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UNIVERSIDAD NACIONALDE EDUCACIÓN A DISTANCIA

IMPRTh1E : REPROGRAFIA U.N.E.D Curso 2005 - 2006

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Importante:

Estos apuntes están exc1usivalTIente destinados pal"a su utilización porlos alumnos de las asignaturas Mecánica de fluidos y máquhlas hidráulicasy Máquinas hidráulicas de la E.T.S. de Ingenieros Industriales de la UNED.Fueron elaborados durant.e el curso 1990-1991 en la Universidad de Murcia,ETS de Ingenieros Industriales (hoy Universidad Politécnica de Cartagena).En la presente versión, que no ha sufrido ninguna modificación desde 1991,no se hall incluido las figuras que en su momento aparecerán en una versiónfinal en la que se completarán los capítulos restaJ.ltes. En algunos casos sehace referencia a figuras de los textos-que se recomlendaJ.l E'.nla guía; delcurso para seguir la. é1Signatm-a.

J UllOHernández RodríguezCatedrático de Mecánica de Fluidos

Universidad- Nacional de-Educación a Distanci-a

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Indice General

Prefacio

Nomenclatura

1 Introducción1.1 Clasificación de las máquinas de fluidos. . . . . . . . . . . .

1.1.1 Máquinas generadoras, motoras, reversibles y trans-misoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Máquinas hidráulicas y máquinas de flujo compresible1.1.3 Máquinas roto dinámicas y máquinas de desplazamien-

to positivo. . . . - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Descripción-general de las--turbomáquinas hidráulicas. . . . .

1.2.1 Elementos característicos de una turbomáquina-. . . .1.2.2 Características y disposiciones constructivas generales

de diferentes tipo.s de turbomáquinas hidráulicas -. .Turbinas Pelton, Francis, hélice, Kaplan y-tubulares .Bombas centrÍÍu-gas, n.elicocentrífllgas y-axiales . . .. 25Turbomáquinas utilizadas en centrales de acumula-ción por bombeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26

1.3 Introducción al estudio de problemas fluido mecánicos en máquinashidráulicas. . . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . . . . . .

.29

1..2.31.2.41.2.5

2 Balance de energía en máquinas hidráulicas 352.1 Introducción 352.2 Ecuación de conservación de la energía total en máquinas de

fluidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 352.2.1 Concepto de energía potencial. . . . . . . . . . . . .. 362.2.2 Balance de energía total en máquinas de fluidos. . .. 38

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2.3

2.4

2.52.62.72.8

.tsii.un.d ÍNDICE GENERAL

Ecuación de conservación de la energía interna en máquinashidráulicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ecuación de conservación de la energía mecánica en máquinashidráulicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Balance de energía mecánica en bombas hidráulicas. . . . . .Balance de energía mecánica enturbi.na.s hidráuli.ca.s . '.' . .Calentamiento por fricción en bombas y turbinas hidráulicasPérdidas de energía en la instalación. . . . . . . . . . . . . .

3 Teoría general de turbomáquinas hidráulicas3.1 Introducción........................3.2 Sistemas de referencia. ,.Triángulos de. velocidades. . . . . . .3.3 Ecuación de continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4 Ecuación de conservación del momento cinético. Teorema de

Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.1 Ecuación de conservación del momento cinético . . . .3.4.2 Relación entre par de giro y variación de momento

cinético. Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . .3.4.3 Relación entre altura útil y variación de momento

cinético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Deducción alternativa de la ecuación de Euler . . . . . . . . .Simplificación de la ecuación de Euler . . . . . . . . . . - . .Grado d~ reacción de una turbomáquina . . . . . . . . . . . .

3.53-.'63.7

4 Teoría .unidimensional de turbomáquinas hidráulicas4.1 Introducción............................4.2. Apr:oximacióIrde.-flujounidimensional

". . . . . . . . . . .

4.3 Limitaciones de Ta aproximación mridimensiorraJ en máquinasradiales, axiales y de flujo':roixto . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Relación entre los triángulos de velocidades y la forma de losálabes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5 Estudio unidimensional de máquinas radiales. . . . . . . . .4.6 Estudio unidimensional de máquinas a.xiales . . . . . . . . . .

5 Teoría ideal bidimensional de turbomáquinas axiales

6 Teoría ideal bidimensional de turbomáquinas radiales

7 Pérdidas de energía en turbomáquinas

8 Semejanza en turbomáquinas

40

4143475051

55555659

6060

62

65666871

757577

79

8385

Nomenclatura

Vectores y tensores son representados por caracteres en negrita (ocasional-mente, en notación de subíndkes). El módulo de un vector se denota conel símbolo correspondiente en cursiva (p. ej.: v =1 v 1). En coordenadascilíndricas (x, r, 8) (r2 = y2 + z2), las componentes del vector velocidad sedenotan por (Vx) Vn vu).

Caracteres latinosb Anchura de los álabese Calor específicoD Diámetroe Energ!a interna específicaE Energfa mecánica específica (p/ p + !f + U)f m Vector resultante de fuerzas másicaspor unidad de masaF'D Fuerza de resist-€nciaPL Fuerza; de s-ust-€ntaciónF s Vector fuerza de""Superficie9 Aceleración de la gravedadG Flujo másicoh Entalpía específicaHL Altura de pérdidas internasHm Altura manométrkaHn Salto netoHu. Altura útil, salto útil

H'P AltUra de pérdidas en la instalaciónM Vector momento de fuerzasMx Par de giron Vector unitario normalp Presiónq Vector flujo de calor por conducción

Q Caudal

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.t.;;.un.d NOMENCLATURA

Caudales de fugas total, interno y externoCaudal útilCalor transmitido al fluido por unidad de tiempo y volumen

(por radiación y reacción química)

Calor transmitido a un volumen fluido por unidad de tiempoCoordenada radial

"

Superficie de control, elemento de superficieSuperficies fijas, superficies móvilesTiempo .

TemperaturaPotencial de fuerzas másicasVector velocidad de arrastreVector velocidad absolutaVector velocidad de la superficie de controlComponente meridiana del vector velocidad absolutaComponente radial del vector velocidad absolutaComponente acimutal del vector velocidad absolutaComponente axial del vector velocidad absolutaVolumen de control, volumen fluido, elemento de volumenVector velocidad relativa .Componente meridiana del vector velocidad relativaComponente raElialdel vector veloJid.ad.relativa.Componente acimutal" del vector vélocidad. relativa

IComponente axial d€J vector-veloc.Ídad rdativa,Potencia mecánica comunicada a un volumen fluido

(potencia útil)Potencia de pérdidas mecánicasPotencia útilPotencia en el eje de la máquinaCoordenadas cartesianasCoordenadas cilíndricasVector de posición

Caracteres griegosa Ángulo que forman las velocidades absoluta y de arrastre

ai Ángulo de incidencia de un perfil(3 Ángulo de los áJabesdel rodete

(3 Ángulo que forman las velocidades relativa y de arrastre en

las secciones de entrada o salida del rodete

NOMEN CLATUR.A ct.ii.,.".d

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!SubíndiceseeOnrodssOO123

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Ángulo que forman las velocidades relativa y de arrastre enla sección de salida del rodete de una bomba, cuando nocoincide con el ángulo de salida de los álabes del rodete

Circulación de la velocidadCoeficiente de corrección de StodolaRendimiento hidráulicoRendimiento manométricoRendimiento mecánico u orgánicoRendimiento totalRendimiento volumétricoCoordenada acimut alViscosidad dinámicaCoeficiente de disminución de trabajoDensidadGrado de reacciónTensor de tensionesTensor de tensiones viscosasComponentes del tensor de tensionesComponentes del tensar de tensiones viscosasVector vorticidadVector velocidad angularFunción de disipación viscosa. . .Potencia disipada por efectos- vi~c6sbs en un volum:en de control.

Potencia-de pérdidas hidráulicas e;n una máquina

Sección de entrada a la máquinaSección de entrada a la instalaciónComponente en dirección de nRodeteSección de salida de la máquinaSección de salida de la instalaciónSección de entrada al distribuidorSección de entrada al rodeteSección de salida del rodeteSección de salida del difusor

Capítulo 1

Introducción

1.1 Clasificación de las máquinas de fluidos

Las máquinas de fluidos son sistemas mecánicos que intercambian energiacon el fluido que circula a través de ellas. En esta sección se van a clasificarteniendo en cuenta tres criterios:

.

L Sentido de la transferencia de energia entre máquina y fluido.

2. Grado de compresibilidad del fluido.

3. Principio de funcionamiento.

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Existen otras clasificaciones,basadas e~criterios menos~geneTalesreÍerentes

a condiciones de funcionamiento, ear terísticas constructivas y campos deaplicación; que serán pI.esentadas más adelante.

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1.1.1 Máquinas generadoras,motoras, reversibles y transmi-soras.

Una primera clasificación de las máquinas de fluidos puede hacerse en fun-ción del sentido en que tiene lugar la transferencia de energía entre lamáquina y el fluido que circula a través de ella.

Las máquinas generadoras comunican energía al fluido, de forma queéste experimenta un incremento de energía específica entre las secciones deentrada y salida de la máquina. Son máquinas generadoras, por ejemplo, lasbombas, los ventiladores y los compresores. En ocasiones, la función esencialde una máquina generadora no es realmente suministrar energía al fluido,sino producir una fuerza de empuje sobre un cuerpo que se mueve en el seno

1

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2 et.ii.uned CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

de aquél (es el caso, por ejemplo, de las hélices marinas y aéreas). La energíamecánica que consume una máquina generadora debe ser proporcionada porun motor.

Las máquinas motoras extraen energía del fluido, dando lugar a unareducción de la energía especifica de éste a su paso por la máquina.l Sonmáquinas motoras, por. ejemplo, las turbinaS hidráulicas, de. vapor y de gas,y las aeroturbinas. La energía mecánica producida por una máquina motora.puede transmitirse a un generador o bien, directamente, a un vehículo, unamáquina-herramienta, etc.

Las máquinas reversibles pueden funcionar indistintamente como ge-neradoras o motoras (los grupos turbina-bomba utilizados en centrales deacumulación. por bombeo son ejemplos de máquinas reversibles).

Las máquinas transmisoras permiten transmitir energía mediante unfluido, y están constituidas por una combinación de máquinas motoras ygeneradoras (son ejemplos de máquinas de este tipo los acoplamientos, losconvertidores de par y las transmisiones hidráulicas y neumáticas).

1.1.2 Máquinas hidráulicas y máquinas de fiujo compresible

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Esta segunda clasificación se hace en función de la compresibilidad del fluidoque circula a través. de la máquina. En máquinas. hid-ráulica5; las variacio-nes de volumen específico qu-eexperimenta el fluido a tmvés de la máquinason despxeciables, lo que ocurre cuando el fluidO

fs, un gas que sufre varia-

cion-es de presión poco importantes2 o un líquid - !En mecácica de flui-dos

lEn ocasiones se denomina. mótor a. lo que, en realid' ,konstituye=.uncoIljunto' quepuede im:luir elementos taJes como má.quinas~generadora.J, máqui.rus-motoras, cámarasde combustión o interc"mt,í~()res de calor. Por*mplo, un motor de- a.via.ción como- eiturboneactor consta de .una. cámara. de. combustión (donde la. energía. química. del combus-tible se transforma.' en energía. .térmica.)', ..un' turbocompresor (máquina generadora.) y una.turbina. (má.quina. motora); el motor de uD.barco puede constar de un motor de combustióninterna. alternativo (a su vez constituido por una cámara de combustión y una. máquina.motora, en este caso completamente integrados entre S1) y una. hélice (máquina. genera.-dora). Pueden citarse otros ejemplos de sistemas a los que se denomina motores, en laacepción que se está comentando, porque permiten aprovechar energía térmica, obtenidapor transformación de energía química, y convertirla en energía mecánica. en el eje (en elcaso del motor de un barco, a.unque la hélice sea una máquina generadora. que comunicaenergía. mecánica. al agua, en definitiva se aprovecha la energía quimica del combustiblepara producir energía mecánica que mueva el barco). No obstante, en 10 que sigue noserá. necesario hacer referencia en ningún caso a. esta acepción de motor que se acaba. deexponer. Al hablar de máquinas motoras se tendrá en cuenta. la definición expuesta arriba..

2En el estudio del funcionamiento de un ventilador o de una. aeroturbina se utiliza lamisma teoría general de máquinas hidráulicas que se. emplea en máquinas que manejanagua.

1.1. CLASIFICACIÓN DE LAS MÁQuiNAS DE FLUIDOS eu,,:uned

se estudia que para fluidos incompresibles de viscosidad constante existe undesacoplamiento entre los problemas mecánico y térmico, lo que supone unasimplificación considerable al poder realizarse el balance de energía mecánicasin necesidad de recurrir a la ecuación de conservación de la energía total(mecánica+ interna).

En máquinas en las que el fluido sufre variac.iones de volumen específicono despreciables (máquinas de flujo compresible), la simplificación indi-cada no es posible; y se hace necesario establecer un balance de energía total.La variación de volumen específico permite la transformación de energía in-terna en energia. mecánica y viceversa. Esto no es posible en máquinashidráulicas. 3 En una turbina hidráulica, por ejemplo, la energía internadel agua en la entrada de la máquina. no puede transformarse en energíamecánica en el eje. Esto se debe a que el término pV . v en la ecuación deconservación de la energía interna en forma diferencial es nulo.4

Máquinas rotodinámicas y máquinas de desplazamien-to positivo

El criterio en que se basa esta tercera clasificación se refiere al principio defuncionamiento de las máquinas.

Las máquinas. dinámicas están ba.:,--ad:as.en el intercambio de. cantidadde movimiento entre la máquina. y el fluido. Entre ellas, las más iJ:npor-tantes-son las máquina.s-dinámicas giratorias, denominadas ffiáQ

a' °nas r.o-

todinámicas, cuyo elemento principal lo constituy€ un órgano pr visto deunos álabes y dotado de un movimiento de-rotación (rotor); el a _circulade forma continua a través de los canales que forman dichos álabe ,~ expe-rimentando.- una va.-riación de momento cinéticoqlie_da lugar a la a-p-aricillnde un par entre el :fluido y el rotar y, por tanto, a un intercambio de energía.Existen otros tipos de máquinas dinámicas no giratorias de diseño especial,tales como las bombas de chorro (o eyectores), las bombas electromagnéticaspara metales líquidos y los actuadores hidráulicos o neumáticos.

Las máquinas de desplazamiento positivo tienen un funcionamiento

1.1.3

3En máquina..,>bJdráulicas, p~te de la energía mecánica se transforma en energía in-terna, pero esto es debido a efectos de viscosidad.

4Dicho término representa el trabajo especifico que por unidad de tiempo realizan lasfuerzas de presión al comprimir una partícula fluida.

5En las turbinas Pe1ton, como se verá más ade] ante , no existen propiamente dichoscanales; en. estas máquinas, uno o varios chorros de agua son deftectados por ála.bes dis-puestos espa.ciadamente en la. periferia del rodete. Por otra. parte, bajo condiciones deoperación de una. turbomáquina con cavitación totalmente desarrollada se produce dis-continuidad en el flujo de la. fase liquida.

3

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4 et..ii.un.d CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

basado fundamentalmente en principios nuidostáticos (aunque en ocasionespuede ser necesario considerar efectos fluidodinámicos). El fluido circula através de la máquina de forma discontinua. En algunas máquinas de este ti-po, una determinada masa fluida es confinada en un compartimento (órganode retención) que se desplaza desde la zona de alimentación de la máquina(de baja presión en bombas ) ala zona de.descarga (de ,alta presión en bom-bas)j pueden existir uno o varios órganos de retención, y el volumen de cadauno de ellos puede o no variar durante su movimiento. En otros modelos,existe un compartimento fijo pero de volumen variablej en este caso, los pro-cesos de admisión y descarga en el compartimento se llevan a cabo medianteválvulas que se abren y cierran alternativamente. En cualquier caso, se pro-duce uJia fuerza entre el fluido y algunos de los contornos móviles de losórganos de retención que da lugar al intercambio de energía entre máquinay fluido. En la Figura 1.1 se presentan esquemas de distintas máquinas dedesplazamiento positivo cuyos: principios de funcionamiento coinciden conuno u otro de los que se acaba de indicar. Estas máquinas se estudiaránen un capítulo posteriorj en las siguientes seccioIieSd~este capítulo se haráreferencia solamente a máquinas de tipo rotodinámico.

1.2 Descripción general de las turbomáquinas hidráulicas

Las turbomáquinas hidrá]llicas son máquinas' rotodinári:1icas de1111join-compresible. En esta secció:h se hace en primer lugar una descripción ge-

1

1

neral de los elem.entos fundakentales de que C(:>D:sta-una turbomáquina, y acontinuación se exponen muY'brevemente las cá.ráCterísticé1Sde' dichos ele-

,

mentas y las disposiciones constructivas generalesen>distintos tipos de tur- '

bomáquinas. Como es obvio, por el momento no es p.osible justificar deta-lladamente las características"de'diseño de cada' tipo de máquina, ~i explicarde forma rigurosa, por ejemplo, las razones que hacen que un determinadotipo de máquina sea adecuado para cierto rango de condiciones de funcio-namientoj todas estas cuestiones podrán ser abordadas una vez estudiada lateoría general de turbomáquinas, y no son objeto de estudio en este capítulode introducción. Sin embargo, la comprensión de dicha teoría quizá puedaverse facilitada si se posee un cierto grado de conocimiento previo acerca delos elementos y características generales de las turbomáquinas.

1.2.1 Elementos característicos de una turbomáquina

Una turbomáquina mono celular (o monoetapa) consta de un órganofijo (estator) y un órgano móvil (rotor). La asociación de un estator y

1.2. DESCRIPCIÓN DE LAS TURBOM.4.QUINAS HIDRÁULICASdw.,.n«!

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Figura 1.1: Algunos tipos de máquinas de desplazamiento positivo: (a) deémbolo; (b) externa de engranajes; (e) de tornillo doble; (d) de paletasdeslizantes; (e) de tres lóbulos; (f) de tubo flexible.

6 ,tsii.un.d CAPÍTULO l. INTRODUCCIÓN

un rotor constituye una célula o etapa. El rotar consiste en una ruedaprovista de álabes (rodete) que gira con el eje de la máquina. El estatorlo constituyen el distribuidor, el difusor y la voluta (o cámara espiral),si bien en algunas máquinas no existe alguno de estos tres elementos y, enciertos casos (por ejemplo, en hélices marinas), ninguno de los tres. Enuna turbomáquina mallo celular ,completa, el agua atraviesasucesiva.n:ienteel distribuidor, el rodete y el difusor. En bombas, la voluta se encuentra a lasalida del difusor, y en turbinas, aguas arriba del distribuidor. En algunoscasos es necesarIo disponer en una misma máquina varias células en serie,de forma que el :fluido recorra sucesivamente cada una de ellas; este tipode máquina se denomina turbomáquina multicelular. No se consideranmáquinas multicelulá.res las consti~uidás por células dispuestas en paralelo.

Distribuidor

El distribuidor es un órgano fij05 que tiene la función de conducir el fluidohasta la sección de entrada aJrodete con una velocidad de magnitud ydirección adecuadas.

En bombas mono celulares el distribuidor suele consistir en una tuberíasimple, que puede ser recta o acodada. Frecuentemente la tubería es desección conv,ergente con objeto- de conseguir una di.stribución de velocidadmás adecuada a la. entrada del rod-ete. Aguas arriba del distribllidor seenC11entrala tubería de aspiración. ED.bombas multicelulares el,~istribuidor,

.1

sólo existe en la primera célula o etapa.. I

En turbinas el distribcidúl'~.s un órgano muy impOTtante! que en lamayoría de los casos no sólo distribuye el agua álrededor del rodete--sinoque a.d-e-másrea-liza una función '-d:e:-l'egulacióndel caudal Es también unórgano de. transforIJ1ación de energía de presión en energía cinética. Endeterminados tipos de turbinas, está precedido por la voluta. El agua esconducida hasta la sección de entrada del distribuidor, o de la voluta, en sucaso, mediante una tubería forzada.

Rodete

El rodete es el órgano esencial de una turbomá.quina. Como ya se ha in-dicado, está provisto de unos álabes por medio de los cuales se produce el

5Como se indica más adelante, el distribuidor debe estar provisto de álabes orientables(u otro tipo de elementos móviles) cuando realiza la. función de regular el caudal. Sinembargo, se entiende por órgano fijo aquel que no contiene elementos cuyo movimientoes esencial en el intercambio de energía' entre má.quina y Huido, como es el caso de losdistribuidores de álabes orientables.

1.2. DESCRIPCIÓN DE LAS TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAScu;;.,,"<d 7

t5í

I

Figura 1.2: Tipos de rodetes según la dirección del flujo.

intercambio de energía con el fluido. En algunos tipos de turbomáquinas,el rodete tiene álabes orientables, de forma que puede desempeñar tambiénuna función de regulación como la que habitualmente realiza el distribuidor.Una primera clasificación general de los distintos tipos de rodetes puedehacerse en función de la dirección del flujo de agua en su interior (véaseFigura 1.2):

.. En rodetes radiales (normalmente de flujo centrífugo en bombas ycentrípeto en turbinas) las trayectorias que describen las partículasfluidas están contenidas en planos perpendiculares al eje de rotación(excepto- en las péoximídades de éste).

. En ro:.det-es peiales las trayectorias están contenidas en superficies derevolución ap,roximadamente cilíndricas.

I

". En rodetes ;helícocentrífugos- (en bombas) Q helicocentrípetos

(en turbinas)', denominados-también rodetes,...de flujo mixto o diago-:lales, las- traye-ctorias están contenidas en silperfici-es de re\"olución nocilíndricas cuyo meridiano tiene un cierto ángulo medio de inclinaciónrespecto del eje (tercer esquema de la Figura 1.2).

Existen otros criterios de clasificación (por ejemplo, el basado en el grado dereacción), que serán abordados detenidamente una vez introducida la teoríageneral de turbomáquinas y estudiados de forma particular disTintos tiposde máquinas.

Difusor

En bombas, el difusor está a la salida del rodete y desempeña dos funciones:por una parte, debe guiar el flujo de agua que sale del rodete hacia la vo-luta de una forma hidráulicamente eficiente y sin que se produzca. choque;

8 .tsii."".d CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

además, sirve para transformar la energía cinética con que sale el agua delrodete en energía de presión. En muchos casos, puede no existir difusor enuna bomba.

En turbinas, cuando existe,7 el difusor (o tubo de aspiración) lo consti-tuye un tubo de forma cilíndrica o de sección ligeramente divergente, rectoo acodado; que toma el ag11aque sale del rodete y la .conduce hasta .el canalde desagüe. Si, por razones de explotación, el rodete está instalado a unacierta altura por encima del canal de desagüe, el difusor permite aprove-char dicha altura,8 para lo cual basta que sea de forma cilíndrica. Por otraparte, la energía cinética del agua a la salida del rodete puede recuperarseparcialmente si se utiliza un difusor de sección divergente.

I

Voluta

En bombas, la voluta tiene como función recoger el agua que sale de laperiferia del difm;or, o del rodete, si aquél. no existe, y conducirla hastauna sección de salida única, generalmente de forma circular, en la que seencuentra la brida que une la voluta a la tubería de impulsión.

En turbinas, la voluta se encuentra aguas arriba del distribuidor, comoya se ha indicado, y realiza la función de conducir el agua hasta la sección deentrada al distribuidor, consiguiendo en ésta lllla distribución de-velocidaduniforme..

,i 1.2.2 Ca:racterí...~icas y disposicion€s constructivas generales

de diferentes tipos de t1J.rbomáquinas hidráulicas

.En -esta se€ción. se presentan diversos criterios-de clasificación- que permitendefinir los distintos tipos de turbomáquinas hidráulicas que se estudiaránen capítulos posteriores:' Estos.. criterios" que se -relacionan a continuación,hacen referencia a características de diseño de los elementos constitutivos,condiciones de funcionamiento y disposiciones constructivas generales de lasmáquinas. En las Secciones 1.2.3, 1.2.4 Y 1.2.5 se hace una descripción muygeneral de distintos tipos de máquinas, que será completada en capítulos

7No existe difusoren 1as'denommadas turbinas de escape libre (turbinas Pe1ton).-8Si no existe difusor y la turbina descarga a la atmósfera, existirá. una presión ma-

nométrica nula en la sección de salida del rodete; si, por el contrario, se dispone de undifusor de sección de área constante que descargue al canal de desagÜe, la altura de presiónmanométrica a la salida del rodete será. negativa e igual en valor a.bsoluto (sin tener encuenta pérdidas de energía) a la. altura de la turbina sobre el canal de desagÜe. Se verámás adelante que esto supone a.provechar dicha altura..

1.2. DESCRIPCIÓN DE LAS TURBOMÁQUINAS HIDRÁ UÚCASetsii.uned 9

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t

posteriores al hacer el estudio particular de cada una de ellas y una vezintroducida la teoría general de turbomáquinas.

Una primera clasificación puede hacerse en función de la dirección ysentido del flujo en el rodete. En la sección anterior se han mencionado lostres tipos de rodetes de flujo radial, axial y mixto. Pueden verse ejemplosde estos rodetes en las Figuras 1.6, 1.10 Y 1.12. En máquinas de flujo radialy mixto, el flujo suele ser siempre centrífugo en bombas y centrípeto enturbinas.

Otra clasificación está basada en el número de células o etapas (o esca-

-lonamientos) de la máquina. Como ya se ha indicado, las turbomáquinashidráulicas pueden estar constituidas por una única célula, o bien por va-rias células o etapas dispuestas en serie. En la Figura 1.3 se presenta unamáquina multicelular. La disposición de varias células en serie da lugar amáquinas en las que la altura proporcionada o aprovechada es igual a lasuma de las alturas de las distintas células, circulando por éstas el mismocaudal. No suelen ser frecuentes las máquinas multicelulares de flujo axial.No se consideran máquinas multicelulares los acoplamientos de máquinas enparalelo, en los que la altura total es igual a la altura de cada una de lasmáquinas mono celulares acopladas y el caudal total es igual a la suma delos caudales que circulan por cada una de ellas.

Ya S~ ha indicado antes que el concepto de- grado de reacción se estu-diará en un capitulo posterior) por lo que, por el momento, resulta difícilintr]oducir de forma precisa la clasificación de la:s tdrbomáquinas en funciónde ~icho parámetro. Puede-anticiparse que, segÚIl ~ste criterio-, existen.d-ostip6s de máquinas: -de acción y de reacción. En :las máquinas de acción(grado de reacción nulo) la energí-a.que intercambia el fluido con el rodetees en forma de energía cinética, no existiendo prácticamente variaciones dealtura estática en el fluido a través del rodete. Un ejemplo de este tipo demáquinas lo constituye la turbina Pelton. En las máquinas de reacción seproducen variaciones de altura estática a través del rodete, determinandoel grado de reacción de la máquina la importancia relativa de dichas va-riaciones de altura estática frente a las de altura total intercambiada. Lasturbinas Francis y Kaplan y las bombas centrífugas y axiales son ejemplosde máquinas de reacción.

Otras clasificaciones de las turbomáquinas se hacen en función del tipo deinyección (o admisión): una máquina es de admisión total o parcial depen-diendo de que el fluido intercambie energía con el rodete en todos los canalesentre árabes simultáneamente o sólo en algunos de ellos; del número de flu-jos (o tipo de aspiración) (en la Figura 1.4 aparecen varios ejemplos); deltipo de fluido que manejan; del tipo de accionamiento: por motor eléctrico,

10 ct..;;,uncd C.APÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

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Figura 1.3: Rodete y sección de una bomba de acumulación lllulticelular.

1.2. DESCRiPCIÓN DE LAS TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICASetsii,uncd 11

(al .lb)- (d' :' (dI

Figura 1.4: Ejemplos de máquinas con distintos tipos de aspiración: (a)rodete cerrado de aspiración simple; (b) rodete cerrado de aspiración doble;(c) rodete abierto de aspiración simple; (d) rodete abierto de aspiracióndoble.

hidráulico, de combustión interna alternativo, etc.; de la disposición del ejede la máquina: vertical, horizontal y, en ocasiones, inclinado, etc.

1.2.3 Turbinas Pelton, Francis, hélice, Kaplan y tubulares

La mayoría.de l~ turbinas..hidIáulicas utilizadas en centrales hidroeléctricasen el mundo son de alguno de los tipos Intncionados en el título de estasección. Difersos factores determinan que ~istintos fabricantes adopten so-luciones si~tlares en el diseño.de una turbin~ hidráulica destinada a",ser uti-lizada bajo ¡UDcierto rango de condiciones de funci0namiento: mínimo costeeconómico, 'rendimiento el.evado,-funcionamiento co:r:recto, resi-stellcia. al des-gaste, seguridad de e:;.,-plotación,fácil mantenimiento e impacto ambiental.El criterio esencial que se tiene en cuenta en el diseño de una turbina esde tipo económico, siendo el objetivo fundamental obtener la má..:x:.imaren-tabilidad económica de la instalación. Los restantes factores mencionadoscondicionan la consecución de este objetivo.

Como ya se ha mencionado, una turbina hidráulica es un máquina mo-tora que extrae energía hidráulica del fluido que circula a través de ella. Enfunción de la altura del agua en el embalse que alimenta la turbina.9 puedenestablecerse los siguientes campos de aplicación más característ.icos de losdistintos tipos de turbinas:

. 'TUrbinas Pelton: saltos superiores a 400 m.

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9Estas ideas se precisarán más a.dela.nte. En ocasiones 110existe dicho embalse.

12 <tsii.v.n.d CAPÍTULO l. INTRODUCCIÓN

e Turbina.s Francis: saltos entre 40 y 500 m.

. Turbina.s hélice y Kaplan: saltos inferiores a 60 m.

. Turbina.s tubulares: saltos entre 2 y 15 m.

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Estos rangos de alturas son sólo orientativos. Actualmente existen, porejemplo, turbinas Pelton para saltos de altura inferior a 200 m, turbina.sFrancis que operan bajo saltos de menos de 20 ID Y más de 700 m de altura,turbinas Kaplan para saltos de más de 80 m y turbina.s tubulares que puedenutilizarse en saltos de más de 40 m de altura. Para una misma potencia, elcaudal es mayor en turbina.s de menor salto..Dado que cada tipo de turbinadebe adaptarse a 'condiciones de funcionamiento. muy diferentes, cabe esperardiferencia.s constructivas importantes entre los tipos mencionados.

En centrales hidroeléctrica.s 'las turbinas se hallq,n generalmente acopla-das a un generador eléctrico síncrono conectado a la red eléctrica. Ésta,si es de potencia suficientemente elevada, impone la velocidad de giro delrotor de la turbina (velocidad de sincronismo), que debe mantenerse siem-pre constante. Por otra 'parte, la mayoría dé las turbina.s deben funcionar apotencia distinta de la nominal durante considerables períodos de tiempo, loque hace necesario un sistema de regulación que adapte su funcionamientoa condiciones de carga parcial. Estas varia.ciones- de potencia Se deben, poruna parte, a fluctuaciones de la potencia demandada por la red.,.-ante la.scuares el sistema de ;r,gula.ción, con un tiempo de TeSJ1Ues:ud""uad~, ":"túamodIficando el caudr' de forma que se-IDantenga. eÍ-maxlmo rendiIDlentoposible. en todo' inst'1llteO' POI otra parte, la;.potencüt disponible en la tur-bina puede variar debido a los cambios de caudal a-de nivel del a.gua en elembalse.

Turbinas Pelton

Las turbina.s Peltonl0 son turbinas de acción (o de impulso) que puedenconsiderarse el resultado de la evolución de las antiguas ruedas hidráulicas.Como ya se ha indicado, son las más adecuadas para aprovechar saltos ele-vados. En la Figura 1.5 se presenta un esquema de una turbina Pelton. Eldistribuidor está constituido por uno o más inyector es (dos en la turbina dela Figura 1.5). Cada inyector hace incidir un chorro de alta velocidad sobreuna serie de álabes o cucharas dispuestos en la periferia del rodete (Figu-ra 1.6), de los cuales sale desviado. Toda la caída de presión en la turbina

lOReciben este nombre en honor de Lester A. Pelton (1829-1908), que contribuyó deforma muy destacada a su desarrollo.

1.2. DESCRIPCIÓN DE LAS TUP..BOMÁQUINAS HIDR.ÁULICASd.,¡,."nni 13

~~¡~!~~~.Figura 1.5: Esquema de u..'1aturbina pelfn de eje horizontal.

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100- 200

Figura 1.6: Rodete de una turbina Pelton.

14 .tsii.u...d CÁPlTULO l. INTRODüCCIÓN

tiene lugar en la tobera del inyector, no existiendo variaciones de presión enel agua durante el paso de ésta a través del rodete. Debido a esto últi¡no, elagua no llena completamente el espacio entre álabes. La energía del agua ala entrada del rotar es en forma de energía cinética del chorro. La variaciónde momento cinético del agua en el rodete produce sobre éste un par quelo hace girar. El agua sale.de losálabes" con una energía cinética residualrelativamente baja, y es dirigida hacia el canal de desagüe.

Por las razones que se expondrán en un capítulo posterior, el diámetrodel chorro lanzado por el inyector está limitado, no pudiendo en la prácticaexceder de un cierto rango. Esto supone que, para un salto de altura deter-minada, existe un máximo caudal admisible por chorro. Si el caudal totala turbinar excede de dicho máximo, "deben disponerse"varios chorros en ca-da rodete. Cuando resulta suficiente un único chorro, el rodete es de ejehorizontal y el inyector se monta de forma que el chorro tenga la direcciónde la tangente horizontal inferior a la periferia del rodete. Si son necesariosdos chorros, la turbina puede ser todavía de eje horizontal, disponiéndoselos inyectores en la parte inferior del rodete, de forma que el agua que sa-le de los álabes no 'caiga sobre el rodete. En turbinas de eje horizontal semontan a menudo dos rodetes gemelos, uno a cada lado del alternador. Enturbinas de eje vertical provistas de dos inyectores, éstos se disponen en dospuntos diametralmente opllestos en el rodete. Si el mímero de chorros hade ser superior a dos, la turbina debe ser de-eje vertical; en caBOcontrario,resulta imposible evita.r1que el agua- que sale de los álabe! alimentarlos porlos inyectores situados ep. la parte superior del rodete de. ej'r horizontal caigasobre éste. Las turbin~ de eje vertical pueden tener--ha$a- seis inyectores(Figur.a-1.7)., En cualquier caso, en ca.da instante el' chorrb o los chorros dea.gua sólo inciden sobrealgunos'de los álabes, por lo que las tw:.bmasPeltonson obviamente de admisión. parcial.

El rendimiento de una turbina Pelton depende en gran medida del diseñode los álabes o cucharas. En la Figura 1.6 se presenta el esquema de la formatípica de un álabe. u El chorro incide sobre la arista central (separador) yse divide en dos partes iguales.

El inyector consta de una válvula de aguja que permite regular el caudalvariando el "diámetro del chorro ymantepiendo fija la velocidad del agua. Ala salida del inyector existe un defiector que permite desviar la trayectoriadel chorro cuando se produce una caída brusca de la demanda eléctrica, y

llpelton patentó en 1880 un tipo de cuchara cuya principal novedad consistía en unaarista. central (o separador); hasta entonces las cucharas eran simplemente cuencas deforma aproximadamente semiesférica. Posteriormente, W.A. Doble introdujo la. cucharade forma. elipsoidal, en la que están basadas las actuales.

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15 ct.$ii.un<4 CAPÍTT;LO 1. Il'.TTRODUCCIÓN

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Figura 1.8: Turbina Francis original (fiujoradial).

así evitar la aceleración que se produciría en el rodete. Una vez accionado ~l..'de:flector, mediante la válvula de aguja puede reducirse el caudal de agua a unritmo adecuado que evite sobrepresiones excesivas (el tiempo de cierre sueleser del orden de un minuto). Un contrachorro permite parar rápidamente

..la turbina una vez cerrada la admisión de agua.

.

Turbinas Francis

Las turbinas Francis12 son turbin~ de reacciQn defiujo centrípeto13 radial.

o-mixto. (helicocentripeto)..

En la Figura 1.8 se presenta un esquema de la turbina Francis original.Es unai;urbina deJiujo puramente.radial en el rodete. Los bor<ks de ataquey de s-alida de los álab€B der rodete s~n paralelos al eje de rotaci~n, de for~a.que los railios en.-las secciones de entrada y salida son: iguale~ para. to~a.sI

las líneas-de corriente. El diámetro interior del rodete es muy próximo alexterior:

Con objeto de conseguir una turbina más compana y más adecuada pa-ra saltos de menor altura y mayores caudales, se puede reduCir el diámetrpinterior del rodete y hacer que el agua salga de éste con una cierta COD1-:-ponente arial de velocidad, como ocurre en el rodete de la Figura 1.9 (a),que todavía es de :flujo esencialmente radial. Si además se a.umentan lasdimensiones del rodete en dirección axial, se obtiene el rodete de flujo mixto

12James B. Fra.ncis (1815~1892) fue el primero en construir;: ensayar, en 1849, una. tur":"

bina de reacción de fiujo radial y centrípeto bien diseñada.. Amlalluente se conocen comoturbinas Francis todas las turbinas de reacción de flujo centrípeT'J radial y helicocentripeto.

13Las turbinas de flujo centrífugo pueden tener un alto rendimiento, pero su construcción

es más complicada ya que el rotor debe disponerse en la parte e.e.erior, quedando alojadoel distribuidor en las proximidades del eje. En las turbinas c€:D.trlpetas el eje y el rotorforman una unidad compacta en el centro.

1.2. DESCRIPCIÓN DE LAS TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAScf..4.i,>mrJ 17

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Figura 1.9: pprmas y tamaños relativos de distintos tipos de rodetes dereacción de igÜal potencia y para- la iIlisma altura de carga. (a) RodeteFra.nciE de flujo radial. (b) Rodete Francis de flujo mixto. (e) Rodete de.a: . . '1uUJo a.xla..

de la Figura 1.9 (b), también llamado rodete Francis, en el cual todas laslíneas de corriente tienen componentes a.xial y radial en todo punt.o. y que seadapta mejor que el rodete de flujo radial a condiciones de funcionamientocon menor altura de salto y mayor caudal. En la Figura 1.10 se presenta.una fotografía de un rodete de este tipo.

En la Figura 1.11 se presenta un esquema de una turbina Francis deeje vertical. La voluta conduce el agua desde la tubería forzada hasta lasección de entrada al distribuidor, constituido por una corona de árabesorientables. El agua se acelera al atravesar el espacio entre estos álabes, yadquiere una componente acimutal de velocidad, con la que entra al rodete.El caudal que circula por la turbina se regula haciendo rotar los árabes

18 cuii.un.cd CAPÍTULO 1. INTR.ODUCCIÓN

Figura 1.10: Rodete de una turbina Francis.

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orientables del distribuidor alrededor de su eje, variáD.do el área de la secciónde paso. En grandes turbinas (como la representad~ en la. Figura 1.11),existe asimismo una corona exterior de á.labes deposición fija, concéntricacon la de álabes orientables, denominada distribuidoifijó o aro de traviesas,la cual, además de conducir el agua desde la voluta; a la corona de á.labesorientables, sirve como elemento p.a:ra.a.:rriostrar y rigidizar la voluta y, enturbinas de. eje vertical, para transmitir ala CÍmentacióriel peso de diversosórganos de la turbina (rodete, alternador, eje de acoplanÜento, etc.). Debidoa la reducción- d€l área de la sección de paso, el agua .seacelera y experimentauna disminución depresión al circnla.r a-través der~dist.rj,buidoL' En el mdetese-produce una; nueva caída de presión, saliendo el agua--de' éste con bajapresión y una pequeña o nula componente a.cITnutalde ve:ktcidad.

El difusor, Q tubo .de aspiración, puede realizar las funciones indicadas

en la Sección 1.2.1. Suele estar constituido por un tubo cónico acodado desección divergente. En algunas turbinas el difusor es un tubo recto verticalde sección divergente, si bien este diseño aumenta los costes de excavación.En algún caso poco frecuente, el difusor puede ser un tubo de sección cons-tante. En cualquier caso, por las razones que se explicarán más adelante, esesencial que la salida del difusor esté, siempre sumergida. El montaje verticalde la turbina, frente al horizontal, facilita el ahorro de espacio ocupado porla instalación. Las turbinas de eje horizontal suelen ser de pequeña potencia.

Al final de la tubería forzada, antes de la voluta, existe una válvula quese halla cerrada cuando la turbina no está en funcionamiento. En tuberías depequeño diámetro puede ser una válvula de compuerta o esférica; en tuberías

1.2. DESCRIPCIÓN DE LAS TURBOMÁQUINAS HIDRÁULIGASct'¡i.vn<d

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Figura l.ll: Esquema de una turbina Francis de eje vertical.

19

20 .:.s,i.~"c<!CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Figura 1.12: Rodetes Kaplan y hélice.

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visitables, suele ser de mariposa. Una vez parada la turbina y cerrado eldistribuidor, se cierra para evitar que la voluta y los álabes orientables deldistribuidor queden sometidos a la presión está.tica debida al salto.

Cuando el tubo difusor es visitable, se coloca a la salida de éste unacompuerta- que, cuando está. cerrada, impide la entrada de agua desde elsocaz, o canal de desagüe; Para proeeder aja r-evisión de los distintos órganosde la turbina, se cierra la válvula de la tubería forzada y la compuerta: deltubo difusor, y se d~gua el volum-en de agua contenido en la turbina.

Debido aque-los\,saltos de agua comprendidos en el rango de utilizaciónde las turbinas Fra:nCis son los mis frecuentes, el número de est.as turbinasen...:funcionamiento ~ superior arde-turbinas de cualquier otro tipo.

Turbinas hélice y Kaplan

Las turbinas hélice y Kaplan son turbinas de reacción de flujo axial. Sonel resultado de la evolución de la turbina Francis de flujo mixto hacia unamáquina más rápida y de mayor caudal, adaptada a saltos de menor altura(Figura 1.9). El rodete tiene aspecto de hélice naval. como se observa en laFigura 1.12;. el agua lo atr.aviesa en dirección axial.

La turbina hélice de álabes fijos posee un bajo rel1dimiemo en condi-ciones de funcionamiento con carga parcial; esto hace qne este tipo de tur-bj.p.~ se utilicen sólo en instalaciones en las que la altura y la carga seanp~á~tieamente constantes. En las turbinas KaplanJ4 ~e evita est.e inconve-

14VíctOr Ka.pla.n (1876-1934) desarrolló a. comienzos de la dfeada de 19:20 la primera

1.2. DESCRIPCIÓN DE LAS TURBOMÁQUINAS HIDRÁUÜCASet.i¡.1Lned 21

niente mediante el empleo de un rodete de álabes orientables, cuyo ángulode paso puede ajustarse en función de la carga mediante un mecanismo deaccionamiento alojado en el buje y en el interior del árbol. Frente a lasturbinas hélice, las turbinas Kaplan tienen el inconveniente de su mayorcoste.

La instalación general de este tipo de turbinas no difiere mucho de lacorrespondiente a las turbinas Francis. En la Figura 1.13 puede verse unesquema de una turbina Kaplan de eje vertical. En saltos de cierta altura lavoluta es metálica, generalmente de sección circular, y en saltos de pequeñaaltura se construye de hormigón y suele ser de sección rectangular (comola de la Figura 1.13). Entre la voluta y el distribuidor suele existir unacorona de álabes fijos. A la salida del distribuidor, generalmente de álabesorientables, el agua posee una componente acimut al de velocidad con la queentra al rodete. A la salida de éste, la velocidad tiene solamente componenteaxial. El difusor o tubo de aspiración tiene las mismas funciones que eldifusor de las turbinas Francis y sus posibles formas son similares a las deéste.15

Turbinas tubulares

Las turL~lJ.as tubulares son el "i'esultado de un nuevo, paso en la evoluciónhacia. turbinas que }!ermitan aprovechar saltos de pequeña altura::. En la

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"Figura 1.14 se representa un esquema de ~.

n tipo de turbina tubular deno-minado grupo bulbo. Consta de un rodete ~e flujo axial (de tipo hélice conálabe-s-fijos o Kaplan) colocado a.."'{ialmenÚen el intedor de tUl cond1Jcto!forzado. El generador está acoplado diredamente al-rodete y se halla alo-j-a.d.oen un b1i!.bo inmerso en el fiUj0 entrante, a.b:ededor del mal circula; elagua, que contiene también los mecanismos de accionamiento de los álabesorientables del distribuidor.16 El distribuidor puede ser de álabes fijos enalgunas turbinas de pequeña potencia. Al bulbo puede a.ccederse a travésde los pozos representados en la figura.

Frente a las turbinas Kaplan convencionales,17 las turbinas tubulares

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turbina de este tipo.15Enla Figura 1.13, la parte del codo del tubo difusor es de sección divergente de forma

no circular.l6Las altas velocidades de rotación de estas máquinas permiten utilizar alternadores de

dimensiones más reducidas. En ocasiones, el alternador está alojado en un segundo bulbosituado aguas abajo del rodete.

l7..6J.hablar de turbinas Kaplan convencionales se hace referencia a turbinas como la de

la Figura 1.13 (se incluyen también las del mismo tipo de eje horizontal). Las turbinastubulares con rodete Ka.plan tienen una. configuración diferente, como se está explicando.

22c,.,¡¡.,,".dCAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

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~{'o;:' - o .'.1 Rueda moU:). (rod~~e) KA:,I;:;.n

2 Tapa de la turbinaJ Oistribuldol. Alabes (o paletas) de ap"~'o

5 Cámara espiral de hOfmi9o:"l6 TubO de aspiraci6n

7 Cojine\e de SL:s.p~nsió~(o de empuje1

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Figura 1.13: Esquema de una turbina Kaplan de eje vertical.

- -1.2. DESCRIPCIÓN DE LAS TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICASct.¡;.vncd 23

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2 C':!J2 CC'I<UC-fr:a:::>'J P~s.o c.~ e Icrre c::e: c:!s.:r.buldO'.c S-er\'DmC'~o'~ Pozos cc a: ceso6 Pozo Oe desmon1ale oel

alternador

'1 Reja de admIsióne r..~aQuina 14mplarrelO!s9 G'üa de I~ sala é-e maQtJloas

10 CuadroS de manio~ra:' :~'. : :-':.. .. -.'. ~:::"ir

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Figura 1.14: Esquema de un grupo bulbo.

presentan ventajas. en instalaciones con saltos de muy pequeña altura ycaudales elevados. Además de resultar preferibles. .desde un punto de vistahidráulico (por las razones q

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se estudiarán en un capítulo posterior), supo-nen :na .redllcción considera l~ ,del coste de ~os trabajos ~e ingeniería civil.Los tabncantes destacan ta bIen el menor rmpatto-a.m.b1ental que produ-ce su. instalación. Son::adem~ máquinas reversíbles que pueden funcionarindlstintamente com-o.tufbinas o como b-omb-as. Un inconveniente -de estasturbinas, que excluye su acoplamiento a redes eléctricas independientes condébil coeficiente de a.utorregulación, es su baja inercia.

Existen otras turbinas tubulares que presentan características ligeramen-te diferentes de las que se acaba de exponer. En las turbinas tubulares deengranaje cónico el alternador se halla alojado fuera del bulbo inmerso en la.corriente, y está acoplado al rodete mediante un engranaje de t.ipo cónico.En las turbinas "S" el tubo de aspiración tiene forma de S y el alternadorse halla acoplado al rodete como se observa en el esquema de la Figura 1.15.En las turbinas del tipo "straight flow" (Figura 1.16) el alternador est.á aco-plado directamente a la periferia del rodete, prescindiendo de esta fOfma deleje de accionamiento, lo que da lugar a unidades muy compact.as. Eu estos

Las mismas considera.ciones pueden ha.cerse sobre turbinas con rodetes héJice.

24 cw;¡."ncd CAPÍTULO l. INTRODUCCIÓN

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Figura 1.15: Esquema de una turbina tubular de tipo "8".

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Figura 1.16: Esquema de una turbina tubular del tipo "straight fiow".

1.2. DESCRIPCIÓN DE LAS TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS.t.ii."".d 25

tres tipos de turbinas tubulares el alternador es fácilmente accesible. En lasturbinas "straight flow", el gran diámetro del rotor del alternador reducelos problemas de refrigeración de éste e11turbinas de elevada potencia, yproporciona a la turbina una mayor inercia, lo que asegura una marcha másestable.

Existen otras configuraciones posibles de turbinas tubulares con distintaspeculiaridades, y lo mismo puede decirse de los otros tipos de turbinas des-critos anteriormente; sin embargo, no es el propósito de esta sección realizaruna descripción más detallada.

1.2.4 Bombas centrífugas, helicocentrífugas y axiales

Las bombas hidráulicas18 son máquinas con un campo de aplitaCiones ex-traordinariamente extenso, lo que da lugar a una gran variedad de tipos ytamaños. Puede hacerse una primera clasificación general en función de ladirección del flujo en el rodete de la bomba, distinguiéndose entre los tipossiguientes: bombas centrífugas, bombas helicocentrífugas y bombas axiales.

En bombas centrífugas (Figura 1.17) el fluido entra axialmente a travésde la careas a en que se halla alojado el rodete y adquiere, al circular através de éste, un movimiento acimutal y radial hacia el exterior. Despuésde atravesa.r el rodete, ~l agua pasa al difusor (si existe), que puede tener 0-no álabes, yacontinuacién a la voluta. Normalmente los álabes del rodeteestán curvado-s-hacia atrás, como en la figura, pero existen tam

~

ién diseños

de ~h),bes radiales, y curvados. hada...delante. El rodete pUf:!deser abier:o,de IOrma que los alabes se hallen sepaI'-ados de la ca.rcasa por a pequen:aholgura, o ce.:o:arlo,estando los álab-es-en este caso l1:n.idos-y pro egjdos de laca.rcasa por-un disco en cada una- de las caras laterales del:.rodete.

Las bombas centrífugas son adecuadas cuando se requieren altura.'3 re-lativamente grandes y caudales pequeños. Las bombas adaptadas a con-diciones de funcionamiento con alturas más pequeñas y caudales mayorestienen un diseño que hace que el fluido pase a través del rodete con unacierta componente de velocidad axial y menor componente radial (bombashelicocentrífugas) o en dirección prácticamente arial (bombas axiales). Pa-ra permitir el paso de un mayor caudal, la sección de paso de los canalesentre álabes puede aumentarse con incrementos relativamente pequeños deltamaño del rodete (lo que no ocurriría si se quisiera mantener un diseño detipo centrífugo).

Pueden establecerse analogías entre las turbinas Francis de flujo radial

¡8En esta sección se sigue haciendo referencia a máquinas roto dinámicas solamente.

26d ",,,-';CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

..-Figura 1.17: Esquema de una bomba centrífuga.

y las: bombas. centrífugas radiales, entre -las turbinas Francis de flujo mixtoy las -bombas helicoceIlLLífa:gas,Y entre las turbinas Y bo~bas axiales. Dehecho, como se v:erá -en la siguiente secció

.

n, existen m~luinas' de los tres

1

tipos -que pueden funcionar de forma reversible. 1. I

1.2;-5 Turbomáquinas lltiliZadas'en centrales de a-cumulación '

por bombeo

Como ya se ha indicado, en una red eléctrica de dist.ribución la producciónneta de energía debe adaptarse en cada. instante a la demanda. Por unaparte, el conjunto de las centrales de producción deben ser capaces de sa-tisfacer la máxima demanda de energiaque pueda presentarse; por otra, enperíodos de baja demanda deben poder disminuir la potencia suministrada.En determinados períodos puede ocurrir que la potencia disponible en la.red sea superior a la demandada, y que resulte interesante, desde UD puntode vista económico, utilizar la potencia suplementaria disponible (de bajoprecio) para bombear agua hasta un embalse, para posteriormente utilizar la.energía hidráulica acumulada para producir energía eléctrica en horas puntade demanda o en períodos de escasez de agua.

1.2. DESCRIPCIÓN DE LAS TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICA.S.,..,."".. 27

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I~ Moc:orlA.Iu:rnador

2. Tun:nr.a3. B,:)=~ cr ..c\:mub:ic.n.c. A::?arroJ:::'O:'::'csc.~bfqabjc

5. A,::);I~a::':I~:::-:'C~..a:)rrac en:t(':':cn.1

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FiguTa 1.18: Grupo temario para centrales de acumulación por bombeo.I!

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1.as instalaciones que operan .de esta forma- se denominan centrales deacumulación por bombeo. Existen muy diversas alternativas en la elección delos tipos de máquinas a emplear en estas centrales, pero no se pretende haceraquí una enumeración ni una descripción detallada de todas ellas. Cabe laposibilidad de elegir entre dos opciones generales: utilizar sistemas formadospor la agrupación de una o varias turbinas y bombas, o bien máquinasreversibles (denominadas también grupos turbina-bomba).

En la primera opción existen varias alternativas. Es muy frecuente lautilización de los denominados grupos ternarios, compuestos de una t.urbina,un alternador-motor síncrono y UJlabomba dispuestos sobre el mismo á.rbol(Figura 1.18). En horas punta de demanda, la bomba se desacopla o se vacíade agua, y el conjunto formado por la turbina y el alternador suministranenergía eléctrica a la red. En períodos de baja demanda, la turbina sedesacopla o se hace girar en aire, y el alternador se hace funcionar como

28:[,ii.uned CAPÍTULO 1. INTRODUCCrÓN

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Figura 1.19: Grupo reversible semiaxial con distribuidor cónico.

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motor para mover la. bomba '/ elevar a.gua~-. .

Las bombas' utilizad.as en centrales de a.cu:mu.laciónpueden ser de muydiversos. tipos, dependiendo S1.lS'cara.ct.erísticas deja altura de elevación, delcaudal necesario- y de la ait~.á d-e a.Spirnción _posible. En la Figura 1.3 sepresenta--1IDa-bomba de a-eumula.ciün multicelulaL de-TÍpo centrífugo.

La segunda opción mendonada- para la elección. del tipo de má.quinaconsiste en utilizar .máquinas- reversibles.- (grupos turbina-bomba). Por las'-razones que se explicarán en un capítulo posterior, el diseño de este tipo demáquinas es más complicado que el de una turbina o una bomba. Existenmuy diversos tipos de máquinas reversibles adaptadas a diferentes rangos desaltos: máquinas radiales derivadas de las turbinas Francis, máquinas semia-xiales con distribuidor cónico y de álabes fijos y oriemables (Figura 1.19).grupos bulbo, etc.

En centrales maremotrices se aprovecha el flujo y reflujo de las mareaspara generar energía eléctrica. Constan de un dique. construido en un es-tuario o brazo de mar, en el que se instala una máquina hidráulica. Cuandoel nivel del mar es superior al del estuario (marea alta.), exist.e un flujo, através de la máquina (funcionando como turbina) en dirección al estuario:

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1.2. PROBLEMAS FLUIDOMECÁNICOS EN MÁQUINAS HIDRÁULICAS 29

con marea baja, el flujo es en sentido inverso, y la máquina funciona tambiéncomo turbina. Es posible demostrar que, cuando la diferencia de alturas delagua a ambos lados del dique es pequeña, puede ser de interés realizar unafase de bombeo durante la cual se mantiene el sentido del flujo de la fase deturbinado precedente, retrasando, por tanto, el momento de inversión delflujo. Esta energía hidráulica. acumulada se utilizará en la fase de turbinadosiguiente, en condiciones en las que la diferencia de alturas del agua a amboslados del dique es mayor. Se deduce, por tanto, que la máquina a utilizaren este caso debe poder funcionar como turbina y como bomba en los dosposibles sentidos del flujo. Las únicas máquinas que pueden funcionar enestas' condiciones son de tipo tubular con rodete y distribuidor de álabesorienta.bles.

1.3 Introducción al estudio de problemas fiuido-mecánicos en máquinas hidráulicas

En esta sección se hará referencia fundamentalmente a turbomáquinas, de-jándose para el final algunos comentarios sobre máquinas de desplazamientopositivo y transmisiones hidráulicas.

El fiujo a través de las máqui..'las hidráulicas 8:Iele ser casi siempre turbu-lento, tridime.nsional y no estacionario,. lo q~e geIle~almente h~ce imposi~leobtenet SolucIones exactas de las ecua-clOnes¡de NaVler-Stokes ,aunque-eX1s-ten máguinas que-utilizan fluidos- muy visc~$Os y en las que el movimientopued-e'ser laminar).

Un~ herramienta. muy útii-en el estudio de las máquinas hidráulicas la"Con.stituy-enlas técnicas de a:nálisis dimensional y el concepto de semejan-za física. En breves palabras, el enfoque que se da a los problemas que sepretende resolver con dichas técnicas está basado en consideraciones del si-guiente tipo: Suponiendo que las actuaciones de una determinada máquina,bajo ciertas condiciones de funcionamiento, son conocidas mediante un en-sayo, ¿qué conclusiones pueden establecerse acerca de las actuaciones dela misma máquina, o de otras geométricamente semejantes, bajo diferentescondiciones de operación? Evidentemente, pueden obtenerse conclusionesaceptables en el caso de que exista semejanza física entre los flujos en lasdiferentes condiciones.

Sin embargo, es obviamente necesario poder predecir de forma teóricael funcionamiento de una máquina que aún no ha sido ensayada, o diseñaruna nueva que no sea geométricamente semejante a ninguna otra de actua-ciones conocidas. En tal caso, las anteriores consideraciones de semejanza

30.t.ii.1Lne¿ CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

no permiten resolver el problema, y en principio parece necesario recurrira un estudio detallado del movimiento del fluido a través de la máquina,lo cual ya se ha dicho que puede ser muy complicado. En realidad, lo quese ha hecho hasta muy recientemente ha sido utilizar técnicas basadas engran medida en la experimentación y en la habilidad y experiencia de losdiseñadores. Más con~retamente, lo que se hacía era emplear las hipótesis demovimiento unidimensional (según la cual el flujo es paralelo a la superficiede los álabes y perfectamente guiado, lo que está muy lejos de ser exacto) eideal, y corregir los resultados teóricos mediante coeficientes empíricos.

Dado que los rendimientos que se obtienen en bombas centrífugas y enturbinas hidráulicas diseñadas con estos procedimientos son superiores al90 %, cabe plantearse si está justificado desde un punto de vista pragmáticoutilizar en su estudio las técnicas más avanzadas de la mecánica de fluidos,o por el contrario se debe continuar con los métodos clásicos que tan buenosresultados han proporcionado. La respuesta es evidente. Es indudable quelos procedimientos de diseño "tradicionales", fundamentalmente empíricos,han permitido obtener unas máquinas de excelente comportamiento; sinembargo, no han producido resultados de los que puedan deducirse leyessuficientemente generales que justifiquen por qué tal diseño y no otro es más.adecuado. Ello impide la aplicación general de principios de diseño conocidosa casos can diferentes configuraciones geométricas o mecánicas, ya: que, engeneral, no se conocen de forma precisa los parámetros geométrico s que sonesenciales,. y aquel~que pueden cambiarse sin efectos desfavorables. Lo quese ha tratado de h~er más recientemente ha sido, en ci€!ta forma, dar-a loscoeficientes emp:írÜ:os mencionados en el párrafo anterior una explicaciónmás-racional, describiendo y -cuantificando su dependencia con respecto adiversos factores.

.

En .mecánica de fluidos es frecuente encontrar problemas donde aparecenflujos alrededor de cuerpos en reposo, o situaciones que pueden des<;ribirsemediante flujos de ese tipo. Sin embargo, en turbomáquinas, dado que elmovimiento de la máquina es de rotación, no pueden aplicarse los resultadoscorrespondientes a dichas situaciones. Además, la existencia de movimientosrelativos entre partes :fijas y móviles de las máquinas introducen unacompli-cación adicional. Todo ello hace que encontrar soluciones teóricas conciertogrado de precisión y generalidad sea incluso más dificil que en otras áreas dela mecánica de fluidos, y que las simplificaciones que es necesario introducirsean mayores.

Un primer avance con respecto a la teoría ideal unidimensional consisteen suponer que el flujo tiene lugar a lo largo de superficies de revolucióncilíndricas concéntricas con el eje de rotación (máquinas de flujo arial) o de

1.3. PROBLEMAS FLUIDOMECÁNICOS EN MÁQUINAS HIDRÁULICAS.tsii.un.d.31

superficies perpendiculares a éste (máquinas radiales). En el primer caso,las superficies pueden desarrollarse, adoptándose la aproximación de que elflujo es bidimensional en las superficies desarrolladas. En máquinas de flujoradial, a pesar de que el movimiento absoluto se suponga irrotacional, debetenerse en cuenta que el movimiento relativo es rotacional.

Un paso más en el análisis teórico del flujo en turbomáquinas consisteen tener en cuenta los efectos tridimensionales, man~eniendo la hipótesisde fluido ideal. Sin embargo, la omisión de la influencia de la fricción enlos métodos de corrección de los resultados de la teoría unidimensional porefectos- bidimensionales o tridimensionales, hace que no sea útil tratar deconseguir una excesiva precisión en las correcciones obtenidas mediante di-chos métodos, y que incluso algunos resultados proporcionados por la teoríaideal q-p.edeninvalidados.

Según se estudia en mecánica de fluidos, en determinados tipos de flujosel concepto de capa límite permite dividir el campo fluido en una delgadaregión en las proximidades de las superficies sólidas, en la que los efectosviscosos son importantes, y una región exterior en la que el fluido puedeconsiderarse ideal. El flujo en la región exterior se describe teóricamente deuna forma relativamente fácil en configuraciones sencillas, como en el casode un flujo alrededor de una única superficie deflectora; en problemas conaspectos geométricos más complicados puede reC'..:Luirsea técnicas numériC"'c:1.S.Por otra parte, es posible estimar el erecto de la capa límite de una formabastante precisa. ~

Sin embargo, en el campo de las turb.omá4,uinas sólo puede utilizarse esteenfoque de forma aseq1rible en el casode'Todetes con álabes suficientemen-te espaciados19 y de. Cllrvatura_moder.ada y simple. Supongamos-en primerlugar que los ála;bes están suficientemente espaciados. En tal caso., el pro-blema del flujo a través de una cascada de álabes estacionaria y a través derodetes de flujo axial puede resolverse con precisión y sencillez razonables.Sin embargo, si las características geométricas de la máquina se complican,el problema ya no resulta tan sencillo, como ocurre en el caso de máquinasde flujo radial o, sobre todo, mixto, con álabes de curvatura complicada.Ello se debe principalmente a que el movimiento se hace fuertemente tridi-mensional. No obstante, la utilización de técnicas de cálculo numérico hapermitido avanzar mucho en la resolución de estos problemas.

Por otra parte, puede esperarse que la capa límite alrededor de los álabes

19No obstante lo indicado en este párrafo y en el siguiente, el efecto de guiado del flujo

que se produce en el caso opuesto, cuando los álabes están muy poco espaciados, introducetambién grandes simplificaciones en el tratamiento

.J

1

32 etsii.uned CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

el

¡.~

\' ..

1I

sea suficientemente delgada sólo si los canales de paso entre álabes son anchosy cortos, lo cual suele ocurrir más frecuentemente en rodetes axiales. En casocontraxio (máquinas de baja velocidad específica), no puede suponerse quelas fuerzas de fricción sean relevantes sólo en las proximidades de los álabes,lo que hace que el cálculo del flujo en la máquina se complique enormemente,siendo necesaxio hacer uso de las ec:uaciones que, describen el movimientoturbulento en lugar de las ecuaciones de Euler. Además, el efecto de lacurvatura de los álabes introduce dificultades adicionales en el estudio de laevolución de las capas límite turbulentas.

Otro fenómeno que da lugar a un incremento en los efectos de fricciónes el de desprendimiento de la capa límite, que puede ocurrir cuando el gra-diente de presión es desfavorable. Los límites de desprendimiento en álabesaislados pueden determinarse experimentalmente en un túnel de viento; sinembaxgo, aunque la predicción teórica del desprendimiento es posible en ca-sos de flujos sencillos, no es fácil paxa las condic:iones de flujo tan complicadascomo las que tienen lugar en una turbomáquina.

Como ya se ha dicho, el flujo en turbom.á4Uinas hidráulicas es general-mente turbulento, siendo las fuerzas de fricción en el fluido debidas princi-palmente al movimiento turbulento de agitación. En muchos problemas demecánica de fluidos la energía cinéticaturbuleDta suele ser pequeña frente ala energía cinética. delliujo medio. Esto mismo ocurre ~n máquinas de flujoarial (de alta velocidad específica), en las que la energía transmitida es pe-queña. frente a-la energía cinética del flujo medlo~-Sin em~argo, en máquinasde flujo- radial (de baja velocidad especÍÍica)1?' energía- irltercambiada entreel rodete y el fluido (y por tanto la. pérdida i:ieeneTgJ:a~or fricción) puede.seLbastante- grande en compaxación con. la energía cinética deLfiujo me-dio. Se deduce, por tanto, que en este tipo de' m~u.inas la. intensidad. de laturbulencia es.'mucho mayor .que la que nonnalmenteexiste en otros flujos,..turbulentos.

De todo lo anterior se desprende que muchos de los problemas que sonobjeto de estudio en el campo de las máquinas hidráulicas se refieren a temasde interés general en mecánica de fluidos, a los que se está dedicando un granesfuerzo de investigación.

El estudio de capas límite, en partículax la influencia sobre ellas defenómenos no estacionaxios y la presencia de fuerzas centrífugas y de Corio-lis, y de movimientos secundarios que tienen lugar en sistemas rotantes, sonde gran interés en ei cálculo de pérdidas hidráulicas en turbomáquinas.

Los cada vez más potentes ordenadores están dando lugar a grandesprogresos en el desaxrollo de modelos bidimensionales y tridimensionalespaxa el cálculo numérico de flujos en turbomáquinas; quizá sea éste el campo

1.3. PROBLEMAS FLUIDOMECÁNICOS EN MÁQUINAS HIDRÁULICASetsii.uned33

en el que los avances recientes hayan sido más espectaculares, y el másprometedor a' corto plazo desde el punto de vista de las a.plicaciones eningeniería. La incorporación en estos modelos de métodos avanzados decierre de las ecuaciones del movimiento turbulento constituye otro campode investigación en el que se realizan esfuerzos notables.

Las modernas técnicas de a.nemometría no intrusiva y de visualizaciónhan permitido, como en otros campos de investigación de la mecánica defluidos, extraordinarios avances en el estudio experimental del flujo en tur-bomáquinas.

La investigación en aerodinámico. no estacionaria de superficies sustenta-doras tiene especial aplicación en turbomáquinas por su relación con el fallode componentes. El estudio de fenómenos no estacionarios en la interacciónentre el fluido y la estructura de la máquina tiene aplicación en problemasrelacionados con la reducción de vibraciones en las máquinas y la emisiónde ruido.

Cabe destacar también el problema de la cavitaÓón, sobre el que se hanrealizado estudios teóricos acerca de la naturaleza del colapso de burbujasy del mecanismo por el que se produce el daño en superficies. Se han inves-tigado también procedimientos para conseguir el retraso en la aparición decavitación, como el basado en la utilización de aditivos no newtonianos.

Un jjpo de turbomáquina que volvió a despertar interés dma:rrte la pasa-

da ~risis energética es la; aeroturbina; en -España existen -en_funcionamientoerosos parqlles eólicos, con una potencia total instalada considerable y

'uni ,adesde potencia-nominal cada vez mayor'. Los aspectos que req:uie"cren ayor esfuerzo de investigación están r€lacionados con la complejidad yvari~bilidad' del --vientoincidentesobre:los aerogeneradores.

En cuanto a las máquinas hidráulicas de desplazamiento positivo, desdeun punto de vista fluidomecánico es particularmente interesante lo referen-te a la naturaleza no estacionaria del flujo a través de ellas. Como ya seha indicado, el funcionamiento de este tipo de máquinas está basado fun-damentalmente en principios hidrostáticos, aunque en ocasiones puede sernecesario tener en consideración efectos hidrodinámicos. Son muy importan-tes dentro del campo de las transmisiones y sistemas de control hidráulicosy neumáticos, al que se hace referencia en el párrafo siguiente. Se utilizanmuy frecuentemente en aplicaciones en las que se requieren caudales rela-tivamente pequeños y presiones de impulsión muy altas; por ejemplo, enequipos de lubricación y de inyección. También son empleadas cuando sehace necesario un riguroso control del caudal impulsado (por ejemplo, enaplicaciones hospitalarias).

Por último, haremos referencia a las transmisiones y los sistemas de

34 .t.ii.un.d CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

control hidráulicos y neumáticos, de gran importancia en la automatizacióny mecanización de sistemas de producción y en dispositivos de muy distintostipos. Se utilizan, por ejemplo, en la construcción de máquinas-herramienta,en tecnología aeronáutica (aviones, helicópteros, cohetes), en los medios detransporte terrestre (de rueda y de oruga), en las máquinas de construcciónde carreteras y de elevación.(grúas), y en la maquinaria de. perforacionespetrolíferas. En muchas situaciones los sistemas de transmisión de energíade tipo hidráulico o neumático son más adecuados que los de tipo mecánico yeléctrico. La incorporación de microprocesadores en los sistemas de controlde sistemas hidráulicos y neumáticos de potencia ha supuesto un avancemuy importante en este campo.

.-,

f

tI

Capítulo 2

Balance de energía enmáquinas hidráulicas

2.1 Introd ucción

En este capítulo se aplican las diversas formas de la ecuación de conserva-ción de la energía en forma integral que se estudian en mecánica de fluidosal balance energético de máquinas hidráulicas. En la Sección 2.2 se apli-ca la ecuación de conservación de la energia. total a máquinas de fluidos(los resultados que -se-obtienen son Válid

~

.Stambién p-ara máquinas de flujocompresible). En la S-ección 2.3 se aplic la ecuación de conservación de laenergía interna para fluidos incompresib a una máquina hidráulica. Enla Sección 2.4 se deduce la ecuaci6n~e e serva-ción de la energía mecá.nicaen una máqu:iJIa-hidrá.ulica;, poniéndose 'de mani:fi€Sto el desacoplamientoque existe en el caso de fluidos incompresibles entre los problemas mecánicoy térmico.l En las secciones siguientes se aborda el estudio particular debombas y turbinas.

2.2 Ecuación de conservación de la energía totalen máquinas de fluidos

En esta sección se introduce el concepto de energía potencial y se deduceuna expresión de la ecuación de conservación de la energía en forma integralen la que aparece explícitamente la derivada temporal de la suma de las

1Pa.ra. ello es también necesario que la viscosidad sea constante.

35

36 .t..ii.u".d CAPÍTULO 2. BALANCE DE ENERGÍA EN MA.QUINAS HIDRÁULICA::

energías interna, cmética y potencial de un volumen fluido. A continuacjónse aplica la ecuación obtenida al balance energético de máquinas de :fluidos.

2.2.1 Concepto de energía potencial

La ecuación d~ conservación de la en~rgía total (interna+cinética) de unvolumen :fluido Vf(t), referida a un volumen de control variable en el tiémpoVc(t) cuya superficie de contorno se mueve con velocidad Vc, puede éxpre-sarse de la for~a siguiente:

.

ddt

r p(e+~v2)dV=ddr p(e+~v2)dV

JV¡(t) t JVe(t)~ ~.~

[1]

+j p(e+~v2)(v-vc).ndS= rp!m-VdVSe JVe

lo. ...,.~

'-..,.

"'"

[2] [3)

+ j (n'T) 'vdS+ j (-q) .ndS+ r (Qr+ Qq)dV.Se Se JVe

'\. .."..J

"-..., -' '-

"""

.J

[4] [5) [6)

(2.1)

':.',

El término [1] representa la variación en el tiempo della eDergía total en elvolu.:nende control;. [2] es e

,

l flujo de energía total

,

qU

~-~

,

: ,ale P?r conve

,

cción'a

traves de la superficle del volumen de control; l3]es la"

tencla de las fuerzas-

másicaS que actúan sobre ei-:flui:¿ocontenido en el vol' en decontrol;[4} es-la potencia de las fuerzas de pr--esióny viscosas qu-e se $rcen sobre -eliluidoa través de la superficie de contTol; [5] es eL:fluj.o de ~alor por conducciónque se comunica al fluido a través de la superficie de control (q tiene sentidosaliente), y [6]'el flujo' de"calor comuri.icado 'al fluido que ocupa el volumende control por radiación y reacción química.

En lo que sigue se supondrá que las fuerzas másicas derivan de un po-tencial: ! m = - VU. En mecánica de :fluidos se estudian distintos tiposde fuerzas másicas, y en particular las debidas al movimiento nounifor-me de un sistema de referencia que, gire con una velocidad angular n.Entre estas últimas, existen dos que no derivan de un potencial: las deCoriolis (f m = -20 X v) Y las debidas a una velocidad de giro variable

(f m = -(dO/dt) X :z:). Sin embargo, las fuerzas de Coriolis son perpen-

diculares a la velocidad del fluido y no producen trabajo, por lo que no seconsiderarán en los razonamientos que siguen en este capítulo (aunque síaparecerán en otros capítulos al estudiar el :flujo en turbomáquinas); por

2.2. ECUACIÓN DE LA ENERGÍA TOTAL EN MÁQUINAS DE FLUIDOS.t.ii.u,,<d37

otra parte, se supondrá que la velocidad de giro del sistema de referencia esconstante, por lo que tampoco se considerarán las fuerzas debidas a n varia-ble. Si, además de cumplirse f m = - VU, se supone que U es independientedel tiempo, es fácil demostrar que

rPfm' vdV = - d

d r pUdVJVc t JVj(t)

=-: r pUdV- r pU(v-vc).ndS.t JVe(t) JSe

En efecto, si f m =-VU,

(2.2)

'". .pf m' V = -.-pv' VU = U\7.. (pv) - V. (pvU),.

y teniendo en cuenta que V . (pv) = - 8p/ {)t (ecuación de continuidad),

pf . v = -U8p - V. (pUv) = -{)(pU)

+ P{)U

- V. (pUv).m {)t {)t {)t

Si U es independiente del tiempo, el segundo término del último miembrode la anterior ecuación es nulo, y el término de potencia de fuerzas másicasde la ecuación (2.1) puede expresarse de la forma

r pf m' V dV = - r 8(pU)dV - r v. (pUv)dV

V. hv. ~ hv." e e e

= - r 8(pU)dV - r pUv. ndS= -~ { pUdV

JVe {)t JSe dt JVj(t)

=-~ r pUdV- {pU(v-vc).ndS

dtJ1~(t) JSe

(se ha "hecho uso del teorema de -Gauss-Ostrogradskií y dcl. teorema deltransporte de Reynolds).

Introduciendo la ecuación (2.2) en la ecuación (2.1) se obtiene

,1

I,,1

~ r p (e + ~v2 + U) dV =dd r p (e + ~v2 + U) dV

dt JVj(t) t JVe(t)~

~

J

[1]

+ r p(e+~v2+U)(v-vc)'ndSJSe\.. ..,. J

[2]

= 1 (n'T).vdS+ 1 (-q).ndS+ 1 (Qr+Qq)dV., Se .J ,Se ~ ,Ve .J..,. ,.

[3] [4] [5]

(2.3)

1I

38 euii.uned CAPÍTULO 2. BALANCE DE ENERGÍA EN MÁQUINAS EiIDRÁ ULICAS

!I1,[

Como se observa, se ha conseguido transformar el término de potencia defuerzas másicas de la ecuación (2.1) en un término que representa la variaciónde la energía potencial del volumen fluido (U es la energía potencial porunidad de masa), y que aparece incluido y desglosado en los términos [1)y [2)de la ecuación (2.3). La ecuación (2.1) expresa que la variación en el tiempode la energía total (interna+cinética) de un volumen fluido se debe altrabajo por unidad de tiempo de las fuerzas másicas y de las fuerzasde superficie que actúan sobre el volumen fluido y al calor comunicadoal volumen fluido por unidad de tiempo.. La ecuación (2.3) expresa que lavariación en el tiempo de la suma de la energía total (interna+cinética)y la energía potencial de un volumen fluido se debe al trabajo por unidadde tiempo de las fuerzas de superficie que actúan sobre el volumen fluido.yal calor comunicado al volumen fluido por unidad de tiempo. El concepto deenergía potencial es muy útil, y en lo que sigue se utilizará la ecuación (2.3).Obsérvese que, para ser consistentes con la nomenclatura utilizada hastaahora, se sigue llamando energía total a la suma de las energías interna ycinéticaj no obstante, en ocasiones se hace referencia a la energía por unidadde masa de una partícula fluida como la suma de las energías interna, cinéticay potencial específicas (e + ~v2 + U), bien entendido que, en tal caso, enla correspondiente ecuación de conservación no debe aparecer el término depotencia de fuerzas másicas, que habrá sido incluido precisamente como untérmino de varIación de energía_potencial (véase más ad€lante nota de piede página4).

2.2.2 Balance de energía total en máquinas de fluidos1

1

Se va a aplieaa:.la ecuación (2.31-81 volumen de- control de la Figma 2.1,delimitado por:

. paredes fijas (Sj),

. paredes móviles interiores (Sm), y

. secciones (fijas) de entrada (Se) y salida (Ss), normales al vector ve-locidad.

La velocidad de la superficie de control, Ve, es nula excepto en Sm, dondecoincide con la velocidad de las paredes móviles.

Se adoptarán las siguientes hipótesis:

1. Propiedades uniformes en las secciones de entrada y salida.

2. Fuerzas viscosas despreciables en las secciones de entrada y salida.

2.2. ECUACIÓN DE LA ENERGÍA TOTAL EN MÁQUINAS DE FLUIDOSct.",."...d39

-f'N1~

-<7

M5'

---Vs

Figura 2.1: Volumen de control.

3. La energía total en el volumen de control no varía en el tiempo.2

De acuerdo con la 3a hipótesis, el término [1] de la ecuación (2.3) es nulo.La integral del término [2] se anula en S¡ (v = Ve = O) Yen Srn (v = ve).

En las secciones de entrada y salida (ve. ne = -Ve, Vs . ns = VS,Ve = O),

r P (e + tv2 + U) (v - ve) . n dSJs. +s.

= Ps (e + ~v2 + U)s vsSs - Pe (e + ~v2+ U)e VeSt. (2.4 )

La integral del término [3] se-anula en S¡ ;:.1ser V = O. En Se y Ss, d~acuerdo con la 2a hipótesis; T[j = O Y Tij = -pÓij-, con lo que r~sulta

! J, I

! r (n. r) . vdS = -plvsSs + PeveSe.,Js.+s. !

(2.5)

En las paredes móviles (v = ve),

r (n. T) . VedS = W;JSm

(2.6)

dFs = (n. r) dS y Ve . dF s son, respectivamente, la fuerza que ejercen

las paredes móviles sobre el fluido y.la potencia comunicada al fluido a

través del elemento de superficie dS. W es por tanto el trabajo que realizanlas paredes móviles sobre el volumen fluido por unidad de tiempo (signopositivo en bombas y negativo en turbinas); será denominado en lo sucesivo

2Aunque la existencia de superficies móviles en el volumen de control hace que elmovimiento no sea estrictamente estacionario, la hipótesis es aceptable si se observa. elproceso en una escala de tiempos grande frente al período característico de] movimientode las superficies móviles.

40 .bii.un.d CAPÍTULO 2. BALANCE DE ENERGÍA EN MÁQUINAS HIDRÁ ULICAS

potenc~a útil. Es importante hacer notar que Tij = rIj - PÓij, Yque, por

tanto, W incluye contribuciones tanto de tensiones viscosas como debidas ala presión.

. Los términos [4]y [5] dela ecuación (2.3) se agrupan en un único términoQ que representa el calor comunicado al volumen fluido por unidad de tiem-po.

Introduciendo las ecuaciones (2.4), (2.5) Y (2.6) en la ecuación (2.3), Y

teniendo en cuenta que h = e + p/ p, resulta

PsvsSs (h + ~v2 + U)s - PeveSe(h + ~v2 + U) e = W + Q. (2.7)

Por otra parte, de la aplicación de la ecuación de conservación de lamasa al volumen de control de la Figura 2.1, suponiendo que dentro de éstela masa de fluido no varía con el tiempo y que no existen fugas,3 se obtiene

G = PsvsSs = PeveSe,

siendo G el gasto o flujo másico de fluido a través de la máquina.La ecuación (2.7) puede escribirse de la forma

(2.8)

[ 1 2 ]s W Qh + 2v + U e = G +

G'(2.9)

y expresa que la variación de la suma de la entalpía,4 la energía cinética. y laenergía potencial po~ unidad de masa entre las secciones de entrada y salida

1

de la máquIna es igual -a la suma del trabajo realizado por las sup.erficiesmóviles sobre el fluido por unidad de masa y el calor transmitido al fluidopor lUlidad de maBa.;

2.3 Ecuación de conservación dela energía interna..,en máquinas hidráulicas

A partir de la ecuación de conservación de la energía interna en forma dife-rencial,5

(Be ),

.'

P Bt + v .\7 e = -p\7 . v + q>v - \7 . q + Qt + Qq, (2.10)

3Si existiesen n orificios de fuga, G = P.v.S. + 2::=1 PiViSi.4Al igual que se ha tratado el trabajo de las fuerzas másicas como una variación de

energía potencial (ecuación (2.2)), el trabajo por unidad de masa de las fuerzas de presiónen las secciones de entrada y salida (ecuación (2.5)) es expresado como una variación de"energía de presión» específica, p/p, que se suma a la variación de (e + ~V2 + U).

5~" es la función de disipación viscosa: ~,,= rI;éJvi/aVj.

2.3. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICAet>ii.uned

es fácil obtener la ecuación de conservación de la energía interna de unvolumen fluido V¡(t), referida a un volumen de control variable en el tiempoVc(t), para el caso de fluidos incompresibles:

dd [

pedV =dd [ pedV + [ pe(v - ve) . ndS

t JVf(t) t JVe(t) J Se\..

v..,

[1) [2J

= r <pvdV+ [ (-q).ndS+ [ (Qr+Qq)dV.JVe JSe JVe' "

'lo.. .J"-

J

---"""'---"'""V

~ ~ ~

(2.11)

A continuación se va a aplicar esta ecuación al volumen de control dela Figura 2.1. El término [1] es nulo si se supone que la energía interna enel volumen de control no varía en el tiempo. La integral del término [2] seanula en S ¡ y Sm, y en Se + Ss toma el valor (pvsSses - PVeSeee)'El término[3],

<Pv=[

<PvdV,JVe

(2.12)

representa; la potencia p-erdida por disipación viscosa en el volumen de con-trol, y es esencialment-e positivo. La suma de los términos [4] y [5] ya se

denotó como Qen la sección anterior. -Utilizaddo de nuevo la ecuación (2.8),a partir de lo anterior se obtiene finalmente- ~

<Pv Qes - ee = G +

G'(2.13)

que expresa que la variación de la energía interna por unidad de masa entrela.s secciones de entrada y salida de la má.q~na es igual a la .suma,'de laenergía específica disipada por efectos de viscosidad y el calor transmitidoal fluido por unidad de ma.sa.

2.4 Ecuación de conservación de la energía mecánicaen máquinas hidráulicas

Restando la ecuación (2.13) de la ecuación (2.9) se obtiene la ecuación deconservación de la energía mecánica en forma integral para el volumen de

41

oJ

~!

42 .t.;i.un.d CAPÍTULO 2. BALANCE DE ENERGÍA EN MÁQUINAS HIDRÁULICAS

control de la Figura 2.1 (en la que se ha introducido Q = Gjp):

[ ]

s - -P 1 2 W q>v

Es - Ee = p+ 2v + Ue= pQ - pQ'

(2.14)

.que 'expresa: que la variáción, entre las secciones. de entrada y salida de lamáquina, de la suma de la "energía de presión", la energía cinética y laenergía potencial por unidad de masa es igual al trabajo específico realizadosobre el fluido menos la energía específica disipada por efectos de viscosidad.En adelante se denominará a E = p j p + v2j2 + U energía mecánica

específica.Para obtener esta ecuación podría haberse seguido un procedimiento más

directo, deduciendo la ecuación de conservación de la' energía mecánica enforma diferencial e integrando después sobre un volumen fijo. Multiplicandoescalarmente por v la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento

avPat +pv.Vv=V.r+P!m'

resulta (teniendo en cuenta que v. Vv = ~V(v' v) - v x (V x v))

oJ

Bv . (1 2).,

pv.at + pv.' V2v + P',!,' [(V xv) x vL= v. (V, r) -r pv, f

m'

=0(VvJ.[...)) !I

ISi 1m =- vu y U es-independiente del tiemp.o~se obtiene

p:t

(~v2'+U}+pv.. V (~v2+ U) =v. ('\7.r),

y teniendo en cuenta que v. (V. r) = V. (r. v) +pV. v - q>v,utilizando la

ecuación de continuidad (V, v = O), integrando sobre un volumen fijo, apli-

cando el teorema de Gauss-Ostrogradskii, y refiriendo la derivada temporalal volumen de control de la Figura 2.1, resulta

:t( p(~v2+U) dV+ ( p(~v2+U)(v-vc)'ndS

J"c(t) Jsc\. y .J ...

.J

D] [~

={ (n. r) . vdS - {

~v dV .Jsc J"c,

vJ ~

[3] [4]

(2.15)

2.5.BALANCE DE ENERGÍA MECÁNICA EN BOMBAS HIDRÁULICAS e!3ii."ned 43

Esta es la ecuación de conservación de la energía mecánica en forma inte-gral para un fluido incompresible,6 que podría haberse obtenido tambiénrestando la ecuación (2.11) de (2.3). Utilizando las mismas hipótesis de laSección 2.2, es inmediato deducir la ecuación (2.14) a partir de la ecuación(2.15).

Es evidente que la ecuación (2.14), al haber sido obtenida utilizando laecuación (2.13) (o bien a partir de la ecuación (2.15), en cuya deducción seha supuesto V . v = O),es válida sólo para máquinas de flujo incompresi-ble. Dado. que p es constante, si la viscosidad (que aparece en las expre-

siones de W y ~v) no depende de la temperatura, puede comprobarse quela ecuación (2.14) sólo contiene variables mecánicas. Este desacoplamientoexistente entre los problemas mecánico y térmico, estudiado en mecánicade fluidos, permite resolver las ecuaciones mecánicas (de conservación de lamasa y de la cantidad de movimiento7) sin necesidad de resolver la ecua-ción de la energía. Una vez resuelto el problema mecánico, puede utilizarsela ecuación (2.13) para calcular el incremento de temperatura del fluido através de la máquina.

2.5 Balance de energía mecánica en bombas hidráulicas

1I

En esta sección la ecua:ción (2.14) se considerará aplli:.ada entre las-8eccionesde entrada y salida de ~a máquina hidráulica que funcione como bomba.Por el momento no se va a hacer referencia a la instalación a la que se hallaacoplada la máquina, y tan sólo se van definir algunos conceptos de interésen el balance energético de-bombas. Como se indicó en el Capítulo 1, unabomba hidráulica. es:J1!l sistema mecánico que comunica- energía al líquid08que circula a través de ella, en el que, por tanto,

[~+ ~v2 + u]: > o.

La energía específica que transmiten los álabes de la máquina al fluido,

-[ ]

5 -W P 1 2 ~v

pQ = p+ ZV + Ue

+ pQ, (2.16)

6Evidentemente, la densidad puede extraerse fuera de las integyales.7La ecuación de conservación de la energía mecánica se deduce directamente de la de

cantidad de movimiento, como se acaba de ver.8Lo indicado en esta sección para bombas es aplicable a ventiladores, en los que el aire

se comporta con efectos de compresibilidad despreciables.

44 et.ii."",d CAPÍTULO 2. BALANCE DE ENERGÍA EN MÁQUINAS HIDRÁULICAS

debe ser, por tanto, positiva; una parte se emplea en incrementar la energíamecánica específica del fluido entre las secciones de entrada y salida de labomba y el resto se disipa debido a efectos de viscosidad.9

El incremento de energía mecánica específica del fluido puede ser enforma de "energía de presión", energía cinética o energía potencial (gene-ralmente, la difel'encia de cotas entre las 'secciones de entrada y salida de labomba es relativamente pequeña, por lo que la variación de enérgía poten-cial suele ser despreciable). Por ejemplo, en ventiladores axiales la energíacomunicada al fluido es en gran parte en forma de energía cinética. Porel contrario, en bombas para la elevación de agua en pozos el incrementode energía específica del fluido corresponde principalmente a un incrementode energía de presión. Evidentemente, el. tipo de bomba empleado en cadaaplicación se elegirá en función de las condiciones de funcionamiento querequiera la instalación a la que se halle acoplada; estas ideas se precisaránmás adelante.

En un sistema de referencia fijo a tierra, el único potencial de fuerzasmásicas que debe considerarse en el estudio de máquinas hidráulicas es elgravitatorio: U = gz. Por ello es frecuente expresar los tres términos de la

ecuaci6n (2.14) en función de las tres "alturas" que se definen a continuación:

. Altura manométrica o altura efectiva de elevación,lO H-m:

-J

1

gHm = [~+ !v2 + uI. (2.17)

. nuna. turbomáquina., la fricción en el-fiuido produce turbulencia, y parte de la..energiaemética del :flujo medio .se-transfcrma en...energía.--cinética. tuclmlenta., que fi.na.lm~nte sedisipa en forma de energía térmica. Aunque se' han supuesto distribuciones uniformes depropiedades en la. secciqn.de salida. de la máquina,. en realidad el :fluido sale de ésta con.cierta energía cinética turbulenta que se disipará. y transformará en energía térmica fuerade la máquina. En ~" se supondrá incluida la co'ntribución debida a dicha energía cinéticaturbulenta.

lOExiste una gran disparidad en la denominación de las distintas alturas por distintosautores. Algunos, por ejemplo, distinguen entre altura de elevación (en m de columnadel líquido bombeado) y altura manométrica (en m de c.a.). Otros llaman a Hm alturaefectiva, altura suministrada o incluso altura útil.

2.5. BALANCE DE ENERGÍA MECÁNICA EN BOMBAS HIDRÁULICAS .t.ii."n.ed 45

el Altura útilll o altura teórica de elevación, Hu:

19HU~ ~.I (2.18)

. Altura de pérdidas internas, HL:

~~ (2.19)

La ecuación (2.14) puede entonces expresarse de la forma:

I

Hm = Hu - HL'¡ (2.20)

Como se ha indicado anteriormente, a W = Wu = pQgHu se le denomina

potencia útil12 de la bomba.A continuación se van a definir los rendimientos característicos de una

bomba. Se supondrá que la bomba suministra a la tubería de impulsión uncaudal Q y que existe un caudal de fugas Q¡ = Qje + Q¡i, de forma que

entre los álabeg del rodete>.circula un caudal útil Qu = Q + Qj (Figura 2.2).

La potencia Wt

~

e comunica el motor de accionamiento al eje de unabomba, denominada otencia en el eje o al freno, es igual a la suma delos,siguientes términ: ,. Potencia de pérdidas- mecárucas (también llamadas-organícaB) debidas

a la fricción entre los distintos elementos de la bomba: Wo.

. Potencia comunicada al fluido que se fuga: pQjg(Hm + HL)'

11Se le denomina también altura de Eu1er, por ser la altura definida por la ecuación deEuler, que será estudiada en el Capítulo 3. No suele ser frecuente la denominación de alturaútil; de hecho, como se ha indicado en la nota anterior, a veces incluso se llama alturaútil a lo que aquí se designa como altura manométrica. Sin embargo, el significado físicode H" es el mismo en bombas que en turbinas, para las que sí se emplea la denominaciónde altura o salto útil (aparentemente con más sentido que en bombas al ser la altura que"se aprovecha"), por lo que se juzga más acertado emplear la misma denominación paradefinir lo que tanto en bombas como en turbinas es la altura intercambiada entre rodetey fluido. Si se prefiere, no obstante, puede utilizarse la denominación de altura teórica deelevación.

12D~ nuevo, con el adjetivo útil se hace referencia a potencia transmitida entre fluido y

rodete.

46 .t.ii.u".J CAPÍTULO 2. BALANCE DE ENER.GÍA EN MÁQUINAS HIDRÁULICA.S

c,.re

Figura 2.2: Caudales de fugas en una bomba-

. Potencia de pérdidas hidráulicas que se producen en el intercambio deenergía entre el rodete y el fluido que se impulsa: <Pv= pQgHLo

. Potencia utilizada para aumentar la energía mecánica del fluido que seimpulsa entre las secciones de entrada y salida de la bomba: pQgHm-

Puede ponerse, por tanto,

Wt = Wo + p(Q + Qf)g(Hm + Hd

= Wo + p(Q + Qf)gHu = Wo + pQfgHu + Wu.

(2.21)

El rendimiente- total de la bomba se define por la expresión

- pQgHm1}t - . ,

Wt

,

1

(2.22)

que-puede escribirse deja forma

1~rt....

~(Q + Qf)g(Hm + HL) + W;-Wo pQgHmr¡t =..

Wt. .' .p(Q

+ Qf )g(Hm + HL);(2.23)

Utilizando las siguientes definiciones:

. Rendimiento manométrico, r¡m:

Hm Hm Ir¡m= - = I

Hu Hm + HL ¡(2.24)

. Rendimiento volumétrico, r¡v:

!ry.~

Q~QfI

(2.25)

2.6. BALANCE DE ENERGÍA MECÁNICA EN TURBINAS HIDR.4.ULICAS .t.ii.uned47

o Rendimiento volumétrico, r¡v:

I~"= Q3Qf

I

(2.25)

. Rendimiento orgánico, r¡o:

Wt - Wor¡o= .

Wt(2.2V

la ecuación (2.23) puede ponerse de la for~a .

I

r¡t = r¡or¡vr¡m.1 (2.27)

2.6 Balance de energía mecánica en turbinas hidráulicas

En esta sección se definirán alturas y rendimientos utilizados en el estudiode turbinas de forma análoga a como se ha hecho en la sección anteriorpara bombas.13 Ahora., la. ecuación (2.14) se considerará aplicada. entre lassecciones de entrada y salida ae una. máquina hidráulica. que funcione comoturbifa... Com~ en la .s;cción anterior, por el mom~mto :e.ID'p°co se haráreferercla a. la mstalaclOn a la que se..halla. acoplada. l

~

ma.quma.. Como se

indico en el Capítulo 1, una turbina. hidráulica es un s stema mecánico queextrJ energía. dellíquido14 que circula -a.tra.vés de ell , por lo que, en estec~, ,

[~+ ~v2 + U]: < o.

La energía. específica. que tr?I1smit~n los ála.bes de la. máquina. al fluido debeser, por ta.nto, negativa. (W < O). Una. pa.rte del decremento de energía.

13Esta sección debe estudiarse en paralelo con la anterior. Aunque la notación empleadaes muy similar en ambas, las definiciones de alturas y rendimientos (y la correspondientedenominación o notación en algunos casos), si bien corresponden a conceptos análogos,son obviamente diferentes para bombas y turbinas. La altura manométrica, Hm, la alturaútil, Hu, y el rendimiento manométrico, T}m,en bombas, se corresponden, respectivamente,con el salto neto, Hn, el salto útil, Hu, y el rendimiento hidrá.ulico, r¡h, en turbinas.

14Lo indicado en esta sección para turbinas hidrá.ulicas sería aplicable a aeroturbinas,

en las que el aire se comporta con efectos de compresibilidad despreciables, si bien laDotación empleada no sería adecuada. Por otra parte, no sería necesario retener el términode fuerzas má.sicas.

(2.30) J

1

1

fl

(2.31)

48 c!sii.uned CAPÍTULO 2. BALANCE DE ENERGÍA EN MÁQUINAS HIDRÁULICAS

mecánica específica del fluido entre las secciones de entrada y salida de laturbina,

I [~+ ~V2 + U]:I = ;; + :Q'

(2.28)

se emplea en producir trabajo sobre .el rodete y otra parte-se disipa debidoa efectos de viscosidad. Dicho decremento de energía mecánica específicapuede ser en forma de "energía de presión", energía cinética o energía po-tenciaL El tipo de turbina empleado en cada aplicación se elegirá en funciónde las condiciones de funcionamiento que requiera la instalación a la que sehalle acoplada.

Los tres términos de la ecuación (2.14) se expresan, en este caso, enfunción de las "alturas" que se definen a continuación:

. Salto neto, Hn:

gHn = - [~ + !v2 + U]: . (2.29)

. Salto útil, Hu:

\¡

r

I

gHu ~ - ~ I

~~

. Altura de pérdidas internas, HL:

La ecuación (2.14) puede entonces expresarse de la forma:

IHn =Hu+HL.1 (2.32)

A W = Wu =- -pQgHu se le denomina potencia útil de la turbina.A continuación se van a definir los rendimientos característicos de una

turbina. Se supondrá que a la sección de entrada de la turbina llega uncaudal Q y que existe un caudal de fugas Qf = Qfe + Qfi, de forma queentre los álabes del rodete circula un caudal útil Qu = Q - Qf (Figura 2.3).

La potencia que se pone a disposición de la turbina (pQgHn) es igual a lasuma de los siguientes términos:

2.6. BALANCE DE ENERGÍA MECÁNICA EN TURBINAS HIDRÁULICA.s .t.;;.un,e<149

Gfe

Figura 2.3: Caudales de fugas en una turbina.

. Potencia que no se consigue extraer del fluido que se fuga: pQ¡gHn.

. Potencia de pérdidas hidráulicas que se producen en el intercambiode energía entre el rodete y el fluido que circula entre álabes: p( Q-Q¡ )gHL'

. Potencia de pérdidas mecá?icas debidas a la fricción entre los distintoselementos de la turbina: Wo.

. Potencia comunicada al eje de la turbina, o potencia en el eje o alfreno: Wt.

Puede ponerle, por tanto,~

. I '. I ./

'

I

.Wt = p{Q - CPf)g(Hn - HL) - Wo =-p(Q - Q! )gHu - Wo = Wu - pQfgHu -T-Vo-

I. (2.33)

El rendimiento total de la turbina se define por la expresión

Wt1]t= Q H 'p 9 n

que puede escribirse de la forma

(2.34)

Wt p(Q - Qf )g(Hn - Hd1]t= p(Q - Qf )g(Hn - Hd ' pQgHn

~ J~

wt+¡~ro

Utilizando las siguientes definiciones:

(2.35 )

1I

50 .uii,u".d CAPÍTULO 2. BALANCE DE ENERGÍA EN MÁQUINAS HIDRÁULICAS

. Rendimiento hidráulico, r]h:

I

- H. - Hn - HL

I

r¡h - - -Hn Hn

(2.36)

-Rendimiento volumétrico,r¡v:'

1'1v=Q~Qfl (2.37)

- Rendimiento orgánico, r¡o:

Wtr¡o=. .,

Wt + Wo(2.38)

la ecuaeión (2.35) puede ponerse de la forma

I

r¡t = r¡or¡vr]h.1 (2.39)

-2.7 Galentamfento por fricción en bombas y tur-fiinas hidráulicas

I

La ecuación (2.13) permite obtener el incremento de temperatura del fiuidQa. través de una..máquina hidráulica. Teniendo en-cu€nta q1J.ee = cT, -siendo

e el calor específico del líquido, y la defi~ción de altura de pérdidas internas,resulta'

'

gHL QTs -Te = - +-.e pQc

(2.40)

El primer sumando del segundo miembro es el incremento de temperaturadebido a la disipación de energía mecánica'por efecto.s de viscosidad (véasenota de pie de página9). Veamos con un ejemplo que dicho incremento detemperatura es generalmente muy pequeño. Supóngase una turbina queopera bajo un salto neto Hn = 100 m con un rendimiento hidráuHco de 0,85.La disipación viscosa producirá un incremento de temperatura

~T =gHL

= 9(1 - r¡h)Hn

.c c

2.8. PÉRDIDAS DE ENERGÍA EN LA INSTALACIÓN el.;;.,,","

Sustituyendo los datos de que se dispone (e = 4,2 x 103J jkg K), se obtiene

b.T =(0,15)(100)(9,8)

= O035 °e4,2 x 103 ',

lo que representa un incremento de temperatura muy pequeño. Con caráctergeneral puede decirse que, si bien la disipación viscosa es importante desdeun punto de vista mecánico, su efecto es despreciable desde un punto devista termodinámico en máquinas hidráulicas.15

2.8 Pérdidas de energía en la instalación

En la Figura 2.4 se representa esquemáticamente una instalación a la que sehalla acoplada una máquina hidráulica M (bomba o turbina). Los puntoseO y sO representan los límites físicos de la instalación considerada, y e y s,como anteriormente, los de la máquina. La variación de energía mecánicaespecífica entre eO y sO puede expresarse de la forma siguiente:

Eso - Eeo = [E + !v2 + U

]

sO

+ [E+ !v2 + U

]

s

+ [E + ~v2 + U

]

e

.p s P e P eO

(2.41)

ea-e e0

J

I

i 50.

Figura 2.4: Esquema de la instalación con una máquina hidráulica acoplada.

La altura de pérdidas en la instalación H tpse define por la expresión

gH¡p= g(H",s + Htpe) = [E + !v2 + U

]

s

+[E + !v2 + U

]

el!

.P sO P e

(2.42)

15No obstante, existen procedimientos basados en consideraciones de tipo termo-

dinámico para. estimar el rendimiento de máquinas hidráulicas.

51

,

1I1

52.t.ii.u d CAPÍTULO 2. BALANCEDE ENERGÍA EN MÁQUINAS HIDRÁULICAS

En instalaciones de bombeo se define el concepto de altura geométrica,Hg, mediante la expresión

19H9 = Eso - Eeo,I

(2.43)

con lo que la ecuación (2.41), teniendo en cuenta (2.17), puede' ponerse dela forma

I

Hg = Hm - H<p.1 (2.44)

En instalaciones con turbinas se introduce el concepto análogo de saltobruto, Hb:

19Hb = Eeo - Eso, I(2.45)

con lo que la ecuación (2.41), teniendo en cuenta (2.29), puede escribirse dela forma

IHb = Hn +H<p'\ (2.46)

~!

Frecuentemente las bombas y las turbinas hidráulicas se hallan acopladasa instalaciones que toman el agua de un depósito de grandes dimensionesy la transvasan a otro depósito, tambi-én de gran capacidad. En dichascondiciones, puede despreciarseJ:a energía cinética específica del agua en lasuperficie libr-e-en ambos depósitos; si-a.demá.<3éstos- se-hallan abiertos a laatmósfera, la diferencia de energía mecánica_específica entre los puntos eO y1sOde la Figura 2.6 será ,

Eso - Eeo = Uso -.u~o = g(zso - zeO). (2.47)~

La altura geométrica Hg en instalaciones de bombeo y el salto bruto Hn eninstalaciones con turbinas son iguales, por tanto, a la diferencia de nivelesde los embalses. En la Figura 2.5 se presenta un esquema con la relaciónentre las distintas alturas y saltos en bombas y turbinas acopladas a unainstalación.

En general, la diferencia de energía mecánica específica entre los puntoseO y sO no es exclusivamente en forma de energía potencial, por lo que, entales casos, Hg o Hn no coinciden con ningún parámetro geométrico de lainstalación. Por ejemplo, en la instalación de bombeo de la Figura 2.6 latubería de impulsión podría descargar el agua directamente a la atmósfera,con lo que la energía mecánica en sO correspondería en parte a la energíacinética del chorro de salida.16

l6En sistemas de extinción de incendios, por ejemplo, la energía cinética del chorro que

2.8. PÉRDIDAS DE ENERGÍA EN LA INSTALACIÓNetsii.,,,,.d 53

tI

I~ii

Figura 2.5: Tipos de alturas y saltos en bombas y turbinas hidráulicas.(Véanse Figs. 16.28 y 16.29 de las UU.DD.)

54 ct.ii.un.d CAPÍTULO 2. BALANCE DE ENER.GÍA. EN MÁQUINAS HIDRA.ULICA.S

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A¡I!iI

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FigUIa 2.6: Pérdidas de energía en la instalación.

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4

~

sale de la manguera permite dirigir el agua hacia puntos distaIltes, y es por tanto unaenergía que se aprovecha.. Pero cabe aclarar aquí que en el caso de la Figura 2.6 la energíacinética específica en el punto A se disipa en el interior del depósito, por lo que debeconsiderarse como una pérdida de carga que debe englobarse en H.,:,.

Capítulo 3

Teoría general deturbomáquinas hidráulicas

3.1 Introducción

1I

La teoría en la que se basa el estudio de las turbomáquinas hidráulicas tienecomo objetivo fundamental establecer para una turbomáquina relacionesentre las siguientes magnitudes:

.

-1. Actuaciones y condiciones de funcionamiento de la_máquina, tales co-mo velocidad de giro, par de giro."caudal y altura útil.

2-. Características del flujo a. través de la máqnina.

3. Gaxact€IÍsticas geométricas de los conductos de paso del agua a travésde la máquina.

Dicha teoría, basada fundamentalmente en la aplicación de las leyes ylos métodos de análisis de la mecánica de fluidos al estudio del flujo a travésde turbomáquinas, debe permitir predecir el comportamiento de una tur-bomáquina de geometría definida y proporcionar herramientas que facilitenel diseño de una nueva máquina.

Existen tres métodos básicos de análisis de flujos en turbomáquinas:

1. Método diferencial, basado en la utilización de herramientas matemáticas(en particular, técnicas numéricas) que permitan resolver, con las con-diciones iniciales y de contorno apropiadas, las ecuaciones diferencialesque describen el flujo en una turbomáquina o en algunos de sus ele-mentos.

55

56etsii.1LnedCAPÍTULO 3. TEOmA GENERAL DE TURBOMÁQUINAS HIDRÁ ULICAS

2. Método de análisis integral, consistente en la aplicación de ecuacionesde conservación en forma integral a volúmenes de control, que permitedescribir el comportamiento global de una turbomáquina sin necesidadde conocer de forma detallada el flujo a través de ella.

3. Método experimental, basado principalmente en la realización de en-sayos. sobre modelos, en el que las técnicaS de análisis dimensionalconstituyen una herramienta fundamental.

En este capítulo, utilizando el método de análisis integral, se van a esta-blecer para una turbomáquina distintas relaciones entre las siguientes mag-nitudes:

1. Actuaciones.y condiciones de funcionamiento de la máquina.

2. Condiciones del flujo en las secciones de entrada y salida del rodete.l

3. Parámetros que caracterizan la forma geométrica de las secciones deentrada y salida del rodete.l

Estas relaciones estarán basadas en la aplicación de dos ecuaciones de con-servación en forma integral: las ecuaciones de conservación de la masa y delmomento__cinético_(momento de la cantidad de movimiento, también deno-minadD -mom~mto-a.ngular).

En próximos capítulos se deducirán relaciones entre. las propiedades delflujo €

~

as-seCciones de entrada y salida del rodete rla forma de los con-

ductos .. paso a-tra.vés de la máquina, lo .que permitirá relacionar, teniendoen cue. a los resultados del presente capítulo, las acth.aciones y condicioneS'de nmc namiento de una;:máquina con la forma d€sus conductos de paso.

Antes de--comenza.r -con la- apiicación -a una máquina de las ecuacionesde conservación de la masa.y deLmomento cinético, se definen en.la secciónsiguiente los sistemas de referencia que serán utilizados en lo sucesivo y lascorrespondientes componentes del vector velocidad.

3.2 Sistemas de referencia.dades

Triángulos de veloci-

Se va a considerar un sistema de referencia fijo a tierra, respecto del cualuna partícula fluida situada en un punto arbitrario P, definido por el vec-

1Aunque en este capítu10 se aplicarán las ecuaciones de conservación al rodete, tambiénpuede hacerse aplicación a otros elementos fijos de la máquina, o a la máquina en suconjunto; las secciones de entrada y salida a considerar serían las del volumen de controlcorrespondiente.

3.2. SISTEMAS DE REFERENCIA. TRIÁNGULOS DE VELOCIDADES .ts,;,u".d 57

tor de posición x, se mueve con una velocidad v, denominada velocidadabsoluta, y un sistema de referencia móvil, ligado al rodete, que se muevepor tanto con respecto al sistema fijo con una velocidad angular igual a lavelocidad de giro del rodete n. La velocidad w del fluido en el punto P res-pecto del sistema de referencia móvil se denomina velocidad relativa. Lavelocidad u = () x x correspondiente al movimiento de arrastre del sistema

de referencia móvil respecto del fijo en el punto P se denomina velocidadde arrastre. El vector velocidad absoluta es obviamente igual a la sumade los vectores velocidad relativa y de arrastre:

Iv = w + u.¡ (3.1)

Esta suma vectorial relaciona los tres vectores velocidad que forman el de-nominado triángulo de velocidades en el punto P (Figura 3.1). El vectorvelocidad de arrastre forma: un ángulo a con el vector velocidad absoluta yun ángulo {3con el vedor velocidad relativa.2,3

Dado el tipo de movimiento a estudiar, se utilizarán coordenadas cilíndricas(x, r, e), en las que

Iv = vxex + Vrer + vuee,I

(3.2)

I

w = wxex + 'J)rer + wuee,1

-.

~'1

I = OTee, .(3.4)

ex, ier y ee son vectores unitario~ en las direcciones axial, radial yarimu-

tal, respectivament-e. A las correspondientes cOIDponent-esde-las velacidadesabsoluta (vx, Vr, vu) y relativa (wx, WT) wu) se les denominará velocidad(absoluta o relativa) axial, velocidad radial y velocidad acimut al, res-pectivamente.4

De las ecuaciones (3.1) a (3.4)se deduce

(3.3)

Vx = wx, (3.5)

2Es también frecuente tomar como ángulo (3 el suplementario del que aquí se ha defi-nido.

3Se denotarán asimismo con la letra (3 los ángulos de los álabes en las secciones deentrada y salida del rodete. Cuando el ángulo que forma la velocidad relativa con la dearrastre no coincida con el de los álabes, el primero se denotará con (31.

4Debido a que la velocidad de arrastre sólo tiene componente acimuta1, a las compo-nentes acimuta1es de las velocidades absoluta y relativa es muy frecuente designarlas conel subíndice 'Uen lugar de e, como se hace aquí.

58.t..;;.uned CAPÍTULO 3. TEORiA GENERAL DE TURBOMÁQUINAS HIDRÁULICAS

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-Jl el\.'loA

Figura 3.1: Sistemas de referencia y triángulos de velocidades.

Vr = Wr, (3.6)

J

"1

Vu. = Wu. + nr.

1

(3.7)

A la proy€cción del vector velocidad sobre e. lano.meridiano (plano quecontiene el eje de-giro) se le denominará velo.ci ad meridiana',,

,1

II

IVm = Wm = v:¡;-ex + Vrer'[ (3.8)

Se tendrá, por tanto,

v = Vm + vuee. (3.9)

En máquinas radiales, como se indicó en el Capítulo 1, el movimientotiene lugar según planos perpendiculares al eje de giro. por lo que la veloci-dad meridiana Vm = vrer. En máquinas axiales, las superficies de corrienteson cilindros circulares coaxiales con el eje de giro, de forma que Vm = vxex.

Tanto en bombas como en turbinas, las propiedades fluidas en las sec-ciones de entrada y salida del rodete se denotarán, r:espectivamente, con lossub índices 1 y 2; los subíndices O y 3 corresponderán, respectivamente, a lassecciones de entrada al distribuidor y de salida del difusor.

3.3. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD <uii.u,wl59

( CASD 'a:.G: ~ CER1<Al>O)

---------

Figura 3.2: Volumen de control.

3.3 Ecuación de continuidad

Se trata en esta sección de aplicar la ecuación de conservación de la masaen forma integral,

~r pdV+ r p(v-vc).ndS=ü,

Gt } Vc(t) } Se, J

al volumen d~.

control definido en la FiguraJ.

!3.2. La su

.

perñcie de

¡

ontrol está

constituido. pOI las secciones de entrada 1/ salida del rodete (qe seconsi-

derarán definidas por las superficies de revolución descritas po los bordesde entrada y salida de los á1abesal girar.} y las paredes- móviles i'nternas delrodete (superficies de los á1abes y de los discos que soportan los á:labes) quedelimitan los canales de paso. En el caso de rodetes abiertos, en los cuales loscanales de paso están limitados en parte por superficies interhas de la carca-sa, éstas se tomarán como superficies de control en la zona correspondiente.

(3-.10)

Se supondrá que el problema es estacionario y que puede despreciarseel primer término de la ecuación (3.10). La integral del segundo término esnula en paredes fijas y móviles, resultando finalmente, teniendo en cuentaque el fluido es incompresible y suponiendo que no existen fugas. la siguienteexpresión para el caudal que circula a través de la máquina:

Q = r vn2dS2 = r Un1dS¡,}52

}Sl

(3.11)

60etsii.unedCAPÍTULO 3. TEORÍA GENERAL DE TURBOMÁQUINAS HIDRÁ ULICAS

siendo SI y S2 las superficies del volumen de control en las secciones deentrada y salida, y Vnl Y Vn2 las componentes de la velocidad en direcciónnormal a la superficie de control en SI y S2 (en general, no uniformes).5Evidentemente, Vn = Vm sólo en el caso de que la superficie de control seanormal a la velocidad meridiana.

Aunque en la Figura 3.2 se. ha supuesto que las secciones d~ entraday salida del volumen de control son las secciones de entrada y salida delrodete, podría haberse incluido también en aquél cualquier elemento delestator de la máquina. En el caso de que se utilice un volumen de controlque contenga, por ejemplo, el distribuidor y el difusor, la ecuación (3.11)incluirá magnitudes referidas a las secciones de entrada al distribuidor ysalida del difusor.

3.4 Ecuación de conservación del momento cinético.Teorema de Euler

En esta sección se va a deducir en primer lugar la ecuación de conserva-ción del momento cinético en forma integral a partir de la ecuación deconservación de la cantidad de movimiento en forma diferencial. A con-tinuación se aplicará dicha ecuación al balance de momento cinético en unaturbomáquina par-a-obtener la denominada ecuación de Euler,expresióndelteorema de Euler.!

1

-.--, l .

, . , .

3A.IEcua-clOn de Fonserva-clOn del momento cmetlco -

Sea. O elorig-en de u:Irsistem:a- de referencia, x eLcorrespondiente -vedor deposición de un punto P y p dV el elemento diferencial de masa de fluido en P.Multiplicando vectorialmente, por :'x.Ja-ecuación diferencial de conservación.de la cantidad de movimiento, resulta

dvx x P

dt = x x (V. .) + x x pf m' (3.12)

El momento de la fuerza de inercia elemental respecto del origen por unidadde volumen (primer término de la ecuación anterior) puede expresarse de la

5Los subíndices 1 y 2 en los integrandos son en realidad superfluos.

3.4. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO CINÉTICO.tsii.un.d61

forma

dv ( dv )x x Pdt = P

.

x xdt + v x v

( dv dx ) d= P x X - + - x v = p-(x X v)

dt dt dta(x x v)

=pat

+pv.V(xxv). (3.13)

Por otra parte, multiplicando por (x xv) la ecuación de continuidad, seobtiene

, 8p(x x v)

8t + (x x v)V . (pv) = O.

A partir de las ecuaciones (3.13) y (3.14), puede escribirse

(3.14)

x X Pdv

=8(px x v)

+ V . Tdt at '(3.15)

siendo T el tensor de componentes p(x x V)iVj. Sustituyendo esta ecuaciónen la ecuación (3.12), integrando sobre un volumen fluido V¡(t), aplicandoel teorema de Gauss-Ostrogradsk.ii, y refiriendo la derivada temp.oral a unvolumen de control variable en el tiempo Ve(t), se obti,ene finalmente

d ¡ .~

-. px_x vdVdt Vjg) .

I

= d+r px x v dV+ r p(x x '11)[('11'-ve) . n)dS-

~ JVe(t) J Se\..

"V'

.J'- "V

J

[1] [2]

= rx' x (n . 'T) dS + r x X pf m d V .JSe JVe

\..

"V

J \..

"V--'

[3) [4]

I

¡1

(3~16)

El término [1] representa la variación en el tiempo del momento cinético enel volumen de control; [2]es el flujo convectivo saliente de momento cinéticoa través de la superficie del volumen de control; [3]es el momento resultantede las fuerzas de superficie que actúan sobre el fluido a través de la super-ficie del volumen de control, y [4] es el momento resultante de las fuerzasde volumen que actúan sobre el fluido que ocupa el volumen de control.En definitiva, la ecuación (3.16) expresa que la variación en el tiempo delmomento cinético de un volumen fluido es igual al momento resultante de

62.tsii.un.d CAPÍTULO 3. TEORÍA GENERAL DE TURBOMAQUINAS HIDRÁULICAS

las fuerzas que actúan sobre éL Aunque podría haberse planteado directa-mente la ecuación anterior como expresión de un principio de conservacióndel momento cinético, se ha preferido poner de manifiesto que las ecuacio-nes de conservación de la cantidad de movimiento y del momento cinéticoestán ambas basadas en la segunda ley de Newton, y que no responden aprincipios distintos de la mecánica, siendo ,inmediato de.clucir la ecuación deconservación del momento cinético en forma integral a partir de la ecuaciónde la cantidad de movimiento en forma diferenciaL

3.4.2 Relación entre par de giro y variación de momentocinético. Teorema de Euler

.,

1

Para el funcionamiento de una turbomáquina es obviamente esencial que seejerzan fuerzas entre el rodete y el fluido. Las componentes de dichas fuerzassegún la dirección del movimiento del rodete (dirección acimut al) produciránuna transferencia de energía. Ya se explicó en el Capítulo 1 que el rodetede una turbomáquina se caracteriza por poseer canales de paso continuos yrelativamente grandes entre las secciones de admisión y de descarga. Estohace que las diferencias de presión que se originan en el interior del rodeteno puedan ser producidas por una acción de desplazamiento positivo. Comotambién se indicó en el Capítulo 1, el principio de funcionamiento de unaturbo máquina se basa en la v-axiación de momento cinétÍ'co que exp<?rimentael fluido al atravesar el rodete. Se demostrará a continuaciqn que el partransmitido entre el rodete y el fluido que circula a través de éS* es igual a lavariación de momento cinético que experimenta el fluido entre\ las seccionesde entrada y salida- del rodete por unidad de tiempv,. lo q~e constituyeel .teorema de Euler. L-a ecuaciÓ'u de Efuler, que es la expresión de dichoteorema, resulta de la aplicación de la ecuación de conservación del momentocinético al rodete de una turbomáquina.

Se va a aplicar la ecuación (3.16), proyectada en la dirección del eje degiro, al volumen de control de la Figura 3.2. La velocidad de la superficiede control, Ve, es nula excepto en las paredes móviles (Sm), donde coincidecon la velocidad de éstas (ve = n X X = !1ree).

No tiene sentido incluir. en el volumen de control elementos fijos, talescomo distribuidores y difusores con álabes, sobre los que puede ejercerse unpar apreciable, si lo que se pretende es determinar el par sobre el rodete enfunción de las condiciones del flujo en las secciones de entrada y salida deéste. No obstante, las secciones de entrada y salida del volumen de controlno tienen por qué ser necesariamente las formadas por las superficies derevolución descritas por los bordes de entrada y salida de los álabes del

3.4. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO CINÉTICOet.ii.un.d 63

rodete al girar; podrían utilizarse cualesquiera otras superficies de revoluciónexteriores al rodete siempre que pudiera suponerse nulo el momento axialejercido por el fluido sobre las paredes fijas adicionales que aparecerían enla superficie de control.

Con respecto a la elección del sistema de referencia, existen dos opciones.Si se elige el sistema de referencia fijo a tierra, el movimiento es no estacio-nario y las únicas fuerzas másicas a considerar son las gravitatorias. Si seelige el sistema móvil ligado al rodete, el movimiento es estacionario, peroaparecen fuerzas másicas adicionales debidas al movimiento no uniforme delsistema de referencia: centrífugas y de Coriolis.

En lo que sigue se elegirá el sistema de referencia fijo a tierra ya que,si bien el movimiento resulta no estacionario, no obstante puede suponersenulo el término [1) de la ecuación (3.16).6 Se tendrán en cuenta, además,las siguientes consideraciones al aplicar la ecuación (3.16):

1. Debido a la simetría del volumen de control, el momento resultantede las fuerzas gravitatorias que actúan sobre el fluido es nulo (término[4]).

2. El término {2],proyectado según el eje de giro, tomando como sentidopositiv-o el de giro del rodete, teniendo en cuenta que el flujo convectivoa través de las superficies sólidas del volumen de control'es nulo_y queen las secciones de entrada y salida 81 y S2 la velocidad de la~superficiede control Ve es nula, se reduce a

(~cPtX x v)[(v - ve) . n]dS) . €x

= P r r2vIL2Vn2 dS2 - P r rl VIL1Vnl dS1.lS2 lSl

.,

¡

(3.17)

Obviamente, r, VILY Vn no tienen por qué ser en general uniformes enSI y S2' De nuevo, los subíndices 1 y 2 en los integrandos no son enrealidad necesarios en la ecuación (3.17).

3. Para la determinación del término restante [3), en primer lugar sesupondrá despreciable el momento que ejerce el fluido sobre las paredes

6Véase nota de pie de página2 de la Sección 2.2. Si la velocidad de giro del rodete esconstante, la componente del momento cinético medio según el eje de giro se mantieneconstante.

64eúii.uned CAPÍTULO 3. TEORÍA GENERAL DE TURBOMÁQUINAS HIDRÁ ULICAS

fijas que puedan formar parte de la superficie de control. 7 Por otraparte, dado que SI y S2 son superficies de revolución, sobre ellas seejercen presiones cuyas líneas de actuación cortan al eje de la máquinay que, por tanto, no dan contribuciones al par; en dichas superficies

se desprecia además la contribución debida a las tensiones viscosas.El téFrr:Un°[3], proyectado sobre el eje de. giro, queda finalmente de laforma

(Ismxx (-pn+n'T')dS) .e:¡;=-M:¡;, (3.18)

y representa el par de giro que las paredes móviles del rodete (superficiede los álabes y caras internas de los discos) ejercen sobre el fluido, quees igual en magnitud y de signo opuesto al que el fluido ejerce sobreel rodete, M:¡;. Debe tenerse presente que M:¡;incluye contribucionesdebidas tanto a la presión como a las tensiones viscosas.

La ecuación (3.16), teniendo en cuenta las ecuaciones (3.17) y (3.18), setransforma finalmente en la denominada ecuación de Euler:

M:¡; = p r TI Vu.lVnl dSI' - p r T2Vu.2Vn2 dS2,

L lfh lS2.

que es la e:bresión del llamado teorema de Euler, ~ticipado al principiode esta sec~ión: el par transmitido entre el rodete y el fluido que circula através de é~te es igual a la. variación de momento cinético que experlmentael fluido entre las secciones de entrada y .salida por unidad de tiempo.

Cabe haCBr las siguientes consideraciones"acerca de esta ecuación:

(3.19)

1. En SUdeducción .no.ha sido necesario hacer referencia a la forma de. .los álabes del rodete.

2. Tampoco ha sido necesario adoptar la hipótesis de fluido ideal, porlo que la ecuación de Euler es válida tanto para fluidos ideales comoreales.8 Frecuentemente este punto suele ser causa de confusión. Segúnse ha indicado, .el.par .degiro entre fluido y rodete (no sólo a través

7Evidentemente, esta hipótesis no es necesaria cuando se trata de un rodete cerrado. Enrodetes abiertos (parcial o totalmente), lo que ocurre es que la ecuación de conservación delmomento cinético, estrictamente hablando, y salvo que se haga la hipótesis mencionada,no permite evaluar separadamente los momentos ejercidos sobre el rodete y sobre, lassuperficies fijas.

&Tan sólo se han supuesto despreciables las tensiones viscosas en superficies fijas, siéstas existen, y en las secciones de entrada y salida.

3.4. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO CINÉTICO.tsii.une465

de la superficie de los álabes sino también de las paredes interiores delos discos que delimitan los canales de pas09) se debe tanto a fuerzasde presión como a las fuerzas viscosas que aparecen en fluidos reales.Lo anterior no quiere decir que, desde un punto de vista teórico, elcomportamiento de una turbomáquina vaya a ser el mismo tanto si seconsidera el flujo ideal como si se tienen en cuenta efectos viscosos;tan sólo significa que un determinado par de giro corresponde a unacierta variación de momento cinético en el fluido, independientementede si se considera o no rozamiento viscoso. Se verá más adelante que-la diferencia de presiones entre las secciones de entrada y salida delrodete, que no interviene en la ecuación de Euler, será distinta se~se trate de un fluido ideal o real.

.

3. La ecuación de Euler puede ser aplicada sin ninguna modificación a sis-temas de álabes fijos, tales como distribuidores o difusores con álabes.En la anterior deducción de dicha ecuación para el rodete de una tur-bomáquina se ha hecho la simplificación de suponer despreciable el parresultante sobre las superficies fijas que puedan limitar los conductosde paso. Si la ecuación (3.16) se aplica a un sistema de álabes fijos,toda la variación de momento cinético del fluido a través del sistema.será obviamente debida a lae:Ústenciade un par- entre el fluido y laspared-es fijas. En este' caso no se trat&á de un par motor o resistente,sino de un par estático que deberá soportar la estructura del sistemade álabes.

I

3.4.3' Relación entre altura útiIy variación de momentocinético

La potencia mecá:nica comunicada por el rodete al fluIdo, denominacla po-tencia útil,

.

Wu = -M. n = -Mxn, (3.20)

puede expresarse en función de la altura útil definida en el Capítulo 2:

Wu = -:3:pQgHu, (3.21)

correspondiendo el signo positivo a bombas y el negativo a turbinas. Te-niendo en cuenta estas dos ecuaciones, la ecuación de Euler (3.19) puede

9En máquinas a.xiales, por ejemplo, sería. más apropiado ha.blar de la. superficie delbuje.

,~

II

66et.ii."ned CAPÍTULO 3. TEORÍA GENERAL DE TURBOMÁQUINAS HIDRÁ ULICAS

expresarse, en función de la altura útil, de la forma

Hu = :1:g~ (!s2

U2Vu2vn2dS2 - il uIVulVnl dSl) , (3.22)

correspondiendo el signo positivo a bombas y el negativo a turbinas.Obsérvese que las ecuaciones (3.11) y (3.22) establecen relaciones entre

las siguientes magnitudes: altura útil, caudal, distribuciones de velocida-des en las secciones de entrada y salida del rodete y datos geométricos quecaracterizen las formas de dichas secciones (necesarios p~a evaluar las inte-grales de superficie). Por el momenta n.o se ha hecha referencia a la. relaciónque pueda existir entre las forma de las canductos de pasa (éntre cuyasparámetras características cabe mencionar, por ejempla, las ángulas de en-trada y salida de los álabes del rodete) y las distribuciones de velacidad enlas seccianes de entrada y salida.

3.5 Deducción alternativa de la ecuación de Euler

1I

La ecuación de Euler puede obtenerse también a partir de la ecuación (2.15)de conservación: de la. energía mecánica. Se ha indicado ya repetidas vecesC)1lediroa ecu

~' ón y la ecuación de canservación del momento cinético se

o1Jtienen de fo a inmediata a partir de la. ecuación de conservación -dela cantidad de ovimienta. Con 13 inclusión aquí de esta procedimientaalternativo de eclucción de la ecuación 'de Euler se pretendeq:ae el lectorvea aclaradas posililes puntos osemos y. adquiera una mayor soltura en lamanipulación de 185 distintas. ecuaciones.

Se partirá de la ecuación (2~15), en la que, de acuerdo con la hipótesisadoptada en anteriores ocasiones y ya comentada, se supondrá nula el términono estacionario:

r p(!v2+U)(v-ve).ndS= r (-pn+n.r').vdS- r ~vdV.JSe JSe JVe,~

J ,~ ~

' ".-'W ~ ~

(3.23)

Esta ecuación se va a aplicar al volumen de control variable de la Figura3.2, cuya superficie tiene una velocidad (respecto a un sistema de referenciafijo a tierra) Ve = O en las paredes fijas (S f) Y en las secciones de entrada

(SI) y salida (S2), y Ve = 'U en las paredes móviles (Sm)' Se tendrá encuenta lo siguiente:

3.5. DEDUCCIÓN ALTERNATIVA DE LA ECUACIÓN DE EULER .tsii.un.¿67

1. La integral del término [1] se anula en las paredes fijas (v = Ve = O)Y

móviles (v = ve) de la superficie de control. En 81 y 82, v1.n1 = -Vn1,V2 . n2 = Vn2 Y Ve = O.

2. La integral del término [2] es nula en las paredes fijas y es igual a lapotencia útil W'U en las paredes móviles. En 81 y 82 se desprecian lastensiones viscosas. '

'.

La ecuación (3.23) puede escribirse, por tanto, en un sistema de referen-cia fijo a tierra (U = gz), de la forma10

p { (E + ~v2 + gz)v . n dS = W'U - ~v,}51+52 P

(3.24)

siendo ~v la potencia disipada por efectos viscosos. Como se observa, lapotencia de las fuerzas de presión en las secciones de entrada y salida se haincluido en el primer miembro.

A continuación, tomando un sistema de referencia ligado al rodete, se vaa aplicar la ecuación (3.23) al mismo volumen de control de la Figura 3.2.En el sistema de referencia ligado al rodete, la superficie de dicho volumende control tiene una velocidad We =O en 8m, Y Wc = -u en Sf, Sl y 82, Ypuede escribirse

'ÍP

(!tu' + U),(tD- !Dc) nd~~ k (-p»+: 07') otD1~- Iv. ~:d~o

W ~! 00

,I (3.25)

Se tendrá en cuenta..lo siguiente:

1. La integral del término [1]se anula en ,lasparedes fijas (w ==Wc = -u)

y móviles (w = We = O) de la superficie de control. En Sl y S2,(w - wc)' n = v. n = Vn'

2. La integral del término [2] se anula en las paredes móviles del rodete,donde w = O. Por otra parte, se ha supuesto nula la potencia de lasfuerzas que actúan sobre posibles superficies fijas' (respecto a tierra)del volumen de control.ll Dicha potencia no es en realidad nula en el

lOPuede ser interesante comparar las ecua.ciones (3.24) y (2.14), Y las correspondienteshipótesis adoptadas para. su obtención.

llEsta. hipótesis se corresponde con la adoptada al deducir la ecuación (3.18), por la. que

se suponía. nulo el momento ejercido por el fluido sobre paredes fijas que puedan formarparte del volumen de control.

68etsii.un.d CAPÍTULO 3. TEORÍA GENERAL DE TURB OMÁ QUINAS HIDRÁULICAS

sistema de referencia ligado al rodete, ya que w = -u en las paredesfijas (respecto a tierra), al ser la velocidad del fluido igual a la velocidadde la pared. Se han despreciado asimismo los efectos viscosos en lassecciones de entrada y salida.

3. Además de las fuerzas gravitatorias, en el sistema de referencia móvilaparecen' también" fuerzas -de' Coriolis' y centrífugas. Las fuerzas deCoriolis no derivan de un potencial, pero son perpendiculares al vectorvelocidad y no producen trabajo. Las fuerzas centrífugas, -o x (O xx L derivan del potencial -D.2r2/2.

Teniendo en cuenta lo anterior, resulta finalmente

p r (!!. + ~w2 + gz - !D.2r2 )Vn dS = -~v'JS1+S2 p

Restando la ecuación (3.24) de la ecuación (3.26L teniendo en cuentaque u = D.r, se obtiene

(3.26)

_

1 (1 2 1 2 1 2) dS 1 (1 2 1 2 1 2) dS W.

P 2V2 - '2W2 + ZU2 Vn2 2 - P - '2V1 - '2W1 + ZU1 Vn1 1 = '11.'

S2 SI(3.27)

,-.í

I,¡

Haciendo uso de lare1ac.ión- (Figura 3'.1)

w2~ v2 +u2 - 2uvcosa = v2 +~ - 2uvu.,

r.esulta finalmenteI,

p 1 U2'Vu.2'Un2 dS2 - p Jr 'Ul Vu1Vn1 aS1 = Wu.,

S2 . -SI

+8)

,1

I

(3.29)

de donde se obtiene la ecuación (3.22).

3.6 Simplificación de la ecuación de Euler

En la práctica suelen.intro.ducirse en. la ecuación (3.19) hipótesis simplifica-doras que permitan una integración explícita. La más frecuente consiste ensuponer que la componente axial del momento cinético, TVu.,en las seccionesde entrada y salida del volumen de control es uniforme en cada una de ellas,lo cual no es siempre aceptable. 12

12Esta. hipótesis suele ser suficientemente precisa. cuando se tra.ta. de bombas y turbinas.Generalmente no es correcta. en el caso de hélices en f!.ujosno confinados.***

3.6. SIMPLIFICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE EULER d.ii.un.d69

La condición de momento angular constante permite expresar la ecuación(3.19) de la forma

Mx = p(rvuh r Vnl dSI - p(rvuh rVn2 dS2'

ls¡ lS2(3.30)

Teniendo en cuenta la ecuación (3.11) de conservación de la masa, se obtienefinalmente

Mx = pQ((rvuh - (rvuh]. (3.31)

De acuerdo con el criterio de signos adoptado, el par de giro M:r;ejercidopor el fluido sobre el rodete es positivo (M tiene el mismo sentido quen) si (rvuh > (rvu)z. Un par de giro positivo produce transferencia deenergía desde el fluido hacia el rodete, lo que corresponde al funcionamientode la máquina como turbina. Por tanto, en una turbina, (rvuh > (rvuh.Inversamente, en una bomba, (rvuh < (rvuh. Por otra parte, la ecuación(3.19) toma la forma

Hu = :Hl(rvuh - (rvu)1,

9(3.32)

o bien, teniendo en cuenta la ecuación (.3.28),

(2 2 2 2 2 2

)J H =:l:v2 - VI el, u2 - Ui - W2 - W1

I

u 2g -Pt 2g 2g'¡

correspon-dierido V2, U2 Y W2, Y V1, U~ Y W1 G sendos puntOE cualesquiera .de

la secciones de salida y entra.da del rodete, respectivamente.En turbomáquinas Tadiales, la condición de momento angular uniforme

en las secciones Sl y S2 equivale a suponer uniformes Vu1Y Vu2. Si dichacondición no es admisible, la ecuación (3.19) tan sólo puede simplificarsepara obtener

(3.33)

Mx = pr1 r Vu1Vn1 dS1 - pr2 r Vu2Vn2dS2'ls¡ lS2

(3.34)

La ecuación de Euler, en la forma presentada en la ecuación (3.33), per-mite deducir algunas consideraciones en relación, por ejemplo, con el senti-do del flujo en bombas y en turbinas de flujo radial o mixto. La condición(rvuh < (rvuh que debe satisfacerse en bombas puede escribirse, teniendoen cuenta la relación de la ecuación (3.28), de la forma (ver ecuación 3.33):

(v~ - vi) + (u~ - un - (W~- wi) > o (3.35)

70.t.sii...".d CAPÍTULO 3. TEORÍA GENERAL DE TURBOMÁQUINAS HIDRÁ ULICAS

(la condición es la opuesta para el caso de turbinas). Obsérvese que lassiguientes condiciones contribuyen a que se satisfaga la ecuación (3.35):

1. que aumente la velocidad absoluta del agua a través de la máquina(V2 > VI);

2~ qué r2 >' rl, de forma que la sección de salida del rodete esté má.salejada del eje que la de entrada y U2> UI;

3. que la velocidad relativa disminuya a través de la máquina (WI > W2),lo que se consigue con una disposición de los álabes que dé lugar acanales entre álabes divergentes

(obviamente, para que una bomba funcione como tal no es necesario que lostres sumandos de la ecuación (3.35) sean positivos independientemente, sinoque lo sea su suma). En bombas radiales o de flujo mixto, las condicionessegunda y tercera se consiguen con disposiciones constructivas como las quese han descrito en capítulos anteriores, con el agua circulando en sentidocentrífugo. La condición primera implica un aumento de la velocidad abso-luta del agua a la salida de la bomba que puede resultar no conveniente ennumerosas circunstancias, debido a que tiende a aumentar las pérdidas deenergía, 10 que. podría obligar a la utilización o al aumento de tamaño deun difusor que transforme la energía cinética en energia de presión. Para;el caso de turbinas, las cqnsideraciones son análogas aU

Iue opuestas a las

anteriores para bombas. iEn turbomá.quinas- a.xiales, si no es aceptable-la con ición de momento

-angular uniforme', debe r'etenerse.la ecuación (3.19). ! P obstante, puede

hacerse la siguiente simplificación. 81 se supone que existe simetría 'arialen el :flujo y que la velocidad. meridiana. es puramente axial, la contribuciónal par de giro debida a la variación de momento cinético en el volumendiferencial comprendido entre dos superficies cilíndricas circulares coa.xiales,separadas una distancia dr, puede expresarse de la forma siguiente:

dM:z: = prVm(Vul - vu2)27frdr = pr(vul - Vu2) dQ, (3.36)

siendo dQ el caudal a través del elemento de superficie. La contribución ala potencia útil puede expresarse de la forma

dWu = -O dM:z: = -xpgHu dQ. (3.37)

A partir de las dos ecuaciones anteriores se obtiene la siguiente expresiónpara la altura útil correspondiente a una cascada de álabes de coordenada

3.7. GRADO DE REACCIÓN DE UNA TURBOMÁQUINA .tsii."n.d71

radial r:

Hu = :!:U(Vu2 - VuI)

.9

Obviamente, sólo si la componente axial del momento angular es uniformeen SI y en S2 la altura útil obtenida a partir de la ecuación (3.38) seráconstante con r e igual, por tanto, a la altura útil del rodete. Estas ideas seprecisarán en el Capítulo 5.

(3.38)

3.7 Grado de reacción de una turbomáquina

El grado de reacción del rodete de una turbomáquina se define como elcociente entre la variación de altura estática (o altura piezométrica) queexperimenta el fluido al atravesar el rodete y la altura útil:13

CKl~

(3.39)

siendo

(P2 - Pl )He = :!: pg + Z2 - Zl , (3.40)

Hu = H, oJo(v~~vi) HL¡ (3.4~

(signo positivo en bombas y negativo en turbinas). HLr es la altura de;pérdidas en el wdete. Como ya se indicó en el Capít~lo 1, en turbomá~uinklde accién (tnrbiná.SPelton) ergrado_mueaccián es nulo.

I

El concepto de grado de reacción es frecuentemente utilizadoe-n el estudiode turbinas, y no tanto cuanto se trata de bombas, aunque es análogo enambos casos. En bombas,

.' Hu -(v~ - v?)/2g - HLr(1= .

Hu

-Hu - HLr

-v~ - v? - (1 - v~- v?

)- H 2 H - r¡mr H ''U 9 'U2g mr

13Existen definiciones alternativas del grado de reacción de un rodete. Puede definirsetambién (J = H~/(HU':fHLr)' siendoHLr la altura de pérdidasen elrodete y H~ la varia-ción de altura estática a través del rodete en ausencia de pérdidas (se obtendría utilizandoen la ecuación (3.40) presiones teóricas en ausencia de pérdidas en lugar de presiones rea-les). Debido a que (J es tan sólo un parámetro indicativo, suele ser indiferente utilizar unadefinición u otra. Obsérvese, no obstante, que el cociente entre las dos expresiones de (Jindicadas no es igual al rendimiento manométrico o hidráulico del rodete.

(3.42)

72etsii...nedCAPÍTULO 3. TEORÍA GENERAL DE TURBOMÁQUlNAS HIDRÁ ULICAS

siendo 'l7mrY Hmr el rendimiento manométrico y la altura manométrica delrodete,14 respectivamente. En turbinas,

Hu + (v~ - v?)/2g + HLrcr=

Hu

=Hu + HLr . v?- v~

= ~ (1 - vr - v~ )Hu 2gHu rJhr 2gHnr'(3.43)

siendo 'l7hrY Hnr el rendimiento hidráulico y el salto neto en el rodete,respectivamente.

En ausencia de pérdidas en el rodete, las dos ecuaciones anteriores sesimplifican teniendo.,en.cuenta que 'l7mr = rJhr = 1 Y que Hmr = Hu Y

Hnr = Hu.Haciendo uso de las ecuaciones (3.33) y (3.41), la variación de altura

estática en el rodete puede expresarse de la forma siguiente:

(2 2 2 2

)H =::1:U2 - u1 - w2 - w1 - He 2g 2g Lr (3.44)

(signo + en bombas y - en turbinas).En turbomáquinas.axiales, teniendo. en cuenta que 11.1= U2,

(W~-w?)/2g +lhrcr==f

Hu -1t

(signo - en bombas y + en turbinas). De-la Figura 3.3 ¡ruede d¿ducirse queI

V2.-V1' = W2-Wl = b.wiLee, siendo-b.-wu = Vu2-ViLl Y e(Jel vector unitario-con dirección y sentido de-u. Elvector :velocidad. relativa media se definecomo W = (W1 + w2)/2. La ecuación (3.45) puede ponerse entonces de laforma siguiente: ..

(3.45)

1II

(W2 - W1) . (W2 + W1) HLr .6.wuee . w HLrcr= =f =f - = =f =f -.

~~ ~ g~ ~

Haciendo uso de la ecuación de Euler (3.38) (teniendo en cuenta que .6.vu =.6.Wu en máquinas axiales),

(3.46)

Hu = ::1:U(Vu2 - Vu1)

= ::1:u.6.wu,

9 9(3.47)

14r¡mr Y Hmr se definen para el rodete de forma análoga a como r¡m y Hm se definenpara una bomba completa.

3.7. GRADO DE REACCIÓN DE UNA TURBOMÁQUINA dÚi.""cd

~~~..JJ

-7\/1-

~..vi-

OOMf;A~ TURBINA~

Figura 3.3: Triángulos de velocidades en bombas y turbinas axiales.

para bombas rodales resulta finalmente

(1 =.6.wulwul

-HLr

=.6.wuJwul

-HLr

=Iwul - (1 - r¡mr).

gHu Hu u.6.wu Hu u'. (3.48 )

y para turbinas aYiales,

(1=.6.wülwul

+HLr

=-.6.wulwul

=+HLr

=Iwul

+ (~ - 1).gHu HiJ. u.6.wu Hu ti r¡hr

(3.49)

En ausencia de pérdidas, el grado de reacción de una turbomáquina axialpuede expresarse por

IWul(1=-.u

(3.50)

73

-"'"u..

;- .'~

I

r

svonnYHaIHSVNIflbynomm.Laa'1VHS:N3DvJ1IOa.L"f:O'1fl.LJcIVOp>un"11sPrL

Capítulo 4

Teoría unidimensional deturbomáquinas hidráulicas

4.1 Introducción

El análisis de un flujo puede llevarse a cabo mediante un modelo de tipounidimensional cuando existe una dirección predominante del flujo segúnuna cierta línea'medi~ sobre la que pueden definirse. secciones transversa-les en las que las distribuciones de las magnitudes fluidas pueden suponerseuniformes (o de forma prefijada).l El adjetivo unidimensional está justifi-cado. porque las magnitudes en cualquier punto del campo fluido tan sólo

¡Por ejemplo-, un chorro. de. aire descargado en un recinto de gundes -dimensiones qu-e.

contiene aire en reposo puede describirse, de forma simplificada; mediante un mocl~lounicfunensional en- el que se definen la.anchur:ay las propiedades- "medias" en cada seccióndel chorro en función de la. coordena.da a. lo largo del eje. Lógicamente el modelo noproporciona (al menos directamente) información sobre la. distribución de velocidad encada. sección del chorro, si bien va. a. permitir conocer, por ejemplo, la ley de decaimientode la. velocidad "media." con la distancia aguas a.ba.jo. En este caso, la. mencionada línea.media. del flujo coincide con el eje del chorro. Incluso en el caso de que se tra.te, por ejemplo,de un chorro de un gas más ligero que el aire, en el que aparecen efectos de flotaciónque tienden a. elevar el chorro, también puede utilizarse, en determinadas circunstancias,un modelo unidimensionalj no obstante, en este caso la. línea. media. del chorro no está.determinada a priori, sino que debe obtenerse a. la vez que se calculan las magnitudesmedias en secciones transversales. Otro ejemplo puede ser el flujo de a.gua. en una. tubería.con radio de curvatura. de la. línea. media. del conducto grande frente al diámetro, delongitud mucho mayor que el diámetro, y cuya sección (tamaño y forma) experimentavariaciones del orden de ella misma en longitudes mucho mayores que el diámetro de lasección; es obvio en este caso que la forma. de la tubería determina. la "geometría." delflujo, y que por tanto la dirección predominante del flujo coincide con la línea media dela tubería..

75

76 .tsii.un.d CAPÍTULO 4. TEORiA UNIDIMENSIONAL DE TURBOMÁQUINAS

dependen entonces de la medida de una longitud (una única dimensión) alo largo de la referida línea media. Por tanto, cuando se adopta un enfoqueunidimensional para describir el flujo en un conducto las formas geométricasde las secciones transversales de éste no intervienen en el problema, siendotan sólo necesario conocer la distribución de las áreas de dichas secciones alo largo del conducto. Obviamente, tampoco se tiene en cuenta la posición.de un punto en una cierta sección transversal, ya que se supone que en ellael flujo es uniforme.

A pesar de que la simplicidad de los modelos unidimensionales haceaconsejable su utilización siempre que sea posible, desafortunadamente esfrecuente que resulte imprescindible tener en cuenta consideraciones de tipobidimensionalo tridimensibnal en el.análisis del flujo en.turbomáquinas. Enocasiones, el análisis unidimensional proporciona estimaciones relativamenteprecisas, que se corrigen para tener en cuenta efectos bidimensionales sinnecesidad de realizar un análisis detallado del flujo mediante un modelobidimensional. Otras veces, sin embargo, debido a las características o a lascondiciones de funcionamiento de las turbomáquinas, esto no es posible, bienporque un modelo de tipo unidimensional resulta totalmente inapropiado, oporque no proporciona la precisión requerida, siendo entonces imprescindibleutilizar mOGelosbidimensionales o_tridimensionales para tener en cuenta lasdistribuciones .de mag:nitudes' fluidas- en las. secciones transversales de- losconductos de paso.

o~

En este capítulo se introduce la aproximación de flujo unidimensional yse plantean-los dos_o1:Üetivossiguientes:

,

1. Utilizando laaproximación...defiujo unidiInensional, simplificar las rela-ciones de dependencia, obtenidas en el Capítulo 3,2 entr.e l.a.&.siguientesmagnitudes relativas a una turbomáquina:

. Actuaciones y condiciones de funcionamiento de la máquina (parde giro, altura, velocidad de giro y caudal).

. Condiciones del flujo en las secciones de entrada y salida del ro-dete.3

. Parámetros que caracterizan la forma geométrica de las seccionesde entrada y salida del rodete.3

2. Tal como se indicó en la Sección 3.1, deducir expresiones que relacio-nen las propiedades del flujo en las secciones de entrada y salida del

2Estas relaciones están expresadas en las ecua.ciones (3.11), (3.19). Y (3.22).

3Como se indicó en el capítulo anterior, también pueden considerarse otros elementos:fijos de la máquina, o la máquina en su conjunto.

1I

4.2. APROXIMACIÓN DE FLUJO UNIDIMENSIONAL .t.ii.un.d77

rodete con la forma de los conductos de paso a través de la máquina,utilizando también la aproximación de flujo unidimensional) se estable-cerán asimismo las limitaciones que existen en la aplicación de la teoríaunidimensional a distintos tipos de máquinas. En los dos capítulos si-guientes se sustituirá esta aproximación por otra menos restrictiva deflujo bidimensional.

El primer objetivo requiere la resolución de los dos problemas siguientes:

1. Determinar, utilizando la ecuación (3.11), la distribución de la veloci-dad meridiana en las secciones de entrada y salida del rodete a partirdel caudal que circula a través del rodete y de la forma geométricade las secciones de éntrada y salida de éste.

2. Determinar, mediante las ecuaciones (3.19) o (3.22), la distribución dela velocidad acimutal en las secciones de entrada y salida del rodetea partir de las condiciones de funcionamiento de la máquina (par degiro, o altura y velocidad de giro) y de la distribución de la velocidadmeridiana.

-J

1

Con el segundo objetivo, que será tratado en la Sección 4.4, se pretenderesolver de forma muy simplificada lo que -c'QIl...~tuyeel problema máscom-plejo que debe abordar la teoría de turbomáquinas hidráulicas. Como severá en este capítulo, la aproximación de flujg unidimensional suele introdu-cirse acompañada de una importante simplificaciÓn que-consiste en suponerque los conductos de paso guían perfectamente el .flujo, y permite- obteneruna primera solución aproximada que deberá ser corregida en capítulos pos-teriores.

4.2 Aproximación de flujo unidimensional

En los elementos más importantes de una turbomáquina, y en particular enel rodete, los conductos de paso del fluido a través de la máquina formanun espacio de revolución tan sólo interrumpido por los álabes. Las siguien-tes características del flujo son compatibles con la aproximación de flujounidimensional en una turbomáquina:

1. En el mencionado espacio de revolución el flujo es uniforme en circun-ferencias coaxiales con el eje de giro (obviamente excepto en las zonasde intersección de éstas con los álabes). Como se indicó en la Sección3.2, en cualquier punto del campo fluido el vector velocidad puede

78 ".ii.uncd CAPÍTULO 4. TEOpJA UNIDIMENSIONAL DE TURBOM.Á..QUINAS

b

Q.

~' ui.J

Figura 4.1: Esquema del flujo en una máquina helicocentrífuga basado en

la teoría unidimensional.

t

!,

i

descomponerse en una componente centenida en el-plano meridiano(velocidad meridiana, vm) y una componente acimuta1 (velocidad aci-mutal, vu)' En la Figura4.1'se.representa una sección meridional (enun plano y en perspectiva) de una máquina. de flujo helicocentrífugo;dado que, de acuerdo con la -aproximación de flujo unidlmensíonal, Vmes uniforme en circunferencias coaxiales con el eje de.g~ro,el-:flujo debetener lugar a lo largo de superficies de revolución tales com.o aaa ybbb, indicadas en.la Figura 4.1 (en perspectiva sólo' se representa. la.,superficie aaa).

I

11

2. Los vectores velocidad absoluta y relativa son uniformes en cada sec-ción transversal de paso.4 Esta condición supone que la velocidadde arrastre, la velocidad meridiana y la componente acimutal de lavelocidad deben ser uniform~s en cada sección Transversal de paso.

3. De los dos puntos anteriores se deduce que las lineas de corriente del

40bsérvese que las secciones transversales de paso son perpendiculares a los planosmeridianos y al vector velocidad meridiana, por lo que ob,-ia.ment.e son superficies de revo-lución. En la Figura 4.1, la línea xxx representa la intersección de una sección transversalde paso con el plano meridia.no.

4.2. LIMITACIONES DE LA APROXIMACIÓN UNIDIMENSIONAL.t>ii.un.d79

flujo relativo al rodete y las del flujo absoluto en elementos fijos de lamáquina son paralelas a las superficies de los álabes. Esta aproxima-ción será tanto más aceptable cuanto mayor sea el efecto de guiado delflujo por los álabes) y) por tanto) cuanto mayor sea el número de éstosy más se aproximen las condiciones de funcionamiento de la máquinaa las condiciones de diseño.

Como se deduce de lo que se acaba de indicar) la teoría unidimensionalva a permitir simplificar en determinados casos las ecuaciones (3.11) y (3.22)si las secciones de entrada y salida incluidas en la superficie de control sonperpendiculares a la velocidad meridiana) es decir) si son secciones transver-sales de paso en las que se ha supuesto que el flujo es uniforme. La ecuación(3.11) se simplifica de la forma siguiente:5

Q=( vm.ndS=vmtSt)

1st(4.1)

siendo n el vector unitario normal a la sección transversal de paso y Vmt lavelocidad meridiana en la sección Sto En las secciones de entrada y salida delrodete) respectivamente) Vml = ~ y Vm2 = ~. Por otra parte) a partir de

la correspondiente forma simplificada de la ecuación (3.22)) y dentro de laslimitaciones que ÍJIlpone la aproximación unidimensional) se puede obtener:una. .relación- entre lé\s componentes acimutales de la velocidl3.d y la alturaútil) como se

ir

.

.ca

rla EiguientJ sección para distintos tipos de máquinas.

4 3.

L " "t'" d 1 1

""' "d " "

"

. lmlaCl, nes ea aprOXlmaClon unl rmenS1O-

nal en máquinas- radiales, axiales y d-e flujamixto

Como se puede apreciar) la aproximación de flujo unidimensional es muyrestrictiva) y sólo en ciertos casos permfte describir el flujo de forma realis-ta. Dichos casos corresponden a turbomáquinas que poseen determinadascaracterísticas geométricas y que funcionan bajo condiciones próximas a lasde diseño.

Máquinas radiales

Ejemplos muy idealizados del tipo de turbomáquinas al que se acaba dehacer referencia son las bombas o turbinas de flujo radial provistas de

5Se supondxá. en este capítulo que no existen fugas, de forma que Qu = Q.

80 d=¡,."".d CAPÍTULO 4. TEORÍA UNIDIMENSION.4.L DE TUR.BOMÁQUINAS

_.- Jt J1.

(a.) lb)Figura 4.2: Esquema de una máquina de flujo radial.

álabes (en un número suficientemente elevado) cuyos bordes de entrada ysalida estén contenidos en sendas superficies cilíndricas (Figura 4.2a), en lasque la ecuación (4.1) se reduce a

I

Q = vml7rD1b1 = Vm27rD2b21,(4.2)

siendo Dr, D2, b1 Y b2 los diámetms y anchuras de los álabes en las secciones

~e entrada ~salida del rod~tel resp-ectivam~nte.. La aproximación ::nidimen.--slOnal permIte obtener las.lgurente rma snnphficada de la ecuaclOn (3.22):

H i=...L 2Vu2 -'- Ul Vul.u ~, .

9(4.3)

Obviamente, los valores dé.'vu'y u.son uniformes en las secciones de entrada'y salida. .

En máquinas en las que, a pesar de que el flujo sea esencialmente radial,la coordenada radial no es uniforme a lo largo del borde de entrada o delborde de salida de los álabes (Figura 4.2b),6 la velocidad no puede supo-ne~se uniforme en las superficies de revolución que contienen dichos bordes(en particular, es obvio que la velocidad de arra.<;;treno sería uniforme enellas), por lo que, estrictamente, no podrían aplicarse las ecuaciones sim-

60bsérvese que, en tal caso, las superficies de revolución que contienen los bordes deentrada o de salida de los á.la.bes DOson perpendiculares a la nlocidad meridiana (en estecaso, puramente radial).

4.3. LIMITACIONES DE LA APROXIMACIÓN UNIDIMENSlONALcuii.uncd81

plificadas de continuidad y de Euler que se acaba de obtener utilizando lateoría unidimensional. 7

En casos en los que el flujo no está usuficientemente guiado" por losálabes (lo que es más probable si el número de éstos no es suficientementeelevado o las condiciones de funcionamiento de la máquina están alejadas delas de diseño), sería necesario recurrir a consideraciones de tipo bidimensio-nal para determinar la dirección del fluido. Sin embargo, para poder seguirutilizando la aproximación unidimensional, lo que se hace frecuentemente escorregir la descripción del flujo que ésta proporciona mediante consideracio-nes de tipo semiempírico. Concretamente, como se explicará en la Sección4.5, se supone que existe una desviación de la dirección de la velocidad rela-tiva en la sección de salida del rodete con respecto a la dirección del bordede salida de los álabes.

Máquinas axiales

En máquinas de flujo axial, las secciones de entrada y salida del rodete soncirculares (en realidad, anulares debido a la presencia del buje) y perpendi-culares al eje de giro, y, por tanto, perpendiculares a la velocidad meridiana(en este caso, puramente axial). También ahora podría suponerse que la ve-locidad meridiana es uniforme en dichas. secciones. En tal caso, la ecuación.(4.1) queda-de la; forma (obviam~mte Vml = Vm2)

11siendo Dp y Dr los diámetro.sde la;'carcasa-y del buje del rodete~respecti-vamente (que aproximadamente coinciden con los diámetros de las circun-ferencias que describen los extremos de punta y raíz de los álabes).

Aun habiendo supuesto uniforme la velocidad meridiana en las seccionesde entrada y salida del rodete, es evidente que los triángulos de velocidadescambiarán con la coordenada radial al variar con ésta la velocidad de arras-tre. Si el flujo puede considerarse uplano" (sin componente radial) en su-perficies cilíndricas de sección circular coaxiales con el eje de giro, el análisisdel flujo en el rodete se puede llevar a cabo en las superficies desarrolladasde dichas superficies cilíndricas, en las que los álabes aparecen formandocascadas de perfiles de álabe paralelos entre sí (Figura 4.3). En realidad,cuando habitualmente se habla en estos casos de flujo bidimensional se hace

eJ

J4.4)!I

D2 -D2lQ = vm 7r

p

4 r.

7En la práctica, sí pueden aplicarse, bajo determinadas condiciones, para obtener re-sultados aproximados.

82 cL..i.uncd CAPÍTULO 4..

TEORÍA UNIDIMENSIONA.L DE TURBOMÁQUINAS

y

A

Figura 4.3: Cascada de álabes correspondiente a una máquinas de flujo a.xial.

x

referencia a que el análisis puede hacerse estudiando separadamente el flujoen distintas cascadas y, a continuación, las condiciones de equilibrio entreellas. Cuando el número de álabes es suficientemente elevado, de forma queel flujo esté muy "guiado", podría en principio resultar adecuado aplicar lateoría unidimensional al flujo contenido en cada una de estas cascadas. Laecuación (4.3) -se -reduce en tal caso a

HU=~U(VU.2-VUl},

l

' (4.5)

expr..ron qllNoincide con m ecuJ)ÓÓ!1(:.38).I

En.Ja práctica no-su.ele ser posible- utilizar un-modelo unid..ik-ensivnalde la cascada; por ejemplo, para determinar la dirección de la velocidaddel fluido en la sección .desalidade la 'cascada suele ser siempre necesariorecurrir a consideraciones de tipo semiempírico o a modelos de predicciónbidimensionales o tridimensionales. Una alternativa. similar a la indicadapara máquinas radiales, consiste en introducir en el modelo unidimensionaluna corrección en la dirección del flujo en la sección de salida de la cascada.

Máquinas de flujo mixto

En máquinas de flujo mixto es también proba.ble que la coordenada radialno sea uniforme a lo largo de los bordes de entrada y salida de los álabes,aun cuando las superficies de revolución que contienen éstos puedan ser per-pendiculares en cada punto a la velocidad meridiana (y coincid~n por tanto

4.4. RELACIÓN ENTRE LOS TRIÁNGULOS DE VELOCIDADES Y LA FORMA DE LOS ÁLABES <t.ii."n<d83

con secciones transversales de paso); en este último caso, aunque puedasuponerse que en la sección de entrada o en la de salida la velocidad meri-diana es uniforme, no puede decirse lo mismo de la velocidad de arrastre.El análisis del flujo en estas máquinas es más complicado que en máquinasradiales y axiales, y generalmente debe recurrirse al empleo de modelos bidi-mensionales o tridimensionales. Un tratamiento análogo al que se acaba dedescribir brevemente para analizar máquinas axiales *** utilizando la apro-ximación de flujo unidimensional, aunque más problemático y complicado,podría aplicarse en algunos casos al estudio de máquinas de flujo mixto. Enel caso más general, los bordes de entrada y salida de los álabes, por unaparte, no estarán contenidos en superficies cilíndricas, por lo que la veloci-dad de arrastre aumentará con la coordenada radial a lo largo de ellos; porotra parte, no serán paralelos a las secciones transversales de paso de loscanales entre álabes, en las que, de acuerdo con la aproximación de flujounidimensional, se podría suponer uniforme la velocidad meridiana, por loque también ésta será variable a lo largo de ellos. No obstante, suponiendoefectivamente uniforme la velocidad meridiana en dichas secciones de paso,podría obtener se fácilmente la distribución de la velocidad meridiana a lolargo del borde de un álabe que no sea paralelo a una sección de paso, asícomo las correspondientes superficies de corriente (de revolución) del flujomeridiano en los canales entre álabes utilizando la apIDXÍmación-de flujounidimensional. El flujo en el rodete podría entonces analizarse estudiandoel flujo en distintas superficies de corriente o en una superficie de corrienterepresentativa. La existencia de criterios que permitan seleccionar dicha su-perficie de corriente representativa y la posibilidaa de obtener prediccionessuficientemente aproximadas dependerán de lo alejadas que se encuentren1as'condiciones del flujo respecto de la apToximación de flujo un-iilimensional.

1I

,iI!!

4.4 Relación entre los triángulos de velocidades yla forma de los álabes

En la sección anterior, utilizando la aproximación de flujo unidimensional,se han obtenido expresiones que permiten determinar las velocidades Vml,Vu.l, Vm2 Y Vu.2a partir de Q, Hu. Y de las áreas SI y 82 de las seccionestransversales de paso en la entrada y la salida del rodete. Dichas velocida-des, junto con las de arrastre Ul Y U2, dadas por la velocidad de giro y lascaracterísticas geométricas de las secciones de entrada y salida del rodete,determinan los triángulos de velocidades. Mediante la aplicación de las ecua-ciones de continuidad y de Euler a otros elementos de la máquina distintos

84 .t"i."n.d CAPÍTULO 4. TEORÍA UNIDIMENSIONAL DE TURBOMÁQUINAS

del rodete, pueden establecerse expresiones similares que permitan obtenerlos triángulos de velocidades en distintas secciones de la máquina. Comoya se indicó, en esta sección se describe la relación que la teoría unidimen-sional permite establecer entre dichos triángulos de velocidades en distintassecciones de la máquina con la forma de los conductos de paso del fluido através de ésta. . .

En la teoría unidimensionai, ei ángulo de los álabes fijos en cada seccióntransversal de paso coincide con el de la dirección de la velocidad absolutadel fluido, cuyo módulo se determina medi(!J1te la ecuación de continuidaden función del área de cada sección de paso del canal entre álabes fijos.8El ángulo de los álabes móviles en cada sección transversal de paso en elrodete, /3, coincide con el. de la dirección de la velocidad relativa del fluido,y el módulo de la velocidad relativa se obtiene mediante la ecuación decontinuidad a partir del área de cada sección de paso en el rodete.9

Aplicando lo anterior a la zona de entrada al rodete, se deduce que elángulo de la velocidad absoluta en la sección de salida del distribuidor seráigual al ángulo de salida de los álabes de éste (o bien, si el distribuidor noexiste, estará determinado por las características geométricas de la sección desalida del conducto que lleva el fluido al rodete), mientras que /31coincidirácon el ángulo de los álabes del rodete en su sección de entrada. Si losdiámetros y las áreas de las secciones de paso a la salida del distribuidor ya la enfada del rodete coinciden,lO la velocidad meridiana será la mismaen amb~ secciones, y el ángulo de salida de los álabes del distribuidor yla velocidad. absoluta a la. salida de éste coincidirán respectivamente conal Y 'V11. VI está relacionada con Wl en el correspondiente- triángulo de-velocidades. 11

Si -alguna de las característicasgeométricas de las secciones a la salidadel distribuidor y a la entrada del rodete (diámetro, anchura o espesor delos álabes) no coincide, la teoría unidimensional sigue manteniendo la apro-ximación de velocidad meridiana uniforme en cada sección transversal de

,I,

BEl módulo de la velocidad absoluta se obtiene a partir del ángulo a que determina sudirección y de la velocidad meridiana, que a su vez se obtiene a partir del caudal y delárea de la sección de paso.

9El módulo de la velocidad relativa. se obtiene a partir de f3 y de la velocidad meridiana,que a su vez se determina mediante el caudal y el área de la sección de paso.

lDEn general puede ocurrir que existan pequeñas diferencias entre los diámetros y las

anchuras de las secciones de salida del distribuidor y de entrada al rodete, y entre lasreducciones del área de dichas secciones de paso provocadas por la presencia de los á1abesdel distribuidor y del ródete, respectivamente.

llRecuérdese que el subíndice 1 corresponde a características geométricas o propiedadesdel flujo en la sección de entrada al rodete.

4.5. ESTUDIO UNIDIMENSIONAL DE MÁQUINAS RADIALES .tsii.u".d 85

paso, lo que da lugar a un incremento brusco de dicha velocidad cuando elárea de la sección de paso varía, ya sea debido a una variación brusca de suanchura o a la presencia de los bordes de ataque de los álabes del rodete.También se supone uniforme en cada sección transversal la componente aci-mutal de la velocidad, que podrá variar gradualmente entre las dos seccionesmencionadas (cuando sus diámetros difieran), generalmente de acuerdo conuna ley que supone la conservación de la componente axial del momentocinético (T''Vu= constante).

4.5 Estudio unidimensional de máquinas radiales

En esta sección se analizan con cierto detalle las máquinas de flujo radialhaciendo uso de la aproximación unidimensional. Se trata de determinar, apartir de las ecuaciones (4.2) y (4.3), la influencia de la geometría del rodeteen la relación altura-caudal (curva característica) y el grado de reacción dela m6.quina. El análisis se va a hacer sólo para el caso de bombas, y seríaanálogo para turbinas de flujo radial.

Se va a considerar que la bomba no tiene distribuidor, como ocurre en lapráctica totalidad de las bo¡;nbas centrífugas existentes, y que el agua entraal rodete con una velocidad absoluta sin componente acimutal (al = 900),

de forma que VI = 'Vml' A partir de la ecuación (4.2~ se obtiene

QVml =

7rDlbl'

'VIes por tanto, para :¡mas.determinadas características geométricas de lasecdón-de entrada, fundón del caudal El roódllio y la- dirección de-la-velocidad relativa, definida ésta por el ángulo /31, dependerá por tanto delcaudal y de la velocidad de giro n, que determina el correspondiente valorde la velocidad de arrastre Ul = nDl/2. Las bombas se diseñan de formaque, para el caudal y la velocidad de giro nominales, el ángulo /31coincidacon el ángulo de los álabes en la sección de entrada (Figura 4.4). Estacondición de diseño, compatible con la hipótesis de flujo guiado, se adoptacon objeto de evitar pérdidas de energía debidas a los desprendimientosde capas límite que en caso contrario podrían producirse (véase Capítulo7). En la práctica, el ángulo de los álabes en la sección de entrada sueletener valores típicos dentro de un rango comprendido entre 1300 y 1600. Encondiciones de funcionamiento fuera del punto de diseño, el ángulo /31puedeser obviamente distinto del ángulo de los álabes.

(4.6)

86 <t.;;,un.d CAPÍTULO 4. TEORÍA UNIDIMENSIONAL DE TURBOMÁQUINAS

~~~, o.~~12' %.Vm1.

2 \fU2I II U2

ei.¡=f

~~o o-r

JV'l' ~ ,\'" V'm,'ff-A U, 000 "'1I

Figura 4.4: Triángulos de velocidad en una bomba radial con flujo perfecta-mente guiado.

Conocidos Q, O, D2 Y b2, quedan determinadas

Qvm2=-

Db7r 2 2(4.7)

y

U2 = OD2/2,'1

(4.8)

yconla.hipótesis_de flujo perfectamenteguia.dJ, 12el triángulo de.velocidadesen la sección de salida del rodete quedará toialmente definido, a paTtir de

Ja ecuaciÓn (4.3), .en-ÍlInción del ángulo 132de los álabes en dicha sección..Dkha ecuación, teniendo en cuenta que V111= O, queda de la forma 13

H.

-U2Vu2

uoo - .9

(4.9)

Del triángulo de velocidades en la sección de salida del rodete de la Figura4.4 se deduce

Vu2 :::;; U2 - Vm2 cot(7r - 132) = 112 + Vm;: cot (32. (4.10)

12Como ya. se ha. indica.do anteriormente, el flujo estaría perfectamente guia.do en un

rodete con un número infinito de ála.bes de espesor despreciable.13Se utiliza. el subíndice 00 para. denotar la. altura. útil de la bomba. que se obtendría.

despreciando la. desviación del flujo en la. sección de salida. de] rodete debida a la. existencia.de un número finito de ála.bes.

4.5. ESTUDIO UNIDIMENSIONAL DE MÁQUINAS RADIALES ~tsii.un.d 87

Introduciendo la ecuación (4.7) en la ecuación (4.10), y ésta a su vez en 4.9,resulta

u~ ( Q )Huoo = - 1 +D b

cot /32 ,9 7r 2 2U2

(4.11)

e introduciendo la ecuación (4.8), se obtiene finalmente

n2 D~ ( 4Q )Huoo = 49 1 +7rD~b2n

cot /32 . (4.12)

1

Esta ecuación, denominada curva característica ideal de la bomba para unnúmero infinito de álabes, expresa la relación entre la altura útil y el caudalpara una determinada velocidad de giro de la bomba y unas determinadascaracterísticas geométricas de la sección de salida del rodete. Se utilizael calificativo ideal porque la altura Huoo sería la altura manométrica queproporcionaría la bomba en ausencia de pérdidas. En el Capítulo 6 se es-tudiará la influencia del efecto de no guiado del flujo, debido al númerofinito de álabes del rodete, sobre la curva característica ideal, para lo cualse introducirá un coeficiente de disminución de trabajo, ¡.t= Hu/ Huoo. Enel Capítulo 7 se analizará la influencia de las pérdidas de energía sobre lacurva característica ideal.

En la práctica, el ángu.lo /32suele estar frecuentemente en-u.n rango com-prendido entre 15ü° y ToSo, si bien en bombas utilizadas- para det€-rminadasaplicaciones puede-tener valores incluso inferiores a 90°. A continuaciónse comenta la influencia, de ,B2 en la curva cara.cterística y, de-forma máscualitativa, en el rendimier!.to de la bomba..

En la Figura 4.5 se representan tres curvas características para tres va-lores representativos del ángulo /32' Obsérvese que las curvas son rectas,con pendiente nula para /32= 7T/2, positiva para /32< 7T/2 Ynegativa par~/32 > 7r/2. . La ordenada en el origen, correspondiente a la altura útil propoi-

.

cionada por la bomba para caudal nulo, es uV g, independiente de /32, Lostriángulos de velocidades en la sección de salida del rodete correspondientesa cada una de las curvas de la Figura 4.5 se representan en la Figura 4.6.Puede observarse que valores decrecientes de /32 dan lugar a valores pro-gresivamente más altos de la velocidad absoluta V2, lo cual es desfavorabledesde el punto de vista de la eficiencia energética. Esto último es debidoa que la recuperación de la elevada energía cinética del fluido a la salidadel rodete puede hacer necesaria la utilización de un difusor (o el aumentode su tamaño) en el que se producen pérdidas de energía que contribuyen

88 .,.ii.uncd CAPÍTULO 4. TEORÍA UNIDIMENSIONAL DE TUR.BOMA.QUINA.S

ÁHu

U22 .

"9

f3:¿ ="1:

Qu

'" .,Ir D2 b2 U2cotg (Ir -[32)

Figura 4.5: Curva característica ideal de una bomba centrífuga, para unnúmero infinito de álabes, en función del ángulo de salida de los álabes delrodete.

V2.

"

Vz- Wz

Figura 4.6: Triángulos de velocidades en la sección de sa.lida del rodete paradiferentes valores de /32.

4.5. ESTUDIO UNIDIMENSIONAL DE MÁQUINAS RADIALES .tsii."",.d 89

a disminuir el rendimiento de la bomba. Sin embargo, es ventajoso utili-zar valores de (32pequeños cuando se trata de conseguir grandes alturas deelevación,14 que con valores altos de (32 sólo podrían alcanzarse mediantebombas de mayor tamaño. Un menor tamaño de la bomba contribuye areducir su precio.

Con objeto de analizar con mayor detalle la influencia del ángulo (32sobrelas pérdidas de energía en la bomba, conviene cuantificar la contribuciónrelativa de los dos primeros sumandos del segundo miembro de la ecuación(3.41) a la altura útil (supondremos despreciable la altura de pérdidas).Precisamente el grado de reacción, definido en la Sección 3.7,15

Hea=

Hu'(4.13)

representa la contribución relativa de la altura útil estática,

P2 - PlHe= +Z2-Z1,pg

(4.14)

frente a la altura útil cinética,

1

2 2

H - V2 - VIe - 2g

,

en la a1tura útil total.; Hu = He + He. Al haber.se despreciado las pérdidasde energía, la-ecuación (3.42) qpeda de la forma

~ 1'!

I2 2

I a = 1- v2 - vI .: I 2gHu

(4.15)

(4.16)

Sustituyendo en e'StaecllaÓón VI = Vml Y V~ == V~2 + V~, y suponiendoVml = Vm2 con objeto de facilitar el análisis,16 se obtiene

2CT=l-~

2gHu'

e introduciendo la ecuación (4.9), resulta

(4.17)

CT= 1 - Vu2.2U2

(4.18)

l4Véase la. Figura 4.5.l5En lo que resta de esta sección, se suprimirá por simplicidad el subíndice 00 en al

altura útil.l6La condición Vml = Vm2 suele frecuentemente satisfacerse de forma muy aproximada

en la práctica, para lo cual es necesario que las áreas de las secciones de entrada y salidadel rodete sean aproximadamente iguales.

90 et..ii.unecl CAPÍTULO 4. TEORiA UNIDIMENSIONAL DE TURBOMÁQUINAS

G¡J~/u.\.cr-

~HujLl2.

0.5:,~.

o

fJ2<~ fJ2:>~Zona no utilizadaen la práctica.

Figura 4.7: gHu/U2' gHc/U2' gHe/U2 y a en función de Vu2/U2.

Utilizando la ecuación (4.10), la anterior ecuación puede expresarse de laforma

1 Vm2(J = - - - cot/3,.2 2U2 -

En la. Figura 4.7 se representa gllu/u2' gHc/U2' gHe/U2 Y a en función

1

de Vu2/U2. Con la aproximaciób Vml ~ Vm2, I.""nación (4.15) se reduce a

He = v;2/2g, que- es la..expresi~n representada en la. Figura 4.7. -En el ejede abscisa.s de dicha figura se_h;a indica.do que 132> íí /2 paravu2!u2 < 1 Y,-/32-< 7f/2para--V-u.2/U2 >.1, comO..se deduce deJa ecuación (4.10). Obsérveseque existe un ángulo /32máx = íí - arctan(vm2/'U2) para: el que Hu = O,por encima del cual la altura útil sería negativa; y un valor de /32mín =arctan(vm2/u2) (suplementario por tanto de I32máx).para el que a = O,pordebajo del cual la altura útil estática se hace negativa. Para ángulos /32pequeños, obsérvese que la componente cinética de la altura útil constituyeuna parte importante de la altura útil total (grado de reacción pequeño);como antes se ha comentado, la recuperación de dicha. a.ltura en forma dealtura estática da lugar a bajos rendimientos de la bomba. En la práctica nose utilizan valores de /32 incluidos en un cierto rango por encima de /32mín,tal como se indica en la Figura 4.7. En la Figura 4.8 se representan lasmismas magnitudes que en la Figura 4.7 en función del ángulo /32, en unrango comprendido entre /32mín'y /32máx.

(4.19 )

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ólabes e vados álab.es curvadosI

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4.5. ESTUDIO UNIDIMENSIONAL DE MÁQUINAS RADIALES d..iun,¿

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Figura 4.8: gHu/U2" gHc/U2' 9H~ju2 y (J en: funciándef32.

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