apuntes de probabilidad proyecto de fortalecimiento trgr semestre enero julio 2011

ELABORADO POR: IQM TOMASA ROCIO GARCÍA RINCÓN

PLANTEL CORREGIDORA

PROCESO ESTADÍSTICO

POBLACIÓN ESTADÍSTICA

Recolección de datos sobre

los cuales se desea reunir información

Conclusiones

Determinar

lo que se

quiere saber Objetivo del

análisis

¿Qué es necesario

conocer?

¿Qué espera

encontrarse?

¿Cómo se obtendrán

los datos de la

muestra?

Recolectar

los datos

Muestra

Datos

recolectados

de la

población x

yx

x

y

s=8.5

Análisis

de datos

Analizar las estadísticas Determinar lo que indica sobre la población.


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ESTADISTICA.- Ciencia de recolectar, organizar, describir e interpretar datos La estadística se divide a su vez en Estadística descriptiva e inferencial: Estadística descriptiva: extracción de muestra Estadística inferencial: es cuando a partir de una muestra significativa se deducen (infieren) propiedades o características de interés de una población. La inferencia siempre se realiza en términos aproximados y declarando un cierto nivel de confianza. (a). POBLACIÓN.- Es la colección, o conjunto, de individuos, objetos o eventos cuyas propiedades serán analizadas. MUESTRA.- Es un subconjunto de la población VARIABLE.- Característica de interés sobre cada elemento individual de una población o muestra DATO .- Valor de la variable asociada a un elemento de una población o muestra. Este valor puede ser un número, una palabra o un símbolo DATOS.- Conjunto de valores recolectados para la variable de cada uno de los elementos que pertenecen a la muestra EXPERIMENTO.- Actividad planeada cuyos resultados producen un conjunto de datos. PARAMETRO.- Valor numérico que resume todos los datos de una población completa. ESTADISTICA.- Valor numérico que resume los datos de la muestra. EJEMPLO.- Un estudiante de estadística está interesado en determinar algo sobre el promedio del valor en dólares de los automóviles que pertenecen al cuerpo docente de nuestra universidad. Cada uno de los ocho términos recientemente descritos puede identificarse en esta situación 1. La población es la colección de todos los automóviles que pertenecen a todos los

miembros del cuerpo docente de la universidad 2. Una muestra es cualquier subconjunto de esa población. Por ejemplo, una muestra serían

los automóviles que pertenecen a los profesores del departamento de matemáticas. 3. La variable es el “valor en dólares” de cada automóvil individual 4. Un dato podría ser el valor en dólares de un automóvil en particular. El automóvil del señor

Sanchez, por ejemplo, esta valuado en 9400 dólares 5. Los datos serían el conjunto de valores que corresponden a la muestra obtenida

(9400,8700, 15950,…) 6. El experimento serían los métodos aplicados para seleccionar los automóviles que integren

la muestra y determinar el valor de cada automóvil de la muestra. Podría efectuarse preguntando a cada miembro del departamento de matemáticas, o de otras formas. (Cómo se va a llevar a cabo)

7. El parámetro sobre el que se esta buscando información es el valor “promedio” de todos los automóviles de la población

8. La estadística que se encuentre es el valor “promedio” de todos los automóviles de la muestra


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VARIABLE CUALITATIVA O DE ATRIBUTOS Variable que clasifica o describe un elemento de una población. Las operaciones aritméticas, como sumar y obtener promedios, no son significativas para datos que resultan de una variable cualitativa. VARIABLE CUANTITATIVA O NUMÉRICA Variable que cuantifica un elemento de una población. Las operaciones aritméticas, como sumar y obtener promedios si son significativas para datos que resultan de una variable cuantitativa EJERCICIOS DE VARIABLE CUALITATIVA O CUANTITATIVA Identifique las siguientes expresiones como ejemplos de variables 1) de atributos (Cualitativas) o 2) numéricas (Cuantitativas)

la resistencia a la rotura de un tipo de cuerda dado.

El color del cabello de los niños que se presentan a una audición para la revista musical Annie

El número de señales de alto que hay en poblaciones con menos de quinientos habitantes.

Si un grifo es o no defectuoso

El número de reactivos contestados correctamente en una prueba estandarizada

El tiempo necesario para contestar una llamada telefónica en cierta oficina de bienes raices

Una encuesta de electores registrados según el candidato que apoyan

El tiempo necesario para que sane una herida cuando se aplica un nuevo medicamento

El número de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador por períodos de 10 minutos

La distancia que recorre una pelota pateada por las alumnas universitarias de nuevo ingreso

El número de paginas por trabajo que salen de la impresora de una computadora

El tipo de árbol utilizado como árbol de navidad VARIABILIDAD En todo momento y en cualquier forma de medición siempre se encontrará variabilidad. Uno de los objetivos primordiales del análisis estadístico es la medición de la variabilidad. Por ejemplo, en el estudio del control de calidad, la medición de la variabilidad es absolutamente indispensable. Controlar (o reducir) la variabilidad en un proceso de manufactura es todo un campo por sí mismo el control de procesos estadísticos.

Cualitativa o de atributos

Cuantitativa o numérica

VARIABLE


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VARIABLES DISCRETAS: Son aquellas que pueden tomar solo algún valor dentro de un intervalo y se expresa en números enteros Por ejemplo: Hijos por familia, # de huelgas , alumnos en una escuela determinada VARIABLE CONTINUA.- son las que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo y se expresa con cualquier valor decimal EJEMPLO.- Edad, estatura, salarios, tiempo del alumno de su casa a la escuela TOMA DE DATOS Para que la estadística pueda ser exacta y verdadera, la recopilación de datos debe ser cuidadosa y precisa, haciendo uso de los medios, recursos y procedimientos que faciliten objetivamente su recopilación DATOS ORIGINALES.- Son aquellos datos recopilados por nosotros mismos, es decir que son comprobables en forma rigurosa DATOS INDIRECTOS.- Son aquellos datos recopilados de enciclopedias, libros de registro, sucesos grabados en audio y video TÉCNICAS DE REDONDEO Por exceso.- cuando el numero inmediato posterior es 5 o mayor que 5, entonces aumenta en uno , Criterio del numero par mas próximo.- cuando el numero dado esta justamente a la mitad (que termina en 5) del recorrido entre dos números, se acostumbra en tales situaciones redondear al numero par mas próximo al numero que antecede al 5 ( Es el criterio más exacto y debido a que la acumulación de error es menor)

DIRECTA POR EXCESO NUMERO PAR MAS PROXIMO

7.75 7.8 7.8

9.85 9.9 9.8

4.45 4.5 4.4

13.65 13.7 13.6

∑=35.70 35.9 35.6

RECOLECCION DE DATOS La recolección de datos para el análisis estadístico es un proceso que incluye los pasos siguientes: 1.- Definir los objetivos de la investigación o del experimento. Ejemplo: comparar la eficacia de un nuevo medicamento con la eficacia del medicamento normal; estimar el ingreso familiar medio en algún municipio. 2.- Definir la variable y la población de interés Ejemplo : Duración del tiempo de recuperación de los pacientes que sufren alguna enfermedad particular; ingreso total de los hogares en algún municipio 3.- Definir los esquemas para recolectar y medir los datos Esto incluye los procedimientos de muestreo, el tamaño de la muestra y el instrumento de medición (cuestionario, por teléfono, etc) de los datos 4.- Determinar las técnicas idóneas para realizar el análisis de datos: descriptivas e inferenciales


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EJEMPLO.- la oficina de inscripciones de nuestra universidad desea estimar el costo “Promedio” actual de los libros de texto por semestre, por estudiante. La oblación de interés es la “matricula estudiantil actual” y la variable es la “cantidad total gastada en libros de texto” por cada estudiante en este semestre. LOS DOS MÉTODOS QUE SE UTILIZAN PARA RECOLECTAR DATOS SON : LOS EXPERIMENTOS Y LAS ENCUESTAS. EXPERIMENTO.- En esta parte el investigador controla o modifica el entorno y observa el efecto sobre la variable bajo estudio. Por ejemplo cuando se trabaja en un laboratorio con ratas para determinar el efecto sobre algún medicamento ENCUESTA.- Los datos se obtienen al muestrear alguna parte de la población de interés. CENSO.- Es una encuesta al 100%. SERIA MUY COMPLICADO ELABORAR UN CENSO DE CADA OBJETO DE ESTUDIO POR LO QUE EXISTEN OTRAS ALTERNATIVAS COMO SON: MARCO MUESTRAL.- Es una lista de elementos que pertenecen a la población de la cual se obtendrá la muestra DISEÑO DE LA MUESTRA MUESTREO DE JUICIO (O DE SELECCIÓN INTENCIONAL) .-las muestras son elegidas con base en el hecho de que son “típicas” o representativas de la población MUESTREO PROBABILISTICO.- Son muestras en que los elementos a seleccionar se obtienen con base en la probabilidad. Cada elemento de una población tiene cierta probabilidad de ser elegido como parte de la muestra. MUESTREO ALEATORIO.- Una muestra es seleccionada de modo que todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser elegidos. De igual manera, todas las muestras de tamaño n tienen la misma probabilidad de ser elegidas. Las muestras aleatorias se obtienen por muestreo con remplazamiento en una población finita o por muestreo sin reemplazamiento en una población infinita. GRAFICAS, DIAGRAMAS DE PARETO Y REPRESENTACIONES DE TALLO Y HOJAS PARA DATOS CUALITATIVOS DIAGRAMAS DE PASTEL Y GRAFICAS DE BARRAS Los diagramas de pastel muestran la cantidad de datos que pertenecen a cada categoría como una parte proporcional de un círculo. El diagrama de pastel se usa para resumir datos de atributo. Se representan cantidades en porcentajes

Las gráficas de barras muestran la cantidad de datos que pertenecen a cada categoría como áreas rectangulares de tamaño proporcional.


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DIAGRAMA DE PARETO.- grafica de barras con estas dispuestas de la categoría más numerosa a la menos numerosa. Incluye una grafica hecha a base de rectas que muestra los porcentajes acumulados y la cantidad de datos representada por cada barra. Su mayor uso es en el área de control de calidad. El principio de Pareto (bibliografía c) )

El Principio de Pareto o la regla del 80/20 ha sido descubierto por Vilfredo Pareto, quién observo que, en Italia, el 20 por ciento de la población poseía el 80 por ciento de la propiedad.

Aunque no hay que tomar los números 80 y 20 literalmente (también puede ser 60 y 40), se puede observar el principio de Pareto en muchas situaciones. En muchas empresas, el 80% de la facturación viene de solo 20% de los clientes y los departamentos técnicos saben que un 20% de los usuarios causan el 80% de los problemas.

Por lo que reconociendo el 20% de los problemas se pueden solucionar el 80 % del total.


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Ejemplo de aplicación del diagrama de Pareto (bibliografía b)) : Un fabricante de accesorios plásticos desea analizar cuáles son los defectos más frecuentes que aparecen en las unidades al salir de la línea de producción. Para esto, empezó por clasificar todos los defectos posibles en sus diversos tipos: Tipo de Defecto Detalle del

Tipo de defecto Detalle del problema

Mal color El color no se ajusta a lo requerido por el cliente

Fuera de medida Ovalización mayor a la admitida

Mal terminación Aparición de rebabas

Rotura El accesorio se quiebra durante la instalación

Desbalanceo El accesorio requiere contrapesos adicionales

Aplastamiento El accesorio se aplasta durante la instalación

Incompleto Falta alguno de los insertos metálicos

Mal alabeo Nivel de alabeo no aceptable

Otros Otros defectos

Posteriormente, un inspector revisa cada accesorio a medida que sale de producción registrando sus defectos de acuerdo con dichos tipos. Al finalizar la jornada, se obtuvo una tabla como esta:

Tipo de defecto Detalle del problema Frec. Frec.% Frec. Acumul.

%

Aplastamiento El accesorio se aplasta durante la instalación

40 42.6 % 42.6 %

Rotura El accesorio se quiebra durante la instalación

35 37.2 % 79.8 %

Fuera de medida

Ovalización mayor a la admitida

8 8.5 % 88.3 %

Mal color El color no se ajusta a lo requerido por el cliente

3 3.2 % 91.5 %

Mal alabeo Nivel de alabeo no aceptable 3 3.2 % 94.7% Mal terminación

Aparición de rebabas 2 2.1 % 96.8 %

Incompleto Falta alguno de los insertos metálicos

2 2.1 % 98.9 %

Desbalanceo El accesorio requiere contrapesos adicionales

1 1.1 % 100 %

Otros Otros defectos 0 0 % 100 % TOTAL 94 100 % La tercera columna muestra el número de accesorios que presentaban cada tipo de defecto, es decir, la frecuencia con que se presenta cada defecto. En lugar de la frecuencia numérica podemos utilizar la frecuencia porcentual, lo cual se indica en la cuarta columna. En la última columna se escribe el porcentaje acumulado Para hacer más evidente los defectos que aparecen con mayor frecuencia hemos ordenado los datos de la tabla en orden decreciente de frecuencia.


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Vemos que la categoría “otros” siempre debe ir al final, sin importar su valor. De esta manera, si hubiese tenido un valor más alto, igual debería haberse ubicado en la última fila. Podemos ahora representar los datos en un histograma como el siguiente:

Ahora resulta evidente cuales son los tipos de defectos más frecuentes. Podemos observar que los 2 primeros tipos de defectos se presentan en el 79,8 % de los accesorios con fallas. Por el Principio de Pareto, se concluye: La mayor parte de los defectos encontrados en el lote pertenece sólo a 2 tipos de defectos (los “pocos vitales”), de manera que si se eliminan las causas que los provocan desaparecería la mayor parte de los defectos.

Otro análisis complementario y sumamente útil e interesante, es calcular los costos de cada problema, con lo cual podríamos construir un diagrama similar a partir de ordenar las causas por sus costos. Este análisis combinado de causas y costos permite obtener la mayor efectividad en la solución de problemas, aplicando recursos en aquellos temas que son relevantes y alcanzando una mejora significativa.


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PARA DATOS CUANTITATIVOS DISTRIBUCIÓN.- Patrón de variabilidad mostrado por los datos de una variable. La distribución muestra la frecuencia de cada valor de la variable.

GRAFICA DE PUNTOS.- presenta los datos de una muestra mediante la representación de cada porción de datos con un punto ubicado a lo largo de una escala. Esta escala puede ser vertical u horizontal. La frecuencia de los valores está representada a lo largo de la otra escala. La grafica de puntos es una técnica que conviene utilizar al inicio del análisis de los datos. Da por resultado una imagen y una clasificación de los datos en orden numérico.


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REPRESENTACIÓN DE TALLO Y HOJAS Presenta los datos de una muestra mediante el empleo de los dígitos que constituyen los valores de los datos. Cada dato numérico se divide en dos partes: el (los) digito(s) principal(es) se convierte(n) en el tallo, y el (los) digito(s) posterior(es) se convierte(n) en la hoja. Los tallos se escriben a lo largo del eje principal y por cada porción de datos se escribe una hoja para mostrar la distribución de los datos. Se usan para resumir datos numéricos Ejemplo. La siguiente tabla muestra la masa de 50 estudiantes universitarios, escriba su diagrama de tallo y hoja

ESTUDIANTE HOMBRE/MUJER

PESO (Kg)

ESTUDIANTE HOMBRE/MUJER

PESO (Kg)

1 M 45 26 M 52 2 H 68 27 H 74 3 M 49 28 H 71 4 H 72 29 H 70 5 H 74 30 H 64 6 M 51 31 M

46 7 M 54 32 H 65 8 H 76 33 H 66 9 H 77 34 M 49 10 H 55 35 H 70 11 H 80 36 M 50 12 H 85 37 H 70 13 M 87 38 M 53 14 M 58 39 H

73 15 H 61 40 H 75 16 M 89 41 M 65 17 H 62 42 H 84


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18 H 93 43 M 55 19 H 86 44 H 77 20 M 55 45 H 89 21 H 85 46 M 60 22 H 80 47 M

59 23 M 54 48 H 98 24 H 76 49 H 80 25 M 52 50 H 83

Para elaborar un gráfico de tallo y hoja se realiza una tabla como se muestra a continuación En la primer columna se escriben las decenas y en la segunda columna la unidad, esto se realiza para cada valor encontrado en la tabla de datos original, enseguida se muestra el diagrama de tallo y hoja .

4 5 9 6 9 5 1 4 5 8 5 4 2 2 0 3 5 9 6 8 1 2 4 9 0 3 7 2 4 6 7 6 4 1 0 0 0 3 5 7 8 0 5 7 9 6 5 0 4 9 0 3 9 3 8 Ordenando el diagrama de tallo y hoja queda:

4 5 6 9 9 5 0 1 2 2 3 4 4 5 5 5 8 9 6 0 1 2 3 4 8 9 7 0 0 0 1 2 3 4 4 5 6 6 7 7 8 0 0 0 3 4 5 5 6 7 9 9 9 3 8 También se puede realizar un diagrama de tallo y hoja por género. Por ejemplo: HOMBRES MUJERES

4 5 6 9 9


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5 4 5 0 1 2 2 3 4 4 5 5 8 9 8 6 5 2 1 6 5 0 7 7 6 6 5 4 4 3 2 1 0 0 0 7 9 6 5 5 3 0 0 0 8 4 7 9 8 3 9 Usando los resultados obtenidos en la tabla anterior, se puede concluir que las estudiantes (mujeres) pesan menos que los estudiantes (hombres) EJERCICIOS PROPUESTOS EJERCICIO 1.- un policía de una ciudad, usando radar, verificó la velocidad de los automóviles (en m/s) que circulaban por una calle de la ciudad:

100 80 90 60 80 60

75 80 50 98 60 85

80 70 100 65 90 98

60 60 100 110 70 90

110 90 60 75 90 110

Elabore una grafica de puntos para estos datos. EJERCICIO 2.- Pregunte a sus alumnos cuanto tiempo hacen de su casa a la escuela (en minutos) y pida que elaboren una representación de tallo y hojas. EJERCICIO 3.- De manera individual realicen una encuesta entre los distintos grupos de la institución donde se les pregunte el peso y talla, posteriormente realizan un diagrama de tallo y hojas.


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DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA E HISTOGRAMAS DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS.- listado, a menudo expresado en forma de diagrama, que asocia cada valor de una variable con su frecuencia. DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS NO AGRUPADAS: se usa para agrupar por cantidad ( frecuencia) datos obtenidos de una muestra. Ejemplo, de los siguientes datos :

3 2 2 3 2

4 4 1 2 2

4 3 2 0 2

2 1 3 3 1

Se obtiene:

X f

0 1

1 3

2 8

3 5

4 3

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS AGRUPADAS.- Se usa para agrupar en clases los valores obtenidos de la encuesta, experimento o investigación. EJEMPLO.-

60 47 82 95 84 72 67 66 68 98

90 77 86 58 64 95 74 72 88 74

77 39 90 63 68 97 70 64 70 70

58 78 89 44 55 85 82 83 72 77

72 86 50 94 92 80 91 75 76 78

PROCEDIMIENTO.- 1.- Identifique los puntajes máximo y mínimo (Max =98 , Min = 39 ) y determine el rango Rango = Máx - Min = 98 – 39 = 59 2.- Elija un número de clases (m=7) y un ancho de clase (c=10) de modo que el producto (mc =70) sea ligeramente mayor que el rango (rango = 59) 3.- Elija un punto inicial, que debe ser algo menor que el puntaje mas bajo, Min. Suponga que se empieza en 35; al contar a partir de ahí de diez en diez (el ancho de clase) se obtienen 35, 45, 55, ….,95,105. Estos números se denominan límites de clase.

35 o mas hasta menos que 45 → 35 x 45 45 o mas hasta menos que 55 → 45 x 55 . → 55 x 65 . → 65 x 75 . → 75 x 85 . → 85 x 95 95 o mas hasta menos que 105 → 95 x 105


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El ancho de clase es la diferencia entre los límites de clase superior e inferior.

Número de clase Limites de clase Frecuencia

f Marca de clase x

1 35 x 45 2 40

2 45 x 55 2 50

3 55 x 65 7 60

4 65 x 75 13 70

5 75 x 85 11 80

6 85 x 95 11 90

7 95 x 105 4 100

50


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HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS Gráfica de barras que representa una distribución de frecuencias de una variable cuantitativa. Un histograma está integrado por los siguientes componentes: 1.- un título, que identifica la población o la muestra de interés 2.- Una escala vertical, que identifica las frecuencias que hay en las diversas clases 3.- Una escala horizontal, que identifica la variable x. los valores de los límites de clase o de las marcas de clase deben identificarse a lo largo del eje x. el empleo de cualquier método para identificar el eje presenta mejor a la variable El histograma de frecuencia representa una distribución de frecuencias de una variable cuantitativa. Existe la siguiente clasificación de histogramas de frecuencia:

SIMETRICO, NORMAL O

TRIANGULAR

SIMETRICO, UNIFORME O RECTANGULAR

SESGADO A LA DERECHA

BIMODAL


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SESGADO A LA IZQUIERDA

EN FORMA DE J

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- A continuación se presentan los puntajes de la ronda de apertura del torneo de la Ladie‟s Professional Golf Association en el Locust Hill Country Club:

69 73 72 74 77 80 75 74 72 83 68 73

75 78 76 74 73 68 71 72 75 79 74 75

74 74 68 79 75 76 75 77 74 74 75 75

72 73 73 72 72 71 71 70 82 77 76 73

72 72 72 75 75 74 74 74 76 76 74 73

74 73 72 72 74 71 72 73 72 72 74 74

67 69 71 70 72 74 76 75 75 74 73 74

74 78 77 81 73 73 74 68 71 74 78 70

68 71 72 72 75 74 76 77 74 74 73 73

70 68 69 71 77 78 68 72 73 78 77 79

79 77 75 75 74 73 73 72 71 68 70 71

78 78 76 74 75 72 72 72 75 74 76 77

78 78

a. Elabore una distribución de frecuencias no agrupadas para estos puntajes b. Trace un histograma de los puntajes de la primera ronda de golf. Use la distribución de frecuencias del inciso a) 2.- A todos los alumnos de tercer grado de la Roth Elementary School se les aplicó una prueba de condición física. Se obtuvieron los datos siguientes:

12 22 6 9 2 9 5 9 3 5 16 1 22 18 6 12 21 23 9 10 24 21 17 11 18 19 17 5 14 16 19 19 18 3 4 21 16 20 15 14 17 4 5 22 12 15 18 20 8 10 13 20 6 9 2 17 15 9 4 15 14 19 3 24

a. Elabore una grafica de puntos b. Prepare una distribución de frecuencias agrupadas usando las clases 1-4, 4-7, etc., y

trace un histograma para dicha distribución. c. Prepare una distribución de frecuencias agrupadas usando las clases 0-3, 3-6, 6 – 9,

etc. Y trace un histograma para dicha distribución d. Prepare una distribución de frecuencias agrupadas usando las clases -2.5 – 2.5 , 2.5 –

7.5,7.5 – 12.5, etc., y trace un histograma para esta distribución e. Prepare una distribución de frecuencias agrupadas usando clases de su elección y

trace un histograma para esta distribución. f. Describa por separado la forma del histograma trazado en los incisos b),c), d) y e).

Relacione la distribución observada en el histograma con la distribución observada en la gráfica de puntos

g. Analice cómo el número de clases usadas y la elección de los límites de clase afectan la apariencia del histograma resultante.


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EJERCICIO 3.- Las 40 cantidades siguientes son las tarifas que Estafeta cobró por entregar bultos pequeños el mes pasado.

4.03 3.56 3.10 6.04 5.62 3.16 2.93 3.82

4.30 3.86 4.57 3.59 4.57 5.16 2.88 5.02

5.46 3.87 6.81 4.91 3.62 3.62 3.80 3.70

4.15 4.07 3.77 5.77 7.86 4.63 4.81 2.86

5.02 5.24 4.02 5.44 4.65 3.89 4.00 2.99

a. Clasifique estos datos en una distribución de frecuencias agrupadas. b. Elabore un histograma de frecuencias relativas para estos datos.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MODA.- Es el valor de la porción de datos que ocurre con mayor frecuencia. CLASE MODAL.- Es la clase con la mayor frecuencia MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL a) Media.- Valor promedio de un conjunto de datos b) moda.- Valor que se encuentra con mayor frecuencia en los datos a analizar c) mediana.- Valor que se encuentra exactamente a la mitad de los datos ordenados d) rango medio , es el promedio de la diferencia entre el dato de mayor valor con respecto al dato de menor valor. MEDIDAS DE DISPERSIÓN a) Rango .- Es el resultado de la diferencia en valor del dato más alto y el dato más pequeño. También se le conoce como “recorrido” b) Varianza muestral.- es la media del cuadrado de las desviaciones. c) Desviación estándar.- es la raíz cuadrada de la varianza. Esta se hace mas pequeña mientras el tamaño de muestra sea mas grande.


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FORMULARIO MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

2

min´max

2

1

valorvalormedioValor

MEDIORANGO

nx

MEDIANALADEDPROFUNDIDA

AGRUPADOSNODATOSPARAMEDIA

n

xx

MEDIA

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

2

2

2

2

2

2

2

2

)2(1

)1(1

ss

ESTÁNDARDESVIACIÓN

n

xxxSC

CUADRADOSDESUMA

n

n

xx

s

n

xxs

MUESTRALADEVARIANZA

VmínVmáxrango

RANGO


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EJEMPLO Una muestra aleatoria de diez corredores NASCAR de la copa Nextel 2005 produjo las siguientes edades: 33, 48, 41, 29, 40, 48, 44, 42, 49, 28 a) Encuentre el rango

b) Encuentre la varianza

c) Encuentra la desviación estándar

SOLUCIÓN A usando ecuación 1

1) Ordenando los datos : 28, 29, 33, 40, 41, 42, 44, 48, 48, 49

2) Para obtener el rango que se solicita en el inciso a) se sustituye en la fórmula:

R= vmax - vmin

R= 49 – 28 = 21

3) Para determinar la varianza se sugiere realiza la siguiente tabla

Paso 1. Calcular ∑x

Paso 2. Evaluar media

Paso 3. Calcular ∑ (x – X)

2

Paso 4.- Calcular s

2

Paso 5.- Calcular s

28 (28-40.2) 2= 148.84 Ec. 1

s2 = ∑(x – X)

2

/ n-1

s = √s2

29 X= ∑x/n (29-40.2)2 =125.44 Sustituyendo

s2 = 543.6/(10-

1)

s2= 60.4

s = 7.7 33 (33 – 40.2)

2=51.84

40 (40 – 40.2)2=0.04

41 X= 402/ 10 (41 – 40.2)2=0.64

42 (42 – 40.2)2=3.24

44 (44 – 40.2)2=14.44

48 X= 40.2 (48 – 40.2)2=60.84

48 (48 – 40.2)2= 60.84

49 (49 – 40.2)2=77.44

∑x= 402 ∑(x – X) 2= 543.6


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SOLUCIÓN B usando ecuación 2 1) Ordenando los datos : 28, 29, 33, 40, 41, 42, 44, 48, 48, 49 2) Para obtener el rango que se solicita en el inciso a) se sustituye en la fórmula:

R= vmax - vmin R= 49 – 28 = 21

3) Para determinar la varianza se realiza la siguiente tabla Paso 1. Calcular ∑x

Paso 2. Calcular ∑x

2

Paso 3. Calcular SS(x)

Paso 4.- Calcular s

2

Paso 5.- Calcular s

28 282 =744 SC(x) = ∑x

2 - (

∑x)2/n

s2= [∑x

2 -

(∑x)2/n]/n-1

s = √s2

29 292 = 841 Sustituyendo

SC(x) = 16664 – (402)

2 /10

Tomando el valor de la columna anterior

s

2 = 503.6 / 9

s2 = 55.95

s = 7.48 33 33

2 = 1089

40 402 = 1600

41 412 = 1681

42 422= 1764

44 442 = 1936

48 482= 2304 SC(x) = 503.6

48 482= 2304

49 492=2401

∑x= 402 ∑x2 =

16664

Respuestas a) R= 21 b) s

2 = 55.95

c) s = 7.48


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EJERCICIOS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL EJERCICIO 1.- Considere la muestra 2,4,7,8,9. Encuentre lo siguiente: a. la media b. la mediana c. la moda d. el rango medio EJERCICIO 2.- Considere la muestra 6,8,7,5,3,7. Encuentre lo siguiente a. la media b. la mediana c. la moda d. el rango medio EJERCICIO 3. - A quince estudiantes universitarios, elegidos aleatoriamente, se les solicitó mencionar el número de horas que durmieron la noche anterior. Los datos resultantes fueron 5,6,6,8,7,7,9,5,4,8,11,6,7,8,7. Encuentre lo siguiente: a. la media b. la mediana c. la moda d. el rango medio EJERCICIO 4. En un artículo de una revista se enumeraron las siguientes cuotas de enseñanza por escuela y por año escolar de 14 universidades: 1554,2291,2084,4443,2884,2478,3087,3708,2510,2055,3000,2052,2550,2013. a. Encuentre la media por año escolar b. Encuentre la mediana por año escolar c. Encuentre la moda por año escolar d. Encuentre el rango medio por año escolar. EJERCICIO 5.- A los reclutas de una academia de policía se les solicitó presentar un examen que mide la capacidad que tienen para hacer ejercicio. Esta capacidad (medida en minutos) se obtuvo para cada uno de los 20 reclutas:

25 25 33 31 30 32 27

26 30 31 32 34 30 30

27 29 30 32 34 33

a. Encuentre la media, la mediana, la moda y el rango medio. b. Elabore una gráfica de puntos para estos datos y localice la media, la mediana , la moda y el rango medio sobre la gráfica. c. Describa la relación que hay entre los cuatro “promedios” (semejanza) y qué propiedades muestran los datos por las que dichos promedios son semejantes.


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EJERCICIOS MEDIDAS DE DISPERSION EJERCICIO 1.- Considere la muestra 2,4,7,8,9. Encuentre lo siguiente: a. Rango b. Varianza s

2 , aplicando la fórmula 1 c. Desviación estándar s

EJERCICIO 2.- Considere la muestra 6,8,7,5,3,7. Encuentre lo siguiente a. Rango b. Varianza s


EJERCICIO 3. - A 15 estudiantes universitarios, elegidos aleatoriamente, se les solicitó mencionar el número de horas que durmieron la noche anterior. Los datos resultantes fueron 5,6,6,8,7,7,9,5,4,8,11,6,7,8,7. Encuentre lo siguiente: a. Rango b. Varianza s


EJERCICIO 4.- Considere los siguientes conjuntos de datos:

Conjunto 1: 46 55 50 47 52

Conjunto 2: 30 55 65 47 53

Ambos conjuntos tienen la misma media, que es igual a 50. Compare estas medidas para ambos conjuntos: ∑(x-x) , SC(x) y rango. Comente sobre el significado de estas comparaciones


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REGRESIÓN LINEAL El coeficiente de correlación lineal es la medida numérica de que tan relacionados están dos variables. Si el coeficiente de correlación lineal esta entre -1 y +1, se puede proceder a obtener la ecuación de la recta que mejor se ajuste a los datos usando las siguientes fórmulas Se sugiere que siempre se inicie con un diagrama de dispersión para verificar que los datos se asemejan a un patrón de línea recta, pues en ocasiones es engañoso determinarlo solo con el valor obtenido del coeficiente de correlación líneal El valor de r está definido por la fórmula de momento de producto de PEARSON

yx ssn

yyxxr

1

))((

En dónde sx y sy son las desviaciones estándar de las variables x y y. Y comúnmente se utiliza una fórmula equivalente que es la siguiente:

n

yxxyxySS

n

yyySS

n

xxxSS

dondeen

YSSxSS

xySSr

seao

yparacuadradosdesumaxparacuadradosdesuma

xyparacuadradosdesumar

rLINEALNCORRELACIÓDEECOEFICIENT

)(

)(

)()(

:

)()(

)(

))((

)(

2

2

2

2


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n

xbyb

bORIGENALORDENADALADEFÓRMULA

xSS

xySSb

escribirpuedesetambiénó

xx

yyxxb

bPENDIENTELADEFÓRMULA

o

o

1

1

21

1

)(

)(

)(

:

:)(


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EJERCICIOS DE COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LÍNEAL 1.- Muchas organizaciones ofrecen precios “especiales” de suscripción de revistas a sus socios. La American Federation of Teachers no es la excepción; veamos a continuación algunos precios que ofrecen para sus socios.

REVISTA PRECIO NORMAL SU PRECIO

Cosmopolitan $29.97 $18.00

Sports Illustrated $78.97 $39.75

Ebony $20.00 $14.97

Rolling Stone $23.94 $11.97

Martha Stewart Living $24.95 $20.00

a. Construya un diagrama de dispersión con “su precio” como la variable dependiente, y, y “precio normal” como la variable independiente, x. Encuentre: b. SS(x) c.SS(y) d. SS(xy) e. Coeficiente de correlación lineal 2.- Las bebidas para deportes son muy populares en la cultura actual en todo el mundo. La tabla siguiente menciona 10 productos diferentes que se pueden comprar en Inglaterra y los valores para tres variables: costo por porción (peniques), energía por porción (en kilocalorías) y carbohidratos por porción (en gramos)

BEBIDA PARA DEPORTES COSTO ENERGÍA CARBOHIDRATOS

Lucozade sport RTD pounch/bote 72 92 21.1

Lucozade Sport RTD 500 ml botella 79 140 32

Lucozade Sport RTD 650 ml botella 119 182 41 .6

POWERade 500 ml botella 119 120 30

Gatorade Sports 750 ml 89 188 45

Science in Sport Go Electrolyte (500 ml) 99 160 40

High Five Isotonic electrolyte (750 ml) 99 220 55

Isostar powder (por litro) 5 litros 126 320 77

Isostar RTD 500 ml botella 99 150 35

Maxim Electrolyte (por litro) bolsa de 2kg 66 296 75

Nota: el costo es en peniques (p), 0.01 de libra inglesa, con valor de $0.0187 en el 2005

a. Trace un diagrama de dispersión usando x=carbohidratos por porción y y= energía por porción b. ¿Parece haber relación lineal? c. Calcule el coeficiente de correlación lineal, r d. ¿Qué parece decirnos este valor de correlación? Explique e. Repita las partes a – d usando x= costo por porción y y = energía por porción. 3.- Una compañía de mercadotecnia deseaba determinar si el número de anuncios comerciales por televisión estaba correlacionado linealmente con las ventas de su producto. Los datos, obtenidos de cada una de varias ciudades, se ven en la tabla siguiente.

Ciudad A B C D E F G H I J

Comerciales, x 12 6 9 15 11 15 8 16 12 6

Ventajas unitarias, y 7 5 10 14 12 9 6 11 11 8


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4.- las compañías productoras de cine gastaron millones de dólares para producir películas con la esperanza de atraer millones de personas a los cines. El éxito de una película puede medirse en muchas formas, dos de las cuales son los recibos de taquillas y el número recibido de nominaciones al Oscar. A continuación aparece una lista de diez cines en 2005 y sus correspondientes “tarjetas de reporte”. Cada película se midió en base en su presupuesto de costos (en millones de dólares) sus recibos de taquillas (en millones de dólares) y el número recibido de nominaciones al Oscar.

Película Presupuesto Taquilla Nominaciones

The Aviator 110 82.3 11

Finding Neverland 24 42.5 7

Million Dollar Baby 30 44.9 7

Ray 35 74.7 6

Sideways 16 52.8 5

Hotel Rwanda 17 14.2 3

Vera Drake 8.5 2.8 3

Eternal Sunshine of the Spotless Mind

20 34.1 2

Being Julia 10 5.1 1

Maria Full of Grace 3 6.5 1

a. Trace un diagrama de dispersión usando x= presupuesto y y= taquilla b. ¿Parece haber una relación lineal? c. Calcule el coeficiente de correlación lineal, r d. ¿Qué parece decirnos este valor de correlación? Explique e. Repita las partes a – d usando x = taquilla y y = nominaciones.

EJERCICIOS DE REGRESIÓN LINEAL (c)

1.- ¿Es útil estudiar para un examen? El número de horas estudiado, x, se compara con la calificación de examen recibida, y:

x 2 5 1 4 2

y 80 80 70 90 60

a. Encuentre la ecuación para la recta de mejor ajuste b. Trace la recta de mejor ajuste en su correspondiente diagrama de dispersión. c. Con base en lo que se ve en respuestas a las partes a y b, ¿da resultado estudiar para un examen? Explique 2.- Estos datos se generaron uando la ecuación y= 2x + 1

x 0 1 2 3 4

y 1 3 5 7 9

Un diagrama de dispersión de los datos resulta en cinco puntos que caen perfectamente en una recta. Encuentre el coeficiente de correlación y la ecuación de la recta de mejor ajuste.


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3.- Considere este conjunto de datos divariados:

x 1 1 3 3

y 1 3 1 3

a. Trace un diagrama de dispersión b. Calcule el coeficiente de correlación c. Calcule la recta de mejor ajuste 4.- Se realizó un estudio biológico de un pececillo llamado albur* de nariz negra. Se registraron la longitud, y (en milímetros) y la edad, x (al año más cercano) *Visite :http://www.dnr.state.oh.us/dnap/rivfish/bndace.html

x 0 3 2 2 1 3 2 4 1 1

y 25 80 45 40 36 75 50 95 30 15

a. Trace un diagrama de dispersión de estos datos. b. Calcule el coeficiente de correlación c. Encuentre la ecuación de la recta de mejor ajuste d. Explique el significado de las respuestas a las partes a – c 5.- El chirriar de grillos es un sonido bienvenido en una noche de verano. De hecho, esos grillos pueden darnos la temperatura. En el libro The Song of Insect, George W. Pierce, un maestro de física de Harvard, presentó datos reales que relacionan el número de chirridos por segundo, x, para grillos de franjas y la temperatura en ºF, y. La tabla sigiente da datos reales de grillos y temperatura. Parece que el número de chirridos representa un promedio, porque se da al décimo más cercano

x 20.0 16.0 19.8 18.4 17.1 15.5 14.7 17.1 15.4 16.2 15.0 17.2 16.0 17.0 14.4

y 88.6 71.6 93.3 84.3 80.6 75.2 69.7 82.0 69.4 83.3 79.6 82.6 80.6 83.5 76.3

a. Trace un diagrama de dispersión del número de chirridos por segundo, x, y la temperatura del aire, y. b. Describa el patrón mostrado c. Encuentre la ecuación para la recta de mejor ajuste d. Usando la ecuación de la parte c, encuentre las temperaturas que corresponden a 14 y 20 chirridos, que son los límites aproximados para el domino del estudio. e. Para este estudio, ¿parece razonable para este estudio el rango de valores de temperatura limitado por valores de temperatura y hallado en la parte d? Explique.


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MEDIDAS DE FORMA (d)

ERROR .- es la diferencia que existe entre un valor real (ó estándar) y el valor obtenido

de nuestras mediciones

SESGO . - Ocurre cuando el error no es aleatorio ASIMETRÍA .- Para este caso se evalua la homogeneidad de los valores obtenidos. La asimetría tiene el mismo problema que la varianza y la covarianza en cuanto a sus unidades de medida y, por ello, normalmente se utiliza una medida adimensional de la asimetría que es el coeficiente de asimetría, g1, que se calcula como el cociente entre el tercer momento y el cubo de la desviación típica.

MOMENTOS

El tema de momentos va muy relacionado con la asimetría de las curvas de distribución

Para cuando k = 3 . Si la asimetría es negativa, la variable toma valores muy bajos con mayor frecuencia que valores muy altos y se dice que tiene una cola izquierda pesada o que es asimétrica hacia la izquierda. Si la asimetría es positiva, la variable toma valores muy altos con mayor frecuencia que valores muy bajos y se dice que tiene una cola derecha pesada o que es asimétrica hacia la derecha. Si la asimetría es cero, los valores bajos y altos de la variable tienen probabilidades iguales (el ejemplo más típico de variable simétrica es la variable normal)

Se obtiene


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TEORIA DE CONJUNTOS NOTACIÓN

SIMBOLO SIGNIFICADO

∈ Es un elemento de…

∉ No es un elemento de . . .

{ } Conjunto

= Es igual a

| Tal que

n(a) Cardinalidad del conjunto A

… Y así sucesivamente

μ Conjunto universal

ø Conjunto vacío

N Conjunto de los números naturales

≠ No es igual a

< Es menor que

> Es mayor que

≤ Es menor o igual que

≥ Es mayor o igual que

∪ Unión con

∩ Intersección con

„ Complemento de

⊆ Subconjunto de . . .

⊈ No es subconjunto de . . .

⇒ Símbolo de implicación

⇔ Doble implicación o equivalencia

CONJUNTO:Colección o agregado de ideas y objetos de cualquier especie siempre y cuando estas ideas u objetos estén tan claros y definidos como para decidir si peretenecen o no al conjunto. Ejemplos de conjuntos: a) días de la semana b) Alumnos del grupo de segundo semestre de la especialidad de Procesos de Gestión Administrativa c) Total de alumnos con promedio mayor a nueve en un Plantel determinado d) Los autores de un libro e) Los actores en una película Glosario Cardinalidad : El número de elementos contenidos en un conjunto . (ejemplo: Si V= {m,n,o,p,q,r} ; su cardinalidad es de de 6 y se expresa n(V) = 6 que se lee cardinalidad de V igual a 6) Conjunto: colección o agregado de ideas u objetos de cualquier especie siempre y cuando estas ideas u objetos estén tan claros y definidos como para decidir si pertenecen o no al conjunto. Elemento: Las ideas u objetos que forman un conjunto se denominan elementos conjuntos. Conjunto verdad: Los elementos del conjunto de reemplazamiento que hacen que la oración sea verdadera forman. Variable: una variable es un aletra usada para representar a cualquier elemento de un conjunto


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Conjunto finito: es aquel en que es posible determinar el número de elementos que a él pertenecen. Conjunto infinito: Es aquel en que no es posible terminar de enumerar a sus elementos Conjunto universal : Conjunto formado por la totalidad de los elementos considerados para una determinada operación. Conjunto vacío: Conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Subconjunto : Dados dos conjuntos A y B en que todos los elementos de A pertenecen al conjunto B, entonces decimos que el conjunto A es subconjunto de B.

OPERACIÓNES CON CONJUNTOS UNION ENTRE CONJUNTOS: Sean A y B dos conjuntos, entonces:

A∪B = {x | x ∈ A ó x ∈ B }

Ejemplo A: P={1,2,3,4,5} Q= {3,4,5,6,7,8,9,10}

P ∪ Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }

Diagrama de Venn: Ejemplo B: Determina la unión de los conjuntos L y M que están formados por: L= {I,O,W,A,E} M = {A,E,B,D,G,C,F} SOLUCIÓN En la unión de los conjuntos queda representado de la siguiente manera

L ∪ M = {I,O,W,A,E,B,D,G,C,F}

La representación del diagramas de Venn es la siguiente:


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Al colorear o sombrear los dos círculos se entiende que se trata de una unión de los elementos de los dos conjuntos INTERSECCIÓN. Sean A y B dos conjuntos, entonces:

A∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}

Ejemplo A: Sea L = (a,e,i,o,u} Sea M = {a,b,c,d,e,f,g,h } L ∩ M = {a, e } Diagrama de Venn: Ejemplo B: La intersección (∩ ) de dos conjuntos se representa de la siguiente manera: L ∩ M ={a, e} Representándose en un diagrama de Venn como se muestra a continuación

CONJUNTO COMPLEMENTO.- Sea U el conjunto universal y S un subconjunto cualquiera de U. El conjunto de los elementos que falta a S para completar U, es el “complemento de S” ,

(S‟). Es decir, es el conjunto de todos los elementos del universo que no están comprendidos en el conjunto indicado Ejemplo : Sea S = {azul, rojo, morado, verde } Sea U = {amarillo, azul, verde, rojo, morado, violeta, café, negro } S‟ = {amarillo, violeta, café, negro}


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Diagrama de Venn: DIAGRAMA DE VENN .- El diagrama de Venn es la representación gráfica mediante círculos donde se indica los elementos pertenecientes a cada grupo y aquellos que se encuentren repetidos se sobreponen los círculos de tal manera que quedan encerrados los números en común y se sombrea ésta parte. Ejemplo de diagrama de Venn Sean los conjuntos: A= {1,3,5,7} B = {2,4,6} C= {1,2} D = {5,6}

EJERCICIOS PARA RESOLVER


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1) Tome el conjunto U= 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 como el conjunto universal y si A= { 1,2,3,4,5,6} C = { 4,5,6,7 } B= { 2,3,4,5 } D = { 7,8,9,10 } Determine los conjuntos que se indican y represente la operación gráficamente sombreando el resultado.

a) A ∪ C

b) D∪ B

c) B ∩ C d) A ∩ D

e) A ∪ B‟

f) B ∪ ø

g) C‟ ∩ D h) (A∩ B)‟

i) (C ∪ D)‟

j) C ∪ (A ∩ D)

k) (B ∩ D) ∪ (B ∩ C)

l) (C ∩ D) ∩ (A ∪ B)

2) Escribe en la línea el conjunto que se relacione con cada diagrama, de las sugerencias realizadas a continuación

* C‟ ∩ D= {8,9,10} * (C ∪ D)‟ = {1,2,3}

* B ∪ø = B * A ∪ C = {1,2,3,4,5,6,7}

* A ∪ B‟ ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} = U * A ∩ D= { }

* D ∪ B = {2,3,4,5,7,8,9,10} * B ∩ C = {4,5}

a) __________________________

b)

__________________________


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c) _____________________________ d) ___________________________ e) ________________________________


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TEOREMA DEL BINOMIO (d) Si n es un número entero positivo, entonces,

𝑎 + 𝑏 𝑛 = 𝑛

𝑘 𝑎𝑘𝑏𝑛−𝑘

𝑛

𝑘=0

Aplicado a probabilidad se puede encontrar de la siguiente manera

𝑃 𝑥 = 𝑛

𝑥 𝑝𝑥 𝑞𝑛−𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0,1,2,3,… ,𝑛

En donde:

𝑛

𝑥 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑒𝑑𝑒𝑟 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 xé𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠

𝑒𝑛 "n" 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑦 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 "𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙" p

x representa la probailidad de que haya exactamente x éxitos

q n-x

representa la probabilidd de que suceda un fracaso en los restantes (n – x) intentos Para obtener el coeficiente binomial se usa la ecuación :

𝑛

𝑥 =

𝑛!

𝑥! (𝑛 − 𝑥)!!

Donde: n! (n factorial) es una abreviatura para el producto de la sucesión de enteros que se incian con n y terminan en uno, Por ejemplo , 5! = 5x4x3x2x1 = 1 20. Para cuando se tiene 0! = 1. PROPIEDADES DEL EXPERIMENTO DE PROBAILIDAD BINOMIAL: experimento formado por intentos repetidos que posee las siguientes propiedades. 1.- Hay n intentos independientes idénticos repetidos. (el resultado de un intento no afecta la probabilidad de éxito en cualquier otro experimento) 2.- Cada intento tiene dos posibles resultados ( éxito o fracaso) 3.- P(éxito) = p ; P(fracaso) = q , y p + q = 1 4.- La variable aleatoria binomial “ x “ es la cuenta del número de intentos con éxito que sucedieron; “x” puede tomar cualquier valor entero de cero a “ n ” EJEMPLO 1 Una moneda se lanza tres veces al aire y observamos el número de caras que suceden en los tres tiros. Determina la probabilidad de obtener un a cara. Consideraciones: n = 3 (se lanzan tres veces al aire una moneda) p = ½ = 0.5 y q= ½ = 0.5 ; al lanzar una moneda solo se pueden obtener dos posibles resultados que al lanzarla caiga “cara” ( éxito ) o que caiga “cruz” (fracaso)

- de lo anterior se cumple p+ q = 1 - Usando la fórmula de función de probabilidad binomial se obtiene


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𝑃 𝑥 = 𝑛

𝑥 𝑝𝑥 (𝑞𝑛−𝑥) =

3

𝑥 0.5 𝑥(0.5)3−𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0,1,2,3

Para encontrar la probabilidad de x= 1 usando la función de probabilidad binomial precedente:

𝑃 1 = 3

1 0.5 1(0.5)3−1 = 3 0.5 1 0.5 2 = 3 0.5 0.25 = 0.375

NOTA: El valor de 31 se obtiene :

3

1 =

3!

1! (3 − 1)!=

3!

1! (2!)=

3𝑥2𝑥1

1𝑥2𝑥1= 3

EJEMPLO 2.- DETERMINACIÓN DE UN EXPERIMENTO BINOMIAL Y SUS PROBABILIDADES Considere un experimento que requiere sacar cinco cartas, una a la vez con sustitución, de un “monte” de cartas bien barajado. La carta sacada es identificada como de espadas o no de espadas, es devuelta al monte, éste se vuelve a barajar y así sucesivamente. La variable aleatoria “x” es el número de espadas observado en el conjunto de cinco saques de barajas. A) ¿Es éste un experimento binomial? B) Determine todas las probabilidades para “x”. SOLUCIÓN A) identifiquemos las cuatro propiedades 1.- Hay cinco saques repetidos; n=5. Estos intentos individuales son independientes porque la carta sacada es devuelta al monte y éste se vuelve a barajar antes de sacar la siguiente carta. 2.- Cada saque es un intento y tiene dos resultados : espadas o no de espadas.

3.- p = P(espadas) = 13/52 y q = P(no de espadas ) = 39 /52 [ p + q = 1] 4.- x es el número de espadas registradas al terminar los cinco intentos; los posibles valores son 0,1,2,3,4 y 5. B) La función de probabilidad binomial es:

𝑃 𝑥 = 𝑛

𝑥 𝑝𝑥 𝑞𝑛−𝑥 =

5

𝑥

13

52 𝑥

39

52

5−𝑥

= 5

𝑥 (0.25)𝑥(0.75)5−𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0,1,2,3,4, 5

𝑃 0 = 5

0 (0.25)0(0.75)5−0 =

5!

0! 5 − 0 ! (0.25)0(0.75)5 = 1 1 0.2373 = 0.2373

𝑃 1 = 5

1 0.25 1 0.75 5−1 =

5!

1! 5 − 1 ! 0.25 1 0.75 4 = 5 0.25 0.3164 = 0.3955

𝑃 2 = 5

2 (0.25)2(0.75)5−2 =

5!

2! 5 − 2 ! (0.25)2(0.75)3 = 10 0.0625 0.421875 = 0.2637

𝑃 3 = 5

3 (0.25)3(0.75)5−3 =

5!

3! 5 − 3 ! (0.25)3(0.75)2 = 10 0.01562 0.5625 = 0.0879

𝑃 4 = 5

4 (0.25)4(0.75)5−4 =

5!

4! 5 − 4 ! (0.25)4(0.75)1 = 5 0.003906 0.75 = 0.01464

𝑃 5 = 5

5 (0.25)5(0.75)5−5 =

5!

5! 5 − 5 ! (0.25)5(0.75)0 = 1 0.000976 1 = 0.0.000976


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EJERCICIOS PARA RESOLVER 1.- Identifique las propiedades por las que lanzar al aire una moneda 50 veces y dar seguimiento a “caras” es un experimento binomial. 2.- Indique una razón práctica por la que un artículo defectuoso en una situación industrial podría ser definido como “éxito” en un experimento binomial. 3.- ¿Qué significa que los intentos sean independientes en un experimento binomial? 4.- Evalúe lo siguiente

a) 4! b) 7! c) 0! d) 6!/2! e) 5!/(2!3!) f) 6!/[4!(6-4)!]

g) (0.4)4 h) 7

3 i) 3

0 j) 5

2 k) 4

1 (0.2)

1(0.8)

3

l) 50 (0.3)

0(0.7)

5

5.- Se seleccionan cuatro cartas, una a la vez, de un “monte” estándar de 52 barajas de juego. Represente por X el número de ases sacado del conjunto de cuatro cartas. a. si éste experimento se completa sin sustitución, explique por qué x no es una variable aleatoria binomial. b. si éste experimento se completa con sustitución, explique por qué x es una variable aleatoria binomial. 6.- Suponga que usted está en un grupo de 30 estudiantes y se supone que aproximadamente 11% de la población es de zurdos. Introduciendo n= 30 y p= 11, calcule lo siguiente: a. la probabilidad de que exactamente cinco estudiantes sean zurdos b. la probabilidad de que a lo sumo cuatro estudiantes sean zurdos c. la probabilidad de que al menos seis estudiantes sean zurdos 7.- Si x es una variable aleatoria binomial, calcule la probabilidad de x para cada caso. a. n = 4 , x = 1, p = 0.3 b. n = 3 , x = 2, p = 0.8 c. n = 2 , x = 0, p = ¼ d. n = 5 , x = 2, p = 1/3 e. n = 4 , x = 2, p = 0.5 f. n = 3 , x = 3, p = 1/6 g. n = 10 , x = 8, p = 0.95 h. n=15, x= 12, p = 0.99 DIAGRAMA DE ARBOL (e)

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos,

donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.

Ejemplos:

1.Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino),

tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja).

Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes de

este médico?


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Respuesta: Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de

clasificaciones son 2 x 4 x 3 = 24 mismas que podemos enumerar;

MAN, MAA,MAB, MBN, MBA, MBB, MABN,MABA, MABB,MON,MOA,MOB, FAN,FAA,FAB,

FBN,FBA,FBB, FABN, FABA,FABB, FON, FOA, FOB

EJERCICIOS PARA RESOLVER

1) Dos equipos denominados A y B se disputan la final de un partido de baloncesto, aquel

equipo que gane dos juegos seguidos o complete un total de tres juegos ganados será el que

gane el torneo. Mediante un diagrama de árbol diga de cuantas maneras puede ser ganado

este torneo,

2) Un hombre tiene tiempo de jugar ruleta cinco veces como máximo, él empieza a jugar con

un dólar, apuesta cada vez un dólar y puede ganar o perder en cada juego un dólar, él se va a

N A B

N A B

N A B

N A B

M

F

A

B

AB

O

A

B

AB

O

N A B

N A B

N A B

N A B


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retirar de jugar si pierde todo su dinero, si gana tres dólares (esto es si completa un total de

cuatro dólares) o si completa los cinco juegos, mediante un diagrama de árbol, diga cuántas

maneras hay de que se efectué el juego de este hombre. EVENTOS COMPLEMENTARIOS (f) El complemento de un evento A, Ᾱ, es el conjunto de todos los puntos muestrales del espacio muestral que no pertenecen al evento A. Ejemplos: a) El complemento del evento “éxito” es “fracaso”. b) El complemento de “votante seleccionado es republicano” es “votante seleccionado no es republicano” c) El complemento de “no caras” de 10 tiros de una moneda es “al menos una cara” De aquí se desprende: P(A) + P(Ᾱ) = 1.0 para cualquier punto muestral Por lo que la regla de complemento: P(Ᾱ) = 1 – P(A) NOTA: todo evento A tiene un evento complementario Ᾱ. Las probabilidades complementarias son muy útiles cuando la pregunta pide la probabilidad de “al menos uno” . Generalmente, esto representa la combinación de varios eventos, pero el evento complementario “ninguno” es un solo resultado. EJEMPLO: Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea al menos 3 ( es decir, 3,4,5,…,12 ¿ Solución Al lanzar dos dados como resultado se obtiene el siguiente espacio muestral

DADO A DADO B SUMA DADO A DADO B SUMA

1 1 2 4 1 5

1 2 3 4 2 6

1 3 4 4 3 7

1 4 5 4 4 8

1 5 6 4 5 9

1 6 7 4 6 10

2 1 3 5 1 6

2 2 4 5 2 7

2 3 5 5 3 8

2 4 6 5 4 9

2 5 7 5 5 10

2 6 8 5 6 11

3 1 4 6 1 7

3 2 5 6 2 8

3 3 6 6 3 9

3 4 7 6 4 10

3 5 8 6 5 11

3 6 9 6 6 12


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Sumando los elementos del espacio muestral dan un total de 36 elementos; para resolver el problema es mejor obtener la probabilidad de que la suma de ambos dados sea igual a 2 que sumar las probabilidades de todos los elementos del espacio muestral excepto el dos. De tal manera que la probabilidad de “menor a 3” y “ al menos 3” son eventos complementarios. Por lo tanto se puede obtener el resultado aplicando la fórmula P(suma de 2) = P(A) = 1/36 ( “2” ocurre sólo una vez en el espacio muestral de 36 puntos) P(la suma es al menos 3) = P(Ᾱ) = 1 – P(A) = 1 – 1/36 = 35/36 EJERCICIOS PARA RESOLVER 1.- Si la probabilidad de que ocurra el evento A durante un experimento es 0.7. ¿cuál es la probabilidad de que el evento A no ocurra durante ese experimento? 2.- Si los resultados de un experimento de probabilidad pueden ser cualquier entero de 16 a 28 y la probabilidad de que el entero sea menor a 20 es de 0.78. ¿Cuál es la probabilidad de que el entero sea 20 o más? 3.- Según el Sleep Channel (http://www.sleepchanel.net, septiembre 2002), la apnea del sueño afecta a 12 millones de individuos en Estados Unidos. Esta afección del sueño interrumpe la respiración y puede despertar a quienes la sufren hasta cinco veces en una hora. Numerosas personas no reconocen este mal aun cuando produce fuerte ronquido. Suponiendo que haya 275 millones de habitantes en Estados unidos. ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo escogido al azar no esté afectado por la apnea del sueño? TECNICAS DE CONTEO En el desarrollo del siguiente tema se encontrarán conectividades “o” e “y” ; cuando se mencione la conectividad “o” significa “una o la otra o ambas” y cuando se use la conectividad “y” va a significar “ambos” o “ en común”.

PRINCIPIO DE LA SUMA (f) Sean A y B dos eventos definidos en un espacio muestral S. P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B) Se lleva a cabo una encuensta de 800 votantes registrados en 25 distritos electorales en Nueva York. Cada votante fue identificado como registrado como republicano, demócrata y otro y luego se le pregunta ¿Esta usted a favor o en contra del proyecto actual de presupuesto en espera de firma del gobernador? Los totales resultantes se muestran a continuación.

NUMERO A FAVOR

NUMERO EN CONTRA

NUMERO DE VOTANTES

REPUBLICANO 136 88 224 DEMOCRATA 314 212 526 OTROS 14 36 50 TOTAL 464 336 800

Suponga que un votante se selecciona al azar de los 800 votantes resumidos en la tabla precedente. Consideremos los dos eventos :”El votante seleccionado está a favor

http://www.sleepchanel.net/


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“ y “ el votante es republicano”. Supongamos, además, que un votante se escoge al azar de estos 800 votantes; encuentre las cuatro probabilidades: P(a favor), P(republicano), P(a favor o republicano) y P(a favor y republicano). SOLUCIÓN Tomando datos de la tabla proporcionada con anterioridad se obtiene: P( a favor) = 464/800 = 0.58 P(republicano) = 224/800 = 0.28 P(a favor o republican4o) = ( se suman todos los republicanos y que están a favor) / total de votantes =( 224 + 314 + 14 )/ 800 = 552/800 = 0. 69 P( a favor y republicano) = 136/800 = 0.17 Usando la fórmula P(a favor o republicano) = P(a favor) + P( republicano ) – P(a favor y republicano) Sustituyendo datos obtenidos: P( a favor o republicano) = 0.58 + 0.28 – 0.17 = 0.69

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN Sean A y B dos eventos definidos en el espacio muestral S.

P(A y B) = P(A) · P(B|A)

También puede escribirse como

P(B y A) = P(B) ·P(A|B)

Del ejercicio anterior y usando los datos de la tabla, encuentre P(a favor y republicano). SOLUCIÓN A – usando la información de tablas – La probabilidad de que el votante sea a favor = P(a favor)=464/800=0.58

La probabilidad de que el votante sea republicano dado a favor = P(republicano | a

favor)= 136/464= La probabilidad de que el votante seleccionado sea “a favor” y “republicano” = P(a favor y republicano) = 136/800 = 0.17 SOLUCIÓN B- usando la ecuación del principio de la multiplicación

P(a favor y republicano)= P(a favor) · P( republicano |a favor)

P(a favor y republicano) = (0.58) (0.29) = 0.17 EJERCICIOS PARA RESOLVER 1) Si P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, P(A y B ) = 0.1, hállese P(A o B) 2) Si P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(A y B ) = 0.2, hállese P(A o B) 3) Si P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, P(A y B ) = 0.7, hállese P(A o B) 4) Si P(A) = 0.4, P(A o B) = 0.9, P(A y B )= 0.1, hállese P(B) 5) La industria de entretenimiento de deportes emplea atletas, entrenadores, árbitros y trabajadores del ramo. De éstos, 0.37 trabajan a tiempo parcial y 0.50 ganan más de $20 540 al año. Si 0.32 de estos empleados trabajan a tiempo completo y ganan más de $20 540, ¿qué proporción de los empleados de la industria trabajan a tiempo completo o ganan más de $20 540?

6) A y B son eventos definidos en un espacio muestral, con P(A) = 0.7 y P(B|A) = 0.4 .

Encuentre P(A y B)

7) A y B son eventos definidos en un espacio muestral, con P(A|B) = 0.5 y P(B)=0.8 .

Encuentre P(A y B)

8) A y B son eventos definidos en un espacio muestral, con P(A) = 0.6 y P(A y B) = 0.3 .

Encuentre P(B|A).

9) A y B son eventos definidos en un espacio muestral, con P(B) = 0.4 y P(A y B) = 0.5 .

Encuentre P(A | B)


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10) Suponga que A y B son eventos definidos en un espacio muestral común y que se conocen

las siguientes probabilidades: P(A o B) = 0.7 , P(B) = 0.5 y P(A|B) = 0.2 . Encuentre P( A|B).

PERMUTACIÓN Y COMBINACIÓN (g) PERMUTACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

𝑛𝑃𝑟 =𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!

Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y solo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, además hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes. Entonces, ¿ qué fórmula hay que usar para arreglos en donde se utilicen los n objetos con que se cuenta? Si en la fórmula anterior se sustituye n en lugar de r, entonces. nPn= n!/ (n –n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!

Como 0! = 1 de acuerdo a demostración matemática, entonces nPn= n! EJEMPLO A: ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa. Solución: Por principio multiplicativo: 25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras de formar una representación de ese sindicato que conste de presidente, secretario, etc., etc. Por Fórmula: n = 25, r = 5

25P5 = 25!/ (25 –5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x 22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)= = 6,375,600 maneras de formar la representación


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EJEMPLO B: ¿Cuántos puntos de tres coordenadas ( x, y, z ), será posible generar con los dígitos 0, 1, 2, 4, 6 y 9?, Si, a. No es posible repetir dígitos, b. Es posible repetir dígitos.

Solución: a. Por fórmula n = 6, r = 3 6P3 = 6! / (6 – 3)! = 6! / 3! = 6 x 5 x 4 x 3! / 3! = 6 x 5 x 4 = 120 puntos posibles Nota: este inciso también puede ser resuelto por el principio multiplicativo b. Por el principio multiplicativo 6 x 6 x 6 = 216 puntos posibles

COMBINACIÓN: Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.

La fórmula para determinar el número de combinaciones es:

nCr = Combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos Donde se observa que,

La expresión anterior nos explica como las combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos, esto se debe a que como en las combinaciones no nos importa el orden de los objetos, entonces si tenemos las permutaciones de esos objetos al dividirlas entre r!, les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en combinaciones, de otra forma, también si deseamos calcular permutaciones y tenemos las combinaciones, simplemente con multiplicar estas por el r! obtendremos las permutaciones requeridas. nPr = nCr r! Y si deseamos r = n entonces; nCn = n! / (n –n)!n! = n! / 0!n! = 1 ¿Qué nos indica lo anterior? Que cuando se desea formar grupos con la misma cantidad de elementos con que se cuenta solo es posible formar un grupo.

!r)!rn(

!nCrn

!r

pC rn

rn


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EJEMPLO A Una señora desea invitar a cenar a 5 de 11 amigos que tiene, a. ¿Cuántas maneras tiene de invitarlos?, Solución:

a. n = 11, r = 5 11C5 = 11! / (11 – 5 )!5! = 11! / 6!5! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6! / 6!5! = 462 maneras de invitarlos Es decir que se pueden formar 462 grupos de cinco personas para ser invitadas a cenar.

EJEMPLO B a. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b. Si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuántos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?, c. ¿cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos?

Solución:

a. n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5!

= 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!

= 2002 grupos

Entre los 2002 grupos de limpieza hay grupos que contienen solo hombres, grupos que contienen solo mujeres y grupos mixtos, con hombres y mujeres.

b. n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r = 5

En este caso nos interesan aquellos grupos que contengan 3 mujeres y 2 hombres

8C3*6C2 = (8! / (8 –3)!3!)*(6! / (6 – 2)!2!) = (8! / 5!3!)*(6! / 4!2!) = 8 x7 x 6 x 5 /2! = 840 grupos con 3 mujeres y 2 hombres, puesto que cada grupo debe constar de 5 personas c. En este caso nos interesan grupos en donde haya 4 hombres o más Los grupos de interés son = grupos con 4 hombres + grupos con 5 hombres

= 6C4*8C1 + 6C5*8C0 = 15 x 8 + 6 x 1 = 120 + 6


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= 126 EJERCICIOS DE PERMUTACIÓN Y COMBINACIÓN (h) 1) ¿Cuántas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si no se permite la repetición? Solución: 2) ¿Cuántas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3 y 4 si se permite la repetición? Solución: 3) De entre 8 personas debemos formar un comité de cinco miembros. ¿Cuántas diferentes posibilidades existen para formar el comité? Solución: Esta es una combinación porque el orden no importa. 4) ¿Cuántas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 4, 5, 6, 7, 8 y 9 si no se permite la repetición? 5) ¿Cuántas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dígitos 3, 4, 5 y 6 si se permite la repetición? 6) Un entrenador de baloncesto dispone de 12 jugadores. ¿Cuántos diferentes equipos de cinco jugadores puede formar? 7) De una clase de 20 niñas se escogerán 6 para ir a un paseo. ¿Cuántos posibles grupos de 6 se pueden formar? 8) Halle la probabilidad de obtener exactamente una espada en 4 extracciones de una baraja española de 40 cartas, cuando las extracciones se hacen: a) con reemplazamiento. b) sin reemplazamiento. 9.- En un pueblo se consumen dos tipos de bebidas alcohólicas: A y G. El 30% de las personas consume al menos la bebida A, el 60% consume al menos la bebida G y se sabe que el 5% consume ambas bebidas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que elegida una persona al azar tome bebidas alcohólicas? b) ¿Qué probabilidad hay de que una persona elegida al azar no consuma bebidas alcohólicas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que elegida una persona al azar tome la bebida A solamente? d) Si elegimos dos personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambas tomen bebidas alcohólicas? e) Se elige una persona al azar y resulta ser consumidora de bebidas alcohólicas, ¿cuál es la probabilidad de que tome A? f) Idem anterior pero determinando la probabilidad de que tome la bebida G. PROBABILIDAD PARA EVENTOS(i)

PROBABILIDAD CONDICIONAL Una probabilidad condicional es la frecuencia relativa con la cual un evento puede esperarse que ocurra, bajo la condición de que se conozca la información preexistente

acerca de algún otro evento. P(A|B) se usa para simbolizar la probabilidad de que el

evento A ocurra bajo la condición de que se sepa que el evento B ya existe.

Algunas formas de decir o expresar la probabilidad condicional, P(A|B) son:

- La “probabilidad de A, dada B” - La “probabilidad de A, conociendo B” - La “probabilidad de que A ocurra, sabiendo que B ya ha ocurrido” EJEMPLO A De un sondeo de salida para elección nacional hecho a 13,660 votantes en 250 distritos electorales en todo el país, el 2 de julio de 2002, tenemos lo siguiente;

GÉNERO PORCENTAJE DE VOTANTES

PORCENTAJE PARA EL CANDIDATO DEL PARTIDO ROSA

PORCENTAJE PARA EL CANDIDATO DEL PARTIDO MORADO

PORCENTAJE PARA OTROS


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Hombres 46 55 44 1 Mujeres 54 48 51 1 Edad 18 – 29 17 45 54 1 30 – 44 29 53 46 1 45 – 59 30 51 48 1 60 y más 24 54 46 0

Una persona ha de ser seleccionada al zar de la muestra de 13,600 votantes, con el uso de la tala encuentre las respuestas a las siguientes preguntas de probabilidad

1.- ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada sea hombre? Respuesta: revisando los datos proporcionados en la tabla se debe ubicar el porcentaje total de hombres siendo el resultado 0.46 , esto debido a que la tabla habla de porcentajes y la probabilidad se expresa como máximo 1. Expresado en forma de ecuación: P(votante seleccionado es hombre) = 0.46

2.- ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada tenga de 18 a 29 años de edad? Respuesta : 0.17 Expresado en forma de ecuación : P( votante seleccionado tiene entre 18 y 29 años) = 0.17

3.- Sabiendo que el votante seleccionado fue mujer, ¿Cuál es la probabilidad de que ella votó por el candidato del partido morado? Respuesta: 0.51

Expresado en forma de ecuación : P( Candidato del partido morado |mujer) = 0.51

4.- ¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada votó por el candidato del partido rojo si el votante tenía 60 años o más? Respuesta : 0.54

Expresado en forma de ecuación: P( candidato del partido rosa | 60 años o más )

NOTA: el ejercicio 1 y 2 son probabilidades sencillas mientras que el ejercicio 3 y 4 son probabilidades condicionales. EJEMPLO B: De un sondeo de salida para elección nacional hecho a 1000 votantes en 25 distritos electorales en todo el país, el 2 de julio de 2011, tenemos lo siguiente:

EDUCACIÓN NUMERO PARA EL CANDIDATO DEL PARTIDO ROSA

PORCENTAJE PARA EL CANDIDATO DEL PARTIDO MORADO

NUMERO POR OTROS

NUMERO DE VOTANTES

Sin preparatoria

19 20 1 40

Egresado de preparatoria

114 103 3 220

Universitario inconcluso

172 147 1 320

Universitario egresado

135 119 6 260

Posgraduado 70 88 2 160

Total 510 477 13 1000

Una persona ha de ser seleccionada al azar de la muestra precedente de 1000 votantes. Con el uso de la tabla, encuentra la respuesta a las siguientes preguntas de probabilidad. 1.- Sabiendo que el votante seleccionado era graduado de preparatoria, ¿cuál es la probabilidad de que la persona votó por el candidato del partido morado?


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Respuesta : 103 /220 = 0.46818 = 0.47 Expresado en forma de ecuación

𝑃 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 = 103

220= 0.46818 = 0.47

2.- Sabiendo que el votante seleccionado tenía alguna educación universitaria ¿cuál es la probabilidad de que la persona votó por el candidato del partido rosa? Respuesta : 172/320 = 0.5375 =0.54 Expresado en forma de ecuación

P( candidato del partido rosa | universidad inconclusa) = 𝑃 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑟𝑜𝑠𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑎 =

= 172 𝑢𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑜𝑡ó 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑚𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜

320 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠𝑜𝑠 = 0.5375 = 0.54

3.- Sabiendo que la persona seleccionada votó por el candidato del partido morado. ¿Cuál es la probabilidad de que el votante tenga educción de posgrado? Respuesta : 88/477= 0.1844 = 0.18 Expresado en forma de ecuación

P( posgraduado | candidato del partido morado ) = 88 ( posgraduados que votaron por el

candidato del partido morado / 477 ( personas a favor del candidato del partido morado) = 0.1844 = 0.18 4.- Sabiendo que la persona seleccionada votó por el candidato del partido rosa, ¿cuál es la probabilidad de que el votante no tenga educación preparatoria? Respuesta: 19 (personas sin preparatoria) / 510 (total de personas que votaron por el candidato del partido rosa) = 0.0372 = 0.04 Expresado en forma de ecuación:

P(sin preparatoria | Bush) = 19 /510 = 0.0372 = 0.04

EJERCICIOS PROPUESTOS 1) A trescientos televidentes se les preguntó si estaban satisfechos con la cobertura de un reciente desastre por TV

GÉNERO

FEMENINO MASCULINO SATISFECHO 80 55 NO SATISFECHO 120 45

Un televidente se ha de seleccionar al azar de entre los encuestados a. encuentre P(satisfecho)

b. Encuentre P(satisfecho | femenino)

c. Encuentre P( satisfecho | masculino)

2) Los sábados por la mañana son horas de gran movimiento en el centro acuático Webster. Las lecciones de natación que van del nivel 2 de Cruz Roja, Habilidad Acuática Fundamental, al nivel 6 de Cruz Roja, Suficiencia en Natación y Aptitud, se ofrecen durante dos sesiones.

NIVEL NÚMERO DE PERSONAS EN CLASE DE 10:00 A.M

NUMERO DE PERSONAS EN CLASE DE 11:00 A.M.

2 16 16


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3 15 11

4 9 7

5 8 3

6 0 3

Lauren, la coordinadora del programa, va a seleccionar al azar un nadador para entrevistarlo para un “spot” de la televisora local en el centro y su programa de natación. ¿cuál es la probabilidad de que el nadador seleccionado tenga lo siguiente: a. Una clase de nivel 4 b. La clase de 10:00 A.M. c. Una clase de nivel 3 dada es la sesión de las 10:00 A.M. d. La clase de 11:00 A.M. dada es la clase de nivel 5 3) The Workd Factbook, 2004, informa que los aeropuertos de Estados Unidos tiene el siguiente número de metros de pistas que son pavimentadas o no pavimentadas.

Número de aeropuertos

Total pista (metros) pavimentado No pavimentado

Más de 3047 188 1

2438 – 3047 221 7

1524 – 2437 1375 160

914 – 1523 2383 1718

Menos de 914 961 7843

Total 5128 9729

Si uno de estos aeropuertos se selecciona al azar para inspección, ¿Cuál es la probabilidad de que tendrá lo siguiente: a. Pistas pavimentadas b. 914 a 2343 metros de pista c. Menos de 1524 metros de pista y no pavimentadas d. Más de 2437 metros de pista y pavimentadas e. Pista pavimentada, dado que tiene más de 1523 metros de pista f. No pavimentada, sabiendo que tiene menos de 1524 metros de pista g. Menos de 1524 metros de pista, dado que no está pavimentada. 4) Un artículo de USA Today titulado “Yum Brands hace dinastía en China” ( 7 de febrero, 2005) informa sobre cómo la Yum Brands, la empresa de restaurantes más grande del mundo, está llevando la industria de comida rápida a China, India y otros países grandes. La Yum Brands, filial de PepsiCo, ha estado entregando un crecimiento de utilidades de dos dígitos en el año pasado.

Ubicación y número de tiendas de comida rápida

Tienda USA En otros países Total

KFC 5 450 7 676 13 126

Pizza Hut 6 306 4 680 10 986

Taco Bell 5 030 123 5 223

Long John Silver‟s 485 33 1 233

A&W All – American 485 209 694

Total 18 471 12 791 31 262

Supongamos que cuando el director general de Yum Brands fue entrevistado para este artículo, se le hicieron las siguientes preguntas. ¿Cómo podría haber contestado con base en la tabla siguiente? a. ¿Qué porcentaje de sus locales está en Estados Unidos? b. ¿Qué porcentaje de sus locales está en otros países? c. ¿Qué porcentaje de sus tiendas son Pizza Huts? d. ¿Qué porcentaje de sus tiendas son Taco Bell dado que la ubicación es en Estados Unidos?


PLANTEL CORREGIDORA

e. ¿Qué porcentaje de sus locales está ent otros países dado que la tienda es una A& W All – American? f. ¿Qué porcentaje de sus tiendas es KFC dado que la ubicación es en otros países? g. ¿Qué porcentaje de sus locales en otros países son KFC? Repase sus respuestas a las partes f y g para contestar lo siguiente h. ¿Qué observa usted acerca de estas dos respuestas? ¿Por qué esta ocurriendo? 5) Los cinco colores más importantes para autos de lujo, manufacturados durante el año 2003 en América del Norte, se presentan aquí en porcentajes.

Auto de lujo Porcentaje

1. Med. /Dk Gris 23.30 2.- Plata 18.8 3.- Blanco metálico 17.8 4.- Blanco 12.6 5. Negro 10.9

a. ¿Por qué no totaliza 100% la columna de porcentajes? b. ¿Por qué son condicionales todas las probabilidades basadas en esta tabla? ¿Cuál es la condición? c. ¿Su color favorito aparece en la lista? Si un auto de lujo 2003 se seleccionó al azar de todos los autos de lujo manufacturados en Estados Unidos en 2003, determine la probabilidad de que su color sea lo siguiente: d. Negro, plateado, gris o blanco e. No sea blanco f. Negro, sabiendo que el auto de lujo tiene uno de los cinco colores más populares g. Negro, sabiendo que el auto de lujo tiene uno de los cinco colores más populares pero no es blanco.

EVENTOS INDEPENDIENTES Dos eventos son independientes si el suceso ( o no suceso) de uno de ellos no nos da información acerca de la probabilidad de que ocurra el otro. En otras palabras, si la probabilidad de A permanece sin cambio después que sepamos que B ha ocurrido ( o no ha ocurrido) , los eventos son independientes

En algebra: P(A) = P(A |B) = P(A | no B)

En palabras: ( hay varias formas equivalentes de expresar el concepto de independencia) 1.- La probabilidad del evento A no s afecta por saber que un segundo evento, B, ha

ocurrido, saber que B no h ocurrido, o no se sepa acerca del evento sea lo que sea.

2.- La probabilidad del evento A no se afecta por saber, o no saber, que un segundo evento, B , ha ocurrido o no ha ocurrido

3.- La probabilidad de un evento A ( sin saber acerca del evento B) es la misma que la probabilidad del evento A, sabiendo que B ha ocurrido, y ambas son iguales que la probabilidad del evento A, sabiendo que el evento B no ha ocurrido

La regla de la multiplicación se simplifica cuando los eventos que intervienen son independientes. Si sabemos que dos eventos son independientes, entonces al aplicar la definición de

independencia, P(B|A) = P(B) , a la regla de la multiplicación, se deduce que:

P(A y B) = P(A ) · P(B|A) se convierte en P(A y B) = P(A) · P(B)

Si dos eventos son independientes la regla de la multiplicación se simplifica dando lugar a la “Regla Especial de la multiplicación” Sean A y B dos eventos independientes definidos en un espacio muestral S


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En palabras: probabilidad de A y B = probabilidad de A x probabilidad de B

En álgebra: P(A yB) = P(A ) · P(B)

Esta fórmula se puede expandir para considerar más de dos eventos independientes:

P( A y B y C y D y …. y E) = P(A ) · P(B) · P(C)· P(D) … · P(E)

Es frecuente que esta ecuación sea conveniente para calcular probabilidades pero no nos ayuda a comprender la relación de independencia entre los eventos A y B. Es la definición la que nos dice cómo debemos pensar acerca de eventos independientes. Se debe tener mucho cuidado en no confundir el concepto de eventos independientes y el de eventos mutuamente excluyente.

NOTA: No use P(A yB) = P(A) · P(B) como la definición de independencia. Es una propiedad

que resulta de la definición. Puede usarse como prueba para independencia, pero, como enunciado, no muestra significado ni idea del concepto de eventos independientes.

Dos eventos A y B son independientes si y sólo si(j)

P(A|B) = P(A) y P(B|A) = P(B)

o, que es lo mismo:

P(AB) = P(A) · P(B) EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Determine si cada uno de los siguientes pares de eventos es independiente:

a) Lanzar un par de dados y observar un “1” en el primer dado y un “1” en el segundo dado b) Sacar una “espada” de un “monte” regular de cartas y luego sacar otra “espada” del mismo monte sin restituir la primera carta c) Ser dueño de un automóvil rojo y tener cabello castaño d) Poseer un automóvil rojo y tener hoy una llanta sin aire e) Estudiar para un examen y reprobarlo f) Lanzar un par de dados y observar un “2” en uno de los dados y tener un “total de 10” g) Llover hoy y pasar el examen hoy h) Llover hoy y jugar al golf hoy mismo i) Completar la tarea hoy y estar a tiempo para la clase

2) A y B son eventos independientes, y P(A) = 0.7 y P(B) = 0.4. Encuentre P(A y B) 3) A y B son eventos independientes, y P(A) = 0.5 y P(B) = 0.8. Encuentre P(A y B) 4) A y B son eventos independientes, y P(A) = 0.6 y P(A y B) = 0.3. Encuentre P( B) 5) A y B son eventos independientes, y P(A) = 0.4 y P(A y B) = 0.5. Encuentre P( B) 6) Si P(A) = 0.3 y P(B) = 0.4 . y A y B son eventos independientes. ¿cuál es la probabilidad

de cada uno de lo siguiente:

a. P( A y B) b. P(B|A) c. P(A|B)

7) Suponga que P(A) = 0.3 , P(B) = 0.4 y P(A y B) = 0.12

a. ¿Cuál es P(A|B)? b. ¿Cuál es P(B|A)? C. ¿Son independientes A y B?

8) Un estudiante es seleccionado al azar de un grupo de 200 estudiantes de tiempo completo (80 mujeres y 60 hombres ) y 60 estudiantes de tiempo parcial (40 mujeres y 20 hombres) . El evento A es “ el estudiante seleccionado es de tiempo completo” y el evento C es “ el estudiante seleccionado es mujer “. a. ¿Son independientes los eventos A y C? Justifique su respuesta b. Encuentre la probabilidad de P(A y C)

9) Una caja contiene cuatro fichas de poker rojas y tres azules. Tres fichas de póker han de ser seleccionadas, una a la vez. a. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres fichas sean rojas si la selección se hace con restitución?


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b. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres fichas sean rojas si la selección se hace sin restitución? c. ¿Son independientes los saques ya sea en la parta a o en la b? Justifique su respuesta

TEOREMA DE BAYES (k)

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai). entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión:

SELECCIONES AL AZAR, CON O SIN REEMPLAZAMENTO (l)

Las técnicas de muestreo probabilístico son aquellas en las que se determina al

azar los individuos que constituirán la muestra. Estas técnicas nos sirven cuando se

desean generalizar los resultados que se obtienen a partir de la muestra hacia toda

la población. Lo anterior se dice dado que se supone que el proceso aleatorio permitirá la obtención de una muestra representativa de la población.

Los muestreos probabilísticos pueden ser con o sin reemplazo.

Los muestreos con reemplazo son aquellos en los que una vez que ha sido

seleccionado un individuo (y estudiado) se le toma en cuenta nuevamente al elegir

el siguiente individuo a ser estudiado. En este caso cada una de las observaciones

permanece independiente de las demás, pero con poblaciones pequeñas (un grupo

de escuela de 30 alumnos, por ejemplo) tal procedimiento debe ser considerado

ante la posibilidad de repetir observaciones. En el caso de poblaciones grandes no

importa tal proceder, pues no afecta sustacialmente una repetición a las frecuencias

relativas.

Los muestreos sin reemplazo son los que una vez que se ha tomado en cuenta

un individuo para formar parte de la muestra, no se le vuelve a tomar en cuenta

nuevamente. En este caso, y hablando específicamente para el caso de poblaciones

pequeñas, las observaciones son dependientes entre sí, pues al no tomar en cuenta

nuevamente el individuo se altera la probabilidad para la selección de otro individuo

de la población. Para el caso de las poblaciones grandes (por ejemplo la población

de un país) dicha probabilidad para la selección de un individuo se mantiene

prácticamente igual, por lo que se puede decir que existe independencia en las observaciones.


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BIBLIOGRAFÍA a) http://www.mitecnologico.com/iem/Main/EstadisticaInferencial b) http://www.elprisma.com/apuntes/ingenieria_industrial/diagramadepareto/ (Desarrollado y enviado por Ingeniero César Rovira OP Group Director Suc. Argentina http://www.op-group.net/ ) c) http://canasto.es/2009/05/el-principio-de-pareto/ d) http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1710003/Apuntes/Leccion5.pdf e) http://escuela.med.puc.cl/recursos/recepidem/insintrod3.htm f)Estadistica elemental : lo escencial. 10ª. Edición. Johnson/Kuby. Editorial Gengage Learning.pag 229 g) http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/04Permutaciones.htm

h) http://www.amschool.edu.sv/Paes/e5.htm

i) Estadistica elemental : lo escencial. 10ª. Edición. Johnson/Kuby. Editorial Gengage Learning.pag 223 j) http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu4.html k) http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/8.html l) http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu5.html

http://www.mitecnologico.com/iem/Main/EstadisticaInferencial

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http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu5.html

apuntes de probabilidad proyecto de fortalecimiento trgr semestre enero julio 2011

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