apresentação de interpolação
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INTERPOLAÇÃO
Disciplina: Cálculo Numérico - Prof.: Valdemir Antunes
EQUIPE: ALEXANDRE KIYOMITSU FURUCHO
ELVIS OLIVEIRA MARTINS
GUSTAVO VARASQUIM DE SOUZA
GUILHERME GIANCRISTOFARO CORTEZI
LEANDO KENICHI ALONSO TANIGUCHI
INTERPOLAÇÃO
Muitas funções são conhecidas apenas em um conjunto finito e
discreto de pontos de um intervalo [a,b], como a função y = f(x).
Exemplo: tabela abaixo.
i 0 1 2 3
Xi X0 X1 X2 X3
f (xi) Y0 Y1 Y2 Y3
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Neste caso tendo-se que trabalhar com esta função e não se dispondo
de sua forma analítica, pode-se substituí-la por outra função, que é uma
aproximação da função dada, a qual é deduzida apenas por dados tabelados.
As funções que substituem as funções dadas podem ser de tipos
variados, tais como: exponencial, logarítmica, trigonométrica e polinomial.
Considerando o trabalho proposto faremos uso das funções polinomiais através
do conceito de interpolação. Portanto, o primeiro passo é determinar o
polinômio interpolador pela interpolação de Lagrange, que é uma aproximação
da função tabelada. O segundo passo é aplicar a função f(x) nos conceitos que
envolvem os Sólidos de Revolução.
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SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO
O volume de um sólido de revolução é um sólido obtido com a rotação de
uma região num plano em torno de uma reta no plano, chamada de eixo de
revolução, o qual pode ou não interceptar a região. Por exemplo, se a região
limitada por um semi-círculo e seu diâmetro for girada em torno do eixo de
revolução, uma esfera será descrita.
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Um cone circular reto é gerado se a região limitada por um triângulo
retângulo for girada em torno de um de seus catetos.
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x
y
x = a
ii f ,
x = b
xfy
ixi1ix ix
0
if
xi
Figura 1 Figura 2
Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] e suponha que 0xf para todo x em [a,b].
Seja R a região limitada pela curva xfy , pelo eixo x e pelas retas x=a e x=b. A Figura 1 mostra a região R e o i-ésimo retângulo. Quando o i-ésimo é girado em torno do eixo x, obtemos um elemento de volume que é um disco cuja base é um círculo de raio 1f unidades e cuja a altura é xi
unidades, como é mostrado na Figura 2.
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Se unidades cúbicas for o volume desse disco,
xfV iii 2
Como temos n retângulos, iremos obter n discos circulares
dessa forma, a soma das medidas dos volumes desses n discos
circulares será
xfV i
n
ii
n
ii
2
11
Essa é uma soma de Riemann. Portanto, se V unidades cúbicas for o volume do sólido de revolução, V será o limite dessa soma de Riemann quando aproxima-se de zero. Esse limite existe, pois 2f
é contínua em [a,b], já que supusemos que f seja contínua nesse número. Temos então o Teorema:
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Temos então o Teorema:
dxxfV
xfv
b
a
i
n
ii
2
2
10
lim
Seja f uma função contínua em [a,b] e suponha que 0xf para todo x em [a,b]. Se S for o sólido de revolução obtido pela rotação efetuada, em torno do eixo x, da região limitada pela curva xfy , pelo eixo x e pela retas x=a e x=b, e se V for o número de unidades cúbicas no volume de S, então
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O objetivo deste trabalho é aplicar a interpolação de Lagrange para se obter o
polinômio através dos pontos retirados da curva representada na Figura, a qual
representa a metade da parte interna da taça com a finalidade de obter o volume total.
OBJETIVO
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0 1 2 3 4 5 6
X = (Pr ofundidade da taça)
0
1
2
3
4
5
6Y
= (
Rai
o d
a ta
ça)
(1 ; 3 ,1 0 )
(6 ,6 ; 5 ,4 5 )(5 ; 5 ,3 0 )
(3 ; 4 ,8 0 )
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i 0 1 2 3
Xi 1 3 5 6,6
F (xi) 3,10 4,80 5,30 5,45
TABELA
210,2513,1326,0022,0
6,615131
6,653
0
23
302010
3210
XXX
XXX
XXXXXX
XXXXXX
i
L
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292,2097,3875,0069,0
6,635313
6,651
1
23
312101
3201
XXX
XXX
XXXXXX
XXXXXX
i
L
547,1297,2828,0078,0
6,653515
6,631
2
23
321202
3102
XXX
XXX
XXXXXX
XXXXXX
i
L
Disciplina: Cálculo Numérico - Prof.: Valdemir Antunes
465,0713,0279,0031,0
56,636,616,6
531
3
23
231303
2103
XXX
XXX
XXXXXX
XXXXXX
i
L
xLyxLyxLyxLyxP 332211003
465,0713,0279,0031,045,5
547,1297,2828,0078,030,5
292,2097,3875,0069,080,4
210,2513,1326,0022,010,3
23
23
23
233
xxx
xxx
xxx
xxxxP
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534,2886,3512,1169,0
199,8174,12388,4413,0
002,11866,14200,4331,0
851,6690,4011,1068,0
23
23
23
233
xxx
xxx
xxx
xxxxP
514,1888,1322,0019,0 233 xxxxP
mloucmV
dxxxxV
2,4312,431
514,1888,1322,0019,0
3
26,6
0
23
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Valor calculado.....: 431 ml
Valor medido.........: 428 ml
Erro: 0,7%
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