aproxima ční a interpolační křivky
DESCRIPTION
Aproxima ční a interpolační křivky. Interpolace. Křivka prochází přímo zadanými body. Interpolace polynomem. Lineární – 2 body Kvadratická – 3 body Polynom n-tého stupně – n+1 bodů. Lineární interpolace. Kvadratická interpolace. Interpolace polynomem 4 stupně. Interpolované body: - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Aproximační a interpolační křivky
Interpolace
• Křivka prochází přímo zadanými body
Interpolace polynomem
• Lineární – 2 body
• Kvadratická – 3 body
• Polynom n-tého stupně – n+1 bodů
Lineární interpolace
Kvadratická interpolace
Interpolace polynomem 4 stupněInterpolované body:
(-2,4) (-1,0) (0,3) (1,1) (2,-5)
Rovnice:
16a -8b +4c -2d + e = 4
a - b + c -d +e = -3
e = 3
a + b + c + d +e = 1
16a +8b +4c +2d +e =-5
Řešení:
a=0.458 b=-0.75 c=-2.95
d=1.25 e=3
Funkce:
0.458*x^4-0.75*x^3-2.95*x^2+1.25*x+3
Spline křivka
• Křivka se skládá z úseků vyjádřených polynom nižšího stupně, než odpovídá počtu bodů. Křivky na sebe v hraničních bodech hladce navazují
Lineární „spline“
• Polynomy prvního stupně.
• V hraničních bodech na sebe navazují spojitě.
• Není zaručena spojitost ani první derivace.
• Česky se tomu říká lomená čára
Kvadratický spline
• Křivka jsou úseky parabol.• V hraničních bodech na sebe paraboly
hladce navazují – mají spojitou první derivaci.
• Další derivace nemusí být (a obvykle nejsou) spojité.
• Je nejpoužívanější, pokud se řekne jen spline, myslí se obvykle kvadratický spline (viz AutoCAD)
Kvadratický spline
Spline křivky vyšších stupňů
• Kubický – funkce po částech 3-tího stupně (kubika), zaručuje spojitost první a druhé derivace
• Obecný (n-tého stupně), zaručuje spojitost (n-1). derivace.
Aproximační křivky
• Nemusí procházet přímo zadanými body.
• Formálně lze za aproximační křivku považovat libovolnou křivku.
• Problém je nalézt takové vyjádření, které bude– Jednoduché– Bude dostatečně dobře aproximovat danou
křivku
Aproximace metodou nejmenších čtverců
• Zvolím typ funkce (obvykle polynom nižšího stupně, než by byl potřeba pro interpolaci bodů).
• Vypočítám takové parametry, aby součet čtverců odchylek v zadaných bodech byl minimální.
• ∑(yi-f(xi))2→ min
Metoda nejmenších čtverců
Bézierova aproximace (Bézierova křivka)
• Aproximace polynomem daného stupně n-tý stupeň pro n+1 bodů P0,P1,…,Pn
• Křivka prochází krajními body P0 a Pn• Tečna v počátečním bodě P0 je
rovnoběžná s vektorem P0P1.• Tečna v koncovém bodě Pn je rovnoběžná
s vektorem Pn-1 Pn• Celá křivka leží v konvexním obalu bodů
P0, … ,Pn
Pierre Ettiene Bézier (1910-1999)
Vyjádření Bézierovy křivky
Lineární Bézierova křivka
• B(t) = (1-t).P0 + t.P1• Parametrická rovnice
úsečky
Kvadratická Bézierova křivka
• B(t) = (1-t)2P0 + 2t(1-t)P1 + t2P2
Kubická Bézierova křivka
B(t) = (1-t)3P0 + 3t(1-t)2P1 + 3t2(1-t)P2 + t3P3
Bézierovy křivky vyšších řádů
• Příklad vzorce pro křivku 5.stupně
B-spline
• Úseky Bézierových křivek nižších stupňů (obvykle kvadratické a kubické křivky) budou v krajních bodech na sebe hladce navázány.
Příklad B spline křivky6 řídících bodů → 2 paraboly (2 Bézierovy křivky 2, stupně)