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Modulo 2: Problemi sulle Coordinate Cartesiane e Polari

APPUNTI DI TOPOGRAFIA

MODULO 2

PROBLEMI SULLE COORDINATE CARTESIANE E POLARI

PROF. SPADARO EMANUELE


http://spadaroemanuele.altervista.org/ 2

PREMESSE

Per individuare la posizione di un punto nei piano, e per la successiva rappresentazione grafica, è necessario dare le sue coordinate rispetto ad un sistema di riferimento. Le coordinate planimetriche di un punto sono sempre due numeri e possono essere essenzialmente di due tipi:

• coordinate cartesiane ;

• coordinate polari.

COORDINATE CARTESIANE

Le coordinate cartesiane (più correttamente dette coordinate cartesiane ortogonali perché gli assi cartesiani di riferimento sono ortogonali fra loro) sono particolarmente utili nella restituzione (disegno) di un rilievo topografico. La posizione di ogni punto P è definita dalle due coordinate xp ed yP che ad esso si associano. La coordinata xP è la distanza che c'è fra il punto P e l'asse delle Y (asse delle ordinate), analogamente la yp è la distanza che c'è fra il punto P e l'asse delle X (asse delle ascisse). Spesso lo studente non riesce ad associare in modo corretto l’asse X o Y al termine ascisse o ordinate. Si suggerisce la seguente assonanza ascisse = ascix per favorire la corretta associazione.

Le coordinate cartesiane del punto P possono essere indicate in uno dei seguenti modi:

• esplicito: xP = ...........; yP = ..............

• implicito: P(xP; yP); P≡(xP; yP) nel modo implicito si mette sempre prima la x e poi la y.



COORDINATE POLARI Le coordinate polari sono utili in fase di rilievo. Esse si riferiscono ad un sistema costituito da un unico asse ON detto asse polare. Le coordinate polari di un punto P sono:

• la distanza fra l’origine O del sistema (detto polo) e il punto stesso;

• e l’angolo orizzontale (misurato su di un goniometro orizzontale) ϑϑϑϑOP (detto azimutale) di cui si deve ruotare, in senso orario, l’asse polare per farlo sovrapporre alla congiungente l’origine con il punto in questione.

Le coordinate cartesiane del punto P possono essere indicate in uno dei seguenti modi:

• esplicito: ϑOP = ...........; OP = ..............

• implicito: P(ϑOP; OP); P≡(OP; ϑOP) in questo caso non esiste un ordine di precedenza fra l’angolo e la distanza poiché l’angolo e la distanza sono grandezze di tipo diverso. L’angolo azimutale diventa azimut quando l’asse polare ON viene indirizzato verso il nord oppure è parallelo all’asse Y di un sistema di riferimento cartesiano.

• esplicito: (OP) = ...........; OP = .............. • implicito: P[(OP); OP]; P≡[(OP); OP] La distanza OP non varia ne come simbolo ne come valore numerico, mentre l’angolo cambia sia come simbolo, che come nome, che come valore numerico.



PASSAGGIO DA COORDINATE POLARI A CARTESIANE

Poiché il rilievo viene molto spesso effettuato con coordinate polari (utilizzando tacheometri e teodoliti che inizieremo a conoscere nel modulo 4), mentre il disegno viene molto spesso effettuato con coordinate cartesiane (perché è più preciso) è necessario effettuare il passaggio dalle une alle altre. Allo scopo si utilizzeranno le formule (1), ricavate applicando il primo e secondo teorema sui triangoli rettangoli (vedi modulo 1) OP’P in figura

Nella figura si è fatto coincidere l’origine del sistema cartesiano con l’origine dei sistema polare e l’asse delle ordinate con l’asse polare. xp = OP Sin(OP) (1) yp = OP cos(OP)

PASSAGGIO DA COORDINATE CARTESIANE A POLARI In alcuni problemi didattici e della pratica operativa del Geometra, vengono fornite le coordinate cartesiane di punti già rappresentati su di un disegno (vertici, ad esempio, di un appezzamento di terreno), e sì richiede di calcolare le coordinate polari degli stessi rispetto ad un sistema polare con origine coincidente con quella del sistema cartesiano e asse delle ordinate coincidente con l’asse polare (allo scopo, ad esempio, dell’effettuazione di calcoli relativi all’appezzamento in questione). Le formule necessarie per raggiungere lo scopo verranno ricavate. come segue, applicando il primo, secondo e terzo teorema sui triangoli rettangoli (vedi modulo 1) al triangolo rettangolo OP’P in figura.

Per calcolare la distanza OP possiamo utilizzare la seguente formula (2) ottenuta applicando il teorema di Pitagora al triangolo prima detto:

2P

2P yxOP ++++==== (2)

oppure una delle seguenti (3) ricavate applicando il primo e secondo teorema sui triangoli rettangoli OP = xp / sin(OP) (3) OP = yP / cos(OP)



Per calcolare l’azimut (OP) applichiamo il terzo teorema sui triangoli rettangoli sempre al triangolo OP’P:

xp = yP tg(OP) da cui:

tg(OP) = xp / yP

ed infine: (OP) = arctg(xp / yP) + k (4) Il k che compare nella (4) è un termine correttivo che consente di eliminare l’errore che commetterebbe la calcolatrice. Infatti facendo l’arcotangente di un numero positivo la calcolatrice ci da sempre un angolo dei primo quadrante (mentre però potrebbe essere anche del terzo) analogamente tacendo l’arcotangente di un numero negativo la calcolatrice ci da sempre un angolo del primo quadrante col segno meno (mentre però potrebbe essere un angolo del secondo o del quarto quadrante). Stabiliremo il valore da assegnare al k in base al segno di xP e di yp come riassunto nella tabella che segue:

Segni del Rapporto

x/y

Quadrante di Appartenenza dell’angolo

Valore da attribuire al k

sessagesimali centesimali

1° caso

+ / +

L’azimut è del primo quadrante

0°

0g

2° caso

+ / -

L’azimut è del secondo quadrante

180°

200g

3° caso

- / -

L’azimut è del terzo quadrante

180°

200g

4° caso

- / +

L’azimut è del quarto quadrante

360°

400g

I valori per k sono stati ricavati in base alle seguenti considerazioni:

Questo è il caso in cui sia la xp che la yP sono positivi. Il valore dato dalla calcolatrice facendo l’arcotangente di xp/yP e quello corretto perciò al k si attribuisce valore 0°



Questo è il caso in cui la xp è positiva mentre la yP è negetiva. Il valore dato dalla calcolatrice facendo l’arcotangente di xp/yP e quello che corrisponde a (OP)* (che è negativo) per effettuare la correzione e determinare quindi l’azimut (OP) cercato bisogna, come si vede dalla figura, sommare al valore dato dalla calcolatrice l’angolo piatto (180°). Perciò a1 k si attribuisce valore 180°. Questo è il caso in cui sia la xp che la yP è negativa. Il valore dato dalla calcolatrice facendo l’arcotangente di xp/yP e quello che corrisponde a (OP)* (che è positivo) per effettuare la correzione e determinare quindi l’azimut (OP) cercato bisogna, come si vede dalla figura, sommare al valore dato dalla calcolatrice l’angolo piatto (180°). Perciò a1 k si attribuisce valore 180°. Questo è il caso in cui la xp è negativa mentre la yP è positiva. Il valore dato dalla calcolatrice facendo l’arcotangente di xp/yP e quello che corrisponde a (OP)* (che è negativo) per effettuare la correzione e determinare quindi l’azimut (OP) cercato bisogna, come si vede dalla figura, sommare al valore dato dalla calcolatrice l’angolo giro (360°). Perciò a1 k si attribuisce valore 360°.



COORDINATE TOTALI E PARZIALI

Se in un piano cartesiano vengono date le coordinate cartesiane di due punti A e B si dice che xA , yA , xB , yB , sono le coordinate totali (che comunque noi chiameremo semplicemente coordinate) perché si riferiscono all’unico sistema esistente OXY. Se introduciamo un secondo sistema cartesiano di riferimento con origine in A e con asse X’ parallelo a X e Y’ parallelo ad Y si avrà che i punti A e B in questione oltre ad avere le coordinate totali riferite al vecchio sistema (che chiameremo sistema principale) OXY avranno delle coordinate dette parziali riferite al sistema secondario AX’Y’.

Le coordinate parziali si indicano con seguenti termini:

(xB)A e (yB)A

Il termine: (xB)A si legge x di B rispetto ad A ed analogamente il termine: (yB)A si legge y di B rispetto ad A

Le coordinate parziali sono legate alle coordinate totali dalle seguenti relazioni ricavate ragionando sulla precedente figura:

(xB)A = xB - xA (5)

(yB)A = yB - yA

CALCOLO DELLA DISTANZA E DELL’AZIMUT FRA DUE PUNTI DI NOTE COORDINATE CARTESIANE

Ragionando sul triangolo rettangolo ABB’ della figura a fianco ed applicando i teoremi sui triangoli rettangoli, (come abbiamo fatto nel passaggio da coordinate cartesiane a polari), per la distanza si ottiene:

2AB

2AB )y()x(AB +=

Che sostituendo le (5) diventa:

2AB

2AB )yy()xx(AB −−−−++++−−−−==== (6)



Alla (6), per il calcolo della distanza, si possono affiancare le seguenti:

)ABsin(

)x(AB AB=

)ABcos(

)y(AB AB=

nelle quali sostituendo le (5) otteniamo:

)ABsin(

xxAB AB −−−−

==== )ABcos(

yyAB AB −−−−

==== (7)

Per calcolare l’azimut (AB) applicando il terzo teorema sui triangoli rettangoli al triangolo in figura, (come abbiamo fatto nel passaggio da coordinate cartesiane a polari), otteniamo:

tg(AB) = (xB)A / (yB)A da cui:

k)y(

)x(arctg)AB(

AB

AB +=

nella quale sostituendo le (5) otteniamo:

kyy

xxarctg)AB(

AB

AB ++++−−−−−−−−

==== (8)

il valore da attribuire al k della (8) lo si deduce, in base ai segni che assumono il numeratore ed il denominatore dopo aver sostituito i numeri, dalla tabella di pag. 5.

AZIMUT E CONTROAZIMUT Se indichiamo con (AB) l’azimut del segmento che da A va verso B, l’azimut che da B va verso A si chiamerà (BA). I due azimut hanno le stesse lettere ma invertite cioè l’uno è il contrario dell’altro in altri termini possiamo dire che l’uno è il controazimut dell’altro. Quindi se diciamo che (AB) è l’azimut (BA) è il suo controazimut. Viceversa se diciamo che (BA) è l’azimut (AB) è il suo controazimut.

Fra azimut e controazimut la relazione, come sì vede dalla figura, è la seguente;

(BA) = (A B) ± 180° dove: si metterà il segno + se (AB) è minore di 180° si metterà il segno - se (AB) è maggiore di 180°.



RISOLUZIONE DI UN TRIANGOLO DEL QUALE SONO NOTE LE COORDINATE CARTESIANE DEI VERTICI

Se di un triangolo conosciamo le coordinate cartesiane dei vertici, possiamo effettuare la risoluzione del triangolo utilizzando:

• le formule per il calcolo della distanza fra due punti di note coordinate cartesiane per trovare i lati;

• il teorema di Carnot per trovare gli angoli; • la formula di camminamento per trovare la superficie.

La procedura da seguire per la figura a fianco é la seguente: l) si calcolano i lati con le seguenti formule:

2BC

2BC

2AC

2AC

2AB

2AB

)yy()xx(BC

)yy()xx(AC

)yy()xx(AB

−+−=

−+−=

−+−=

2) si calcolano gli angoli con le seguenti formule:

BCAC2

ABBCACarccos

BCAB2

ACBCABarccos

ACAB2

BCACABarccos

222

222

222

⋅⋅−+=γ

⋅⋅−+=β

⋅⋅−+=α

3) si calcala la superficie con una delle seguenti formule:

S = ½ AC⋅BC⋅sinγ S = ½ AB⋅BC⋅sinβ S = ½ AB⋅AC⋅sinα

RISOLUZIONE DI UN POLIGONO DEL QUALE SONO NOTE LE COORDINATE CARTESIANE DEI VERTICI

Se di un poligono conosciamo le coordinate cartesiane dei vertici, possiamo effettuare la risoluzione del triangolo utilizzando:

• le formule per il calcolo della distanza fra due punti di note coordinate cartesiane per trovare i lati;

• la differenza degli azimut per trovare gli angoli (dopo aver trovato gli azimut con le formule per il loro calcolo):



• la formula di camminamento per trovare la superficie di un poligono con più di quattro lati, oppure somma di aree di due triangoli se il poligono è un quadrilatero oppure le formule di Gauss che dimostreremo nel modulo 9.

La procedura da seguire per la figura a fianco è la seguente: 1) si calcolano i lati con le seguenti formule:

2AD

2AD

2CD

2CD

2BC

2BC

2AB

2AB

)yy()xx(AD

)yy()xx(CD

)yy()xx(BC

)yy()xx(AB

−+−=

−+−=

−+−=

−+−=

2) si calcolano gli angoli con le seguenti formule

kyy

xxarctg)AD(

kyy

xxarctg)AB(

AD

AD

AB

AB

+−−

=

+−−

=

⇒ α = (AD) – (AB);

°+=

+−−

=

180)AB()BA(

kyy

xxarctg)BC(

BC

BC

⇒ β = (BA) – (BC);

°+=

+−−

=

180)BC()CB(

kyy

xxarctg)CD(

CD

CD

⇒ γ = (CB) – (CD); δ = 360°- (α + β + γ)

3) si calcola la superficie con una delle seguenti formule:

• la formula di camminamento per trovare la superficie di un poligono con più di quattro lati;

• lati somma di aree di due triangoli se il poligono è un quadrilatero; • le seguenti formule di Gauss che dimostreremo nel modulo 9.

∑=

+− −=n

1i1i1ii )yy(x

2

1S ; ∑

=−+ −=

n

1i1i1ii )xx(y

2

1S (per i vertici che ruotano in senso orario)

∑=

−+ −=n

1i1i1ii )yy(x

2

1S ; ∑

=+− −=

n

1i1i1ii )xx(y

2

1S (per i vertici che ruotano in senso antiorario)



dove per i = 1 si pone 1 - 1 = n, essendo n il vertice antecedente ad i e per i = n si pone n + 1 = l, essendo 1 il vertice successivo a n.

REGOLA DEL TRASPORTO DEGLI AZIMUT

Alcune volte sono note le coordinate dei vertici dl un po1igono e si richiede la sua risoluzione (come nel due paragrafi precedenti), altre volte, invece, sono noti tutti gli elementi di un poligono, le coordinate di un suo vertice ed un azimut e si richiede il calcolo delle coordinate di tutti gli altri vertici (questo è particolarmente utile nella realizzazione di un disegno nel modo più preciso possibile)

Analogamente:

xC = xB + BC sin(BC)

yC = yB + BC cos(BC) prima però, come si vede dalle formule bisogna calcolare l’azimut (BC). Allo scopo possiamo applicare la regola del trasporto degli azimut che si enuncia come segue: l’azimut di un lato è uguale all’azimut del lato precedente più o meno (±) l’angolo al vertice formato tra i due lati, più a meno (±) l’angolo piatto (180°). Con riferimento alla figura la regola si può scrivere nel seguente modo:

(BC) = (AB) ±±±± ββββ ±±±± 180° Per stabilire i segni nel primo trasporto si ragiona sulla figura :

• si trasporta (AB) sul vertice B; • si tiene conto che l’azimut (BC) parte dalla direzione verticale passante per B e

raggiunge la direzione BC;

Se nella figura a fianco supponiamo di conoscere tutti i lati (meno eventualmente AF tutti gli angoli (meno eventualmente ϕ , le coordinate di A e l’azimut (AB) e possibile calcolare le coordinate di tutti gli altri vertici utilizzando invertite le (7) di pagina 8. Ad esempio per il punto B avremo:

xB = xA + AB sin(AB)

yB = yA + AB cos(AB)



• che ruotando in senso orario si effettua somma mentre ruotando in senso antiorario si effettua sottrazione;

• ed infine che l’azimut non può essere ne negativo ne maggiore dell’angolo giro (360°).

Nel caso della figura si avrà quindi che:

• con + (AB) si e superata la direzione BC quindi si deve tornare indietro (ruotare in senso antiorario);

• si torna indietro quindi si sottrae 180°, ma si è tornato troppo indietro perciò bisogna ritornare avanti (ruotare io senso orario);

• si somma quindi β. L’azimut (BC) sarà perciò:

(BC) = (AB) + β - 180°.

Per i trasporti successivi il segno davanti all’angolo del poligono non varia (se gli angoli sono dalla stessa parte rispetto ad un osservatore che percorre il contorno del poligono, in caso contrario si ripete il ragionamento fatto sulla figura per il primo trasporto) mentre per il segno davanti al 180° si avrà che:

• esso sarà positivo se la somma dei primi due termini e minore di 180°; • viceversa sarà negativo se la somma dei primi due termini é maggiore di 180°.

Infine se sottraendo i 180° (detti sopra) l’azimut rimane maggiore di 360° ad esso bisognerà sottrarre ancora 360°.



ESERCIZI

1) Del appezzamento triangolare ABC sono note le coordinate cartesiane dei vertici:

A(19,42m, 13,18m); B(55,26m, 63,98m); C(80,84m, -18,89m). Risolvere il triangolo.

(R.: AB = 62,17m; AC = 69,29m; BC = 86,73m; α = 82°22’07”; β = 52°21’28”; γ = 45°16’25”; S = 2134,80m2.)

2) Dell’appezzamento quadrilatero ABCD sono note le coordinate cartesiane dei vertici: A(12,35m, -6,42m); B(-15,40m, 16,71m); C(39,41m, 27,82m); D(43,16m, 7,02m).

Effettuare la figura in scala opportuna e risolvere il quadrilatero.

(R.: AB = 36,13m; BC = 55,92m; CD = 21,14m; AD = 33,61m;

α = 116°37’13”; β = 51°16’13”; γ = 88°45’41”; δ = 103°20’53”; S = 1133,74m2.)

3) Di un triangolo ABC sono note le coordinate cartesiane dei suoi vertici:

xA = 12,03m; yA = 9,10m; xB = 65,45m; yB = 89,32m; xC = 142,58m; yC = 63,94m. Risolvere il triangolo, determinare i1 raggio del cerchio inscritto e le coordinate dell’incentro. Fare il disegno in scala opportuna.

(R.: AB = 96,38m; BC = 81,20m; AC = 141,60m; α = 33°33’19”; β = 105°26’37”; γ = 41°00’04”; S = 3771,74m2; r = 23,63m; xO = 75,14m; yO = 61,24m.)

4) Della poligonale aperta ABCD sono noti i seguenti elementi:

xA = 13,03m; yA = 20,99m; (AB) = 136°11’

AB = 33,12m; BC = 79,39m; CD = 37,45m; CBA = β = 278°49’; DCB = γ = 74°15’. Determinare le coordinate cartesiane dei vertici della poligonale e le aree dei triangoli AEB e CDE (essendo E il punto d’incontro fra il lato BC e la congiungente AD). Fare la figura in scala opportuna.

(R.: xB = 35,96m; yB = -2,91m; xC = 84,14m; yC = 60,19m; xD = 106,62m; yD = 30,24m; SAEB = …….m2; SCDE = …….m2.)

5) Della poligonale aperta ABCDE sono noti i seguenti elementi:

AB = 31,12m; BC = 8,39m; CD = 23,44m; DE = 12,12m;

ABC = β = 121°10’; BCD = γ = 254°15’; EDC = δ = 115°18’.



Determinare le coordinate cartesiane dei vertici della poligonale rispetto ad un sistema di assi cartesiani con origine in A e semiasse positivo delle ascisse coincidente con il lato AB.

(R.: xA = yA = 0,00m; xB = 31,12m; yB = 0,00m; xC = 35,46m; yC = 7,18m; xD = 58,06m; yD = 0,95m; xE = 60,14m; yE = -10,99m.)

6) Il triangolo ABC é stato rilevato con un teodolite sessagesimale destrorso determinando gli elementi riassunti nel seguente specchietto (registro di campagna):

Punto di stazione

Punti collimati

Letture al cerchio orizzontale (azimutali)

Distanza topografica

A B 31°22’15” 49,042m C 343°44’12” ---

B C 241°42’05” --- A 196°00’35” 49,044m

Riferendo il triangolo ad un sistema di assi cartesiani con origine in A e semiasse positivo delle ordinate diretto lungo AB, si determino le coordinate dei vertici e l’area del triangolo.

(R.: xA = yA = 0,000m; xB = 0,000m; yB = 49,043m; xC = -25,974m; yC = 23,689m; S = 636,920m2.)

7) Il quadrilatero ABCD è stato rilevato con un teodolite sessagesimale destrorso determinando gli elementi riassunti nel seguente specchietto (registro di campagna):

Punto di stazione

Punti collimati



A

D 35°22’45” 124,674m B 335°44’12” 122,383m C 356°12’05” 179,684m

Riferendo il poligono ad un sistema di assi cartesiani con origine in A e semiasse positivo delle ascisse diretto lungo AC. Determinare le coordinate dei vertici e calcolare gli elementi del quadrilatero.

(R.: A(0,000m, 0,000m); B(114,659m; 42,789m); C(179,684m; 0,000m);

D(96,646m; -78,760m); DC = 114,449m; BC = 77,841m; α = 59°37’50”; β = 126°11’21”; γ = 76°49’53”; δ = 97°20’13”; S = 10920,205m2.)

8) Di un triangolo ABC, i cui vert ic i ruotano in senso ant iorar io, sono note le coordinate dei punti A e C e i corrispondenti angoli interni:

xA = 12,00m; yA = 36,00 m; xC = 48,00m; yC =156,00 m α = 92g,0164 γ = 65g,9095

Determinare: le coordinate del vertice B; le coordinate del baricentro G e del centro O del cerchio inscritto al triangolo: l'area del triangolo AGO.

(R.: xB = 185,12m; yB = 6,99m; xO = 67,64m; yO = 70,63m; xG = 81,70m; yG = 66,33m; SAGO = 363,04 m2.)



9) Il quadrilatero ABCD è stato rilevato con un teodolite centesimale destrorso determinando gli elementi riassunti nel seguente specchietto (registro di campagna):

Punto di stazione

Punti collimati



B A 331,345gon 31,99m C 46,125gon 35,15m

C B 73,347gon --- D 171,893gon 46,58m

Sono inoltre noti:

xA = 23,04m; yA = 18,33m; (AB) = 135,389gon

Determinare le coordinale dei vertici e calcolare gli elementi del quadrilatero.

(R.: B(50,21m; 1,35m); C(75,13m; 26,24m); D(39,56m; 56,03m); AD = 41,16m; α = 109,097gon; β = 114,780gon; γ = 77,577gon; δ = 77,577gon; S = …….m2.)

10) Di un triangolo ABC, i cui vert ic i ruotano in senso ant iorar io, sono note 1e coordinate dei punti A e B e i lati AC e BC:

xA = 52,00m; yA = 206,00m; xB = 65,00m; yB = 77,00m AC = 98,50m; BC =112,30m

Determinare: le coordinate del vertice C, le coordinate dei centri Oa, Ob ed Oc dei cerchi ex-inscritti al triangolo e l'area del triangolo OaObOc.

(R.: xC = ..........m; yC = ...........m; xOa = 151,09m; yOb = -123,75m;

xOb = 227,99m; yOb = 157;39 m; xOc = ...............m; yOc = .................5m; S = 28279,98m2)

11) In un triangolo ABC sono state misurate le lunghezze dei tre lati: AB = 57,50m; BC = 74,40m; AC =114,85m

Fissando un, sistema di riferimento cartesiano ortogonale con origine in A e con asse delle ascisse orientato sulla direttrice AB, determinare: le coordinate del vertice C, le coordinate dell'ortocentro H del triangolo (ortocentro = punto di intersezione delle altezze di un triangolo), le coordinate del punto K su BC, intersezione della congiungente tra il punto H e il punto medio M del lato AC e il lato BC, l'area del triangolo MKC.

(R.: xC = 95,35m; yC = -64,07m; xH = 149,25m; yH = -88,12m; xK = ............m: yK = ............m; SMKC = ................m2)

12) In un triangolo ABC, i cui vert ic i ruotano in senso ant iorar io, sono state misurate le lunghezze dei tre lati:

AB =152,60m; BC=132,70m; AC =167,56m Fissando un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con origine in A e con asse delle ascisse orientato sulla direttrice AB, determinare: le coordinate del vertice C, le coordinate del punto K intersezione tra la bisettrice dell'angolo in A e della mediana relativa al lato AC; le coordinate del punto O centro del cerchio inscritto a1 triangolo ABK; 1’area del triangolo ABK.

(R.: xC = ..........m; yC = ...........m; xK = 89,79m; yK = 40,63m;

xO = 88,17m; yO =19,02 m; SABK = 3100,17m2)



13) In un quadrilatero ABCD sono note le coordinate dei suoi vertici: xA = 0,00m; yA = 0,00m; xB = 162,50m; yB = 0,00m

xC = 130,40m; yC = 128,80m; xD = 32,60m; yD = 97,80m Determinare le coordinate del punto K intersezione delle diagonali, le coordinate del punto H intersezione tra gli assi dei lati AD e CD, l'area del quadrilatero.

(R.: xK = 70,29m; yK = 69,42m; xH =112,03m; yH = 16,99m; S = 14742,12m2)

14) In un quadrilatero ABCD sono note le coordinate dei suoi vertici: xA = 0,00m; yA = 0,00m; xB =162,50m; YB = 0,00m

xC = 130,40m; yC = 128,80m; xD = 32,60m; yD = 97,80m Determinare le coordinate del centro O del cerchio inscritto al triangolo ABC, le coordinate del baricentro G del triangolo che ha come vertici il precedente centro O e i punti medi dei lati AD e CD, l'area di quest'ultimo triangolo.

(R.: xO = 82,64m; yO = 27,84m; xG = 44,85m; yG = 84,16m; S = 6202,51m2) 15) In un quadrilatero ABCD, i cui vert ic i ruotano in senso ant iorar io, sono note le coordinate dei punti A e C:

xA = 0,00m; yA = 0,00m; xC = 148,00m; yC = 126,00m Sono poi stati misurati i seguenti elementi:

α = 97g,0709; β = 85g,0171; CD = 137,82m; AD = 135,81m Determinare: le coordinate dei vertici B e D, le coordinate del punto K intersezione della diagonale AC con la congiungente i punti medi del lati AD e BC; le coordinate del punto H intersezione della diagonale BD con la congiungente i punti medi dei lati AD e B C.

(R.: xB = .............m; yB = .............m; xD = .............m; yD = .............m;

xK = 75,58m; yK = 64,35m; xH = 94,61m; yH = 63,44 m) 16) Di un triangolo ABC, i cui vert ic i ruotano in senso ant iorar io, sono noti:

α = 62g,5200; xA = 0,00m; yA = 0,00m; xC = 106,50m; yC = 70,80m Non potendo misurare la lunghezza del lato AB si è sviluppata la spezzata AMNB misurando i seguenti elementi:

BAM = 22g,4500; AMN = 208g,7700; MNB = 117g,5153; AM = 42,00m; MN = 48,50m; NB = 51,80m

Determinare: le coordinate del vertice B e le coordinate del baricentro G del triangolo.

(R.: xB =108,98m; yB = - 45,48m; xG = 71,83m; yG = 8,44m; AB = 118,09m) 17) L'asse di un canale è composto da una sequenza di segmenti di estremi ABCDEF. Si sono misurati i seguenti elementi:

AB = 85,36m; BC = 110,18m; CD = 101,38m; DE = 92,70m; EF = 74,50m; ABC = β = 108°,0370; BCD = γ = 249°,7407; CDE = δ = 132°,0370; DEF = ε = 233°,4444

Determinare la distanza tra gli estremi A ed F del canale.

(R.: AF = 383,71m)



18) Si sono collegati gli estremi A ed E di un tratto di strada rettilinea con una spezzata ABCDE, e sono state effettuate le seguenti misure:

AB = 273,25m; BC = 524,08m; CD = 388,43m; DE = 356,91m; ABC = β =135g,3210; BCD = γ = 144g,0154; CDE = δ = 141,2098

Determinare la lunghezza del tratto di strada e gli angoli che essa forma con i lati AB ed ED della spezzata.

(R.: AE = 930,88m; EAB = 94g,0430; AED = 85g,4104) 19) Tra i punti A ed E sono presentì ostacoli che impediscono la misura diretta della distanza tra i punti stessi. Questi sono poi stati collegati con una spezzata ABCDE e sono state effettuate le seguenti misure:

AB = 165,00m; BC = 72,50m; CD = 90,46m; DE = 122,34m; ABC = β = 54g,0503; BCD = γ = 123g,6391; CDE = δ =142g,1165

Determinare: la distanza tra A ed E e le coordinate del punto K intersezione del segmento AE con Ia bisettrice dell'angolo BCD, rispetto a un sistema di riferimento cartesiano con origine in A e asse delle ordinate diretto lungo AB.

(R.: AE = ............m; xK = ...........m; yK = ............m)

20) Tra i punti A ed E sono presenti ostacoli che impediscono la misura diretta della distanza. Questi sono poi stati collegati con una spezzata ABCDE e sono state effettuate le seguenti misure:

AB = 65,00m; BC = 92,50m; CD = 110,40m; DE=105,80m ABC = β = 154g,0503; BCD = γ = 163g,6391; CDE = δ =142g,1100

Determinare: la distanza tra A ed E e le coordinate del punto K intersezione del segmento AE con la bisettrice dell'angolo BCD, rispetto a un sistema di riferimento cartesiano con origine in A e asse delle ascisse diretto lungo AB.

(R.: AE = 272,59m; xK = 47,07m; yK = 116,31m) 21) Tra í punti A e D è stata sviluppata la spezzata ABCD e sono state effettuate le seguenti misure:

AB = 75,00m; BC = 112,60m; CD = 83,50m; ABC = β = 144g,7419; BCD = γ = 151g,5315

Determinare: la distanza tra A e D; le coordinate del punto K intersezione tra il prolungamento de: Iato DC, dalla parte di C. e la perpendicolare, tracciata da A, alla congiungente AD, rispetto a un sistema di riferimento cartesiano con origine in A e asse delle ascisse diretto lungo AB, le coordinate del baricentro G del triangolo ADK.

(R.: AD = 221,52m; xK = 160,86m; yK = -135,78m; xG = 101,22 m; yG = 11,18m)

appunti di topografia modulo 2 -...

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