisión Para cada tramo de parábola, una fuerza vertical constante igual a la fuerza de

pretensado dividida por el radio de curvatura de la parábola. En tramos rectaos (pretensado preteso), la fuerza de desvío es nula (r=∞).

5.4 Modelización de estructuras de canto variable. En las piezas de canto variable, al modelizar el pretensado mediante fuerzas equivalente, resulta de gran importancia que la geometría del modelo tenga en cuenta la variación del centro de gravedad de la sección, puesto que, en este caso el momento de pretensado en una sección viene dado además de por las fuerzas

( )2 2 1 1cos cos1 1 0k kP P P

hx x

α α−= ≈ − =

∆ ∆

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 1 1 1 21 1 2 22 2cos cos

2 02 2

k k k kax a x xP e P e P sen P sen

m P ax a x Px

α α α α + +∆− += + ≈ − − ∆ + =

∆

( )2 2 21 1 0 0 2y e a x x y y ax ax x a x= = − +∆ + = − − ∆ + ∆

22 2 0y e y ax= = −



distribuidas por el producto de la fuerza horizontal en los anclajes por la variación de la posición del centro de gravedad.

5.5 Momento hiperestático del pretensado Debido a que el sistema de fuerzas equivalentes de pretensado es un sistema autoequilibrado, por equilibrio global de la estructura, la suma de reacciones debidas al pretensado debe ser nula. En el caso de elementos isostáticos, esta condición requiere que todas las reacciones sean nulas. En dicho caso, el momento de pretensado en cada sección es igual al momento respecto de esa sección de las fuerzas equivalentes de pretensado situadas a la izquierda (o, alternativamente a la derecha) de dicha sección.

Figura 5 — Momento de pretensado en una estructura isostática Haciendo referencia a la Figura 5 (en la que se admiten, sin que ello tenga influencia en este razonamiento, un esquema de fuerzas equivalentes simplificado y que el pretensado pasa por el centro de gravedad de la sección en el anclaje), si se corta una estructura isostática en una sección distante x de la sección de apoyo (y a+x de la sección del anclaje), la suma de los momentos respecto del centro de gravedad de la sección de corte (y respecto de cualquier otro punto) debe ser nula, puesto que esta

Modelo Estructural

Pk Pk

∆M=Pk ∆ycdg∆M=Pk ∆ycdg

Modelo Estructural

Pk Pk


Modelo Estructural

Pk Pk


xa

P

V1

Vx

P

M = P e

e

R=0

xa

P

V1

Vx

P

M = P e

e

R=0



es la condición que se impuso para calcular las fuerzas de pretensado, por tratarse de un sistema autoequilibrado:

2

1

( )( ) 0

2x a

M q V x a P e+

= × + × + − × =∑

Por lo tanto el momento de las fuerzas equivalentes de pretensado situadas a la izquierda de la sección de corte, que es igual al momento de pretensado en dicha sección, vale P×e. En el caso de una estructura hiperestática, si bien la suma de reacciones debe ser igual a cero, esto no es cierto de cada una de las reacciones. En la Figura 6, se propone un ejemplo que puede ayudar a entender este problema.

Figura 6 — Ejemplo de una estructura hiperestática pretensada Si se considera esta viga de 2 vanos y, simplificadamente, que la fuerzas equivalentes de pretensado pueden representarse por las fuerzas en los anclajes y una fuerza de desvío vertical constante, q, para determinar las reacciones, se puede seguir el siguiente procedimiento (ver Figura 7):

se libera el apoyo central se calcula la flecha debida a q en el centro de la estructura, fq. se impone una fuerza, que se denomina, por razones prácticas, 2R en

el centro de la estructura y se calcula su valor en función de R, f2R. Se impone la condición de compatibilidad que permite deducir el

valor de la incógnita hiperestática: fq= f2R.

l

b

dd´

h

PP

V V

q

l

b

dd´

h

PP

V V

q



Figura 7 — Determinación de reacciones hiperestáticas de pretensado. Si en el apoyo central aparece una reacción hacia abajo (tracción en el apoyo) de 2R, por equilibrio global y simetría, en los apoyos extremos, debe aparecer una reacción igual a R. Si ahora, se vuelve a considerar el caso de la Figura 5, el equilibrio en la sección situada a una distancia x del apoyo se ve alterado por la presencia de una reacción no nula. Esta situación se representa en la Figura 8.

P P

hd´

d

b

l

V

R2RR

V

q

P P

hd´

d

b

l

V

R2RR

V

q

V

q

P P

l

f q V

f 2R

PP

V V2R

l

R R

V

q

P P

l

f q VV

q

P P

l

f q V

f 2R

PP

V V2R

l

R R

f 2R

PP

V V2R

l

R R



a x

eP

V1

q

R=0

P

Vx

M=P e+R x

a x

eP

V1

q

R=0R=0

P

Vx

M=P e+R x

Figura 8 — Momento de pretensado en una estructura hiperestática Como puede verse, el momento total de pretensado es ahora la suma de dos términos:

P×e, que es el momento debido a las fuerzas equivalentes de pretensado y se denomina momento isostático de pretensado, y

R×x, que es debido a la aparición de una reacción de pretensado no nula y que se denomina momento hiperestático de pretensado.

De forma general, el momento total de pretensado es la suma de estos dos términos. En el caso de estructuras isostáticas, el segundo término es nulo y el momento de pretensado es directamente P×e.

6 ESTADO LÍMITE ÚLTIMO Este apartado se refiere exlusivamente a secciones con armadura activa adherente. El problema de cálculo del momento resistente de una sección pretensada es, en principio, un problema de flexión compuesta. En el lado solicitante se tiene, el momento de las cargas exteriores Md, el momento hiperestático de pretensado Mp,hip, el momento isostático de pretensado Mp,isos =P×e y la fuerza de pretensado P. En el lado resistente, por su parte, se tiene la compresión en el hormigón y la capacidad a tracción remanente del pretensado, equivalente al área de la armadura activa multiplicada por el límite elástico del pretensado menos la tensión debida a la predeformación del pretensado en caso de que ésta armadura se platifique. En caso contrario, la tracción debida a la armadura de pretensado sería su área multiplicada por el módulo de deformación del pretensado y por la deformación del hormigón deducida del plano de deformación de rotura ε1

p.

1 Este planteamiento supone despreciar la deformación de neutralización que corresponde a la deformación que tiene la sección debida a la acción del pretensado y que es de sentido contrario a la deformación que se genera al plantear el plano de rotura, que se mide a partir de un estado no deformado o neutro. Por ello, de forma más precisa la deformación total del pretensado se compone de tres términos: la predeformación, la deformación de neutralización y la deformación compatible con la deformación del hormigón. Se trata de un efecto favorable de pequeña entidad si se compara con el valor de la predeformación.



Figura 9 - Cálculo en E.L.U. de una sección pretensada. Planteamiento inicial A continuación se proporcionan las expresiones de la compresión, la tracción y de la predeformación del pretensado. La expresión correspondiente a la predeformación supone que se pretensa al 75% de la tensión de rotura fpu (normalmente 1860∼1900 MPa) y que las pérdidas de pretensado (instantáneas más diferidas) pueden estimarse en un 25%.

El sistema de fuerzas formado por el axil de pretensado, aplicado en el centro de gravedad y el momento isostático de pretensado es equivalente a un axil aplicado en la fibra de pretensado, como se muestra en la figura siguiente.

Figura 10 - Cálculo en E.L.U de una sección pretensada. Fuerza de pretensado aplicada en el c.d.g. de la armadura activa. El equilibrio se mantiene si a los dos lados de la ecuación se añade la misma fuerza con la misma excentricidad.

( )0

0

0.85 0.8

min ;

0.750.75

1.0

cd

p p p pyd p

pu

p

p

C f b x

T A E f E

f

E

ε ε

ε

γ

= ×

= −

≈

=

C

A

10 ‰ 2 ‰

3.5 ‰BC

T

P

0.8x

e

h

d ´d

b

Md Mp,hip

Misos=Pe

σc =0.85 fcd

∆x

cd

x

C

A

10 ‰ 2 ‰

3.5 ‰B

C

A

C

A

10 ‰ 2 ‰

3.5 ‰BC

T

P

0.8x

e

h

d ´d

b

Md Mp,hip

Misos=Pe

σc =0.85 fcd

∆x

cd

x

10 ‰ 2 ‰

3.5 ‰BC

T

P

0.8x

e

h

d ´d

b

Md Mp,hip

Misos=Pe

σc =0.85 fcd

∆x

cd

x

C

A

10 ‰ 2 ‰

3.5 ‰B

C

TP

x 0.8x

e

h

d´d

b

MdMp,hip

σc =0.85 fcd

∆x

A

C

B

C

TP

x 0.8x

e

h

d´d

b

MdMp,hip

σc =0.85 fcd

∆x

A

C

B

x 0.8x

e

Md Mp,hip

σc =0.85 fcd

∆x

C

T

B

P

h

d´d

b

C

A PP

x 0.8x

e

Md Mp,hip

σc =0.85 fcd

∆x

C

T

B

P

h

d´d

b

C

A PP



Figura 11 - Cálculo en E.L.U de una sección pretensada. Se suma la misma fuerza a ambos lados.

Figura 12 - Cálculo en E.L.U de una sección pretensada. Planteamiento habitual en ELU.

Con este planteamiento, el problema se transforma formalmante en un problema de flexión simple que vendría a ser una generalización del problema ya estudiado para hormigón armado. Las diferencias son dos:

A la deformación de pretensado hay que añadirle la predeformación ε0. Al momento debido a las cargas exteriores hay que añadirle el momento

hiperestático de pretensado.

7 ESTADO LÍMITE DE SERVICIO

7.1 Comprobación de tensiones (49.2 EHE)

7.1.1 Comprobación en vacío En general, el pretensado se dimensiona para garantizar unas ciertas condiciones tensionales y de abertura de fisura para tiempo infinito y combinación de cargas frecuente. Al pretensar la viga, la carga aplicada es mucho menor (sólo actúa el peso propio) y la fuerza de pretensado alcanza su valor máximo debido a que aún no se ha producido ninguna pérdida diferida. En esta situación puede ocurrir que el pretensado, (proyectado para tiempo infinito y una carga mayor) sea excesivo. Ello puede dar lugar a los siguientes problemas:

Una tracción que dé lugar a una fisuración no controlada en la fibra opuesta a la de la fibra de pretensado.

Una compresión excesiva en la fibra cercana a la fibra de pretensado que dé lugar a una microfisuración del hormigón.

El primer problema se resuelve, en caso de producirse tracciones importantes, disponiendo una armadura pasiva en la cara opuesta a la del pretensado que sea suficiente para controlar la fisuración que se pueda producir al tesar. Las fisuras que puedan abrirse al tesar se cerrarán posteriormente por efecto de la aplicación de la carga muerta y el desarrollo de las pérdidas diferidas de pretensado.

( )( )0

0min ;

p p

p p p pyd

P A E

T P A E f

ε

ε ε

=

+ = +

T+P

C

x 0.8x

e

Md Mp,hip

σc =0.85 fcd

∆x

A

C

b

dd´

hB

T+P

C

x 0.8x

e

Md Mp,hip

σc =0.85 fcd

∆x

A

C

b

dd´

hB



El segundo problema no puede resolverse tan fácilmente y se exige un límite a la compresión máxima, que viene dado por:

0.6c ckjfσ ≤ ×

donde: σc tensión en la fibra más comprimida fckj resistencia característica del hormigón en el momento de tesar La combinación de esfuerzos a considerar para la comprobación en vacío es la siguiente:

ip kP ppγ +

siendo: pp el peso propio de la viga Pki fuerza de pretensado a tiempo cero γp coeficiente de ponderación del pretensado igual a 1.1 si el efecto del

pretensado es desfavorable y 0.9 si el efecto de pretensado es favorable.

En el caso de la comprobación en vacío el efecto del pretensado es claramente perjudicial para la estructura y por lo tanto γp debe tomarse igual a 1.10 en el caso de estructuras construidas in situ y 1.05 en el caso de estructuras prefabricadas..

7.1.2 Comprobación a tiempo infinito Para el estado final de una estructura, la Instrucción EHE exige las siguientes condiciones, en función del tipo de ambiente:

Ambiente Tipo I (interior) o Abertura de fisura inferior a 0.2 mm para la combinación de cargas

frecuente.

Ambiente Tipo II,H o Abertura de fisura inferior a 0.2 mm para la combinación de cargas

frecuente. o Fibras de pretensado totalmente comprimidas para la combinación

cuasipermanente.

Ambientes Tipo III,IV,Q,F o Sección totalmente comprimida para la combinación frecuente.

7.2 Comprobación de fisuración en secciones pretensadas Para el cálculo de la abertura de fisura en secciones pretensadas, es válido el modelo general ya estudiado para hormigón armado. La abertura de fisura media, se calcula como el producto de la separación media entre fisuras (sm) por la diferencia media entre la deformación del acero y la deformación del hormigón en el entorno de la fisura (εsm). La abertura de fisura característica se obtiene multiplicando el valor anterior por el factor β que permite pasar de valores medios a



valores característicos. En general, en la dirección del pretensado el problema de fisuración es debido a un problema de cargas exteriores, por lo que β vale 1.7:

1.7k m smw s ε= × ×

La separación media se calcula a partir de la siguiente expresión2:

,

12 0.2 0.4 c efm

s

As c s k

Aφ= + + × ×

Al estar las secciones de hormigón pretensado sometidas, normalmente a flexión compuesta (ó compresión compuesta, en cuyo caso, no resulta necesario comprobar la fisuración), el factor k1 es igual a 0.125. La definición de los términos de esta ecuación es igual que para elementos de hormigón armado. La diferencia de deformación media entre el hormigón y el acero en el entorno de la fisura viene dada por:

2

1 0.5s srsm

s sEσ σ

εσ

= −

Determinación de σs, σsr La determinación de σs y σsr es más compleja en el caso de estructuras sometidas a flexión compuesta que en el caso de secciones sometidas a flexión simple, puesto que es este caso, las propiedades de la sección fisurada no pueden calcularse a partir de la condición de que la fibra neutra coincida con el centro de gravedad de la sección fisurada. En este caso la profundidad depende de la excentricidad de la carga y para cada momento exterior debe volver a calcularse la profundidad de la fibra neutra xfis.

En el caso más sencillo, correspondiente a una sección rectangular, debe resolverse una ecuación de tercer grado. A continuación se plantean las ecuaciones, de compatibilidad, las ecuaciones constitutivas, y las ecuaciones de equilibrio. Ecuaciones de compatibilidad:

Se admite la hipótesis de Navier. Si se toma como fibra de referencia la fibra neutra de la sección con los valores de ordenadas positivos hacia arriba y se admite que las tensiones de compresión son positivas esta condición puede ponerse como:

1( )y y

rε =

Se admite la hipótesis de adherencia perfecta entre hormigón y acero activo y pasivo.

Ecuaciones constitutivas: 2 Esta expresión supone despreciar el efecto del pretensado en el cálculo de la separación entre fisuras y queda del lado de la seguridad. La armadura de pretensado se podría sumar a As en el denominador del tercer término con un valor minorado para tener en cuenta su menor adherencia.



Hormigón

00 0

c c c c

c c

E sisi

σ ε εσ ε

= > = <

Acero de Pretensar

( )0p p pEσ ε ε= +

Acero pasivo s s sEσ ε=

Ecuaciones de equilibrio Equilibrio de axiles

0

0 ( )fisx

c p p s sb y dy A Aσ σ σ= + +∫

Equilibrio de momentos. El equilibrio de momentos se establece respecto de

la fibra neutra que se toma como fibra de referencia.

( ),0

( ) ( )fisx

serv P hip c p p fis p s s fisM M M b y ydy A x d A x dσ σ σ+ = = + − + −∫

Introduciendo las ecuaciones constitutivas y de compatibilidad en las ecuaciones de equilibrio se obtiene el siguiente sistema dos ecuaciones, con dos incógnitas (xfis,1/r):

( )

00

2 2 20

0

10 ( ) ( ) ( )

1( ) ( ) ( )

fis

fis

xp s

c p fis p s fis p pc c

xp s

c p fis p s fis p p fis pc c

E EE yb y dy A x d A x d E A

r E E

E EM E y b y dy A x d A x d E A x d

r E E

ε

ε

= + − + − +

= + − + − + −

∫

∫

En la expresión anterior, EpApεp es el axil de pretensado cambiado de signo, -P, puesto que representa la tracción en la armadura, y EpApεp(x-dp) es el momento isostático de pretensado, respecto de la fibra neutra, que, en este caso no coincide con el centro de gravedad de la sección fisurada. Por otra parte, el paréntesis en la ecuación de equilibrio de axiles es el momento estático de la sección fisurada respecto de la fibra neutra (Bfis) y el término entre paréntesis en la ecuación de equilibrio de momentos es el momento de inercia de la sección fisurada respecto de la fibra neutra (Ifis). El sistema de ecuaciones anteriores se puede resolver, eliminando en primer lugar la curvatura. Para ello, hay que pasar al término solicitante el axil de pretensado y su momento y dividir la ecuación de equilibrio de momentos por la de equilibrio de axiles. Como resultado de esta operación se obtiene la siguiente ecuación:

( )1

( )fis p fis fisfis p

fis fis

M P x d I IMe x d

P B P B

+ × −= ⇒ = = − − Ec. 7.2.1

De esta ecuación se deduce el valor de xfis (ver aplicación numérica a una sección rectangular más abajo). La curvatura se determina, posteriormente a partir de cualquiera de las dos ecuaciones de equilibrio. Finalmente, a partir de x,1/r y la ecuación constitutiva, se puede calcular la tensión en el acero:



( )1 1

1( )

fis p

c fis c fis

s s fis

M P x dPó

r E B r E I

E x dr

σ

+ −= =

= −

Esta operación debe repetirse para determinar el valor de σsr. En este caso, el momento solicitante es el momento de fisuración de la sección. El valor de este momento debe tener en cuenta el estado de presolicitación debido a la actuación del pretensado. Mfis, se calcula a partir de:

11

fis cctm fis ctm

c c c

M P e IP Pf y M f P e

A I A y − ×

= + ⇒ = − + ×

siendo fctm la tensión de fisuración media P la fuerza de pretensado e la excentricidad de la armadura activa respecto del centro de gravedad de la

sección de hormigón y1 la distancia entre la fibra más traccionada de la sección y el centro de

gravedad de la sección de hormigón Ic Inercia de la sección de hormigón Ac Área de la sección de hormigón. Aplicación Numérica Se considera una sección rectangular de 40×30 (b×h) pretensada con una armadura de 3 cm2, situada a 6.3 cm de la cara inferior de la sección. La armadura pasiva está formada por 3φ20 con 4 cm de recubrimiento mecánico. La fuerza de tesado es de 450 kN. El momento exterior debido a las cargas frecuentes es de 108 kN. Se pide calcular la abertura de fisura. Determinación de σs:

( ) ( )

( ) ( )

2 23

2

1312

fis fis p p fis p s s fis

fis fis p p fis p s s fis

I bx n A x d n A x d

B bx n A x d n A x d

= + − + −

= + − + −

Rescribiendo la ecuación 7.2.1:

( )( )( )( )( )( )

13 21

1

2 21

3 21 2 3 4

( )1( ( )) 0

6 2

0

0

pfis fis p fis fis fis

p p p s s p p p s s fis

p p p s s p p p p s s s

fis fis fis

e dI e x d B bx bx

n A d n A d e d n A n A x

n A d n A d e d n A d n A d

a x a x a x a

−− + − = ⇔− −

− + + − + +

+ + + − + =

⇔ + + + =

Cálculo de xfis y σs en el caso del ejemplo considerado,

MPaEc 2977983585003 =+=



( )

2

2

1

1

2

3

200000

6.72

3 9.43

3

0.260.237

450 0.75 337.599

0.293337.5

0.40.0667

60.293 0.237

0.40 0.01122

6.72 3 0.237 6.72 9.43 0.26

0.293 0.237 6.72 3 6.72 9.4

p s

p s

s

p

p

E E MPa

n n

A cm

A cm

d md m

P kN

e m

a

a

a

π

= =

= =

= × =

=

==

≈ × =

= =

= − = −

−= − × = −

× × + × ×= −

+ − × + ×( )

( )( )

4 3

2 24 4

4

3 2 3 4

10 2.593 103

6.72 3 0.237 6.72 9.43 0.2610 6.606 10

0.293 0.237 6.72 3 0.237 6.72 9.43 0.26

0.0667 0.0112 2.593 10 6.606 10 0 0.1285fis fis fis fis

a

x x x x m

− −

− −

− −

× = − ×

× × + × ×

= × = × + − × × + × × − × − − × + × = ⇒ =

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 4

3 3 3 13 3

2 23 4

4 4

10.40 0.1285 6.72 3 0.1285 0.237 9.43 0.1285 0.26 10

21 337.5

2.25 10 5.037 1029779 10 2.25 10

10.40 0.1285 6.72 3 0.1285 0.237 9.43 0.1285 0.26 10

391

4.16 10

fis

fis

B

m mr

I

mr

−

− − −− −

−

−

= × × + × × − + × − × =

= × ⇒ = = ×× × ×

= × × + × × − + × − × =

= × ⇒ =( ) 3 1

3 4

9 337.5 0.1285 0.2375.035 10 . .

29779 10 4.16 10m o k− −

− −

+ × −= × ⇒

× × ×

( )3200000 5.037 10 0.1285 0.26 132.47s MPaσ −= × × × − =

Cálculo del momento de fisuración:

2

3 4

2 23

1

4

1

1

2

0.15 0.063 0.087

0.40 0.30 0.121

0.40 0.30 9 1012

0.30 35 3209 /0.15

335.7 9 103209 337.5 0.087 65.40

0.12 0.1565.40

0.194337.5

0.40.0667

60.194 0.2

c

c

ctm

fis

e

A m

I

f kN my

M kNm

e m

a

a

−

−

= − =

= × =

= × = ×

= − = −= −

× = − − + × = −

= =

= − = −

−= −

( )( )

( )( )

3

4 33

2 24 4

4

370.40 8.600 10

26.72 3 0.237 6.72 9.43 0.26

10 1.177 100.194 0.237 6.72 3 6.72 9.43

6.72 3 0.237 6.72 9.43 0.2610 4.502 10

0.194 0.237 6.72 3 0.237 6.72 9.43 0.26

0.0

a

a

−

− −

− −

× = ×

× × + × × = − × = − × + − × + × × × + × ×

= × = × + − × × + × × − 3 3 2 3 4667 8.600 10 1.177 10 4.502 10 0 0.1844fis fis fis fisx x x x m− − −× + × − × + × = ⇒ =

( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 4

3 3 3 13 3

2 23 4

4 4

10.40 0.1844 6.72 3 0.1844 0.237 9.43 0.1844 0.26 10

21 337.5

6.216 10 1.823 1029779 10 6.216 10

10.40 0.1844 6.72 3 0.1844 0.237 9.43 0.1844 0.26 10

3

18.778 10

fis

fis

B

m mr

I

mr

−

− − −−

−

−

= × × + × × − + × − × =

= × ⇒ = = ×× × ×

= × × + × × − + × − × =

= × ⇒( ) 3 1

3 4

64.40 337.5 0.1844 0.2371.784 10 . .

29779 10 4.16 10m o k− −

−

+ × −= = × ⇒

× × ×

( )3200000 11.80 10 0.1844 0.26 27.21sr MPaσ −= × × × − =



( )

24

2

132.47 27.211 0.5 6.48 10

200000 132.47

0.4 0.04 7.5 0.022 0.03 0.20 0.133 0.4 0.125 0.02 0.167

3 0.011.7 0.167 0.648 0.183 0.20

sm

m

k

s m

w mm mm

ε

π

−

= − = × × + ×

= × + × + × × =× ×

= × × = ≤

8 BIBLIOGRAFÍA [1] Souza Veríssimo, G.,Lenz César, K. Jr. Concreto Pretendido. Fundamentos Básicos. Universidade Federal de ViÇosa . 4ªEd. Noviembre 1998.

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