aplicaciÓn derivadas · tema 7 aplicación de derivadas pág. 95 isbn 84-8498-802-3depÓsito legal...

TEMA 7 Aplicación de derivadas

pág. 95 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997

APLICACIÓN DERIVADAS

1 RELACIÓN ENTRE LA MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN Y SU DERIVADA

Si f ´(x0) > 0→ f es creciente en x0.

Si f ´(x0) < 0→ f es decreciente en x0.

EJERCICIOS:

1º.- Dada la función y = x3 – 3x

2 – 9x + 5, averigua:

a) Dónde crece. b) Dónde decrece.

Selectividad nº 16, 40 a)

2 RELACIÓN ENTRE CURVATURA Y SEGUNDA DERIVADA

Si f ´´(x0) > 0→ f es cóncava en x0

(la curva queda por arriba de la

tangente)

Si f ´´(x0) < 0→ f es cónvexa en x0

EJERCICIO: Dada la función y = x3 – 3x

2 – 9x + 5, averigua:

a) Dónde es cóncava. b) Dónde es convexa.

3 EXTREMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS

Una función f presenta un máximo absoluto (mínimo absoluto) en x0A (AD)

si f(x0)f(x) xA [f(x0)f(x) xA]

Una función f presenta un máximo relativo (mínimo relativo) en x0A (AD)

cuando E(x0) tal que

f(x0)f(x) x E(x0)

( f(x0)f(x) xE(x0) )

4 ESTUDIO DE LOS EXTREMOS EN UNA FUNCIÓN

Como se observa en la figura, una función definida en el intervalo [a,b] y continua en

él, puede presentar extremos en:

Los Puntos Interiores →

(absolutos o relativos)

Los Extremos del Intervalo (Absolutos)

Derivables

No Derivables

x0

x0



a bxo x

1x

2x 3

4.1 EXTREMOS EN PUNTOS DERIVABLES

Llamamos puntos singulares a las raíces de la ecuación f ´(x)=0. En ellos la recta

tangente es horizontal

Si una función alcanza un Máximo en un punto c(a,b) en el que es

derivable:

La condición suficiente puede

sustituirse por el estudio de la

monotonía a izq y dcha de los

valores que anulan la primera

derivada

Si una función alcanza un mínimo en un punto c(a,b) en el que es

derivable:

La condición suficiente puede

sustituirse por el estudio de la

monotonía a izq y dcha de los

valores que anulan la primera

derivada

EJERCICIO: Halla todos los puntos singulares (abscisa y ordenada) de la función

y = x3 – 3x

2 – 9x + 5. Averigua de qué tipo es cada uno de ellos.

b) Ídem para y = y = –3x4 + 4x

3

4.2 EXTREMOS ABSOLUTOS

Para calcular los extremos absolutos de una función en un intervalo [a,b]:

1º.- Se hallan los extremos relativos en (a,b), según se explica en la pregunta

anterior

2º.- se calcula f(a) y f(b)

3º.- se comparan los valores de f(a) y f(b) con los valores máximos o mínimos de

la función en (a,b). El mayor de ellos será el máximo absoluto y el menor el

mínimo absoluto.

EJERCICIOS:

..,0)(''

0)('

SCcf

NecesariaCondicióncf

..,0)(''

0)('

SCcf

NecesariaCondicióncf



1.- Determinar el valor máximo y mínimo absoluto de la función f(x)= 3x3 + x - 9 en el

intervalo [0,3].

Selectividad nº 31 a, b, nº 33, nº 34 a), 48, 50a

5 ESTUDIO DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN EN UNA FUNCIÓN

Son aquellos que separan arcos de curva cóncavos y

convexos, es decir, en ellos cambia la curvatura de la

función. En ellos la tangente atraviesa la curva.

Si una función presenta un punto de inflexión en x0,

en el que es dos veces derivable:

inflexiónhaycxencambiasipunto;dellados

ambosacurvaturalaestudiaSe:SuficienteCondición

0(c)f:NecesariaCondición

EJERCICIOS:

1.- Determinar los puntos de inflexión de la función: y = x3 – 3x

2 – 9x + 5.

2.- Sea f (x) = ax3 + bx

2 + cx + d un polinomio que cumple f (1) = 0, f ' (0) = 2 y tiene

dos extremos relativos para x = 1 y x = 2.

a) Halla a, b, c y d.

b) ¿Son máximos o mínimos los extremos relativos?

3.- La función f (x) = x3 + ax

2 + bx + c verifica que f (1) = 1, f ' (1) = 0 y que f no tiene

extremo relativo en x = 1. Calcula a, b y c.

4.- Halla los coeficientes a, b, c, d de la función f(x) = ax3+bx

2+cx+d. sabiendo que la

ecuación de la tangente a la curva en el punto de inflexión (1,0) es y= - 3x+3, y

que la función tiene un extremo relativo en x = 0

Selectividad nº: 22, 26 a), 36, 41 a) b), 43a) b)

6 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

En estos problemas se trata de conseguir un volumen, unos beneficios, una

población… máximos; o unos costes, un área… mínimos. En ellos nos interesan los

extremos absolutos, por lo que siempre habrá que calcular el valor de la función en los

extremos del intervalo.

EJERCICIO:

1º.- De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10 cm, halla las

dimensiones de aquel cuya área es máxima.

x0



2º.- Entre todos los rectángulos de perímetro 12 m, ¿cuál es el que tiene la diagonal

menor?

3º.- Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen

igual a 6,28 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de

hojalata.

4º.- Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30 cm, ¿cuál es el de área

máxima?

5º.- Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 10 cm y de capacidad

máxima. ¿Cuál debe ser el radio de la base?

6º.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea 8

dm3. Averigua las dimensiones de la caja para que su superficie exterior sea

mínima.

7º.- En un triángulo isósceles de base 12 cm (el lado desigual) y altura 10 cm, se

inscribe un rectángulo de forma que uno de sus lados esté sobre la base del

triángulo y dos de sus vértices sobre los lados iguales:

a) Expresa el área, A, del rectángulo en función de la longitud de su base, x, y di

cuál es el dominio de la función.

b) Halla el valor máximo de esa función.

8º.- Halla la base y la altura de una cartulina

rectangular de perímetro 60 cm que, al dar

la vuelta completa alrededor de un lado

vertical, genere un cilindro de volumen

máximo.

9º.- Queremos hacer un envase con forma de prisma regular de base cuadrada y

capacidad 80 cm3. Para la tapa y la superficie lateral usamos un determinado

material, pero para la base debemos emplear un material un 50% más caro.

Halla las dimensiones de este envase para que su precio sea el menor posible.

10º.- Con una lámina cuadrada de 10 dm de lado se quiere construir una caja sin

tapa. Para ello, se recortan unos cuadrados de los vértices. Calcula el lado del

cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea máximo. Si la altura de

la caja no puede pasar de 2 dm, ¿cuál es la medida del lado del cuadrado que

debemos recortar?

11º.- El valor, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t viene

dado por f (t) = 9 - (t - 2)2, 0 ≤ t ≤ 4,5. Deduce en que valor de t alcanzo su

máximo valor y en que valor de t alcanzo su valor mínimo.

12º.- Dos postes de 12 y 18 m de altura distan entre sí 30 m. Se desea tender un

cable que una un punto del suelo entre los dos postes con los extremos de estos.



¿Dónde hay que situar el punto del suelo para que la longitud total del cable sea

mínima?

Selectividad Todos excepto los 4 primeros. Empezar por el final (no olvidar 43c)

7 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

A pesar de que, para representar una función, siempre haremos el mínimo número de

cálculos, suele ser imprescindible:

1. Dominio y continuidad

2. Asíntotas y Ramas Infinitas

3. Monotonía y Extremos

4. Curvatura y puntos de inflexión

En el supuesto de que estos cálculos no aporten los datos suficientes para la

representación, se podrá completar con: puntos de corte con los ejes, simetrías, tabla de

valores...

7.1 REPASO DE ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS

Asíntota horizontal:

Si lxfx

)(lim (no infinito) entonces la asíntota horizontal por la derecha es

la recta de ecuación: y= l

Si lxfx

)(lim (no infinito) entonces la asíntota horizontal por la izquierda

es la recta de ecuación: y= l

Asíntota Vertical:

Si

axfax

,)(lim , hay asíntota vertical; es la recta de ecuación x= a.

Para saber la posición de la curva respecto a la asíntota es preciso calcular los

límites laterales.

Asíntota Oblicua:

Si:

nmsiendonmxxfymx

xfxf

xxx,)(lim0

)(lim,)(lim

Entonces la recta y= mx+n es una asíntota oblicua por la derecha. Para

calcularla por la izquierda, se efectúan los mismos cálculos con x .

En el caso de funciones racionales

)(

)(

xQ

xPy la localización de la asíntota

oblicua es mucho más sencilla:

Si grado de P(x) – grado de Q(x) = 1 hay asíntota oblicua. Su ecuación es

y= mx+n, siendo mx+n el cociente de dividir P(x) entre Q(x)

Ramas Parabólicas



Si

)(lim xf

x y no hay asíntota oblicua, entonces puede haber rama

parabólica. Análogamente se procede para x

En el caso de funciones racionales

)(

)(

xQ

xPy si grado de P(x) – grado de

Q(x) > 1 hay rama parabólica

EJERCICIOS:

Selectividad: 35 a), 37 a) 43 a), 49

Representa las funciones1:

1.- y = x3 – 3x

2 – 9x + 5 4.-

x

xy

ln

2.- 2

2

3

x

xy 5.- 12 xy

3.- xe

xy

1 Recuerda las funciones elementales ln x, e

x, sen x, cos x… y sus transformadas obtenidas sumando o

restando k, a la función y a la x



EJERCICIOS SELECTIVIDAD

1.-Un hilo de alambre de longitud dada se corta en dos trozos, formando con uno de

ellos una circunferencia y con el otro un cuadrado. Demuestra que la suma de las

áreas es mínimo cuando el lado del cuadrado es doble que el radio del círculo. (1994)

2.- Un camión está a 975 Km al este de un automóvil y está viajando hacia el oeste a

una velocidad constante de 60 Km/h. Mientras tanto, el automóvil está yendo al norte

a una velocidad constante de 90 Km/h. ¿En qué momento estarán el camión y el

automóvil más próximos el uno del otro? (1994)

3.- En un instante t = 0 el móvil A está situado en (100,0) y el móvil B se halla en el

punto (0,5). Ambos comienzan un movimiento uniforme con velocidades vA = - 3i y

vB = 2i-j. Determinar el instante y las posiciones para las que la distancia entre

ambos móviles sea mínima. (1995)

4.- Una partícula recorre la curva y = -x2 +10x – 25 de manera que en el tiempo t

segundos ocupa la posición x = t e y = - t2 +10t – 25. Al llegar al instante t = 5

segundos se escapa por la tangente a la curva recorriendo diez unidades de longitud

en cada segundo en la dirección positiva del eje OX, es decir hacia la derecha.

Calcular la posición de la partícula en el instante 15 segundos. (1995)

5.- Se divide un alambre de longitud 100m en dos trozos. Con uno de ellos se forma un

triángulo equilátero y con el segundo un cuadrado. Determina las longitudes de esos

trozos para que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado sea máxima. (1995)

6.- Representar la función f(x) tal que:

f(x) = x+6 si x[ - 6,- 3]

f(x) = 3 si x( - 3, 3)

f(x) = 6 - x si x[ 3,6]

Halla el conjunto de puntos donde está definida la derivada y representa la función

f ´(x). ( A Junio 1996)

7.- Halla la base “x” y la altura “y” de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm que

al dar la vuelta completa alrededor de un lado vertical genere un cilindro de

volumen máximo. (B Junio 1996)

8.- Un punto material recorre la parábola y2 = 8x – 9. Determinar razonadamente en que

posición la distancia del punto al origen (0,0) es mínima. (A Septiembre1996)

9.- Un hilo elástico tiene un extremo fijo en el punto O = (0,0) y el otro extremo P

recorre la curva (x – 3)2 + (y – 4)

2 = 4 Determinar las coordenadas de P cuando sea

máxima la longitud OP, interpretando geométricamente el resultado obtenido.

(B Junio 1997)



10.- Descomponer un segmento del longitud 20 metros en cuatro partes para obtener el

paralelogramo de la mayor área posible. (A Septiembre1997)

11.- Un punto material recorre la parábola y = x2 – 7. Determinar razonadamente la

posición o posiciones en que la distancia del punto al origen (0,0) es mínima.

(B Junio.1998)

12.- Un hilo de 100 metros se divide en dos trozos de longitudes x e y; con el primero

se forma un cuadrado y con el segundo un círculo. Razonadamente:

a) Halla x e y para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea

máxima.

b) Halla x e y para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea

mínima. (B Septiembre.1998)

13.- Con un hilo de 60 cm formamos un rectángulo que al girar alrededor de uno de sus

lados engendra un cilindro de área total (área lateral + área de las bases) máxima.

(B Junio 1999)

14.- El punto P(x,y) recorre la elipse de ecuación x y2 2

25 91 . Deduce las posiciones

del punto P para las que su distancia al punto (0,0) es máxima, y también las

posiciones de P para las que su distancia es mínima. (A Septiembre.1999)

15.- El punto P(x,y) recorre la curva y = x2. Utilizando razonadamente el cálculo de

derivadas, calcula la posición del punto P para la cual su distancia al punto (0, -4) es

mínima. (A Junio.2000)

16.- A través de la utilización razonada de la relación de la derivada de una función con

su crecimiento o decrecimiento, obtén en que puntos del intervalo [ - 2,2] son

crecientes o decrecientes las funciones:

a) f(x)= x2 b) g(x)= x

3 – 7 (2000)

17.- Se divide un hilo de 100 metros en dos trozos de longitudes “x” e “y”. Con el trozo

de longitud “x” se forma un cuadrado y con el de longitud “y” se forma un

rectángulo, el lado mayor del cual mide el doble que el lado menor. Encuentra “x” e

“y” para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea máxima. Idem

para que sea mínima. (A.Septiembre.2000)

18.- Se divide un alambre de 100 m de longitud en dos segmentos de longitudes “x” y

“100 – x”. Con el de longitud “x” se forma un triángulo equilátero y con el otro

segmento se forma un cuadrado. Sea f(x) la suma de las áreas del triángulo y del

cuadrado.

a) Determina el dominio de la función f; es decir, los valores que puede tomar “x”

b) Con el estudio de la derivada de f obtén cuando f es creciente y cuando es

decreciente.

c) Indica razonadamente para que valor de “x” se obtiene que la suma de las áreas

del triángulo y del cuadrado es mínima. (A Junio.2001)



19.- Sea la función definida por

7x3six7

3x3si4)x(f Justifica si f es

derivable o no en x = 3. ¿Que significado geométrico tiene el resultado obtenido?

(B Junio.2001)

20.- Descomponer un segmento de longitud 200 m en cuatro partes, de manea que esas

partes sean los lados de un rectángulo cuya área sea máxima dentro de la familia de

rectángulos de perímetro 200 m. (B Septiembre.2001)

21.- Considerad las funciones definidas para x ≥ 0, )x(f2x1

xarcsen

y

2x1

1arccos)x(g

. Calculad f´(x) y g´(x) expresadlas del modo más

simplificado posible. Comparad los resultados y deducid justificadamente la

diferencia entre f(x) y g(x) (B Junio 2002)

22.-Sea f(x)=x3

+ ax2 + bx + c. Hallad a, b, c sabiendo que f alcanza un máximo en x = -

4 y un mínimo en x = 0 y que f(1) =1 (A Septiembre. 2002).

23.- Sea T un triángulo de perímetro 60 cm. Uno de los lados del triángulo T mide x cm

y los otros dos lados tienen la misma longitud. a) Deducir razonadamente las

expresiones de las funciones A y f tales que:

A(x) = Área del triángulo. f(x) = {A(x)}2 Indicar además entre qué valores puede

variar x.

c) Obtener, razonadamente, el valor de x para el que f(x) alcanza el valor máximo.

( B Junio.2003)

24.- En una gran pradera se tiene que vallar una zona de 400 m2, que debe tener forma

de rectángulo. Cada metro de valla cuesta 100 euros. Si x es la medida en metros de

uno de sus lados, se pide: a) Obtener razonadamente la función de f tal que f(x) sea

el coste de la valla, indicando entre qué valores puede variar x. b) Deducir

razonadamente el valor de x para el que la función f(x) alcanza el valor mínimo.

(A Septiembre 2003)

25.- Encontrar razonadamente el punto de la curva y=2x1

1

en que la recta tangente a

la curva tiene pendiente máxima y calcular el valor de esa pendiente. (Junio 2004.

3,3 puntos)

26.- Sea f(x)= x2+mx (donde m es un parámetro real) y f ’ (x) la función derivada de

f(x). Se pide:

a) Hallar el valor del parámetro m para que f(x) tenga un mínimo relativo en x=-3/4

1,5 puntos

2b) Para el valor de m calculado en a), determinar el área de la región comprendida

entre la curva y=f(x) y la recta de ecuación y = f ‘ (x) 1,8 puntos ( septiembre

2004.)

2 Este apartado se hará en el tema de Áreas



27.- Hallar las constantes reales a y b para que f(x)=

0xsix

xsen0xsib

0xsiaxx ln

sea una

función continua para todo valor de x. (3,3 puntos. Junio 2005)

28.- En el plano se tiene la curva y = x2+2x – 1. Encontrar razonadamente las

ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2 , 3) y son tangentes a dicha

curva. (Septiembre 2005. 3,3 puntos).

29.- a) El perímetro de un sector circular de radio R es 4 m. ¿Cuántos radianes α debe

medir su ángulo central para que su área sea máxima? (1,8 puntos). (Nota:

Perímetro = 2R +R α ; Área = ½ α R2)

b) El, área de otro sector circular es de 1m2. ¿Para qué radio es mínimo su

perímetro? (1,5 puntos. Septiembre 2005).

30.- Dada la función y= Ln x en el intervalo [1,e], siendo e= 2,718281…:

a) Razonar que existe un punto P de la gráfica y= Ln x en el que la recta tangente a

ella es paralela a la recta que pasa por los puntos A=(1,0) y B(e,1) (1 p)

b) Obtener el punto P considerado en a) (1,8 p)

c) Calcular la pendiente de la recta tangente a y= Ln x en P (0,5 p) Junio 06

31.- a) Dibujar razonadamente la gráfica de la función g(x)= x2 – 4, cuando

41 x (1,1 p)

b) Obtener razonadamente los valores máximo y mínimo absolutos de la función

4)( 2 xxf en el intervalo [-1,4] (1,1 p)

c) 3Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación y= f(x) y las

rectas x= -1 e y= 0 (1,1 p) Junio 06

32.- El coste de un marco de una ventana rectangular es de 12,5 € por metro lineal de

los lados verticales y 8€ por metro lineal de los lados horizontales.

a) Calcular razonadamente las dimensiones que debe tener el marco de una ventana

de 1 m2 de superficie para que resulte lo más económico posible (2,3 p)

b) Calcular, además el coste de ese marco más económico posible considerado en a)

(1 p) Junio 2006

33.- a) Obtener la derivada de la función f(x) ax b sen x (0,5 puntos). Calcular a

y b si O (0, 0) es un punto de la curva y ax b sen x , cuya recta tangente en

O(0, 0) es el eje OX (1,8 puntos).

3 Este apartado se hará en el tema de Áreas



b) Justificar que la función g(x)

2 x sen x se anula en dos puntos del

intervalo 0, (0,5 puntos).

c) Calcular esos dos puntos (0,5 puntos). Septiembre 2006

34.- Dadas las funciones f (x) x 3 - 3x 8 y g(x) 3x , se pide:

a) Calcular el máximo absoluto de la función f (x) en el intervalo 3, 0(1 p).

b) Calcular el punto de corte de la curva y f (x) y la recta y g(x) (1 punto).

c) Obtener el área del recinto limitado por la curva y f (x) y las rectas y g(x) ,

x 3 y x 0 (1,3 puntos). Septiembre 2006

35.- Se consideran las funciones reales f(x) = 12x3 – 8x

2+9x – 5 y g(x) = 6x

2 – 7x+2.

Se pide:

a) Determinar las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función )x(g

)x(f (1,6

puntos).

b) Calcular la función H(x) = dx)x(g

)x(f que cumple H(1)=1. (1,7 puntos)

Junio 2007.

36.-Se considera la función real f (x) x3ax

2bx c, donde a, b y c son parámetros

reales.

a) Averiguar los valores de a y b para los que las rectas tangentes a la gráfica de f(x)

en los puntos de abscisas x = 2 y x = 4 son paralelas al eje OX. (2 puntos).

b) Con los valores de a y b hallados anteriormente, obtener el valor de c para el que

se cumple que el punto de inflexión de la gráfica de f(x) está en el eje OX. (1,3

puntos). Junio 2007

37.- Dadas las funciones reales f (x)= 4x2+ 2x +10 y g(x) = x3

+x 2

+5x+5. Se pide:

a) Determinar las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función g(x)

f(x) (1,6 P.

b) Calcular la función dxg(x)

f(x)H(x) que cumple H(0) = 0. (1,7 puntos). Sept 07

38.-. Sea la función con dominio los números reales no nulos x

4f(x)

a) Calcular la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f(x)

en el punto de abscisa x = 2. (1.8 puntos) .

b) Determinar los puntos M y N de la gráfica de f(x) para los que las rectas tangentes

a la gráfica en M y N se cortan en el punto (4 , - 8 ). (1.5 puntos). Sept 2007

39.- Se considera la función real f(x) = x2 – 4. Obtener, explicando el proceso de

cálculo:

a) La gráfica de la curva y = f(x). (0,7 puntos).

b) Los valores de x para los que está definida la función real g(x) = Ln f(x). (1,3 p)



c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función g(x), razonando si

tiene, o no, máximo absoluto. (1,3 Puntos) Junio 2008.

40.- Junio 2009

a) Determinar, razonadamente, el dominio y los intervalos de crecimiento y

decrecimiento de la función f(x) = x3x3

1

. (1 punto)

b) Obtener razonadamente los valores de A y B tales que x3x3

1

=

x3

B

x3

A

(1 punto)

c) Calcular razonadamente el área de la superficie S limitada por la curva

y = x3x3

1

, el eje OX y las rectas de ecuaciones x = - 2 y x = 2.

(1,3 puntos) 41.- Dada la función f(x) = e

x – e

– x, se pide calcular razonadamente:

a) La función f(x)+f( - x). (1,1 puntos)

b) La integral a

adx)x(f , donde a es un número real positivo. (1,1 puntos)

c) El punto de inflexión de f(x). (1,1 puntos) Junio 2009

42.- Se consideran las funciones reales f(x) = 2x2+12x – 6 y g(x) = (x – 2)(x

2+9). Se

pide obtener razonadamente:

a) Las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función

(1,6 puntos)

b) La función

que cumple

. (1,7 puntos) Sep 2009

43.- Dada la función real

,

se pide calcular razonadamente:

a) Las derivadas primera y segunda de la función f(x). (0,8 puntos)

b) Los puntos de inflexión de la curva y = f(x). (1 punto)

c) La pendiente máxima de las rectas tangentes a la curva y = f(x). (1,5 p) Sep 09

44.- Se quiere construir un estadio cerrado de 10.000 m2 de superficie. El estadio está

formado por un rectángulo de base “x” y dos semicírculos exteriores de diámetro

“x”, de manera, que cada lado horizontal del rectángulo es diámetro de uno de los

semicírculos. El precio de 1 m2 de valla para los lados verticales del rectángulo es

de 1 € y el precio de 1 m2 de valla para las semicircunferencias es de 2 €. Se pide

obtener razonadamente:

a) La longitud del perímetro del campo en función de “x”. (3 puntos)

b) El coste f(x) de la valla en función de “x”. (3 puntos)

c) El valor de “x” para que el coste de la valla sea mínimo. (4 puntos) Junio 2010



45.- Dada la función polinómica f(x)= 4 – x2, se pide obtener razonadamente:

a) La gráfica de la curva y = 4 – x2. (2 puntos)

b) El punto P de esa curva cuya tangente es perpendicular a la recta de ecuación

x+y=0. (3 puntos)

c) Las rectas que pasan por el punto (- 2, 1) y son tangentes a la curva y = 4 – x2,

obteniendo los puntos de tangencia. (5 puntos) Junio 2010

46.- Dos elementos de un escudo son una circunferencia y un triángulo. La

circunferencia tiene centro en (0,0) y radio 5. Uno de los vértices del triángulo es el

punto A=(-5,0). Los otros dos vértices del triángulo son los puntos de la

circunferencia B=(x, y) y C=(x, - y). Se pide obtener razonadamente:

a) El área del triángulo en función de x. (3 puntos)

b) Los vértices B y C para los que es máxima el área del triángulo. (5 puntos)

c) El valor máximo del área del triángulo. (2 puntos) Septiembre 2010

47.- Se desea construir un campo rectangular con vértices A, B, C y D de manera que:

Los vértices A y B sean puntos del arco de la parábola y = 4 - x2, - 2≤ ≤2 , y el

segmento A y B es horizontal. Los vértices C y D sean puntos del arco de la parábola y = x

2 - 16, - 4≤ ≤4 , y

el segmento C y D es también horizontal. Los puntos A y C tienen la misma abscisa, cuyo valor es el número real positivo x. Los puntos B y D tienen la misma abscisa, cuyo valor es el número real positivo -x. Se pide obtener razonadamente: a) La expresión S(x) del área del campo rectangular en función del número

real positivo x. .(4 puntos)

b) El número real positivo x para el que el área S(x) es máxima. .(4 puntos)

c) El valor del área máxima. (2 puntos) Junio 2011

48.- Un coche recorre un arco de parábola Γ de ecuación 2y=36 – x2, variando la x de -6

a 6. Se representa por f(x) a la distancia del punto (0,9) al punto (x,y) del arco Γ donde está situado el coche. Se pide obtener razonadamente:

a) La expresión de f(x). (2 puntos)

b) Los puntos del arco Γ donde la distancia f(x) tiene mínimos relativos. (2 p) c) Los valores máximo y mínimo de la distancia f(x). (2 puntos) d) El área de la superficie limitada por el arco de parábola Γ y el segmento

rectilíneo que une los puntos (-6,0) y (6,0). (4 puntos) Sep 2011

49.- Dada la función f definida por:

Obtener razonadamente:

a) El dominio y recorrido de la función f. (2 puntos)

b) Los valores de x donde la función f alcanza el máximo y el mínimo relativo. (2 puntos)



c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de dicha función f. (2 puntos)

d) Los valores de x donde la función tiene puntos de inflexión. (2 puntos)

e) La gráfica de la curva, explicando con detalle la obtención de la asíntota

horizontal. (2 puntos). Sep 2011

50.- Con el símbolo ln x se representa el logaritmo de un número positivo x cuando la

base del logaritmo es el número e. Sea la función f, que para un número positivo está

definida por la igualdad

4 Obtener razonadamente: a) El valor de x donde la función f alcanza el mínimo relativo. (4puntos).

b) La ecuación de la recta tangente a la curva y = 4xln x en el punto (1 , 0). (3

puntos)

c) El área limitada entre las rectas y= 0, x=e y x=e2 y la curva y = 4xln x

(3 puntos) Junio 2012

51.- Para diseñar un escudo se dibuja un triángulo T de vértices A=(0 , 12), B=(-x , x2) y

C=(x , x2), siendo x

2<12.


a) El área del triángulo T en función de la abscisa x del vértice C. (2 puntos)

b) Las coordenadas de los vértices B y C para que el área del triángulo T sea

máxima. (3 puntos)

Para completar el escudo se añade al triángulo T de área máxima la superficie S

limitada entre la recta y = 4 y el arco de parábola y = x2, cuando - 2≤x≤2.


c) El área de la superficie S. (3 puntos).

d) El área total del escudo (2 puntos). Junio 2012

aplicaciÓn derivadas · tema 7 aplicación de derivadas pág. 95 isbn 84-8498-802-3depÓsito legal...

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