Crisi dei fondamenti

La nascita delle geometrie

non-euclidee

Il metodo assiomatico classico

Proposizioni primitive

Nozioni comuni (il tutto > della parte)

Termini (angolo ottuso>di uno retto)

(punto non ha parti)Postulati

Postulati 1-4

• Si può condurre una ed una sola retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto

• Una retta finita si può prolungare continuamente in linea retta

• Si può descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni raggio

• Tutti gli angoli retti sono uguali fra loro

Il V postulato

• Se una retta, venendo a cadere su due rette, forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, allora le due rette prolungate illimitatamente vengono ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti

Le “anomalie” del V postulato

• Il V postulato è utilizzato molto avanti nel testo

• La proposizione inversa è un teorema

• Con il V postulato le proposizioni 16 e 17 diventano superflue

Analisi della “anomalie”

• Proposizione 16: in un triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è maggiore di ciascun dei due angoli interni ed opposti

• Proposizione 17: in ogni triangolo la somma di due angoli, comunque presi, è minore di due retti (oppure: se due rette r ed s, tagliate dalla trasversale t, si incontrano, allora la somma degli angoli che formano con t dalla parte del punto di intersezione è minore di due retti = = inverso del V postulato)

• In genere, quando valgono sia una proposizione che la sua inversa, si riesce a dimostrare entrambe partendo dalle stesse premesse

• Proposizione 27: se due rette r ed s formano con una trasversale t due angoli coniugati interni la cui somma è due retti, allora r ed s sono parallele

• Proposizione 29: se r ed s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli coniugati interni uguali (interviene il V postulato)

• Proposizione 32: in ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l’angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei tre angoli interni è uguale a due retti (interviene la proposizione 29)

La terza anomalia

• Con la proposizione 32 le proposizioni 16 e 17 diventano superflue

Tentativi di dimostrare il V postulato

• Unicità della parallela: per un punto esterno ad una data retta passa al più una retta che non incontra la retta data

• Postulato dell’obliqua: una perpendicolare ed un’obliqua ad una stessa retta si incontrano dalla parte in cui l’obliqua forma con la retta un angolo acuto

Teoremi derivati dal V postulato

• La somma degli angoli interni dei poligoni

• La similitudine fra triangoli

• Il teorema di Pitagora e il suo inverso

L’opera di Saccheri

• Ipotesi dell’angolo acuto (C=D<retto)

• Ipotesi dell’angolo retto (C=D=retto)

• Ipotesi dell’angolo ottuso (C=D>retto)

La confutazione dell’ipotesi dell’angolo ottuso

• Saccheri dimostra che nell’ipotesi dell’angolo ottuso e in quella dell’angolo retto vale il postulato dell’obliqua

• Ipotesi dell’angolo ottuso => postulato dell’obliqua => V postulato => ipotesi dell’angolo retto

• L’ipotesi dell’angolo ottuso distrugge sé stessa

Presunta confutazione dell’ipotesi dell’angolo acuto

• Per un punto esterno ad una retta data passano infinite rette che non intersecano la retta data

• L’ipotesi dell’angolo acuto è falsa perché ripugna alla natura della linea retta

Geometria iperbolica

• Per un punto P esterno ad una retta data passano due rette che incontrano la retta data ad una distanza infinita senza intersecarla (rette parallele)

• Esistono infinite rette comprese fra quelle parallele che non incontrano la retta data (rette iperparallele)

La geometria euclidea è un’approssimazione

• Le retta parallele formano con AB due angoli acuti uguali, detti angoli di parallelismo

• Si può dimostrare che l’ampiezza dell’angolo è funzionale alla lunghezza di AB e viceversa

• Se AB tende a 0 l’angolo tende all’angolo retto• In zone “piccole” del piano iperbolico vale la geometria

euclidea

Triangoli iperbolici

• I lati sono determinati dagli angoli• La somma degli angoli interni è minore di due retti e

varia da triangolo a triangolo• A=K(2R-S) è determinata dagli angoli quindi è

superiormente limitata Amax=k 2R

Modello di Klein

• Si dimostra la coerenza della nuova geometria

Modello di Poincaré

• Si elimina il difetto grafico

Geometria sferica (ellittica)

• Corrisponde all’ipotesi dell’angolo ottuso!

Come si può accettare l’ipotesi dell’angolo ottuso?

• Per un punto esterno ad una retta data non passano rette parallele alla retta data

• Se viene negato solo il V postulato si crea una geometria contraddittoria

• Quindi per due punti passano almeno due rette (polo nord e polo sud)

• Le rette non hanno lunghezza infinita• Modificando il primo e il secondo postulato si può

costruire una geometria non contraddittoria

Particolarità della geometria sferica

• La somma degli angoli interni di ogni triangolo è maggiore di due retti

• Tutte le rette hanno la stessa lunghezza finita

• Tutte le perpendicolari ad una stessa retta si incontrano in due punti

• In zone piccole della geometria sferica valgono le leggi di Euclide

• La misura dei segmenti è determinata dagli angoli al centro della circonferenza

Il metodo assiomatico moderno

• Distinzione fra sintassi e semantica• È un procedimento ipotetico-deduttivo• Necessita solo di correttezza formale, non di applicabilità

nel mondo materiale• I postulati non sono veri “di per sé” ma solo nell’ambito

della teoria• Ogni teoria, coerente e formalmente corretta, viene

accettata

Qual è la geometria vera?

• Poincaré: questa domanda non ha senso. E’ come chiedersi se è vero l’ordinamento delle coordinate cartesiano o l’ordinamento di quelle geografiche. Non esistono geometrie vere o false, ma solo più comode o meno comode

• Sono più comode le geometrie non-euclidee per descrivere fenomeni fisici della relatività di Einstein

• Per lo studio del nostro sistema di riferimento è più comoda quella euclidea

• Comunque si giungerebbe alle stesse conclusioni

La seconda rivoluzione scientifica

• Lo spazio come lo percepiamo noi non è più assoluto, come pensavano Euclide, Newton e Kant, ma varia da regione a regione dell’universo