PROGRAMA DEL CURSO: 1.INTRODUCCIN A ROBTICA 1.1.Antecedentes histricos 1.2.Origen y desarrollo de la robtica 1.3.Definicin y clasificacin de robots 2.MORFOLOGA DEL ROBOT 2.1.Efector o herramienta final 2.2.Estructura mecnica de robots 2.3.Actuadores en robots 2.4.Transmisiones y reductores 2.5.Sistema de control e inteligencia 2.6.Sensores internos 3.MODELO Y CONTROL CINEMTICO 3.1.Introduccin y conceptos 3.2.Modelo cinemtico directo 3.3.Modelo cinemtico inverso 3.4.Modelo cinemtico de velocidad 4.MODELO DINMICO 4.1.Introduccin y conceptos 4.2.Formulacin de Euler-Lagrange 5.PROPIEDADES Y ESTABILIDAD 5.1.Matriz de inercia 5.2.Matriz de Coriolis 5.3.Vector de gravedad 5.4.Linealidad en los parmetros 5.5.Potencia del robot 5.6.Energa del robot 5.7.Puntos de equilibrio del robot 5.8.Estabilidad del robot 6.CONTROL DINMICO DE POSICIN 6.1.Introduccin 6.2.Diseo de control de posicin 6.3.Control PD 6.4.Control PD con compensacin de gravedad 6.5.Control PD con compensacin precalculada 6.6.Control PID 7.CONTROL DINMICO DE MOVIMIENTO 7.1.Introduccin 7.2.Diseo de control de trayectoria continua BIBLIOGRAFA: ROBTICA: Control de robots manipuladores Fernando Reyes Corts Alfaomega ROBTICA: Manipuladores y robots mviles Anbal Ollero Baturone Alfaomega CONTROL DE MOVIMIENTO DE ROBOTS MANIPULADORES Rafael Kelly, Vctor Santibez Pearson-Prentice Hall EVALUACIN DEL CURSO: *Calificacin ordinaria = Examen medio50% Examen ordinario50% +puntos extras sobre calificacin final por tareas *Calificacin extraordinaria = Examen 100% REQUISITOS ACADMICOS: *Identidades trigonomtricas. *Geometra y trigonometra en el plano y espacio. *Operaciones y propiedades de vectores. *lgebra lineal y operaciones de matrices. *Clculo diferencial, derivadas parciales. *Conceptos de mecnica (cinemtica traslacional y rotacional, fuerza, par, energa cintica y potencial). *Modelos en espacio de estado. *Conceptos de estabilidad. *Controladores bsicos (PID). *Programacin en Matlab u otros lenguajes. UNIVERSIDAD AUTNOMA DE NUEVO LEN FACULTAD DE INGENIERA MECNICA Y ELCTRICA DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACIN CONTROL DE ROBOTS DR. JUAN NGEL RODRGUEZ LIN UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN1 OBSERVACIONES REGLAS DE LA CLASE: Buena actitud e inters en el contenido de clase (En general de ingeniera). Cumpliroponersealcorrienteenlos conocimientosorequisitosacadmicos previos. Descargar,imprimir,llevaraclaseyleerlos apuntes y libros indicados por el maestro. Llevaraclaseunalibreta(ocarpeta)exclusiva para la materia. Hacertareasyejerciciosenlalibreta.Se revisan el da sealado por el maestro, NO hasta eldaenqueelalumnotengacalificacin reprobatoria. Traer y usar calculadora en clase. Asistenciamnimadel80%paraderechoa examen.Noseaceptancambiosvirtualesde clase.Encasodepedirautorizacindecambio justificadonooficial,sersloparala asistencia, el alumno presentar en el da y con el maestro oficial. Los exmenes son el da y hora programados. Cualquieraclaracindecalificacionesser durantelosprimeros3dasdespusde notificarla. Nosehacencambiosdecalificacin injustificados, ni despus de ese tiempo. El pase es de 70. El maestro se ocupa en otros departamentos de laFIMEyde laUANL,porlocual NOesttodo eltiempoenelDepto.deElectrnicay Automatizacin. As que los asuntos o dudas de claseseatiendenenelhorariodeclaseenel aula de clase. Paracontactaronotificaralmaestropara asuntosoavisosurgentes,enviarmensajecon informacincompletaalcorreolinan.fime@yahoo.com ESTE CURSO NO ES APTO PARA QUIEN DIGA: Nomegustanlasmatemticas,fsicaociencias exactas. No me gusta o no quiero estudiar ni aprender, slo pretendo pasar. No megusta estudiar, slo aprendercon loque vea en clase. No puedo o no quiero hacer tareas, con el examen la hago. Nomeinteresanloscontenidosomaterias,slo obtener el ttulo, afuera aprender. Es que yo trabajo, no puedo cumplir en clase Si no puede entonces inscriba menos materias para que pueda cumplir con ambas cosas. Alguien me va a recomendar con el maestro para pedirleque mepase - Si algn alumno lo solicita,con gusto le ayudo a estudiar, aclarar dudas y tareas, todo antesdelosexmenes,nodespusnipormedios ajenos a lo acadmico. Excusascomo:Pseme,nadalecuesta,me pasunaccidenteotragedia,noleentiendoala clase,noocupolamateria,estoyen4 oportunidad, etctera. UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN2 NDICE CAPTULO 1 - INTRODUCCIN ..................................................................................................................................................... 3 1.1 Antecedentes histricos ................................................................................................................................................................................ 3 1.2 Origen y desarrollo de la robtica ............................................................................................................................................................... 3 1.3 Definicin y clasificacin de robots ............................................................................................................................................................ 3 Robots manipuladores ........................................................................................................................................................................................ 3 Robots mviles.................................................................................................................................................................................................... 4 CAPTULO 2 MORFOLOGA ROBOTS ....................................................................................................................................... 5 2.1 Efector o herramienta final .......................................................................................................................................................................... 5 Sujecin .............................................................................................................................................................................................................. 5 Herramientas de transformacin ........................................................................................................................................................................ 5 2.2 Estructura mecnica del robot manipulador ............................................................................................................................................. 6 Tipos de articulaciones ....................................................................................................................................................................................... 6 Estructuras o configuraciones clsicas ................................................................................................................................................................ 6 2.3 Actuadores en robots .................................................................................................................................................................................... 8 Motores de CD ................................................................................................................................................................................................... 9 Motores de pasos ................................................................................................................................................................................................ 9 2.4 Transmisiones y reductores ......................................................................................................................................................................... 9 Transmisiones. ................................................................................................................................................................................................... 9 Reductores. ....................................................................................................................................................................................................... 10 2.5 Sistema de control e inteligencia ............................................................................................................................................................... 10 2.6 Sensores internos ......................................................................................................................................................................................... 11 CAPTULO 3 CONTROL CINEMTICO................................................................................................................................... 12 3.1 Introduccin y conceptos ........................................................................................................................................................................... 12 3.2 Modelo cinemtico directo ........................................................................................................................................................................ 12 Modelo cinemtico directo planar .................................................................................................................................................................... 12 Modelo cinemtico directo espacial .................................................................................................................................................................. 14 3.3 Modelo cinemtico inverso ........................................................................................................................................................................ 15 3.4 Modelo cinemtico de velocidad .............................................................................................................................................................. 17 CAPTULO 4 MODELO DINMICO.......................................................................................................................................... 18 4.1 Introduccin y conceptos ........................................................................................................................................................................... 18 4.2 Formulacin de Euler-Lagrange ............................................................................................................................................................... 18 CAPTULO 5 PROPIEDADES Y ESTABILIDAD .................................................................................................................... 23 5.1 Propiedades del modelo dinmico de robots manipuladores ............................................................................................................... 23 Matriz de inercia .............................................................................................................................................................................................. 23 Matriz de fuerzas centrpetas y de Coriolis........................................................................................................................................................ 23 Vector de gravedad ........................................................................................................................................................................................... 24 Linealidad en los parmetros ........................................................................................................................................................................... 24 Potencia del robot ............................................................................................................................................................................................. 24 Energa del robot .............................................................................................................................................................................................. 25 5.2 Estabilidad del robot manipulador ........................................................................................................................................................... 25 Puntos de equilibrio del robot ........................................................................................................................................................................... 25 Estabilidad en el sentido de Lyapunov ............................................................................................................................................................. 26 CAPTULO 6 CONTROL DE POSICIN ................................................................................................................................... 31 6.1 Introduccin ................................................................................................................................................................................................. 31 6.2 Diseo de control de posicin ................................................................................................................................................................... 32 6.3 Control PD y control proporcional con retroalimentacin de velocidad ........................................................................................... 33 6.4 Control PD con compensacin de gravedad ........................................................................................................................................... 35 6.5 Control PD con compensacin precalculada de gravedad ................................................................................................................... 36 6.6 Control PID.................................................................................................................................................................................................. 37 CAPTULO 7 CONTROL DE MOVIMIENTO .......................................................................................................................... 39 7.1 Introduccin ................................................................................................................................................................................................. 39 7.2 Diseo de control de movimiento............................................................................................................................................................. 39 APNDICE PRELIMINARES MATEMTICOS ...................................................................................................................... 41 A.1 Formulario de identidades trigonomtricas ........................................................................................................................................... 41 A.2 Tabla de clculo diferencial ...................................................................................................................................................................... 41 A.3 Anlisis vectorial planar y espacial .......................................................................................................................................................... 41 A.4 lgebra lineal .............................................................................................................................................................................................. 41 UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN3 CAPTULO 1 - INTRODUCCIN 1.1 Antecedentes histricos Desde la antigedad el hombre ha sentido la fascinacin por mquinas que imitan la figura y movimientos de seres animados. Creando artesanalmente autmatas, desde el mundo griego, pasando por las sociedades francesaysuizadelsigloXVIII,yhastaelsigloXXconinteresanteseingeniososdispositivosmecnicos para el control automtico de movimientos. El trmino robot apareci por primera vez en 1921, en la obra teatral Rossums Universal Robots del escritor KarelCapek(1890-1938),derivadodelapalabrachecarobotaquesignificafuerzadetrabajoo servidumbre. Se representa trabajadores autmatas. De la misma manera, el cientfico y escritor de ciencia ficcin ruso Isaac Asimov, utiliz la palabra robtica en las obras Runaround y I robot en los 50s. Tambin fue autor de las leyes de la robtica. 1.2 Origen y desarrollo de la robtica Luegodemuchosresultadosenotrasdisciplinascomoelectrnica,mquinas-herramientas, servomecanismosycomputacindigital,sedieronlasbasesparaqueaparecieranlosrobots.Tantolos robots industriales, los mviles y aquellos con apariencia de seres vivos. En1954,elingenieronorteamericanoGeorgeDevolpatentelprimerrobotindustrial,elcualeraun dispositivo que combinaba la articulacin de un teleoperador con el eje servocontrolado de una mquina de control numrico y serva para la transferencia de piezas en forma programada. En1968J.F.EngelbergervisitJapnypocomstardesefirmaronacuerdosconKawasakiparala construccindeciertotipode robots.AventajandoJapnenbrevealos EstadosUnidosgraciasaNissan, que form la primera asociacin robtica del mundo, la Asociacin de Robtica Industrial de Japn (JIRA) en 1972. Laconfiguracindelosprimerosrobotsrespondaalasdenominadasconfiguracionesesfricay antropomrfica, de uso en la manipulacin. En 1982, el profesor Makino de la Universidad Yamanashi de Japn, desarrolla el concepto de robot SCARA (Selective Compliance Assembly Robot Arm) el cual es un robotconunnmeroreducidoengradosdelibertad(3o4),uncostolimitadoyunaconfiguracin orientada al ensamblado de piezas. 1.3 Definicin y clasificacin de robots Robots manipuladores No existe una definicin nica de robot, sin embargo un robot es una entidad electromecnica artificial que, por su apariencia o movimientos, ofrece la sensacin de tener un propsito o decisin propia que le permite moverse,percibirymanipularsuentorno,mostraruncomportamientointeligente.Losrobotssuelen clasificarse como robots manipuladores y robots mviles. Segn la ISO y la RIA (Robot Institute of America), un robot industrial es un manipulador multifuncional reprogramablediseadoparamovermateriales,piezas,herramientasodispositivosespeciales,atravsde movimientos variables programados para la ejecucin de diversas tareas. En general, todas las definiciones UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN4 coincidenenlacapacidaddereprogramacinylamultifuncionalidad,inclusotomardecisionessegnla informacin procedente de su alrededor. Los robots manipuladores son comnmente empleados en tareas repetitivas de alta precisin, as comoen actividadespeligrosasparaelserhumano.Deacuerdoalgradodeautonoma,losrobotsmanipuladores pueden clasificarse en: Teleoperados.Enestosrobots,lastareasdepercepcindelentorno,planificacinymanipulacinson realizadas por humanos. Robots de funcionamiento repetitivo.Son la mayora delos que se emplean encadenasde produccin industrial. Trabajan en tareas predecibles e invariantes, con limitada percepcin del entorno, por lo que no toma en cuenta posibles alteraciones. Son precisos, de alta repetitividad y relativamente rpidos. Autnomosointeligentes.Sonmquinascapacesdepercibir,modelarelentorno,planificaryactuar paraalcanzarobjetivosconunmnimodeintervencinosupervisinhumana.Puedentrabajaren entornos poco estructurados y dinmicos, realizando acciones en respuesta a contingencias presentadas. Robots mviles El desarrollo de robots mviles responde a la necesidad de extender elcampo deaccin dela robtica. Se tratadequeelrobottengalasuficienteinteligenciaparareaccionarytomardecisionesbasndoseen observaciones de su entorno, probablemente desconocido. Laautonomadeunrobotmvilsebasaenelsistemadenavegacinautomtica.Enestossistemasse incluyen tareas de planificacin (de la misin y de la trayectoria), percepcin y control. Los robots mviles se pueden clasificar de la siguiente manera: Adems, los robots que parecen humanos se clasifican como: Humanoide: El robot humanoide es aquel que simplemente imitar los actos y movimientos de un humano, pero no necesariamente parece hombre o mujer, sino una simple marioneta humana animatrnica. Androide: Del origen etimolgico griego andro (hombre) y eides (forma), es decir, humanoide de fisionoma y apariencia masculina, que adems imita algunos aspectos de su conducta de manera autnoma. Ginoide: Del origen etimolgico griego Ginio (mujer) y eides (forma), es decir, humanoide de fisionoma y apariencia femenina, que adems imita algunos aspectos de su conducta de manera autnoma (Fembot). Cyborg: Se forma a partir de las palabras inglesas Cybernetics y Organism (organismo ciberntico) y se utiliza paradesignarunacriaturaparteorgnicayparterobot,generalmenteconlaintencindemejorarlas capacidades del organismo utilizando dispositivos tecnolgicos. Robotsterrestres Robotsacuticos Robots areos Robots con ruedas Robots con patas Robots marinos Robots submarinos UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN5 CAPTULO 2 MORFOLOGA ROBOTS Lamorfologadelrobotsignificaelestudiodelaforma,estructura,configuracinycomponentesdelos diferentestiposderobotsqueexisten.Elesquemabsicodeunrobotestintegradoporunaestructura mecnica, actuadores y transmisiones, sensores, efector o herramienta final y sistemas de control. 2.1 Efector o herramienta final Elefectorfinalrepresentalaherramientaespecialquepermiteaunrobotdeusogeneralrealizaruna aplicacinparticular.Losefectoresfinalespuedendividirseendoscategorasprincipales:Sujeciny transformacin. Sujecin Generalmentesonpinzasqueseutilizanparadesplazarunobjeto, normalmente la pieza de trabajo, y sujetarlo durante el ciclo de operacin y posteriormentecolocarloenunlugarapropiado.Hayunadiversidadde mtodosdesujecinquepuedenutilizarse,ademsdelosmtodos mecnicos obvios de agarrar la pieza entre dos o ms dedos. Estos mtodos suplementariosincluyenelempleodeganchos,ventosas,electroimanes, palas, etctera. Sistemas de sujecin para robots. Tipos de sujecinAccionamientoUso Pinza de presin -Des. Angular -Des. lineal Neumtico o elctrico Transporte y manipulacin de piezas sobre las que no import presionar. Pinza de engancheNeumtico o elctrico Piezas grandes dimensiones o sobre las que no se puede ejercer presin. Ventosas de vaciNeumtico Cuerpos con superficie lisa poco porosa y delicadas (cristal, plstico etc.) ElectroimnElctricoPiezas ferromagnticas Herramientas de transformacin Una herramienta se utilizara como efector final en aplicaciones en donde se exija al robot realizaralguna operacin en la pieza de trabajo. Estas aplicaciones incluyen la soldadura por puntos, la soldadura por arco, alapinturaporpulverizacinylasoperacionesdetaladro.Encadacaso,laherramientaparticularest unida a la mueca del robot para realizar la operacin. UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN6 Herramientas de transformacin para robots. Tipo de herramientaComentarios Electrodos de soldaduraSoplete oxiacetilnico Atornillador Fresa Pistola de pintura Can lser Can de agua a presin Dos electrodos que se cierran sobre la pieza de soldar Aportan el flujo de electrodo que se funde Suelen incluir la alimentacin de tornillos Para perfilar, eliminar rebabas, pulir, etc. Por pulverizacin de la pintura Para corte de materiales, soldadura o inspeccin Para corte de materiales ElPuntodeCentrodelaHerramientaoefectorfinal(ToolCenterPoint:TCP)se usa para referirseala posicin del punto focal de la herramienta del robot. Por ejemplo,elTCPeslapuntadeunsopleteoelectrodoparasoldar,tambinel punto en que una pinza sujeta una pieza. 2.2 Estructura mecnica del robot manipulador El sistema mecnico consiste en una estructura de mecanismos de posicionamiento y orientacin del efector final, incluyendo una base (fija en manipuladores y de locomocin en mviles). Los robots manipuladores son, esencialmente, brazos articulados. Es decir, una cadenaformadaporunconjuntodeeslabonesoelementosinterconectados mediantearticulaciones,lascualespermitenelmovimientorelativoentre eslabones consecutivos. El aumento del nmero de articulaciones aporta mayor maniobrabilidadperodificultaelproblemade control.Cadaunodelosmovimientos independientesquepuederealizarcada articulacin(derotacinotraslacin)sellama grado de libertad (gdl), stos son los que permiten posicionar y orientar en el espacio al efector final. Los robots industriales varan entre 4 y 6 gdl. Sin embargo, existen robots con ms gdl para aplicaciones especiales. Tipos de articulaciones Existen diferentes tipos de articulaciones, las ms utilizadas en robtica son las siguientes: La articulacin de rotacin tiene un grado de libertad de rotacin alrededor del eje de la articulacin. La articulacin de traslacin lineal tiene 1 gdl a lo largo del eje de la articulacin. En la articulacin cilndrica existen dos g.d.l.: Uno de rotacin y uno de traslacin. La articulacin planar tiene movimiento de traslacin en 2 direcciones del plano (2 gdl). La articulacin esfrica combina giros en tres direcciones rotacionales en el espacio (3 gdl). Estructuras o configuraciones clsicas LaubicacindelTCPseespecificaenalgnsistemacoordenado,fundamentalmentedadoporla configuracinmecnicadelrobot.Existenlassiguientesestructurasoconfiguracionesclsicasenlos manipuladores: UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN7 Cartesiano. Tiene 3 articulaciones traslacionales y la posicin del TCP se da en coordenadas cartesianas o rectangulares. Cilndrico.Tiene2articulacionestraslacionalesy1rotacional,laposicindelTCPsedaen coordenadas cilndricas. Esfrico. Tiene 2 articulaciones rotacionales y 1 traslacional, la posicin del TCP se da en coordenadas esfricas o polares. Angular.TienesloarticulacionesrotacionalesylaposicindelTCPsedaencoordenadasangulares relativasacadaeslabnconsecutivo.Lamayoradeestetiposeparecenalbrazohumanocontorso, hombro, codo y mueca. SCARA (Selective Compliance Assembly Robot Arms). Especial para montaje o ensamble en un plano. Tiene3articulacionesderotacinrespectoa2ejesparalelos,yunadetraslacinensentido perpendicular al plano. UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN8 El Espacio de Trabajo es el conjunto de puntos en el espacio que el TCP del efector final puede alcanzar,lo cualdependedelaestructuramecnica.Paraunrobotcartesiano(comounagra)elespaciodetrabajo podra ser un cubo, para los robots ms sofisticados los espacios podran ser de una forma esfrica. LaResolucinEspacial(precisin)eselincrementomspequeode movimientoenqueelrobotpuededividirsuespaciodetrabajo.sta dependededosfactores:lossistemasdecontroldelmovimiento,ylas inexactitudesolimitacionesdelosactuadoresydelaestructura mecnica.Esmsfcildeconceptuarestosfactorescuandoserefierea un grado de libertad. 2.3 Actuadores en robots Losactuadoressondispositivosquegeneranlasfuerzasoparesnecesariosparamoveroanimarala estructuramecnica.Estospuedenser,segnlaenergaqueconsuman,detiponeumtico,hidrulicoo elctrico. Laenerganeumticadotaasusactuadoresdeunagranvelocidadde respuesta, junto a un bajo coste, pero de precisin limitada. Como cilindros desimpleodobleefectoymotoresneumticos(dealetasrotativaso pistones axiales). Losactuadoresdetipohidrulicosedestinanatareasquerequierenuna gran potencia y grandes capacidades de carga. Existen, como en el caso de los neumticos, actuadores de tipo cilindro y del tipo de motores de aletas y pistones. El grado de compresibilidad de los aceites usados es considerablemente menor al del aire, por lo que la precisin obtenida en este caso es mayor. Por motivos similares, es ms fcil en ellos realizar uncontrolcontinuo,pudiendoposicionarsuejeentodounrangodevalores(haciendousode servocontrol)connotableprecisin.Presentadesventajasporfugasdeaceitedebidasalasexcesivas presiones,ademsrequiereequiposdefiltradodepartculas,eliminacindeaire,sistemasde refrigeracin y unidades de control de distribucin. Electromecnicos, como motores elctricos, que cubren la gama de media y baja potencia, acaparan el campo de la Robtica, por su gran precisin en el control de su movimiento y las ventajas inherentes al manejodesusvariableselctricas.Entrelosmotoreselctricosutilizadosenrobticapodemos mencionarlosmotoresdecorrientedirectaservocontrolados,motorespasoapasoyotrosactuadores electromecnicos sin escobillas. UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN9 Motores de CD LosmotoresdeCDestnconstituidospordosdevanadosinternos: inductorodevanadodeexcitacin,estsituadoenelestatorycreaun campomagnticodedireccinfija,denominadoexcitacin.El inducido, situado en el rotor, hace girar al mismo debido a la fuerza de Lorentz que aparece como combinacin de la corriente circulante por l ydelcampomagnticodeexcitacin.Alaumentarlatensindel inducidoaumentalavelocidaddelamquina.Sielmotorest alimentadoatensinconstante,sepuedeaumentarlavelocidad disminuyendo el flujo de excitacin. Pero cuanto ms dbil sea el flujo, menorserelparmotor quesepuededesarrollarparaunaintensidaddeinducido constante,mientrasquelatensindelinducidose utilizapara controlarlavelocidaddegiro.Losmotorescontroladospor inducido son los que se usa para accionamiento en robots. Motores de pasos Existen varios tipos de motores paso a paso, uno de ellos es el de imanes permanentes. El rotor, que posee una polarizacin magnticaconstante, girapara orientar sus polos deacuerdoal campo magnticocreado por las fases del estator. Puede ser unipolar o bipolar. En los motores de pasos, la seal de control son trenes de pulsos que van actuando rotativamente sobre una seriedeelectroimanesdispuestosenelestator.Porcadapulsorecibido,elrotordelmotorgiraunpaso determinado por un nmero discreto de grados. Suprincipalventajaconrespectoalosservomotorestradicionalesessucapacidadparaasegurarun posicionamientosimpleyexacto.Sonmuyligeros,fiables,yfcilesdecontrolarenlazoabierto,sinla necesidad de sensores de realimentacin. 2.4 Transmisiones y reductores Las transmisiones son los elementos encargados de transmitir el movimiento desde los actuadores hasta las articulaciones.Se incluirn junto conlas transmisiones a los reductores,encargados de adaptar elpar y la velocidad de la salida del actuador a los valores adecuados para el movimiento de los elementos del robot. Transmisiones. Dadoqueunrobotmuevesuextremocon aceleracioneselevadas,esdegranimportancia reduciralmximosumomentodeinercia.Del mismomodo,losparesestticosquedeben vencerlosactuadoresdependendirectamentede ladistanciadelasmasasalactuador.Porestos motivosseprocuraquelosactuadores,porlo general pesados,estnlomscercaposible dela base del robot. Esta circunstancia obliga a utilizar sistemasdetransmisinquetrasladenel movimientohastalasarticulaciones,especialmentealassituadasenelextremodelrobot.Asimismo,las UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN10 transmisionespuedenserutilizadasparaconvertirmovimientorotacionalentraslacionaloviceversa.Un buen sistema de transmisin debe cumplir con caractersticas bsicas: Tener un tamao y peso reducido, no presentarjuegosuholgurasconsiderables,debentenergranrendimiento.Lossistemasmshabituales incluyen engranajes, bandas o correas dentadas y cadenas. Reductores. Existendeterminadossistemasusadosdemanerapreferenteenlosrobotsindustriales.Serequieren reductores de bajo peso, reducido tamao, bajo rozamiento y que al mismo tiempo sean capaces de realizar reduccin de velocidad ngular y un aumento elevado de su par o torque. Lacapacidaddecargaeselpeso(enkgfolb)quepuedetransportarlapinzadelmanipulador.Esuna caractersticamuyimportanteparalaseleccindeunrobotsegnlaaplicacindeseada.Lacapacidadde carga mxima es un dato proporcionado por el fabricante. 2.5 Sistema de control e inteligencia Paraqueelrobotpuedarealizardeterminadosobjetivosotareas,susistemadecontroleinteligencia funciona en una estructura jerrquica: Enel nivel inferior se emplean servomecanismos y controladores convencionales con retroalimentacin de posicinyvelocidadparagenerarlassealesdecontrolquegaranticenelseguimientooregulacinenlas posicionesotrayectoriasdereferencia.Losparmetrosdelcontroladornormalmentesonfijosaunque varensignificativamentelascondicionesdetrabajo.Elcontroladorrequieredelainformacindela referencia y de las variables reales medidas. El segundo nivel se ocupa de la generacin de las posiciones de referencia, es decir, los puntos en el espacio de trabajo que se desean que alcance el efector final en una operacin punto por punto, o de las trayectorias de referencia, es decir el movimiento continuo que se desea que describa el efector final cuando se desplaza deunaposicinaotra.Elgeneradordetrayectoriassuministradichasreferenciasaloscontroladoresdel primer nivel. Losnivelessuperioresseocupandelacomunicacinconelusuario,interpretacindelosprogramas, percepcinsensorialdelentorno,tomadedecisionesyplanificacinparaqueentreenaccinelsegundo nivel. UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN11 2.6 Sensores internos Loscontroladoresnormalmenterequierenlaretroalimentacin(lazocerrado)delainformacindelas variables internas del robot (posiciones, velocidades, fuerzas) para que funcionen adecuadamente los niveles decontroleinteligencia.Enesteaspectosehanintegradolosprogresosynuevastecnologasdesensores quelesuministrenfielesmedicionesdelasvariables.Lasvariablesdeposicinyvelocidaddelas articulaciones las consigue con sus sensores internos, mientras que las variables que se refieren a su entorno las adquiere con sensores externos permitindole interaccionar de manera flexible. Tipos de sensores en robots: De presencia: De contacto:Interruptor mecnico Sin contacto: Proximidad inductivo Proximidad capacitivo Optoelectrnicos De ultrasonido Posicin: Analgicos: Potencimetros Sincronizadores y Reslvers Transformador diferencial lineal variable (LVDT) Digitales: Encoders absolutos Encoders incremntales Optoelectrnicos Girscopos Velocidad Indirectos:Los de posicin calculando la razn de cambio en el tiempo Directos:TacmetrosDe efecto Hall UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN12 CAPTULO 3 CONTROL CINEMTICO 3.1 Introduccin y conceptos Paraqueunrobotejecuteunatarea especficaesnecesarioestablecery controlar la posicin y orientacin de su efectorfinalenelespaciodetrabajo. PuestoquelaposicindelTCPdel efectorfinalsedeterminaen coordenadascartesianasysealcanza medianteelmovimientodelasarticulacionesdelrobot,esnecesarioencontrarlarelacinentrelas coordenadascartesianasdelTCPylasposicionesarticularesqideloseslabonesenelsistemacoordinado correspondiente a la configuracin geomtrica del robot. El caso en que se conocen las posiciones articulares qi de cada eslabn y gracias a ello se calcula la posicin y orientacin del TCP se conoce como modelo cinemtico directo. ste tiene solucin analtica nica, y puede resolverseconmtodosgeomtricosoconlgebralineal.Porotraparte,cuandoseconocelaposiciny orientacin deseada del TCP en coordenadas cartesianas y se utiliza para calcular las posiciones qi de cada eslabn,seconocecomomodelocinemticoinverso.Esteltimoproblema,puederesolverseanalticamente sloencasossencillosypuedetenermltiplessoluciones.Enlamayoradeloscasosseresuelvecon algoritmos computacionales. Mediante los modelos cinemticos tambin es posible calcular las velocidades articulares y del TCP, sin embargo no analiza los efectos de inercia ni fuerzas que producen movimiento. 3.2 Modelo cinemtico directo LaobtencindelmodelocinemticodirectoconsisteenexpresarlaposicinyorientacindelTCPen coordenadas rectangulares en funcin de las n posiciones articulares qi de cada eslabn1. Es decir, ( ) e q = (1) donde e es el TCP del efector final en coordenadas cartesianas y la orientacin del efector es , nq eselvectordenposicionesarticularesqiconunaregindeoperacin,yesunafuncinque correspondealmodelocinemticodirecto.Elespaciodetrabajoeselconjuntodetodoslospuntos alcanzados por el TCP para los posibles qi, { } | ( ) ,nWS e e q q = = (2) Modelo cinemtico directo planar En el caso planar, el modelo es [ ]2 1TTe e xye x y + ( = , 2:n y 2WS . De los siguientes robots, obtenga a) el modelo cinemtico directo y b) el espacio de trabajo: 1 En este curso lo resolveremos por mtodos geomtricos. UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINDR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN 1.Pndulo simple planar con 1 gdl Solucin: a) cos( )( ) sin( )eex R qy q R qq (( ((= = (( (( b) ( ) {2 2 2( , ) |e e e eWS x y x y R = + = 2.Robot angular planar con 2 gdl. Solucin: a) 1 1 2 1 21 1 2 1 21 2cos( ) cos( )sin( ) sin( )eex l q l q qy l q l q qq q + +(( ((= + + (( (( + b) ( ) {2 2 2 2( , ) | ( ) , ( )e e e eWS x y x y l l l l = + + 3.Robot angular planar con 3 gdl. Solucin: a) 1 1 2 1 2 3 1 2 31 1 2 1 2 3 1 2 3cos( ) cos( ) cos( )sin( ) sin( ) sin( )eex l q l q q l q q qy l q l q q l q q qq q q + + + + +(( ((= + + + + + (( (( b) ( ) {2 2 2 2( , ) | (max(0, )) , ( )e e e eWS x y x y l l l l l l = + + + 4.Robot planar con 3 gdl, 2 rotacionales y 1 prismtico. Solucin: a) 1 3 1 21 3 1 21 2cos( ) cos( )sin( ) sin( )eex d q l q qy d q l q qq q + +(( ((= + + (( (( + b) ( ) {2 2 2 2( , ) | (max(0, )) , ( )e e e eWS x y x y d l d l = + + DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACIN planar con 1 gdlq = . cos( )( ) sin( ) (( (( (( (( ) }2 2 2WS x y x y R = + =obot angular planar con 2 gdl. 1 1 2 1 21 1 2 1 21 2cos( ) cos( )sin( ) sin( )x l q l q qy l q l q q+ +(( ((= + + (( (( ) }2 2 2 21 2 1 2( , ) | ( ) , ( ) WS x y x y l l l l( = + + gdl. 1 1 2 1 2 3 1 2 31 1 2 1 2 3 1 2 31 2 3cos( ) cos( ) cos( )sin( ) sin( ) sin( )x l q l q q l q q qy l q l q q l q q qq q q+ + + + +(( ((= + + + + + (( (( + + ) }2 2 2 21 2 3 1 2 3( , ) | (max(0, )) , ( ) WS x y x y l l l l l l( = + + + Robot planar con 3 gdl, 2 rotacionales y 1 prismtico. 1 3 1 21 3 1 21 2cos( ) cos( )sin( ) sin( )x d q l q qy d q l q q+ +(( ((= + + (( (( ) }2 2 2 2min 3 max 3( , ) | (max(0, )) , ( ) WS x y x y d l d l( = + + CONTROL DE ROBOTS 13 UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN14 5.Robot planar con 2 gdl, 1 rotacionales y 1 prismtico. Modelo cinemtico directo espacial En el caso 3D,[ ]3 2e e e xy ze x y z + ( = , 5:n y 3WS . Obtenga el modelo cinemtico directo de los siguientes robots: 2. Robot Esfrico 1. Robot Cilndrico 3. Robot Angular4. Robot SCARA UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINDR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN 3.3 Modelo cinemtico inverso Laobtencindelmodelocinemticoinversoconsisteenexpresarlas eslabn en funcin de la posicin y orientacin del TCP dado en coordenadas rectangularesdondeeeselTCPdelefectorfinalencoordenadascartesianasy vector de n posiciones articulares los modelos inversos se obtienen con algoritmos computacionales. Obtenga el modelo cinemtico inverso d 1.Pndulo simple planar con 1 gdl Solucin: Debe cumplirse que 2 2 2e ex y R + =1 1( ) tan ( )e eq e y x = = 2.Robot angular planar con 2 gdl. a)Slo conociendo TCP, solucin12 2 22 2 21 2 1 22 2 21 1 2tan2 cos2 coseee eyxr x yl l l l rr l rl l | |= |\ = ++ =+ = 2 2 2 21 1112 2 2 221 1 21 2tan cos2180 cos2e e eey x y l lxql x yql l x yl l ( | || | + + (| | | ( (\ \ =( ( ( | | + (|\ b)Conociendo TCP y orientacin2 12 1cos( )sin( )eex l xy l y((=(( Debe cumplirse 11 1 12 1tan( ) q y xq q (( =((

2 En este curso lo resolveremos por mtodos geomtricos.DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACIN Laobtencindelmodelocinemticoinversoconsisteenexpresarlasnposicionesarticulares eslabn en funcin de la posicin y orientacin del TCP dado en coordenadas rectangulares1( ) q e= eselTCPdelefectorfinalencoordenadascartesianasylaorientacinposiciones articulares qi. Debido a la complejidad para resolverlo analticamente, la mayora de los modelos inversos se obtienen con algoritmos computacionales. Obtenga el modelo cinemtico inverso de los siguientes mecanismos de robots: Pndulo simple planar con 1 gdl,q = , slo conociendo TCP. 2 2 2 Robot angular planar con 2 gdl. olucin 1: 2 2 2 21 22 212 2 2 21 222e e ee ee ey x y l ll x yl l x yl l ( | |+ + (| | (+\ ( ( | | + (|\ Ejercicio: Resolver solucin 2 (otra posicin).onociendo TCP y orientacin: ebe cumplirse 2 2 21 1 1x y l + =para que exista solucin.En este curso lo resolveremos por mtodos geomtricos. CONTROL DE ROBOTS 15 posicionesarticularesqidecada eslabn en funcin de la posicin y orientacin del TCP dado en coordenadas rectangulares2. Es decir, (3) orientacindelefectores ,qesel Debido a la complejidad para resolverlo analticamente, la mayora de Ejercicio: Resolver solucin 2 (otra posicin). para que exista solucin. UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINDR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN 3.Robot angular planar con 3 gdl. Solucin: 33cos( )sin( )w ew ex x ly y l((= (( 12 2 22 2 21 2 1 22 2 21 1 2tan2 cos2 coswww wyxr x yl l l l rr l rl l | |= |\ = ++ =+ = 2 2 2 21 1112 2 2 21 1 221 231 2tan cos2180 cos2w w wwy x y l lxl x yql l x yql lqq q ( | || | + + (| | | (\ \ ( ( ( | | + ( = (| (\ ( ( ( ( ( 4.Robot angular 3D con 3 gdl RRR Solucin: 2 2 22 2 2 22 3 2 3 33 31 12 21 3 32 3 32 cos(180 )cos( ) cos(180 )tan tansin( )tancos( )x yzz zx yr p pr p l l l l qq qp pBrp pl qAl l q = ++ = + = | || | |= = | |\ +\ | |= |+\ 111 122 232 2 2 2 212 3tantan tancos2yxzx yx y zppqpqp pqp p p l ll l (| | ( | (\ ( (| | ( ( |= ( ( |+ (\ ( (| | + + ( | ( | ( \ DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACIN Robot angular planar con 3 gdl. 2 2 2 21 22 212 2 2 21 21 222w w ww ww wy x y l ll x yl l x yl l ( | |+ + (| | (+\ ( ( | | + (|\ ( ( ( ( Robot angular 3D con 3 gdl RRR, origen en XYZ0. 2 3 2 3 32 22 cos(180 )x yr p l l l l qp p+ = + | | | |\ 1 1 3 32 3 32 2 2 2 22 32 3sin( )tan tancos( )2yxx y zppl ql l qp p p l ll l (| | ( | (\ ( ( | | (|+\ ( (| | + + ( | ( | ( \

CONTROL DE ROBOTS 16 UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN17 3.4 Modelo cinemtico de velocidad La obtencin del modelo cinemtico de velocidad consiste en expresar la velocidad del TCP en coordenadas rectangulares en funcin de las n velocidades articulares de cada eslabn. Es decir, ( )ede d qv e qdt dt q = = = = (4) dondeveeslavelocidaddelTCPencoordenadasrectangulares, nq eselvectordenvelocidades articulares y 1 1 1 2 12 1 2 2 23 1 3 2 3nnnq q qJ q q qqq q q ( (= = ( ( se denomina Jacobiano de. Obtenga el modelo cinemtico de velocidad de los mecanismos de robots anteriores. Ejemplo:La solucin del robot angular planar de 2 gdl es 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 22 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2sin( ) sin( ) sin( )cos( ) cos( ) cos( )q q l q l q q l q qJq q l q l q q l q q + +((= = (( + + + , entonces ev e Jq = = . Ejercicios: SimuleenMatlab(uotrolenguaje)todoslosmodeloscinemticosobtenidosenlosejerciciosdeeste captulo.Ilustregrficamentelasposicionesyvelocidadesdecadamecanismorobtico,proponga arbitrariamente los valores de las longitudes de eslabones. UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN18 CAPTULO 4 MODELO DINMICO 4.1 Introduccin y conceptos La dinmica seocupade larelacinentre las fuerzas que actan sobre uncuerpoyelmovimientoqueenlseoriginacomoresultadodelas mismas.Porlotanto,elmodelodinmicodeunrobotesunconjunto deexpresionesmatemticasquetieneporobjetoconocerlarelacin entre el movimiento del robot, dado por las posiciones qi y velocidades dqi/dtarticulares,ylasfuerzasoparesdetorsin i aplicadosenlas articulaciones. Elmodelodinmicodirectoexpresalaposicinyvelocidaddelas variablesarticularesdelrobotenfuncindelasfuerzasypares aplicadosencadaarticulacin,( ,) ( )dq q f = .Elmodelodinmico inversoexpresalasfuerzasyparesrequeridosenlasarticulacionesenfuncindelaposicinyvelocidad alcanzada en cada articulacin del robot,( ,)ifq q = . Losmodelosdinmicosdeundeterminadorobot,oengeneraldeunmecanismo,puedenobtenerse mediante dos formulaciones o procedimientos: Newton-Euler o Euler-Lagrange. LaformulacindeNewton-Eulersebasafundamentalmenteenelplanteamientodelequilibriodefuerzas establecidoenlasegundaleydeNewtonyensuequivalenterotacional,laleydeEuler.Seobtienenlas ecuacionesdinmicasapartirdelplanteamientodelequilibriodefuerzasyparesqueintervienenenel robot. La formulacin Euler-Lagrange es ms sistemtica y elegante matemticamente que la newtoniana. Se basa enlaleydelaconservacindelaenerga,msprecisamente,enelbalancedetransferenciadeenerga potencial y cintica en el robot. 4.2 Formulacin de Euler-Lagrange La formulacin Euler-Lagrange permite la obtencin del modelo dinmicoinverso( ,)ifq q = mediante el siguiente procedimiento: 1.Ubicar un marco de referencia cartesiano para el robot. 2.Expresar la posicin de los centros de masa o gravedad mi de cada eslabn en coordenadas cartesianas referidas al origen, en funcin de las n posiciones articulares qi: 1 2 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., )Ti ix n iy n iz nr r q q q r q q q r q q q( = , i=1,2,,n.(5) 3.Expresarlavelocidadvideloscentrosdemasaogravedadmidecadaeslabnencoordenadas cartesianas en funcin de las posiciones y velocidades articulares: UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINDR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN 1 2( , ,..., )i n ii i ix iy izdr q q q rv r v v vdt q dt= = = = 4.Calcular la energa potencial Udonde( ) ( )i i iUq m gh q =es la energa potencial de cada centro de masaaltura del centro de masa. 5.Calcular la energa cintica K total del sistemadonde 212( ,)i i iK q q m v = es la energa cintica de cada centro de masade la velocidad del centro de masaEntonces la energa cintica tambin se escribe como 6.Calcular el Lagrangiano L, que se define como la 7.Desarrollar las ecuaciones EulerEl modelo dinmico inversofq q =desarrolladas. Ejercicios: Obtenga el modelo dinmico inverso de a) DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACIN ( , ,..., ) Ti n ii i ix iy izdr q q q r dqv r v v vdt q dt ( = = = = , i=1,2,,n.U total del sistema: 1( ) ( )nT iiU q U q== es la energa potencial de cada centro de masa y( ) ( , ,..., )i iz nh q r q q q =total del sistema: 1( ,) ( ,)nT iiK q q K q q== es la energa cintica de cada centro de masa, i ix iy izv v v v = + +de la velocidad del centro de masa, y 22 2 2 Ti ix iy iz i i i iv v v v v v v v = + + = = iel producto punto de la velocidadEntonces la energa cintica tambin se escribe como 21 1 12 2 2( ,)i i i i i i i i iK q q m v mv v mv v = = = , que se define como la diferencia entre las energas cintica y potencial( ,) ( ,) ( )T TL q q K q q U q = Euler-Lagrange para i=1,2,,n: ( ,) ( ,)ii id L q q L q qdt q q| | = | \ ( ,)ifq qes el vector cuyas componentes son las inverso de los siguientes robots: b)c) CONTROL DE ROBOTS 19 .(6) (7) 1 2( ) ( , ,..., )i iz nh q r q q q =es la (8) 2 2 2i ix iy izv v v v = + +es la magnitud el producto punto de la velocidad. 1 1 12 2 2Ti i i i i i i i iK q q m v mv v mv v = = = i . diferencia entre las energas cintica y potencial: (9) (10) las n ecuaciones (10) UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN20 c)Manipulador angular de 3 eslabones. Suponga que el centro de gravedad est en el extremo de cada eslabn, entonces: Para el eslabn 1, ,por la identidad trigonomtrica 1. Para el eslabn 2, 2 2 Por la identidad trigonomtrica 12cos cos 12cos cos Resulta que 2 2 Para el eslabn 3, 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 La energa potencial total es M1 M1 M1 j i UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN21 , donde la energa de cada eslabn es dada por La energa cintica de cada eslabn se calcula como 12 12 12 12 2 cos 12 12 2 cos 2 cos 2cos La energa cintica total es 1212 12 cos 12 1212 cos cos cos Entonces, L=K-U Desarrollar las ecuaciones (10). UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN22 d)e) f)g) h) i) SimuleenMatlabelcomportamientomecnicodecadarobotenbaseasumodelodinmicoinverso, ilustrando grficamente las trayectorias de posiciones y velocidades articulares. Suponga el torque aplicado nulo (=0), elija valores de parmetros (masas, longitudes), posiciones y velocidades iniciales arbitrarias. UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN23 CAPTULO 5 PROPIEDADES Y ESTABILIDAD Las n ecuaciones del modelo dinmico inverso (10) de un robot se reescribe frecuentemente en funcin de la posicin, velocidad y aceleracin de las articulaciones en la forma compacta ( ) ( ,) ( ) M q q C q q q G q + + = (11) donde nqes la posicin, nq la velocidad, nq la aceleracin,( )n nM qla matriz de inercia y es simtrica y definida positiva,( ,)n nC q q es una matriz de fuerzas centrpetas y de Coriolis, y ( )nG qes el vector de fuerzas o pares gravitacionales. El modelo dinmico (11) representa la base matemtica para el anlisis de fenmenos fsicos de la estructura mecnica de un manipulador en cadena cinemtica abierta con eslabones rgidos. Ejercicios: Obtenga la forma compacta (11) del modelo dinmico inverso de cada robot del captulo anterior. 5.1 Propiedades del modelo dinmico de robots manipuladores Elmodelodinmico(11)esunaecuacindiferencialcontinua,multivariablefuertementeacoplada,no lineal.Noobstante,tienevariaspropiedadesquesonexplotadasparafacilitarelanlisisydiseode sistemas de control del robot, algunas de estas se describen a continuacin. Matriz de inercia La matriz de inercia M(q) es una matriz simtrica( ) ( )TM q M q = , definida positiva M(q)>0. La matriz inversa M(q)-1 y tambin es simtrica M(q)-1= M(q)-T y definida positiva M(q)-T>0. La matriz de inercia es tal que satisface 12( ,) ( )TK q q q M q q = . Ejercicios: Verificar estas propiedades para la forma compacta del modelo de cada robot del captulo anterior. Matriz de fuerzas centrpetas y de Coriolis Lavector( ,) C q q q representalosefectosdelasfuerzascentrpetasydeCoriolis.Lasfuerzascentrpetas sonradialesconsentidocontrarioalasfuerzascentrfugas.LasfuerzasdeCoriolisrepresentanuna desviacin del movimiento de traslacin debido a su componente de rotacin. Si el vector q=0, entonces la matriz 0( ,) ( , 0) 0n nqC q q C q== = para todo nq . Lamatrizresultante( ) 2( ,) M q C q q( esantisimtrica,esdecir ( ) 2( ,) ( ) 2( ,)TM q C q q M q C q q(( = LaderivadatemporaldelamatrizdeinerciaylamatrizdeCoriolissatisfacen ( ) ( ,) ( ,)TM q C q q C q q = + . 12( ) ( ,) 0Tq M q C q q q( = Ejercicios: Verificar estas propiedades para la forma compacta del modelo de cada robot del captulo anterior. UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN24 Vector de gravedad Seobtienecomoelgradientedelaenergapotencial,esdecir,( ) ( ) G q U q q = .Porlotanto,para manipuladoresquenotienenmovimientoenelejevertical,sloenelplanohorizontal,elvectorde pares gravitacionales es nulo( ) 0 G q = , la energa potencial U(q) es constante. ElvectordeparesgravitacionalesG(q)ydevelocidadarticularsatisfacen 0( ( )) ( ) ( ( )) (0)tTG q q d U q t U = . Ejercicios: Verificar estas propiedades para la forma compacta del modelo de cada robot del captulo anterior. Linealidad en los parmetros Losrobotsmanipuladorespertenecenaunaclasedesistemasmecnicosnolinealesconunaestructura dinmicabiendefinida,detalmaneraquesumodelodinmicopresentalapropiedaddelinealidadcon respectoalosparmetrosdelrobotquedependendemasas,momentosdeinercia,centrosdemasay coeficientesdefriccin.Estapropiedadtieneunaenormerepercusinenesquemasdeidentificacin paramtrica y en controladores del tipo adaptable de robots manipuladores. Las energas cintica y potencial pueden escribirse como funciones lineal de los parmetros dinmicos: 12( ,) ( ) ( ,)T TT K KK q q q M q q q q = = ( ) ( )TT U UU q q =donde 1( ,)pK q q y 2( )pU q sonvectoresquedependendeposicionesyvelocidadesarticulares, 1pK y 2pU son vectores que contienen los parmetros del manipulador tales como masas, centros degravedad,momentosdeinercia.Puestoque( ,) ( ,) ( ) ( ,) ( )T TT T K K U UL q q K q q U q q q q = = resulta que( ,) ( ,)TLL q q q q = , con( ,) ( ) ,T TT T T TL K U K Uq q q (( = = . Entonces el modelo dinmico es lineal en los parmetros , es decir (,,)( ,) ( ,) ( ,) ( ,)T TL LY q q qq q q q d L q q L q q ddt q q dt q q ( | | | | = = (|| \ \

( ) ( ,) ( ) ( ,,) M q q C q q q G q Y q q q + + = = (12) donde( ,,)npY q q q es una matriz de funciones conocidas, p es el vector de parmetros del robot y 1 2p p p = + . Potencia del robot La potencia aplicada al robot manipulador es la variacin de temporal de la energa total y tambin es dada por ( ,) ( ,)T Td L q q L q qq qdt q q ( | | = (| \ (13) UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN25 Energa del robot Laenergadelrobotesdadaporlaintegraldelapotenciadelrobotsobreelintervalodetiempo[0,t].La energa Hamiltoniana del robot est dada por la suma de la energa cintica y potencial ( ,) ( ,) ( ) H q q K q q U q = + (14) El principio de la conservacin de la energa establece que el trabajo efectuado por las fuerzas aplicadas a un sistema es igual al cambio de energa total del sistema: 0( ) ( ) ( ( ),( )) ( (0),(0))tTenerga almacenadaenerga aplicadaq d H q t q t H q q =

(15) 5.2 Estabilidad del robot manipulador Puntos de equilibrio del robot El modelo dinmico (11) del robot puede reescribirse como el modelo de estado [ ]211 1 2 2 1( )( ) ( , ) ( )xx fxM x C x x x G x (= =( (16) donde 2nx se elige como vector de estado con componentes 1x q =y 2x q = . El modelo dinmico (16) se emplea para propsitos de anlisis y diseo, el estado x proporciona informacin de la dinmica del robot y es la solucin de la ecuacin diferencial (16) para una condicin inicial x(0). En general, un sistema dinmico no lineal modelado por ( ) x fx = (17) puedetenerpuntosfijos,tambinllamadospuntosdeequilibrio.Estossonimportantesparala determinacin de la existencia y unicidad de soluciones de la ecuacin. Un vector constante es un punto de equilibrio del sistema (17) si 0, 0. (18) El punto de equilibrio es un ente dinmico donde todas las fuerzas del sistema encuentran su equilibrio, el manipuladorseubicarenunaposicinfijaconvelocidadyaceleracincero.Engeneral,lossistemas dinmicos no lineales sondiversos en lo quese refiere a la existencia desu punto de equilibrio, siendo las siguientes algunas posibilidades: Un slo punto de equilibrio, ejemplo . Un nmero finito de puntos de equilibrio, ejemplo tiene dos puntos fijos: 1 0. Una cantidad infinita de puntos de equilibrio tiene puntos fijos 0, . No tiene puntos de equilibrio, . Ejercicio: Calcular los puntos de equilibrio de los robots modelados en el captulo anterior. Los puntos de equilibrio pueden ser estables o inestables. Un punto de equilibrio se dice ser estable si para valorespequeosdeperturbacionesiniciales,elmovimientoperturbadopermaneceenunareginacotada quecontienealpuntodeequilibrio.Siparaunvalorpequeodeperturbacininicial,elmovimiento perturbadotiendeainfinitooaotropuntodeequilibrio,entoncessedenominapuntodeequilibrio inestable. UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN26 Estabilidad en el sentido de Lyapunov El concepto de estabilidad tiene varias interpretaciones dependiendo del campo del conocimiento donde se aplica, porejemploen economa,en medicina, en astronoma, en meteorologa, etctera. En ingeniera, la estabilidaddeunsistemasignificaquedespusde unintervalodetiempoelerrorpermanecedeunrango especfico o bien se decrementa a cero. En este contexto, el concepto de estabilidad tiene varias facetas, por ejemplo estabilidadabsoluta, relativa, entrada-salida (BIBO), exponencial, enel sentido de Lyapunov. Los mtodosparadeterminarestabilidadtalescomo Bode,Nyquist, Routh, LGR,noseaplicanasistemasno lineales o lineales variantes en el tiempo. LateoradeLyapunovsobrelaestabilidaddesistemasdinmicoseslageneralizacindelprincipiode Torricellisobrelamnimaenergatotaldeunsistema.Sinimportarelordendelsistema,lateorade Lyapunov permite obtener informacin sobre la estabilidad del punto de equilibrio de un sistema no lineal sin resolver la ecuacin diferencial de su modelo dinmico. Los resultados de Lyapunov incluyen el mtodo directoeindirecto,juntoconelprincipiodeinvarianciadeBarbashin-Krasovskii-LaSalle,loscuales proporcionanunafuertemetodologaparaeldiseodeesquemasdecontrolquegaranticenlaestabilidad del punto de equilibrio. El mtodo directo se basa en la construccin de funciones de energa en los estados del sistema, luego analizar si la potencia del sistema dada por la derivada temporal de la funcin de energa esnegativaoceroalrededordelpuntodeequilibrioparasabersiesestableparaelsistemanolineal.El mtodo indirecto aborda nicamente la estabilidad local del punto de equilibrio del sistema linealizado. Entre los conceptos bsicos de la teora de Lyapunov destacan las siguientes definiciones: ESTABILIDAD: El puntode equilibrio en el origen 0 es unpunto deequilibrioestablede (17)si para cada 0 y 0 existe un , 0 tal que 0 0(19) donde x(t) es la solucin de (17), la cual empieza de x(0) en . La definicin anterior se puede entender como que la solucin x(t) permanece dentro de una bola de radio durante todo intervalo de tiempo, cuyo valor inicial estaba dentro de una bola de radio con centro en . ESTABILIDAD UNIFORME:Elpuntodeequilibrioen elorigen 0esunpuntodeequilibriouniformemente estable de (17) si es estable y no depende de . ESTABILIDAD ASINTTICA: El punto de equilibrio en el origen 0 es un punto de equilibrio asintticamente estable de (17) si es estable y es atractivo, es decir, existe un nmero 0 tal que 0 0 cuando .(20) La definicin anterior se puede entender como que la solucin x(t) es atrada al punto de equilibrio 0 conforme avanza el tiempo, cuyo valor inicial estaba dentro de una bola de radio con centro en . ESTABILIDADASINTTICAGLOBAL:Elpuntodeequilibrioenelorigen 0esunpuntodeequilibrio globalmente asintticamente estable de (17) si es estable y es atractivo en todo el espacio, es decir 0 cuando , 0 .(21) UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN27 Losconceptosdeestabilidadglobalyestabilidadasintticaglobalsignificanqueelpuntodeequilibrioes nico. ESTABILIDADEXPONENCIALGLOBAL:Elpuntodeequilibrioenelorigen 0esunpuntodeequilibrio globalmente exponencialmente estable de (17) si existen constantes positivas , y tales que 0 0 , 0 , 0 (22) Unequilibrioglobalmenteexponencialmenteestableestambinasintticamenteestable,perono necesariamente a la inversa. INESTABILIDAD:Elpunto deequilibrioenelorigen 0esunpuntodeequilibrio inestablede(17)sinoes estable, yesequivalenteadecirque existealmenosun 0paraelcualnoesposible encontrarun 0que cumpla (19). Paraanalizarlas propiedades deestabilidaddelpunto deequilibriose utilizalaconstruccin defunciones de Lyapunov. FUNCINCANDIDATADELYAPUNOV:UnafuncinesunafuncincandidatadeLyapunovparael equilibrio 0 de (17) si : cumple con lo siguiente: i) es una funcin definida positiva, ii) es una funcin continua respecto a , iii)Existe y es una funcin continua respecto a . LaderivadarespectoaltiempodeunafuncincandidatadeLyapunovalolargodelastrayectoriasdel sistema (17) se denota por (23) donde y . Los teoremas fundamentales de la teora de estabilidad de Lyapunov son los siguientes: TEOREMADEESTABILIDAD:Elorigen 0 esunpuntodeequilibrioestablede(17)siexisteuna funcin candidata de Lyapunov tal que 0, 0, (24) TEOREMA DE ESTABILIDAD ASINTTICA GLOBAL: El origen 0 es un punto de equilibrio globalmente asintticamente estable de (17) si existe una funcin candidata de Lyapunov tal que i) 0 0, 0y ii) 0, 0, 0 Lo que significa que el estado x(t) cumple con lim . UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACINCONTROL DE ROBOTS DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN28 TEOREMADEESTABILIDADEXPONENCIALGLOBAL:Elorigen 0esunpuntodeequilibrioglobalmente exponencialmente estable de (17) si existe una funcin candidata de Lyapunov y constantes positivas , y tales que i) y ii) , 0, . La propuesta de la funcin candidata de Lyapunov que satisfaga alguna de las condiciones mencionadas no estrivialydependedelaintuicinyexperienciadeldiseador.Acontinuacinsepresentanalgunos ejemplos y ejercicios. Ejercicios: 1.Dado el sistemax ax = , dondea+ , y la funcin candidata de Lyapunov 212( ) V x x = . R=Puestoque 221 1 12 2 2( ) ( ) 0xxV x x xx x ax ax= = = = < ,entonceselpuntodeequilibrioenelorigenes asintticamente estable. 2.Dado el sistemax ax = , dondea+ , y la funcin candidata de Lyapunov 212( )mmV x x = . R=Puesto que 2( ) 0mV x ax =