Apostila – Paradigmas de

Programação

José Corrêa Viana

jcorrea@unipam.edu.br

jcorreavian@hotmail.com

twitter.com/rhuodox

facebook.com/ jcorreaviana

Patos de Minas, 2014.

O que você encontrará aqui

O objetivo dessa apostila é auxiliar no processo de aprendizado e fixação dos

conteúdos vistos em sala de aula. Essa apostila abordará conceitos sobre:

Linguagens regulares;

Paradigma Imperativo;

Paradigma Lógico Funcional;

Paradigma Orientado a Objeto.

Qualquer dúvida e/ou sugestões para adicionar valor a este material, basta

entrar em contato nos meios de comunicação disponibilizados na primeira

página dessa apostila.

Primeiros Conceitos

Acredito que a primeira pergunta que surge em nossa mente quando

iniciamos um novo estudo é saber por que estamos fazendo isso correto?

Então talvez a melhor candidata como primeira pergunta dessa disciplina

seja: “O que é Paradigma de Programação?”. Espero ter acertado que essa

seja sua pergunta ou que seja ao menos algo semelhante. Mas vamos

começar por ela.

Pois bem. Paradigma de Programação nada mais é do que a estrutura ou a

maneira que um programa será executado. Através de um exemplo fica mais

fácil, correto?! :

O que diferencia as linguagens Java ou C# das linguagens COBOL ou

Pascal partindo da visão essencial de cada uma?

Java e C# São linguagens de programação ORIENTADAS A OBJETO, ou

seja, o programador deve ter a capacidade de abstrair que uma linguagem

com essa característica trabalha através da interação de objetos, correto?!

As linguagens COBOL e Pascal são linguagens onde o programador deve

entender que o programa será executado como uma pilha de funções

executadas de maneira sequencial, ou seja, PROGRAMAÇÃO FUNCIONAL.

Se fizermos uma analogia com Engenharia de Software, existem diversas

metodologias que possuem suas particularidades correto? As metodologias

ágeis – Scrum, XP, etc - se diferenciam das metodologias tradicionais –

Processo Unificado, Cascata, Espiral – através de suas características e

também devido a sua aplicabilidade em determinados problemas que devem

ser resolvidos. Os Paradigmas de Programação possuem basicamente o

mesmo conceito: diferentes linguagens de programação possuem diferentes

paradigmas de programação.

Java, C#, Pascal e COBOL são poucos exemplos de linguagens que possuem

no mercado. Vou deixar como tarefa para você pesquisar mais alguns

exemplos de linguagens de programação e quais seus paradigmas. Para

iniciar suas pesquisas, lhe ajudarei com uma excelente dica! Clique aqui

para ver qual é. .

Vamos começar então vendo alguns conceitos de linguagens regulares e

alguns conceitos importantes, como autômatos, expressão regular e

gramática regular.

Autômato Finito

Então, o que é um autômato finito?

Autômatos finitos são máquinas que possuem basicamente três

componentes e que são bem fáceis de ser lembrados:

1. Fita: dispositivo que tem a informação que será processada;

2. Unidade de Controle: estado corrente da máquina. Essa possui uma

unidade de controle que acessa um estado da fita e que se movimenta

exclusivamente para a direita;

3. Programa ou função de transição: determina o novo estado da

máquina através de leituras e de funções.

Figura 2 - Exemplo de um autômato de estado finito com a fita, controle e estados

Figura 1 – Exemplos de autômatos: Semáforo, porta eletrônica e elevador.

Através da imagem podemos ver que o funcionamento de um autômato é

bem simples. Basicamente ele possui um caminho a ser seguido (fita) que, de

acordo com uma função ou leitura, ele muda seu estado e para saber qual o

estado atual é utilizado um controle ou um indicador de qual o estado atual.

No exemplo a cima a fita é lida pelo programa como nós lemos essa apostila,

sempre da esquerda para a direita.

Definindo um autômato finito, temos algumas propriedades que nos ajudam

a entender melhor como isso funciona. Vamos ver as definições formais e

depois veremos alguns exemplos que podem nos auxiliar a compreender

melhor os autômatos finitos.

Autômato Finito Determinístico

Existem algumas propriedades que são utilizadas ao realizar a diagramação

de um autômato (veremos alguns exemplos mais à frente).

Figura 3 - Representação da mudança de estados de um autômato através da leitura de um símbolo

Figura 4 - Representação de um estado inicial e um estado final

O que define o autômato finito é uma quíntupla (ou 5-upla) definida por:

, onde:

Essa quíntupla pode parecer um pouco confusa no início do conteúdo, mas

com exemplos ficará mais fácil de entender e com o passar do tempo você irá

decorá-la intuitivamente. Prometo! .

Vamos voltar às figuras apresentadas acima e vamos explicar como funciona

a porta eletrônica. Essa porta é utilizada em shoppings, supermercados e em

outros lugares. Para que ela abra automaticamente existem dois tapetes,

um de frente para a porta do lado interno e outro tapete do lado externo.

Isso porque pessoas devem entrar e pessoas querem sair. A porta irá abrir

quando uma pessoa se aproximar e se fechará quando a pessoa se distanciar

da porta.

Figura 5 - Visão por cima de uma porta automática

A porta pode assumir dois estados: aberto ou fechado. Ele irá mudar de um

estado para o outro de acordo com o estímulo que receber e, nesse caso,

existem quatro possibilidades:

1. Frente: pessoa está no tapete da frente (me deixe entrar!);

2. Retaguarda: pessoa está no tapete de dentro (me deixe sair!);

3. Ambos: existe uma pessoa no tapete da frente e outra no tapete de

dentro;

4. Nenhum: não há ninguém sobre os tapetes.

Vamos supor que a porta receberá a seguinte sequência de estímulos ou

valores de entrada:

frente; retaguarda; nenhum; frente, ambos.

Sabemos que nesse caso a porta estará aberta ou fechada e, de acordo com a

sequência de estímulos ela passará de um estado para outro ou ainda

continuará no mesmo estado. Portanto, para a sequência de estímulos

teremos as seguintes transações de estados:

fechado (início) -> aberto; aberto -> aberto; aberto -> fechado; fechado ->

aberto; aberto -> aberto.

Se transpusermos todas essas frases acima em uma imagem ficam mais

fáceis? Vamos representar em uma imagem, também chamado de diagrama

de transições ou diagrama de estados.

Figura 6 - Diagrama de transições da porta automática

Ao realizar a leitura da imagem – para ajudar a esclarecer os conceitos – é

possível notar os estados e quais as leituras ou transações são realizadas

para passagem de uma situação para outra. Vamos ler a imagem:

Se ninguém quer entrar ou sair, a porta permanecerá fechada;

Se houver alguém na frente, na retaguarda ou em ambos e a porta

estiver fechada, ela mudará para o estado aberta;

Se ainda existir pessoas na porta da frente, na retaguarda ou em

ambos, a porta continuará aberta;

Se a porta estiver aberta, porém mais ninguém irá passar, ela

mudará do estado aberta para fechada.

Esse é um exemplo inicial. Daqui a pouco iremos utilizar programas que

simulam o funcionamento de autômatos e poderemos ver de uma maneira

mais interativa como eles funcionam.

Para exercitar a transição entre os estados do autômato, teste e nesse

momento, tente entender como é a feita a passagem de estados no autômato.

CLIQUE AQUI E FAÇA ALGUNS TESTES!

“Se estiver com alguma dúvida, clique no ícone “?” que o site irá compilar

passo a passo a transição dos estados do autômato.

Representação de um Autômato Finito

Iremos ver nessa apostila basicamente três tipos de representações de

autômatos finitos:

1. Definição formal ou linguagem formal;

2. Através do diagrama de transições;

3. Através da tabela de transições.

Agora vamos ver um exemplo que apresenta as três maneiras dessa

representação:

Especifique formalmente um autômato finito determinístico (DFA) que

aceite somente strings de a’s e b’s que têm a sequência ab em algum lugar

da string.

Portanto, podemos definir de maneira formal essa linguagem L como:

{ | Z e X que consistem somente em

a’s e b’s

Ou ainda podemos definir apresentado os parâmetros a e b à esquerda da

barra vertical:

{ |

Exemplos de strings nessa linguagem: ab; bbaba; baaaabb, aaaaaaaaab.

Exemplos de strings que não estão nessa linguagem: a; bbbaaa; ba.

Podemos deduzir que:

O alfabeto de entrada será ∑ = {a, b};

Possui um conjunto de estados, onde vamos dizer que q0 é o estado

inicial;

O autômato deve armazenar algumas informações para que a string

passada seja uma substring de entrada:

1. Já viu ab? Então vai aceitar todas as demais entradas e só

estará em estado de aceitação;

2. Nunca viu ab, mas sua entrada mais recente foi a? Então se ele

ver um b, terá visto ab e poderá aceitar o que vier em diante;

3. Nunca viu ab, mas sua entrada ou não existe ou começa com a?

Então ele não poderá aceitar até ver o primeiro a seguido de b.

Agora vamos atribuir para cada situação dessa um estado.

Estado 3: será representado pelo estado q0. Precisamos ver uma

sequência ab. Porém, se no estado q0 vermos b, então devemos ficar

no estado q0.

o δ (q0, b) = q0;

Estado 2: estamos no estado q0 e vemos um a, mas nunca vimos um

ab. Esse estado será o q2. Portanto se a entrada for a, então podemos

passar para o estado 2.

o δ (q0, a) = q2;

Estado 3: nesse estado será considerado que estamos no estado 2.

Então, se virmos outra letra a estaremos no mesmo lugar correto?

Ainda não vimos uma sequência ab ! Não vimos ab, mas a ainda

continua sendo nosso último símbolo e ainda estamos esperando pela

letra b.

o δ (q2, a) = q2;.

Se estamos no estado q2 e vemos a letra b, agora existe uma

sequência ab. Chamaremos essa condição de q1, e ela será nossa

condição de aceitação.

o δ (q2, b) = q1;

Como foi definido no problema, ao final dessa condição, se vermos uma

sequência ab, qualquer entrada será aceita e continuará na situação de

aceitação.

o δ (q1, a) = δ (q1, b) = q1;

Agora podemos definir nosso autômato aplicando a quíntupla vista

anteriormente. Q = {q0, q1, q2}. Como foi definido, q0 será o estado inicial e

o único estado de aceitação é q1, ou seja, F = {q1}. A definição completa do

autômato A que aceita a linguagem L de strings que tem como subconjunto

ab, é:

{ { {

Já vimos uma definição formal do autômato. Essa representação é a mais

extensa e pode ficar até um pouco cansativa de se visualizar um autômato.

Vamos ver agora duas outras formas de representação.

A representação por diagrama já foi vista anteriormente no exemplo da

porta automática, lembra-se? Vamos ver algumas definições para esse tipo

de representação:

Para cada estado Q existe um nó correspondente;

Cada para cada mudança de estado existirá um estado resultante. Essa

mudança se deve com a entrada do estado atual e da função de

transição. δ (q, a) = p. Ou seja, o estado q após passar pela função de

transição a resultará em p;

Existe uma seta inicial em q0 identificada como início. Essa seta não se

origina em nenhum estado (representados por nós);

Os estados ou nós de aceitação são representados por um círculo duplo

e os estados que não estão nessa situação são círculos simples.

Figura 7 - Diagrama de transições que aceita todas strings que contêm a substring ab

A última representação que iremos ver é a tabela de transições. Essa

representação e através (como o nome já diz né, hehe) através de uma tabela

que representa como se devem as mudanças de um estado para outro. As

linhas correspondem aos estados, e as colunas correspondem às entradas.

A tabela de transição que representa o exemplo que estamos acompanhando

é dada por:

a b

→ q0 q2 q0

* q1 q1 q1

q2 q2 q1

Tabela 1 - Tabela de transição do exemplo anterior

Nesse caso, o estado inicial é representado com uma seta, e os estados de

aceitação são marcados com um asterisco.

Função de Transição Estendida

Essa é outra maneira de representar os autômatos. Através da fórmula de

transição de estados é possível responder se uma palavra pode ou não ser

aceita por um autômato. Vamos ver como essa representação funciona

através de duas palavras para o autômato anterior.

1. baabaab

Através da função estendida, temos:

δ (q0, baabaab)

δ (q0, b) aabaab = q2

δ (q2, a) abaab = q2

δ (q2, a) baab = q2

δ (q2, b) aab = q1

δ (q2, a) ab = q1

δ (q2, a) b = q1

δ (q2, b) ε = q1 -> PALAVRA ACEITA

2. baa

δ (q0, baa)

δ (q0, b) aa = q0

δ (q0, a) a = q2

δ (q0, a) ε = q2 -> PALAVRA REJEITADA

Note que as expressões seguem a tabela de transição ou o diagrama do

autômato. O símbolo ε indica que não existem mais entradas para serem

lidas, portanto ao ver essa letra, o autômato irá ler o último valor e o estado

de saída será o estado final da palavra. Caso esse estado seja de aceitação a

palavra será aceita, do contrário será rejeitada.

Autômato Finito Não Determinístico

Bem, até agora trabalhamos com Autômatos Finitos Determinísticos, ou

seja, são autômatos que partem de um estado e vão para outro estado. Pois

bem, existem ainda outras formas de representação que são utilizadas para

facilitar a representação de fórmulas matemáticas: são os Autômatos Finitos

Não Determinísticos.

A diferença entre um determinístico – AFD – e um não determinístico –

AFN – são os estados. Em um AFD temos um estado determinado, onde

através da função de transição passamos do estado q0 para q1 por exemplo.

No caso do AFN podemos ter um conjunto de estados, ou seja, de q0 é

possível ir para q1 ou q2. Vamos ver essa representação de autômato em um

diagrama.

Figura 8 - Representação de um Autômato Finito Não Determinístico

O interessante nesse autômato é que podemos através de uma mesma

entrada estar em dois estados ao mesmo tempo. Por isso o nome não

determinístico. Não é possível garantir que um autômato terá apenas um

estado resultante, mas agora ele poderá ter um conjunto de estados

resultantes. Interessante, não? A ideia dos autômatos finitos não

determinísticos é simplificar a representação dos autômatos finitos.

Portanto, por analogia podemos presumir que para cada autômato finito não

determinístico teremos um autômato finito determinístico.

CLIQUE AQUI PARA SABER MAIS SOBRE A HISÓRIA DOS AFN

Nosso foco no curso será ver como podemos converter um AFN para um AFD

(vamos tentar usar as siglas para simplificar agora, ok?!). Assim, caso tenha

mais interesse sobre os AFN’s, utilize a internet para aprimorar seus

conhecimentos sobre esse assunto. Essa apostila é apenas um direcionador

para seus estudos. Você e somente você pode definir se você quer aprender

mais ou não, jovem pandawan !

O que define o AFN é uma quíntupla (ou 5-upla) definida por:

, onde:

Se compararmos com o AFD, a diferença da 5-upla é a função de transição.

Nesse caso ela indica que após passarmos por uma função de transição

poderemos ter como resultado um conjunto de estados ou partes de Q

(podemos ter mais de um estado).

Em um AFN teremos estados que estarão inacessíveis e que, portanto,

podem ser descartados para simplificar o nosso autômato. No pior dos casos,

ao converter um AFN para um AFD podemos ter novos estados. Isso nem

sempre irá acontecer devido à remoção dos estados inacessíveis a partir do

estado inicial.

Converter AFN em AFD

Para realizar a conversão de um AFN para AFD iremos nos concentrar

basicamente na tabela de transição e no diagrama de representação do

autômato. Estendendo a fórmula de transição também é possível provar essa

conversão, mas esse não será nosso foco. Deixo aqui um site que apresenta a

transição de um AFN para AFD estendendo a fórmula de transição.

Pois bem, mãos a obra!

Sabemos que através de um diagrama de representação do autômato

podemos elaborar nossa tabela de transição. Então vamos utilizar o

autômato apresentado no tópico anterior.

A partir de agora iremos construir o autômato finito através da tabela de

transição. Para isso, iremos considerar as linhas em nossa tabela onde os

estados que possuem um estado de acesso. Como estado de acesso podemos

considerar como todos os conjuntos de onde existe o estado inicial. Isso

porque não conseguimos aceitar ou rejeitar uma palavra, desde que ela não

passe pelo estado inicial. Vou provar isso através de um exemplo por

indução!

Para o autômato acima, queremos ver se a entrada 00101 será aceita.

No exemplo, temos que caso a entrada seja 0, o autômato pode continuar no

estado q0 ou ir para o estado q1 correto? Vamos fazer a prova aos poucos.

0

q0 q0

q1

Ok. Até aqui estamos em dois estados, ou q0 ou q1 serão aceitos. Isso será

válido pois o primeiro valor da entrada foi 0. Agora o autômato receberá

outro 0. Agora ele seguirá somente por q0 novamente. O estado q1 será

parado pois caso q1 receba zero ele não irá para nenhum lugar, ou seja,

ficará paralisado. Indicarei paralisado com o símbolo P.

0 0

q0 q0 q0

q1 (P) q1

Já sabemos que q0 aceita como próximos estados q0 e q1. Portanto eles se

repetem. O próximo valor de entrada será 1. Agora devemos considerar o

seguinte: caso q0 receba o valor 1, ele continuará em q0 e caso q1 receba o

valor 1 o autômato irá para q2.

0 0 1

q0 q0 q0 q0

q1 (P) q1

q2

Chegamos ao estado final, porém nossa palavra ainda não acabou.

Precisamos continuar para finalizar todos os valores da palavra. A próxima

entrada será 0. Então agora q2 será paralisado, pois não tem para onde ir e

no caso de q0 ele novamente terá duas opções. Ou continua no estado q0 ou

vai para o estado q1.

0 0 1 0

q0 q0 q0 q0 q0

q1 (P) q1 q1

q2 (P)

Nossa última entrada será 1. Portanto, q0 continuará em q0 mas q1 irá para

q2. Como existe um conjunto e estados {q0, q1} ao final da palavra, ela será

aceita pois q2 é um estado de aceitação.

Consideramos que uma palavra seja aceita caso ela termine em qualquer

conjunto de estados que possua um estado final ou de aceitação.

0 0 1 0 1

q0 q0 q0 q0 q0 q0

q1 (P) q1 q1

q2 (P) q2

Portanto, podemos ver que para que uma palavra seja aceita ela deve

sempre passar pelo estado inicial – nesse caso, q0 – pois para transitar entre

os demais estados os valores que ainda devem ser lidos partem do início do

autômato. Assim, os estados válidos e utilizados para transformar um AFN

em AFD são somente aqueles conjuntos de estados que possuem o estado

inicial. Os demais estados são denominados inacessíveis. Isso porque não é

possível chegar até ele sem que passemos pelo estado inicial.

Agora é hora de fazer algumas alterações na tabela de transição para

conseguirmos fazer nosso AFN se transformar em AFD. Para facilitar a

leitura dos estamos podemos criar apelidos para as linhas de transição. Isso

não é obrigatório ok?! É só para a tabela ficar mais apresentável e fácil de

entender. Serão criadas mais duas colunas. Uma coluna para sabermos

quais estados estão acessíveis e que devemos utilizar para criar o AFD. A

coluna Acessível terá o valor “S” para sim e “N” para não. A outra coluna

será o apelido para cada coluna. Ao invés de representarmos por conjuntos

de estados representaremos por letras do alfabeto.

Apelido Acessível? 0 1

A N Ø Ø Ø

B S → q0 q0, q1 q0

C N q1 Ø q2

D N *q2 Ø Ø

E S q0, q1 q0, q1 q0, q2

F S *q0, q2 Ø q2

Tabela 2 - Construindo os subconjuntos do AFN para transformá-lo e AFD

Podemos ver através da tabela acima que os estado acessíveis serão três. B,

E, F. Isso porque eles possuem com característica comum o estado inicial, e

por isso são estados acessíveis. Vamos agora renomear os estados para ver

como a tabela fica.

Apelido Acessível? 0 1

A N A A A

B S -> B E B

C N C A D

D N D A A

E S E E F

F S F E B

Tabela 3 - Renomeando os estados do autômato

Vamos considerar agora apenas os estados acessíveis para fazermos nosso

AFD.

Apelido Acessível? 0 1

B S -> B E B

E S E E F

F S F E B

Tabela 4 - Estados de aceitação do autômato

Invertendo os apelidos para as funções temos.

Apelido Acessível? 0 1

B S → q0 q0, q1 q0

E S q0, q1 q0, q1 q0, q2

F S *q0, q2 Ø q2

Tabela 5 - Estados de aceitação do autômato

Agora podemos representar do AFD do AFN apresentado. Com ele podemos

confirmar que para o AFN realmente existe seu respectivo AFD.

Figura 9 - AFD convertido através do AFN

É possível aplicar qualquer palavra para testar o autômato. Faça um teste

com a palavra utilizada no exemplo anterior para provar a regra do AFN e

veja se ela será aceita ou rejeitada. Você verá que o resultado será o mesmo

do apresentado na explicação. Quando temos uma transição para um

conjunto de estados, qualquer conjunto que tenha o estado final será um

estado de aceitação. Como dito no início dos AFN, eles são utilizados para

simplificar a representação dos AFD.