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MATEMÁTICA APLICADA
MARCELO CARRION
APRESENTAÇÃO
MARCELO CARRION ENGENHEIRO MATEMÁTICO ESPECIALISTA MATEMÁTICA – UNICAMP MESTRANDO EM MATEMÁTICA - UNESP
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
1. Conceitos Básicos de Aritmética e Álgebra 2. Geometria Plana 3. Geometria Espacial 4. Função do Primeiro Grau 5. Função do Segundo Grau 6. Função Exponencial 7. Função Logarítmica 8. Álgebra Elementar em R
AVALIAÇÃO
P1 - PROVA VALOR 7,0 L - LISTAS DE EXERCÍCIOS VALOR 1,0 P2 - PROVA VALOR 2,0 M – MÉDIA E – EXAME MF – MÉDIA FINAL M=P1+L+P2 SE M≥7,0 – ALUNO APROVADO SE M<3,0 – ALUNO REPROVADO SE 3,0≤M <7,0 – EXAME (5,0)
2
M EMF
OBJETIVOS DO CURSO
PROMOVER NIVELAMENTO PRÉ-REQUISITOS APLICAÇÕES MATEMÁTICAS
CONCEITOS BÁSICOS DE ARITMÉTICA E ÁLGEBRA
OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS
NÚMEROS NATURAIS – N N={0,1,2,3,4,5,...} NÚMEROS INTEIROS – Z Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...} NÚMEROS RACIONAIS – Q Q={a/b, aZ,bZ*} NÚMEROS IRRACIONAIS – I NÚMEROS REAIS – R R=QI
ADIÇÃO EM Z
NÚMEROS POSITIVOS: CRÉDITO NÚMEROS NEGATIVOS: DÉBITO SALDO CREDOR (+): CRÉDITO > DÉBITO SALDO DEVEDOR(−): CRÉDITO < DÉBITO EXEMPLOS: −20+(+17)= −3 +52+(−2)=+50 −35+(−5)= −40 +27+(+8)=+35
SUBTRAÇÃO EM Z
ESTORNO: REPARAR LANÇAMENTO INDEVIDO TIRAR CRÉDITO: SALDO ↓, LOGO TIRAR CRÉDITO=DÉBITO TIRAR DÉBITO: SALDO ↑, LOGO TIRAR DÉBITO=CRÉDITO EXEMPLOS: +50−(+20)=+50 −20=+30 +23−(−7)=+23+7=+30 −48−(+30)=−48−30=−78 −36−(−6)= −36+6=−30
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO EM Z + + = +
+ − = −
− + = −
− − = +
EXEMPLOS: (+5).(+8)=+40 (+18):(+2)=+9 (+3).(−6)= −18 (+21):(−3)= −7 (−2).(+7)= − 14 (−10):(+5)= −2 (−9).(−8)=+72 (−25):(−5)=+5
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO EM Q
DENOMINADORES IGUAIS: MANTER DENOMINADOR E OPERAR COM NUMERADORES DENOMINADORES DIFERENTES: REDUZIR AS FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR EXEMPLOS: 2 1 3
7 7 7
2 1 8 3 5
3 4 12 12 12
3 5 3 81
5 5 5 5
MULTIPLICAÇÃO EM Q
a c acx
b d bd
EXEMPLOS:
2 3 2 3 6 3
5 4 5 4 20 10
xx
x
4 7 4 7 4 287
5 1 5 1 5 5
xx x
x
DIVISÃO EM Q
a c a d adx
b d b c bc
a
a c adbcb d bc
d
ou
EXEMPLOS:
5 2 5 3 15 5
6 3 6 2 12 4x
5
5 2 5 3 15 5626 3 6 2 12 4
3
x
x
POTENCIAÇÃO
. . ...na a a a a
n fatores a
a base n expoente
EXEMPLOS:
5
4
3
2
2 2.2.2.2.2 32
( 3) ( 3).( 3).( 3).( 3) 81
2 2 2 2 8. .
5 5 5 5 125
7 (7.7) 49
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
.
1 .
2
3 ( . ) .
4
5
m n m n
m n m n
n m n
n n
n
nm m n
P a a a
P a a a
P a b a a
a aP
b b
P a a
POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS
OBSERVE A TABELA
24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4
1
16
1
8
1
4
1
216 48 2 1
꞉2 ꞉2 ꞉2 ꞉2 ꞉2 ꞉2 ꞉2 ꞉2
NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Modo de representação de números reais utilizando-se potências de base 10. Consideramos um número representado em notação científica caso este obedeça o padrão y⋅10n, onde yR/ 1≤ y < 10 e n Z. Exemplos: 27000=2,7.104
0,0000031=3,1.10-6
ORDEM DE GRANDEZA
Primeiro passo: escreva o número em notação científica, isto é, da forma y⋅10n Segundo passo: - se o valor de y for menor do que 3,16 a ordem de grandeza do número será 10n -se o valor de y for maior ou igual do que 3,16 a ordem de grandeza do número será 10n+1
Exemplos: A superfície do território brasileiro é aproximadamente: 8547403 Km2=8,5.106Km2 O.G. é 107
A massa de um átomo de hidrogênio é 0,00000000000000000000000166g=1,66.10-24g O.G. é 10-24
RADICIAÇÃO
nn a x x a
n a Raiz
Radical
a Radicando
n Índice
x Raiz
3
4
10
125 5
81 3
1024 2
,pois
, pois
, pois
35 125
43 81
102 1024
EXEMPLOS:
SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS
Utilizar as propriedades dos radicais para representar uma raiz com o menor radicando possível. Exemplos:
5 2 2
2 2
3 33 3
32 2 2 .2 .2 2.2. 2 4 2
189 2 .3 .5 2.3. 5 6. 5
375 3.5 5. 3
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
. .
.
. .
.
. .
.
n n m n n m
n m n m n n m
a a b a b
bb b b
a a b a b
bb b b
a b c a b ca
b cb c b c b c
EXEMPLOS
3 2 3 3 3
3 3 3 32 3
1 1 2 2.
22 2 2
2. 3 1 2. 3 12 2 3 1. 3 1
3 1 23 1 3 1 3 1
2 2 . 2 12 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2. 2
2 1 1 12 1 2 1 2 1
2 2 4 2. 16 2. 16 16.
4 24 4 4 4
PROPRIEDADES DOS RADICAIS
. .
1 . .
2
3
4
n n n
n
n
n
n pn m m p
m
n m n
P a b a b
a aP
bb
P a a
P a a