aporteno1 colb 3

8/17/2019 AporteNo1 Colb 3

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CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALESAÑO: 201

Aporte

Ecuaciones Dierencia!es " So!ucion por series #e potencia EC$%

Temática: Ecuaciones Diferenciales ySolucion por series de potenciaRealizado por: Yeimi Paola Quiroga Castiblanco1.0676.658.!"#cuaciones di$erenciales%a&o de 016

1. Resolver el problema de valor inicial a través del método de

series de Taylor:

dy

dx =

1

x+ y+1, y(0 ! 0

&RO&OSICION ENUNCIADO O E'&RESION(A%E(A%ICA

RA)ON O E'&LICACION

dy

dx =

1

x+ y+1,Forma original de la E.D

dy

dx =

1

x+ y+1 y ´

(0

)=

1

y+1

x+ y+1¿2

¿

y ' ' =−1¿

y+1¿2

¿

y ´ ´ (0 )=−1¿

Dado que y=(0) = y(0)

=1 y’ (0) = 0

Y ( x )=1+ x− x3

3 +

x5

3 … …

Reemplazando la ecuación obtenemo

Y ( x )=∑ x=0

∞

an X n

Y ´ ( x )=∑ x−1

∞

na x xn−1=∑

n−0

∞

(n+1)a x−1 xn

!btenemo una olución en erie

potencia

e x=∑

n=0

∞

xn "omo tenemo


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Aporte


−1¿n x2n

n¿

e− x 2=∑

n−0

∞

¿

Y ´ ( x )=∑n−1

∞

n an xn−1=∑

n−0

∞ (−1 )n x2 n

n

#l reemplazar tendremo

a 1+2a 2−3a 3 x3+4a 4 x4+…=1− x2+ x

4

2+ x

6

6 +…

En $orma equi%alente

". Determinar por el criterio del cociente el con#unto de conver$enciade :

∑n=0

∞ (−2)n

(n+1)( x−3)n

&RO&OSICION ENUNCIADO O E'&RESION

(A%E(A%ICA

RA)ON O E'&LICACION

∑n=0

∞ (−2)n

(n+1)( x−3)n

Forma original de la E.D

limn →∞ |

C n+1

C n |


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Aporte


−2¿n ( x−3 )

¿¿n¿¿

C n=¿

Procedemos a calcular el límite de este

cociente.

−2¿n+1 ( x−3 )¿

¿n+1¿

¿(n+2)¿

−2¿n

( x−3 )¿¿n¿¿¿¿¿

limn → ∞

¿

limn →∞

|(−2)( x−3)

(n+1)(n+2)|=0¿1

Aplicando la regla de la oreja.

−1


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Aporte


∑n=0∞ (100 )n

n ! ( x+7)

n Forma original de la E.D

limn →∞ |

C n+1

C n |


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Aporte


−1


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Aporte


∑n=1

∞

n an xn−1+∑

n=0

∞

2 an xn+1=0

∑k =0

∞

(k +1)a(k +1) xk +∑

k =1

∞

2 a(k −1) xk =0

A*ora reducimos nuestras sumas de potencias

una potencia igual para )

a1+∑k =1

∞

(k +1 )a (k +1) xk +2 a(k −1) x

k =0

a1+∑k =1

∞

[( k +1 ) a(k +1)+2 a(k −1 )] xk =0

'grupamos para *+1 & separamos et,rmino de la primera e-presi(n para

*+0

a1=0 (k +1 ) a(k +1)+2 a(k −1 )=0

(k +1 )a( k +1 )=−2a(k −1)

(k +1 )a( k +1 )=−2a(k −1)

a( k +1 )=−2 a( k −1 )

(k +1 )

gualamos los coe)cientes a cero

a2=−2 a0

2

=−a0 ; k =1

a3=−2 a1

3 =0 ; k =2

A*ora *allamos para +,-# "# 3# # # / y

a1=0


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Aporte


a4=−2 a2

4 =−a2

2 = a0

2! ; k =3

a5=−2 a3

5 =0 ; k =4

a6=−2 a4

6 =

−a26 =

a0

3! ; k =5

a7=−2a5

7 =0 ;k =6

a2 n=(−1)n

n ! a0 ; n=1,2,3, ….

a2n+1=0 ;n=0,1,2,… ..

Con lo anterior deducimos

y ( x )=a0−a0 x2+

a0 x4

2 −…

y ( x )=a0∑n=0

∞ (−1)n

n! x

2n

0btenemos una soluci'n general

y ( x )=a0 e− x2

El radio de convergencia es igual a in1inito y lsoluci'n es de la 1orma e)ponencial.

,. Reol%er por erie la ecuación di$erencial

y ´ ´ + x2 y=0


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Aporte



RA)ON O E'&LICACION

} + {x} ^ {2} y =0

y¿


y=∑n=0

∞

an xn

yl=∑

n=0

∞

an xn−1

y¿=∑

n=0

∞

n (n−1 )an xn−1+ x∑n=0

∞

an xn−1−∑

n=0

∞

an xn=0

+odi$icamo la ecuación

∑n=0

∞

n (n−1 ) an xn+1+∑n=0

∞

n (n−1 ) an xn+∑n=0

∞

nan xn−∑

n=0

∞

an

n (n−1 )an x n+1+¿∑n=0

∞

[ n (n−1 )+n−1 ] an xn=0

∑n=0

∞

¿

∑n−1

∞

(n−1 ) (n−2 ) an−1 xn+∑

n=0

∞

[n2−n+n−1 ] an xn=0

∑n=1

∞

(n−1 ) (n−2 ) an−1 xn+∑

n=0

∞

(n2−1 ) an xn=0

Reemplazando la ecuación.

Para n,-

0 (−1 ) a°+2 (0 )a1=0

para n=21 (0 ) a1+3 (1 ) a2=0

para n=3 (n−2 ) an−1+ (n+1 ) an=0

allamo para n=1

-ara n=

-ara n=&

an= an−1

(n−2)

Repueta de la erie.


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Aporte


−1¿1 a2¿¿

a3=a2

1 =¿

as=(−1)5−2 a2

(s−2 ) !

/. Determine todo lo punto ingulare de'

} +(1-x {)} ^ {1} y´+ left (sex !i"#t ) y=0

xy¿


RA)ON O E'&LICACION

} +(1-x {)} ^ {1} y´+ left (sex !i"#t ) y=0

xy¿


y ( x )=∑n=0

∞

an xn+r +odi$icando la ecuacion

y ´ ( x )=∑n=0

∞

(n+r ) an xn+r−1

y left (x !i"#t ) = s$m f!%m {=0} t% {&} {(+!)(+!-1)

-ueto que'

3∑n=0

∞

(n+r )(n+r−1)an xn+r−2+∑

n=0

∞

(n+r ) an xn+r−1−∑

n=0

∞

an

¿∑n=0

∞

(n+r ) (3 n+3 r−2 )an xn+ r−1−∑

n=0

∞

an xn+ r

utituimo la ecuacion


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Aporte


(k +r+1 ) (3k +3 r+1 )ak +1−ak

r (3 r−2 )ao x−1+[∑

k =0

∞

¿ x K ]

¿¿ xr ¿

r (3r−2 ) ao=0

ak −1=1

(k +r+1 ) (3 k +3 r+1 ) ak

k =0,1,2,….

Eto implica que'

ak +1=1

(3 k +5 ) (k +1 ) a k

ak +1= 1

(k +1 ) (3 k +1 ) a k

De la ecuación r (3 r−2 )=0 (ecua

inicial) tenemo quer1=

2

3 y r2=0

utituir en (,) lo do %alore d

reultan do relacione de recurre

di$erente.

a1

= 1

5.1a

0 a

1

= 1

1.1a

0

a2=1

.2 a1=

1

215. a0

a2= 1

2.4 a1=

1

2 !1.4 a0

a3= 1

11.3 a2=

1

3 !1.).11 a0

a3= 1

3.7 a1=

1

3 !1.4.7 a0

2nterando en amba relacio

obtenemo.

y1 ( x )=a0 x2

3∑n=0

∞1

n!5..11… (3n+2 ) x

n "oneguimo ai do olucione en


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Aporte


y2 ( x )=a0 x0

∑n=0∞

1

n! 1.4.7 …(3 n−2) xn

Acti*i#a# co!a+orati*a

Enunciado y olución planteada' Decarga de un condenador en una reitenciaupongamo un condenador que tiene una di$erencia de potencial 3o entre uplaca cuando e tiene una l4nea conductora R la carga acumulada %ia5a a tra%6de un condenador dede una placa 7ata la otra etableci6ndoe una corrientede inteidad i intenidad. #4 la tenión % en el condenador %a diminuyendogradualmente 7ata llegar a er cero tambi6n la corriente en el mimo tiempo en el

circuito R".

Ri=v

i=−c dv

dt

v' +

1

RC v=0

#n el e/ercicio se omitiendo el paso donde se deben comparar loscoe)cientes de la e-presi(n:

v' +

1

RC v=0

vn+1=

−1 RC

∗1

n+1 vn , n 0

conn=0 *v1=−1 RC


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Aporte


conn=1* v2=

−1 RC ∗1

2 v1=(

1

RC

)

2

∗12

v0

conn=2* v3=

−1 RC

∗1

3 v2=

−( 1 RC )3

∗1

6 v0

vn=

(−1 RC )n

∗1

n v0

Por lo tanto:

v=v0

∑n=0

∞

( −t RC )n

∗1

n

olucionar por series de potencias la siguiente ecuaci(n di$erencial.

Cuando R=1 " & C =1 #$


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Aporte


&RO&OSICION ENUNCIADO O E'&RESION

(A%E(A%ICA

RA)ON O E'&LICACION

Cuando R=1 " & C =1 #$ Forma original de la E.D

v=∑%=1

∞

v% x%=v0+v1 t +v2t

2+v3 t 3+…

-or lo cual e toma arbitrariamente.

v' =∑

%=1

∞

%av% t %−1=v1+2 v2 t +3 v3t

2+…Entonce

v

(¿¿ 1+2 v2t +3v3 t 2+…)+ (v0+v1 t +v2t

2+v3 t 3+…)=0

¿

Reemplazado en la ecuacoriginal

v

(¿¿1+v0)+ (2 v2+v1 ) t + (3 v3+v2 ) t 2+…=0

¿

2os trminos semejantes se suman#

v1+v0=0

2v2+v1=0

3 v3+v2=0

'l igualar termino a t,rmino encuentra

v1=−v0

v2=−v1

2 =

v0

2

v3=−v2

3 =

−v03

e resuel2e el sistema

ecuaciones en t,rminos dea0

v=v0−vt + v0

2 t

2−v0

3 t

3−…Con los nue2os coe)cientes 3ued


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Aporte


v=v0(1−t +

t 2

2−

t 3

3 +…)Al 1actori&ar

a0 se tiene#

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