1. INTRODUO HIDRULICA

1. Algumas propriedades dos fluidos

a) Viscosidade

Newton disse que a viscosidade a propriedade que tem os fluidos de resistirem ao cisalhamento. Em outras palavras seria dizer que a viscosidade a propriedade que possibilita s camadas fluidas resistirem ao escoamento recproco.

Donde:

-- viscosidade- A rea da superfcie-dV diferena de velocidade entre duas camadas- dY distncia entre as camadas

Pela expresso de Newton verifica-se que o atrito tanto maior quanto mais viscoso o fluido. Verifica-se tambm que a resistncia cresce com a velocidade de deslizamento, o que diferencia o atrito dos lquidos daquele que ocorre nos slidos, onde a velocidade no tem influncia e sim a presso.Da expresso anterior verifica-se ainda que o coeficiente de viscosidade dinmica tem dimenso FTL-2. A unidade no sistema Tcnico kgf s m-2. No sistema CGS a unidade o Poise (dina s cm-2).

Em conseqncia inclusive da viscosidade, o escoamento dos fluidos dentro das canalizaes somente se verifica com certa perda de energia, o que pode ser verificado na Figura 2.

Figura 2 - Ilustrao da perda de carga em uma tubulao

A viscosidade pode ser expressa tambm atravs de outro coeficiente, o coeficiente de viscosidade cinemtica (), que por definio a relao entre o coeficiente de viscosidade dinmica e a massa especfica.

Donde:

- = viscosidade dinmica

- = viscosidade cinemtica

Sua dimenso L2T-1 e a unidade no S.T. m2 s-1; no CGS o Stoke (cm2 s-1).

b) CoesoE a propriedade que permite s molculas fluidas resistirem a pequenos esforos de tenso. A formao da gota d'gua devida coeso. um fenmeno eletroqumico.

c) AdesoQuando atrao exercida sobre molculas lquidas pelas molculas de um slido maior que a atrao eletroqumica existente entre as molculas do lquido (coeso) ocorre a adeso do lquido s paredes do slido.A gua tem maior adeso que coeso por isto o menisco em um tubo de pequeno dimetro (1 cm, por exemplo) perfeitamente visvel como ascendente do centro para a periferia; o contrrio ocorre com o mercrio cuja adeso e menor que a coeso.Outras propriedades dos fluidos so tenso superficial, capilaridade e elasticidade.Algumas relaes so muito importantes no estudo dos fluidos por caracteriz-los. As principais so:

a) Massa especfica (): a massa da unidade de volume de um lquido.A unidade no Sistema Tcnico UTM m-3 ou kgf s2 m-4 A massa especfica da gua a 4C e 102 kgf s2 m-4.

b) Peso especfico (): o peso da unidade de volume de um lquido. A unidade kgf.m-3 no Tcnico. No SIU N m-3. O peso especfico da gua a 4C 1000 kgf.m-3.

c) Densidade (d): a relao entre a unidade de peso ou de massa de um fluido e a unidade de peso ou massa da gua a 4 C.

2. HIDROSTTICA

a parte da Hidrulica que estuda os lquidos em repouso, bem como as foras que podem ser aplicadas em corpos neles submersos.

2.1 Presso

a fora que atua em uma superfcie por unidade de rea. Quando a fora atua uniformemente distribuda sobre a rea:

em que p a presso, kgf cm-2; F a fora aplicada, normal superfcie, kgf; e A a rea sobre a qual a fora est atuando, m2, cm2.

2.2 Lei de Pascal

Seja um lquido homogneo e em equilbrio, no interior do qual isola-se um prisma com altura dy, largura dx e comprimento unitrio (Figura 3). Se o prisma estiver em equilbrio, a somatria das foras atuantes na direo X ser nula.(Fx = 0).

Figura 3 Foras atuantes em um prisma.

Pela trigonometria, temos:

Ps.ds Ps.ds.cos

Ps.ds.sen

Da figura 3, temos:

Px.dy=Ps.ds.sen (I)

Como

Substituindo em (I) e simplificando, temos: px=ps

Fazendo , temos:

Py.dx=Ps.ds.cos(II)

Como

Substituindo em (II) e simplificando, temos: py=ps

Portanto: px=py=ps

Este o princpio de Pascal, que se enuncia:

Em qualquer ponto no interior de uma massa lquida em repouso e homognea, a presso a mesma em todas as direes.

A prensa hidrulica uma importante aplicao desta lei. Na Figura abaixo, considere que o dimetro do mbulo maior seja de 4 vezes o dimetro do mbulo menor. Se for aplicada uma fora F1 = 50 N, a presso do fluido transmitir, ao mbulo maior, uma fora F2 de 16 x 50 N, ou seja, F2 = 800 N.

Figura 4 Aplicao da Lei de Pascal.

Obs: p1 = p2 F1 A2 = F2 A1

2.3 Lei de Stevin

Na Figura 5, A a rea das faces, P o peso da massa lquida e h a diferena de nvel entre os pontos considerados.

Como P V e V A h

ento P A h.

Se o sistema estiver em equilbrio, Fy = 0, e portanto:

Figura 5 Demonstrao da Lei de Stevin.

A diferena de presso entre dois pontos da massa de um lquido em equilbrio igual diferena de nvel entre os pontos, multiplicada pelo peso especfico do lquido.

3. MANOMETRIA

As presses so grandezas fsicas muito importantes no trabalho com fluidos, haja vista a equao fundamental da Esttica dos fluidos, que expressa em termos de presses e esforos.No sculo XVII Torricelli executou sua conhecida e clebre experincia ao nvel do mar, quando, ao emborcar uma proveta cheia de mercrio em uma cuba, o lquido fluiu da proveta para a cuba permanecendo apenas uma coluna de 762 milmetros de altura.A concluso lgica era de que o ar atmosfrico tinha peso, por conseguinte exercia presso. Esta presso, medida ao nvel do mar,correspondia a uma coluna de mercrio de 762 mm de altura. Este valor de presso foi chamado de "uma atmosfera Fsica". Como o peso especfico do mercrio 13.600 kgf m-3, vem:13.600 kgf m-3 x 0,762 m = 10.363 kgf m-2 = 1,036 kgf cm-2 Como a densidade do mercrio 13,6 , a mesma presso atmosfricaequilibraria uma coluna de gua de: 13,6 . 0,762 = 10,36 m.Na prtica da hidrulica se utiliza a atmosfera "tcnica" que vale 735 mm Hg.735 mmHg = 10 mca = 10.000 kgf.m-2 = 1,0 kgf.cm-2 = 1,034 atm.

Barmetro de Torricelli

Exerccio: A Figura 6 reproduz a experincia de Torricelli em uma certa localidade, quando foi utilizado o mercrio como lquido manomtrico. Se, ao invs de mercrio, tivesse sido utilizado um leo com densidade de 0,85, qual teria sido a altura da coluna de leo?

Vcuo

70 cm Mercrio

Figura 6

Presso atmosfrica medida por barmetros ou por bargrafos, que so barmetros registradores. A presso atmosfrica varia com a altitude; para cada 100 metros de elevao de altitude ocorre um decrscimo na presso atmosfrica de 0,012 atm (0,12 mca); desta forma, em um local de altitude igual a 920 metros, a presso :

patm = 1,034 atm - (0,012 . 9,2) = 1,034 - 0,110 = 0,92 atm

3.2 Classificao dos medidores de presso

3.2.1. Manmetro de lquido ou de coluna lquida

So aqueles que medem as presses em funo das alturas da coluna dos lquidos que se elevam ou descem em tubos apropriados. Nesta categoria se agrupam: - piezmetro simples (ou tubo piezomtrico ou manmetro aberto);- manmetro de tubo em U (e tambm manmetro de duplo U) - manmetro diferencial.

a) Piezmetro simples, Tubo Piezomtrico ou Manmetro Aberto

o tipo mais simples desses aparelhos. Consiste de um tubo transparente inserido no interior do ambiente onde se deseja medir a presso.

b) Manmetro de tubo em U

usado quando a presso a ser medida tem um valor grande ou muito pequeno. Para tanto necessrio o uso de lquidos manomtricos que permitam reduzir ou ampliar as alturas da coluna lquida.

Ilustrao das presses:

Presso em P negativa igual a

Presso em P positiva igual a

Exerccio: A Figura abaixo representa um manmetro instalado em uma tubulao.Calcule a presso eftiva no Ponto A, expressando-a em kgf m-2, Considere:- lquido escoando na tubulao: gua;- lquido manomtrico: mercrio;

- x = 15 cm; y = 20 cm; z = 8 cm; h = 22 cm; j = 20 cm.

c) Manmetro Diferencial

o aparelho usado para medir a diferena de presso entre dois pontos.

pA (x y h) 1 -3 h -2 y pB

pA -pB 3 h 2 y -(x y h) 1

em que pA pB a diferena de presso entre A e B.

Figura 9 Esquema de um manmetro diferencial.

Exerccio: Considere o manmetro conectado a uma tubulao, como mostra a Figura 10. Sabendo que a densidade do leo 0,83, calcule a diferena de presso entre os pontos 1 e 2.

d=0,83

150 cm70 cm2 gua 123 cm

Exerccios propostos

1. Acopla-se um manmetro de mercrio a uma tubulao que transporta um fluido de peso especfico de 850 kgf.m-3 (como indicado na figura). A deflexo do mercrio de 0,9 m. Sendo dado Hg = 13600 kgf.m-3, determine a presso efetiva a que o fluido est submetido no eixo da tubulao (PA).

2. Um manmetro de mercrio instalado na entrada de uma bomba, mostrada na figura abaixo. Mede-se a deflexo do mercrio que de 0,4 m. Determinar as presses efetiva e absoluta no eixo da tubulao de suco sendo que Hg = 13600 kgf.m-3, e que o fluido de trabalho a gua. Considere a presso atmosfrica local igual a 1 kgf.cm-2.

3. Um piezmetro de tubo inclinado utilizado para medir a presso no interior de uma tubulao. O lquido do piezmetro um leo com = 800 kgf.m-3. A posio mostrada na figura abaixo a posio de equilbrio. Determine a presso no ponto P em kgf.cm-2 , em mm de Hg e em metros de coluna de gua.

Foras hidrostticas sobre superfcies submersas

Nvel do lquido o

h

hP da F y A A

CG CG

CP CP B B dy

Obs.: CG : Centro de gravidade

CP: Centro de Presso, onde est aplicada a resultante F

A fora em da, ser:

Momento da rea em relao a O

Fazendo , temos

Determinao do Centro de Presso - (YP)

O momento da Resultante F, em relao ao ponto O deve ser igual aos momentos das foras elementares.

(I)

Como

(I I)

(I I I)Substituindo (I I) e (I I I) em (I), temos

I= Momento de inrcia em relao ao ponto O.

O momento de inrcia em relao ao centro de gravidade (CG), pelo Teorema e Huygens:

Exerccio: Determinar o empuxo e o seu ponto de aplicao no tringulo da figura, estando o seu vrtice a 0,30m abaixo da superfcie da gua e supondo desconhecidos todos os elementos necessrios quele clculo.

Nvel D gua Y

30 cmO1 O2

XG XP dx a=0,90m y CG CP

b=0,60m X

Soluo:

a) - Clculo da rea:

(I), do tringulo temos,

Donde : , substituindo em (I), temos

b) Clculo do momento em relao ao eixo O1 O2:

c) Clculo de XG (Distncia do centro geomtrico ao eixo O1-O2):

Como o momento = rea X distncia, temos

d)- Clculo do momento de inrcia em relao ao eixo O1- O2:

e)- Clculo do momento de inrcia (IG) em relao ao Baricentro:

Obs,: Pelo Teorema dos Eixos Paralelos, temos:

O momento de inrcia I de uma rea em relao a qualquer eixo dado ( no caso eixo O1-O2) igual ao momento de inrcia da rea em relao ao baricentro, mais o produto da rea pelo quadrado da distncia entre os dois eixos

Donde

f)- Clculo do Empuxo que atua no centro de presso:

Temos:

Donde,

g)- Clculo do ponto de aplicao da fora:

Nvel D gua Y

=0,90m yP=0,95m

a CG CP b X

ESFORO SOBRE SUPERFICIES CURVAS

No caso de superfcies curvas mais conveniente trabalhar com as componentes horizontal e vertical. Para o clculo da componente vertical devemos calcular o volume de lquido que atua sobre o montante cujo peso est aplicado no centro de gravidade.

O empuxo da fora horizontal, que atua sobre o montante, pode ser calculado pela expresso

A resultante (R) das foras obtida aplicando os princpios da mecnica

Equilbrio de Corpos Submersos e Flutuantes

Noes Bsicas:

Princpio de Arquimedes: Todo corpo submerso total ou parcialmente em um fluido experimenta uma fora vertical de baixo para cima e de mdulo igual ao peso do volume do fluido deslocado. Esta fora, denominada empuxo aplicada no centro de massa do volume de fluido deslocado (conhecido como Centro de Empuxo).

Equilbrio entre Empuxo e Fora Peso

Empuxo (E) < Peso(P) E+P E>P Corpo afunda Corpo flutua

Equilbrio de Corpos Submersos

Equilbrio Estvel Equilbrio Indiferente Equilbrio Instvel

E = Centro de Empuxo (Centro de Massa do volume de lquido deslocado).

G = Centro de Massa do corpo.

Equilbrio Indiferente: Centro de Empuxo coincide com o Centro de Massa. Equilbrio Estvel: Centro de Empuxo est acima do Centro de Massa.

Equilbrio Instvel: Centro de Empuxo est abaixo do Centro de Massa.

Equilbrio de Corpos Flutuantes

Definies:

Centro de Carena: Centro de Empuxo da poro do slido submerso.

Superfcie do lquido

Centro de carena

Metacentro (M): Centro virtual onde age a fora de empuxo em corpos flutuantes.

M

S.Liq. G G C E C

Equilbrio Indiferente: Centro de Empuxo coincide com o Metacentro.

Equilbrio Estvel: Centro de Massa est abaixo do Metacentro.

Equilbrio Instvel: Centro de Massa est acima do Metacentro.

A posio do Metacentro pode ser determinada pela expresso de Duhamel.

Donde:

I= momento de inrcia da rea que a superfcie livre do lquido intercepta no flutuante (superfcie de flutuao), sendo relativo ao eixo de inclinao (eixo sobre o qual se supe que o corpo possa virar)

V= volume de carena.

Obs.: Para que o equilbrio de um flutuante seja estvel, preciso que MC>CG

Exerccio: Seja um prisma retangular de madeira com dimenses indicadas na Figura abaixo e de densidade4 0,82. Pergunta-se se o prisma flutuar ou no, em condies estveis, na posio mostrada na figura.

Nvel da gua 0,16m

0,28m(h) G Z C

0,20m h/2 z/2

Como o peso do corpo igual ao peso de lquido deslocado, temos:

Peso do volume de lquido = Peso do corpo

Donde Z=0,2296

Como MC> A2 (rea do orifcio), V1 => 0e: p1 = p2 = patm = 0A expresso (1.2) se reduz a:

Como existe perda de carga no escoamento, v2 < vt e, portanto,

V2 = Cv.Vt, ou:

1.3.3. Coeficiente de Vazo (CQ)A vazo atravs de um orifcio pode ser dada, teoricamente, por:

e, a vazo real, por:

Designando

Temos: 1.4. Orifcios Afogados

Figura 1.3 Orifcio afogadoDiz-se que o orifcio est afogado quando o jato no descarrega na atmosfera mas sim numa massa lquida. A expresso de Torricelli continua vlida, substituindo-se a carga h1 pela diferena das cargas de montante e de jusante.1.5. Orifcios de Grandes Dimenses

Figura 1.4 Orifcio de grandes dimensesA hiptese de que todos os pontos da rea do orifcio esto sujeitos mesma carga no podes ser assumida nesta situao. Mas, em cada faixa horizontal dh, muito pequena, da rea do orifcio, a carga h a mesma. Supondo um orifcio retangular de largura L, podese escrever a expresso da vazo atravs da largura dh:

Substituindo-se o valor de L=A/h2+h1, obtem-se:

Contrao incompleta da veia.

Para que a contrao seja completa preciso que o orificio esteja localizado a uma distncia do fundo ou das paredes laterais, pelo menos igual a duas vezes a sua menor dimenso. No caso de orifcios abertos junto ao fundo ou s paredes laterais, indispensvel uma correo. Aplica-se um coeficiente de descarga Cd corrigido.

Para orifcios retangulares:

a a a b b b

Onde : Para orifcios circulares:

Para orifcios junto a uma parede lateral, k=0,25Para orifcios junto ao fundo , k=025Para orifcios junto ao fundo e uma parede lateral, k=0,50Para orifcios junto a duas paredes laterais e ao fundo, k=0,75

CLASSIFICAO DOS BOCAIS

4.5 BOCAL CURTO Sejam L e d, respectivamente, o comprimento e o dimetro de um bocal cilndrico. O bocal curto quando LTabela 8.1(Pg 144 - Azevedo Netto)

Exerccio: Dimensionar a adutora de 2.100m para uma vazo de 25l/s com 15,35 m de declive.

J=15,35/2100=0,0073m/m

Donde:

Na tabela 8.1 da Pg 144 , para 11,7 temos um dimetro de D=200mm.

Exerccio: Uma estao elevatria recalca 220l/s de gua atravs de uma canalizao antiga de 500mm e 1.600m de extenso. Estimar a economia mensal de energia eltrica na substituio por uma linha nova de ao, com revestimento interno especial. Custo da energia eltrica $0,10/KWh.

Soluo:

f=0,037(antiga)f=0,019 (nova)

A diferena de altura de recalque ser de 3,75m, que corresponde a uma potncia:

Economia diria:

11,56KW.0,10.24h/dia=$27,74/dia

Economia mensal:

27,74.30=$832,20

Exerccio: Numa cidade do interior, o nmero de casas atinge a 1340 e, segundo a agncia de estatstica regional, a ocupao mdia dos domiclios gira em torno de 5 pessoas por habitao. A cidade j conta com um servio de abastecimento de gua , localizando-se o manancial na encosta de uma serra, em nvel mais elevado do que o reservatrio de distribuio de gua na cidade. O dimetro da linha adutora existente de 150mm, sendo os tubos de ferro fundido com bastante uso.O nvel de gua no ponto de captao flutua em torno de cota 812,00m; o nvel de gua mdio no reservatrio de distribuio 776,00m e o comprimento da linha adutora 4.200m.Verificar se o volume de gua aduzido diariamente pode ser considerado satisfatrio para o abastecimento atual da cidade, admitindo-se o consumo individual mdio como sendo 200l por habitante por dia, a includos todos os usos da cidade, mesmo aqueles no domsticos, e que nos dias de maior calor a demanda cerca de 25% maior que a mdia.

812m

L=4240m 34m

D=150mm 776m

Soluo:a) Consumo no dia de maior demanda:

1340.5.0,20.1,25=1.675m3/dia=19,4 l/s

b) Perda de carga unitria:

J=36/4240=0,0085m/m

c) Clculo da velocidade:

d)Clculo da vazo:

Usando a frmula de Hazen-Williams, temos

Para C=100

Comentrio: Como 14,47l/s < 19,4l/s a vazo insuficiente.

COEFICIENTE DE ATRITO (f)

O coeficiente de atrito funo do Nmero de Reynolds e da rugosidade relativa.

Nikuradse utilizou tubos de trs tamanhos diferentes e cimentou na superfcie interna gros de areia de tamanho conhecido, obtendo a mesma rugosidade relativa.Regime laminar:

>>> Nmero de Reynolds

Regime turbulento:

Em 1930 Theodore Von Karman estabeleceu uma frmula terica para tubo liso:

Nikuradse estabeleceu uma frmula onde no inclui Re mas sim a rugosidade.

Em 1938 props uma equao semi-emprica

Exerccio:-8.5Uma tubulao de ao rebitado com 0,30m de dimetro e 300m de comprimento, conduz 130l/s de gua a 15,5C. A rugosidade do tubo 0,003m. Determinar a velocidade mdia e a perda de carga.

Viscosidade cinemtica

Soluo:a) Clculo da velocidade:

b) Clculo do Nmero de Reynolds:

c) Clculo da rugosidade relativa:

Com o valor do Nmero de Reynolds e da rugosidade relativa obtm-se na Tabela de Moody o valor de f(coeficiente de atrito).

f=0,038

d) Clculo da perda de carga (hf)

Exerccio: -8.6Dois reservatrios esto ligados por uma canalizao de ferro fundido com e=0,000260m com 0,15m de dimetro e 360 m de extenso. Determinar a velocidade e a vazo no momento em que a diferena de nvel entre os dois reservatrios igualar-se a 9,30m. Seja a viscosidade cinemtica=0,000000366m2/sSoluo:

Pelo Diagrama de Rouse obtm=se f=0,023