Universidad Nacional Autónoma de México F a c u l t a d d e I n g e n i e r í a

División de Ingeniería en Ciencias de la Tierra Caracterización Dinámica de Yacimientos

Grupo: 02

“Apuntes de Caracterización Dinámica

de Yacimientos, Semestre 2009 - 1”

Alumno:

Bruno Armando López Jiménez

Profesor: Ing. Israel Castro Herrera

México, D. F., a 5 de Enero de 2009

1

INDICE GENERAL

1. Variables adimensionales .......................................................................... 1 1.1 Tipos de variables adimensionales ........................................ 2 1.2 Ecuación de difusión ....................................................................... 5

1.2.1 Solución a la ecuación de difusión ......................... 9 1.2.2 Construcción de la curva tipo.................................. 11 1.2.3 Aproximación logarítmica de la solución línea

fuente...................................................................................... 13 2. Pruebas de presión ...................................................................................... 17

2.1 Pruebas de interferencia ............................................................ 17 2.2 Pruebas de incremento de presión ...................................... 23

2.2.1 Método de Horner.............................................................. 24 2.3 Pruebas de decremento de presión ..................................... 32

1. Variables adimensionales Estas variables son una combinación de variables del yacimiento para formar grupos adimensionales, cuyo objetivo es eliminar la presencia de variables del yacimiento en la solución. Las variables adimensionales son directamente proporcionales a la variable real. Ejemplo: realensionala PP ∝dim . La adimensionalización de las variables se puede realizar en función de:

a. Geometría de flujo. b. Tipo de fluido.

1.1 Tipos de variables adimensionales

i. Presión.

ii. Gasto. iii. Tiempo. iv. Distancia.

Tipo de flujo Variable

Flujo lineal Flujo radial Flujo esférico

Presión LBqPhbkPooo

D ⋅⋅⋅⋅Δ⋅⋅⋅

=μα

2.887=α ooo

D BqPhkP

μα ⋅⋅⋅Δ⋅⋅

=

2.141=α ooo

wD Bq

PrkP

μα ⋅⋅⋅Δ⋅⋅

=

Tiempo 2Lctkt

ToD ⋅⋅⋅

⋅⋅=

μφβ

410637.2 −×=β 2

wToD rc

tkt⋅⋅⋅

⋅⋅=

μφβ

2wTo

D rctkt⋅⋅⋅

⋅⋅=

μφβ

Distancia LxxD =

wD r

rr = w

D rrr =

Gasto o

ooD Phbk

tqLBq

Δ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=)(μα

wfio PPP −=Δ o

ooD Phk

tqBq

Δ⋅⋅⋅⋅⋅

=)(μα

ow

ooD Prk

tqBq

Δ⋅⋅⋅⋅⋅

=)(μα

Tabla 1.- Definiciones de las variables adimensionales correspondientes a diferentes tipos de flujo.

donde: - k_ Permeabilidad, [md]. - h_ Espesor del intervalo, [ft]. - oB _ Factor de volumen del aceite, [1]. - α _ Constante particular para cada tipo de flujo, [1]. - PΔ _ Caída de presión (aplicable tanto para pruebas de un solo pozo como para

pruebas multipozo), [psi]. - oq _ Gasto de aceite, [bpd].

- oμ _ Viscosidad del aceite, [cp]. - L_ Longitud del canal o de la fractura, [ft]. - b_ Ancho del canal o de la fractura, [ft].

2

- wr _ Radio del pozo, [ft].

- c _ Compresibilidad totaT l, [psi]-1. - φ _ Porosidad, [1].

Ejercicio I.- Calcular el valor de .

olución:

Dr

conocidoq ][27.0 ftrw =

][1200 ftr =

¿?=P

pulsantePozo _

observadorPozo _

r S

44.444427.0

1200===

wD r

rr

NOTA.-

i. Si 1=Dr ⇒ w

wD r

rr = ∴ se está analizando el pozo mismo.

ii. Si se está analizando algún punto lejano al pozo o incluso la frontera

OTA.- Para estimar el valor de k, se requiere realizar el análisis para cuando se

Ejercicio II.- Determinar y para flujo radial, en el sistema inglés de campo

Variable

1>Dr ⇒del yacimiento.

Npresenta flujo radial transitorio durante las pruebas de presión.

DP D

con los siguientes datos:

t

Valor k 5 5 [md]

wr 0.25 [ft]

h 95 [ft]

oμ 0.8 [cp]

oq 600 [bpd]

φ 0.11

oB 1.2

Tc 12 x 1 psi]-10-6 [

PΔ 1 [psi] t 1 [h]

3

Solución:

064243.08.02.16002.141

19555=

⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

Δ⋅⋅=

oooD Bq

PhkPμα

21975025.010128.011.0

15510637.226

4

2 =⋅×⋅⋅⋅⋅×

=⋅⋅⋅

⋅⋅=

−

−

wToD rc

tktμφβ

Ejercicio III.- Determinar y para flujo radial, en el sistema inglés de campo

Variable

DP D

con los siguientes datos:

t

Valor k 1 ] 00 [md

wr 0.30 [ft]

h 700 [ft]

oμ 0.7 [cp]

oq 6000 [bpd]

φ 0.05

oB 2.5

Tc 20 x 1 psi]-10-6 [

1PΔ 2 [psi]

1t 4 [h]

2PΔ 2.4 [psi]

2t 3 [h]

Solución:

i.

][21 psiP =Δ , ][41 ht =

094428706.07.05.260002.141

2700100=

⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

Δ⋅⋅=

oooD Bq

PhkPμα

714.167428530.010207.005.0

410010637.226

4

2 =⋅×⋅⋅⋅⋅×

=⋅⋅⋅

⋅⋅=

−

−

wToD rc

tktμφβ

ii. ][4.22 psiP =Δ , ][32 ht =

113314447.07.05.260002.141

4.2700100=

⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

Δ⋅⋅=

oooD Bq

PhkPμα

286.125571430.010207.005.0

310010637.226

4

2 =⋅×⋅⋅⋅⋅×

=⋅⋅⋅

⋅⋅=

−

−

wToD rc

tktμφβ

4

Ejercicio IV.- Demostrar que DP (para flujo lineal y radial) y Dt (para flujo radial) son variables adimensionales.

Solución:

i. Flujo lineal: D P

]1[11 1113

212

=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅Δ⋅⋅⋅

=−−−

−−

LTMLTLTMLLLL

LBqPhbkPooo

D μα

ii. Flujo radial: DP y Dt

]1[11 1113

212

=⋅⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅⋅Δ⋅⋅

=−−−

−−

TMLTLTMLLL

BqPhkP

oooD μα

]1[1

122111

2

2 =⋅⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅

=−−− LLTMTMLTL

rctkt

wToD μφ

β

1.2 Ecuación de difusión

Ésta se puede expresar en:

a) Coordenadas cartesianas:

tP

kc

zP

yP

xP To

∂∂⋅⋅

=∂∂

+∂∂

+∂∂ μφ

2

2

2

2

2

2

b) Coordenadas cilíndricas:

tP

kc

rP

rrP To

∂∂⋅⋅

=∂∂

++∂∂ μφ1

2

2

Ejercicio V.- Transformar la ecuación de difusión en coordenadas cartesianas a

variables adimensionales. Solución: Considerando que sólo existe flujo en “x”, la ecuación de difusión en coordenadas cartesianas se reduce a:

tP

kc

xP To

∂∂⋅⋅

=∂∂ μφ

2

2

…. (1)

Para transformar la ecuación (1) a variables adimensionales, se requiere de la definición de para flujo lineal: DP

LBqPhbkPooo

D ⋅⋅⋅⋅Δ⋅⋅⋅

=μα

; )(tPPP i −=Δ

5

Por lo tanto:

LBqtPPhbk

Pooo

iD ⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅=

μα)]([

⇒ hbk

LBqPtP ooo

i ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−=μα

)( …. (2)

Así también son necesarias las definiciones de y : Dt Dx

2Lctkt

ToD ⋅⋅⋅

⋅⋅=

μφβ

…. (3) ; LxxD = …. (4)

Derivando la ecuación (2) respecto a t:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂∂∂

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−=∂∂

tt

tP

hbkLBq

tt

tP

hbkLBq

tP D

D

Dooo

D

DDooo μαμα…. (5)

donde ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂t

tD se obtiene derivando la ecuación (3) respecto a t:

2Lck

tt

To

D

⋅⋅⋅⋅

=∂

∂μφ

β …. (6)

Sustituyendo (6) en (5):

D

D

T

oo

ToD

Dooo

tP

LchbBq

Lck

tP

hbkLBq

tP

∂∂

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅⋅

∂∂

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−=∂∂

φβα

μφβμα

2 …. (7)

Por otra parte, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

xP

se obtiene derivando la ecuación (2) respecto a x:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−=∂∂

∂∂

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−=∂∂

xx

xP

hbkLBq

xx

xP

hbkLBq

xP D

D

Dooo

D

DDooo μαμα…. (8)

donde ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂x

xD se obtiene derivando la ecuación (4) respecto a x:

LxxD 1

=∂

∂…. (9)

Sustituyendo (9) en (8):

D

Dooo

D

Dooo

xP

hbkBq

LxP

hbkLBq

xP

∂∂

⋅⋅⋅⋅⋅

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−=∂∂ μαμα 1

…. (10)

6

Para obtener ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

2

2

xP

se sabe que:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

xP

xxP2

2

Por lo tanto:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅⋅⋅⋅⋅

−∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅⋅⋅⋅⋅

−∂∂

=∂∂

xx

xP

hbkBq

xxx

xP

hbkBq

xxP D

D

Dooo

DD

D

D

Dooo μαμα2

2

2

2

2

2 1

D

Dooo

D

Dooo

D xP

LhbkBq

LxP

hbkBq

xxP

∂

∂⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅⋅⋅⋅⋅

−∂

∂=

∂∂ μαμα

…. (11)

Sustituyendo las ecuaciones (7) y (11) en la (1) queda:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅

=∂

∂⋅⋅⋅⋅⋅⋅

−D

D

T

ooTo

D

Dooo

tP

LchbBq

kc

xP

LhbkBq

φβαμφμα

2

2

Eliminando términos semejantes, finalmente nos queda la expresión de la ecuación de difusión en coordenadas cartesianas en variables adimensionales:

D

D

D

D

tP

xP

∂∂

=∂

∂β2

2

…. (12)

Ejercicio VI.- Transformar la ecuación de difusión en coordenadas cilíndricas a

variables adimensionales. Solución: La ecuación de difusión en coordenadas cilíndricas en variables reales es:

tP

kc

rP

rrP To

∂∂⋅⋅

=∂∂

++∂∂ μφ1

2

2

…. (13)

Para transformar la ecuación (13) a variables adimensionales, se requiere de la definición de para flujo radial: DP

oooD Bq

PhkPμα ⋅⋅⋅

Δ⋅⋅= ; )(tPPP i −=Δ

Por lo tanto:

ooo

iD Bq

tPPhkP

μα ⋅⋅⋅−⋅⋅

=)]([

⇒hkBq

PtP oooi ⋅

⋅⋅⋅−=

μα)( …. (14)

7

Así también son necesarias las definiciones de y : Dt Dr

2wTo

D rctkt⋅⋅⋅

⋅⋅=

μφβ

…. (15) ; w

D rrr = …. (16)

Derivando la ecuación (14) respecto a t:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂∂∂

⋅⋅⋅⋅

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

⋅⋅⋅⋅

−=∂∂

tt

tP

hkBq

tt

tP

hkBq

tP D

D

Dooo

D

DDooo μαμα…. (17)

donde ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂t

tD se obtiene derivando la ecuación (15) respecto a t:

2wTo

D

rck

tt

⋅⋅⋅⋅

=∂

∂

μφβ

…. (18)

Sustituyendo (18) en (17):

D

D

wT

oo

wToD

Dooo

tP

rchBq

rck

tP

hkBq

tP

∂∂

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅⋅

∂∂

⋅⋅⋅⋅

−=∂∂

22 φβα

μφβμα

…. (19)

Por otra parte, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

rP

se obtiene derivando la ecuación (14) respecto a r:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂∂∂

⋅⋅⋅⋅⋅

−=∂∂

∂∂

⋅⋅⋅⋅

−=∂∂

rr

rP

hkBq

rr

rP

hkBq

rP D

D

Dooo

D

DDooo μαμα…. (20)

donde ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂rrD se obtiene derivando la ecuación (16) respecto a r:

w

D

rrr 1

=∂

∂…. (21)

Sustituyendo (21) en (20):

D

D

w

ooo

wD

Dooo

rP

rhkBq

rrP

hkBq

rP

∂∂

⋅⋅⋅⋅⋅

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅⋅⋅⋅

−=∂∂ μαμα 1

…. (22)

Para obtener ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

2

2

rP

se sabe que:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

rP

rrP2

2

8

Por lo tanto:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅⋅⋅⋅⋅

−∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅⋅⋅⋅⋅

−∂∂

=∂∂

rr

xP

hbkBq

rrr

rP

rhkBq

rrP D

D

Dooo

DD

D

D

D

w

ooo μαμα2

2

2

2

22

2 1

D

D

w

ooo

wD

D

w

ooo

D rP

rhkBq

rrP

rhkBq

rrP

∂

∂

⋅⋅

⋅⋅⋅−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅⋅⋅⋅⋅

−∂∂

=∂∂ μαμα

…. (23)

De la ecuación (16) se obtiene r:

wD rrr ⋅= …. (24) Sustituyendo las ecuaciones (19), (22), (23) y (24) en la (13) queda:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅−

⋅⋅=

∂∂

⋅⋅⋅⋅⋅

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+∂

∂

⋅⋅

⋅⋅⋅−

D

D

wT

ooTo

D

D

w

ooo

wDD

D

w

ooo

tP

rchBq

kc

rP

rhkBq

rrrP

rhkBq

22

2

2

1φ

βαμφμαμα

Eliminando términos semejantes, finalmente nos queda la expresión de la ecuación de difusión en coordenadas cilíndricas en variables adimensionales:

D

D

D

D

DD

D

tP

rP

rrP

∂∂

=∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂

∂β1

2

2

…. (25)

Ecuación de difusión Coordenadas

Variables reales Variables adimensionales

Cartesianas tP

kc

zP

yP

xP To

∂∂⋅⋅

=∂∂

+∂∂

+∂∂ μφ

2

2

2

2

2

2

D

D

D

D

D

D

D

D

tP

zP

yP

xP

∂∂

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂β2

2

2

2

2

2

Cilíndricas tP

kc

rP

rrP To

∂∂⋅⋅

=∂∂

++∂∂ μφ1

2

2

D

D

D

D

DD

D

tP

rP

rrP

∂∂

=∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂

∂β1

2

2

Tabla 2.- Ecuación de difusión para los diferentes sistemas coordenados, tanto en variables reales como adimensionales.

1.2.1 Solución a la ecuación de difusión

Para obtener la solución a la ecuación de difusión para flujo radial en variables adimensionales considerando un yacimiento infinito y homogéneo:

D

D

D

D

DD

D

tP

rP

rrP

∂∂

=∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂

∂β1

2

2

son necesarias las siguientes condiciones:

i. Condición inicial: 0),( =DDD trP ; 0≤D

iit .

. Condición de frontera interna: pozo que produce a gasto constante,

.1−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

D

DD r

Pr

9

iii. Condición de frontera externa: yacimiento infinito, 0), . (lim =∞→Dr

DDD trP

Asimismo, se requiere de la aplicación de la transformada de Laplace, la ecuación de Bessel modificada de orden cero, y las funciones Bessel, para finalmente obtener la solución línea fuente:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

D

DiD t

rEP

421 2

donde: - DP _ Presión adimensional para flujo radial, la cual está en función de Dr y Dt . - iE _ Integral exponencial.

- Dr _ Radio adimensional para flujo radial. - Dt _ Tiempo adimensional para flujo radial. Observación.- El desarrollo completo y detallado de la solución a la ecuación de difusión se presenta en el archivo Sol_línea_fuente_pdf. La solución línea fuente puede ser aplicada tanto a pruebas multipozo como a pruebas en un solo pozo.

Cuando 04

2

>−D

D

tr

, entonces 1EEi = y puede ser calculado mediante un

polinomio, por lo tanto:

1E

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

D

DD t

rEP

421 2

1 …. (26)

Observación.- El polinomio mediante el cual se puede calcular se presenta en el archivo

1EIntegral Exponencial.

Para pruebas de presión en un solo pozo 1=Dr , lo cual implica que:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

DD t

EP41

21

1

NOTA.- Dentro de las pruebas de presión en un solo pozo se encuentran:

i. De incremento. ii. De decremento.

iii. De inyectividad. iv. Fall-off.- Esta prueba se lleva a cabo cuando los pozos no tienen energía para

llevar los fluidos hasta la superficie. Debido a que para la estimación de las propiedades del yacimiento se requiere de una perturbación, ésta es generada mediante la inyección de un fluido (salmuera, aceite de la formación o diesel). Los periodos de inyección son cortos.

10

1.2.2 Construcción de la curva tipo Una curva tipo es una gráfica universal, por lo que ésta debe de estar en variables adimensionales. Es universal porque es aplicable para todos los yacimientos que cumplan con las premisas para la obtención de la solución línea fuente (yacimiento infinito y homogéneo, flujo radial, gasto constante). El procedimiento para la construcción de la curva tipo es el siguiente:

i. Suponer valores para 2D

D

rt en escala logarítmica: 0.01, 0.02, 0.03, …., 0.1,

0.2, 0.3, …., 1, 2, 3, …., 10, 20, 30, …., 100, 200, 300, …., 1000.

ii. Calcular D

Dt

r4

2

.

iii. Evaluar ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

D

D

trE4

2

1 mediante el polinomio:

a. Para 10 ≤≤ x , donde: D

D

tr

x4

2

= :

)ln(00107.000976.005519.024991.099999.057721.0)( 5432

1 xxxxxxxE −+−++−++−=

b. Para ∞<≤ x1 , donde: D

D

tr

x4

2

= :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅++++++++

=xexxxx

xxxxxE 157332.963295.2509965.2195849.3

57332.805901.1863476.826777.0)(432

432

1

iv. Calcular ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

D

DD t

rEP

421 2

1 .

v. Graficar DP vs. 2D

D

rt , con lo que se obtendrá la curva correspondiente a la

solución de la ecuación de difusión (solución línea fuente), a emplear en la interpretación y análisis de las pruebas de presión. Dicha curva es la que se presenta a continuación:

11

Sol. Línea Fuente

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100 1000

tD/rD2

P D

Fig. 1.- Curva tipo de la solución línea fuente.

Observación.- Los cálculos del procedimiento anteriormente descrito, así como la gráfica de la curva tipo, se encuentran en el archivo Curva tipo.xls. Es importante recordar que la solución línea fuente se obtiene a partir de la condición de que el radio del pozo tiende a cero, por lo que el valor de tiende a infinito respectivamente. Es por ello que se ha considerado que la curva tipo de la solución línea fuente corresponde a un valor de , es decir; que la solución línea fuente

es válida para cualquier valor de

Dr

20≥Dr

2D

D

rt que cumpla con la condición de que .

Con base en lo anterior, se puede establecer que la curva tipo es aplicable sin ningún error para pruebas multipozo, mientras que cuando se estén empleando pruebas de un solo pozo, es necesario tener en cuenta que el análisis solamente será correcto, empleando la solución línea fuente, para cuando se cumpla que , de lo contrario; se estarían incurriendo en graves errores.

20≥Dr

20≥Dr

12

1=Dr

2=Dr

20=Dr

De aquí en adelante, se puede emplear la solución línea fuente a pruebas de un solo pozo.

Fig. 2.- Comparación de las curvas correspondientes a valores de rD = 1, 2, y 20;

con respecto a la curva tipo de la solución línea fuente.

Ejercicio VII.- Si ][3.0 ftr , ¿cuánto debe valer r para que se cumpla 20>Dr ? w = Solución:

wD r

rr = ⇒ Dw rrr ⋅=

][6)20(])[3.0( ftftr =⋅= ∴ ][6 ftr >

1.2.3 Aproximación logarítmica de la solución línea fuente

La aplicación de la ecuación:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

D

DD t

rEP

421 2

1

es tediosa aunque no complicada, debido a la forma de evaluar . )(1 xE

Una aproximación es considerar a la serie infinita:

( ) ∑∞

= ⋅⋅−

−+−=1

1 !)1(1ln)(

n

nn

nnx

xxE γ , 577216.0=γ (Constante Euler).

como una serie finita para valores de 01.0≤x , por lo que dicha serie se reduce a:

( )xxE 1ln)(1 +−= γ , D

D

tr

x4

2

= ⇒ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 21

4ln)(

D

D

rt

xE γ …. (27)

13

Aplicando las propiedades de los logaritmos a la ecuación (26) queda:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−= 221 ln386294361.1577216.0ln4ln577216.0)(

D

D

D

D

rt

rt

xE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 21 ln809078361.0)(

D

D

rt

xE …. (28)

Sustituyendo la ecuación (28) en la (26) queda:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 2ln809078361.0

21,

D

DDDD r

ttrP …. (29)

Sustituyendo las definiciones de de , y para flujo radial en la ecuación (29): DP Dt Dr

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅⋅⋅

+=⋅⋅⋅

Δ⋅⋅2ln809078361.0

21

rctk

BqPhk

Toooo μφβ

μα…. (30)

Ahora, se procede a cambiar la ecuación (30) de logaritmo natural a logaritmo base 10, para lo cual se recuerda lo siguiente:

302585093.21302585093.2)10(log302585093.2)10ln( 10 =⋅=⋅=

∴ )(log302585093.2)1ln( 10 xx ⋅=

Al aplicar la propiedad de los logaritmos anterior a la ecuación (30), se tiene lo siguiente:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅+=⋅⋅⋅

Δ⋅⋅210log302585093.2809078361.0

21

rctk

BqPhk

Toooo μφβ

μα…. (31)

Aplicando las propiedades de los logaritmos a la ecuación (31):

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅⋅+=

⋅⋅⋅Δ⋅⋅ t

rck

BqPhk

Toooo1010210 logloglog302585093.2809078361.0

21 β

μφμα

Simplificando la ecuación anterior, se tiene:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅

⋅+=⋅⋅⋅

Δ⋅⋅ 57888987.3loglog302585093.2809078361.021

10210 trc

kBq

Phk

Toooo μφμα

14

Tomando como factor común 2.302585093 para todo el término de la derecha de la ecuación anterior:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅

+=⋅⋅⋅

Δ⋅⋅ 57888987.3loglog302585093.2809078361.0

2302585093.2

10210 trc

kBq

Phk

Toooo μφμα(32)

Simplificando términos semejantes en la ecuación (32):

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

Δ⋅⋅ 227511603.3loglog2

302585093.210210 t

rck

BqPhk

Toooo μφμα…. (33)

Sustituyendo el valor de α para flujo radial en la ecuación (33), y despejando , finalmente se obtiene la aproximación logarítmica en el sistema ingles de campo, aplicables tanto para pruebas multipozo como para un solo pozo; bajo la consideración de yacimiento infinito, y flujo radial a gasto constante:

PΔ

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=Δ 227511603.3loglog5625076.162

10210 trc

khk

BqPTo

ooo

μφμ …. (34)

Aplicando la ecuación (34) al pozo ( wrr = ):

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=Δ 227511603.3loglog5625076.16210210 t

rck

hkBqP

wTo

ooo

μφμ …. (35)

Ejercicio VIII.- Dos pozos A y B están a un espaciamiento de 660 [ft] terminados en

el mismo yacimiento. Ambos pozos han estado cerrados por mucho tiempo y ya no se observan cambios drásticos de la P en el tiempo. El pozo A es abierto a producción a un gasto ][30 bpd , ¿cuál será la caída de presión en el pozo B al final de 1 y 10 días? Considérense los siguientes datos:

qA =

Variable Valor

k 11 [md]

wr 0.33 [ft]

h 13 [ft]

oμ 0.7 [cp]

iP 2000 [psi]

bP 1427 [psi]

φ 0.14

oB 1.3

oc 11.3 x 10-6 [psi]-1

wc 3.1 x 10-6 [psi]-1

fc 4.5 x 10-6 [psi]-1

os 0.89

ws 0.11

15

Solución:

][30 bpdqA =

][660 ftr =

¿?_1 =Δ díaP ¿?_10 =Δ díasP

fwwooT cscscc +⋅+⋅=

[ ][ ] ][104898.1)105.4()11.0101.3()89.0103.11( 151666 −−−−−− ×=×+⋅×+⋅×= psipsicT

i. t = 1 [día] = 24 [h]:

109464208.0660104898.17.014.0

241110637.225

4

22 =⋅×⋅⋅

⋅⋅×=

⋅⋅⋅⋅⋅

=−

−

rctk

rt

ToD

D

μφβ

Con el valor de 109464208.02 =D

D

rt

, se entra a la curva tipo y se lee su

correspondiente valor de , el cual es 0.018. DP De la definición de para flujo radial se despeja la incógnita DP PΔ :

][485214545.01311

7.03.1302.141018.0 psihk

BqPP oooD =

⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅⋅⋅=Δ

μα

ii. t = 10 [día] = 240 [h]:

094642082.1660104898.17.014.0

2401110637.225

4

22 =⋅×⋅⋅

⋅⋅×=

⋅⋅⋅⋅⋅

=−

−

rctk

rt

ToD

D

μφβ

Con el valor de 094642082.12 =D

D

rt

, se entra a la curva tipo y se lee su

correspondiente valor de , el cual es 0.55. DP De la definición de para flujo radial se despeja la incógnita DP PΔ :

][826.141311

7.03.1302.14155.0 psihk

BqPP oooD =

⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅

⋅⋅⋅⋅=Δ

μα

NOTA.- Para pruebas de interferencia es común que la caída de presión se encuentre en el siguiente rango: [ ]psiP 101 <Δ< .

16

2. Pruebas de presión

2.1 Pruebas de interferencia Para el análisis e interpretación de la información obtenida a partir de pruebas de interferencia, se hacen uso de los siguientes métodos:

i. Método Semilog Considérese la aproximación logarítmica:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=Δ 227511603.3loglog5625076.162

10210 trc

khk

BqPTo

ooo

μφμ

la cual es válida para 252 ≥D

D

rt

, aunque algunos autores consideran 1002 ≥D

D

rt

ó

52 ≥D

D

rt

.

La ecuación (34) implica que una gráfica de PΔ vs. tiene una porción recta, de la cual se puede estimar la pendiente “m” y la ordenada al origen.

)log(t

A partir de la pendiente “m”, se puede calcular la permeabilidad mediante la siguiente expresión:

mkBq

k ooo

⋅⋅⋅⋅

=μ5625076.162

…. (36)

Por otra parte, a partir de la ordenada al origen se puede conocer lo siguiente:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ−

×⋅

=⋅227511603.3

2

_1

10 mP

oT

h

rkc

μφ …. (37)

NOTA.- Esta técnica presenta poca utilidad debido a que es impráctico realizar una prueba suficientemente larga para que los datos en el pozo observador presenten una línea recta.

Ejercicio IX.- Calcular cuánto tiempo debe durar una prueba de interferencia, de tal forma que sea aplicable la aproximación logarítmica de la solución línea fuente. Considérense los siguientes datos:

Variable Valor

1k 500 [md]

1oμ 0.5 [cp]

1Tc 35 x 10-6 [psi]-1

1r 1200 [ft]

2k 1 [md]

17

2oμ 2 [cp]

2Tc 16 x 10-6 [psi]-1

2r 800 [ft]

φ 0.08 Solución:

i. Primer caso:

22 rctk

rt

ToD

D

⋅⋅⋅⋅⋅

=μφβ

kr

rctt

D

ToD

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

βμφ

2

2

Para poder aplicar la aproximación logarítmica se debe cumplir que 252 ≥D

D

rt

, por lo

tanto:

225rc

tk

To ⋅⋅⋅⋅⋅

≤μφβ

⇒k

rct To

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

≥βμφ 225

][92718999.15][2525597.38250010637.2

120010355.008.0254

26

díasht ==⋅×⋅

⋅×⋅⋅⋅≥

−

−

ii. Segundo caso:

][001011.6472][0243.155328110637.2

8001016208.0254

26

díasht ==⋅×⋅

⋅×⋅⋅⋅≥

−

−

ii. Método Match Point

El procedimiento establecido en este método es el siguiente:

i. Graficar los datos de PΔ vs. tΔ en escala logarítmica para ambas variables. La escala logarítmica a utilizar debe manejar el mismo número de ciclos que la de la curva tipo.

ii. Una vez graficados los datos de la prueba de interferencia, proceder a ajustar manualmente la curva de datos reales a la curva tipo. Para ello se mantiene fija la curva tipo, mientras que se mueve vertical como horizontalmente la curva real hasta realizar el ajuste.

Fig. 3.- Ajuste de la curva real a la curva tipo.

18

iii. Hecho el ajuste, se escoge cualquier punto que pertenezca tanto a la curva real como a la curva tipo, el cual será el punto de ajuste (Match Point).

Fig. 4.- Selección del “Match Point”.

iv. Al seleccionar el punto de ajuste, se leen sus valores correspondientes de las

siguientes parejas ordenadas: ),( Pt ΔΔ y ),( 2 DD

D Pr

t , en la curva real y en la

curva tipo, respectivamente. v. A partir de los datos obtenidos de las parejas ordenadas anteriores, se procede a

realizar el cálculo de la permeabilidad y compresibilidad total, mediante las siguientes expresiones respectivamente:

M

Dooo

PP

hBq

k ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Δ

⋅⋅⋅=

μ2.141…. (38) ;

MD

DoT

rt

tr

kc⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅×

=−

2

2

410637.2μφ

…. (39)

Ejercicio X.- De una prueba de interferencia se obtuvo la siguiente información:

][htΔ ][ psiPΔ

20 1.2 30 3.6 40 6.5 50 9.5 60 11.5 70 14 80 17 90 19.5

100 21.5 110 23 120 24.5 140 28 160 32 180 36

A partir de ella y con los siguientes datos:

Variable Valor

oq 1200 [bpd]

oμ 1.2 [cp]

19

h 150 [ft]

oB 1.3

φ 0.08 r 900 [ft]

calcular la permeabilidad y la compresibilidad total. Solución: Primeramente se grafican los valores de PΔ vs. tΔ en escala logarítmica:

0.01

0.1

1

10

100

0.01 0.1 1 10 100 1000

Δt [h]

ΔP

[psi

]

Posteriormente se procede a ajustar la curva real a la curva tipo, tal y como se muestra a continuación:

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100 1000

tD/rD2

P D

0.01

0.1

1

10

100

0.01 0.1 1 10 100 1000

Δ t [h]

ΔP

[psi

]

Una vez hecho el ajuste, se escoge el punto de ajuste (Match Point), el cual para este caso es:

( )4,10),( =ΔΔ Pt

( )1.0,08.0),( 2 =DD

D Pr

t

20

Con base en las parejas ordenadas anteriores, se procede a calcular la permeabilidad y la compresibilidad total, respectivamente:

][0544.4441.0

1502.13.112002.1412.141

mdP

Ph

Bqk

MM

Dooo =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Δ

⋅⋅⋅=

μ

][10867468056.108.0

109002.108.044054410637.210637.2 15

2

4

2

2

4−−

−−

×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅⋅×

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅×

= psi

rt

tr

kcM

MD

DoT μφ

][0544.44 mdk = ; ][10867468056.1 15 −−×= psicT

Ejercicio XI.- De una prueba de interferencia se obtuvo la siguiente información:

][htΔ ][ psiPΔ

0 0 1.0 2.0 1.5 5.0 2.0 7.0 3.0 12.0 5.0 21.0

10.0 33.0 18.0 41.0 24.0 48.5 36.0 57.5 50.0 67.5 90.0 75.0

120.0 81.0 150.0 86.0 180.0 89.0

A partir de ella y con los siguientes datos:

Variable Valor

oq 427 [bpd]

oμ 0.8 [cp]

h 23 [ft]

oB 1.12

φ 0.12 r 340 [ft]

calcular la permeabilidad y la compresibilidad total.

21

Solución: Primeramente se grafican los valores de PΔ vs. tΔ en escala logarítmica:

0.01

0.1

1

10

100

0.01 0.1 1 10 100 1000

Δt [h]

ΔP

[psi

]

Posteriormente se procede a ajustar la curva real a la curva tipo, tal y como se muestra a continuación:

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1 10 100 1000

tD/rD2

PD

0.01

0.1

1

10

100

0.01 0.1 1 10 100 1000

Δ t [h]

ΔP

[psi

]

Una vez hecho el ajuste, se escoge el punto de ajuste (Match Point), el cual para este caso es:

( )8.0,09.0),( =ΔΔ Pt

( )05.0,02.0),( 2 =DD

D Pr

t

Con base en las parejas ordenadas anteriores, se procede a calcular la permeabilidad y la compresibilidad total, respectivamente:

][798887.1468.005.0

238.012.14272.1412.141

mdP

Ph

Bqk

MM

Dooo =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Δ

⋅⋅⋅=

μ

22

][10569698847.102.009.0

3408.012.0798887.14610637.210637.2 15

2

4

2

2

4−−

−−

×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅⋅×

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅⋅×

= psi

rt

tr

kcM

MD

DoT μφ

][798887.146 mdk = ; ][10569698847.1 15 −−×= psicT

Observación.- Los dos ejercicios anteriores se encuentran también resueltos en el archivo Pruebas de interferencia.xls.

2.2 Pruebas de incremento de presión

- Objetivos

a. Estimar parámetros del yacimiento (permeabilidad, distancia a las fronteras, conocimiento del tipo de fallas).

b. Estimar el factor de daño. c. Determinar la presión media del área de drene.

- Ventajas

a. La medición de la presión en el fondo del pozo es una medición suave (sin

ruido). b. El gasto del pozo es constante ( 0=q ).

- Desventajas

a. Se tiene que cerrar el pozo. b. Dificultad en mantener el gasto constante antes del cierre.

][ht

][ psiP

pt t

iP

wfP

Δ

Fig. 5.- Efectos sobre el gasto al introducir la sonda en una prueba de incremento de presión,

][bpdqo

][ht

1oq

2oq

es por ello que se mide un gasto antes de introducirla, así como ésta ya está dentro del pozo.

23

2.2.1 Método de Horner Este método se emplea para el análisis exclusivo de pruebas de incremento de presión. Hace uso del principio de superposición en tiempo, y es por ello que se considera que el pozo produce a dos gastos diferentes:

][ht

][ psiP

pt tΔ

][bpdqo

1oq

1oq−

][ht

iP

wfP

Fig. 6.- Suposición de dos gastos diferentes en el método de Horner. En la Fig. 6 se puede observar como el se extrapola durante el tiempo , tal y como lo muestra la línea punteada, aun cuando se sabe que esto no es cierto. Dicha extrapolación únicamente se realiza para fines de análisis.

1oq tΔ

En cuanto a la aplicación del principio de superposición en tiempo, éste obedece a lo siguiente:

)()( tqttqtotal opoPPP Δ−Δ+ Δ+Δ=Δ …. (40)

A partir de la definición de para flujo radial, se despeja DP PΔ :

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=Δhk

BqPP oooD μα

…. (41)

24

Sustituyendo la ecuación (41) en la (40):

)()(

)(tD

ooottD

ooototal P

hkBq

PhkBq

Pp ΔΔ+ ⋅⋅

⋅⋅−⋅+

⋅⋅⋅⋅⋅

=Δμαμα

…. (42)

Factorizando la ecuación (42), queda:

( ))()( tDttDooo

total PPhkBq

Pp ΔΔ+ −

⋅⋅⋅⋅⋅

=Δμα

…. (43)

Por otra parte, la aproximación logarítmica para considerando el daño es: DP

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= S

rt

PD

DD 2ln809078361.0

21

2 …. (44)

Como el análisis se está realizando para pruebas de incremento (de un solo pozo), por lo tanto, la ecuación (44) se simplifica de la siguiente manera:

( )[ ]StP DD 2ln809078361.021

++= …. (45)

Observación.- Para mayores detalles acerca de la definición de daño y su inclusión en la aproximación logarítmica, consultar el archivo Daño_pdf.pdf. Sustituyendo la definición de para flujo radial en la ecuación (45): Dt

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅⋅⋅

+= Src

tkPwTo

D 2ln809078361.021

2μφβ

…. (46)

Al aplicar la aproximación logarítmica de la ecuación (46) a la ecuación (43), quda:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅

Δ⋅⋅+−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅

Δ+⋅⋅+

⋅⋅⋅⋅⋅

=Δ

Srctk

Src

ttk

hkBq

P

wTo

wTo

p

ooototal

2)(ln809078361.021

2)(

ln809078361.021

2

2

μφβ

μφ

β

μα…. (47)

Simplificando términos semejantes en la ecuación (47):

( ))ln()ln( ttthkBq

P pooo

total Δ−Δ+⋅⋅

⋅⋅⋅=Δ

μα…. (48)

25

Aplicando las propiedades de los logaritmos a la ecuación (48), se obtiene finalmente la expresión conocida como la ecuación de Horner:

⎟⎟⎠

⎜⎝ Δ⋅⋅ )( thktotal

NOTA.- Es importante señalar que el método de Horner es utilizado cuando los tiempos de producción (tp) son muy grandes, puesto que el emplearlo para c

⎞⎜⎛ Δ+⋅⋅⋅

=Δ)(

lnttBq

P pooo μα …. (49)

uando stos sean pequeños, conlleva a errores en los cálculos realizados. Es por ello que para

impulso.

i. Gra

écuando los tiempos de producción son cortos, se emplea el método de El procedimiento establecido en el método de Horner es el siguiente:

ficar los datos medidos con la sonda en el fondo del pozo: wsP vs.

⎟⎞

⎜⎛ Δ+ tt p , siendo la primera

⎠⎝ Δtsegunda, en escala logarítmica.

variable en escala normal, mientras que la

la pendiente de la misma, la cual o de un ciclo completo de la escala logarítmica. Sus unidades

ii. Trazar una línea recta de tendencia a los puntos de la gráfica que muestran comportamiento lineal, los cuales representan al flujo radial transitorio.

iii. Una vez trazada la recta, determinar corresp nderá a la

⎥⎤

⎢⎣⎡

ciclopsi . serán

⎦

Fig. 7.- Periodos identificados a partir del análisis de una prueba de incremento de presión.

iv. A partir del valor de la pendiente, realizar el análisis de la prueba de incremento.

Efecto de almacenamiento

Zona de transición

Zona de transición

R

tra (tendencia

lineal)

Presencia de

(tendencia dife la

tiempos largos)

una frontera

rente delineal, a

espuesta del yacimiento: Flujo radial

nsitorio

Prueba de incremento de presión

4940

4950

4960

4970

4980

4990

5000

110100100010000100000

Pws

[psi

]

(tp+Δt)/Δt

26

NOTA.- El efecto de almacenamiento corresponde a un efecto del pozo, mas no del yacimiento; debido al llenado del pozo. Este efecto cesa una vez que el pozo está lleno y en ese momento, la presión en el pozo es la misma que en el yacimiento. Mientras más compresible sea el fluido del yacimiento, el efecto de almacenamiento durará más

empo. Además del almacenamiento, dentro de los efectos del pozo se encuentran:

bservación.- Para mayores detalles acerca del efecto de almacenamiento, consultar el

tisegregación de fluidos, problemas de acomodo de fluidos, entre otros. Oarchivo Almacenamiento_pdf. El análisis de las pruebas de incremento de presión mediante este método permite

alizar el cálculo de la permeabilidad, el daño, la caída de presión debida al daño y la eficiencia de flujo, mediante las siguientes expresiones respectivamente:

re

hmBq

k ooo

⋅⋅⋅⋅

−=μ6.162

…. (50)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎝ ⋅

10oμφ

⎜⎛

⋅⋅−

−

−= 2275.3log1513.1 2

][1_

wT

wfhws

rck

mPP

S …. (51)

ShkBq

P oooS

⋅⋅⋅=Δ

⋅μ2.141 …. (52) ;

wf

Swf

PP −*

El valor de ][1_ hwsP se obtiene trazando una recta de valor

PPPEF

Δ−−=

*

…. (53)

( )1+pt paralela al eje de las

transitorio. Del punto de intersección entre las dos rectas, se obtiene ][1_ hwsP . En lo que

respecta a *

ordenadas hasta intersecar la línea recta de tendencia correspondiente al flujo radial

P , ésta se presenta cuando tΔ → ∞ , y gráficamente corresponde a la intersección entre el ej de las ordenadas y la extrapolación de la línea recta ajustada a e

estan la tendencia lineal. Para *Plos datos de la pruebas que manifi se cumple la

lo que determina dónde debe ser trazada la línea cta de tendencia así como la selección apropiada de los puntos a los cuales se les ha

siguiente condición: iPP ≅* . Para llevar a cabo el análisis de las pruebas de incremento, es indispensable que el método de Horner se complemente con una herramienta de diagnóstico que permita identificar cuándo inicia y finaliza el periodo de flujo radial transitorio. La identificación de este periodo es rede ajustar dicha tendencia lineal. Se ha demostrado que la función derivada ( )'Pt Δ⋅Δ , definida por Bourdet y olaboradores, es un medio efc ectivo para érmino se

define de la siguiente manera:

el diagnóstico de flujo. El t ( )'PΔ

11 −+ Δ−Δ11' −+Δ − Δ

=Δ ii PPP …. (54)

as líneas rectas presentan pendientes de 1, ½, ¼, 0 oestacionario o almacenamiento, lineal, bilineal, radial y esférico, respectivamente.

ii tt

De esta forma, una gráfica doble logarítmica de esta función contra tΔ permite determinar el (los) tipo (s) de flujo de una prueba, que para el caso de una de incremento de presión, el que interesa es el flujo radial. Los datos de diferentes tipos de flujo exhiben líneas rectas de pendientes diferentes, esto es, l

y -½ para flujo pseud

27

Fig. 8.- Diagnóstico de flujo a partir de la función derivada.

bservación.- Para mayores detalles acerca del diagnóstico de flujo, consultar el rchivo Pruebas de incremento_pdf.

Fig. 9.- Periodos identificados a partir de la aplicación de la función derivada a una prueba de presión en un solo pozo.

Oa

28

Ejercicio XI.- Un pozo produjo durante tres días (72 [h]) a un gasto de 500 [bpd] y luego se cerró para una prueba de incremento de presión, cuyos datos son los siguientes:

][htΔ ][ psiPws

0 1150 2.0 1794 4.0 1823 8.0 1850

16.0 1876 24.0 1890 48.0 1910

A partir de ella y con los siguientes datos:

Variable Valor

Tc 20 x 10-6 [psi]-1

oμ 1 [cp]

h 22 [ft]

oB 1.3

φ 0.20 rw 0.3 [ft]

Calcular la permeabilidad, el daño, la caída de presión debida al daño y la eficiencia de flujo. NOTA.- Las formas de cerrar un pozo son:

i. En superficie. ii. En fondo.- Este tipo de cierre disminuye el efecto de almacenamiento.

Solución: El procedimiento detallado para el cálculo de cada una de las incógnitas de este ejercicio, se presenta en el archivo Prueba de incremento.xls. A continuación se presentan los resultados:

][81129919.48 mdk = ; 55893466.1=S ][2394765.133 psiPS =Δ ; 833179571.0=EF

Ejercicio XII.- En un pozo productor bajosaturado que había estado produciendo por 150 [h] se tomó una prueba de incremento de presión, cuyos datos son los siguientes:

][htΔ ][ psiPws

0 3534 0.15 3680 0.2 3723 0.3 3860

29

0.4 3866 0.5 3920 1.0 4103 2.0 4250 4.0 4320 6.0 4340 7.0 4344 8.0 4350

12.0 4364 16.0 4373 20.0 4379 24.0 4384 30.0 4393 40.0 4398 50.0 4402 60.0 4405 72.0 4407

A partir de ella y con los siguientes datos:

Variable Valor

Tc 17 x 10-6 [psi]-1

oq 250 [bpd]

oμ 0.8 [cp]

h 69 [ft]

oB 1.136

φ 0.39 rw 0.198 [ft]

Calcular:

a. La permeabilidad, el daño, la caída de presión debida al daño y la eficiencia de flujo.

b. Encontrar el tiempo tΔ cuando cesan los efectos de almacenamiento del pozo. Solución: El procedimiento detallado para el cálculo de cada una de las incógnitas de este ejercicio, se presenta en el archivo Prueba de incremento_1.xls. A continuación se presentan los resultados:

a.

][724176429.6 mdk = ; 856548821.5=S ][9455222.404 psiPS =Δ ; 559602477.0=EF

b. El tiempo cuando cesan los efectos de almacenamiento del pozo es:

][5.7 ht =Δ

30

Ejercicio XIII.- A un pozo que estuvo produciendo 72 [h], se le tomó una prueba de incremento de presión, cuyos datos son:

][htΔ ][ psiPws

0 4943.34833 0.001 4950.41815

0.001296 4952.27639 0.001679 4954.37544 0.002176 4956.68371 0.00282 4959.13968

0.003655 4961.65367 0.004736 4964.11781 0.006137 4966.4239 0.007953 4968.48513 0.010307 4970.25521 0.013356 4971.73497 0.017308 4972.96309 0.02243 4973.99818

0.029067 4974.89897 0.037667 4975.7118 0.048813 4976.46886 0.063256 4977.18957 0.081973 4977.8852 0.106228 4978.56382 0.13766 4979.22962

0.178393 4979.88481 0.231178 4980.53273 0.299581 4981.17474 0.388225 4981.81039 0.503098 4982.44153 0.651961 4983.06915 0.844871 4983.69199 1.094861 4984.31419 1.418822 4984.9431 1.83864 4985.58565

2.382679 4986.25416 3.087696 4986.95994 4.00132 4987.70665 5.18528 4988.49602

6.719563 4989.32594 8.707829 4990.18557

11.284407 4991.0646 14.623374 4991.95146 18.950316 4992.82671 24.557565 4993.68042 31.823956 4994.50065 41.240414 4995.27075 53.443128 4995.97977 69.256529 4996.62754 89.748991 4997.20185

116.305012 4997.70163 150.71875 4998.13334

31

195.315242 4998.49542 253.107486 4998.79536

328 4999.04737 A partir de la información anterior y apoyándose en la función derivada, realizar un análisis cualitativo de la prueba y enunciar las conclusiones que resultaron de dicho análisis. Solución: El procedimiento detallado para la obtención de las herramientas necesarias para el análisis cualitativo, se presenta en el archivo Prueba de incremento_2.xls. A continuación se presentan las conclusiones resultantes del análisis:

i. Con base en la gráfica de ´Pt Δ⋅Δ vs. tΔ , se puede apreciar que el flujo radial se presenta en un intervalo de 5.11.0 <Δ< t , por lo que análisis del método de Horner sólo es válido para este intervalo.

ii. Con base en el método de Horner para el intervalo anteriormente mencionado,

se pueden calcular k, S, ΔPs, EF. iii. Con base en la gráfica de ´Pt Δ⋅Δ vs. tΔ , se observa que el periodo de

almacenamiento es muy pequeño, y a su vez se aprecia claramente el efecto de daño y almacenamiento, de estos dos últimos sus efectos combinados.

iv. Posteriormente al flujo radial, el periodo pseduoestacionario es muy corto,

después del cual se manifiesta otro cambio de flujo, cuyo comportamiento no es característico de ningún tipo de flujo identificable a partir de la herramienta de diagnóstico de flujo. Es por ello que posiblemente corresponda a alguna zona de transición, lo cual indique que posterior a ésta, de haber durado más la prueba hubiese sido posible identificar algún tipo de flujo conocido, pero para que se manifestara tal flujo era necesario una duración mayor de la prueba, de ahí que éste no sea perceptible.

v. Las curvas de ´Pt Δ⋅Δ vs. tΔ y la de PΔ vs. tΔ no presentan la misma

pendiente al inicio de la prueba, lo cual puede ser un indicador de que la selección del tiempo de inicio de la prueba no fue el correcto, por lo que posiblemente los valores de k, S, ΔPs, EF; obtenidos a partir del análisis de Horner serán erróneos.

vi. Para valores de 150>Δt , se aprecia una estabilización de la presión, es decir;

aunque continúe el pozo cerrado por mucho tiempo, el valor de ΔP no variará en gran medida, por lo que se alcanzará un valor máximo de Pws que será cercano a la presión inicial del yacimiento.

2.3 Pruebas de decremento de presión

- Objetivos

a. Estimar parámetros del yacimiento (permeabilidad, daño, caída de presión

debida al daño, eficiencia de flujo). b. Diseñar el aparejo de producción.

32

c. Estimar la productividad de un pozo. d. Estimar el volumen poroso (a partir de la prueba de límite de yacimiento para

flujo pseudoestacionario). NOTA.- Las pruebas de límite de yacimiento se recomiendan que se realicen en pozos exploratorios. Este tipo de pruebas son las únicas que permiten identificar el flujo pseudoestacionario, el cual se manifiesta una vez que se han alcanzado todas las fronteras. Este flujo se puede identificar a partir de la función derivada, cuyo comportamiento característico es una línea recta de pendiente igual a 1 para periodos de tiempo largos, ya que una línea recta de pendiente igual a 1 para periodos de tiempo cortos corresponde al almacenamiento.

1

10

100

1000

0.0010 0.0100 0.1000 1.0000 10.0000 100.0000 1000.0000

Δt

Δt Δ

P´

1.0000

10.0000

100.0000

1000.0000

ΔP

Almacenamiento (pendiente igual a 1,

a tiempos cortos) Flujo radial transitorio

Flujo pseudoestacionario

(pendiente igual a 1, a tiempos largos)

Fig. 10.- Periodos identificados a partir del análisis de una prueba de

decremento de presión aplicando la función derivada. Una vez que se determina dónde inicia el flujo pseudoestacionario, en la gráfica de

vs. o la de vs. se traza una línea recta de tendencia a los puntos que manifiestan este tipo de flujo y se obtiene la pendiente de la misma, la cual se identifica como . A partir del valor de la pendiente, se determinar el volumen poroso mediante la siguiente expresión:

PΔ tΔ wfP

*

tΔ

m

φ⋅⋅⋅⋅⋅

=hAc

Bqm

T

oo2339.0* ⇒

*2339.0

mcBq

VT

oop ⋅

⋅⋅= …. (54)

NOTA.- Las pruebas de incremento de presión no pueden utilizarse para estimar el volumen poroso.

33

P vs Δt

5840.0000

5860.0000

5880.0000

5900.0000

5920.0000

5940.0000

5960.0000

5980.0000

6000.0000

0.0000 50.0000 100.0000 150.0000 200.0000 250.0000 300.0000 350.0000 400.0000 450.0000 500.0000

Δt [h]

Pwf [

psi] Efectos de

p Comportamiento infinito

(transitorio)

ozo

m*

Flujo pseudoestacionario

Fig. 11.- Prueba de decremento de presión y sus periodos característicos. El análisis de las pruebas de decremento de presión, al igual que las de incremento, permite realizar el cálculo de la permeabilidad, el daño, la caída de presión debida al daño y la eficiencia de flujo, mediante las siguientes expresiones respectivamente:

hmBq

k ooo

⋅⋅⋅⋅

−=μ6.162

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅⋅⋅−

−

−= 2275.3log1513.1 2

][1_

wTo

hwfi

rck

mPP

Sμφ

…. (55)

ShkBq

P oooS ⋅

⋅⋅⋅=Δ

μ2.141 ; wf

Swf

PPPPP

EF−

Δ−−= *

*

El valor de se obtiene trazando una recta de valor ][1_ hwfP 1=Δt paralela al eje de las ordenadas hasta intersecar la línea recta de tendencia correspondiente al flujo radial transitorio. Del punto de intersección entre las dos rectas, se obtiene . En lo que

respecta a][1_ hwfP

*P , ésta corresponde a la , es decir al primer valor de registrado durante la prueba de decremento de presión.

iP wfP

La herramienta de diagnóstico que permite identificar cuándo inicia y finaliza el periodo de flujo radial transitorio, determinar dónde debe ser trazada la línea recta de tendencia así como la selección apropiada de los puntos a los cuales se les ha de ajustar dicha tendencia lineal, es la función derivada ( )'Pt Δ⋅Δ , tal y como es en el caso de las pruebas de incremento de presión. Con la gráfica doble logarítmica de esta función contra , se identifica la línea recta de pendiente igual a cero, la cual corresponde al flujo radial.

tΔ

34

Ejercicio XIV.- A un pozo productor se le tomó una prueba de decremento de presión, cuyos datos son los siguientes:

][htΔ ][ psiPwf

0.0000 6000.0000 0.0010 5998.9121 0.0016 5998.2930 0.0025 5997.2998 0.0040 5995.7695 0.0064 5993.4282 0.0102 5989.9248 0.0162 5984.8438 0.0258 5977.8022 0.0410 5968.6499 0.0652 5957.7842 0.1036 5946.3613 0.1649 5935.9907 0.2622 5927.9468 0.4171 5922.4390 0.6634 5918.7622 1.0552 5916.0391 1.6783 5913.7183 2.6696 5911.5625 4.2461 5909.4849 6.7538 5907.4507

10.7424 5905.4424 17.0867 5903.4497 27.1777 5901.4570 43.2282 5899.3652 68.7579 5896.8242

109.3648 5893.1475 173.9532 5887.3813 276.6862 5878.2173 440.0911 5863.6416

A partir de ella y con los siguientes datos:

Variable Valor

Tc 2.5 x 10-6 [psi]-1

oq 348 [bpd]

oμ 1.22 [cp]

h 150 [ft]

oB 1.14

φ 0.08 rw 0.3 [ft]

Calcular el volumen poroso, la permeabilidad, el daño, la caída de presión debida al daño y la eficiencia de flujo.

35

36

olución:

l procedimiento detallado para el cálculo de cada una de las incógnitas de este

S Eejercicio, se presenta en el archivo Prueba de decremento.xls. A continuación se presentan los resultados:

][1016.4 38 ftVp ×=

] ; [39358285.52 mdk = 600008746.2=S

[60914164.22 psiPS =Δ ; 834193259.0=EF ]