apunte 9 - máximos y mínimos. lagrange

APUNTE DE CÁLCULO

DERIVADAS PARCIALES - MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

MAXIMOS Y MINIMOS CONDICIONADOS. EL METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. En muchos problemas de optimización en dos (o más) variables, la función debe optimizarse sujeta a una (o más) restricción(es) o condición(es) en las variables. Por ejemplo las empresas cuentan con un presupuesto fijo y deben decidir como utilizar este presupuesto para obtener el máximo beneficio, en otros casos nos encontraremos con restricciones físicas o temporales. A continuación se ejemplificará el caso de una función de dos variables sujeta a una restricción. El Método de los Multiplicadores de Lagrange establece que cualquier extremo relativo de la función f(x, y) sujeto a la restricción g(x, y) = k, debe ocurrir en un punto crítico (a, b) de la función [ ]( , , ) ( , ) ( , )F x y f x y g x y kλ λ= − −

donde λ es una nueva variable llamada el Multiplicador de Lagrange .

Suponga que ( ) ( ), y f x y g x,y son funciones cuyas Derivadas Parciales de

Primer Orden existen. Para hallar los Máximos Relativos y los Mínimos Relativos de

( ), f x y sujetos a la restricción de que ( ) , K IR g x,y K= ∈ , introduzca una nueva

variable λ (el Multiplicador de Lagrange ) y resuelva simultáneamente las tres ecuaciones siguientes:

( ) ( )( ) ( )( )

(1)

(2)

(3)

, ,

, ,

,

x x

y y

f x y g x y

f x y g x y

g x y k

λ

λ

=

=

=

Los Extremos Relativos deseados se encontrarán entre los puntos (x, y) obtenidos

al resolver el sistema anterior. Para identificar los máximos y mínimos relativos se debe evaluar f en los puntos (x, y) obtenidos, si el máximo (mínimo) requerido existe, será el mayor (menor) de estos valores.

APUNTE DE CÁLCULO


EJEMPLO Halle los valores Máximo y Mínimo de la Función ( ),f x y xy= , sujetos a la

restricción 2 2 8x y+ = SOLUCION Sea ( ) 2 2, 8g x y x y= + −

Las Derivadas Parciales son: x yf y f x= =

2 2x yg x g y= =

Las tres ecuaciones de Lagrange son:

2 2 2 2 8y x x λy x yλ→ = = + =

Así 2 2 pues 0 e 0y x

λ x yx y

λ = = ≠ ≠

Esto implica que: 2 2 ó y x

x yx y

= =

Ahora sustituimos en 822 =+ yx para obtener:

2 22 8 4 2 2x x x y= → = → = ± → = ±

Los puntos críticos son:

( ) ( ) ( ) ( )2,2 , 2, 2 , 2,2 2, 2y− − − −

Como:

( ) ( ) ( ) ( )2,2 4 2 2 4 2,2 4 y 2 2 4f f , f f ,= − = − − = − − − =

Se sigue que cuando 2 2 8x y+ = , el valor Máximo de ( ), 4f x y = , que se halla en los

puntos ( ) ( )2, 2 2, 2y − − , y el valor mínimo es –4, que se halla en ( ) ( ) 2, 2 y 2,2− − .

EJEMPLO 2:

Determine el punto ( ), ,P x y z en el plano 2 5 0x y z+ − − = que está más cerca del

origen. SOLUCION:

El problema nos pide hallar el valor Mínimo de la Función 2 2 2OP x y z= + + ,

sometido a la restricción de que: 2 5 0P x y z∈ + − − = es decir ( ), , 2 5g x y z x y z= + − −

APUNTE DE CÁLCULO


Aplicamos el método los Multiplicadores de Lagrange A continuación se muestran las Ecuaciones de Lagrange:

(1)

2 2 2 2 2 2

(2)

2 2 2 2 2 2

2 2

1

x xf gx x

x y z x y z

y yf gy y

x y z x y z

λ

λ

= = → =+ + + +

= = → =+ + + +

(3)

2 2 2 2 2 2

(4)

1

2 5

z zf gz zx y z x y z

x y z

λ= = − → = −+ + + +

+ − =

Despejamos λ en las ecuaciones 1, 2 y 3 e igualamos 1 = 2 y 2 =3. Así obtenemos x = 2y, y = -z, luego x = -2z sustituyendo

52 e en (4), obtenemos 4 5 6 5

65 5

Así e 3 6

x z y z z z z z z

x y

−= − = − − − − = → − = → =

= =

Por lo tanto el punto buscado es 5 5 5

, ,3 6 6

P −

.

EJERCICIO Resolver este problema usando el criterio de la segunda derivada (Hessiano). Ver página 891, libro “Cálculo, con geometría analítica” de Thomas/Finney. EL SIGNIFICADO DEL MULTIPLICADOR DE LAGRANGE Suponga que M es el valor Máximo (o Mínimo) de ( ),f x y sujeto a la restricción

( ),g x y k= . El multiplicador de Lagrange λ es el ritmo de cambio de M con respecto a

K. Esto es:

dMdK

λ =

Por lo tanto, ≈λ cambio en M debido a un crecimiento de una unidad de K.

APUNTE DE CÁLCULO


EJEMPLO Un editor tiene que distribuir 60.000 dólares para gastar en desarrollo y promoción de un nuevo libro. Se estima que si se gastan en desarrollo x miles de dólares y en promoción y miles, se venderán aproximadamente 3 220x y ejemplares del libro. a)¿Cuánto dinero debe dedicar el editor a desarrollo y cuánto a promoción, con objeto de maximizar las ventas?. b) Si el editor está distribuyendo 61.000 dólares en lugar de 60.000 para gastar en desarrollo y promoción del nuevo libro. Estime en cuánto afectarán los 1.000 dólares al nivel de ventas máximo. SOLUCION El objetivo es maximizar ( ),f x y = 3 220x y , sujeta a la restricción ( ), 60g x y = ,

donde ( ) yxyxg +=, las ecuaciones de Lagrange son: 1 2 (1) 3 2 (2) (3)30 20 60 x y x x yλ λ= = + = De las dos primeras ecuaciones se obtiene 1 2 3 230 20 x y x= como 0x ≠ ,

podemos dividir por 1 230x , para obtener :

2 3, o sea

3 2y x x y= = , sustituyendo en la tercera ecuación

3 5

60 60 24 362 2

y y y y x+ = → = → = → =

Por lo tanto, para maximizar las ventas el editor debería gastar 36.000 dólares en desarrollo y 24.000 dólares en promoción. Si se hace esto, se venderán aproximadamente ( )36,24 103.680f = ejemplares del libro.

b) Sustituyendo 36 24x e y= = en la segunda o primera ecuación de Lagrange, se obtiene:

( )3 220 36 4.320λ = =

Como dMdK

λ = , el incremento de 60 a 61k k= = , aumentará las ventas

máximas en 4.320 ejemplares.

APUNTE DE CÁLCULO


LA DIFERENCIAL TOTAL DEFINICIÓN La Diferencial total de una Función de dos variables ( ),f x y es la función

df de cuatro variables , , ,x y h k dada por la fórmula:

( ) ( ) ( ), , , , ,d x y h k f x y h f x y kx yf = +

Si F es una Función de 3 variables ( ), ,x y z definimos la diferencial total como la

Función de 6 variables , , , , ,x y z h k l dada por:

( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , , , , , dF x y z h k l F x y z h F x y z k F x y z lx y z= + +

EJEMPLO: Hallar ( ) ( ), , , y , , ,d x y h k x y h kf f∆ para los valores dados de

khyx ,,, .

1. ( ) 2 2, 2 ; 2, 1, 0,01, 0,02f x y x xy y x y h k= − + = = − = − =

APUNTE DE CÁLCULO


( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2

2

4

, , , 2 4

2, 1, 0,01, 0,02 4 1 0,01 2 4 0,02

0,05 0,12 0,17

, ,

1,99, 0,98 2, 1

1,99 1,99 0,98 2 0,98 4 2 2 0,1689

x

y

f x y

f x y

d x y h k x y h x y kf

df

df

f f x h y k f x y

f f f

f

= −

= − +

= − + − +

− − − = + − + − −

= − − = −

∆ = + + −

∆ = − − −

∆ = + ⋅ + − + + = −

2. Una caja tiene extremos de forma cuadrada con 11,98 cm. de lado y una longitud de 30,03 cm. Hallar su volumen en forma aproximada, usando diferenciales.

SOLUCION ( ) 2,f x y x y=

Deseamos hallar ( )11.98, 30.03f

( ) 212,30 12 30 4320f = ⋅ = 12 0.02

30 0.03

x h

y k

= → = −= → =

( ) ( )

( ) ( )

, ,

* , ,

f f x h y k f x y

f x h y k f x y f

∆ = + + −

+ + = + ∆

Aproximamos f∆ mediante la diferencial df

APUNTE DE CÁLCULO


( )

( )

2

2

, , ,

2

, , , 2

d x y h k f h f kx yf

f xy f xx y

d x y h k xyh x kf

= +

= =

= +∴

( ) ( ) ( )212,30, 0.02,0.03 2 12 30 0.02 12 0.03 10.08df − = ⋅ ⋅ − + = −

∴ en *

( )11.98,30.03 4320 10.08 4309.92f = − =

Utilizando diferenciales, hallar el valor aproximado de:

( ) ( )2 25.02 11.97+

SOLUCION

( )

( )

( ) ( )

2 2

2 2 2 2

,

5,12 25 144 13

5 0.02

12 0.03

5.02;11.97 5.12

2

2

f x y x y

f

x h

y k

f f df

x xfx

x y x y

= +

= + =

= → == → = −

≈ +

= =+ +

APUNTE DE CÁLCULO


yf =2 2

y

x y+

( ) ( )

( )

5 120.02 0.03 0.02

13 13

5.02 ; 11.97 13 0.02 12.98 12.980035

df

f Vv

= + − = −

≈ − = =

TEOREMA La Diferencial Total de una Función f de varias variables se puede obtener por la Regla de la Cadena. TEOREMA

Sea ( ),z f x y= , y que e x y son funciones de otra variable. Entonces,

Diferencial

Diferencial

z zdz dx dy

x y∂ ∂= + ↔∂ ∂

վ

Si ( ), ,g x y zω = tal que x ,y, z son Funciones de otra variable. Entonces:

d dx dy dzx y z

ω ω ωω ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

EJEMPLO:

1. Sea 2z x xy y= + −

2 22

2 Hallar

x r s

y rs dz

= +

= +

SOLUCION

APUNTE DE CÁLCULO


( ) ( )

( )( ) ( )( )

2 1

2 45

5

2 2 4 1

d x y dx x dyz

x x h k

r sd rh k

x

d h rky

y y r s

d x y rh sk x sh rkz

= + + −

∂ ∂∂ ∂

= +

= +

∂ ∂∂ ∂= + + + − +∴

OTRO METODO:

z z

d h kz r s∂ ∂= +∂ ∂

2

2 22

2

z x xy y

x r s

y rs

= + −

= + = +

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

2 2 1

2 45 1

2 2 1 5 2 45 1

2 2 1 2 45 1

2 2 45

z z x z y zx y r x s

r x r y r r

z z x z y zx y x r

s x s y s s

d x y r x h x y x r kz

d x y rh x sh x y k x rkz

d x y rh kz

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⇒ = + + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ + ⇒ = + + −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + − + + + −

= + + − + + + −

= + + + ( ) ( )1 x sh rk− +

apunte 9 - máximos y mínimos. lagrange

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