17/02/14 classi 5F e 5G 1

Appunti sulla crisi dei fondamenti della matematica

Gli “Elementi” di Euclide (300 a.C.)(13 volumi, 465 proposizioni, 372 teoremi, 93 problemi)

Concetti primitivi: es. “Il punto è ciò che non ha parti”; “la linea retta è una lunghezza senza larghezza che giace ugualmente tra i suoi punti”

Assiomi: es “Cose uguali ad una terza sono uguali tra loro”; “Il tutto è maggiore di una parte”

Postulati: es “Per due punti distinti passa una e una sola retta”Teoremi: es “La somma degli angoli di un triangolo misura due

angoli retti”Il quinto postulato: “Per un punto esterno ad una retta, passa

un’unica retta parallela alla retta data”.

17/02/14 classi 5F e 5G 2

Verso un’altra geometria

Si può dimostrare il V postulato a partire dagli altri postulati? NO.

Nel tentativo di dimostrare le assurde conseguenze della negazione del quinto postulato, Girolamo Saccheri (“Euclides ab omni naevo vindicatus”, 1733) pone inconsapevolmente le basi della futura geometria non euclidea.

Il quinto postulato dunque è indipendente dagli altri postulati:

Gauss riconosce la possibilità di formulare geometrie alternative, ma non pubblica le sue idee per non sentire “..le stride dei beoti” (1829).

Kant (“Critica della ragion pura”,1781): “Lo spazio non è un concetto empirico, ricavato da esperienze esterne (…), è una rappresentazione necessaria a priori, la quale serve di fondamento a tutte le intuizioni esterne”.

17/02/14 classi 5F e 5G 3

Negare il V postulato (1 parte)

Lobacevski (1835) e Bòlyai (1832): geometria iperbolica

Concetti primitivi: “la linea retta è il cammino più breve”

Postulati: “Per un punto esterno ad una retta, passano infinite rette parallele alla retta data”

Teoremi: “La somma degli angoli interni di un triangolo è minore di due angoli retti”

17/02/14 classi 5F e 5G 4

Negare il V postulato (2 p.)

Riemann (1857): geometria ellittica

Concetti primitivi: “la linea retta è il cammino più breve”

Postulati: “Per un punto esterno ad una retta, non esistono rette parallele alla retta data”

Teoremi: “La somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di due angoli retti”

17/02/14 classi 5F e 5G 5

Geometria e realtà

Su piccola scala, le geometrie sono equivalenti.

Su grande scala si osservano le differenze.

Nella teoria della relatività generale di Einstein (1816) lo spazio-tempo ha la geometria di Riemann.

17/02/14 classi 5F e 5G 6

In cerca di nuovi fondamenti

Coerenza: nella teoria dedotta dagli assiomi non si possono dimostrare risultati in contraddizione tra loro.

Completezza: gli assiomi sono sufficienti a dimostrare ogni teorema.

Geometria classica: evidenza ⇒ (verità) ⇒ coerenza

Formalismo: arbitrarietà ⇔ coerenzaHilbert (1901): programma di ottenere una teoria completa e

coerente di tutta la matematica, basata sull’ aritmetica, in modo puramente formale, definendo i simboli, le regole di formazione degli enunciati e le regole con cui, date certe premesse, si ottengono certe conclusioni.

17/02/14 classi 5F e 5G 7

Un’amara sorpresa

Gödel (1931): teorema di incompletezza

In una teoria che contenga l’ aritmetica si ha un enunciato che afferma: “l’ enunciato G è indimostrabile”

- Se tale enunciato è vero, la teoria è incompleta; - Se tale enunciato è falso, la teoria è incoerente.

In aritmetica esistono enunciati che non sono né dimostrabili né refutabili.

La coerenza di una teoria non si può ottenere dal suo interno.

Il teorema di Gödel è in realtà… un successo del formalismo!

17/02/14 classi 5F e 5G 8

Non solo matematica

La crisi dei fondamenti della matematica condivide il periodo storico con altre “crisi”:

- la fisica classica, ad opera della teoria della relatività e della meccanica quantistica;

- la filosofia positivista con la perdita delle certezze nel campo dell’ epistemologia;

- la psicologia con l’ avvento della psicoanalisi;- in campo artistico con movimenti di rottura come il cubismo

nell’ arte, la dodecafonia nella musica, il decadentismo nella letteratura.

17/02/14 classi 5F e 5G 9

Che cosa è la matematica dopo la crisi dei fondamenti?

Platonismo, logicismo, intuizionismo, formalismo, costruttivismo sociale, quasi-empirismo, etica, estetica, linguaggio …

Oppure (Wigner, 1960) “l’ irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali”… semplicemente, funziona!

17/02/14 classi 5F e 5G 9

Che cosa è la matematica dopo la crisi dei fondamenti?

Platonismo, logicismo, intuizionismo, formalismo, costruttivismo sociale, quasi-empirismo, etica, estetica, linguaggio …

Oppure (Wigner, 1960) “l’ irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali”… semplicemente, funziona!