MatematicaenlaSaludVeronicaPobleteOviedoContenidos1 Introducci on 12 N umerosReales 42.1 Axiomas y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Axiomas de Orden e Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Valor absoluto: Distancia en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 FuncionesdeVariableReal 173.1 Denici on, propiedades y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.2 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Algebra de Funciones y Funci on Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Funci on Exponencial y Funci on Logaritmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.1 Funci on Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.2 Funci on Logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.3 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 Trigonometra 454.1Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Funciones Trigonometricas de angulos agudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3 Funciones Trigonometricas de n umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4 Identidades Trigonometricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.5 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 LmitesyContinuidad 605.1 Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.1.1 Propiedades de los lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.1.2 Lmites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.1.3 Lmites en el innito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66iii5.2 Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.3 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706 Derivacion 756.1 Denici on e Interpretaci on Geometrica de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . 756.2 Calculo de Derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.2.1Algebra de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.2.2 Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.2.3 Derivadas de Orden Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.2.4 Funciones Implcitas y Derivaci on Implcita . . . . . . . . . . . . . . . 836.2.5 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3 Aplicaciones de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.3.1 Valores Extremos, Crecimiento y Decrecimiento . . . . . . . . . . . . . 886.3.2 Razon de Cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.3.3 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957 Integracion 1017.1 Integral Indenida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.1.1 Primitivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.1.2 Integral Indenida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.1.3 Reglas Basicas de Integracion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.1.4 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.2 Metodos de Integraci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.2.1 Integraci on por Sustituci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.2.2 Integraci on por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.2.3 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Captulo1Introducci onEl enfoque matem atico ha funcionado maravillosamente bien para la fsica, pero que hay dela biologa? La matematica es la ciencia de la estructura y las pautas,en los ultimos siglosse han descubierto modos en los que esta ciencia informa sobre la estructura profunda de lavida.Enel a no1917, enInglaterra, sepublicael libroSobreel CrecimientoylaFormadel autor DArcy Wentworth Thompson, un experto zo ologo con un importante gusto por lamatematica, quien postula:El mundo org anico es tan matematico como el mundo inorganico, la base matem atica delos seres vivos, sin embargo, es m as sutil, m as exible y esta profundamenteoculta.Si bien dicho texto est a bienconsiderado enmuchos crculos,nunca lo ha estado enlacorrienteprincipal de la biologa,esto debido a que las historias matematicasno encajabancuando se contrastabaconla evidencia directa de los laboratorios. Sin embargo,es posiblemencionar diversas situaciones en este ambito. Por ejemplo, para las criaturas vivas, el puntode partida es la celula: una min uscula mota de protoplasma contenida dentro de una delgadamembrana, pero de una estructura especializada y compleja. Una celulapuede dividirse endos,formando cada mitaduna nueva celulacompletacapazde reproducirse de nuevo y asindenidamente. Las celulas se multiplican dividiendose Suena a matematica?La formade una celula antes, durante y despues de la reproducci on es matematica: un crculo, un cortetransversal, en el crculo aparece una cintura que se estrecha, se estrangula en una gura enforma de ocho y se rompe para crear dos crculos.Otroejemplo, eslanaturalezamatematicadel reinovegetal. Lanotablegeometraynumerologa de las plantas, la disposici on de sus hojas a lo largo del tallo, las guras espiralesformadas en las semillas y el n umero de petalos.Mencionemostambien, ennuestroorganismo, lamoleculadehemoglobina, querecogeel oxgenodelospulmones, lollevaal torrentesanguneoyloliberadondeesnecesario.12Estafunci on, dependedelaformaprecisadelamolecula, desugeometratridimensional.Laformaesunaconsecuenciadeleyesdelafsicaylaqumicaqueseexpresanatravesde la matematica. El lectorpuede encontraruna visi onm as extensa de variadas relacionesbiol ogica-matematicaen [9].Enestetexto, estamosinteresadosenmostraraplicacionessimples dematem aticaele-mental en diversas areas de las ciencias naturales, en especial esta dirigido a estudiantes enel area de la salud y la biologa. En un curso tradicional de c alculo, los estudiantes de estasareasnovenclaramenteporqueel contenidoesrelevanteensueducacion, trataremosdemostrarles como el calculo puede ayudar a entender fen omenos de la naturaleza.Aqu nuestro objetivo es doble. Primero, proporcionar herramientas te oricas de matema-tica elemental,conceptos abstractos tratados con lenguaje simple que permitan al lector unf acil manejodel c alculo. Segundo, aplicarlosrecursosanteriorespararesolverproblemascotidianos, modelaralgunassituaciones, predeciryconcluir, especialmenteproblemasrela-cionados con seres vivos.Espocoloquesepuedeaprenderconsolomirarfriamentelateoraabstracta, yaseafsica, qumicaomatematica, debemosdarleunsentidoalasformulacionesdelaciencia,necesitamos una mejor comprension de como utilizar sus principios. Es fundamental buscaruna interacci onconnuestra realidad, connuestroscambios, conla evoluci onyla din amicade las diversas situaciones que nos rodean.Si bien, los temas tratados aqu no permitiran resolver problemas de divulgaci on cientca,esperamosmotivaral estudianteainvestigarsobrelamatematicaactual -lanueva, vital ycreativa matematica- nacida de la necesidad de comprender las pautas del mundo vivo.En el captulo 2, se resumen herramientas b asicas de n umeros reales que permiten resolverproblemas principalmente de desigualdades. Se estudian aplicaciones en el area de la biologay la medicina.Enel captulo3, setratael topicodefunciones. Seresaltansuspropiedadesgr acaseimportanciabiol ogicadefuncionesexponencialesylogartmicas. Sedesarrollanvariadosproblemas pr acticos.En el captulo 4, se estudian funciones trigonometricas. Se ocupan estos conceptos paradescribircurvasquerepresentan, porejemplo, nivelesderespiraci on, electrocardiogramas,situaciones experimentales.En el captulo 5, los lmites y la continuidad son conceptos clave para entender la parteconceptual del c alculo. Sedaunavisi onintuitivaytambienformal delmites as comoalgunas aplicaciones.En el captulo 6, se presenta la denici on formal de derivadas y su interpretaci on geome-trica. Se consideran reglas de deivaci on. En una primera parte de este captulo se da enfasisal calculo directo de derivadas y posteriormente aplicamos esto a problemas de optimizacion.Tambien se trata el concepto de derivada desde el punto de vista fsico, como razon de cambio3y sus importantes aplicaciones.En el captulo 7, se ve el concepto de integral indenida. Se proporcionan dos tecnicasde integraci on y algunas aplicaciones tradicionales.Finalmente,agradezco las revisiones y aporte de material para este texto, de los profe-sores HectorAguilera (Universidad Andres Bello),Carlos Lizama (Universidadde Santiagode Chile), Sergio Plaza (Universidad de Santiago de Chile).Veronica PobleteUniversidad de Santiago de Chilevpoblete@lauca.usach.clCaptulo2N umerosReales2.1 AxiomasyPropiedadesEsta seccion esta dise nada a modo de ofrecer un breve repaso sobre algunos conceptos b asicos.Comenzaremosestudiandopropiedadesdelosn umerosreales, yenlasproximasseccionesaplicaremos este desarrollo teorico.Aceptaremos la existencia de un conjunto llamado conjunto de n umeros reales y denotadoporR. Los n umeros reales se emplean en todas las areas de la matematica y sus aplicaciones.SobreRse dene una relaci on de igualdad que verica las siguientes propiedadesPara todoa Rse tienea = a. (Reeja)Para todoa, b Rsia = b entoncesb = a. (Simetrica)Para todoa, b, c Rsia = b yb = c entoncesa = c. (Transitiva)Ademas el conjunto de los n umeros reales es cerrado respecto a las operaciones de adiciono suma (denotadapor +) ymultiplicaci ono producto (denotadapor ). Esto signicaquedadosdosn umerosrealescualesquiera, lasumaylamultiplicaci ondeellosestambienunn umero real. Estasoperacionessatisfacenlassiguientespropiedades,llamadasAxiomasdeCuerpo. Dadosa, b yc n umeros reales arbitrarios, se vericanConmutatividad a +b = b +a, ab = baAsociatividad a + (b +c) = (a +b) +c, a(bc) = (ab)cElementoNeutrooIdentidad a + 0 = a, a1 = aElementoInverso a + (a) = 0, aa1= 1 si a = 0Distributividad a(b +c) = ab +ac.45Note que 0 no tiene inverso multiplicativo ya que no existe un n umero que multiplicadopor cero de uno.A partir de la suma, se dene la restaa b = a + (b) .Enformasemejante, sedeneladivisionenterminosdelamultiplicaci on, para b R,b = 0,a b = ab1.Es com un denotar la divisi on porab, de donde, sib = 0tenemos b1= 1b.A continuaci on se listan algunas importantes propiedades v alidas en los n umeros reales.La demostracion de ellas, son consecuencia de los axiomas de cuerpo. Para a, b, c y d n umerosreales arbitrarios se verican a0 = 0 a = b si y solo si a +c = b +c Sic = 0, se tiene a = b si y solo si ac = bc ab = 0 si y solo sia = 0 ob = 0 (a) = a (a +b) = a b (ab) = (a)b = a(b) Para a = 0se tiene (a1)1= a Para a = 0 ,b = 0se tiene (ab)1= a1 b1 Para b = 0 ,d = 0se tieneab cd=ad bcbdyab cd=acbd.Si adem asc = 0, entoncesab:cd=adbcUna aplicaci on importante de la axiomatica en R es encontrar soluciones de ecuaciones.Consideremos el siguiente ejemplo.Ejemplo2.1Unfarmaceuticodebepreparar 15ml deunas gotas paralos ojos paraunpacientecon glaucoma. La solucionde las gotasdebe contener2% de un ingredienteactivo,pero el farmaceutico solo tiene una soluci on al 10% y otra al 1% en su almacen Que cantidadde cada tipo de soluci on debe usar para prepararla receta?6Soluci on. SeanVi: volumendelaiesimasolucion(enestecaso i =1, 2 )yCi:concentraci on deliesimo ingrediente.Si queremos que la mezclanal tenga un volumenV y una concentraci on C, debemostenerVC = V1C1 +V2C2y V= V1 +V2Reemplazando los datos de nuestro problema, obtenemos150.02 = V1 0.1 +V2 0.01 y 15 = V1 +V2De esto,0.3 = 0.1V1 + 0.01 (15 V1), y despejando obtenemos el valorV1= 1.667mlyV2 = 13.333. Luego, para preparar 15ml de gotas al 2% debemos utilizar 1.667ml de soluci onal 10% y 13.333ml de soluci on al 1%.

2.2 AxiomasdeOrdeneInecuacionesAceptaremos laexistenciadeunsubconjuntodelos n umerosreales llamadoconjuntoden umeros reales positivos y denotado porR+. En este conjunto la suma y la multiplicaci on dereales positivos es tambien un n umero real positivo y se cumple la siguiente armaci on.Dadoa R, se verica solo una de las siguientes propiedades(i) a R+(ii) a = 0(iii) a R+Durantemuchosa noselalgebraseha ocupadoprincipalmentedelasoluci ondeecua-ciones. Recientemente, el estudiodelasdesigualdadeshaalcanzadoel mismoniveldeim-portancia debido a sus variadas aplicaciones. Tenemos la siguiente denici onDadosa, b R diremos quea es menor queb, que se anota pora < b, si b a R+.7Suponga quea, b R. Se verica solo una de las siguientes armaciones(i) a < b(ii) a = b(iii) b < a.En particular, si ponemos a R y b = 0 en la armaci on anterior, obtenemos una de lassiguientes alternativas(i) a < 0(ii) a = 0(iii) 0 < a.Los n umeros reales quevericana 0 a < 0Laarmaci ona b, los enunciados a > b y b < a signicanlo mismo.El smboloa b nos indica quea es menor o igual ab. An alogamente, a b nos dicequeaesmayoroigual ab. Lasdesigualdades, vericanlassiguientespropiedades. Seana, b, c R entonces a2 0 ab si y solo si a +cb +c Sic > 0, tenemosab si y solo si acbc Sic < 0, tenemosab si y solo si acbc ab0 si y solo si (a0 y b0) o (a0 y b0) ab0 si y solo si (a0 y b0) o (a0 y b0) Si 0ab yn > 0, entonces an bnyna nb.8Seanaybn umerosrealescona 0, [a[b es equivalente a bab Parab > 0, [a[b es equivalente a ab o ab.Ejemplo2.7Para una poblaci on particular de salmon, la relaci on entre el n umero de hem-brasx y el n umero de crasyque sobreviven hasta la edad madura est a dada por la f ormulay=4 |7x||x3|2. Cu andoel n umerodehembrasesmenoroigual queel n umerodecrasque sobreviven?Soluci on. Podemos escribir la inecuacion como [x 3[4 [7 x[ 2x. Resolvemos lainecuaci on por casos.Caso 1. Six < 3, entonces [x 3[ = (x 3) y [7 x[ = 7 x. Reemplazando en lainecuaci on, se obtiene (x 3)4 (7 x) 2x, de aqu, x +328 4x 2xde dondex5 . Intersectando con nuestro supuesto,35tenemos una primera soluci onS1 =], 3[.Caso2. Si3 x7entonces [x 3[=x 3 y[7 x[ = 7 x. Reemplazandoenla inecuaci on, se obtiene x 34 (7 x) 2x, de aqu, x 328 4x 2xde dondex31/7 . Intersectando con nuestro supuesto,37317tenemos una segunda solucionS2 = [3,317 ].Caso 3. Six> 7 entonces[x 3[ =x 3y [7 x[ = (7 x). Reemplazando en lainecuaci on, se obtiene x 34 (7 x) + 2x, de aqu, x 328 + 4x 2xde donde25x. Intersectando con nuestro supuesto,725tenemos una tercera solucionS3 = [25, +[.La soluci on de la inecuaci on es S = S1 S2 S3 =] ,317 ] [25, +[.13Enelcontextodelproblema pr actico, lasoluci ones [0,317 ] [25, +[, estonosindicaquecuandoel n umerodehembrasdesalmonestaentre0y4(aproximadamente)oesalmenos 25, el n umero de cras que sobreviven hasta la edad madura es mayor que el n umerode hembras de salmon.

2.4 EjerciciosPropuestos1. Enciertapruebamedica, dise nadaparamedirlaresistenciaaloscarbohidratos, unadulto bebe 7 ml de una soluci on de glucosa al 30%. Cuando se le administra la mismaprueba a un ni no debe disminuirse la concentraci onde glucosa Que cantidadde unasoluci on al 30% de glucosa y que cantidad de agua deben usarse para preparar 7 ml deuna soluci on al 20% de glucosa?2. Parapreparar laTeolina, queesunmedicamentocontraelasma, seusa unexhlircon una concentraci onde f armaco de 5 mg/ml, y un jarabe con sabor a cereza que seagrega para disimular el sabor de la medicina Que cantidad de ambos debe usarse parapreparar 100 ml de soluci on con una concentraci on del medicamento de 2 mg/ml?3. Un qumico tiene 10 ml de una solucionque contiene30% de concentracionde acidoCu antosmililitrosdeacidopurodebenagregarseparaaumentarlaconcentraci ona50%?4. Una mezcla contiene 8 ml de agua y anticoagulante. Si 49% de la mezcla es anticoagu-lante que cantidad de mezcla debe eliminarse y reemplazarse por anticoagulante paraque la mezcla resultante contenga un 60% de anticoagulante?5. La ley de Dalton de las presiones parciales se aplica con frecuencia en siologa respi-ratoria. La presi on parcial para un gas seco es Px = PBF y para un gas h umedo esPx = (PB PH2O)F, dondePx : presi on parcial del gas (mmHg).PB : presi on barometrica.PH2O : presi on del vapor de agua a 37C (47 mmHg).F: concentraci on fraccional del gas.Calcule la presi on parcial de O2,PO2 en el aire inspirado seco (con presi on barometricade 760 mmHg) y compare ese valor con laPO2en el aire traqueo h umedo a 37C, si laconcentraci on fraccional deO2en el aire inspirado es de 0,21.146. Los tres par ametros siguientes describen la funci on de los ventrculosVolumenlatido(VL): volumende sangreque elventrculo puede expulsar enunsolo latido, esto esVL = volumen al nal de la diastole- volumen nal de la sstoleFracci onde expulsion (FE): eciencia de la expulsi on, esto esFE =V olumenlatidovolumenal final deladi astoleGastoCardaco (GC): volumentotal queel ventrculoexpulsapor unidaddetiempo, esto esGC = (volumen del latido)(frecuencia cardiaca), dondeVolumen del latido: volumen expulsado del ventrculo en un latido (ml).Frecuencia cardaca: latidos por minuto.De acuerdo a lo anterior, determine el volumen del latido, gasto cardaco y fraccion deexpulsion para un paciente que tiene un di astolico nal de 140 ml, un volumen sist oliconal de 70 ml y una frecuencia cardaca de 75 latidos por minuto.7. El ujo plasm atico renal (FPR) se obtiene comoFPR =[U]PAH V[RA]PAH [RV ]PAH(2.1)donde [U]PAH=[PAH] enlaorina, [RA]PAH=[PAH] enla arteria renal,[RV ]PAH = [PAH] en vena renal yV= tasa de ujo urinario.Despejar a partir de (2.1) el [PAH] en vena renal.8. Encontrar el conjunto soluci on de las siguientes inecuaciones(a) 10 7x < 4 + 2x(b)x + 1x2250x(c) (x 2)(x + 3) > x(x 1)(d) 1 x8(e)1x 2 3x + 1(f)x + 1x 4< 2(g)4x + 1 3x + 2> 1(h) 1 0 ya = 1 ,esllamada funci on exponencial de base a.Vamosa estudiar algunas caractersticasimportantes de estas funciones. La graca deuna funci on exponencial depende de la base a. Tenemosa > 1XYFigura4a0 < a < 1XYFigura4bEn base a las gr acas anteriores obtenemos informaci on relevante de la funci on exponencial.El dominio de la funci on es Ry su recorrido esR+.Sia > 1 la funci on es creciente para todox R.Si 0 < a < 1 la funci on es decreciente para todo x R.En ambos casos la funci on no tiene ni m aximos ni mnimos locales.Es inyectiva.Considerando el conjunto de llegada comoRla funci on no es sobreyectiva.De la denici on, obtenemos las siguientes propiedades1. a(0) = 1.2. a(x1 +x2) = a(x1)a(x2), esto es, ax1+x2= ax1ax2.3. a(x1x2) =a(x1)a(x2), esto es, ax1x2=ax1ax2.37Uno de los n umeros mas importantes para base de una funci on exponencial, es el n umeroirracional e = 2.71828 . . . , denotado as en honor del matem atico suizo Leonardo Euler. Lafunci onexponencial debase e surgenaturalmenteenel estudiodecrecimientoydecrec-imientodepoblaciones. Supongamos que N0eseln umero deindividuos presentesenunapoblaci on en un tiempo t = 0yes un n umero real jo, el modeloN(t) = N0etnos indica el n umero de individuos que tiene la poblaci on en un tiempot. Note que si > 0lafunci onNes creciente y por lo tanto estamos frente a un modelo de crecimiento poblacional.Si < 0la situaci on se invierte y tenemos un modelo de decrecimiento de poblacion.Ejemplo3.25Unabacteriaenel oidomedioseincrementaaraz ondel 2%cadahora.Suponga que al inicio de una infecci on bacteriana estaban presentes 120 bacterias. Determineel n umero de bacterias N(t)presentes despues det horas. Cu antas bacterias estan presentesen el organismo despues de 2 horas?Soluci on. Es clarodel planteamientodelproblema,quela funci onexponencialresul-tantedebesercreciente. Utilizandoel modelo N(t)=N0et, yconlosdatosaportados,obtenemos que N(t) = 120 e0.02 t. Pasadas 2 horas el n umero de bacterias presentes sera deN(2) 125.

Ejemplo3.26El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un comportamientodado por la funci onf(t) =2501 +e2t,que representa la cantidad de personasque la adquieren en un determinado tiempot medidoen semanas. Cu antas personashabran sido contagiadosen tres semanas?Soluci on. La gr aca de la funci on esYX12525038La funci onfen el contexto del planteo del problema, tiene sentido parat0. Observe quecuando parte la epidemia 125 personas estan contagiadas, esto se obtiene de f(0). Como lafunci on es creciente, sabemos que a medida que pasen las semanas el n umero de contagiadosaumenta. Sin embargo despues de muchas semanas el n umero de personas con la enfermedadtiende a estabilizarse en 250. Pasadas 3 semanas el n umero de contagiados es f(3) =2501+e6 249.

3.3.2 Funci onLogaritmicaVimosenlaseccionanteriorquelafunci onexponencial denidaa Rnoessobreyectiva.Ahoralavamosaconsiderardenidaa R+, as obtenemosquelafunci onexponencial esbiyectivayporlotantotienefunci oninversa. Llamaremosalafunci oninversafunci onlogaritmica en base a. Tenemos la siguiente denicion.Denicion3.27Sea a> 0 , a = 1.La funci onlogaritmica loga : R+ Rsedeneporlarelaci onloga(x) = y si y s olo si ay= x.Comolasfuncionesexponencial ylogaritmicasoninversasunadelaotrasevericanlassiguientes propiedadesloga(ax) = x aloga(x)= xA partir de la gr aca de la funci on exponencial (ver Figuras 4a y 4b), por reexi on sobre ladiagonal obtenemos la gr aca de la funci on logaritmicaa > 1XYFigura5a0 < a < 1XYFigura5b39Destacamos algunas propiedades de la funci on logaritmica.El dominio de la funci on es R+y su recorrido esR.Sia > 1 la funci on es creciente para todox R+.Si 0 < a < 1 la funci on es decreciente para todo x R+.En ambos casos la funci on no tiene ni m aximos ni mnimos locales.Ademas, a partir de la denici on se verican1. loga(1) = 0.2. loga(a) = 1.3. loga(x1x2) = loga(x1) +loga(x2)4. loga(x1x2) = loga(x1) loga(x2)5. loga(xy) = y loga(x) .Si la funci on logaritmicatiene como base al n umero irracional e , se denomina funci onlogaritmonatural yescribimos ln(x) :=loge(x). Si labasees el n umero10, escribimoslog(x) := log10(x).Ejemplo3.28Una bacteriaestomacaldebe ser tratada conun determinado tratamientoantibi oticoantesqueestenpresentes10000deellasenelorganismo, delocontrarioel tratamientosugeridoesotro. Sise sabeque sun umero seincrementa arazondel 5%cadahora yque alinicioestabanpresentes400bacterias, determineeln umero debacterias N(t) presentesdespuesde t horas. De cuanto tiempo se dispone antes de cambiar el tratamiento?Soluci on. Utilizandoelmodelo N(t)=N0etyreemplazandolosdatosentregados,obtenemos N(t) = 400e0.05 t. Por otro lado, para estimar el tiempo del cual se dispone antesde cambiar el tratamiento, resolvemos10000 = 400 e0.05 tde donde e0.05 t= 25aplicando la funci on inversaln, se tiene0.05t = ln(25) , de dondet 64. Luego, se disponende aproximadamente 64 horas para comenzar con el primer tratamiento.

40Se ha determinado experimentalmenteque la mayorade las sustanciasradioactivassedesintegran exponencialmente, de manera que la cantidad de una muestra de tama no inicialN0que permanece despues det a nos esta dado por la funci onN(t) = N0ekt. La constantepositiva k mide la tasa de desintegracion, pero esta tasa generalmente esta dada al especicarlacantidaddetiempo t necesarioparaquesedesintegrelamitaddeunamuestra. Estetiempo se denomina periodoradiactivo o vidamedia de la sustancia. Podemos calcularexplcitamente el periodo radiactivo, tenemos12N0 = N0ektde donde t =ln(2)k.Ejemplo3.29El yodo radioactivo tiene un periodo radioactivo de 20.9 horas. Si se inyecta en el torrentesanguneo, el yodo se acumula en la gl andula tiroides.(a) Despuesde24horasunmedicoexaminala gl andulatiroidesdeunpacientepara de-terminar si su funcionamiento es normal. Si la gl andula tiroides ha absorbido todo elyodo, que porcentaje de la cantidad original debera detectarse?(b) Un paciente regresa a la clnica 25 horas despues de haber recibido una inyecci on de yodoradiactivo. El medico examina la gl andula tiroides del paciente y detecta la presenciade 41.3% del yodo original. Cu anto yodo radiactivo permanece en el resto del cuerpodel paciente?Soluci on. Como el yodo tiene un periodo radioactivo de 20.9 hrs, se sigue que 20.9 =ln(2)ky de esto k = 0.03316. El modelo de desintegraci on radioactiva nos quedaN(t) = N0e0.03316t.Pararesponder(a), evaluamos N(24) 0.45N0. Comolaglandulatiroidesabsorbi otodo el yodo, concluimos que la cantidad presente es el 45% de la cantidad inicial.Para contestar (b), evaluamos N(25) 0.4364N0. Como la glandula tiroides absorbe el41.3% del yodo original, en el resto del cuerpo hay un2, 34%de la cantidad de yodo inicialN0.

La determinaci on y prescripci on de las dosis de medicamentos son aspectos muy impor-tantesenel areadelasalud. Supongaquesequiereanalizarel casoenquedosisigualessonadministradasa unpacientecada I unidades detiempo hasta quesealcanceunnivelterapeutico y despues la dosis es reducida lo suciente para mantener el nivel terapeutico. Larazon para mantener dosis reducidas est a relacionada frecuentemente con los efectos toxicosde las drogas. Supongamos que hayn dosis dePunidades cada una, una dosis se da en los41tiempos t = 0, I, 2I, . . . , (n 1)I, y que el nivel terapeutico T , es alcanzado ennI. Se sabeque en el instante t = 0el paciente recibe las primerasPunidades de modo que la cantidadde droga en el cuerpo esP. En el instante t = I la cantidad presente de la primera dosis esP ekt,k> 0,ademas en ese momento las segundas P unidades sonsuministradas. As lacantidad total de la droga presente esP +PekI.Continuando de esta manera, la cantidad Tde medicamento presente, un intervalo de tiempodespues de la ultima dosis ( t = nI ) esT= P ekI+P e2kI+ +P enkI. (3.2)Multiplicando esta igualdad por ekIobtenemosekIT= P e2kI+P e3kI+ +P e(n+1)kI. (3.3)Restando a (3.2) la igualdad (3.3), se tiene queT ekIT= PekIPe(n+1)kI. DespejandoT= P 1 eknIekI1obtenemos el nivel terapeutico en terminos de la dosis P, los intervalos de tiempo I, el n umerode dosisn y la vida media.Ahorael objetivoes mantener el nivel terapeuticoenel pacientesuministrandounadosis reducidaR en los instantes nI, (n + 1)I, (n + 2)I, y as sucesivamente. En el instantet = (n+1) I pero antes de suministrar la segunda dosis reducida, la cantidad de medicamentoen el sistema proveniente de la primera dosis reducida esRekI, y la cantidad que permanecedel nivel terapeutico esT ekI. Suponga que se requiere que la suma de estas cantidades sea elnivel terapeutico, esto es, T= RekI+T ekI. Despejando R y reemplazando TobtenemosR = P (1 enkI).Ejemplo3.30LaTeolinaesunadrogautilizadaenel tratamientodel asmabronquialytieneunavidamedia de 8 horas en el sistema de un paciente relativamente sano y no fumador. Suponga quesedispone de 20 dosis para alcanzarelnivelterapeuticodeseado cuando 100miligramosleson administrados cada I horas. Determine el nivel terapeutico y la dosis reducida en funci ondel tiempoI.Soluci on. Aqu n = 20. Como la droga utilizada tiene una vida media de 8 horas, sesigue que k =ln(2)8 0.0866.Obtenemos que el nivel terapeutico en terminos los intervalosde tiempoIesT(I) = 1001 e1.732Ie0.0866I142La gr aca de la funci onTes2000ITApartirdelagr acadelafunci on, podemosdeducirquesi aumentamoslosintervalosdetiempo en los cuales son administradas las dosis, el nivel terapeutico logrado es menor. Noteque si I = 0 esto es, todas las dosis son administradas juntas, el nivel terapeutico es un valormaximo igual a 2000, sin embargo en un gran porcentaje de casos el organismo no tolera altasdosis de un medicamento. Noteademas que el nivel terapeuticooptimo, no necesariamenteocurre en el valor m aximo.

3.3.3 EjerciciosPropuestos1. Los registros de salud p ublica indican quet semanas despues del brote de cierta clasede gripe,aproximadamentef(t) =21 + 3e0.8tmiles de personas han contrado la en-fermedad. Bosqueje la gr aca de la funci on, responda(a) Cu antas personas estaban infectados al comienzo del brote?(b) Despues de un n umero grande de semanas, cuantas personas estaran infectadas?2. El is otopo radiactivo del galio, utilizado en el diagn ostico de tumores malignos, tiene unperiodo radiactivo de 46.5 horas. Si se comienza con 100 miligramos de is otopo, cu antosmiligramos quedar an despues de 24 horas?Cu ando quedar an solo 25 miligramos?3. LaleydeFickestablecequelaconcentraciondesolutoenunacelulaenel tiempotes f(t) = C (1 ekt), dondeCes la concentraci on constante del soluto que rodea lacelula ykes una constante positiva. Suponga que para cierta celula,la concentraci onenelinteriorde la celuladespues de 2 horas es0.8%dela concentraci ondelexteriorde la celula. Determinef(t). Que representak?4. Un bi ologo realizo un estudio sobre los factores que inuyen en el crecimiento o decre-cimiento de una poblaci on de par asitos presentes en el intestino delgado. El cientcollego a la conclusi onque producto de una infecci onla cantidadde par asitos presentes43en el intestino se modela porf(t) = 4 +tektdonde t esel tiempomedidoendas(t=0esel primerda)y f(t) esel n umerodepar asitosenmiles. Establezcaelmodeloenforma precisa(encuentreel valorde k ),si sesabequedespuesdeunasemanahay4.600par asitosenel intestino. Cuantospar asitos hay despues de 15 das?5. Laconcentraci ondeunmedicamentoenun organoal instantet(ensegundos)estadada porx(t) = 0.08 + 0.12e0.02tdondex(t) son gramos/centmetros c ubicos (gr/cm3)(a) Cu al es la concentraci on pasado 1 minuto?(b) Cu anto tiempo tardar a en alcanzar 0.18gr/cm3de medicamento en el organo?6. Un decibel, llamado as en honor de Alexander Graham Bell, es el incremento mnimodel volumendel sonidodetectableporel odohumano. Enfsica, sedemuestraquecuando se dan dos sonidos de intensidades I1 e I2 (vatios/cm3), la diferencia en volumenesD decibeles, dondeD = 10 log10(I1/I2)Cuando el sonido se clasica en relacion con el umbral de audici on humana (I0 = 1012),el nivel deconversacionnormal esaproximadaente60decibeles, mientrasqueenunconcierto de rock puede ser 50 decibeles mas alto.(a) Cu anto m as intenso es un concierto de rock que una conversaci on normal?(b) Elumbraldedolorsealcanzacuando elniveldesonido esaproximadamente10vecestanaltocomo elde un concierto de rock. Cual es el niveldel umbral dedolor en decibeles?7. Despuesdequeunestudianteconunvirusgripal regresaauncampouniversitarioaislado de 3000 estudiantes,el n umero de estudiantes infectadosdespues det das, sepronostica porN(t) =30001 + 2999e0.895t(a) Cu antos estudiantes estaran infectados despues de 10 das?(b) En que perodo de tiempo se estima que los infectados lleguen aproximadamentea 1000 estudiantes?448. Una ley de curaci on de las heridas esA = Ben10, siendoA ( en mts2) el area da nadadespuesdendas, yB(enmts2)el areaoriginal da nada. Hallarel n umerodedasnecesarios para reducir la herida a su tercera parte del area da nada.9. El valor de reventaVde un equipo radiogr aco se comporta de acuerdo a la ecuaci onV= 750.000e0.05t, en que t son los a nos transcurridos desde el momento de la compra.(a) Cu al es el valor original del equipo radiogr aco ?(b) Cu al es el valor esperado de reventa despues de 5 a nos ?(c) Despues de cuantos a nos el valor de reventa sera de $250000 ?10. De un elemento radiactivo quedanNgramos despues det horas, dondeN(t) = 100e0.035t(a) Cu antos gramos permanecen despues de 10 horas ?y despues de 50 horas?(b) Es posible estimar la cantidad de horas necesarias para que el elemento radiactivoya no este presente ?11. La funci on denida porf(x) =11 +e(b+mx)se denomina funci on logstica y fue introducida por el bi ologo matematico aleman Ver-hulsthaciael a no1840paradescribirel crecimientodepoblacionesconrecursosali-mentarios limitados. Demuestre queln

f(x)1 f(x)

= b +mx12. Los peces crecen indenidamente durante toda su vida. Su crecimiento se puede modelarmediante la funci on de Von BertalanyL(x) = A(1 ekx)dondeL(x) es la longitud a la edad dex a nos, conk yA constantes positivas.(a) Parak = 1, obtenga la edad del pez para que la longitud sea el 90% deA.(b) Puede el pez alguna vez alcanzar la longitudA?Justique su respuesta.Captulo4TrigonometraEl origen de la trigonometra data de hace m as de 2000 a nos, cuando los griegos necesitaronmetodos precisos para medir angulos y lados de tri angulos.Enestecaptuloseestudianalgunasfuncionesquesonmuyutilizadasenlascienciasnaturales para analizar fen omenos periodicos o rtmicos, como las oscilaciones, el ciclo respi-ratorio y los latidos del coraz on de los animales.4.1AngulosEn geometra un angulo se determina por dos rayos con un mismo punto inicial.OABElpuntoOesllamadoverticedelanguloAOB, denotamostambienlosangulosporletrasgriegas , , , , etc.Una de lasunidades de medida para angulos esel grado. Consideremos un crculo decentroOyradior, ydividamosloen360partesiguales. Cadauna deestasrepresentaungrado, luego 1 grado (1) es, por denici on 1/360 partes de un crculo. Cada grado se divideen60partesigualesllamadasminutos(1=60

), ycadaminutosedivideen60segundos(1

=60

). Paramedirun anguloubicamosel verticedeesteenel centrodel crculoycontamos los grados o fraccion de ellos que hay entre los dos rayos. Para denotar la medidade un angulo escribimos.Las medida de los angulos en grados se usan en algunas areas de aplicaci on como nave-gaci on, topografaeingeniera. Enaplicacionescientcas, lousualesemplearmedidasenradianes. Un angulo tieneuna medida de 1radian si alcolocarsu verticeen elcentro del4546crculo, la longitud del arco interceptado es igual al radio.rr rrrrrr = 1 radian= 2 radian360 = 2 radianesParaencontrarlamedidacorrespondientea 360esnecesariodeterminarel n umerodevecesqueunarcocirculardelongitudrpuedecolocarsealolargodel crculo. Comoel permetrodel crculomide 2r, el n umerodevecesqueestearcodelongitudrpuedecolocarse es 2. Esto nos da la siguiente relaci on.180 = radianes.De esto, para cambiar de radianes a grados se multiplica por 180/. Para cambiar de gradosa radianes se multiplica por /180.4.2 FuncionesTrigonometricasdeangulosagudosConsideremos un angulo tal que0 < 0 existe > 0 tal que para x A con 0 < [xc[ < se tiene que [f(x) L[ < .XYc x xLf(x)f(x)Notacion: limxcf(x) = L, se lee el lmite def(x) cuandox tiende ac esL.Observaciones5.21. El lmite limxcf(x) puede o no existir. Si el lmiteexiste,esto es, L es nito se dicequef(x) converge aL, si no existe, se dice quef(x) diverge cuandox tiende ac.2. El hecho que limxcf(x) =L, signica quef(x) puede tomar valores arbitrariamentecercanos aL siempre quex este sucientemente cerca dec.3. Esconvenientetenerencuentaquesehadichoquexestacercanoac, pero noesigual ac, de hecho, no necesariamentec pertenece al dominio de la funci onf.Ejemplo5.3Seap(x)=anxn+ an1xn1++ a1x + a0,n N,ai R, unafunci onpolinomial,entonceslimxcp(x) = ancn+an1cn1+ +a1c +a0.En particular:(i) limxca0 = a0, esto es, el lmite de una constantees la constante.(ii) limxc(a1x +a0) = a1c +a0.62Ejercicio5.4Utilizandounatabladevalores olagr acadelafunci on f(x) =sen(x)xcompruebe quelimx0sen(x)x= 15.1.1 PropiedadesdeloslmitesA continuaci on se presentan ciertas leyes de lmites de funciones.Seaa una constante en R y supongamos quelimxcf(x) y limxcg(x)existen. Entonces se verican las siguientes propiedades1. limxcaf(x) = a limxcf(x)2. limxc[f(x) g(x)] = limxcf(x) limxcg(x)3. limxc[f(x)g(x)] = limxcf(x)limxcg(x)4. limxcf(x)g(x)=limxcf(x)limxcg(x), supuesto quelimxcg(x) = 0 .Ejemplos5.5Calcular los siguientes lmites1. limx25x3x2+ 3x + 5Soluci on.Aplicando las propiedades 1 y 2, o alternativamente el ejemplo 5.3, se tienelimx25x3x2+ 3x + 5 = 47 .2. limx1x + 4x2+ 1Soluci on. Utilizando las propiedades 4 y 2, se obtienelimx1x + 4x2+ 1=limx1x + 4limx1x2+ 1= 52 ,suponiendo que existen los lmites del numerador y del denominador y que el lmite deldenominador no es igual a 0.

633. limx4x216x 4Soluci on. Note que en este caso no podemos usar la propiedad 4 ya que el lmite deldenominador es 0. Manipulando algebraicamente la funci on obtenemoslimx4x216x 4=limx4(x 4)(x + 4)x 4=limx4(x + 4) = 8 .

4. limx3x22x 3x 3Soluci on. Tambien en este caso, el lmite del denominador es 0. Es necesario simpli-car la funci on. Tenemoslimx3x22x 3x 3= limx3(x 3)(x + 1)x 3= limt3(x + 1) = 4 .

5. limx1x + 5 2x21Soluci on. Para resolvereste lmiteracionalizamosla expresion del numerador y fac-torizamos el denominador,limx1x + 5 2x21=limx1x + 5 2(x 1)(x + 1)x + 5 + 2x + 5 + 2=limx1x + 5 4(x 1)(x + 1)(x + 5 + 2)=limx1x + 1(x 1)(x + 1)(x + 5 + 2)=limx11(x 1)(x + 5 + 2)= 18

6. limh0(2 +h)38hSoluci on. Desarrollando el cubo de binomio presente en la funci on, obtenemoslimh0(2 +h)38h=limh08 + 12h + 6h2+h38h=limh0h(12 + 6h +h2)h=limh012 + 6h +h2= 1264

7. limx01 cos(x)xSoluci on. Para calcular este lmite vamos a utilizar el resultado del ejercicio 5.4 y lapropiedad 3 de lmites.limx01 cos(x)x=limx01 cos(x)x1 +cos(x)1 +cos(x)=limx01 cos2(x)x(1 +cos(x))=limx0sen2(x)x(1 +cos(x))=limx0sen2(x)x2

x1 +cos(x)=limx0sen(x)x limx0sen(x)x limx0x1 +cos(x)= 0

5.1.2 LmiteslateralesComosehizonotar enlaobservaci on5.2unlmitepuedeonoexistir. Enestasecci onestudiaremos un importante criterio que nos permite concluir al respecto. Para introducir eltema, veamos el siguiente ejemploEjemplo5.6Consideremos la funci onf(x) = [x[x,x = 0. Nos preguntamos existe limx0f(x)?Como [x[ = xparax0y [x[ = xparax0 , se obtiene quef(x) = [x[x=

1 si x > 01 si x < 0La siguiente gura muestra la gr aca def,< >011XY65Puede verse que f(x) converge a 1 cuando x tiende a 0 por la derecha y que f(x) converge a -1cuandox tiende a 0 por la izquierda. Como los valores del lmite son distintos, dependiendosix tiende a 0 por la derecha o izquierda, se concluye que limx0f(x) no existe.Las frases x se aproxima a c por la derecha y x se aproxima a c por la izquierda expresanel signicado de los siguientes conceptos, llamados lmites laterales.Denicion5.7(Lmite lateral derecho)Seaf: A R R una funci on yc R. Diremosque el lmite def(x) cuandox tiende ac por la derecha esL, si para todo > 0 existe> 0tal que parax A con 0 < x c < se tiene que [f(x) L[ < .Notacion: limxc+f(x) = L, se lee el lmite def(x) cuandox tiende ac por la derecha esL.Denicion5.8(Lmite lateral izquierdo) Seaf: A R R una funci on yc R. Diremosqueel lmitedef(x)cuandoxtiendeacporlaizquierdaesM, siparatodo>0existe> 0 tal que parax A con 0 < c x < se tiene que [f(x) M[ < .Notacion: limxcf(x) = M , se lee el lmite def(x) cuandox tiende ac por la izquierdaesM.Dados estos conceptos, podemos establecer el siguiente criterio de convergencia de lmitesExistelimxcf(x) si y solo si existen limxc+f(x) , limxcf(x) y son iguales.Ademas, si limxc+f(x) =limxcf(x) = Lentonces limxcf(x) = L.Ejemplo5.9Dada la funcionf(x) =x2+ 9 3x2si x < 0sen(x)6xsi x > 0Existe limx0f(x) ?Soluci on. Para utilizar el criterio anterior, es necesario calcular los lmites laterales.Obtenemos el valor del lmite lateral izquierdo, usando tecnica de racionalizaci on como sigue66limx0f(x) =limx0x2+ 9 3x2=limx0x2+ 9 3x2x2+ 9 + 3x2+ 9 + 3=limx0x2+ 9 9x2(x2+ 9 + 3)=limx01x2+ 9 + 3=16Para calcular el lmite lateral derecho utilizamos el ejercicio 5.4 y obtenemoslimx0+sen(x)6x=16limx0+sen(x)x=16Como existen los lmites laterales y son iguales se sigue que existe limx0f(x) y vale 1/6.

5.1.3 LmitesenelinnitoEn muchos problemas pr acticos nos interesa saber el comportamiento de una funci on, cuandolavariabledelacual depende, creceodecreceindenidamente. Consideremosel siguienteejemplo,Ejemplo5.10Suponga que el tama no de una poblaci ont a nos despues de iniciado un estu-dio esN(t) = 10 +atk +tdondea ykson constantespositivas yN(t) es medido en miles de individuos.Una pregunta natural, en relaci on a este modelo, es cuantos individuos tendr a esta poblaci oncuando pasen muchos, muchos a nos?Note que la expresionatk +tes equivalente aak/t + 1 , es claro que si t crece indenida-mente, t +, la funci onN(t) tiende a10 +amiles de personas. Esto se puede vericarobservando la gr aca de la funci on.671010 + atNEnelan alisisanterior, tienesentidohacertenderta + porquetarbitrariamentegrandepertenece al dominio de la funci on. En relaci on a esto, tenemos la siguiente observacion.

Observaci on5.11Un subconjunto AdeRes acotado superiormentesi existeM Rtalquex < Mpara todo x A. Analogamente Aes acotado inferiormente si existeN R talqueN< xpara todo x A.Ejemplo5.12El conjuntodelosn umerosnaturales Nesacotadoinferiormenteperonosuperiormente. Por otro lado, todo intervalo de extremos nitos es acotado.La denici on de lmite al innito nos diceSea A Runconjuntono acotadosuperiormente. Dadalafunci on f: A R,diremosquelimx+f(x) = Lsi para todo > 0existe M> 0tal que [f(x) L[ < siempre que x > M .An alogamente se dice quelimxf(x) = Lsi para todo > 0existe M> 0tal que [f(x) L[ < siempre que x < M .Ejemplo5.13El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un comportamientodado por la funci onf(t) =2501 +e2tquerepresentalacantidaddepersonasqueadquierenlaenfermedadenuntiempotmedidoen semanas.68Cu antaspersonasestancontagiadasal comienzodelaepidemia? Quenosindicaelvalor limt+f(t)?Soluci on. Al comienzodelaepidemia, consideramost = 0 , reemplazandoestevaloren la funci on obtenemos f(0) = 125. Este valor nos indica que al comienzo de la epidemiahaban 125 personas enfermas.Por otro lado, si t + entonces la expresione2t=1e2ttiende a 0. Luego,limt+2501 +e2t= 250.Esta cantidad nos indica que cuando pase una cantidad indenida de tiempo habr an 250personas contagiadas con la enfermedad.

5.2 FuncionesContinuasLanoci ondefunciones continuas es unodelos puntos centrales enalgunas areas delamatematica. En esta seccion estudiaremos sus aspectos mas basicos.Denicion5.14Sean A Ry f:A Runafunci on. Diremosque f escontinuaena A cuando, paratodo > 0se puede obtener > 0tal que para x Acon [x a[ < implica que [f(x) f(a)[ < .Veamos algunas observaciones respecto a la denicion de continuidadObservaci on5.15 1. Si la funcionfno es continua ena A diremos quefes discon-tinua ena.2. En la denicion de continuidad, el puntoa debe pertenecer necesariamente al dominiode la funcion.3. Lacontinuidadesunfenomenolocal,estoes,si fescontinuaenunpuntononece-sariamentelo es en otro.4. Sifes continua en todoa A diremosquefes continua.5. Si calcular limxaf(x) tiene sentido, diremos quefes continua ena A silimxaf(x) = f(a)69Ademas, sif, g : A Rson continuas ena A entonces tambien es continua en dichopunto las funciones f g , fg , as como la funci onf/g , en el caso que g(a) = 0.Ejemplo5.16Todopolinomio p: R Resunafunci oncontinua. Enparticular, lasfunciones lineales y cuadr aticasson continuas.Ejemplo5.17Todafunci onracionalp(x)q(x)escontinuaensudominio,queesel conjuntode valoresx tales que q(x) = 0.Ejemplo5.18Las funciones trigonometricasseno y coseno son continuas en todo a R.Ejemplo5.19La funci on exponencial es continua ena R y su inversa, la funci on logar-itmica, es continua ena R+.Ejemplo5.20La funci onf: R Rdenida porf(x) =1533x2x 2x 1si x < 12x + 1 3x 1si x > 12 si x = 1es continua en R 1 y discontinua enx = 1.En efecto,parax = 1 la funci onfes continua por ser divisi on de funciones continuas.As denidaf, podemosusarlaobservaci on5.15(5)paraestudiarlacontinuidaddef enx = 1.Debemos probar que limx1f(x) = f(1) . Para probar la existencia del lmite, calculamoslos lmites laterales.Veamos el lmite lateral izquierdolimx1f(x) =limx11533x2x 2x 1=153limx1(3x + 2)(x 1)x 1=153limx13x + 2 =13Ahora, calculamos el lmite lateral derecho70limx1+f(x) =limx1+2x + 1 3x 1=limx1+2x + 1 3x 12x + 1 +32x + 1 +3=limx1+2(x 1)(x 1) (2x + 1 +3)=limx1+22x + 1 +3=13Como lo lmites laterales existen y son iguales, se concluye que limx1f(x) =13 . Sin embargof(1) = 2 =13 , de dondefno es continua enx = 1 .

5.3 EjerciciosPropuestos1. Calcular los siguientes lmites.(a) limx1x3+ 1x2+ 1(b) limx5x23x 10x225(c) limx1x21x2+ 3x + 2(d) limx1x 1x 1(e) limh0(x +h)3x3h(f) limx72 x 3x249(g) limx43 5 +x1 5 x(h) limx01 +x 1 xx(i) limxax ax a(j) limx13x 14x 1(k) limx8x 83x 2(l) limx0x1 1 x(m) limx2x24x 2(n) limx1x31x21(o) limx12x314x2+ 12xx310x2+ 27x 18(p) limx3x + 1 2x 3(q) limx13x223x + 1(x 1)2(r) limx0x + 1 131 +x 1(s) limx1xm1x 1(t) limx031 +x 1x(u) limxx +a x(v) limu2u3+ 4u2+ 4uu2u 6(w) limx2x23x 4x4+ 1(x) limx3x2x 6x 3(y) limxx

x +

x +x(z) limxx3x3+ 10712. Considerando quelimx0sen(x)x= 1 , calcular los siguientes lmites.(a) limx0sen(3x)x(b) limx0sen(x2)x(c) limx0tan(x)x(d) limxxsen(1x)(e) limxsen(x )x22(f) limx01 cos(x)x(g) limx0sen(x)x(h) limx1sen(2x 2)x31(i) limx2tan( x)x 2(j) limx2xcotg(x) 2 cos(x)(k) limx12sen(2x 1)4x 2(l) limx02sen(x 2)x24(m) limx0sen(2x)x(n) limx01 cos(x)x2(o) limxasen(x a)x2a2(p) limx01

cos(x)x2(q) limx4sen(x) cos(x)1 tan(x)(r) limx0sen(a +x) +sen(a x) 2sen(a)x23. Dado que limx

1 + 1x

x= e , determine(a) limx

x1 +x

x(b) limx

1 1x

x(c) limx

1 +13x

3x2(d) limx

x2+ 2x + 2x2+ 2x + 1

x2+2x+1(e) limx

x 1x 2

x(f) limx

1 + 2x

x(g) limx

1 + 1x

x+1(h) limx

1 +12x

x(i) limx0(1 +kx)1x(j) limx

2x + 32x + 9

x+14. Discuta la existencia en R, de los siguientes lmites:(a) limx7x2[x 7[ 49[x 7[(b) limx1

[x 1[ + 4 2x21725. Calcular limh0f(x +h) f(x)hsi(a) f(x) = x2(b) f(x) =3x(c) f(x) = sen(x)(d) f(x) =1x2+ 16. Considere la funci onf(x) =x21x 1x < 12x x = 1x3+ 1 x > 1Determinar (a) limx1+f(x) , (b) limx1f(x) , (c) Existe limx1f(x) ?7. Seag(x) =sen(x)sen(2x)x = 0x2x+12x = 0Determinar (a) limx0+g(x) , (b) limx0g(x) , (c) Existelimx0g(x)?8. Estudie la continuidad en R de las siguientes funciones(a) g(x) =x38x24, x = 23 , x = 2(b) h(x) =x29x + 3, x = 36 , x = 39. Estudie la continuidad en R de las siguientes funciones(a) h(x) =x2x 6x 3, x < 3sen(5x 15)x 3, x > 35 , x = 373(b) f(x) =x2x + 1 , x5x 1 9 xx 5, 5 < x9x211x + 18x 9, x > 910. La intensidad de la luz en los lagos disminuye con la profundidad. Si se indica por I(z)la intensidad de la luz a profundidad z, siendoz = 0 la supercie, tenemos queI(z) = I0e115ln(10)zQue sucede conIcuando la profundidad es muy pero muy grande?11. Suponga que el tama no de una poblaci on en el instantet esN(t) =atk +t, t0,siendoa yk constantes positivas. Suponga que el tama no lmite de la poblaci on eslimtN(t) = 1.24 106yqueenel instantet= 5, eltama nodelapoblaci oneslamitaddeltama nolmite.Utilice la informaci on anterior para determinar el valor de las constantesa yk.12. Los psicologos consideran que cuando se pide a una persona que recuerde un conjuntodeeventos, el n umerodehechosrecordadosdespuesdetminutosestadadoporunafunci on de la forma Q(t) =A(1 ekt), dondekes una constantepositiva yA es eln umero total de hechos importantes presentes en la memoria de la persona. Que ocurrealafunci onQcuandotcrecesinlmite? Expliqueestecomportamientoenterminospr acticos.13. Suponga que N(t) = 10 +2e0.3tsen(t), t0, describe el tama no de una poblaci on,en millones, en el instantet, medido en semanas.(a) Utilize una calculadora para gracarN(t) y describa con palabras lo que ve.(b) Obtenga limtN(t) e interprete este resultado.14. Lasiguientefunci onexpresalaalturadeun arbol enfunci ondesuedad f(x) =132e20/x, x0 . Calcule limxf(x) e interprete el resultado.15. Suponga que un organismo reacciona a un estmulo s olo cuando dicho estmulo superaunciertoumbral. Supongaqueel estmuloes unafunci ondel tiempot, yquesu74expresion es s(t) = sen(t),t0 . El organismo reacciona al estmulo y muestra unacierta reaccion cuandos(t)1/2 .Dena una funci ong(t)talqueg(t) = 0 cuando el organismo no muestre reacci onenel instantet, yg(t) = 1 cuando el organismo muestre reaccion.(a) Graques(t) yg(t).(b) Ess(t) continua? Esg(t) continua?Justique.16. Lapoblaci on(enmiles)deunacoloniadebacteriastminutosdespuesdelaintro-ducci on de una toxina est a dada por la funci onP(t) =

t2+ 7 si 0t < 58t + 72 sit5(a) Cu al es la poblaci on pasados 2 minutos?(b) Cu ando muere la poblaci on?(c) Es continua la funci onP(t)?. Justique.17. Duarte y Agust (1998) investigaron el equilibrio deCO2 en los ecosistemas acuaticos.Relacionaronlasvelocidadesderespiraci ondelacomunidad, R, conlasvelocidadesbrutas deproducci onprimaria, P,delosecosistemasacuaticos. Hicieronla siguienteproposici onNuestrosresultadosconrmanquelarelaci onentrelavelocidadderespiraci ondelacomunidad y la producci on bruta no es lineal. La respiraci on de la comunidad es aprox-imadamenteproporcional a la potencia dos tercios de la producci onbruta(a) Utilicelaproposici onanteriorparaexplicarporque R=aPbsepuedeutilizarpara describir la relaci onentreRyP. Que valorasignara ab bas andose enlaproposici on anterior?(b) La raz on R/P de un ecosistema es importante para evaluar la disponibilidad globaldeCO2. Si larespiraci onsupera ala producci on,esto es, R>P,elecosistemaact ua como una fuente de di oxido de carbono, mientras que si la producci on superaalarespiracion, P>R, el ecosistemaact uacomounsumiderodedi oxidodecarbono. Suponga queb = 2/3. Demuestre que la razonR/Pcomo funci on dePes continua paraP> 0. Ademas demustre quelimP0+RP= y limP+RP= 0 .GraqueR/P. Como afecta a la graca el valor dea?Captulo6Derivaci onEl c alculo diferencial permite resolver problemas b asicos de nuestro entorno. Concretamente,podemos optimizar una funci on: calcular maximos y mnimos de una curva, estudiar la raz ondecambiodeunavariablerespectoaotra. Lasaplicacionesdel calculodiferencial enlascienciasnaturalesincluyenmodelosdecrecimientosimple, interaccionesentreorganismos,trabajo de neuronas, reacciones enzimaticas, modelamiento epidemiologico y muchas otras.6.1 Denici oneInterpretacionGeometricadeDerivadaSeana, b Rcona < b. Consideremos la funci onf:]a, b[R. Diremos quefes derivableenc ]a, b[ si existe el lmitef

(c) = limxcf(x) f(c)x c(6.1)Otrasnotacionesparaladerivadadefencson Df(c) ,dfdx(c). Cuandofesderivableentodo x ]a, b[ diremos quefes derivable en ]a, b[.Observaci on6.1Si en la denicion de derivada, hacemos el cambio de variable h = x cse sigue queh tiende a 0 cuandox tiende ac y obtenemosf

(c) =limh0f(c +h) f(c)hesta denicion de derivada es equivalente a (6.1).Ahora, vamos a establecer la interpretaci on geometrica de la derivada.7576Seafuna funci on derivable enc. La siguiente gura nos muestra la gr aca de la funci on yde la recta (llamada secante) que pasa por los puntos (c, f(c)) y(x, f(x)) conx ]a, b[ .XY(c, f(c))(x, f(x))La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos(c, f(c))y(x, f(x))esf(x) f(c)x c.Ahora mantendremos jo el punto(c, f(c)) y acercaremos xac , la situacion geometrica semuestra como sigueXY(c, f(c))(x, f(x))c x x xCuandoxestasucientementepr oximodeclarectasecanteestamuypr oximaaloquellamaremosrectatangenteal gr acodef enel punto (c, f(c)). Tenemoslasiguientedenici onDenicion6.2Seafesunafunci onderivableenc. Llamaremosrectatangenteencalarecta que pasa porel punto(c, f(c)) con pendientef

(c) = limxcf(x) f(c)x cDe esta forma, geometricamentef

(c) es la pendiente de la recta tangente al graco defen el punto(c, f(c)).77XY(c, f(c))cConociendoladerivadadef encyel punto(c, f(c)) esposibleusandolaformapunto-pendiente establecer la ecuaci on de la recta tangente:RT: y f(c) = f

(c) (x c)Denicion6.3Sea fes una funci on derivable en c conf

(c) = 0 . Llamaremos recta normalencalarectaquepasaporel punto (c, f(c))yesperpendicularalarectatangente. Suecuaci on esRN : y f(c) = 1f

(c) (x c)En la siguiente gura se ilustran las rectas tangente y normal.XYcRN RTEjemplo6.4Derivada de una funci on constante.Consideremos la funci onf(x) = bcuya gr aca es una recta horizontal pasando por el punto(0, b) . Usando la denici on de derivada obtenemosf

(c) = limxcf(x) f(c)x c= limxcb bx c= limxc0x c= limxc0 = 0 .Luego para todox R se tienef

(x) = 0 .78Ejemplo6.5Derivada de una funci on lineal.Lagr acadelafunci on f(x)=ax + b esunarectadepenienteaquepasaporel punto(0, b) .Usando la denici on de derivadase puede conrmar quef

(x) =a, para todox R.En efecto,f

(c) = limxcf(x) f(c)x c= limxcax +b ac bx c= limxca (x c)x c= limxca = a .Ejemplo6.6Encuentre la derivada de g(x) = x2.Soluci on. Utilizando la denici on tenemosg

(x) = limh0g(x +h) g(x)h=limh0(x +h)2x2h=limh0x2+ 2xh +h2x2h= limh0h(2x +h)h=limh02x +h = 2xAs la derivada de g(x) = x2esg

(x) = 2x.

Ejemplo6.7Encuentre la derivada de s(x) = sen(x) .Soluci on. Usandoladenici ondederivada, laidentidadtrigonometricadelasumapara seno y algunos lmites fundamentales vistos en el captulo anterior, tenemoss

(x) = limh0s(x +h) s(x)h=limh0sen(x +h) sen(x)h= limh0sen(x)cos(h) +sen(h)cos(x) sen(x)h= limh0sen(x) (cos(h) 1) +sen(h)cos(x)h= sen(x) limh0cos(h) 1h+cos(x) limh0sen(h)h= cos(x) .Luego la derivada de la funci onsen(x) escos(x). 79Ejemplo6.8Calcule la ecuaci on de la recta tangente y normal a la curvay(x) =xen elpunto (4, 2).Soluci on. Derivamos la funci on por denici ony

(x) = limh0y(x +h) y(x)h=limh0x +h xh=limh0x +h xhx +h +xx +h +x= limh0x +h xh(x +h +x)=limh0hh(x +h +x)=limh01x +h +x=12 xobtenemos que la derivada de y(x) = xes y

(x) =12 x . Evaluando enx = 4 , tenemosla pendiente de la recta tangentey

(4) =14 . Se sigue que la ecuacion de la recta tangente algr aco de la curva en el punto (4, 2) esy 2 =14(x 4)y la ecuaci on de la recta normal esy 2 = 4(x 4)

En forma similar a los c alculos anteriores, se obtienen las siguientes derivadas elementales1. (xr)

= r xr1con r R2. (sen(x))

= cos(x)3. (cos(x))

= sen(x)4. (ex)

= ex5. (ln(x))

=1x806.2 CalculodeDerivadas6.2.1AlgebradeDerivadasConocer las tecnicas de derivacion sera de gran utilidad en la comprensi on del resto del curso.En esta seccion veremos como derivar operatorias algebraicas de funciones derivables.Teorema 6.9Seana una constante,fyg funciones derivables enx. Entonces se vericanlas siguientes igualdades1. (a f(x))

= af

(x)2. (f(x) g(x))

= f

(x) g

(x)3. (f(x)g(x))

= f

(x)g(x) +f(x)g

(x)4.

f(x)g(x)

=f

(x)g(x) f(x)g

(x)[g(x)]2Las formulas anteriores facilitan el manejo de derivadas de expresiones algebraicas.Ejemplo6.10Calcular la derivada de las siguientes funciones1. h(x) = x2+ 4x 3Soluci on. Utilizandola reglade derivaci onpara la suma yla derivada elemental depotencias, se obtiene que h

(x) = 2x + 4 . 2. p(x) = (x +ex)sen(x)Soluci on. Por la f ormula de derivaci on para el producto se siguep

(x) = (1 +ex)sen(x) + (x +ex)cos(x).

3. f(x) =cos(x) + 47x +x9Soluci on. Usando la f ormula de derivaci on para la divisi on y la suma se obtienef

(x) =(cos(x) + 4)

(7x +x9) (cos(x) + 4)(7x +x9)

(7x +x9)2=sen(x) (7x +x9) (cos(x) + 4)(7 + 9x8)(7x +x9)2.

814. g(x) = ln(x) (x 4x6)Soluci on. Usando la f ormula de derivaci on para el producto y la suma se tieneg

(x) =1x (x 4x6) +ln(x) (12x 24x5).

6.2.2 RegladelaCadenaEn el captulo 2 vimos que no s olo podemos sumar o multiplicar funciones, tambien es posiblebajo cietas condiciones, componer funciones. En esta seccion veremos como derivar funcionescompuestas.Teorema 6.11Sean g : I R Ry f: J R Rfunciones tales que Rec(g) J. Sig es derivable enx y fes derivable eny = g(x) entoncesf g es derivable en x y su derivadaes(f g)

(x) = f

(g(x))g

(x)El teorema anterior establece que al derivar la expresionf g obtenemos f

(g(x))g

(x)que signica que se debe calcularla derivada de la funci on externa evaluada eng(x)multi-plicada por la derivada de la funci on interna evaluada enx.Ejemplo6.12Calcular la derivada de las siguientes funciones1. h(x) = (4x61)8Soluci on. Enestecasoidenticamos f(x)=4x6 1yg(y)=y8. Porregladelacadena resultah

(x) = 8(4x61)724x5= 192 x5(4x61)7

2. p(t) = sen(t)Soluci on. Ahoraescribimos f(t) =sen(t)yg(y) = y. Por regladelacadenatenemosp

(t) =12

sen(t)cos(t) =12 tg(t)

823. f(x) = e4xln(x2+ 1)Soluci on. Escribimos la formula de derivadas para el productof

(x) = [e4x]

ln(x2+ 1) +e4x[ln(x2+ 1)]

Al momento de derivar, usando regla de la cadena se siguef

(x) = 4 e4xln(x2+ 1) +e4x1x2+ 1 2x

4. Calcular la derivada de la funci on de desistegracionradioactiva,que modela la canti-daddematerial restantetrastunidadesdetiempo N(t)=N0ekt,dondekesunaconstante positiva ja.Soluci on. Derivamos utilizando regla de la cadenaN

(t) = k N0ekt= k N(t)Este resultado signica que la velocidad de desintegraci on es proporcional a la cantidadde material restante. 5. Unbi ologorealizounexperimento sobrela cantidaddeindividuos enuna poblaci onde paramecium en un medio nutritivo y obtuvo el modelog(t) = ln(t22t +5) dondet se mide en das yg(t) es el n umero de individuos en el cultivo. Hallar la derivada dela funci ong.Soluci on. Aplicando directamente regla de la cadena a la funci on, obtenemosg

(t) =2t 2t22t + 5.

6.2.3 DerivadasdeOrdenSuperiorLa derivada de una funci onf(supuesto que existe) es tambien una funci on que se denominaprimeraderivadayseanotaf

. Si laderivadadef

existedenimosf

comolasegundaderivadadef. Lasegundaderivadaestambienunafunci on, si existesuderivadaden-imos f

comolaterceraderivadade f. Sepuedecontinuar esteprocesoyanotaremosf(4),f(5), . . . f(n), la cuarta, quinta,nesima derivada defsiempre que existan.83Ejemplo6.13Calcular la derivadanesima def(x) = ekx.Soluci on. Derivandof(x) se obtiene que la primera derivada esf

(x) = k ekx.Derivandof

(x) se obtiene que la segunda derivada esf

(x) = k2ekx.Derivandof

(x) se obtiene que la tercera derivada esf

(x) = k3ekx.Podemos ver que la derivadanesima defesf(n)(x) = knekx.

Ejemplo6.14Supongamosquef(x)es una funci ondosvecesderivable. Sedene g(x) =3

f(x) . Calcular la segunda derivada deg(x).Soluci on. Escribimos lafuncion g(x) =[f(x)]1/3yderivamos usandoregladelacadena. Obtenemos g

(x) =13[f(x)]2/3f

(x) . Ahora derivandog

(x) mediante regla de lamultiplicaci on y nuevamente aplicando regla e la cadena, se tieneg

(x) = 29[f(x)]5/3[f

(x)]2+ 13[f(x)]2/3f

(x).

6.2.4 FuncionesImplcitasyDerivacionImplcitaHastaahorahemoscalculadoladerivadadefuncionesdel tipo y=f(x) , enestecasosedice queyesta explcitamentedenida a partir dex,esto es, yes una funci on conocida dex. Ahoravamosadeniryimplcitamentecomofunciondex, estosignicaqueyesunafunci on dex pero no conocemos su expresion.Por ejemplo la ecuaci onex+sen(xy) = y2+ 1aparecendosvariablesxquesupondremos lavariableindependienteeyqueeslavariabledependiente. No hay forma evidente de despejary en terminos ex. Estamos interesados enencontrar la derivada dey sin intentar un despeje de la variable.Acontinuacionseindicanlospasosarealizarparaobtener y

=dydxcuandoenunaecuaci on se deney implcitamente como funcion derivable dex.1. Derivar terminoaterminolos miembros delaecuacion, respetandolas reglas dederivaci on y teniendo en cuenta quey es una funci on dex, as cada vez que derivamosy por regla de la cadena aparece multiplicandoy

.2. Despejar en la ecuaci on resultante y

=dydx .84Ejemplo6.15Calcular y

=dydxsi ey+x2y3= x 3y.Soluci on. Se derivan los terminos de la ecuaci on respecto ax(ey)

+ (x2)

y3+x2(y3)

= (x)

(3y)

tenemoseyy

+2xy3+x23y2y

= 13y

.Agrupamos a un lado de la igualdad los terminos que tieneny

eyy

+3y

+3x2y2y

= 1 2xy3,factorizamos pory

y despejamos obteniendoy

=1 2xy3ey+ 3 + 3x2y2.

Ejemplo6.16Calcular larectatangenteynormal alacurva xy y3=1enel punto(0, 1).Soluci on.Derivamos termino a termino la igualdad dada, usando las correspondientesreglas de derivacion,y +xy

3y2y

= 0.Despejamosy

yobtenemosy3y2x. Reemplazandolosvaloresdadosx=0ey= 1setieney

(0, 1) = 13. La recta tangente a la curva en el punto (0, 1) esy + 1 = 13 xy la recta normal esy + 1 = 3 x856.2.5 EjerciciosPropuestos1. Calcular la derivada de las siguientes funciones.(a) f(x) = exx47x3+ 1(b) g(x) = ln(x2+ 1)(c) f(x) = 2ex+ln(x)(d) h(x) =(x54x + 1)7cos(3x)(e) g(x) =senx +cos(x)sen(x) cos(x)(f) h(x) = 3cos(x) + 2sen(x)(g) f(x) =x 1x(h) f(x) =excos(x)1 sen(x)(i) p(x) =x + 1x 1(j) r(x) =sen(x)x2(k) g(x) = e3x2x(l) p(x) = (2x 1)6sen(5x)(m) g(t) =

t3+ 552(n) h(t) = 2ln(cos(2t))(o) g(x) =

1

(2x + 1)(p) f(x) =x2ln(4x)e2x(q) c(x) = sen2(2x) +cos2(2x)(r) l(x) =ln(sen(x2+ 1))x2. Determine la pendiente de la recta tangentea la curva dada, en el valor especicadode x.(a) x2= y3, x = 8(b)1x=1y, x =14(c) xy = 2, x = 2(d) x2y32xy = 6x +y + 1 , x = 0(e) (1 x +y)3= x + 7 , x = 1(f) (x22y)3= 2xy2+ 64 , x = 0(g) (2xy3+ 1)3= 2x y3, x = 03. Pruebe que[tg(x)]

= sec2(x) y[sec(x)]

= sec(x) tg(x) .4. Hallar la ecuacion de la recta tangente y normal a la gr aca de la funci on dada en elpunto que se indica.(a) f(x) =xx 1 , x = 2(b) g(x) = (x 1)(x22) , x = 0(c) h(x) = (x33x + 1)(x + 2) , x = 1(d) t(x) =x 1x + 1 , x = 286(e) t(x) = tg(x) , x =4(f) t(x) = sec(x) , x =35. En que puntos tiene recta tangente horizontal la gr aca def(x) =x2x 1?6. En que puntos tiene recta tangente horizontal la gr aca def(x) =x2x2+ 1?7. Suponga quef(x) yg(x) son funciones derivables. Calcular la derivada de(a) h(x) = f(x) +g(x)(b) p(x) =

f(x)g(x)+ 1

2(c) y(x) = f

1g(x)

8. Derivary(N) =bN(k +N)2con respecto a N. Asuma que b y k son constantes positivas.9. Demuestre que(a) y = xex22 , satisface la ecuacionxy

(1 x2)y = 0.(b) y = xsenx, satisface la ecuacionx2y

2xy

+ (x2+ 2)y = 0.(c) y = xex, satisface la ecuacionxy

= y xy(d) y = ex, satisface la ecuaciony

+xy

y = xex10. Hallarf

2

, sif(x) = sen2(x cos x).11. Pruebe que[ax]

= axln(a) ,a R+,a = 1.12. Demuestre que la funci ony =x2ex2satisface la ecuaciond2ydx2 2dydx +y = ex13. Encuentre la ecuaci on de la recta tangente a la curva x2+y23x + 4y 31 = 0, en elpunto (2, 3).14. (a) La ecuaci onsen(x + y) =xsenydene implcitamentey como una funci on dex. Encuentrey

en el punto (0, 0).(b) Encuentrey

paray = ln(2x3) +sen(1 x) xe3x.8715. Encuentre la ecuaci on de la recta tangente a la curva x2y36 = 5y3+x cuandox = 2ey = 2.16. Hallardydxsix2y + 2y3= 3x + 2y y eval uela en (2, 1).17. Vericar que la funci ony = sen(lnx) + cos(ln x) satisface la ecuacionx2y

+xy

+y = 018. Calcule un polinomio de segundo grado p(x) = ax2+bx +c conp(1) = 6 ,p

(1) = 8yp

(0) = 4.19. Sea f(x) = x2+ax+b. Hallar los valores de a y b tales que la recta y = 2x sea tangentea la gr aca defen el punto de coordenadas (2, 4).20. Supongaquelaconcentraci ondenitr ogenoenunlagomuestrauncomportamientoperi odico del tipoc(t) = 2 +sen(2t)dondet es el tiempo en minutos. Calcular los valores positivos det tal quec

(t) = 0.21. En el siguiente modelo de poblacion, la velocidad de crecimiento en el instante t dependedel n umerodeindividuosenel instantet T, siendoTunaconstantepositiva, estonos indica que el modelo incorpora un retardo temporal en la velocidad de nacimientos.SeaN(t) el tama no de la poblaci on en el instantet y suponga queN

(t) =2T(K N(t T)), (6.2)siendoKyTconstantes positivas.(a) Demuestre que N(t) = K +Acos( t2T ) es una solucion de (6.2).(b) DibujeN(t) paraK = 100 ,A = 50yT= 1. Explique con palabras c omo varael tama no de la poblaci on con el tiempo.22. SupongaqueN(t)indicaqueel tama nodeunapoblaci onenuninstantetyN(t)satisface la ecuacionN

(t) = 3N

1 N20

Graque N

(t) para N0, e identique todos los puntos de equilibrio, esto es, aquellosvalores en queN

(t) = 0.886.3 AplicacionesdeDerivadasEn esta seccion vamos a utilizar el c alculo de derivadas visto en la secci on anterior en prob-lemas de optimizaci on y raz on de cambio.6.3.1 ValoresExtremos,CrecimientoyDecrecimientoA continuaci on se denen algunos conceptos necesarios para el trabajo en optimizacion.Sea f unafunci ondenidaenunintervaloAde R. Diremosquex0 Aesunmaximorelativo(o local)defsi existeun intervaloabiertoI A talque f(x0) f(x) para todox I.XYx0 IAn alogamente, diremosquex0 Aesunmnimorelativo(olocal)def si existeunintervalo abiertoI A tal que f(x0)f(x) para todox I .XYx0 IObservaci on6.17Para referirnos en forma colectiva a un m aximo o mnimo relativo hablare-mos de extremo relativo.Denicion6.18Diremos que x0es unpuntocrticode f si f

(x0) noestadenidaof

(x0) = 0.La condici onf

(x0) = 0 nos dice, que en este tipo de puntos crticos,la recta tangentees horizontal.89Al observar las guras anteriorespodemos notar que los extremos relativosson puntoscrticos. Esto se conoce como el teorema de Fermat:Siftiene un extremo relativo enx0entoncesx0 es un punto crtico def.En la siguiente gura vemos la gr aca de una funci on donde, en los extremos relativosx0yx1, la derivada vale cero.Xx0x1YLa siguientegura ilustra una funci onconunm aximo relativoenx0yla derivada no est adenida en el punto.XYx0Observaci on6.19El recproco del teorema de Fermat en general no es cierto, esto es, si x0es un punto crtico no necesariamente es extremo relativo, ejemplo f(x) = x3. Esta funciontiene un punto crtico enx = 0 y en este valor no hay un extremo.Consideremosunafunci onfderivableenunintervaloabierto]a, b[. Enel captulo3,estudiamoslosconceptosdefuncionescrecientes ydecrecientes. Lasiguienteguraeslagr acade lafunci onf,vemosquefescrecienteen] , x0[ ]x1, +[ ydecrecienteen]x0, x1[ . Que puede observar de la derivada en estos conjuntos?90Xx0x1YPodemosverquelapendientedelasrectastangentessonpositivascuandoxpertenecea] , x0[ ]x1, +[ , porlotantoladerivadaespositivaenel conjuntodondelafunci oncrece. Enel intervalo ]x0, x1[ , lafunci ondecreceyladerivadaesnegativaparaxenesteconjunto. Escribimos este an alisis en la siguiente propiedad de monotona.Sea f una funci on derivable en ]a, b[ entoncesf

(x) > 0 para todox ]a, b[ si y solo si fes creciente en]a, b[ .f

(x) < 0 para todox ]a, b[ si y solo si fes decreciente en]a, b[ .Podemos utilizar estapropiedaddelas funcionesderivables paradeterminarsi unpuntocrtico es extremo relativo. Supongamos que f

(x0) = 0para alg unx0 ]a, b[.Silafunci onesdecrecientealaizquierdadex0ycrecientealaderechadex0entonceslafunci on tiene un mnimo relativo enx0.DecrecienteCrecienteXYx0Figura 6.1En terminos del criterio de monotona la funci onftiene un mnimo relativo enx0si laderivadaf

cambia de negativa a positiva alrededor dex0(de izquierda a derecha).Silafunci onescrecientealaizquierdadex0ydecrecientealaderechadex0entonceslafunci on tiene un maximo relativo enx0.91CrecienteDecrecienteXYx0Figura 6.2En terminos del criterio de monotona la funci onftiene un m aximo relativo enx0 si laderivadaf

cambia de positiva a negativa alrededor dex0(de izquierda a derecha).Ejemplo6.20Determine los puntos crticos, extremos relativos e intervalos de crecimientoy decrecimiento de la funcionf(x) =x33+x226x + 2.Soluci on. Laprimeraderivadadelafunci ones f

(x) =x2+x 6 . Paraencontrarlospuntoscrticos resolvemos f

(x) =0 , oequivalentemente x2+ x 6=0 , dedonde(x +3) (x 2) = 0 , as la funci onftiene dos puntos crticos x = 2 ,x = 3 . Busquemos losintervalos de crecimiento y decrecimiento def.El conjunto soluci on de la inecuaci on(x + 3) (x 2) > 0es ] , 3[]2, +[ . De esto,fes creciente en] , 3[]2, +[ y decreciente en] 3, 2[ .Como lafunci onfa laizquierda de 3 escrecienteya laderecha esdecreciente, sesigueque el punto crtico 3 es un maximo relativo def. Alrededor de 2 la funci onfcambia dedecreciente a creciente por lo tanto 2 es un mnimo relativo def.

Supongamosquex0esunpuntocrticodef del tipof

(x0)=0yquelafunci onesdos veces derivable en]a, b[ . Hay una forma muy simple de determinar six0es un extremorelativo def. La gr aca de la funci onfen la Figura 6.1 tiene un mnimo relativo enx0. Sise observa como cambian las pendientes de las rectas tangentes cuando se cruzax0desde laizquierda, puede verse que las pendientes son crecientes, es decir, f

(x0) > 0. An alogamente,enlagr acadelaFigura6.2lafunci ontieneunmaximorelativoen x0, enestecasolaspendientes de las rectas tangentes cuando se cruzax0 desde la izquierda son decrecientes, esdecir,f

(x0) < 0. La siguiente proposici on es conocida como Criterio de la segunda derivadapara extremos relativos.92Sea f una funci on dos veces derivable en ]a, b[ yx0 ]a, b[ tal quef

(x0) = 0 .Sif

(x0) > 0 entoncesftiene un mnimo relativo enx0.Sif

(x0) < 0 entoncesftiene un maximo relativo enx0.Ejemplo6.21Unbi ologorealiz ounexperimentosobrelacantidaddeindividuos enunapoblaci ondeparameciumenunmedionutritivoyobtuvoel modelo g(t)=ln(t2 2t + 5)donde t se mide en das y g(t) es el n umero de individuos en el cultivo. Indique despues decu anto tiempo el n umero de individuos en la poblaci on es mnimo.Soluci on. Laderivadadelafunci ong es g

(t) =2t 2t22t + 5 . Comolaexpresioncuadr atica t22t + 5no es factorizable enR, la derivadag

existe para todo t R. De laecuaci on g

(t) = 0obtenemos como solucion un unico punto crtico t = 2 . Usando regla dela division para derivadas, tenemosg

(t) = 2t2+ 4t + 6(t22t + 5)2Evaluandog

en el punto crtico, g

(2) =625> 0 . Por el criterio de la segunda derivadase tiene quet = 2 es mnimo relativo.Interpretamos este resultado en el contexto del problema. Como pasados 2 das el n umerode individuos en el cultivo es mnimo, se sigue que para0 < t < 2la funci on es decrecientey para t > 2la funci on es creciente. A partir det = 0 el n umero de individuos comienza adisminuir hasta llegar a una cantidad mnima de g(2) = ln(5) individuos a los 2 das. Pasadosdos das la poblacion aumenta.

Ejemplo6.22Enunainvestigaci onsedescubri oquelaconcentraci ony(t)deunmedica-mento inyectado en el organismo va intramuscular est a dada pory(t) =cb a (eatebt) ,donde t 0 es el n umerodehoras transcurridas despues de lainyecci on, a, b y c sonconstantespositivas conb > a . Cu ando ocurre la m axima concentraci on?Soluci on. Derivamos la funci on obteniendo y

(t) =cb a (aeat+bebt) . Igualamosla derivada a cero para encontrar los puntos crticos.y

(t) = 0cb a (aeat+bebt) = 0ab= eatbt.93Aplicandolafunci onlogaritmonatural aambos lados dela ultimaigualdadobtenemosln(ab) = at bt , de donde t =1a b ln(ab) es un punto crtico dey.La segunda derivada de y esy

(t) =cb a (a2eatb2ebt) =cb a b2

a2b2eatebt

=cb a b2eat

a2b2 e(ab)t

Reemplazando el punto crticoy

(1ab ln(ab)) =cb a b2eat

a2b2 e(ab)1abln(ab)

=cb a b2eat

a2b2 eln(ab)

=cb a b2eat

a2b2 ab

Note que de los datos aportados por el problema0 < a < bluego

ab

2< 1y

ab

2ab< 0 ,de estoy

(1ab ln(ab)) < 0 . Por el criterio de la segunda derivada se tiene que el punto crticot =1a b ln(ab) es un maximo relativo.As, la concentraci on m axima del medicamento ocurre despues de t =1a b ln(ab)) horas delainyecci on. Como elpunto esm aximotenemosquepara 01a b ln(ab) laconcentraci ondisminuyeamedida que pasa el tiempo.

6.3.2 Raz ondeCambioEnlasseccionesanterioreshemostratadoel conceptodederivadadesdeel puntodevistageometrico, es decir, pendiente de la recta tangente al gr aco de una funci on en un punto de-terminado. Sin embargo, tambien el concepto de derivada puede interpretarse como velocidadde variaci on instant anea, en este caso estamos frente a una interpretacion fsica.Supongamosquelafunci onposiciondeuncuerpoes x(t) . Lavelocidadmediadelapartculaduranteunintervalodetiempo [t0, t] sedenecomoel cambioenlaposici ondurante el intervalo dividido por la longitud del intervalo. Consideremos la notaci ony : indica el cambio enyAs, podemos escribir la velocidad media como94xt=x(t) x(t0)t t0La velocidadinstantanea en el instantet se dene como el lmite de la velocidad mediacuandot t0, esto esdxdt= limtt0xt= limtt0x(t) x(t0)t t0o equivalentementedxdt=limt0xt=limt0x(t0 + t) x(t0)tConcretamente, la derivadax

(t)representa la velocidad instant anea del cuerpo t unidadesdetiempodespuesdehabercomenzadosumovimiento. Estainterpretacionnospermitir adescribir una cantidaden terminos de su rapidez de variaci oncon respecto a otra cantidad,esto es, la razon de cambio de una variable respecto a otra.Ejemplo6.23Unequipodeinvestigaci onmedicadeterminaquetdasdespuesdel iniciode una epidemiaN(t) = 10t3+ 5t +tpersonas estaran infectadas. A que raz on se incrementa la poblaci on infectada en el novenoda?.Soluci on. La derivada de la funci onNesdNdt= 30t2+ 5 +12t.Ent = 9 se tienedNdt=146116 2435, 16. Esto signica que pasados 9 das la poblacion debacterias esta aumentando a raz on de146116por da.

Ejemplo6.24LaleydeFickestablecequeel porcentajedeconcentraciondesolutoenelinterior de una celula en el tiempot es f(t) = C (1ekt) , dondeCes la constante positivadeconcentraciondel solutoquerodealacelulaykesunaconstantepositiva. Supongaqueparaciertacelula, laconcentraciondesolutoenel interiordespuesde2horases0.008%delaconcentaciondesolutoenel exterior. C omoestacambiando f respectoal tiempo?Interprete este resultado.Soluci on.Como la concentraci on de soluto en el interior despues de 2 horas es 0.8% laconcentacionde soluto en el exterior,se tiene que f(2) = 0.008C=C (1 e2k) . De esto,0.008 = 1 e2k, despejando y aplicando logaritmo natural se tiene 2k = ln(0.992) , luegok 0.004 .95Obtenemosel modelo f(t)=C (1 e0.004t). Derivandof respectoal tiemposetienequedfdt= 0.004 C e0.004t. Note que la funci on exponencial es positiva as como tambien laconstanteC. Luegodfdtes negativa. Esto nos indica que enun tiempot0,el porcentajedeconcentraci onde soluto en el interior de una celula disminuye a raz on de 0.004 C e0.004tporcada unidad de tiempo adicional.

Supongamos quey = y(x) es una funci on derivable dex y que a su vezx = x(t) es unafunci on derivable de t. Por composici on de funciones tenemos que y depende de t y utilizandoregla de la cadena se sigue la siguiente f ormula de derivaci on conocida como razon de cambiorelacionadas:dydt=dydxdxdtEjemplo6.25Latemperaturadeundeterminadojarabe enel congelador est adadaporT(r) = r2+ 4r + 10,donderes la concentraciondealcohol delmedicamentoporcadamly est a dada en funci on del tiempo (en minutos) porr(t) =50004t2+ 1. Hallar la raz on a la cu alesta cambiando la temperaturadespues de 10 minutos.Soluci on. Sepidehallarlaraz ondecambiodelatemperaturarespectoal tiempo.Debemos obtenerdTdt=dTdrdrdt. Usando regla de la cadena nos quedadTdr=r + 2r2+ 4r + 10y por regla de la divisiondrdt= 40000t(4t2+ 1)2.Pasados 10 minutos se tiene que r =50004102+ 1 =5000401 12, 47. LuegodTdt (10) =dTdr (12, 47)drdt(10) = 12, 47 + 2

12, 472+ 412, 47 + 104000010(4102+ 1)26.3.3 EjerciciosPropuestos1. Uninvestigador medicoestimaque t horas despues de introducirseunatoxina, lapoblaci on (en miles) de cierta colonia de bacterias seraP(t) =6004 +e0.01t+e0.003tCu ando es maxima la poblaci on?Cu al es la maxima poblaci on de la colonia?2. Existenvariosmodelosmatematicos enel estudiodeenfermedadesdin amicas comolaleucemiayotrasenfermedadesqueafectanalascelulassanguneas. Unodeestosmodelos de produccion de celulas sanguneas fue desarrollado por A. Lasota en 1977 e96involucra la funci on exponencialp(x) = Axsesx/rdondeA, syrsonconstantespositivasyxesel n umerodeglanulocitos(untipodegl obulos blancos) presentes.(a) Hallarel nivel xdeglanulocitosdelasangrequemaximizanlafunci ondepro-ducci on.(b) Sis > 1 demuestre que existen dos valores dex tales quep

(x) = 0.3. Un modelo para la producci on de celulas sanguneas es la funci onp(x) =AxB +xmdondex es el n umero de celulas presentes,A, Bym son constantes positivas.(a) Hallar la tasa de producci on de sangreR(x) = p

(x) y determine los valores dextales que R(x) = 0 . Que indican estos valores?(b) Hallar la raz on a la cu al cambiaR(x) respecto ax. Interprete.4. La Ley de Boyle establece que cuando una muestra de gas se comprime a temperaturaconstante, la presi onPy el volumenVsatisfacen la ecuaci onPV= c , donde c es unaconstante. Endeterminado instanteelvolumendelgases600cm3,la presi ones150KPa ycrecea una raz onde 20 KPa/min. Conquevelocidaddisminuye elvolumenen este momento?5. Un globo esferico diminuto se inserta en una arteria obstruida por un co agulo y se inaauna tasade0.002 mm3/minConquerapidezcreceelradio delglobocuando elradio esr = 0.005mm?6. Seintroduceunapoblaci onde500bacteriasenuncultivo, creciendoenn umerodeacuerdo conla funci onP(t) = 500

1 +4t50 +t2

dondet se mide enhoras. Hallaraque ritmo est a creciendo la poblaci on cuando han pasado 120 minutos.7. Seestimaquedentrode t a nos, lapoblaci ondeciertacomunidadsuburbanaser ap(t) = 10 20(t + 1)2miles de personas. Un estudio ambiental revela que el nivel mediodiario de mon oxido de carbono en el aire ser a c(p) = 0.8

p2+p + 139unidades cuandola poblaci on sea dep miles. A que razonporcentual cambiar a el nivel de mon oxidode carbono con respecto al tiempo dentro de 1 a no?978. La reaccion a dos drogas como funci on del tiempo (medido en horas) est a dada por:R1(t) = tet, R2(t) = te2t2Debido a las caractersticas de cierta enfermedad, se optara por aquella droga que tengauna reaccion m axima mayor Que droga se debe elegir?9. Unapersonatosecuandohayunobjetoextra noensutr aquea. Lavelocidaddelatos depende del tama no del objeto. Suponga que una persona tiene una tr aquea cuyoradio es 20 mm. Si un objeto extra no tiene un radio r( enmilmetros),entonceslavelocidad V ( en milmetros por segundo), necesaria para eliminar el objeto mediantela tos esta dada por:V (r) = k(20r2r3); 0r20donde k es una constante positiva. Para que tama no del objeto se necesita la velocidadmaxima con el n de removerlo?10. El ujo de sangre en los vasos sanguneos es mas rapido cuando se dirige hacia el centrodel vaso y mas lento hacia el exterior. La velocidaddel uido sanguneoV esta dadapor:V=p4Lk(R2r2)dondeR es el radio del vaso sanguneo,r es la distancia que recorre la sangre desde elcentro del vaso, yp,L ykson constantesfsicas relacionadas con la presion. Cuandose excava nieve en medio del aire fro, una persona con historial medico de dicultadescardacas puede desarrollar angina (dolor de pecho) debido a la contracci on de los vasossanguneos. Para contrarrestarlo, puede tomar una tableta de nitroglicerina, que dilatalosvasossanguneos. Suponga que despues de tomaruna tabletade nitroglicerina, elradio de un vaso sanguneo se dilata a raz on de 0.0025 mm/ min en un lugar en el vasosanguneo donde el radio es R= 0.02 mm, encuentre la raz on de cambio de la velocidadde la sangre.11. Unartculoenunarevistadesociologaarmaquesi ahoraseiniciaseunprogramaespecco de servicios de salud, entonces al cabo deta nos, N miles de personas adultasrecibira benecios directos, dondeN=t33 6t2+ 32t; 0t8 Para que valor det es maximo el n umero de beneciarios?9812. Un bi ologo realizo un estudio sobre los factores que inuyen en el crecimiento o decrec-imiento de una poblaci on de peces presentes en un lago natural. El cientco llego a laconclusi onqueenveranoproducto delavisitahumana al lugarlacantidaddepecespresentes en el lago se modela porf(t) = 4 +tektdonde t es el tiempo medido en semanas (t=0 es el primer da de verano) yf(t) es eln umero de peces en miles.(a) Establezca el modelo en forma precisa (encuentre el valor dek ), si se sabe que de-spues de una semana de comenzado el verano hay 4.600 peces en el lago Cuantospeces hay despues de 4 semanas?(b) Parael modeloencontradoen(a)despuesdecuantassemanasel n umerodepecesenel lagoesmaximo? Cuandolacantidaddepecesestar aaumentado,cu ando disminuyendo?(c) Calcule limt+f(t) e interprete el resultado en el contexto del problema.13. EnNuevaEscociasellev oacabounestudiodelapolilladeinvierno. Laslarvasdela polilla caen al pie de los arboles huespedes a una distancia dex pies de la base delarbol. La densidad de larvasD(n umero de larvaspor piecuadrado de suelo ),vienedada por:D = 59.3 1.5x + 0.5x2; 1x9(a) Con que rapidez cambia la densidad de larvas con respecto a la distancia cuandoestas estan a 6 pies de la base del arbol?(b) Aquedistancia de la base del arbol la densidad de larvasdecrecea raz onde 6larvas por pie cuadrado por pie?14. Suponga quet semanas despues del brote de una epidemia,f(t) =20001 + 3e0.8tpersonas la adquieren.Cu al es la razon de cambio del crecimiento defal nalizar la semana 1?15. Cuandolabasuraorg anicasevacaenunestanque, el procesodeoxidacionqueselleva a cabo reduce el contenido en el estanque; sin embargo, despues de cierto tiempo,99lanaturalezaregresael contenidodeoxgenoasunivel natural. Sup ongasequeelporcentajedecontenidodeoxgenotdasdespuesdetirarlabasuraorg anicaenelestanque esta dado porP(t) = 100 t2+ 10t + 100t2+ 20t + 100

con respecto de su nivel normal. Que tan r apido cambia el contenido de oxgeno en elestanque 20 das despues de vaciar la basura org anica?16. La fuerzaR de reaccion del cuerpo humano a una dosisD de cierto medicamento estadada porR(D) = D2

k2 D3

donde k es una constante positiva. Demuestre que la m axima reaccion se alcanza cuandola dosis esk unidades.17. El porcentaje de alcohol en el ujo sanguneo de una persona, t horas despues de bebercierta cantidad de whisky est a dado porP(t) = 0.23te0.4tQue tan r apido aumenta el porcentaje de alcohol en el ujo sanguneo de una personadespues de media hora?18. Cuando se administra una droga o vitaminaintramuscularmente,la concentraci onenlasangre(medidaenug/ml)thorasdespuesdelainyeccionsepuedeaproximarpormedio de la funci onf(t) = C (ek1tek2t),dondeC ,k1y k2son constantespositivas. En que instantela concentraci onde ladroga es maxima?19. Laconcentraci onCdeciertoproductoqumicoenlasangre, thorasdespuesdeserinyectado en el tejido muscular esC(t) =3t27 +t3Cu ando es maxima la concentraci on?10020. Lareacciondel cuerpoalasdrogassepuedemodelarporlafunci on R(D)=D2

k2 D3

, dondeDes la dosis ykes una constante que indica la dosis m axima quepuedeadministrarse. Laraz ondecambiode R(D)conrespectoaDsedenominasensibilidad. Hallar el valor deD para que la sensibilidad sea maxima.21. Unaenzimaes unaprotenaquepuedeactuar comocatalizador paraaumentar elritmoal quesedesarrollaunareaci onenlascelulas. Enunareacci ondeterminada,una enzima se convierte en otra enzima denominada producto. Este ultimo actua comocatalizadorparasupropiaformaci on. LatasaRalaqueseformael producto(conrespecto al tiempo) esta dada por la funci onR(p) = kp (Lp) , donde L es la cantidadinicial de ambas enzimas,p es la cantidad de la enzima producto yk es una constantepositiva. Para que valor dep sera maxima la tasa a la que se forma el producto?22. Unagenteantibacterianoagregadoaunapoblaci ondebacteriascausadisminuci onenel tama nodeesta. Si lapoblaci ont minutos despues deagregadoel agenteesQ(t) = Q0 2t/3, dondeQ0representa la cantidad inicial. Determine(a) La razonde cambio de la poblaci onaltiempot si la poblaci oniniciales de 106bacterias.(b) Despues de que perodo de tiempo la poblaci on ha disminuido a 103unidades?23. El volumen de un tumor canceroso esferico esta dado porV (x) =6x3, dondex es eldi ametro del tumor el cual varia en el tiempot medido en das. Un medico estima queel di ametro esta creciendo a razon de 0.4 ml por da en el momento en que el di ametroes de 10 ml. A que velocidad esta cambiando el volumen del tumor en ese momento?24. En una comunidad particular, una cierta epidemia se propaga en tal forma que x mesesdespues de iniciarse el n umero de personas infectadas es P(t) =30x2(1 +x2)2medido enmiles de personas. A que razon se propaga la epidemia pasadas 2 semanas?25. Los ictiosaurios son un grupo de reptiles marinos con forma de pez y comparables entama noalosdelnes. Seextinguieronduranteelperiodo Cret aceo. Basandoseenelestudio de20esqueletosfosiles, sedescubrio que lalongituddel cr aneoS(x)(encm)y la longitud de la espina dorsalB(x) (en cm) de los ejemplares estaban relacionadasmediante la igualdadS(x) = 1, 162 [B(x)]0,993, dondex es la edad del f osil. C omo serelaciona la razon de crecimiento de la espina dorsal con la del cr aneo?26. Uninstitutodesaludp ublica midelaprobabilidadqueuna persona deciertogrupomuera a la edadx y emplea la f ormulaP(x) = 2xex, donde es un par ametro talque0 < < e . Hallar el valor maximo deP(x) e interprete el resultado.Captulo7Integraci onEn el captulo anterior nos preocupamos del problema dada una funci on encontrar su derivada.Sin embargo, muchas aplicaciones importantes del calculo estan relacionadas con el problemainverso, estoes, dadaladerivadaencontrar lafunci onquelaorigina. Por ejemplo, unsociologoqueconocelarazonalacu al crecelapoblaci onpuedeutilizarestainformacionpara predecir futuros niveles de poblaci on.Enestecaptulo, veremosel conceptodeprimitivaeintegral indenida, propiedadesyejemplos b asicos deintegrales. Aprenderemosdosimportantes tecnicas deintegracion.Finalmente, estudiaremos aplicaciones de integral.7.1 Integral Indenida7.1.1 PrimitivasDenicion7.1Unafunci onFsedenominaprimitivadeunafunci onfenunintervaloIsiF

(x) = f(x) para todox I.Ejemplos7.2 1. F(x) = x2es la primitiva def(x) = 2x2. F(x) = sen(x) es la primitiva def(x) = cos(x)3. F(x) = ln(x) es la primitiva def(x) =1x , parax > 0Una funci on tiene mas de una primitiva. Por ejemplo, una primitiva de la funci onf(x) = 2xcomo vimos en el ejemplo anterior es F(x) = x2pero tambien los sonG(x) = x2+1 ,H(x) =x2 2 , puestoqueal derivarestasfuncionesobtenemos f. Engeneral lasfuncionesconderivadas identicas se diferencian solo en una constante. En resumen:Si F(x)yG(x)sonprimitivasdelafunci oncontinuaf(x)enunintervaloIentoncesexiste una constanteCtal que G(x) = F(x) +C.101102Lapropiedadanteriornosdicequepodemosrepresentartodalafamiliadeprimitivasdeuna funci on mediante la adici on de un valor constante a una primitiva conocida. Existe unainterpretaci on geometrica para el hecho que dos primitivas cualesquiera de la misma funci oncontinua fdieran en una constante. Cuando se dice que Fy G son primitivas de f, signicaque F

(x) = G

(x) = f(x) , luego la pendiente de la recta tangente a la gr aca de y = F(x)para cada valor de x es la misma que la pendiente de la recta tangente a la gr aca dey = G(x)enx. En otros terminosla gr aca deG(x)es una traslaci onverticaldeF(x). En la gurase muestra la graca de algunas primitivas def(x) = 2x.XYy= x2y= x2+ 1y= x227.1.2 IntegralIndenidaLafamiliadetodaslasprimitivasdeunafunci oncontinuaf(x)sedenominaIntegral In-denida y se representan usando el simbolismo

f(x) dx = F(x) +CdondeCes una constante yFes una primitiva defpara todox en un intervaloI.Notacion: el smbolo

se leeintegral, f(x) es llamado integrando, dxindica la variablede integraci on.7.1.3 ReglasBasicasdeIntegraci onSeanfygfuncionescontinuasenunintervaloIyk Runaconstante. Severicanlaspropiedades1.

k dx = kx +C2.

k f(x) dx = k

f(x) dx3.

[f(x) g(x)] dx =

f(x) dx

g(x) dx.103El lector puede vericar f acilmente las siguientes integrales de funciones comunes1.

xndx =xn+1n + 1 +C , n = 1.2.

1x dx = ln(x) +C , x > 03.

exdx = ex+C4.

cos(x) dx = sen(x) +C5.

sen(x) dx = cos(x) +C6.

sec2(x) dx = tg(x) +C7.

sec(x) tg(x) dx = sec(x) +C8.

cosec2(x) dx = ctg(x) +CEjemplo7.3Calcular

x2+ 1x2dxSoluci on. Realizando un trabajo algebraico en el integrando y usando las propiedadesantes vistas obtenemos

x2+ 1x2dx =

1 +1x2dx =

1dx +

1x2dx =

1dx +

x2dx = x 1x +C

Ejemplo7.4Calcular

x2x dxSoluci on. Multiplicando potencias de igual base y de las propiedades anteriores se sigueque

x2xdx =

x2x12dx =

x52dx == 27x72 +C

104Ejemplo7.5Calcular

4cos(x) +x(x 3)2dxSoluci on. Separando la integral con la propiedad de la suma y desarrollando el cuadradode binomio tenemos

4cos(x) +x(x 3)2dx =

4cos(x) dx +

x(x26x + 9) dxAplicando nuevamente las propiedades se tiene

4cos(x) +x(x 3)2dx = 4

cos(x) dx +

x36x2+9xdx = 4sen(x) + x442x3+9x22

Ejemplo7.6Un ambientalista descubre que cierto tipo de arbol crece de tal forma que des-pues det a nossu alturah(t) cambia a raz on de h

(t) = 0.2 t2/3+ t , cm/a no.Si el arbol tena 20 cm de altura cuando se planto cuanto medira dentro de 27 a nos?Soluci on. Es claro del planteo verbal que se nos indica la derivada de la funci on alturay se nos pide encontrar dicha funci on. En terminos de integral indenida escribimosh(t) =

[0.2 t2/3+ t] dt = 0.2

t2/3dt +

t1/2dt = 0.2 35 t5/3+ 32 t2/3+CLa funci on altura h(t) = 0.235 t5/3+32 t2/3+Cdepende de la constanteC. Sin embargo,sabemos queh(0) = 20. De esto C = 20 .Finalmente h(t) = 0.2 35 t5/3+ 32 t2/3+ 20 . Despues de 27 a nos la altura del arbol esh(27) = 0.2 35 275/3+ 32 272/3+ 20 = 0.2 35 35+ 32 32+ 20.

7.1.4 EjerciciosPropuestos1. Encuentre una primitiva de las siguientes funciones(a) h(x) = 2x3x2+ 3x 7(b) f(x) = 10x46x3+ 5x 5x(c) g(x) = (x 12)2(d) p(t) = e3t105(e) h(t) = sen(4t)(f) f(x) =3x x2+ 14x2. Resuelva los siguientes problemas(a) Seaf(x) = 6x2+x 5 . EncuentreF(x) si se sabe que F(0) = 2 .(b) Seaf(x) = 12x26x + 1 . EncuentreF(x) si se sabe que F(1) = 5 .(c) Seaf

(x) = 9x2+x 8 . Encuentref(x) si se sabe que f(1) = 1 .(d) Seaf

(x) = 4x 1 . Encuentref(x) si se sabe que f

(2) = 2 ,f(1) = 3 .(e) Seaf

(x) = x19 5 . Encuentre f(x) si se sabe que f

(1) = 2 ,f(1) = 8 .3. Calcular las siguientes integrales indenidas(a)

4x3+ 8x 3 dx(b)

2eu+ 6u + 2 du(c)

x2+ 3x 2xdx(d)

ex2+x xdx(e)

3 cos(x) 1x dx(f)

12y 2y2 +3ydy(g)

4 cos(5x) dx(h)

x5dx(i)

x +xdx(j)

3x xx4dx(k)

14x dx(l)

(x2+13x)2