aplicación de las derivadas
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Recta tangenteaplicación de derivadasTRANSCRIPT
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-FUNCIONES IMPLICITAS-ECUACION DE LA RECTA TANGENTE MAXIMOS Y MINIMOS
FUNCIONES IMPLICITAS
05/05/2015
JORGE OMAR XOCUA LOPEZ Y LUIS FERNANDO LOPEZ SANCHEZ
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Funciones implícitas
Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece
despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos
incógnitas cuyo segundo miembro es cero .
Derivadas de funciones implícitas
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro
a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:
Por ejemplo al derivar f ( x )=12x+3 xy+x y2
Realizamos las derivadas, hasta que tengamos algún término con y, al derivar y su derivada es igual a y´
f ´ ( x )=12+3 [xy ´+ y ]+[ y2+2 xyy ´ ]
Y los términos con y´ se pasan de un solo lado:
−3 xy´−2 xyy ´=12+3 y+ y2
Y se simplifica factorizando y´:
y ´=−12+3 y+ y2
3 x+2 xy
Aplicación de las derivadas en la Física
La primera derivada:
V(t)=dxdt
La segunda derivada
a (t )=dVdt
Si la ecuación de un movimiento viene dada en función del tiempo:
Al determinar la primera derivada obtenemos la velocidad en cualquier tiempo t.
Y al determinar la segunda derivada obtenemos la aceleración en cualquier tiempo t.
Por ejemplo:
Vo=0 a=2m /s²
0 5
La ecuación del movimiento será:
X ( t )=Xo+Vot+ 12a t 2
X ( t )=5+ 122 t2
Ahora calculemos la velocidad en t=3 seg
La primera derivada de:
X (t )=5+ 122 t2
Será:
X ´ (t )=12∗2∗2∗t
Entonces:
V=12∗2∗2∗3=6m /seg
Ahora calculemos la aceleración
La segunda derivada de:
X ´ ( t )=12∗2∗2∗t
Será:
X ´ ( t )=12∗2∗2
Entonces:
A=2m/s2
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE
La recta tangente es aquella línea recta que pasa de forma tangente respecto a una curva, es decir: que en su trayectoria toca uno solo de los puntos de la curva.
Dada una curva y=x3 + 1 el cálculo de la ecuación de la recta tangente con punto en abscisa 1 (donde la recta
tangente hace contacto) sería:
Se conoce la función (f): f(x)=x3+1
Y el valor de x (abscisa 1): X=1
Podemos encontrar el punto de tangencia, que es el punto donde se encuentra la recta tangente con la
curva:
Necesitamos y, que es f(x):
Se sustituye x (con 1) en la función
Y=f(1)=(1)3+1=2
Tenemos que el punto de tangencia es (1,2)
Se hace la derivada:
f´(x)=2x2
Con esto obtenemos la ecuación para obtener la pendiente de la tangente (mT)
Al sustituir tenemos que:
mT=f´(1)=3(1)3=3
mT=3
Para obtener la ecuación de la recta tangente tenemos la fórmula
y-y1=m(x-x1)
Con los valores del punto de tangencia sustituidos en la ecuación tenemos:
y-2=3x-3
y-2-3x+3=0
Para cambiar el signo de x:
(-1)-3x+y+1=0
3x-y-1=0
Para obtener la ecuación de la recta normal:
Se obtiene la inversa de mT
Entonces:
mN=-1/3
La recta normal y la recta tangente son perpendiculares, lo que quiere decir que se tocan en un punto con un ángulo de 90°: estas dos rectas se juntan en el punto de tangencia. Para encontrar la
ecuación de la recta normal se utiliza la misma fórmula:
y-y1=mN(x-x1)
Y sustituimos para obtener la ecuación de la recta normal:
y-2= - 13 (x-1)
3y-6= -x+1
X+3y-7=0
MÁXIMOS Y MINIMOS
Y= 4x – x2 Ejercicio 1:
(ENCONTRAREMOS LOS PUNTOS CRÍTICOS DE LOS SIGUIENTESS EJERCICIOS.)
Y= x3 + 3x2 - 8Ejercicio 2
Y= 5/3x3 + 5x2 – 15x + 16 Ejercicio 3