aplicaciones-derivadasmod2015ii (1)

7/24/2019 APLICACIONES-DERIVADASmod2015II (1)

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CALCULO INTEGRAL/MATEMATICA II Lic.Mat. JUAN CARLOS CURI GAMARRA

APLICACIONES DE LA DERIVADA

DERIVADA COMO RAZN DE CAMBIO1.

Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana indica que dentro de t aos, el nivel medio de

monxido de carbono en el aire ser 4.31.005.0)( 2 tttQ partes por milln.a)

A que razn cambiara el nivel de monxido de carbono respecto al tiempo dentro de 1 ao?b)

A que razn cambiara el nivel de monxido de carbono respecto al tiempo dentro de 5 aos?2.

Dos automviles salen de una interseccin al mismo tiempo. Uno viaja al este a una velocidad constante de

60 kilmetros por hora y el otro va al norte a una velocidad constante de 80 kilmetros por hora. Halle unaexpresin para la razn a la cual cambiar la distancia entre los carros respecto al tiempo.

3.

Huyendo de un perro una ardilla trepa por un rbol, corre a 12 m/seg. y la ardilla a 6m/seg. cul ser elcambio de distancia relativa entre los dos cuando el perro est a 12 m del rbol y la ardilla ha trepado 5metros?

4.

Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar de petrleo.Calcula con que rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50 m si el espesor disminuye

a razn de

en el instante en que R = 50 m.

5.

La caja de un camin transportador de granos esta siendo llenada con el grano proveniente de un silo a razn

de . El grano forma un cono circular recto cuya altura es constantemente igual a 5/4 del radio dela base. Calcula:

a)

A que velocidad esta subiendo el vrtice del cono cuando la altura es de 1.50 m?b)

Cul es el radio de la base del cono en ese momento y a que velocidad est variando?

6.

Un depsito de agua, en forma de un cono invertido, es vaciado a razn de min/6 3m . La altura del cono es

de 24 m, y el radio de su base es de 12 m. calcule la rapidez con la que el nivel de agua desciende cuando elagua tiene 10m. de profundidad.

7.

El radio de la base de cierto cono aumenta a razn de 3cm por hora y la altura disminuye a razn de 4 cm porhora. Calcule como vara el rea total del cono cuando el radio mide 7 cm. Y la altura 24 cm.

8.

Un vaso de cartn con agua tiene la forma de un cono circular recto truncado de 15cm de altura y radios de2cm y 4cm, respectivamente. El agua se fuga del vaso a razn de 100m3/h. A razn de cuantos cm. por horadisminuye la profundidad del agua cuando es de 10cm?

9.

Una escalera de 25 pies de largo se apoya contra una pared vertical. Si la base de la escalera se tirahorizontalmente alejndola de la pared a 4 pies/seg. Qu tan rpido resbala la parte superior de la escalera,

cuando la base se encuentra a 15 pies de la pared?10.

Un automvil que se desplaza a razn de 30 pies/seg. Se aproxima a un crucero, cuando el auto est a 120pies de la interseccin, un camin que viaja a razn de 40 pies/seg. Cruza la interseccin. El auto y elcamin se encuentran en carreteras que forman un ngulo recto entre s. Con que rapidez se separan 2 seg.despus de que el camin pasa dicho crucero?

11.

Para gases ideales se sabe que PV = constante, siendo P la presin del gas y V el volumen del recipiente quelo contiene. Cmo vara la presin de un gas contenido en un recipiente que disminuye su volumen a larazn de 10 cm3/ seg.? Cuando V = 500 cm3 y P = 15 kg / cm2.

12.

Se inyecta gas a un globo esfrico a razn de 16dm3/min , si la presin se mantiene constante Cul es larapidez de cambio del radio cuando el dimetro mide 80cm?.

13.

Si la funcin de demanda es 3010

500

pq , determinar el ingreso total y marginal.

14.

La empresa XX estima que si se gasta en publicidad 1000x soles, vender y unidades de cierto artculo,

donde224005 xxy . Determinar la razn del cambio promedio de y con respecto a x cuando el

presupuesto para publicidad aumenta de S/. 10000 a S/. 11000. cul es la razn de cambio cuando elpresupuesto para publicidad es de S/. 10000.

15.

La utilidad bruta anual de la empresa YY, t aos despus del 1 de enero de 1980, es de p millones de soles y

1025

2 2 ttp . Hallar la tasa a la cual estuvo cambiando la utilidad bruta el 1 de Enero de 1982 y

determinar la tasa a la cual cambiar la utilidad bruta el 1 de enero de 1986.

16.

La ecuacin de la demanda de cierto tipo de artculo es:223100 ppq , donde q unidades se

demandan cuando p soles es su precio unitario. Calcular la tasa de cambio instantnea de la demanda con

respecto al precio cuando p = 5.

17.

En situacin de monopolio, la ecuacin de la demanda de un artculo es5

1006

x

p , donde p soles

es el precio por artculo cuando se demanda x artculos. Se sabe que: 1000,100x . Si el costo total de laproduccin es 1002)( xxC , hallar las funciones de ingreso marginal y del costo marginal y calcular elvalor de x que maximiza la utilidad.


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18.

La demanda para un detergente est dada por la ecuacin 301000

p

D donde D est en miles de cajas y

p es el precio por caja en soles. Si el precio esta subiendo a razn de un sol por caja a la semana. Cul es latasa de variacin correspondiente a la demanda (en cajas por semana) si:

a)

el precio actual es de 20 soles por caja.b)

El precio actual es de 25 soles por caja19.

Un tanque esfrico con agua, tiene radio a , si el nivel del agua tiene una profundidad h y el volumendel agua en el tanque esta dado por : (probarlo!). Suponga que un tanque esfrico de 5m de radio se estallenando a razn de 400 L/min. Calcular a razn de cuantos metros por segundo se eleva el nivel del aguacuando h=1.25m

20.

Se lanza una piedra a una laguna y produce ondas circulares cuyos radios crecen a razn de 0.5 m/s. Arazn de cuantos metros por segundo aumenta el permetro de una onda cuando su radio mide 4m?.

21.

El rea de un triangulo equiltero disminuye a razn de 4cm2/min. Calcule la rapidez de variacin de lalongitud de sus lados en el momento en que el rea del triangulo es de 200 cm2

22.

Al conectarse dos resistencias R1y R2en paralelo, la resistencia total es:1 2

1 1 1

R R R

Si R1 y R2 aumentan a razn de 0.01 / , 0.02 /s s , respectivamente, a razn de cuantos ohms por

segundo varia R en el momento en queR1= 30 , R2= 90 ? (considere las resistencias como funciones

del tiempo)23.

Una avioneta vuela con velocidad constante de 500km/h y con una inclinacin de 45 hacia arriba. Hallar larapidez de cambio de distancia de la avioneta a una torre de control en tierra, un minuto despus de que estepas directamente a 3 km. arriba de ella ( no considerar la altura de la torre).

24.

Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana indica que el nivel medio diario de monxido de

carbono en el aire ser2( ) 0.5 17c p p partes por milln cuando la poblacin es p miles. Se estima

que dentro de t aos la poblacin de la comunidad ser 2( ) 3.1 0.1p t t miles. a qu razn cambiar el

monxido de carbono respecto al tiempo dentro de 3 aos?.

25.

Un importador de caf estima que los consumidores locales comprarn aproximadamente2

4374( )D p

p

libras de caf por semana cuando el precio del caf sea 2( ) 0.02 0.1 6p t t t dlares por libra. A querazn cambiar la demanda semanal de caf respecto al tiempo dentro de 10 semanas ?, la demandaaumentar o se reducir?

26. Para calcular la cantidad de madera que hay en el tronco de un rbol, es razonable suponer que el tronco esun tronco de cono. Si el radio superior del tronco es r , el radio inferior es R y la altura es H, el volumen

de madera esta dado por: 2 23

V H R rR r

. Suponga que r, R y H se incrementa a tasas de 4

pulgadas/ao, 5 pulgadas /ao y 9 pulgadas/ao. con que rapidez aumenta V en el tiempo cuando r=2 pies,R=3 pies y H=15 pies?(R y r , son funciones de t).

27. Una de las leyes de Poiseuille establece que la velocidad del flujo de la sangre, bajo presin constante, a una

distancia r del centro de un vaso sanguneo est dada por:

2 2Kv R r

L

, donde K es una constante

positiva, R es el radio del vaso y L es la longitud del vaso. Suponga que L es fija y que R est disminuyendoa una tasa de 0.0012 mm/min. Cul es la tasa de flujo de la sangre equidistante del eje central y la paredinterna del vaso sanguneo cuando R es 0.007 mm? (es decir cual es dv/dt cuando r=0.0035 mm).

28. En un proceso qumico adiabtico, no hay cambio neto (ganancia ni perdida) de calor. Suponga que uncontenedor de oxigeno est sujeto a dicho proceso. Si la presin del oxigeno es P y su volumen es V, puede

demostrarse que1.4PV C , donde C es una constante. En cierto tiempo, V=5m3, P=0.6kg/m2 y P est

aumentando a 0.23kg/m2por segundo. Cul es la razn de cambio de V?, es creciente o decreciente?.29. En cierta fabrica, la produccin q est relacionada con los insumos x y y mediante la ecuacin:

3 2 2 32 3 (1 )Q x x y y , si los niveles actuales de insumos son x=30 y y=20 , utilice el clculo paraestimar el cambio que debera realizarse en el insumo y para compensar una reduccin de 0.8 unidades en el

insumo x , de manera que la produccin se mantenga en el nivel actual.Un modelo de sistema cardiovascular relaciona V(t) , volumen de la fuerza de la sangre en la aorta en eltiempo t durante la sstole (fase de contraccin) , con la presin P(t) en la aorta durante la sstole

mediante la siguiente ecuacin: 2 3

1 2 2 3

3 2( ) ( )

t tV t C C P t

T T

, donde C1 y C2 son constantes


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positivas y T es el tiempo (fijo) transcurrido durante la fase de sstole. Halle una relacin entre las razones de

,dV dP

dt dt

30. Cuando comienza por primera vez a estudiar un tema o a practicar una habilidad, quiz no sea muy hbil,pero con el tiempo se aproximar a los limites des habilidad. Un modelo para describir este comportamiento

incluye la ecuacin: T a L L b , donde T es el tiempo necesario para que una persona aprenda los

temas de una lista de temas L, y a y b son constantes positivas. Halle la derivada:dT

dLe intrprete en

trminos del modelo de aprendizaje.

En muchas aplicaciones, la razn de cambio instantnea de una cantidad no es tan importante como suRAZONDE CAMBIO PORCENTUAL , la cual se define como:

100 100 '( )

( )

Razon decambio razon de cambio de Q Q x

porcentual deQ tamao deQ Q x

Por ejemplo , una razn de cambio anual de $500 en el salario de una persona que gana $5 millones, nosignifica mucho puesto que su razn de cambio porcentual es:

100(500)

0.01%5000000

Razn decambio

porcentual de Salario

en cambio en una persona que gana $2000 al ao, una tasa de incremento de $500 asciende a una tasaporcentual de:

100(500)25%

2000

Razn decambio

porcentual de Salario

. Aplique este concepto en el problema 31-37

31. Los experimentos indican que la biomasa Q(t) de una especie de peces en un rea del ocano cambia a razn

de : 1dQ Q

rQdt a

, donde r es la tasa de crecimiento natural de las especies y a es una constante .

Halle la razn de cambio porcentual de la especie. Qu pasa , si Q(t)>a?.

32. Se proyecta que dentro de x meses la poblacin de cierto p ueblo ser 3/2

( ) 2 4 5000P x x x a que

razn cambiar la poblacin respecto al tiempo dentro de 9 meses?, a que razn porcentual cambiar lapoblacin respecto al tiempo dentro de 9 meses?

33. Las ganancias anuales brutas de cierta compaa equivalen a 2( ) 0.1 10 20A t t t miles de dlares, t

aos despus de su fundacin en 1998.a) A qu razn fueron creciendo las ganancias anuales brutas respecto al tiempo en el ao 2002?b) A qu razn porcentual fueron creciendo las ganancias anuales brutas respecto al tiempo en el ao 2002?

34. Su salario inicial ser de $24000 y obtendr un aumento de $2000 cada ao. Exprese la razn de cambioporcentual de su salario como una funcin del tiempo. A qu razn porcentual aumentar su salario al cabode un ao?. Qu pasar con la razn de cambio porcentual a largo plazo?

35. Cuando cierto producto se vende a p dlares la unidad, los consumidores comprarn40000

( )D p

p

unidades por mes. Se estima que dentro de t meses el articulo costar 3/2( ) 0.4 6.8p t t dlares la

unidad. A qu razn de porcentual cambiar la demanda mensual del artculo respecto al tiempo dentro de 4meses?

36. Si se invierten $10000 a una tasa anual r (expresada como decimal) compuesta semanalmente, lacantidad

total(principal P e inters) acumulada despus de 10 aos est dada por:

520

10000 152

rA

.

a) Halle la razn de cambio de A respecto al tiempo.b) Halle la razn de cambio porcentual de A respecto de r cuando r=0.05 (es decir 0.05).

37. Se ha determinado que el flujo sanguneo de una arteria a un vaso capilar pequeo esta dado por la formula:2

F kD A C

(cm

3

/seg), donde D es el dimetro del vaso capilar , A es la presin de la arteria, C es lapresin en el vaso capilar, y k es una constante positiva.a) En cuanto cambia el flujo sanguneo F respecto a la presin C en el vaso capilar, si A y D se mantienenconstantes?, el flujo aumenta o disminuye cuando C aumenta?.

b) Cul es la razn de cambio porcentual del flujo F respecto de A, si C y D se mantienen constantes?..


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En el movimiento de un proyectil se tiene que: un objeto es proyectado (se lanza, impulsa o se deja caer)verticalmente de tal forma que la nica aceracin que acta sobre el objeto ser la aceleracin constante haciaabajo g debido a la gravedad. Cerca del nivel del mar, g es aproximadamente 32 pies/s2( 9.8m/s2). Puededemostrarse que en el instante t, la altura del objeto est dada por la formula:

20 0

1( )

2H t gt V t H

Donde Ho y Vo son la altura y velocidad inicial del objeto, respectivamente, usar este concepto para losproblemas 38-41.

38. Un objeto que se lanza verticalmente hacia abajo desde la azotea de un edificio, con una velocidad de v0

pies/seg., viaja aproximadamente segn la ecuacin 20 16ttvs pies en t segundos. Si toca el suelo a los

2.5 seg. con una velocidad de 110 pies/seg. Cul es la altura del edificio?39. Una piedra cae de una altura de 144 pies. Cundo tocar la piedra el suelo?, a que velocidad golpea la

piedra el suelo?.40. Una persona esta parada en el techo de un edificio y lanza una pelota verticalmente hacia arriba. Despus de

2 minutos, la pelota pasa por donde est la persona y 2 segundos despus golpea el suelo. Cul es lavelocidad inicial de la pelota?, Qu altura tiene el edificio?, Cul es la velocidad de la pelota cuando pasafrente a la persona?, Cul es la velocidad de la pelota cuando golpea el suelo?

41. Un viajero espacial quiere averiguar el lugar donde se encuentra. Para ello cuenta con los valores de gpara diferentes cuerpos celestes: 32 pies/s2 en la tierra, 5.5 pies/s2en la Luna, 12 pies/s2 en Marte, 28

pies/s

2

en Venus. Para deducir su paradero , lanza una roca verticalmente hacia arriba (desde el nivel delsuelo) y observa que llega a una altura mxima de 37.5 pies y golpea el suelo 5 segundos despus de dejarsu mano Dnde se encuentra?.

42. Cuando el precio de cierto articulo es p dlares la unidad, el fabricante est dispuesto a ofrecer x cientos

de unidades, donde:2 23 12p x . Con que rapidez cambia la oferta cuando el precio es $4 la unidad y

est aumentando a una tasa de 87 centavos por mes?43. Cuando el precio de cierto articulo es p dlares la unidad, los clientes demandan x cient os de unidades

de dicho producto , donde:2 23 79x px p Con que rapidez cambia la demanda x respecto al

tiempo cuando el precio es $5 la unidad y est disminuyendo a una tasa de 30 centavos por mes?

APLICACIONES DE LA SEGUNDA DERIVADA44. Un estudio de eficiencia del turno de la maana de cierta fbrica indica que un trabajador promedio que llega

a las 8:00 am, habr producido: 3 2( ) 6 24Q t t t t , unidades t horas despus.a) Calcule la tasa de produccin del trabajador a las 11:00 am (primera derivada)b) A qu razn cambia la tasa de produccin del trabajador respecto al tiempo a las 11:00 am? (2 derivada)c) Use el clculo para aproximar el cambio de la tasa de produccin entre las 11:00 y las 11:10 am (use

diferencial para aproximar la primera derivada, es decir: '( ) ''( )Q t Q t t ).d) Estime el cambio real en la tasa de produccin del trabajador entre las 11:00 y las 11:10am

45. Se proyecta que dentro de t meses el precio por unidad para los productos de cierto sector de la economa

ser: 3 2( ) 7 200 300P t t t t dlares.

a) A qu razn se incrementar el precio por unidad respecto tiempo dentro de 5 meses?b) A qu razn cambiar el incremento en la tasa de precios respecto al tiempo dentro de 5 meses?c) Use el clculo para hallar el cambio en el aumento de la tasa de precios durante la primera mitad del sexto

mes. (Aproxime mediante diferenciales la variacin de la derivada).

46. Despus de t horas de un viaje de 8 horas, un automvil ha recorrido 3 22 10

( ) 649 3

D t t t t km

a) Deduzca una frmula para la aceleracin del mvil en cualquier tiempo.b) A qu razn cambia la velocidad del automvil respecto al tiempo al cabo de 6 horas?, aumenta odisminuye la velocidad en ese momento?c) En cunto cambia realmente la velocidad del auto durante la sptima hora?

47. Un modelo biolgico indica que la reaccin del cuerpo humano ante una dosis de medicamento puede

modelarse mediante una funcion de la forma: 2 313

F KM M , donde K es un constante positiva y

M es la cantidad de medicamentos absorbida en la sangre. La derivadadF

SdM

puede

considerarse como una medida de la sensibilidad del cuerpo al medicamento.a) Halle la sensibilidad S.


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b) Halle2

2

dS d S

dM dM y d una interpretacin de la segunda derivada.

48. Un modelo para la produccin de un tipo de glbulos blancos (granulocitos) utiliza una funcin de

la forma: ( )m

Axp x

B x

, donde A y B son constantes positivas , el exponente m es positivo y

x es el nmero de glbulos presentes.a) Halle la tasa de produccin '( )p x

b) Halle ''( )p x y determine todos los valores de x para los cuales ''( ) 0p x (su respuesta incluir

a m)

EXTREMOS RELATIVOS, CONCAVIDAD, PUNTOS DE INFLEXION.Determine los puntos crticos, intervalos donde la funcin es creciente y decreciente, los mximos y mnimosrelativos

49. 12414)( 24 xxxxf

50.

4 3 2( ) 3 8 6 2f x x x x

51.

2 3

( ) 324 72 4f x x x

52.

3 2( ) 3f x x x

53.

)4(

16)(

2xxxf

54.

6 5 4( ) 10 24 15 3f x x x x

55.

3 2( ) 2 6 6 5f x x x x

56.

42( ) 1f x x

57.

52

( ) 1f x x

58.

2

( ) 1

x

f x x

59.

4 3( ) 3 4f x x x

60.

2

1( )

1

xf x

x x

61.

2( )

3

xf x

x

62.

El porcentaje de larvas que salen de los huevos del gusano de la manzana a una temperatura T (gradosCelsius) est dado por :

2( ) 0.53 25 209, 15 30H t T T T .Dibuje la grafica de la funcin de salida H(t) (utilice intervalos de crecimiento y decrecimiento) A qutemperatura, sale el mximo porcentaje de larvas?, Cul es el porcentaje mximo?.

63.

El costo total C, de producir x unidades de cierto articulo esta dado por ( ) 5 2 3C x x . Trace lacurva de costo y halle el costo marginal. El costo marginal aumenta o disminuye con el aumento de laproduccin?

64.

Sea 2

10 3p x el precio al cual se vendern x unidades de cierto artculo y sea ( ) .R x x p x elingreso obtenido de la venta de las x unidades. Halle el ingreso marginal R(x) y dibuje las curvas deingreso y ingreso marginal en la misma grafica. Para qu nivel de produccin se maximiza el ingreso?

65.

La concentracin de un medicamento t horas despus de haber sido inyectado en l brazo de un paciente est

dada por:2

0.15( )

0.81

tC x

t

. Trace la grafica de la funcin concentracin Cundo ocurre la mxima

concentracin?.66.

Trace la grafica de una funcin con las siguientes caractersticas:A)

a) '(0) '(1) '(2) 0f f f

b) '( ) 0 , cuando 0, y 2f x x x

c) '( ) 0 , cuando 0 2f x x

B)

a) '(0) '(1) '(2) 0f f f b) '( ) 0 , cuando 0 1f x x

c) '( ) 0 , cuando 0 , 1f x x x

C)a) ( 5) 4 , (1) 1f f

b) '( ) 0 , cuando 5 1f x x

c) '( ) 0 , cuando 5 , 1f x x x


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D)a) ' ( 1) 0 , ' (3) 0f f

b) '( ) 0 , cuando 1f x x

c) '( ) 0 , cuando 1 3 , 3f x x x

Construir las graficas de las funciones indicando, los puntos de discontinuidad, los puntos crticos, intervalos de

crecimiento o decrecimiento, los mximos y mnimos relativos, los puntos de inflexin y los intervalos deconcavidad.

67.

3

( ) 9 23

xf x x

68. 12414)( 24 xxxxf

69.

4 3( ) 4 10f x x x

70.

3 2( ) 3 3 1f x x x x

71.

2( ) 1f x x

72.

2( ) 1

x

f x x x

73.

2

2

3( )

1

x xf x

x

74.

4( ) 2f x x

75.

5( ) 5f x x x

76.

2/3( ) 1f x x

77.

2

3

3)(

x

xxf

78.

9

4)(

2

2

x

xxf

79. )3()( 2xxLnxf

80.

2

2

11)(

xxxxxf

81.

3 23 842)( xxxxf

82.

Trace la grafica de una funcin que tiene las siguientes propiedades:A)

a) '( ) 0 , cuando 1 , 3f x x x

b) '( ) 0 , cuando 1 3f x x

c) ''( ) 0 , cuando 2f x x

d) ' '( ) 0 , cuando 2f x x B)

a)La grafica tiene discontinuidades en x= -1 y en x=3

b) '( ) 0 , cuando 1 , 1f x x x

c) '( ) 0 , cuando 1 , 3f x x x

c) ''( ) 0 , cuando 1 , 3, ''( ) 0 para -1


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87.

Una hoja de papel tiene 98 cm2de material impreso, con mrgenes superior e inferior de 4 cm y mrgeneslaterales de 2 cm . Determinar cuales deben ser las dimensiones de la hoja para que se use la menor cantidadde papel.

88.

En alguna especie animal, el consumo de alimento se ve afectado por la vigilancia mantenida por el animalmientras se alimenta. En esencia, para un animal es difcil comer rodeado de depredadores que puedancomrselo. En cierto modelo, si el animal busca plantas que le proporcionen un bocado de tamao S, la tasa

de ingestin de comida l(S) est dada por una funcin de la forma: ( ) aS

l SS c

. Suponiendo que a y c son

constantes positivas, dibuje la grafica de l(S) , preste especial atencin cuando S crece.89.

Para estudiar la tasa a la cual aprenden los animales, un estudiante de Psicologa realiz un experimento enel cual se enviaba una rata en repetidas ocasiones a travs de un laberinto de laboratorio. Suponga que eltiempo que necesita la rata para atravesar el laberinto en el n-esimo intento fue aproximadamente:

12( ) 3f n

n minutos. Dibuje la grafica de la funcin. Qu porcin de la grafica es importante en la

situacin practica considerada?.Qu ocurre con la grafica cuando n crece sin lmite?. Interprete la respuestaen trminos prcticos.

90.

Suponga que durante un programa nacional para vacunar a la poblacin contra cierto tipo de influenza, losfuncionarios de salud pblica descubrieron que el costo de vacunar x% de la poblacin era aproximadamente

150( )

200

xf x

x

millones de dlares. Dibuje esta funcin y especifique que porcin de la grafica es

importante para la situacin prctica en cuestin.91.

Cuando un pescado nada rio arriba a una velocidad v contra una corriente constante vw, la energa que

gasta en ir hasta un punto rio arriba est dada por una funcin de la forma: ( )k

w

CvE v

v v

donde C>0, k>2

es un numero que depende de la especie de pescado involucrado. Muestre que E(v) tiene exactamente unpunto crtico. en dicho punto habr mximo o mnimo?.

92.

En fsicoquimica, se demuestra que la presin P de un gas est relacionada con el volumen V y la

temperatura T por la ecuacin de Van der Waals: 2

aP V b nRT

V

, donde a,b,n y R son

constantes. La temperatura crtica Tc del gas es la temperatura mas alta a la cual pueden existir las fasesgaseosa y liquida como fases independientes. Cuando T=Tc , la presin P est dada solo como una funcinP(V) del volumen. Dibuje la grafica de P(V).

93.

Una estacin de radio que solo emite noticias realiz una encuesta sobre los hbitos de escucha de losresidentes locales entre 5:00 p.m. y la media noche. La encuesta indica que el porcentaje de poblacin adulta

local que sintoniza la estacin x horas despus de las 5:00 p.m. es )240108272(8

1)( 23 xxxxf

a.

A que hora entre las 5:00 p.m. y la medianoche escucha a la emisora el mayor nmero de personas?Qu porcentaje de la poblacin representan los oyentes en ese momento?

b.

A que hora entre las 5:00 p.m. y la medianoche escucha a la emisora el menor nmero de personas?Qu porcentaje de la poblacin representan los oyentes en ese momento?

94.

Suponga que x aos despus de la fundacin en 1978, el total de afiliados a cierta asociacin nacional de

consumidores es )264452(100)( 23 xxxxf a.

En que momento, entre 1978 y 1992, tuvo la asociacin el mayor nmero de miembros? Cuntos eran losmiembros en ese momento?

b.

En que momento, entre 1978 y 1992, tuvo la asociacin el menor nmero de miembros? Cuntos eranen ese momento?

95.

Un almacn vende un popular juego de computador a $ 40 la unidad. A este precio, los jugadores hancomprado 50 unidades al mes. El propietario del almacn desea aumentar el precio del juego y estima quepor cada aumento de $ 1 en el precio, se vendern 3 unidades menos cada mes. Si cada unidad cuesta alalmacn $ 25, A que precio debera venderse el juego para maximizar la utilidad?

96.

Un fabricante de conservas usa latas cilndricas, cuyos volmenes deben ser iguales a 500 cm3. culesdeben ser las dimensiones ms econmicas de las latas?

97.

En un artculo publicado en 1969: The Mechanics of Bird Migration, C.J. Pennycuick suministrevidencia experimental para demostrar que la potencia P requerida por un ave para mantener el vuelo est

dada por la frmula:3

2

2

1

2Av

Sv

wP

. Donde ves la velocidad relativa del aire, wes el peso, es la

densidad del aire y S y A son constantes positivas relacionadas con el tamao y la forma del ave. Quvelocidad relativa vminimizar la potencia requerida


8/12


98.

Se ha solicitado a un carpintero que construya una caja sin tapa y con base cuadrada. Los lados de la cajacostarn $ 3 por metro cuadrado y la base costar $ 4 por metro cuadrado. Cules son las dimensiones de lacaja de mximo volumen que puede construirse con $ 48?

99.

Una caja cuadrada con tapa, debe tener un volumen de 250 metros cbicos. El material para las partessuperior e inferior de la caja cuesta $ 2 por metros cuadrado y el material para los lados cuesta $ 1 por metrocuadrado. Puede construirse la caja por menos de $ 300?

100.

La resistencia de una viga rectangular es proporcional al ancho y al cuadrado de su profundidad. Encontrarlas dimensiones de la viga ms resistente que pueda ser cortada de un tronco, en forma de un cilindro recto

circular de radio a.101.

Un camin que va al oeste a una velocidad constante de 30 millas por hora est a 300 millas al este de unautomvil que va hacia el norte a una velocidad constante de 60 millas por hora. En que momento estarnms cerca el automvil y el camin?

102.

El costo total de un monopolista es 20051.0 2 xxCt y el precio de venta de una pieza es

2010

xp , siendo x la produccin diaria. Determinar el valor de x que maximiza la ganancia.

103.

Un monopolista es un fabricante que puede manipular el precio de un artculo y generalmente lo hacepensando en la maximizacin de la utilidad. Cuando el gobierno fija impuestos a la produccin, stos sevuelven un costo adicional y el monopolista se ve obligado a decidir cunto impuesto absorber y cuntotraspasar al consumidor.

Suponga que cierto monopolista estima que cuando se producen x unidades, el costo total ser:1005

8

7)( 2 xxxC dlares y el precio del artculo en el mercado ser xxp

8

315)( dlares la

unidad. Adems se supone que el gobierno establece un impuesto de t dlares a cada unidad producida.a.

Encuentre el volumen de produccin en funcin de t para el cual la utilidad es mxima.b.

Si el gobierno supone que el monopolista siempre actuar de tal forma que pueda maximizar la utilidadtotal. Qu impuesto debe imponer para garantizar la mxima recaudacin tributaria total?

104.

Un fabricante puede producir reproductores DVD a $20 la unidad. Se estima que si venden a x dlares launidad, los consumidores compraran 120-x cada mes. Utilice el clculo para determinar el precio al cual lautilidad del fabricante ser mxima.

105.

Experimentos indican que cuando una pulga salta, su altura (en metros) despus de t segundos esta dada

por la funcin: 2( ) (4.4) (4.9)H t t t , determine el tiempo en el que la pulga llegar a la altura mxima.

Cul es la altura mxima alcanzada por la pulga?

106.

Se estima que una colonia de bacterias tiene una poblacin de:2

24 10( )

1

tP t

t

, t horas despus de la

introduccin de una toxina. Determine el tiempo en el cual la poblacin es mxima y halle la poblacinmxima.

107.

La reaccin del cuerpo a los medicamentos con frecuencia esta dada por un ecuacin de la forma:

2( )2 3

C DR D D

donde D es la dosis y C (una constante) es la dosis mxima que puede administrarse. La razn de cambio deR(D) respecto a D se denomina SENSIBILIDAD. Halle el valor de D para el cual la sensibilidad es

mxima.108.Al disear aviones, una importante caracterstica es la denominada factor de resistencia aerodinmica, esdecir la fuerza retardadora ejercida en el avin por el aire. Un modelo mide esta fuerza mediante la funcin

de la forma:2

2( )

BF v Av

v , donde A, B son constantes positivas. Se descubre experimentalmente que la

resistencia aerodinmica se minimiza cuando v=160 mph. Use esta informacin para hallar la relacinB

A

109.Cuando una resistencia de R ohmios se conecta a una batera cuya fuerza electromotriz es Evoltios y su resistencia interna es r ohmios, fluir una corriente de I amperios que genera P vatios de

potencia, donde: 2,E

I P I Rr R

. Si r es constante Qu seleccin de R genera la mxima

potencia?.110.Un problema fundamental en cristalogrfica es la determinacin de la fraccin de empaque de una

red cristalina, que es la fraccin de espacio ocupado por los atomos de la red, suponiendo que lostomos son esferas solidas. Cuando la red contiene exactamente dos clases diferentes de tomos,

puede demostrarse que la fraccin de empaque est dada por la formula.

2 3

3

1( )

1

K c xf x

x

,


9/12


donder

xR

es la relacin de los radios, r y R, de las dos clases de tomos presentes en la red, c y

K son constantes positivas.a) Si la funcin tiene exactamente un punto crtico, use el criterio de la segunda derivada paraclasificarlo como mximo o mnimo.b) Los nmeros c y K, as como el dominio de f(x) , dependen de la estructura celular de la red.

Para la piedra de sal gema comn: c=1, 2 / 3K y el dominio es el intervalo: 2 1 1x .

Halle los valores mximos y mnimos de f(x).111.Se sabe que una cantidad de agua que ocupa 1 litro a 0C ocupar:

8 3 6 2 5( ) (6.8)(10 ) (8.5)(10 ) (6.4)(10 ) 1V T T T T , litros cuando la temperatura es TC

para 0 30T . La densidad del agua se maximiza cuando V(T) se minimiza a que temperaturase cumple esto? (el agua es el nico liquido comn cuya mxima densidad ocurre por encima de supunto de congelacin)

112.Un modelo til para la produccin p(x) de clulas sanguneas implica una funcin de la forma:

( )m

Axp x

B x

, donde x es el nmero de clulas presentes, y A , B , m son constantes positivas.

a) Halle la tasa de produccin de sangre R(x)=p(x) y determine donde R(x)=0

b) Halle la razn a la cual cambia R(x) respecto de x y determine donde R(x)=0c) Dibuje la grafica de la funcin de produccin p(x)

113.En fsica se puede demostrar que una partcula forzada a oscilar en un medio resistente tiene

amplitud A(r) dada por:

2

2 2

1( )

1

A x

r kr

, donde r, es el radio de la frecuencia forzada frente

a la frecuencia natural de oscilacin y k es una constante positiva que mide el efecto deamortiguamiento del medio resistente. Demuestre que que A(r) tiene un punto crtico positivo,corresponde a un mximo o mnimo relativo?, Qu puede decirse de los extremos absolutos deA(r)?

114.

Si no se tiene en cuenta la resistencia del aire, se puede demostrar que la corriente de agua emitida

por una manguera tendr una altura de: 2

216 1

xy m mx

v

, por encima de un punto

ubicado a xpies de la boquilla, donde mes la pendiente de la boquilla y ves la velocidad dela corriente de agua cuando sale de la boquilla. Suponga que v es constante.a) Si m tambin es constante, determine la distancia x donde se alcanza la altura mxima.b) Si se permite que m vari, halle la pendiente que permite al bombero esparcir el agua sobre elfuego desde la distancia mxima.c) Suponga que el bombero esta a x=xo pies de la base de un edificio. Si se permite que m varieCul es punto ms alto del edificio que puede alcanzar el agua de la manguera?

LA DIFERENCIAL O APROXIMACIN

115.

Calcular la diferencial de las siguientes funciones:

a.

1

1)(

2

2

t

ttf

b. )35(2 xseny

c.

21)(

x

xsenxxf

116.

Mediante diferenciales aproximar el valor de 10 999.0

117.

Calcular aproximadamente5)037.2(

3)037.2(2

2

118.

Suponga que el costo total, en dlares, de fabricar q unidades es 5003)( 2

qqqC .Calcule aproximadamente el costo de fabricar la unidad 41 y comprelo con el costo real.

119.

Se proyecta que dentro de t aos, la circulacin de un peridico local ser 5000400100)( 2 tttC .Calcule la cantidad en la cual aumentar la circulacin durante los prximos 6 meses.

120.

La altura de un cilindro es 10 cm, el radio cambia de 2 a 2.06 cm. con diferenciales calcule el cambioaproximado correspondiente en el volumen del cilindro. Cul es el porcentaje de cambio en el volumen?


10/12


121.

Un contratista est de acuerdo en pintar ambos lados de 1000 rtulos circulares cada uno de radio 3 pies. Alrecibir los rtulos se descubre que el radio es 0.5 pulgadas ms grande , usar diferenciales para encontrar elaumento aproximado en porcentaje de pintura que se necesitar.

122.

En cierta fabrica, la produccin diaria es Q(k) = 1200.k0.5unidades donde k denota la inversin de capital dela empresa. Calcule el incremento porcentual en la inversin de capital necesario para lograr un incrementode 1.2 % en la produccin.

123.

La produccin diaria de cierta fbrica es 32

300)( LLQ unidades, donde L denota el tamao de la fuerza

laboral medida en horas trabajador. Actualmente se utilizan 512 horas-trabajador cada da. Calcule elnmero de horas trabajadores adicionales que se necesitaran para aumentar la produccin diaria en 12.5unidades.

124.

El costo total para un fabricante es 4006426

1)( 3 qqqC dlares cuando se producen q unidades. El

nivel actual de produccin es 4 unidades. Calcule la cantidad en la cual el fabricante debera disminuir laproduccin para reducir el costo total en $ 130

125.

Los registros indican que x aos despus de 1997, el impuesto medio a la propiedad de una vivienda de tres

habitaciones en cierta comunidad es 12004060)( 23

xxxT dlares. Calcule el porcentaje en queaumenta el impuesto a la propiedad durante el primer semestre del ao 2001.

126.

Las ganancias anuales brutas de una compaa fueron 20101.0)( 2 tttA mil dlares t aos despusde su creacin en 1996. calcule el cambio porcentual en las ganancias anuales brutas durante el tercertrimestre del ao 2000.

127.

En una fbrica la produccin diaria es 31

21

3000 LkQ unidades donde k denota la inversin de capital dela compaa medida en unidades de $ 1000 y L denota el tamao de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Suponga que el capital de inversin actual es de $ 400000 y que se utilizan 1331 horas-trabajador cada da. Emplee el anlisis marginal para calcular el efecto que tendr en la produccin diariauna inversin adicional de capital de $ 1000, si no cambia el tamao de la fuerza laboral.

128.

Una celula tiene la forma de una esfera. Si se utilizan las formulas para calcular el rea y volumen de unaesfera a fin de estimar sus magnitudes correspondientes en la celula, estime el efecto producido en su rea yvolumen por un incremento de 1% en su radio.

129.

Calcule el mayor error porcentual tolerable en la medicin del radio de una esfera, si se espera un error nosuperior a 8% al calcular su volumen.130.

Un meln esfrico tiene una corteza de 1/5 de pulgada de espesor y un dimetro interno de 8 pulgadas.Calcule que porcentaje del volumen total del meln corresponde a la corteza.

131.

Una ley descubierta por Poiseuille establece que el volumen del fluido que pasa por un tubo pequeo en

una unidad de tiempo a una presin fija esta dado por la formula4V kR , donde k es una constante

positiva y R es el radio del tubo. Esta frmula se usa en medicina para saber que tanto debe abrirse unaarteria obstruida para restaurar un flujo sanguneo saludable.Suponga que el radio de cierta arteria aumenta 5% Qu efecto tendr esto en el volumen sanguneo quefluye por la arteria?

132.

El coeficiente de dilatacin trmica (lineal) de un objeto est definido como'( )

( )

L T

L T donde L(T) es la

longitud del objeto cuando la temperatura es T. Suponga que un tramo de 50 pies de un puente est hecho de

acero con51.4 10x por grado centgrado. Aproximadamente, Cunto cambiar la longitud en un ao

cuando la temperatura varie de -20C (invierno )a 35C (verano)?

133.

La ley de Stefan establece que un cuerpo emite energa radiante de acuerdo con la formula4( )R T kT ,

donde R es la cantidad de energa emitida desde una superficie cuya temperatura es T (en grados Kelvin) yk es una constante positiva. Calcule el cambio porcentual en R que resulta de un incremento de 2 % enT.

REGLA DE LHOSPITALHallar los lmites aplicando la regla de LHospital

134.

tgxx

senxxLimx

0

135.

nn

mm

ax ax

axLim

136.

1cos

1

2

0

x

xe

Limx

137.

senxx

xeeLim

xx

x

2

0


11/12


138.

685

157

23

23

0

xxx

xxxLimx

139.

)cos()cos(

)()(

0 xaxa

xasenxasenLimx

140.

3

43

3424

0 66

24)1(

xxsenx

xxxxxLnLimx

141.

)cos()cos(

)()(

0 xx

xsenxsenLimx

142.

)1(3

1

)1(2

1

31 xxLimx

143.

3

20 1 cosx

x sen xlm

x

144.

22x

Ln xlm

x

145.

2

2

2 1

xx

xlm

e

146.

0x

Ln xlm

cotg x

147.

0

1 cosx

lm x tg x

148.

2 20

1 1

x

lmsen x x

149.

1

1

1x

xlm

x Ln x

150.

1

x

x

lm x

151.

0

x

x

lm x

152.

1

2

1 cos 2

xtg

x

lm x

153.

ln 20

xe

x

lm x

154.

0

x

x

lm sen x

155.

2

12 1x x

x

lm

156.

cos

2

x

x

lm tg x

157.

1cos

x

x

lmx

158.

1

1

1

x

x

lm x

159.

0

1 1

x

lm

x sen x

160.

1

1

1 xx

elm

x e e

161.

0x

lm cotg x arc sen x

162.

2

2x

lm x tg x

163.

2

2

2 1

xx

xlm

e

164.

0

ln

x

xlm

cotg x

165.

0

4 2

4

x x

x

lmsen x


12/12


RECURSOS NATURALES

RENOVABLES EJERCICIOS ASIGNADOS

1 Alvarado Castaeda 1 49 98 147

2 Aranda Saenz 2 50 99 148

3 Arango Huarcaya 3 51 100 149

4 Arista Mosquera 4 52 101 150

5 Ariza Miraval 5 53 102 151

6 Cueva del Aguila 6 54 103 152

7 Flores Lozano 7 55 104 153

8 Flores Veramendi 8 56 105 154

9 Huaman Arone 9 57 106 155

10 Lingan Arellano 10 58 107 156

11 Lino Duran 11 59 108 157

12 Mezarino Blas 12 60 109 158

13 Palomino Carhuamaca 13 61 110 159

14 Quintanilla Meza 14 62 111 160

15 Rengifo Saldaa 15 63 112 161

16 Rojas Melgarejo 16 64 113 162

AGRONOMIA

17 Mori Rupay 18 66 115 164

18 Salcedo Yupanqui 19 67 116 165

ZOOTECNIA

19 Arriaga Abisrror 21 69 118 38

20 Cespedes Mendez 22 70 119 17

21 Cruz Davila 23 71 120 65

22 Del Aguila Soto 24 72 121 114

23 Del Castillo Vasquez 25 73 122 163

24 Eugenio Gonzales 26 74 123 20

25 Flores Vilca 27 75 124 68

26 Godoy Rodriguez 28 76 125 117

27 Guerrero Cavero 29 77 126 36

28 Luna Melgarejo 30 78 127 84

29 Mondaluisa Portocarrero 31 79 128 133

30 Morales Quispe 32 80 129 42

31 Pinedo Chumbico 33 81 130 90

32 Ramirez Perez 34 82 131 139

33 Vilca Ramirez 35 83 132 45

FORESTALES

34 Ruiz Fasabi 37 85 134 93

35 Santiago Espinoza 38 86 135 142

36 Silva Ariza 39 87 136 47

37 Tacuche Cervantes 40 88 137 95

38 Ubaldo Garay 41 89 138 144

MEDIO AMBIENTE

39 Moran Pisco 43 91 140 133

40 Tica Catay 44 92 141 68

ZOOTECNIA (ZO0-203)41 Hidalgo Flores 46 94 143 67

CONSERVACION DE SUELOS

42 Cabrera Oropeza 48 96 145 124

43 Caldas Rivera 49 97 146 26

aplicaciones-derivadasmod2015ii (1)

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