aplicaciones de la trigonometría a la navegación tema 6
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Aplicaciones de la Aplicaciones de la trigonometría a la Navegacióntrigonometría a la Navegación
Tema 6Tema 6
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Definiciones generales.
R = 6370 km.
milla náutica (marina) →
arco de 1’ sobre circunferencia máxima.
1 NM = 1853 m
* Meridiano de un lugar: Circunferencia máxima que pasa por ese lugar y por los polos PN y PS.
* Paralelelo de un lugar: Circunferencia paralela al ecuador que pasa por ese lugar.
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Latitud de un lugar: el ángulo central que subtiende el arco del meridiano del lugar comprendido entre el Ecuador y el lugar.
0 ≤ Φ ≤ 90º (latit. Norte) - 90º ≤ Φ ≤ 0 (latit. Sur)
Longitud de un lugar: el ángulo central que subtiende el arco del Ecuador comprendido entre el meridiano cero y el meridiano del lugar.
0 ≤ λ ≤ 180º (hacia el Este) -
-180º ≤ λ ≤ 0 (hacia el Oeste)
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Ruta o Derrota entre dos puntos A y B: la trayectoria que une el punto de partida con el de llegada.
Rumbo de una ruta: el ángulo que forma el meridiano que pasa por ese punto con la ruta.
Derrota Ortodrómica: una derrota que sigue una circunferencia máxima.
Derrota Loxodrómica: una derrota cuyo rumbo es constante en todos los puntos de ella.
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Observaciones:
* Latitudes (l):
- Se miden sobre el meridiano de lugar .
- Desde el Ecuador hacia PN (N) = (+)
- Desde el Ecuador hacia PS (S) = (-)
* Longitudes (L): - Se miden sobre el Ecuador . - Desde Meridiano G hacia (E) = (+) - Desde Meridiano G hacia (W) = (-)
ΔL : Diferencia de longitud entre A y B (se mide en el Ecuador)
AB = d = Distancia recorrida en el trayecto.
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Rumbo:
• Rumbo circular:
el ángulo que forma el meridiano que pasa por ese punto con la ruta ↔ ángulo direción Norte – dirección de ruta.
* Rumbo cuadrantal: el ángulo que forma el N (ó S) con la ruta ↔ ángulo direción Norte – dirección de ruta óángulo direción Sur – dirección de ruta (Se toma el más pequeño) 0 ≤ R < 90º
Se mide en sentido horario.
0 ≤ R < 360º
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Conversión de Rumbos
1. De rumbo circular a rumbo cuadrantal
- De 000 º a 090 º pertenecen al primer cuadrante y se expresan con los mismos números en dos cifras entre las letras N y E. Ej.: 076 º = N76E
- De 090 º a 180 º pertenecen al segundo cuadrante. Se restan de 180 º y se colocan entre el S y el E Ej.: 145 º = 180 º - 145 º = S35E
- De 180 º a 270 º pertenecen al tercer cuadrante. Se les resta 180 º y se colocan entre el S y el W Ej.: 197 º = 197 º - 180 º = S17W
- De 270 º a 360 º pertenecen al cuarto cuadrante. Se restan de 360 º y el resto se coloca entre el N y el W Ej.: 323 º = 360 º - 323 º = N37W
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2. De rumbo cuadrantal a rumbo circular
- De N a E (primer cuadrante) es igual para los circulares, sólo que los circulares se expresan con tres cifras. Ej.: N65E = 065 º
- De S a E (segundo cuadrante) se restan de 180 º Ej.: S42E = 180º - 42º = 138 º
- De S a W (tercer cuadrante) se suman a 180º Ej.: S22W = 180º + 22 º= 202º
- De N a W (cuarto cuadrante) se restan de 360º Ej.: N25W = 360º - 25º = 335º
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6.2 Navegación a lo largo de una circunferencia máxima.
Será necesario resolver un triángulo esférico (oblicuángulo) en el que un vertice es uno de los polos.
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Ejemplo 1: Un buque sale desde Madrás (India) (13º 05’ N, 80º 17’ E) para llegar a Port Kelang (Malasia) (3º 00’ N, 101º 24º E) . Calcular la distancia recorrida y el rumbo inicial y rumbo final.
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Caso 3º. Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Conocemos a, b, C ; hay que calcular: c, A, B.
Cálculo de c:
cos cos cos sin sin cosc a b a b C
Cálculo de A y B:
ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A
ctg b sin a = cos a cos C + sin C ctg B
Obtenemos:cot sin cos cos
cotsin
cot sin cos coscot
sin
a b b CA
Cb a a C
BC
↓
←
;
(90º )
(90º )A
B
d c L C
l b
l a
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cos cos(90º )cos(90º ) sin(90º )sin(90º )cosA B A Bd l l l l L
Distancia entre A y B:
Rumbo inicial y Rumbo final:
ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A
ctg b sin a = cos a cos C + sin C ctg B
;
(90º )
(90º )B
A
d c L C
l a
l b
cot(90º )sin(90º ) cos(90º )coscot
sincot(90º )sin(90º ) cos(90º )cos
cotsin
B A A
A B B
l l l LA
Cl l l L
BC
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cos sin sin cos cos cosA B A Bd l l l l L
Distancia entre A y B:
Rumbo inicial y Rumbo final:
ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A
ctg b sin a = cos a cos C + sin C ctg B
;
(90º )
(90º )B
A
d c L C
l a
l b
tan cos sin coscot
sintan cos sin cos
cotsin
B A A
A B B
l l l LA
Ll l l L
BL
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lA = 13º 05’ N lB = 3º 00’ N
LA = 80º 17’ E LB = 101º 24’ E
Solución:
ΔL = LB – LA = 101º 24’ – ( 80º 17’) =
= 21º 07 E
Caso 3º: conocidos 2 lados + ángulo entre ellos.
* Cálculo de d:cos d = cos(90º - lA) cos(90º - lB) + sin(90º - lA) sin(90º - lB) cos ΔL
= sin lA sin lB + cos lA cos lB cos ΔL = 0.91921
d = 23º 11’ 18” = 1391’ = 1391,30 millas
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* Cálculo del rumbo inicial (A) : cot a sin b = cos b cos C + sin C cot A
L
LlllA AAB
sin
cos)º90cos()º90sin()º90cot(cot
tan cos sin cos0.44445
sinB A Al l l L
L
tan A = -2.24996 → A = 113º 57’ 46” → Ri = A = 113º 57’ 46”
* Cálculo de B
L
LlllB BBA
sin
cos)º90cos()º90sin()º90cot(cot
tan cos sin cos0.50869
sinA A Bl l l L
L
tan B = 1.96580 → B = 63º 02’ 15” → Rf = 180º - B = 116º 57’ 44”
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Ejemplo 2: Hallar el rumbo inicial, rumbo final y la mínima distancia a través de un arco de circunferencia máximo para ir desde A (37º 48’ N, 122º 25’ W) hasta B (27º 19’ S, 153º 10’ E). Localizar el punto de la travesía que corta al Ecuador.
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Ejemplo 2: Hallar el rumbo inicial, rumbo final y la mínima distancia a través de un arco de circunferencia máximo para ir desde A (37º 48’ N, 122º 25’ W) hasta B (27º 19’ S, 153º 10’ E). Localizar el punto de la travesía que corta al Ecuador.
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Solución:
ΔL = LB – LA = 153º 10’ – (– 122º 35’) =
= 275º 35’ = 84º 25 W
Caso 3º: conocidos 2 lados + ángulo entre ellos.
* Cálculo de d:
cos d = cos(90º - lA) cos(90º - lB) + sin(90º - lA) sin(90º - lB) cos ΔL
= sin lA sin lB + cos lA cos lB cos ΔL = - 0.21297
d = 102º 17’ 47” = 6137,7868’ = 6137,78 millas
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* Cálculo de A
L
LlllA AAB
sin
cos)º90cos()º90sin()º90cot(cot
46998.0sin
cossincostan
L
Llll AAB
tan A = -2.12774 → A = 115º 10’ 22” → Ri = 360º - A = 244º 49’ 38”
* Cálculo de B
L
LlllB BBA
sin
cos)º90cos()º90sin()º90cot(cot
73732.0sin
cossincostan
L
Llll BAA
tan B = 1.35625 → B = 53º 35’ 52” → Rf = 180º + B = 233º 35’ 52”
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Punto de corte con el ecuador:
cos(90º - lA) = cot(90º - ΔL) . cot(180º - A) →
tan ΔL = - sin lA tan A = 1.30411 → ΔL = 52º 31’ 07” W
LC = LA + ΔL = (- 122º 25’) + (-52º 31’ 07) = -174º 56’ 07”
LC = -174º 56’ 07” W
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6.3 Casos particulares.
A) Navegación a lo largo de un paralelo.
Apartamiento (p): distancia AB.
CAB = OMN pero p ≠ ΔL
Los arcos son proporcionales a sus radios:
Alp
L
OHOAOH
OA
CA
OM
p
L
cos
1
/
1
Al
pL
cos = p sec lA .
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Ejemplo:
Un barco navega 78 millas hacia el Este en la latitud 35º 28’ N. Hallar el cambio de longitud:
Solución:
sec (35º 28’) = 1.22781
ΔL = 78 . sec lA = 78 x 1.22781 = 95.77 millas E
→ ΔL = 1º 35’ 46” E
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B) Reducción a un plano.
Para distancias menores de 200 millas:
→ Fórmulas de Trigonometría plana.
Δl = d cos R, p = d sin R → tan R =l
p
La fórmula ΔL = p sec lA, es aquí inexacta.
El error es mínimo si ponemos:
1sec
2 cosA Bm
pL p l l
l
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Ejemplo:
Un buque sale de A (lA = 58º 17’ N, LA = 128º 31’ W) y navega 132 millas con un rumbo de 243º. Hallar la posición del punto de llegada.
Solución:
Δl = d . cos R = 132 . (-0.45399) =
= -59.93 millas = 0º 59’ 56” S
* * *
lB = lA + Δl = 58º 17’ + (-0º59’56”) =
= 57º 17’ 04” N
P = d. sin R = 132 x sin 243º = -117.61 millas = 117.61 millas W.
ΔL = p. sec lM = -220.61 millas = 220.61’ W = 3º 20’ 37” W.
LB = LA + ΔL = (-128º 31) + (-3º 40’ 37”) = -132º 11’ 36” = 132º 11’ 36” W
"02'47º572
1 BAM lll
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l
pRRdpRdl
tan,sin,cos
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C) Estima.
Suponiendo que en todas las derrotas se puede aplicar la reducción al plano.
Si se parte de A, hay que hallar la posición de B, tras una serie de derrotas.
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Ejemplo:
Un barco parte de A (lA = 43º 25’ N, LA = 68º 35’ W) y recorre las distancias siguientes con los rumbos indicados:
Rumbo : 300º 080º 190º 060º 200º
Distanc.: 63 40 25 50 75
Hallar la posición final B del barco y su distancia hasta A, asi como el rumbo de la trayectoria directa AB.
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Solución:
Teniendo en cuenta que: p = d . sin R ; Δl = d . cos R
Rumbo Distancia Δl p
300º 63 31.5 -54.55960
080º 40 6.94592 39.39231
190º 25 -24.62019 -4.34120
060º 50 25.0 43.30127
200º 75 -70.47694 -25.65151
Σ Δl = - 31.65121 millas = 0º 31’ 39” S
Σ p = - 1.85873 millas = 1.85973 W
lB = lA + Δl = 43º 25’ + (-0º 31’ 39”) = 42º 53’ 21” N
"10'09º432
1 BAM lll → ΔL = p.sec lM = 2.54784 = 0º02’32”
LB = LA + ΔL = -68º 35’ + (-0º 02’ 32”) = -68º 37’ 34” = 68º 37’ 32”
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Cálculo del rumbo para la trayectoria AB:
05872.06521.31
85873.1tan
l
pC
→ C = 3º 21’ 39”
→ R○ = 180º + C = 183º 21’ 39”
R□ = S 3º 21’ 39” W
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Ejemplo (nº 18- pg 142)
Un buque parte de Toamasina (lA = 18º 09’ S, LA =49º 25’ E) para efectuar una travesía a lo largo de una circunferencia máxima, siendo su rumbo inicial (48º 30’).
I) Hallar la latitud y longitud de su posición B cuando ha recorrido 500 millas.
II) Localizar el punto de la circunferencia máxima que se halla más al norte.
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Cálculo de lB:
cos cos cos sin sin cosc a b a b C
(90º )
(90º ) ;
A
B i
l a
d b
l c R C
cos(90º - lB) = cos(90º-lA) . cos d + sin(90º-lA) . sin d . cos Ri .
sin lB = sin lA . cos d + cos lA . sin d . cos Ri = -0.21695
→ lB = -12º 31’ 49”
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Cálculo de LB:
(90º )
;
A
i
l a
d b
L B R C
ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A
ctg b sin a = cos a cos C + sin C ctg B
cot d . sin(90º - lA) = cos(90º -lA) . cos Ri + sin Ri . cot ΔL =
cot d . cos lA = sin lA . cos Ri + sin Ri . cot ΔL →
cos cot sin coscot
sinA A i
i
l d l RL
R
8.93786
→ ΔL= 0.11188 = 6º 23’ 02”
LB = LA + ΔL = 49º 25’ + 6º 23’02” = 55º 48’ 02”
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Cálculo de lC :
cos lC = sin (90º - lA) . sin Ri = 0.71168
→ lC = 44º 37’ 41”
Cálculo de LC:
cos (90º -lA) = cot ΔL . cot Ri →
→
1sin
tan .tanAi
lL R
1tan
sin .tanA i
Ll R
= -2.84020
→ ΔL = 109º 23’ 47”
LC= LA + ΔL = 158º 48’ 47”
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Trayectoria mixta
Ejercicios
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(Ejercicio 26. Pag. 151) Un barco inicia una travesía por círculo máximo entre los puntos A (45º 22’ N, 124º 35’ E) y B (76º 45’ N, 21º 09 W) pero, debido a los hielos, no desea sobrepasar la latitud 80º N.
Hallar la trayectoria mixta que debe realizar, y las millas de más que ha de realizar por esa trayectoria:
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TRAYECTORIA POR CIRCULO MÁXIMO
ΔL = LB – LA = -145º 44’
Cos d = cos(90º- lA).cos(90º-lB) +
+ sin(90º- lA).sin(90º-lB).cosΔL
d = 55º 58’ 22” = 3358,37 millas
A = 8º 57’ 29”
Ri = 351º 02’ 31”
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TRAYECTORIA MIXTA
90º
90º
90º
A A
B B
C C
l l
l l
l l
Discusión:
90º ; 54º 38' 180ºA CA l l
C + A < 180
1
2
90º
90ºC A
Cl l A C
C
Cálculo de C:
1
2
39º 02 '56"sin .sinsin 0.62998
140º 57 '03"sinA
C
CA lC
Cl
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2
2
1 127º19 ' ( ) 74º57 '16"
2 2
1 117º19 ' ( ) 65º 59 '47"
2 2
A C
A C
l l C A
l l C A
Cálculo de ΔL2 :
2 2
2
1cos ( )1 2tan 0.28882 32º13'10"
1 12 cos ( ). tan ( )2 2
A C
A C
l lL L W
l l C A
LC2 = LA + ΔL2 = 124º 35’+(-32º13’10”) = 92º 21’ 49” E
Cálculo de dAC2:
2 2
2
2
1 1tan ( ).cos ( )1 2 2tan 0.32959 36º 29 '01" 2189,01
12 cos ( )2
A C
AC AC
l l C Ad d millas
C A
↑
↑
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1
1
1 127º19 ' ( ) 24º 00 '12"
2 2
1 117º19 ' ( ) 15º 02 '43"
2 2
A C
A C
l l C A
l l C A
Cálculo de ΔL1 :
1 1
1
1cos ( )1 2tan 2.41301 134º 58'47"
1 12 cos ( ). tan ( )2 2
A C
A C
l lL L W
l l C A
LC1 = LA + ΔL1 = 124º 35’+(-134º 58’ 47”) = -10º 23’ 47” W
↑
↑
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Cálculo de ΔL3:
Cálculo de dC2C1 por paralelo de latitud:
dC2C1 = p = 6165,6 . cos lC = 6165,6 . 0,17364 = 1070,62 millas
Cálculo de la distancia entre C2 y C1:
ΔL3 = LC1 – LC2 = (-10º 23’ 47”) – 92º 21’ 49” -102º 23’ 47” = 102º 45’ 36” W = 6165 millas
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Cálculo de la dC1B por círculo máximo.
ΔL4 = LB – LC1 = -21º 09’ – (-10º 23’ 47”) = - 10º 45’ 13” = 10º 45’ 13” W
1
cos cos .cos sin .sin .cosC B B C B Cd l l l l L = 0,99767
→ dC1B = 3º 54’ 31” = 234,52 millas
Distancia mixta:
d MIXTA = dAC2 + dC2C1 + dC1B = 3494,17 millas
Diferencia:
Diferencia = dMIXTA – dCir.Máximo = 3494,17 – 3358,37 = 135,8 millas