apostila 1-6
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HidráulicaTRANSCRIPT
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Hidrulica Maro/2013
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FUNDAMENTOS DE HIDRULICA
1. INTRODUO MECNICA DOS FLUIDOS E HIDRULICA
1.1 Conceituao
Streeter define os fluidos como "uma substncia que se deforma
continuamente quando submetida a uma tenso de cisalhamento, no importando quo
pequena possa ser esta "tenso".
Uma fora de cisalhamento a componente tangencial da fora que age sobre a
superfcie; dividida pela rea da superfcie d origem tenso mdia de cisalhamento.
Pode-se dizer assim que a tenso de cisalhamento em um ponto o valor limite da
razo entre a fora de cisalhamento e a rea, quando esta tende a um ponto.
Seja uma substncia contida entre duas placas planas e paralelas, como mostra
a Figura 1.
Figura 1 Deformao de um fludo contido entre duas placas.
Considere-se que as placas so suficientemente grandes para que as
perturbaes das bordas no influam na experincia. Se a placa inferior fixa e uma
fora F aplicada tangencialmente na placa superior, de rea A, surge uma tenso de
cisalhamento na substncia.
Tenso de cisalhamento A
F
Se a placa sob a ao da fora movimentar-se com velocidade vi constante e o
fluido escoar com cada partcula movimentando-se paralelamente placa e com
vi
vo
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velocidade, v, variando na vertical de vo a vi, tem-se ento o caso de a substncia
entre as placas ser um fluido.
Experimentalmente verificou-se tambm que para escoamento em regime
laminar, caso da experincia, a fora F proporcional rea A, velocidade v e
inversamente distncia vertical, Y.
Y
v A F i
Logo, a equao pode ser escrita assim: dy
dv
Y
v i
O termo o fator de proporcionalidade, denominado coeficiente de
viscosidade dinmica (ou absoluta) dos fluidos. uma caracterstica dos fluidos. Um
fluido por hiptese sem viscosidade e sem compressibilidade denominado fluido
"perfeito" ou ideal".
1.2. Algumas propriedades dos fluidos
a) Viscosidade
Newton disse que a viscosidade a propriedade que tem os fluidos de resistirem
ao cisalhamento. Em outras palavras seria dizer que a viscosidade a propriedade que
possibilita s camadas fluidas resistirem ao escoamento recproco.
Y
v A F
Pela expresso de Newton verifica-se que o atrito tanto maior quanto mais
viscoso o fluido. Verifica-se tambm que a resistncia cresce com a velocidade de
deslizamento, o que diferencia o atrito dos lquidos daquele que ocorre nos slidos,
onde a velocidade no tem influncia e sim a presso.
Da expresso anterior verifica-se ainda que o coeficiente de viscosidade
dinmica tem dimenso FTL-2. A unidade no sistema Tcnico kgf s m-2. No sistema
CGS a unidade o Poise (dina s cm-2).
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Em conseqncia inclusive da viscosidade, o escoamento dos fluidos dentro das
canalizaes somente se verifica com certa perda de energia, o que pode ser
verificado na Figura 2.
Figura 2 - Ilustrao da perda de carga em uma tubulao.
A viscosidade pode ser expressa tambm atravs de outro coeficiente, o
coeficiente de viscosidade cinemtica (), que por definio a relao entre o
coeficiente de viscosidade dinmica e a massa especfica. Sua dimenso L2T-1 e a
unidade no SI m2 s-1; no CGS o Stoke (cm2 s-1). A Tabela 1 apresenta os valores
de viscosidade cinemtica da gua, em funo da temperatura.
Tabela 1 Valores de viscosidade cinemtica da gua
Temperatura (oC) Viscosidade (x 10-6 m2 s-1)
0 1,79 5 1,52
10 1,31 15 1,14 20 1,01 25 0,90 30 0,80 40 0,66 50 0,56 60 0,48 70 0,42 80 0,37 90 0,33
100 0,30
b) Coeso
E a propriedade que permite s molculas fluidas resistirem a pequenos
esforos de tenso. A formao da gota d'gua devida coeso. um fenmeno
eletroqumico.
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c) Adeso
Quando atrao exercida sobre molculas lquidas pelas molculas de um
slido maior que a atrao eletroqumica existente entre as molculas do lquido
(coeso) ocorre a adeso do lquido s paredes do slido. A gua tem maior adeso
que coeso por isto o menisco em um tubo de pequeno dimetro (1,0 cm, por exemplo)
perfeitamente visvel como ascendente do centro para a periferia; o contrrio ocorre
com o mercrio cuja adeso e menor que a coeso.
Outras propriedades dos fluidos so tenso superficial, capilaridade e
elasticidade.
Algumas relaes so muito importantes no estudo dos fluidos por caracteriz-
los. As principais so:
a) Massa especfica (): a massa da unidade de volume de um lquido. A
unidade no Sistema Tcnico UTM m-3 ou kgf s2 m-4 A massa especfica da
gua a 4C e 102 kgf s2 m-4.
b) Peso especfico (): o peso da unidade de volume de um lquido. A
unidade e kgf m-3 no Tcnico. No SIU N m-3. O peso especfico da gua a
4C 1000 kgf m-3. Se F = m a = g.
c) Densidade (d): a relao entre a unidade de peso ou de massa de um fluido
e a unidade de peso ou massa da gua a 4 oC.
2. HIDROSTTICA
a parte da Hidrulica que estuda os lquidos em repouso, bem como as foras
que podem ser aplicadas em corpos neles submersos.
2.1 Presso
a fora que atua em uma superfcie por unidade de rea. Quando a fora atua
uniformemente distribuda sobre a rea:
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A
Fp
em que:
p = presso, Pa (N m-2), kgf m-2, kgf cm-2;
F = fora aplicada, normal superfcie, N, kgf; e
A = rea sobre a qual a fora est atuando, m2, cm2.
2.2 Lei de Pascal
Seja um lquido homogneo e em equilbrio, no interior do qual isola-se um
prisma com altura dy, largura dx e comprimento unitrio (Figura 3). Se o prisma estiver
em equilbrio, a somatria das foras atuantes na direo X ser nula. (Fx = 0).
ds
dysen ; )1 ds( sen ps)1 dy( px
pspx ;ds
dy ps
ds
dypx ;
ds
dy ds psdypx
Figura 3 Foras atuantes em um prisma.
Na direo Y deve ocorrer o mesmo: Fy = 0, havendo o equilbrio. Logo:
V P ; V
P ; dw )1ds( cos ps )1 dx( py
2
1dy dx ds cos psdx py
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Sendo o prisma elementar, suas dimenses so infinitesimais e portanto, a fora
resultante de seu peso desprezvel. Portanto:
pspypxpspy ;ds
dx ps
ds
dxpy ;
ds
dx ds psdxpy
Ento, px = py = ps. Este o princpio de Pascal, que se anuncia: Em qualquer ponto
no interior de uma massa lquida em repouso e homognea, a presso a mesma em
todos as direes.
A prensa hidrulica uma importante aplicao desta lei. Na Figura abaixo,
considere que o dimetro do mbulo maior seja de 4 vezes o dimetro do mbulo
menor. Se for aplicada uma fora F1 = 50 N, a presso do fluido transmitir, ao mbulo
maior, uma fora F2 de 16 x 50 N, ou seja, F2 = 800 N. (p1 = p2 F1 A2 = F2 A1 )
Figura 4 Aplicao da Lei de Pascal.
2.3 Lei de Stevin
Na Figura 5, A a rea das faces, P o peso da massa lquida e h a
diferena de nvel entre os pontos considerados. Como V P e h AV ento
h A P .
Se o sistema estiver em equilbrio, Fy = 0, e, portanto:
0A ph A A p
0A pPA p
21
21
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hpp
ou h pp
h A A pA p
1212
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Figura 5 Demonstrao da Lei de Stevin.
A diferena de presso entre dois pontos da massa de um lquido em equilbrio
igual diferena de nvel entre os pontos, multiplicada pelo peso especfico do
lquido.
Exerccio: Calcular a fora P que deve ser aplicada no mbolo menor da prensa
hidrulica da figura, para equilibrar a carga de 4.400 kgf colocada no mbolo maior. Os
cilindros esto cheios, de um leo com densidade 0,75 e as sees dos mbolos so,
respectivamente, 40 e 4000 cm2. Resposta: 42,8 kgf.
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3. MANOMETRIA
As presses so grandezas fsicas muito importantes no trabalho com fluidos,
haja vista a equao fundamental da Esttica dos fluidos, que expressa em termos
de presses e esforos.
No sculo XVII Torricelli executou sua conhecida e clebre experincia ao nvel
do mar, quando, ao emborcar uma proveta cheia de mercrio em uma cuba, o lquido
fluiu da proveta para a cuba permanecendo apenas uma coluna de 762 milmetros de
altura.
A concluso lgica era de que o ar atmosfrico tinha peso, por conseguinte
exercia presso. Esta presso, medida ao nvel do mar, correspondia a uma coluna de
mercrio de 762 mm de altura. Este valor de presso foi chamado de "uma atmosfera
Fsica". Como o peso especfico do mercrio 13.600 kgf m-3, vem:
13.600 kgf m-3 x 0,762 m = 10.363 kgf m-2 = 1,036 kgf cm-2
Como a densidade do mercrio 13,6, a mesma presso atmosfrica.
equilibraria uma coluna de gua de: 13,6 . 0,762 = 10,36 m.
Na prtica da hidrulica se utiliza a atmosfera "tcnica" que vale 735 mm Hg.
735 mmHg = 10 mca = 10.000 kgf.m-2 = 1,0 kgf.cm-2 = 1,034 atm.
Exerccio: A Figura 6 reproduz a experincia de Torricelli em uma certa localidade,
quando foi utilizado o mercrio como lquido manomtrico. Se, ao invs de mercrio,
tivesse sido utilizado um leo com densidade de 0,85, qual teria sido a altura da coluna
de leo? Resposta: 11,20 m.c.o. (metros de coluna de leo)
A presso atmosfrica medida por barmetros ou por bargrafos, que so
barmetros registradores. A presso atmosfrica varia com a altitude; para cada 100
metros de elevao de altitude ocorre um decrscimo na presso atmosfrica de 0,012
atm (0,12 mca); desta forma, em um local de altitude igual a 920 metros, a presso :
patm = 1,034 atm - (0,012 . 9,2) = 1,034 - 0,110 = 0,92 atm
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Figura 6 Exemplo da experincia de Torricelli.
3.1 Tipos de presso
A um fluido com presso atmosfrica pode-se acrescentar ou "retirar presso.
Tais presses so denominadas efetivas" ou manomtricas, por que so medidas por
manmetros e podem ser positivas ou negativas.
Imaginem uma vasilha hermeticamente fechada contendo ar presso
atmosfrica local. Ligando-se o compressor indicado pelo sinal (+), mais ar ser
injetado dentro do recipiente e a presso ir subindo concomitantemente, o que ser
mostrado pelo manmetro. O ponteiro girar para a direita (rea positiva) partindo do
valor zero.
Suponha que o compressor tenha sido desligado quando a presso
manomtrica era de 1,2 kgf cm-2. Em seguida, ligando-se a bomba de vcuo, ilustrada
com o sinal (-), a presso ir caindo (o ar esta sendo retirado) voltando ao valor inicial
(zero). Neste ponto a presso reinante no interior do recipiente somente a presso
atmosfrica, a qual no acusada por manmetros.
Com a continuao do processo, a presso passar a ser negativa, com o
ponteiro do manmetro girando para a esquerda; estar ocorrendo o que denomina-se
"vcuo" ou depresso. Desligando-se o conjunto, o manmetro estar marcando uma
presso negativa (efetiva) de, por exemplo, -0,2 kgf cm-2.
Praticamente um fluido est sujeito, portanto, a dois tipos de presso: a
atmosfrica e a efetiva. A somatria dos valores das duas presses dar o que
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denomina-se presso absoluta. No exemplo considerado, sendo por hiptese a
presso igual a 0,9 atm, as presses absolutas sero:
a) para presso efetiva nula (ar presso atmosfrica no interior do recipiente)
pabs = patm + pef = 0,9 + 0,0 = 0,9 atm
b) para presso efetiva de 1,2 atm
pabs = patm + pef = 0,9 + 1,2 = 2,1 atm
c) para presso efetiva de -0,2 atm
pabs = patm + pef = 0,9 + (-0,2) = 0,7 atm
Pode-se verificar que na situao do caso c, a presso absoluta menor que a
presso atmosfrica local. Logo, h depresso ou vcuo, no interior do recipiente.
Como j mencionado a presso efetiva medida por manmetros. Vacumetro
o manmetro que mede presses efetivas negativas.
3.2 Classificao dos medidores de presso
3.2.1. Manmetro de lquido ou de coluna lquida
So aqueles que medem as presses em funo das alturas da coluna dos
lquidos que se elevam ou descem em tubos apropriados. Nesta categoria se agrupam:
piezmetro simples (ou tubo piezomtrico ou manmetro aberto); manmetro de tubo
em U (e tambm manmetro de duplo U) e manmetro diferencial.
a) Piezmetro simples, Tubo Piezomtrico ou Manmetro Aberto
o tipo mais simples desses aparelhos. Consiste de um tubo transparente inserido
no interior do ambiente onde se deseja medir a presso. O lquido circulante no
conduto se elevar no tubo piezomtrico a uma altura h, que corrigida do efeito da
capilaridade, d diretamente a presso em altura de coluna lquida.
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A presso no ponto A ser: h pA (Lei de Stevin), em que pA a presso em
A (N m-2 ou kgf m-2); o peso especfico do lquido (N m-3 ou kgf m-3) e h a altura de
coluna lquida acima do ponto A (m).
O dimetro do tubo piezomtrico deve ser maior que 1 cm, quando o efeito da
capilaridade desprezvel. O tubo piezomtrico pode ser inserido em qualquer posio
em torno de uma tubulao que o lquido atingir a mesma altura h, acima de A (Figura
7).
pA = h
Figura 7 Esquema de um tubo piezomtrico.
b) Manmetro de tubo em U
usado quando a presso a ser medida tem um valor grande ou muito pequeno.
Para tanto necessrio o uso de lquidos manomtricos que permitam reduzir ou
ampliar as alturas da coluna lquida (Figura 8).
Esta reduo ou ampliao da coluna obtida utilizando-se um outro lquido que
tenha maior ou menor peso especfico, em relao ao lquido escoante. Este outro
lquido denominado lquido manomtrico, e deve apresentar algumas caractersticas,
como:
- no ser miscvel com o lquido escoante;
- formar meniscos bem definidos;
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- ter densidade bem determinada.
Figura 8 Esquema de um tubo em U.
Para pequenas presses os lquidos manomtricos mais comuns so: gua,
cloreto de carbono, tetracloreto de carbono, tetrabrometo de acetileno e benzina. Para
grandes presses, o lquido mais usado o mercrio.
Nos manmetros de tubo em U, a presso j no dada diretamente pela altura
da coluna lquida, mas atravs de equaes que caracterizam o equipamento.
Para se conhecer a presso em A, deve-se proceder da forma seguinte:
1) Demarque os meniscos separando assim as diferentes colunas lquidas e
cancele as colunas equivalentes;
2) Comeando em uma das extremidades escreva o valor da presso nesse
ponto; sendo incgnita use um smbolo;
3) Escreva em continuao o valor da presso representada por uma a uma
das colunas lquidas; para isto, multiplique a altura da coluna pelo peso
especfico do fluido; cada parcela ser precedida do sinal (+) se a coluna
tender a escoar para adiante sob a ao da gravidade e (-) em caso
contrrio;
4) Atingindo-se o ltimo menisco a expresso ser igualada presso nesse
ponto, seja ela conhecida ou incgnita.
h
h y
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Baseando-se nestes preceitos, pela Figura 8 chega-se a dois pontos: 1 e 2,
onde: pA + 1 y - 2 h = patm = 0.
O ndice 2 se refere s caractersticas do lquido manomtrico.
Exerccios:
- Com base no tensimetro de mercrio da Figura 9, mostre que o potencial
matricial no ponto A .
Figura 9 Desenho esquemtico de um tensimetro de mercrio.
- A Figura 10 representa um manmetro duplo U instalado em uma tubulao.
Calcule a presso no Ponto A, expressando-a em kgf m-2, kgf cm-2 e Pa. Considere:
- lquido escoando na tubulao: gua;
- lquido manomtrico: mercrio;
- x = 15 cm; y = 20 cm; z = 8 cm; h = 22 cm; j = 20 cm.
Resposta: 4.204 kgf m-2; 0,4204 kgf cm-2; 42.040 Pa
12A hhh6,12
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Figura 10 Manmetro de duplo U.
c) Manmetro Diferencial
o aparelho usado para medir a diferena de presso entre dois pontos.
B231A py h )hyx(p
123BA )hyx(y h pp
em que pA pB a diferena de presso entre A e B.
Figura 11 Esquema de um manmetro diferencial.
Exerccio: Considere o manmetro conectado a uma tubulao, como mostra a Figura
12. Sabendo que a densidade do leo 0,83, calcule a diferena de presso entre os
pontos 1 e 2. Resposta: 90,10 kgf m-2.
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Figura 12 Exemplo de um manmetro diferencial.
3.2.2. Manmetro metlico ou de Bourdon
So os manmetros metlicos os mais utilizados na prtica, pois permitem
leitura direta da presso em um mostrador (Figura 13). As presses so determinadas
pela deformao de uma haste metlica oca, provocada pela presso do lquido na
mesma.
Figura 13 Vista de um manmetro (esquerda) e de um vacumetro (direita).
A deformao movimenta um ponteiro que se desloca em uma escala.
constitudo de um tubo metlico transversal (seo reta) elptica que tende a se
deformar quando a presso P aumenta. Com isso a seo reta tende a ser circular que
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por sua vez acarreta um aumento no raio de curvatura do tubo metlico e movimenta o
ponteiro sobre a escala graduada diretamente para medir a presso correspondente
deformao. So usados para medir presses muito grandes.
3.3 Relaes entre as unidades de presso
Considerando a Atmosfera tcnica:
1 atm = 735 mmHg = 1,0 kgf cm-2 = 10,0 mca = 14,7 psi = 105 Pa = 102 kPa =
104 kgf m-2 = 1,0 bar = 1000 mbar
4. HIDRODINMICA
4.1 Fundamentos do escoamento dos fluidos
As leis tericas da Hidrodinmica so formuladas admitindo-se que os fluidos
sejam ideais, isto , que no possuam viscosidade, coeso, elasticidade, etc. de modo
que no haja tenso de cisalhamento em qualquer ponto da massa fluida. Durante a
movimentao, as partculas fluidas deslocam-se de um ponto a outro continuamente,
sem que a massa do fluido sofra desintegrao, permanecendo sempre contnua, sem
vazios ou soluo de continuidade.
4.2 Linhas de Fluxo
As linhas de fluxo so linhas imaginrias tomadas atravs do fluido para indicar a
direo da velocidade em diversas sees do escoamento. Gozam da propriedade de
no serem atravessadas por partculas de fluido.
Em cada ponto de uma linha de fluxo existe, em cada instante t, uma partcula
animada de uma velocidade v. As linhas de fluxo so, portanto, as curvas que, no
mesmo instante t considerado, se mantm tangentes em todos os pontos s
velocidades v1.
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Em geral as linhas de fluxo so instantneas porque as sucessivas partculas que
passam pelo mesmo ponto no espao tm velocidades diferentes nesse ponto.
Tambm, partculas que passam por A no decorrer do tempo, podem ir para B, para C
etc., mesmo com velocidade v1; ainda mais, uma partcula que esteja em A no
instante t, com velocidade v1 poder, no instante t+dt, estar com velocidade v2 em
outro ponto. Nestes casos vistos, a trajetria de cada partcula difere da linha de fluxo.
Se todas as partculas que passam por A tem, nesse ponto, velocidade v1, o
regime de escoamento dito permanente e se ao longo da trajetria, a velocidade se
mantm constante, o movimento dito uniforme e a trajetria coincide com a linha de
fluxo (Figura 14).
Figura 14 Linhas de fluxo.
Admitindo-se que o campo da velocidade v seja contnuo, pode-se considerar
como tubo de fluxo (Figura 15), o tubo imaginrio limitado por linhas de fluxo e que
constitui-se em uma seo de rea infinitesimal, na qual a velocidade de escoamento
no ponto mdio representativa da velocidade mdia na seo.
Figura 15 Tubo de fluxo.
- Vazo
Cortando-se o tubo de fluxo da Figura anterior, por um plano normal s linhas de
fluxo, essa seo atravessada no instante t, por um volume de fluido dado por:
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A QdA v
sendo Q a vazo, isto , o volume escoado com velocidade v na seo de rea A e
na unidade de tempo. A superfcie do tubo de corrente pode estar em contato com uma
parede slida, como no caso dos condutos forados ou sob presso, ou pode estar em
contato com outro fluido, como nos canais, onde o lquido tem uma superfcie em
contato com a atmosfera.
4.3 Classificao dos Movimentos
Nas massas fluidas em movimento possvel distinguir os seguintes tipos de
escoamento:
a) Escoamento no-permanente: os elementos que definem o escoamento variam em
uma mesma seo com o passar do tempo. No instante t1 tem-se a vazo Q1 e no
instante t2 tem-se a vazo Q2, sendo uma diferente da outra. Nas ondas de cheia,
por exemplo, tem-se este tipo de escoamento.
b) Escoamento permanente: aquele em que os elementos que o definem (fora,
velocidade, presso) em uma mesma seo permanecem inalterados com o passar
do tempo. Todas as partculas que passam por um determinado ponto no interior da
massa lquida tero, neste ponto, a qualquer tempo, velocidade constante.
O movimento permanente pode ser ainda:
- Uniforme: quando a velocidade mdia do fluxo ao longo de sua trajetria constante.
Neste caso, v1 = v2 e A1 = A2;
- Variado: a velocidade varia ao longo do escoamento. Pode ser acelerado ou
retardado.
4.4 Conservao da Massa Equao da continuidade
A equao da continuidade a equao da conservao da massa expressa
para fluidos incompressveis (massa especfica constante).
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Em um tubo de corrente de dimenses finitas, a quantidade de fluido com massa
especfica 1 que passa pela seo A1, com velocidade mdia v1, na unidade de tempo
:
1111 A v
t
m
Por analogia, na seo 2 tem-se: 2222 A v t
m
Em se tratando de regime permanente a massa contida no interior do tubo invarivel,
logo:
MtetanconsA v A v 222111
Esta a equao da conservao da massa. Tratando-se de lquidos, que so
praticamente incompressveis, 1 igual a 2. Ento:
A vQ ou A vA vA v nn2211
A equao da continuidade mostra que, no regime permanente, o volume de
lquido que, na unidade de tempo, atravessa todas as sees da corrente sempre o
mesmo.
4.5 Equao de Bernoulli
Aplicando-se a equao de Euler (equaes gerais do movimento) aos lquidos
em movimento permanente, sob a ao da fora gravitacional, e em dois pontos de
uma tubulao, por exemplo, tem-se:
constante z 2g
v
p z
2g
v
p1
211
2
222
Este o teorema de Bernoulli, que se anuncia: Ao longo de qualquer linha de
corrente constante a somatria das energias cintica (g2
v2), piezomtrica (
p) e
potencial (z). importante notar que cada um desses termos pode ser expresso em
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unidade linear, constituindo o que denomina-se carga ou altura ou energia por
unidade de peso.
Em 1875, Froude apresentou importantes experincias sobre o teorema de
Bernoulli. Uma delas consiste numa canalizao horizontal e de dimetro varivel,
conectada a um reservatrio de nvel constante. De acordo com a Figura 16,
instalando-se piezmetros nas diversas sees, verifica-se que a gua sobe alturas
diferentes; nas sees de menor dimetro, a velocidade maior e, portanto, tambm
maior a carga cintica, resultando menor carga de presso. Como as sees so
conhecidas, podem-se verificar a distribuio e a constncia da carga total (soma das
alturas).
Figura 16 - Ilustrao do Teorema de Bernoulli.
Exerccio: Um lquido incompressvel de massa especfica igual a 800 kg m-3 escoa
pelo duto representado na Figura 17 com vazo de 10 L s-1. Admitindo o escoamento
como ideal e em regime permanente, calcule a diferena de presso entre as sees 1
e 2. (1 N = 1 kg m s-2).
Resposta: 3.058,10 kgf m-2 ou 30.000 N m-2 = 30.000 Pa = 30 kPa.
Figura 17 Exemplo da aplicao da equao de Bernoulli.
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5. ESCOAMENTO EM CONDUTOS LIVRES
5.1 Generalidades
O escoamento em condutos livres caracterizado por apresentar uma superfcie
livre na qual reina a presso atmosfrica. Estes escoamentos tm um grande nmero
de aplicaes prticas na engenharia, estando presentes em reas como o
saneamento, a drenagem urbana, irrigao, hidroeletricidade, navegao e
conservao do meio ambiente.
Figura 41 Canal principal do permetro irrigado do Gorutuba.
Os problemas apresentados pelos escoamentos livres so mais complexos de
serem resolvidos, uma vez que a superfcie livre pode variar no espao e no tempo e,
como conseqncia, a profundidade do escoamento, a vazo, a declividade do fundo e
a do espelho lquido so grandezas interdependentes. Desta forma, dados
experimentais sobre os condutos livres so, usualmente, de difcil apropriao.
De modo geral, a seo transversal dos condutos livres pode assumir qualquer
forma e a rugosidade das paredes internas tem grande variabilidade, podendo ser lisas
ou irregulares, como a dos canais naturais. Alm disto, a rugosidade das paredes pode
variar com a profundidade do escoamento e, conseqentemente, a seleo do
coeficiente de atrito cercada de maiores incertezas em relao dos condutos
forados.
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5.2 Escoamento Uniforme em Canais
Em condies normais, tem-se nos canais um movimento uniforme, ou seja, a
velocidade mdia da gua constante ao longo do canal.
Existem vrias equaes para o clculo da velocidade mdia da gua (v) em um
canal, tais como:
Chezy (1769);
Ganguillert-Kutter (1869);
Bazin (1897);
Manning (1890);
Gauckler-Strickler (1923).
Porm as mais utilizadas so as de Chezy e de Manning. A equao de Chezy
pode ser expressa da seguinte forma:
D R Cv h
sendo
Rh = raio hidrulico (A/P);
D = declividade do canal, m m-1.
C= coeficiente de Chezy;
O coeficiente C depende dos parmetros de resistncia ao escoamento e da
seo transversal e pode ser expresso da seguinte forma:
f
g8C
em que f o fator de atrito da equao de perda de carga e g a acelerao local da
gravidade.
A equao de Manning baseada na equao anterior, mas com uma mudana
no coeficiente C, que pode ser escrito como:
n
RC
6/1h
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em que n uma caracterstica da rugosidade da superfcie (tabelado). Substituindo o
valor de C na equao de Chezy tem-se:
2/13/2h D R n
1v
Alguns valores de n para a frmula de Manning:
Natureza da Parede Estado da parede
Perf. Bom Reg. Mau
Cimento liso 0,010 0,011 0,012 0,013 Argamassa de cimento 0,011 0,012 0,013 0,015 Aqueduto de madeira aparelhada 0,010 0,012 0,012 0,014 Aqueduto de madeira no aparelhada 0,011 0,013 0,014 0,015 Canais revestidos de concreto 0,012 0,014 0,016 0,018 Paredes metlicas, lisas e semi-circulares 0,011 0,012 0,028 0,030 Paredes de terra, canais retos e uniformes 0,017 0,020 0,023 0,030 Paredes rugosas de pedras irregulares 0,035 0,040 0,045 -- Canais de terra com grandes meandros 0,023 0,025 0,028 0,030 Canais de terra dragados 0,025 0,028 0,030 0,033 Canais com leito de pedras rugosas e com vegetao 0,025 0,030 0,035 0,040 Canais com fundo de terra e com pedras nas margens 0.028 0.030 0.033 0.035
5.3 Conceitos Importantes
a) rea Molhada (A)
Parte da seo transversal do canal que ocupada pelo lquido.
b) Permetro Molhado (P)
Comprimento relativo ao contato do lquido com as paredes do canal.
c) Largura Superficial (B)
Largura da superfcie do lquido em contato com a atmosfera.
d) Profundidade (y)
Altura do lquido acima do fundo do canal.
e) Profundidade Hidrulica (yh)
-
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Razo entre a rea molhada e a largura superficial.
yh = A/B
f) Raio Hidrulico (Rh)
Razo entre a rea molhada e o permetro molhado.
Rh = A/P
5.4 Forma dos Canais
As formas geomtricas mais usuais em canais so retangulares, trapezoidal e
triangular. Os parmetros rea, raio hidrulico so facilmente calculados, conforme
frmulas a seguir:
a) Seo trapezoidal
Figura 42 Canal trapezoidal.
)ymb(yA 1my2bP2
P
ARh ym2bB
m = tg = cotg = inclinao das paredes do canal
b) seo triangular
2myA 1my2P 2
1m2
myR
2h
ym2B
c) seo retangular
ByA y2bP y2b
byRh
bB
6.5 Dimensionamento do Canal
-
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Aplicando a equao de continuidade na equao de Chezy-Manning, tem-se:
2/13/2 1
SRAn
Q h
em que Q a vazo, produto da rea transversal da seo de escoamento pela
velocidade mdia da gua.
Normalmente n e S so parmetros definidos e conhecidos. Quando se conhece
as dimenses do canal, o clculo da vazo explcito. Porm, quando se deseja
conhecer ou dimensionar a base e altura de um canal, tendo-se a vazo de projeto, a
soluo fica no explcita e deve ser obtida por mtodos numricos, bacos, tabelas ou
tentativas.
5.5.1 Mtodo das Tentativas
Consiste em assumir valores para os parmetros que definem a rea e o raio
hidrulico de um canal e, em seguida, aplicar a equao de Manning e a equao da
continuidade, para calcular qual ser a vazo com os valores assumidos. A relao
entre os valores assumidos para os parmetros geomtricos do canal pode variar ou
permanecer constante. Comparar a vazo calculada com a vazo conhecida; caso no
sejam idnticas, repetir os clculos at encontrar o valor para a vazo. Recomenda-se
utilizar o seguinte tipo de quadro:
b y A P Rh Rh2/3
n
S v* Q** Q=Q ?
* 2/13/2
1
SRn
v h **Q = v A
5.6 Taludes e velocidades recomendadas
A velocidade em uma seo transversal de um canal calculada pela equao
de Chezy-Manning, porm seu valor pode ser restringido por limitaes da qualidade
da gua e da resistncia dos taludes. Velocidades muito grandes podem provocar
-
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eroso no leito e no fundo do canal, destruindo-o. Velocidades muito baixas podem
possibilitar a sedimentao de partculas em suspenso, obstruindo o canal.
As Tabelas a seguir apresentam limites de velocidade e de inclinao dos
taludes em funo da natureza da parede.
Velocidades mdia e mxima em um canal, em funo da natureza da parede.
Natureza da parede do canal Velocidade (m.s-1)
Mdia mxima
Areia muito fina 0,23 0,30 Areia solta mdia 0,30 0,46 Areia grossa 0,46 0,61 Terreno arenoso comum 0,61 0,76 Terreno silto-argiloso 0,76 0,84 Terreno de aluvio 0,84 0,91 Terreno argiloso compacto 0,91 1,14 Terreno argiloso duro 1,22 1,52 Cascalho grosso, pedregulho 1,52 1,83 Rochas sedimentares moles 1,83 2,44 Alvenaria 2,44 3,05 Rochas compactas 3,05 4,00 Concreto 4,00 6,00
Velocidades mnimas em um canal a fim de evitar sedimentao.
Tipo de suspenso na gua Velocidade (m.s-1)
gua com suspenso fina 0,30 gua transportando areia 0,45 guas residurias - esgotos 0,60
Inclinao dos taludes dos canais.
Natureza da parede do canal m
Canais em terra sem revestimento 2,5 a 5 Canais em saibro 2,0 Cascalho rolio 1,75 Terra compacta sem revestimento 1,50 Terra muito compacta rocha 1,25 Rocha estratificada 0,50 Rocha compacta 0,0
-
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5.7 Informaes adicionais
Para situaes em que a vazo muito varivel ao longo do tempo, o canal
pode ser dimensionado contemplando as diferentes condies de escoamento.
Normalmente em reas urbanas, os canais so dimensionados para tal situao, ou
seja, na poca seca do ano, a contribuio da rede pluvial pequena ou nula,
reduzindo sensivelmente a vazo escoada. Dessa forma, o canal teria duas sees de
escoamento, atendendo as distintas situaes de fluxo. A Figura 43 ilustra essa
situao.
Figura 43 Canal com dupla seo de escoamento.
5.8 Escoamento Variado em Canais
Os canais uniformes e o escoamento uniforme no existem na natureza. At
mesmo no caso de condutos artificiais prismtico, longos e de pequena declividade, as
condies apenas se aproximam do movimento uniforme.
Essas condies de semelhana apenas acontecem a partir de uma certa
distncia da seo inicial e deixam de existir a uma certa distncia da seo final (nas
extremidades a profundidade e a velocidade so variveis).
-
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Nos canais com escoamento uniforme o regime poder se alterar, passando a
variado em conseqncia de mudanas de declividade, variao de seo e presena
de obstculos.
5.8.1 Energia Especfica
Em qualquer seo transversal de um conduto livre, a carga pode ser obtida a
partir da seguinte expresso:
g
VyZHT
2
2
Observao:
No escoamento livre, a carga de presso pode ser substituda pela profundidade
do escoamento, com as presses sendo consideradas como hidrostticas.
Py
Em condutos livres a sua declividade denominado como gradiente hidrulico.
Uma representao das linhas de carga e piezomtrica num conduto livre
apresentada a seguir.
Figura 44 Representao das linhas de carga e piezomtrica num conduto livre.
Conforme os condutos forados, a soma das diferentes parcelas de carga
permite a construo da linha de carga total ou linha de energia. A perda de carga
entra as duas sees (1) e (2) quaisquer dada por H1-H2.
-
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Define-se energia especfica como sendo a carga medida a partir do fundo do
canal, sendo definida por:
g
VyH E
2
2
Se considerarmos a equao da continuidade, teremos:
2
2
2 Ag
QyH E
Como a rea funo da profundidade, a energia especfica torna-se funo da
profundidade y, para um determinado valor de vazo, assim teremos:
212
2
)(2EEE
yfg
QyH EE
Se representarmos graficamente a variao das diferentes parcelas que
constituem a energia especfica, teremos:
Figura 45 Curva de energia especfica.
Sendo:
ys = profundidade subcrtica, fluvial, superior e tranquilo;
yc = profundidade crtica;
yI = profundidade supercrtica, rpida, inferior e torrencial;
Ec = Energia crtica.
-
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Observao:
A energia especfica no uma funo montona crescente com y. Existe um
valor mnimo de energia (denominado energia crtica, Ec) que possui uma
correspondente profundidade, chamada de profundidade crtica.
5.8.2 Profundidade Crtica, Declividade Crtica, Velocidade Crtica e Vazo
Crtica
a profundidade de gua em um canal que corresponde ao valor mnimo de
carga especfica. Para um canal de seo qualquer, temos:
32
B
A
g
Q
Essa equao obtida derivando-se a equao de energia especfica em funo
de y.
Como consequncia do conceito de profundidade crtica, trs outras definies
podem ser estabelecidas, so elas: declividade crtica, velocidade crtica e vazo
crtica.
Declividade crtica aquela que conduz fluido a profundidade crtica.
Declividades superiores crtica aumentaro a velocidade de escoamento da gua,
provocando, para uma vazo constante, diminuio da profundidade do escoamento.
Desta forma, declividades maiores que a crtica so denominadas supercrticas.
Profundidades inferiores crtica sero denominadas supercrticas.
5.8.3 Nmero de Froude
O nmero de Froude (Fr) to importante para o escoamento livre, assim como
o nmero de Reynolds para os condutos forados. Ele um adimensional importante
em Hidrulica, permitindo o estabelecimento de diferentes interpretaes das
condies de escoamento correspondente ao limite entre os regimes fluvial e torrencial.
Desta forma, sempre que ocorrer mudana no regime de escoamento, a
profundidade deve passar pelo seu valor crtico. Esta passagem, no entanto, pode
ocorrer de forma gradual ou brusca, de acordo com o regime do escoamento de
montante e com a singularidade que provocou a variao.
-
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O nmero de Froude pode ser obtido por meio da seguinte equao:
hyg
vFr
Sendo:
Fr = nmero de Froude;
V = velocidade (m/s);
g = gravidade (m/s);
yh = profundidade hidrulica (m).
Os valores do nmero de Froude de acordo com os tipos de escoamento so:
Fr = 1 => Escoamento crtico;
Fr < 1 => Escoamento subcrtico;
Fr > 1 => Escoamento supercrtico.
Diversas situaes prticas permitem observar a mudana do regime de
escoamento. So exemplos da passagem do regime subcrtico para o supercrtico:
Passagem de uma declividade subcrtica para uma declividade supercrtica;
Queda livre, a partir de uma declividade crtica a montante;
Escoamento junto crista de vertedores;
Estreitamento da seo.
A mudana do regime supercrtico para o subcrtico observada, por exemplo,
em mudanas de declividade e em sadas de comportas. O escoamento em regime
crtico (ou em suas imediaes) instvel. Assim a menor mudana de energia
especfica provocar sensvel mudana da profundidade de gua no canal.
Onde se verifica a mudana de regime (supercrtico para subcrtico e vice-
versa), chamamos de seo de controle. Estas sees so importantes porque
atravs delas possvel se determinar a vazo por meio apenas da profundidade
crtica.
-
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5.8.4. Transies
So estruturas hidrulicas que conduzem o lquido de uma seo para outra, de
modo a causar o mnimo de perda de carga e no modificar as condies de
escoamento montante.
Muitas vezes o canal precisar passar por modificaes, como por exemplo, a
passagem sob uma estrada ou a suspenso em algum trecho. Existe ainda a
possibilidade de sofrer uma reduo ou alargamento de sua seo. Essas modificaes
podero causar alteraes na profundidade do escoamento.
Nas situaes anteriormente descritas necessrio efetuar o estudo de energia
especfica para o correto dimensionamento e construo das estruturas hidrulicas no
canal. Evitando assim, transbordamentos ou represamentos de gua.
5.8.4.1. Anlise do Nvel de gua na Ascenso ou Depresso Suave
no Fundo do Canal
A equao abaixo descreve o comportamento da profundidade do nvel de gua
de acordo com o regime de escoamento e com a ascenso/depresso suave no fundo
do canal.
dx
dzFr
dx
dy )1( 2
a) Ascenso Suave
a.1) Escoamento Subcrtico
Temos: Fr1; 0dx
dz; 0dx
dy
Logo o nvel de gua vai subir.
b) Depresso Suave
b.1) Escoamento Subcrtico
Temos: Fr
-
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b.2) Escoamento Supercrtico
Temos: Fr>1; 0dx
dz; 0dx
dy
Logo o nvel de gua vai descer.
5.8.4.2. Anlise do Nvel de gua na Contrao ou Expanso da
Seo
A equao abaixo descreve o comportamento da profundidade do nvel de
gua de acordo com o regime de escoamento e com a contrao/expanso da
seo.
dx
db
b
yFrFr
dx
dy )()1( 22
a) Contrao
a.1) Regime Subcrtico
Temos: Fr1; 0dx
db; 0dx
dy
Logo o nvel de gua vai subir.
b) Expanso
b.1) Regime Subcrtico
Temos: Fr1; 0dx
db; 0dx
dy
Logo o nvel de gua vai descer.
-
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5.9. Movimento Gradualmente Variado
5.9.1. Conceito
Quando h uma variedade gradual da profundidade, temos que:
0
L
v
Onde:
v a velocidade do escoamento;
L o comprimento do escoamento.
5.9.2. Importncia
a) Delimitao de reas inundveis;
b) Volume acumulado.
5.9.3. Classificao
a) Movimento gradualmente variado acelerado (MGVA);
b) Movimento gradualmente variado retardado (MGVR).
5.9.4. Clculo das Curvas de Remanso
Existem duas maneiras de se resolver o problema do movimento gradualmente
variado, sendo uma qualitativa e outra quantitativa.
5.9.4.1. Resoluo Qualitativa
a) Canal com declividade fraca: M
So aqueles inferiores a declividade crtica e que conduzem a vazo na
profundidade normal e regime subcrtico. utilizada a letra M, que uma abreviao
da palavra MILD, que significa suave.
b) Canal com declividade forte: S
So aqueles cujas declividades so superiores a crtica. Usa-se a abreviao S
de STEEP, que significa ngreme.
c) Canal com declividade crtica: C
-
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So aqueles canais cuja declividade igual a declividade crtica, verificada
quando Froude igual a 1. Usa-se a abreviao C de CRITICAL, que significa crtica.
d) Canal com declividade Adversa: A
So aqueles cuja declividade adversa, isto , ao invs de descer, a declividade
ascendente. Usa-se a abreviao A de ADVERSE, que significa adversa.
a) Canal com declividade nula: H
So aqueles sem declividade, isto , esto na horizontal. Usa-se a abreviao
H, de horizontal.
5.9.4.2. Resoluo Quantitativa
a) Mtodo numrico de integrao trecho a trecho
Mtodo Direto
Aplicado a condutos livres prismticos
Mtodo Standard
Aplicado a condutos livres no prismticos
b) Mtodo Grfico
c) Mtodo da Integrao Direta
Observao:
Nesse curso veremos o mtodo (c) para condutos prismticos.
Mtodo de integrao Direta para Condutos Prismticos:
Esse mtodo considera que a declividade do nvel de gua diferente da
declividade do fundo do canal e que os condutos utilizados so de seo prismtica.
Outra considerao a se fazer a adoo da velocidade mdia, rea mdia e raio
hidrulico mdio para o clculo da influncia do remanso. Para isso temos:
3/2
2/1hRA
J
Qn
Onde:
-
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n o coeficiente de Manning;
Q a vazo;
J a declividade do nvel de gua;
A a rea mdia;
3/2hR
o raio hidrulico mdio.
2
21 vvv
Onde:
v1 a velocidade na seo 1;
v2 a velocidade na seo 2;
v a velocidade mdia entre a seo 1 e 2.
2
21 AAA
Onde:
A1 a rea da seo 1;
A2 a rea da seo 2;
A a rea mdia entre as sees 1 e 2.
2
21 hhh
RRR
Onde:
Rh1 o raio hidrulico da seo 1;
Rh2 o raio hidrulico da seo 2;
hR o raio hidrulico mdio entre as sees 1 e 2.
JS
EEL
12
-
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Onde:
L o comprimento da influncia do remanso;
E2 a energia especfica em 2;
E1 a energia especfica em 1;
S a declividade do fundo do canal;
J a de declividade do nvel de gua.
5.10. Movimento Bruscamente Variado
5.10.1. Introduo
Ocorre sempre quando h mudana brusca do regime supercrtico para um
subcrtico, ou vice versa.
5.10.2. Caractersticas do Movimento Bruscamente Variado
a) Linha de corrente com inclinao acentuada;
b) No se aplica ao regime uniforme;
c) Ocorre em pequenos trechos.
5.10.3. Ocorrncias
a) Escoamento sobre barragens;
b) Ressaltos.
5.10.4. Ressaltos Hidrulicos
5.10.4.1. Conceito
Fenmeno que ocorre na passagem brusca de um regime supercrtico para um
subcrtico. No ressalto hidrulico, o regime vai passar necessariamente por:
Fr>1 -> Fr=1 -> Fr
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5.10.4.3. Classificao do Ressalto
a) Falso ressalto: 1,2
-
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b) o movimento permanente;
c) o escoamento se d ao longo de um tubo de fluxo; e
d) o fluido incompressvel.
A experincia mostra que, em condies reais, o escoamento se afasta do
escoamento ideal. A viscosidade d origem a tenses de cisalhamento e,
portanto, interfere no processo de escoamento. Em consequncia, o fluxo s se
realiza com uma perda de energia, que nada mais que a transformao de
energia mecnica em calor e trabalho.
A equao de Bernoulli, quando aplicada a sees distintas da
canalizao, fornece a carga total em cada seo. Se o lquido ideal, sem
viscosidade, a carga ou energia total permanece constante em todas sees.
Porm, se o lquido real, o seu deslocamento da seo 1 para a seo 2
(Figura 46) ocorrer mediante uma dissipao de energia, necessria para
vencer as resistncias ao escoamento entre as sees. Portanto, a carga total
em 2 ser menor do que em 1 e esta diferena a energia dissipada sob forma
de calor. Como a energia calorfica no tem utilidade no escoamento do lquido,
diz-se que esta parcela a perda de carga ou perda de energia, simbolizada
comumente por hf. possvel observar na Figura 46 que, independente da
forma como a tubulao se encontra instalada, sempre haver dissipao de
energia quando o lquido estiver em movimento.
Analisando as Figuras, alm do plano de referncia, possvel identificar
trs planos:
- PCE Plano de carga efetivo: a linha que demarca a continuidade da altura
da carga inicial, atravs das sucessivas sees de escoamento;
- LP Linha piezomtrica: aquela que une as extremidades das colunas
piezomtricas. Fica acima do conduto de uma distncia igual presso
existente, e expressa em altura do lquido. chamada tambm de gradiente
hidrulico; e
-
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- LE Linha de energia: a linha que representa a energia total do fluido. Fica,
portanto, acima da linha piezomtrica de uma distncia correspondente
energia de velocidade e se o conduto tiver seo uniforme, ela paralela
piezomtrica. A linha piezomtrica pode subir ou descer, em sees de
descontinuidade. A linha de energia somente desce.
Nas Figuras, f21 hEE ou f21 hEE
Como zp
g2
vE
2
, tem-se que: f22
22
11
21 hz
p
g2
vz
p
g2
v
que a equao de Bernoulli aplicada em duas sees quaisquer de um
escoamento de fluido real.
a
b
g2
v21
1P
z2
z1
2P
g2
v22
hf1-2
PCE
LE
LP
g2
v21
1P
z2 z1
2P
g2
v22
hf1-2
PCE
LE
LP
-
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g2V21
g2V22
c
Figura 46- Escoamento de um lquido real em um conduto forado, mostrando a carga total em duas sees de escoamento: a) tubulao em nvel; b) tubulao em aclive; c) tubulao em declive.
Quando existem peas especiais e trechos com dimetros diferentes, as
linhas de carga e piezomtrica vo se alterar ao longo do conduto. Para tra-
las, basta conhecer as cargas de posio, presso e velocidade nos trechos
onde h singularidades na canalizao. A instalao esquematizada na Figura
47 ilustra esta situao.
Figura 47 Perfil de uma canalizao que alimenta o reservatrio R2, a partir do reservatrio R1, com uma reduo de dimetro.
z2
1P
hf1-2
z1
g2
v21
2P
g2
v22
PCE
LE
LP
h1
h2
h3
hf1
hf2 D1
D2
R1
R2
-
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42
Do reservatrio R1 para R2 existe uma perda de carga total ht, igual
diferena de nvel entre os mesmos. Esta perda de carga devida :
h1 - perda localizada de carga na entrada da canalizao;
hf1 - perda contnua de carga no conduto de dimetro D1;
h2 - perda localizada de carga na reduo do conduto, representada pela
descontinuidade da linha de carga;
hf2 - perda contnua de carga no trecho de dimetro D2; e
h3 - perda de carga na entrada do reservatrio.
Para traar esta linha de carga necessrio calcular as cargas logo aps
a entrada da canalizao, imediatamente antes e aps a reduo de dimetro e
na entrada do reservatrio.
6.1.2 Regimes de movimento
Os hidrulicos do sculo XVIII j observavam que dependendo das
condies de escoamento, a turbulncia era maior ou menor, e
consequentemente a perda de carga. Osborne Reynolds (1842 1912) fez uma
experincia para tentar caracterizar o regime de escoamento, que a princpio ele
imaginava depender da velocidade de escoamento (Figura 48). A experincia
consistia em fazer o fluido escoar com diferentes velocidades, para que se
pudesse distinguir a velocidade de mudana de comportamento dos fluidos em
escoamento e caracterizar estes regimes. Para visualizar mudanas, era
injetado na tubulao o corante permanganato de potssio, utilizado como
contraste.
-
Hidrulica Maro/2013
43
Figura 48 Esquema da experincia de Reynolds
Inicialmente, usando pequenas velocidades, ele observou que o lquido
escoava-se ordenadamente, como se lamnulas do lquido se deslizassem uma
em relao s outras, e a este estado de movimento, ele denominou laminar.
Logo que a velocidade foi sendo aumentada gradativamente, ele observou que o
lquido passou a escoar de forma desordenada, com as trajetrias das partculas
se cruzando, sem uma direo definida. A este estado de movimento, ele
chamou de turbulento ou desordenado. A Figura 49 apresenta os resultados de
testes demonstrando a experincia de Reynolds. O material completo est
disponvel no endereo:
http://www.escoladavida.eng.br/mecflubasica/Apostila/Unidade%203/Simulacao
%20de%20Reynolds%20un%203.pdf
a b
Figura 49 Resultados obtidos em um teste de laboratrio: (a) laminar e (b)
turbulento.
-
Hidrulica Maro/2013
44
Tentando repetir a sua experincia, em sentido contrrio, comeando de
uma velocidade maior (regime turbulento) e, gradativamente reduzindo a
velocidade, ele observou que o fluido passou do regime turbulento para o
laminar, porm a velocidade que ocorreu nesta passagem era menor que
aquela em que o regime passou laminar a turbulento. Ficou, portanto, uma faixa
de velocidade onde no se pde definir com exatido qual o regime de
escoamento. A esta faixa, chamou de zona de transio.
Ele distinguiu inicialmente tambm duas velocidades:
- velocidade crtica superior: aquela onde ocorre a passagem do
regime laminar para o turbulento; e
- velocidade crtica inferior: aquela onde ocorre a passagem do regime
turbulento para o laminar.
Repetiu-se a experincia de Reynolds fazendo-a para vrias combinaes
de dimetros e fluidos e concluiu-se que no s a velocidade importante para
caracterizar o regime de escoamento, mas tambm o dimetro da canalizao e
o fluido escoante. Chegou-se a uma expresso que caracteriza o regime de
escoamento:
D v
Re
em que:
Re = conhecido como nmero de Reynolds, adimensional;
v = a velocidade mdia de escoamento, m s-1;
D = o dimetro da canalizao, m; e
= a viscosidade cintica do fluido, m2 s-1. ( gua = 1,02 x 10-6 m2 s-1)
Para definir o regime, basta calcular o nmero de Reynolds e caracteriz-
lo pelos limites.
Se eR 2.000 - regime laminar
Se eR 4.000 - regime turbulento
Se 2.000 < eR < 4.000 - zona de transio
-
Hidrulica Maro/2013
45
Na zona de transio no se pode determinar com preciso a perda nas
canalizaes.
De modo geral, por causa da pequena viscosidade da gua e pelo fato
da velocidade de escoamento ser sempre superior a 0,4 ou 0,5 m s-1, o regime
dos escoamentos, na prtica, turbulento.
6.1.3 Perda de carga
Todo fluido real possui viscosidade. As observaes experimentais
mostram que quando um fluido escoa, paralelamente a uma superfcie, as
molculas do fluido em contato com a superfcie aderem a esta. como se a
viscosidade tivesse o mesmo efeito de uma cola. A velocidade relativa do fluido
na superfcie da placa zero. As molculas do fluido aderidas superfcie
exercem sobre as demais um efeito de frenagem que diminui, medida que se
aproxima do centro da tubulao. Desta forma, percebe-se que no h atrito da
massa fluida com as paredes da tubulao, devido existncia de uma camada
de velocidade igual a zero junto s paredes, denominada de camada limite.
Portanto, no regime laminar, a perda de carga deve-se unicamente
resistncia oferecida pela camada mais lenta quela mais rpida que lhe
adjacente, ou seja, a energia hidrulica transformada em trabalho na anulao
da resistncia oferecida pelo fluido em escoamento em funo da sua
viscosidade. A resistncia funo das tenses tangenciais que promovem a
transferncia da quantidade de movimento.
No regime turbulento, alm do fenmeno descrito acima, existe ainda
perda de energia nos choques moleculares oriundos do movimento desordenado
das partculas.
A perda de carga est diretamente relacionada com a turbulncia que
ocorre no conduto. Com esta ponderao, possvel imaginar que, em uma
tubulao retilnea, a perda de carga seja menor se comparada com uma
tubulao semelhante, mas com uma srie de peas especiais, tais como
curvas, cotovelos, etc. As peas especiais provocam perdas localizadas pela
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maior turbulncia na regio da pea, pois alteram o paralelismo das linhas de
corrente.
Para efeito didtico vamos separar as perdas localizadas da perda de
carga ao longo de uma canalizao retilnea, ou perda contnua de carga.
6.2 Clculos dos condutos forados: perda contnua de carga (hf)
Desde o sculo XVIII, os hidrulicos vm estudando o comportamento
dos fluidos em escoamento. Darcy, hidrulico suo, e outros concluram,
naquela poca, que a perda de carga ao longo das canalizaes era:
- diretamente proporcional ao comprimento do conduto;
- proporcional a uma potncia da velocidade;
- inversamente proporcional a uma potncia do dimetro;
- funo da natureza das paredes, no caso de regime turbulento;
- independente da presso sob a qual o lquido escoa; e
- independente da posio da tubulao e do sentido de escoamento.
Naquela poca, surgiram numerosas frmulas para o dimensionamento
das canalizaes. A maioria delas era especfica para as condies de trabalho
de uma dada regio. Independente disso, todas as equaes seguiam as
pressuposies apresentadas anteriormente, fazendo com que genericamente
pudessem ser representadas por:
LD
Q hf
m
n
sendo os valores de , n e m prprios de cada equao.
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6.2.1 Frmulas prticas
a) Frmula de Hazen-Williams
Essa frmula talvez seja a mais utilizada nos pases de influncia
americana. Ela originou-se de um trabalho experimental com grande nmero de
tratamentos (vrios dimetros, vazes e materiais) e repeties. Ela deve ser
utilizada para escoamento de gua temperatura ambiente, para tubulaes
com dimetro maior ou igual a 2 ou 50 mm e para regime turbulento. Ela possui
vrias apresentaes:
54,063,0 J D C 355,0V ou 54,063,2 J D C 279,0Q ou 87,4852,1
852,1
D C
Q646,10J
ou LD C
Q646,10hf
87,4852,1
852,1
em que:
V - velocidade, m s-1;
D - dimetro da canalizao, m;
Q - vazo, m3 s-1;
hf perda contnua de carga, m;
J - perda unitria de carga, m m-1; e
C - coeficiente que depende da natureza das paredes e estado de
conservao de suas paredes internas (Tabela 1).
Tabela 1 - Valores do coeficiente C da frmula de Hazen-Williams (apresentados por E. T. Neves).
Tipo de conduto C
Ao corrugado 60 Ao com juntas loc-bar, novas 130 Ao com juntas loc-bar, usadas 90-100
Ao galvanizado 125 Ao rebitado, novo 110 Ao rebitado, usado 85-90 Ao soldado, novo 130 Ao soldado, usado 90-100
Ao soldado com revestimento especial 130
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Ao zincado 140-145 Alumnio 140-145
Cimento-amianto 130-140 Concreto, com bom acabamento 130
Concreto, com acabamento comum 120 Ferro fundido, novo 130 Ferro fundido, usado 90-100
Plstico 140-145 PVC rgido 145-150
b) Frmula de Darcy-Weisbach ou Universal
Esta frmula de uso geral, tanto serve para escoamento em regime
turbulento quanto para o laminar, e tambm utilizada para toda a gama de
dimetros.
g 2 D
VfJ
2
ou 52
2
D g
Q f 8J
ou L
Dg
Qf8hf
52
2
em que f um coeficiente que depende do material e estado de conservao
das paredes, e pode ser determinado no diagrama de Moody (Figura 50).
Na hiptese de regime laminar, f independente da rugosidade relativa
(e/D) e unicamente funo do nmero de Reynolds:
Re
64f
No regime turbulento, o valor de f dependente do nmero de Reynolds e
da rugosidade relativa, em se tratando da transio. No regime turbulento pleno,
o nmero de Reynolds no tem influncia, mas apenas a rugosidade relativa.
A rugosidade relativa a relao entre a rugosidade do material e seu
dimetro. A Tabela 2 fornece a rugosidade dos materiais mais comumente
utilizados.
Tabela 2 - Valores da rugosidade mdia (e) dos materiais empregados em condutos forados.
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Tipo de material e ( mm )
Ferro fundido novo 0,26 - 1 Ferro fundido enferrujado 1 - 1,5 Ferro fundido incrustado 1,5 - 3 Ferro fundido asfaltado 0,12 - 0,26
Ao laminado novo 0,0015 Ao comercial 0,046 Ao rebitado 0,092 - 9,2 Ao asfaltado 0,04
Ao galvanizado 0,15 Ao soldado liso 0,1
Ao muito corrodo 2,0 Ao rebitado, com cabeas cortadas 0,3
Cobre ou vidro 0,0015 Concreto centrifugado 0,07
Cimento alisado 0,3 - 0,8 Cimento bruto 1 - 3
Madeira aplainada 0,2 - 0,9 Madeira no aplainada 1,0 - 2,5
Alvenaria de pedra bruta 8 - 15 Tijolo 5
Plstico 0,06 Alvenaria de pedra regular 1
Nestas equaes, a perda de carga unitria, ou seja, a perda de carga
que ocorre em um metro de canalizao retilnea. A perda de carga ao longo de
toda a extenso da canalizao dada por:
L Jhf em que L o comprimento total da canalizao retilnea, m.
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50
Figura 50 - Diagrama de Stanton, segundo Moody, para determinao de valores do coeficiente f, em funo do nmero de Reynolds e da rugosidade relativa.
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6.3 Clculos de condutos forados: perda localizada de carga (h ou ha)
A perda localizada de carga aquela causada por acidentes colocados
ou existentes ao longo da canalizao, tais como as peas especiais. Em
tubulaes com longo comprimento e poucas peas a turbulncia causada por
essas passa a ser desprezvel. Porm em condutos com muitas peas e menor
comprimento, este tipo de perda tem uma importncia muito grande, como no
caso de instalaes prediais. Podem-se desconsiderar as perdas localizadas
quando a velocidade da gua pequena (v < 1,0 m s-1), quando o comprimento
maior que 4.000 vezes o dimetro e quando existem poucas peas no
conduto.
No projeto, as perdas localizadas devem ser somadas contnua.
Considerar ou no as perdas localizadas uma atitude que o projetista ir
tomar, em face das condies locais e da experincia do mesmo.
Expresso de Borda-Belanger
A expresso que calcula as perdas partiu do teorema de Borda-Berlanger
e apresentada como:
g2
V Kh
2
em que:
h - perda de carga causada por uma pea especial, m;
K - coeficiente que depende de cada pea e dimetro, obtido experimentalmente (Tabela 3).
O valor de K depende do regime de escoamento. Para escoamento
plenamente turbulento, Re > 50.000, o valor de K para as peas especiais
praticamente constante, e so os valores encontrados nas tabelas e bacos.
Tabela 3 - Valor do coeficiente K, para clculos das perdas de carga localizadas,
em funo do tipo de pea, segundo J. M. Azevedo Neto.
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Tipo da pea K
Ampliao gradual 0,30 Bocais 2,75
Comporta, aberta 1,00 Controlador de vazo 2,50
Cotovelo de 90 0,90
Cotovelo de 45 0,40
Crivo 0,75
Curva de 90 0,40
Curva de 45 0,20
Curva de 22,5 0,10
Entrada normal de canalizao 0,50 Entrada de Borda 1,00
Existncia de pequena derivao 0,03 Juno 0,04
Medidor Venturi 2,50 Reduo gradual 0,15
Registro de ngulo, aberto 5,00 Registro de gaveta, aberto 0,20 Registro de globo, aberto 10,00
Sada de canalizao 1,00 T, passagem direita 0,60
T, sada de lado 1,30 T, sada bilateral 1,80
Vlvula de p 1,75 Vlvula de reteno 2,50
A existncia de peas especiais, alm do material constituinte da
tubulao, dever ser de conhecimento prvio do projetista. Nos problemas
prticos, a vazo Q quase sempre um elemento conhecido. Se for gua que
vai ser conduzida, deve-se saber, a priori, a sua utilidade e seu valor.
Normalmente o dimetro um elemento incgnito e seu valor deve ser
minimizado, pois reflete diretamente nos custos da canalizao. Por outro lado,
se o escoamento no por gravidade, um menor dimetro provocar uma maior
perda de carga que implicar em um maior consumo de energia. Valores
prticos de velocidade existem e podem orientar o projetista na definio do
melhor dimetro.
A literatura cita limites e valores de velocidade mdia recomendados
para as mais diferentes situaes:
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- gua com material em suspenso..........................................v > 0,60 m/s
- para instalaes de recalque.......................................0,55 < v < 2,40 m/s
6.4 Condutos Equivalentes
Conceito: Um conduto equivalente a outro ou a outros quando escoa a
mesma vazo sob a mesma perda de carga total.
Pode-se ter uma gama de condutos equivalentes, porm sero
apresentados os condutos equivalentes em srie e em paralelo.
6.4.1. Condutos em srie ou misto
So os condutos constitudos por trechos de tubulao, com mais de um
dimetro diferente, conforme ilustra a Figura 51.
Desconsiderando as perdas secundrias ou localizadas:
3f2f1ffhhhh ...
em que :
fh = a perda de carga total no conduto;
1fh = a perda contnua de carga no trecho de dimetro 1D e comprimento L 1 ;
2fh = idem para dimetro D2 e comprimento L2; e
3fh = idem para dimetro 3D e comprimento 3L .
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Figura 51 - Conduto misto com 2 dimetros.
Usando a frmula genrica de perda de carga tem-se:
3m3
n
32m2
n
21m1
n
1eme
n
e
eme
n
ef3m3
n
3f2m2
n
2f1m1
n
1f
LD
QL
D
QL
D
QL
D
Q
LD
Qh;L
D
Qh;L
D
Qh;L
D
Qh
321
Para uma condio de mesma rugosidade,
321e
E como a vazo deve ser a mesma, condio de ser equivalente, a
equao simplifica-se:
m3
3
m2
2
m1
1
me
e
D
L
D
L
D
L
D
L
que a expresso que traduz a regra de Dupuit.
Normalmente, no dimensionamento de condutos, so encontrados
dimetros no comerciais (veja exerccio anterior). Como, por exemplo, cita-se
um caso: D = 133 mm. Se for escolhido o dimetro comercial 125 mm, este no
ir fornecer a vazo desejada ou a perda ultrapassar o limite de projeto. Se for
escolhido 150 mm, que o imediatamente superior, a vazo ser maior que a de
projeto ou a perda de carga ser menor que a projetada. Nesse caso, o
problema pode ser resolvido com a colocao de um registro para aumentar a
perda de carga total e consequentemente reduzir a vazo at o projetado.
Porm, esta sada no a mais econmica, pois o custo das tubulaes cresce
exponencialmente com o dimetro. Ento, a melhor soluo tcnica e
econmica fazer uma associao em srie, ou seja, colocar um trecho do
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conduto com o dimetro comercial imediatamente superior, e um trecho com o
dimetro comercial imediatamente inferior, de tal forma que este conduto misto
seja equivalente ao projetado. Porm, quais os comprimentos de cada dimetro?
Suponha que o comprimento total seja L e os comprimentos de cada trecho seja
1L e 2L , de tal forma que:
21 LLL e que 2f1ff hhh
Como genericamente L Jhf , tem-se:
2211 L JL JL J
Fazendo:
22211
2221
21
L JL JL JL J
L J)LL( JL J
LLL
Rearranjando
L )JJ(
)JJ(L)JJ( L)JJ( L
12
121122
em que:
L2 = comprimento do trecho de dimetro D2;
J = perda de carga unitria no conduto de dimetro no comercial;
J1 = perda de carga unitria no conduto de dimetro comercial D1;
J2 = perda de cara unitria no conduto de dimetro comercial D2; e
L = o comprimento total da canalizao.
6.4.2. Condutos em paralelos ou mltiplos
So os condutos que tm as extremidades comuns, ou seja, a presso
no incio de todos a mesma. Tambm a presso no final comum a todos os
condutos.
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Observa-se pela Figura 52 que no ponto A, a vazo total Q se bifurca nas
vazes .QeQ,Q 321 Na extremidade final, ponto B, estas vazes voltam a se
somar, voltando-se novamente vazo Q, portanto:
321 QQQQ
Pela equao genrica de perda de carga tem-se que: n
1m
f
L
D hQ
Figura 52 - Esquema de trs condutos em paralelo.
Partindo-se desta equao: n
1
33
m3f
n
1
22
m2f
n
1
11
m1f
n
1
ee
mef
L
D h
L
D h
L
D h
L
D h
Considerando a mesma rugosidade para todos os condutos e como fh
deve ser igual em todos, condio de ser equivalente, tem-se:
n1
3
nm
3
n1
2
nm
2
n1
1
nm
1
n1
e
nm
e
L
D
L
D
L
D
L
D
Se todos os comprimentos forem iguais, a equao acima simplifica-se:
nm
3n
m
2n
m
1n
m
e DDDD
-
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Generalizando:
k
1i
nm
in
m
e DD
Sendo K o nmero de condutos em paralelo.
Se tambm os dimetros forem iguais a D:
D KD
D KD
mn
e
nm
nm
e
A aplicao prtica deste tipo de conduto est na expanso de uma rea ou de
um projeto hidrulico, Por exemplo. Se houver expanso, basta projetar o
conduto para atender ao projeto global que dever ficar em paralelo.