antenas lineales
TRANSCRIPT
1
Antenas Lineales
• Radiación de un elemento de Corriente
• Campo Próximo y Lejano
• Dipolos– Dipolos Eléctricamente Cortos
– Dipolos Rectos.
• Antenas de Cuadro.
• Hélices
• Método de los Momentos.– Ecuación de Hallen
– Ecuación Integral de Pocklington.
– Ecuación de Shelkunoff
– Point-Matching.
– Método de los Residuos Promediados.
– Método de Galerkin.
– Modelado de la Fuente.
• Yagis
• Antena Logperiódica de Dipolos
Antenas LinealesElementos de Corriente y Onda Progresiva
Bajo esta denominación se estudian las antenas construidas con hilos conductores eléctricamente delgados (de diámetro muy pequeño en comparación con λ). En estas condiciones las corrientes fluyen longitudinalmente sobre la superficie del hilo.
• Análisis
• Convencional aproximado: Postulación de corriente y Potencial Vector Retardado
• Preciso: Método de los Momentos
2
Campo radiado por un elemento de corriente
• La fuente de radiación más simple es un elemento lineal de corriente situado en el seno de un medio isótropo, homogéneo, indefinido y sin pérdidas.
• Los campos producidos por esta fuente permiten, aplicando superposición, calcular los campos radiados por fuentes extensas. Introduciendo los potenciales A y Φ
Idl
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
r r r
r r r r
r
r r r r r r
B A B
E j A E j B
A j Ec Lorentz
otras Ec de Maxwell
A r k A r J r
kk A Jz z
= ∇ × ⇐ ∇⋅ =
= −∇Φ − ⇐ ∇ × = −
∇⋅ + =
+ ⇒
+ = − ′
=
+ = −
0
0
2
202
2
ω ω
ωµεΦ
µ
ω µεµ
.
.
∆∆ x y
zrr
µ ε,
J I dS
dV dl dSz =
= ⋅
Ec. escalar, con fuente Jz puntual
Campo radiado por un Elemento de Corriente
• Como este problema y su fuente presentan simetría esférica, la anterior ecuación queda así:
• Esta es la ecuación esférica de Bessel cuyas soluciones son:
12
2 2
r
d
drrdA
drk A Jz
z z
+ = −µ
( )
( )
A r Ce
r
A r Ce
r
z
jkr
z
jkr
1 1
2 2
=
=
−
Propagación hacia r → ∞
Propagación hacia r → 0
La solución física de nuestro problema
C J dV Idlz1 4 4= =
µ
π
µ
π
Integrando sobre la Ecuación Completa [1]sobre una esfera de r → 0
[1]
3
Campo radiado por un Elemento de Corriente
• Los campos que produce el elemento de corriente son:
r r
r r
H A
Ej
H
= ∇ ×
= ∇ ×
1
1µ
ωε
( )r
6 744 844
Ae
rIdl r
zjkr
= −−µ
πθ θ θ
4$ cos $ sen
$
( )r
r
HrrA A
Idl
rjk
re
Ej Idl
kr
jk
r r
k
r
jk
r re
rjkr
jkr
= −
= +
= +
+ − + +
−
−
$ $ sen
$ cos $ sen
φ∂
∂
∂
∂θφ
θ
π
η
πθ θ
θ
θ 4
1
2
1
2
12 3
2
2 3
r
r
H jkI dle
r
E j kI dle
r
jkr
jkr
=
=
−
−
sen $
sen $
θπ
φ
η θπ
θ
4
4
Sustituyendo
Si kr>>1 (r>>λ) predominan los términos en 1/r frente a 1/r2 o 1/r3
Campos de radiación: E ⊥ r, H⊥ r, E⊥ H
Campos de Radiación de una Antena
• Una distribución real de corriente se tratará como formada por elementos de corriente Jsituados en r’.
• El potencial total radiado será la superposición.
( ) ( )r rr r
r r
r r
A rJ r e
r rdv
jk r r
V=
′
− ′′
− − ′
′∫µ
π4
( ) ( )dA re
r rJ r dV
jk r rr rr r
r rr r
=− ′
′− − ′µ
π4 ′rr
P
x y
z
j
rr
( )r rJ r′
r rr r− ′
( ) ( )r rr r
r r
r r
A rJ r e
r rdSs
jk r r
S=
′
− ′′
− − ′
′∫µ
π4( ) ( )r r
r
r rr
r r
A rI r e
r rdl
jk r r
L=
′
− ′′
− − ′
′∫µ
π4
Volumen Superficie Línea
4
Campos de Radiación de una AntenaAproximaciones de Campo Lejano
• Cuando k r-r’ >>1 y r>>r’max ⇔ r >>λ , r ≥ (2D2)/λ
• Los campos de Radiación cuando k r-r’ >>1 valen:
[ ]R r r r r r r rr
r
r r
r= − ′ = + ′ − ⋅ ′ = +
′
−
⋅ ′
r r r rr
2 2 1 22 1 2
2 12$
( ) ( )r r r r r
A re
rJ r e dV
jkrjkr r
V= ′ ′
−⋅ ′
′∫∫∫µ
π4$ R r
r r
rr r r≈ −
⋅ ′
= − ⋅ ′1
1
2
2$$
rr
( )( )r rr r
r r
r r
A rJ r e
r rdv
jk r r
V=
′
− ′′
− − ′
′∫µ
π4
r rr rmax>> ′
( )
( )( ) ( )
r r rr
r r r r
Hj
r A Hr E
E j r A r E H r
= − × =×
= − × × = ×
ω
η η
ω η
$$
$ $ $
r r
r
r
E H
E r
H r
⊥
⊥
⊥
$
$
Condición de Campo Lejano
• El máximo error de fase cometido permite definir un criterio de distancia mínima.
• Este criterio de rmin=2D2/λ es necesario aplicarlo a la hora de realizar medidas de antenas, si bien a veces es insuficiente para medidas de lóbulos secundarios muy bajos.
R rD
= +22
4
Dr r r r− ⋅ ′ =$
r
′rr
PEl máximo error de fase es:
k rD
r kD2
2 2
4 8r+ −
=
Dando un valor de π/8 (=22,5º), que introduce poco error en los cálculos:
rD
Minima ≈2 2
λ
5
Campos de Radiación de una AntenaPropiedades
• Los campos de radiación de cualquier antena cumplen:– La dependencia de E y H con r es la de una onda esférica e-jkr/r.
– Los campos E y H dependen de θ y φ puesto que la onda esférica es no homogénea.
– La onda esférica radiada se comporta localmente como plana:
– Los campos E y H no poseen componente radiales:
( )( )
r r
r rA r A r A A
E j r A r
r( ) $ $ $
$ $
= + +
= − × ×
θ φθ φ
ω
E H
E j A E H
E j A E H
r r= =
= − =
= − − =
0 0
θ θ θ φ
φ φ φ θ
ω η
ω η
rr rE r
H rE H
⊥
⊥=
$
$η
Dipolos Eléctricamente Pequeños
Dipolos Idealesr
lAe
rI z
jkr
=−µ
π4 0 $r
lE j kIe
r
jkr
=−
η θπ
θ0 4sen $
I0 l
2a
z
x y
( )I z I
a
=
<<
<<
0
λ
λl
( )E
EMAX
θθ= sen
( )P U d Z Irad = =
∫ θ φ
π
λπ, Ω
4 0 0
22
3
lD0 3 2=
RP
Irad
R= =
280
0
22
2
πλ
ll =0,1λ Rrad=8Ω
( )RP
I I
R
aI z dz
aRperd
perd S
l S= = =∫2 2 1
2 2 20
2
0
2
2
π π
l
Resistencia de Pérdidas
( )( )
RE a
H asz=
=
==
ρ
ρ
ωµ
σφ 2
Rendimiento =+
R
R Rrad
perds rad
Resistencia de Radiación
Látigo de 1 m (1 MHz) formado por una varilla de cobre 8 mmRrad=0,0088ΩRperd=0,0103ΩRend ≈ 46%
z
dRdV
I
E dz
aH
R
adzperd
z
a
s= = =
=2 2π πφ ρ
a >> δ
6
Dipolos Cortos Reales
Sin Carga Capacitiva (corriente triangular) l<0,3λ ⇒
r rA A∆ Π=
1
2
r rE E∆ Π=
1
2
( )E
E MAX
∆
∆
θθ= sen
P Prad rad∆ Π=1
4 D D0 0 3 2∆ Π= =
R Rrad rad∆ Π= =
1
420 2
2
πλ
l
R RaRperd perd S∆ Π= =
1
3 6
l
πResistencia de Pérdidas
Resistencia de Radiación
• Eficiencia menor que en el caso ideal (corriente uniforme).• Rin= Rrad+ Rperd casi 4 veces menor.• Zin= Rin + j Xc , Xc=-1/ ωC >> Rin• Difícil de adaptar. Bandas estrechas.
I0
z
I(z)
e jkr r− ⋅ ′ ≈$r
1
I0l
2a
z
x y
Monopolos Cortos Reales
Con Carga Capacitiva (corriente uniformizada)
•La capacidad terminal permite corrientes más uniformes en la zona activa•Se obtienen valores de Rrad más próximas al dipolo ideal.•Se reduce la reactancia de entrada, facilitando la adaptación.
Monopolo con riostras
Aisladores
Sombrilla Capacitiva
l I(z)
L
Antena en L
Imagen
2l≈
Modelo de Radiación
7
Dipolos Rectos
• Para dipolos como los de la figura de longitud L y alimentados en el centro la distribución aproximada de corriente es:
I z I sin kL
z zL
m( ) = −
<
2 2
L/2
La distribución de corriente se supone como la de la línea de transmisión en circuito abierto aún después de haberla rectificado.
z
I(z)Im
z
I(z)Im
z
I(z)Im
L=λ/2 L=λL<λ/2
z
I(z)
Lθ
I(z)
IIN
I I sin kL
IN m=
2
Dipolos Rectos
2 2
Comparación del modelo de corriente sinusoidal con la del Método de los Momentos
El modelo sinusoidal permite obtener expresiones cerradas para el diagrama de radiación suficientemente exactas y de fácil interpretación. Deja, sin embargo, bastante que desear a la hora de calcular la impedancia de entrada, sobre todo para dipolos antiresonantes (L=2l del orden de λ)
8
Dipolos Rectos
( )rE j A A j
e
rI
kL kLjkr
m= − + =
−
−
ω θ φ ηπ
θ
θθθ φ
$ $cos cos cos
sen$
22 2
Diagrama de Radiación:
( )r r r
1 244 344
r
Ae
rI r e dl
e
rI k
Lz e zdz
e
r
I
k
kL kL
rz
jkrjkr r
C
jkr
mjkz
L
L
jkrm
= ′ ′ =
= −
′ =
=
−
−
−⋅ ′
′
−′
−
−
∫
∫
µ
π
µ
π
µ
π
θ
θθ θθ
θ
4
4 2
4
2 2 2
2
2
2
$
cos
/
/sen $
cos cos cos
sencos $ sen $
$
Potencial:
Campo:
z
z’
Lθ
rI(z’)
( ) ( )$ sen cos $ sen sen $ cos $ $ cosr r x y z z z z⋅ ′ = + + ⋅ ′ = ′r
θ φ θ φ θ θ
Eφ = 0 Polarización Lineal
Dipolos Rectos
E je
rI
kL kLjkr
mθ ηπ
θ
θ=
−
−
22 2
cos cos cos
sen
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ei
max( )E
θi
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ei
max( )E
θi
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ei
max( )E
θi
L=0.5λ L=λ L=1.5λ
Diagrama de Radiación:
z z z
BW-3dB=78º BW-3dB=47º
Diagramanormalizadode campo:
cos cos
cos
πθ
θ
2
( )1
2
+ cos cos
sen
π θ
θ
Diagrama multilobuladocarente de interés
9
Dipolos Rectos
Potencia Radiada ( )P U d E r d
rI
kL kL
r d d
I
kL kL
d
rad
m
m
= = =
=
−
=
=
−
−
∫ ∫
∫∫
∫
==
θ φη
η
π
θ
θθ θ φ
η
π
τ
ττ
π π
θ
π
φ
π
,
cos cos cos
sensen
cos cos
Ω Ω4
22
4
2 22
2
2
00
2
2
2
20
1
1
2
82 2
22 21
r
P I Rrad in rad=1
22Resistencia de Radiación
τ θ= cos
I I kL
in m2 2 2
2=
sen RP
I kLrad
rad
m
=
2
22 2sen
Dipolos Rectos
Resistencia de Entrada ≈ ≈ ≈ ≈ Rrad:
0 0.5 1 1.5 20
500
1000
1500
2000
2500
3000
R in( )L
R rad( )L
L
0 0.2 0.4 0.6 0.80
50
100
150
200
250
R in( )L
Ra in( )L
L
Valor Aproximado Rain:
RkL
kL kL
din =
−
−∫1
2
2 212
2
20
1
sen
cos cosη
π
τ
ττ Ra
LL
LL
LL
in ≈
< <
< <
< <
20 04
24 74 2
11142
0 637
2
2 4
4 17
πλ
λ
πλ
λ λ
πλ
λλ
.
. .
.
.
/λ /λ
L=λ/2Rrad=73 Ω
a →0
10
Dipolos Rectos
Directividad:
( )D
U
P
rE
I
kL kL
d
max
rad
max
m
0
22
2
2
20
1
4
42
22 21
= =
=
−
−∫
πθ φ
πη
η
π
τ
τ
θ
,
cos cos
0.5 1 1.5 21
2
3
4
5
6
D( )L
L
dB
/λ
D0(L=λ/2)=1.64 ⇒ 2.16 dB
Dipolos Rectos
Autoimpedancia (ZIN=Re+jXe)
L/2a
L/λλλλ
L/2a
L/λλλλ
L/2a
Condición de Resonancia
L = −
λ
21100
%
Resonancia
ZIN(λ/2)=73+j42,5 Ω cuando a → 0
a=radio del dipolo
( )( )
( )
−+−
−
⋅−
−+−=
2
2IN
kL10kL705,1622
kLcot1
a
Lln120j
kL5,27kL10265,122Z
Fórmula de Tai (validez 2,6<kL<3,4)
11
Dipolos Rectos
Cuando es necesario trabajar en bandas muy anchas se utilizan dipolos gruesos construidos con varillas cortocircuitadas. En las fotos se pueden ver monopolos de onda corta utilizados sobre buques.
Rotaciones de Antenas
La Rotación conlleva un giro de los vectores de Campo radiado.Las etapas necesarias son:• Se parte de la expresión del potencial en componentes cartesianas.• Los ángulos se definen en el nuevo sistema de coordenadas. Como ejemplo:
z
λ/2θ
r
rA z
I
k
e
rm
jkr
=
−
$
cos cos
sen
µ
π
πθ
θ4
2 22
rE j
e
rI
jkr
m=
−
ηπ
πθ
θθ
22
cos cos
sen$
rA r
I
k
e
rdm
jkr
=
−
$
cos cos
sen
µ
π
πα
α4
2 22
rA r A xA yA zAd rd x y z= = + +$ $ $ $
( )cos $ $ sen sen cos cos cos
sen cos
α θ θ φ φ θ θ
α α
= ⋅ = − +
= −
r rd d d d
2 21
A A
A A
A A
A A
A A
x rd d d
y rd d d
z rd d
=
=
=
⇒
= ⋅
= ⋅
sen cos
sen sen
cos
$
$
θ φ
θ φ
θ
θ
φ
θ
φ
r
r
E j A
E j Aθ θ
φ φ
ω
ω
= −
= −
Dipolo sobre(θd,φd)
z
r
y
θd
φd
x
α
$rd
12
Rotaciones de Dipolos λ/2
Dipolo según x (θd=π/2 ,φd=0)
cos sen cos
sen sen cos
α θ φ
α θ φ
=
= −2 2 21
( )( )
rA xA
A A x A
A A x Ax
x x
x x
== ⋅ =
= ⋅ = −
$
$ $ cos cos
$ $ sen
θ
φ
θ θ φ
φ φ
E je
rI
jkr
mθ ηπ
πθ φ
θ φθ φ= −
−
−
22
1 2 2
cos sen cos
sen coscos cos
( )rE E E j A A= + = − +θ φ θ φθ φ ω θ φ$ $ $ $
E je
rI
jkr
mφ ηπ
πθ φ
θ φφ=
−
−
22
1 2 2
cos sen cos
sen cossen
Dipolo según y (θd=π/2 ,φd=π/2)
cos sen sen
sen sen sen
α θ φ
α θ φ
=
= −2 2 21
( )( )
rA yA
A A y A
A A y Ay
y y
y y
== ⋅ =
= ⋅ =
$
$ $ cos sen
$ $ cos
θ
φ
θ θ φ
φ φ
E je
rI
jkr
mθ ηπ
πθ φ
θ φθ φ= −
−
−
22
1 2 2
cos sen sen
sen sencos sen
( )rE E E j A A= + = − +θ φ θ φθ φ ω θ φ$ $ $ $
E je
rI
jkr
mφ ηπ
πθ φ
θ φφ= −
−
−
22
1 2 2
cos sen sen
sen sencos
Traslaciones de Antenas
z
θr(θ,φ)^
La expresión de los campos de una antena trasladada se relacionan con los que crea la misma antena centrada en el origen de coordenadas a través del fasor que tiene en cuenta el adelanto o retraso de fase de la onda radiada según la dirección considerada.
( )rE0 θ φ,
( ) ( )r r r
E E e jkr r1 01θ φ θ φ, , $
= ⋅ ⋅
Traslación r1
θr(θ,φ)^
z
y
x
r(θ,φ)^
θr1_
$r r⋅r1
13
dV
rJ
ρ
Conductor EléctricoPerfecto, Plano e Indefinido
dV
rJ
ρ
dV
rJ i
ρ ρi = −
h
h
Resultadosválidos sólo para z ≥0
ρ
ρ ρi
x y z
i x y z
J J x J y J z
J J x J y J z= −
= + +
= − − +
r
r$ $ $
$ $ $
$z
( )rE zt = =0 0
Cargas y Corrientes Imágenes
>< ( )rE zt = =0 0
Teorema de Imágenes en Electrodinámica
Monopolo Vertical sobre Plano de Conductor
><V
I
z
h
2V
I
z
2h
I
D Dmonopolo dipolo= 2Z ZINmonopolo INdipolo=
1
2
( )
( )
DU
P
DU
P
U U
P U d d P
mm
m
dd
d
m d
m m d
=
=
= ≤ ≤
= =
== ∫∫
4
4
0 21
20
2
0
2
π
π
θ π
θ φ θ θ φθ
π
φ
π
, senZ
V
IZINdipolo INMonopolo= =
22
14
Ejemplos de Monopolos Verticales
Monopolos de radiodifusión de Onda Media sobre tierra
Carga Capacitiva
Varillas radiales para reducir pérdidas
ohmicas
Monopolo sobre plano conductor simulado con varillas
Diagrama Típico
Dipolos paralelos a un plano conductor
• Si h<<λ el campo radiado es pequeño (Rin muy pequeña).
• Si h=λ/4 el campo se refuerza en dirección del eje z.
• Con planos conductores finitos la aproximación no es mala si las dimensiones del plano son superiores a λ (dipolos λ/2). Afecta poco al diagrama frontal, pero aparece algo de radiación posterior a causa de la difracción en el borde del plano. Afecta algo más a Zin.
><I
z
h
z
Ih
Ih
15
Dipolo Doblado
• Construido con dos dipolos paralelos conectados por sus extremos formando una espira alargada y alimentado en el centro de uno de los dipolos.
• Se analiza superponiendo dos modos de corriente:– Modo de Línea de Transmisión (no produce campo radiado d<<λ)
– Modo de Antena.
s
L V/2V/2
Ia/2+ +
Ia/2
Modo de Línea
de Transmisión
Modo de
Antena
ZV
IjZ tan k
Lt
tC= =
2
2
V
+
=IIN
V/2V/2
ItIt+
+Zc
Zs
asi s aC =
>>120ln
Dipolo DobladoImpedancia de Entrada
• Para el modo antena la configuración se comporta como un dipolo normal de radio equivalente ae
IV
Z
IV
Z
I IIt
t
aa
IN ta
=
=
= +
2
2 2Z
V
I
Z Z
Z Zint a
t a
= =+
4
2
Cuando el dipolo es resonante,L ≈ λ/2 Z Zin a= ≈ ⋅ =4 4 73 292Ω
Ventajas: Aumenta la impedancia de entrada y la anchura de banda, puesto que cuando Zt se hace inductiva (L/2<λ/4) Za es capacitiva y viceversa.
Z ZV
Ia dipolo L aa
e= =( , )
2
a s ae = ⋅
V/2V/2
Ia/2+ +
Ia/2
V/2+Ia
=
2ae
a= radio de la varilla del dipolo plegado
s
16
Antenas de Cuadro
•Corriente uniforme•Diagrama útil•Rendimiento bajo
•Corriente no uniforme•Diagrama multilobulado poco útil•Rendimiento alto
Distribuciones de Corriente Aproximadas
l<<λAproximación de línea corta en c.c.
l=λ/2
Nulo
Nulo
Máximo
Máximo
Línea larga en c.c.
Espira eléctricamente pequeña: Espira eléctricamente grande:
Antenas de cuadro con corriente uniforme
φ
φ’
r
r’
θ
x y
z
b
( )
( ) ( )
r r r
1 2444 3444
r
Ae
rI r e dl
e
rI x y e bd
jkrjkr r
C
jkrjkb
= ′ ′ =
= − ′ + ′
′
′
−⋅ ′
′
−− ′
−
∫
∫
µ
π
µ
πφ φ
φ
φθ φ φπ
4
4 00
2
$
sen cos$ sen $ cos
$
Potencial:
( ) ( )
( )
$ sen cos $ sen sen $ cos $ cos $ sen $
cos cos
r r x y z b x b y
b
⋅ ′ = + + ⋅ ′ + ′ =
= − ′
rθ φ θ φ θ φ φ
θ φ φ
( ) ( )Ae
rI b e d
I
e d
I
jkrjkb
x
jkb
y
θ
θ φ φπ θ φ φπµ
πθ φ φ φ φ φ φ= − ′ ′ + ′ ′
−− ′
−
− ′
−∫ ∫4 0 0
2
0
2cos [cos sen sen cos ]sen cos sen cos
1 24444 34444 1 24444 34444
( ) ( )Ae
rI b e d
I
e d
I
jkrjkb
x
jkb
y
φ
θ φ φπ θ φ φπµ
πφ φ φ φ φ φ= − − ′ ′ + ′ ′
−− ′
−
− ′
−∫ ∫4 0 0
2
0
2[ sen sen cos cos ]sen cos sen cos
1 24444 34444 1 24444 34444
( ) ( )Ae
rI b e d
jkrjkb
θ
θ φ φπµ
πθ φ φ φ= − ′ ′
−− ′
−∫4 0 0
2cos sen sen cos
( ) ( )Ae
rI b e d
jkrjkb
φ
θ φ φπµ
πφ φ φ= − ′ ′
−− ′
−∫4 0 0
2cos sen cos
( )I I′ =φ 0
17
Análisis de las Antenas de Cuadro
( )
sen
cos
cos
cos
x e
x e j J B
jB x
m
m
jB x
m
m−
−
∫
∫
=
=
2
2 1
0
2
π
ππ
A θ = 0
( )A je
rI b J kb
jkr
φ
µθ=
−
2 0 1 sen
0 5 10 15 200.5
0
0.5
1
x
Función de Bessel
J1(x)
xmax 1.841 5.333 8.536 11.702J1(xmax) 0.582 -0.346 0.273 -0.233Ceros 3.833 7.016 10.175 13.324
Pendiente en el origen: 0,5
Análisis de Antenas de Cuadro
( ) ( )rE j A A
e
rI b J kb
jkr
= − + =−
ω θ φ πη
λθ φθ φ
$ $ sen $0 1Campo:
Polarización LinealEθ = 0
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ei
max( )E0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ei
max( )E0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ei
max( )Ez z z
2πb=4λ
Diagrama multilobuladocarente de interés
2πb=λ2πb=0,1λ
( )kb J kb kb<< ≈11
21 sen senθ θrE
e
rI A
jkr
=−ηπ
λθ φ
2 0 sen $Aproximación de
cuadro pequeñoA b= π 2!Expresión válida para cualquier forma de espira de area A!
18
Cuadro Electricamente Pequeño
( )I z I
a
b
=
<<
<<
0
λ
λ
z
( )E
EMAX
θθ= sen
( ) ( )P U dZ
I k Arad = =∫ θ φππ
, Ω4
00
2 2 2
12D0 3 2=
( )RP
Ik A
Arad
R= = =
220 31200
0
22 2
2
2
λ
( )RP
I I
R
aI l dl
b
aR
b
aRperd
perd S
l S S= = = =∫2 2 1
2 2
2
20
2
0
2
2
π
π
πResistencia de Pérdidas
( )( )
RE a
H asz
z
==
==
ρ
ρ
ωµ
σ2
Rendimiento =+
R
R Rrad
perds rad
Resistencia de radiación
x y
z
bI0
a
rE
e
rI A
jkr
=−ηπ
λθ φ
2 0 sen $ A b= π 2
Cuadros Simples
Mucho menor que la del dipolo de longitud 2πb
Valores típicos del orden de 10-4
restringen su uso a aplicaciones de recepción en baja frecuencia
Cuadros Pequeños Reales
Se obtiene una mayor Rin arrollando n espiras juntas. Para corriente uniforme (n2πb<<λ) vale:
E nI P n I R nA
rad rad∝ ∝ =
0
202 2
2
2
31200λ
Se aumenta también la Rin arrollando las espiras sobre un nucleos de ferrita ya que el valor de k aumenta ( ). Utilizando la Ley de Faraday, la tensión en bornas de la antena vale:
R nA
rad eff=
31200
2
2
µλ
La permeabilidad efectiva del material depende de la permeabilidad intrínseca y de su geometría. En la figura se relaciona el factor D de demagnetización con la forma del núcleo.
( )µ
µ
µeff D
=+ −
int
int1 1
La impedancia de entrada de estos cuadros es siempre inductiva: Zin=Rin+jωL
L nbb
aeff=
−
µ µ0
16
2175ln .
Vd
dtnB dS j nHAS eff= − ⋅ = −∫∫r r
ωµ µ0
k eff= ω µ ε µ0 0
µ eff a≈ 10 102 3
19
Cuadro de Alford
Es un cuadro especial de longitud de circunferencia del orden de λ recorrido por una corriente prácticamente constante. Su génesis y distribución de corriente son los de la figura. El rendimiento es próximo a 1, lo que permite utilizarla en transmisión (Rin ≈ 50 Ω).
+-
I∆
2l∆
I(x)
x
+-
I
L > λ/2
IIin=2I
Hélices
• La geometría de la hélice se caracteriza por:– D= Diámetro de la hélice (diámetro del cilindro sobre el que se arrolla)– C= Perímetro del cilindro= πD– S= Paso (Espaciado entre vueltas)= πD tanα
– α= Angulo de Inclinación= atan(S/C)– L= Longitud de una vuelta– N= Número de vueltas– A= Longitud Axial= NS– d= Diámetro del conductor de la hélice
• Opera en dos modos de radiación:– Modo Normal– Modo Axial
d
D
S
A
C=πD
S
α
L
20
HélicesModo Normal de Radiación
• En este modo la hélice es eléctricamente pequeña (NL<<λ) y se caracteriza por:– La corriente se puede considerar aproximadamente constante en toda la hélice.
– El campo radiado por la hélice es la suma del de:• N cuadros pequeños situados en el plano XY.• N dipolos cortos según z.
– El diagrama (senθ) es así independiente del número de vueltas (N).
– Directividad=1,5– La polarización es elíptica de relación axial:
z
x y
D/2
SI
I
ARE
E
S
D= =
θ
φ
λ
π
22 2
φθη+θθ
πωµ=
−−
ˆsenr4
e
4
DIkˆsen
r4
eISjNE
jkr22
jkrr
Si 2Sλ=π2D2⇒ Polarización Circular
Modelo de Radiación de 1 vuelta
HélicesModo Axial de Radiación
• Este modo de radiación se da para hélices eléctricamente grandes, de dimensiones 3/4<C/λ<4/3 y α ≈ 12º-15º, y se caracteriza por:– La corriente es una onda progresiva sobre la hélice: I(l)=I0exp(-jkl)
– Funciona en banda ancha: fsup/finf=1,78– La impedancia de entrada es aproximadamente real, de valor:
– La polarización nominal es circular del mismo sentido de giro que el arrollamiento.
– Diagrama directivo tipo array endfire de Hansen-Woodyard, con un nivel de lóbulo secundario de -9 dB.
– Directividad:
– Anchura de Haz:
Ω≈λ
≈ 140C
140R in
λ≈
λ
λ≈
A15
NSC15D
2
I(l)grados
A
52
AC
52BW dB3
λ≈
λλ≈−
21
Ejemplos de Hélices Reales
• El objetivo es conseguir que la potencia disponible en el transmisor se entregue integra a la antena de forma equilibrada sobre sus dos brazos.
• Hay dos consideraciones:– La adaptación a la línea de transmisión (Zin=ZC)
– La distribución de la corriente de excitación sobre la antena
Transmisoro Receptor
RedAdaptadoraZC
Zin Zant
z
I(z)
z
I(z)
I1 I2I1=I2 I1 I2
I1 ≠ I2
Equilibrada No Equilibrada
Alimentación de Dipolos
22
Técnicas de Adaptación
• Stubs.– Hasta 3 stubs
• Transformadores de λ/4– Simples:
– Multiples :Binómial,Chebychef
lineainstub ZZZ =
( )lk
ZZ
ZZ
n2jexp n1n
n1nnN
0nnin
∆=θ
+
−=ρ
θ−ρ=Γ +
+
=
∑
1 2 N ZLZ0
( )( )∑
=
− θ−−+
−=Γ
N
0n0L
0LNin n2jexp
!n!nN
!N
ZZ
ZZ2
( )( )
( )mN
mN
0L
0Lin secT
cossecT
ZZ
ZZjNexp
θ
θθ
+
−θ−=Γ
l
ds
ZLZ0
Binomial:
Chebichef:
Técnicas de Adaptación
• Adaptador en T (T-Match) • Adaptador en Γ (Gamma Match)
l
2a 2a’ s
CCl’/2 l’/2
Za2Zt
(1+α):1C
C
Rin Za2Zt
(1+α):1C
Rin
l
2a s
C l’/2
2a’
23
LíneaCoaxialI1=I2
I3
I1I2
I2-I3 I1
Alimentación de DipolosBalunes (Simetrizadores)
• Transforman una línea balanceada a no balanceada: “balun” = balanced to unbalanced.
• Alimentan de forma equilibrada estructuras simétricas, como el dipolo, con líneas de transmisión asimétricas, como los cables coaxiales. – En la figura el dipolo conectado directamente al coaxial no se excita de forma equilibrada a causa de la corriente I3 que circula por el exterior del coaxial hacia tierra.
• El diseño fundamental de un balun trata de obtener un desfase de 180º, con pérdidas mínimas e impedancias iguales y balanceadas– El diseño básico consiste en dos líneas de 90º de desfase que proporcionan un desfase de 180º, por lo que implica el uso de líneas de λ/4 y λ/2.
• Físicamente consiste también en cancelar la que hemos llamado corriente I3.
Alimentación no equilibrada
Balun LC
A la frecuencia de trabajo
24
Balunes de Baja Frecuencia
Balun de elementos concentrados
Balunes tipo transformador
Bálunes de alta impedancia
Balun en Línea Coaxial
λ/4
25
Ejemplos prácticos de balunes
Balun “Sleeve”o “Bazooka”
λ/4
L
SecciónCoaxial
Cortocircuito
I3=0
I2 I1
I1I2
Por el exterior del conductor, si existen, las corrientes son iguales y
se cancelan
h≈λ/4
L
Secciónbifilar
Cortocircuito
Balun Partido
I3=0
I2 I1
Balun utilizado en paneles de dipolos
h=λ/4
a
b
Zc ZIN
Circuito Equivalente
Z jZ khBALUN b= tg
Para h=λ/4 => ZBALUM= ∞
Aproximación de ZIN aplicando imágenes:V Z I Z I Z I Z I
ZV
IZ ZIN
1 11 1 12 2 11 1 12 1
1
111 12
= + = −
= = −
Para frecuencias h ≠λ/4, este balum continua simetrizando las corrientes, aunque I3 ≠0
L
LíneaCoaxial
Plano Reflector
Zb
Zc
I3=0a b
Soporte
I1
I2=-I1
26
Balun en Línea Coaxial
Balun en Microtira
Estructura de línea de longitud de λ/4 con anchos de banda de una octava siempre y cuando el acoplamiento entre las líneas sea suficiente alta (problema grave en la figura 7)
27
Balun Impreso de Marchand
Balun de Marchand (descrito por Nathan Marchand en 1944) es más tolerante al modo par (de acoplamiento bajo) y tiene una banda ligeramente mayor
Método de los MomentosPlanteamiento de la Ecuación
• Se plantea la ecuación que cumple las condiciones de contorno sobre los hilos:
r r rE E Etangencial erficie conductor tangencial
impresotangencialdispersado
sup= + = 0
( ) 0EEn dentrofuera =−×rr
dispersadoimpresofuera EEE
rrr+=
sss AjE Φ∇−ω−=rr
( ) ( )∫∫ ′
′−
′π
µ=
S ss sd
R
jkRexpJ
4A l
rr
( ) ( )∫∫ ′
′−
′π
ε=Φ
S
s sdR
jkRexpsq
4IZE dentro ω=r
Conductor Perfecto:
n
l
dispersadoEr
impresoEr
Zω
28
Modelado por Hilos
• Cualquier estructura se puede modelar como un volumen delimitado por hilos, donde prioritariamente deban circular las corrientes. La separación entre los hilos es tal que con el grosor de los hilos dado se “recubra” toda la superficie del cuerpo.
Ejemplo: “modelado por hilos” de un F4.
Simplificación 1: Ecuación de Hallen
• Ecuación integral para las antenas de hilo recto delgadas (2a<<λ) y muy largas (2a<<l).
+
∂
∂
εωµ= z
2
2z
2
00z Ak
z
A
j
1E
( )rJ J z zs sz= ′ $
z
ρ
Js Js
σ= ∞
(µ0,ε0)
r’r
0Akz
A0E z
22z
2
z =+∂
∂⇒=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zksinCzkcosBzAzAzAzJzJ 11zzzzz ′+′=′⇒′−′⇒′−=′
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫ ′′−′ωε
−+=′π
−′
−
z
0
iz11
2
2 z zdzzksenzEk
jkzsinCkzcosBzd
R4
jkRexpzI
l
l
Por simetría respecto z=0 ⇒ C1=0Condiciones de frontera I| z=±l/2 =0 ⇒ B1
( ) ( )( )∫ ′′−′ωε
−=⇒−=z
0
izz
izz zdzzksenzE
k
jEEE
izz EE −=
( ) 22 azzR +′−=
29
Discretización de la Ecuación de Hallen
( ) ( ) ( )zksin2
V
jkkzcosBzd
R4
jkRexpzI 1
2
2
N
0m
m
m
ωε
π=−′
−′∫ ∑
−=
l
l
Modelo de Excitación
N
2nzl
= N+1 puntos
=
′+∑
= N
2nksin
j2
kV
N
2kncosBLI 1
N
0mnmm
ll
ωµ
( )∫− ′
−′=
2
2
m
nm zdR4
jkRexpzL
l
l π
( ) 02IN
0m
mm =∑
=
l
Discretización de la Ecuación de Hallen
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( )( )zksin
2
V
0zzdzzksenz2
V
0zzdzzksenz2
V
zdzzksenzE
0
0z
0
iz =
<′′−′
<′′−′=′′−′
∫
∫∫
−
ε
ε
δ
δ
Sistema de Ecuaciones
( ) ( ) εεδ ≤′≤−′=′ zz2
VzEi
Distribución de Corrientes
( ) ∑=
=N
0m
m
m zIzI
30
Simplificación 2: Ecuación Integral de Pocklington
• Ecuación integral para las antenas de hilo recto delgadas (2a<<λ). Situando el hilo sobre el eje z:
E j Azz z= − −ω
∂Φ
∂
Condición de Lorentz:
Expresión de Campo
∂
∂ωµ ε
A
zjz = − 0 0Φ
Ej
A
zk Az
zz= +
1
0 0
2
22
ωµ ε
∂
∂
Solución para elelemento de corriente superficial:
dAe
r rJ dSz
jk r r
sz=− ′
− − ′µ
π0
4
r r
r r
z
ρ
Js Js
σ= ∞
(µ0,ε0)
2a
r’r ( )
( )dEj
r r
zk r r J dSz sz=
′+ ′
1
0
2
22
ωε
∂ ψ
∂ψ
r rr r,,
( )( )E
j
r r
zk r r J dSz
sszS
=′
+ ′
∫∫
1
0
2
22
ωε
∂ ψ
∂ψ
r rr r,, '
( )ψπ
r rr r
r r
r re
r r
jk r r
, ′ =− ′
− − ′
4
Campo dispersadopor todo el hilo:
( )rJ J z zs sz= ′ $
Ecuación Integral de Pocklington
• Más explícitamente:
• Si a<<λ: 1) Campo nulo sobre el eje z
2) Corriente uniforme en φ’
• La condición de contorno:– Campo impreso:
– Campo dispersado:
( )( ) ( )E
j
r r
zk r r J z adz dz
sszL
L
C=
′+ ′
′ ′ ′ ′
−∫∫1
0
2
22
2
2
ωε
∂ ψ
∂ψ φ φ
r rr r,, ,
PR
-L/2
L/2
z
a
Js
c
PR
-L/2
L/2
z
a
Js
c
( )R r r z z a= − ′ = − ′ +r r 2 2
( )( ) ( )E
j
z z
zk z z I z dzz
s
L
L=
′+ ′
′ ′
−∫1
0
2
22
2
2
ωε
∂ ψ
∂ψ
,,
E Ezs
zi+ = 0
Ezi
Ezs
( )( ) ( ) ( )
1
0
2
22
2
2
j
z z
zk z z I z dz E z
L
L
zi
ωε
∂ ψ
∂ψ
,,
′+ ′
′ ′ = −
−∫
P
R
z
a
I
z’
31
Ecuación Integral de 2 Potenciales (EFIE)
( ) 0EEn dentrofuera =−×rr
( ) 0EEˆdentrofuera =−⋅
rrlAproximación
de Hilo Fino
dispersadoimpresofuera EEE
rrr+=
sss AjE Φ∇−ω−=rr
( ) ( )∫ ′′′π
µ=
C
s dGI4
A lllr
( ) ( )∫ ′′′π
ε=Φ
C
s dGq4
lll
IZE dentro ω=r
( ) ( )ll
l Id
djq
ω=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ′
−
′
′
ωε+′⋅ωµ−=⋅−ω C
a
ai dR
jkRexp
d
d
d
dI1IˆjEˆIZ l
ll
llllll
a22
ee RararR =−≈−=rr
( ) ( ) ( )
a
a
C R
jkRexpdC
R
jkRexp
a2
1G
−≈
−
π= ∫l
n
l
dispersadoEr
impresoEr
Zω
2a
rrr ′
r err
ar
rrR ′−=rr
rrR ′−=rr
Evaluación Numérica
• Las incógnitas son las corrientes que descritas como una suma de funciones base fi(s) transforma la e.i. en un sistema lineal de ecuaciones donde las incógnitas son las corrientes Ii.
• El campo dispersado se conoce en función de las corrientes.
( ) ( )I s I f si ii
′ = ′∑
∆s1
I1I2
∆sN
( ) ( ) ( )
( ) ( )mimpreso
z mn
n
mimpreso
C mn
nn
zEzdz,zKI
zEzdz,zKzfI
n
−=′′
−=′′′
∫∑
∫ ∑
′∆
( ) ( ) ( )I z K z z dz E zimpreso′ ′ ′ = −∫ ,
32
Ajuste por Puntos (Point Matching)
Función Integral: ( ) ( ) ( )I z K z z dz E zimpreso′ ′ ′ = −∫ ,
Corrientes: ( ) ( )I z I f zn nn
′ ≈ ′∑
( )f zz z
fuerann
′ =′ ∈ ′
1
0
∆
Sistema de Ecuaciones: ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
I f z K z z dz E z
I K z z dz E z
I Z V
Z K z z dz
V E zsalvo
z
n nn
mC
impresom
nn
mz
impresom
nn
mn m
mn mz
mimpreso
malimentacion
n
n
′ ′ ′ = −
′ ′ = −
=
= ′ ′
= − =
∑∫
∑ ∫
∑∫
′
′
,
,
,
∆
∆
∆
0
1
∆z1
I1I2
Solución del Sistema m=n:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]Z I V I Z Vmn n m n mn m⋅ = ⇒ =−1
Función Base Tipo Pulso:
∆zNzmPunto mediodel segmento m
Zmn = Campo Ez producido en zm por un dipolo corto ∆zn’ recorrido por 1 A
a
∆zn’
zm
Método de los Residuos Promediados
Función Integral:Se promedia el Residuo mediante las funciones de peso Wm ( ) ( )W z R z dzm =∫ 0
Corrientes:Se desarrollan en serie de funciones base ortogonales ( ) ( )I z I f zn n
n
′ ≈ ′∑
Función Residuo: R E Etangencialimpreso
tangencialdispersado= +
r r
Sistema de Ecuaciones: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )W z I f z K z z dz dz W z E z dzm n nCn
C mimpreso
C′ ′ ′
+ =
′∫∑∫ ∫, 0
( )W zz z
fueramm
=∈
1
0
∆Función de Peso:
( )f zz z
fuerann
′ =′ ∈ ′
1
0
∆Función Base: ( ) ( )
( )
( )
I Z V
Z z z K z z dz
Z Z z z dz
V E z dz
nn
mn m
n z
mn nz
mimpreso
z
n
m
m
∑∫
∫∫
=
′ = ′ ′
= ′
= −
′, ,
,∆
∆
∆
Con pulsos:
Zmn = Tensión inducida en el dipolo ∆zm en c.a. cuando se alimenta el dipolo ∆zn’ con 1 A
(Vm=0 excepto Vm alimentación=1 V)
33
Método de Galerkin
• El Método de los Momentos se denomina de Galerkin cuando utiliza la misma función como base y peso.
• Otras funciones utilizadas: Armónicos cosenoidales y polinomios extendidos sobre todo el hilo, triángulos, etc.– Una buena implementación se consigue empleando funciones triangulares sinusoidales:
Se suele tomar zn+1-zn=zn-zn-1=∆zn para todo n (segmentación regular).
( )( )( )( )( )
( )( )( )( )( )
F z zk z z
k z zz z z
F z zk z z
k z zz z z
nn
n nn n
nn
n nn n
=−
−≤ <
=−
−≤ <
−
−
−
+
+
+
$sen
sen
$sen
sen
1
11
1
11
zn zn+1
zn+2
zn+3
zn-1zn-2zn-3
In In+1 In+2In-2 In-1
Modelado de la Fuente Impresa
• Modelo de generador “delta gap”– Una tensión V entre los extremos de las varillas del dipolo crea un campo impreso confinado en ese hueco:
• Modelo del Generador tipo “frill”.– Supone unas corrientes magnéticas equivalentes a una excitación de un monoplo mediante un coaxial.
• Los resultados finales obtenidos son prácticamente iguales
zVE i δ−=r
δ
z
φδ−=×−= ˆVEnM ir
( )( ) ( )
222
221
2
2
1
1
eje
i
bzR
azRz
R
jkRexp
R
jkRexp
abln2
VE
+=
+=
−−
−−≈
r
z
M
a
b
34
Uniones entre hilos
• 1ª Ley de Kirchov– Método de Chao y Strait
• Redistribución de carga– Método de Sayre y Curtis
– Imponen condiciones de continuidad a la derivada de la corriente (la carga)• Sayre: La densidad de carga lineal sobre los segmentos del nodo es constante.
• Curtis: La densidad superficial de la carga es constante.
– Se imponen nuevas condiciones en la matriz de impedancias.Hilo 2
Hilo 3
Hilo 1I10
I11I12
I30
I31I32
I33I34
I20
I21
I22
I23 I2
I3
I1
I1=-I20I2=I20-I30I3=I30I1+ I2 + I3 =0
Método de la f.e.m. inducida
• Permite obtener las expresiones de Zmn con corrientes triangulares sinusoidales.– Se pueden utilizar las expresiones clásicas de impedancias mutuas entre dipolos paralelos recorridos por corrientes sinusoidales (vease Elliot pp 325 y ss.)
• Campo de un dipolo recorrido por corriente sinusoidal.
( ) ( )I z I k l zM= −sen 1
( )
E j Ie
R
e
Rkle
r
E j Iz l e
R
z l e
Rkl
z e
r
z m
jkR jkR jkr
m
jkR jkR jkr
= − + −
=−
++
−
− − −
− − −
30 2
30 2
1 2
1 2
1 21
1
1
1
21
cos
cosρρ ρ ρ
I(z) Para cualquier punto P:
35
Impedancias Mutuas entre Dipolos Paralelos
2l12l2
Ez1
ξξξξ2222
ξξξξ1111
Posición
del centro
r
R2
R1
( )
( )
( )
r y z
R y z l
R y z l
= + +
= + + −
= + + +
22
2
12
2 1
2
22
2 1
2
ξ
ξ
ξ
Tensión en c.a. en 2 (Método fem):
( )( ) ( )V
II E dc a zl
l
22
2 2 1 2 2
1
0 2
2
. . =−
−∫ ξ ξ ξ
( )Z
V
Ic a
212
1 0= . . y sustituyendo:
( )Zj
kl kl
e
R
e
Rkle
rk l d
jkR jkR jkr
l
l
211 2 1 2
1 2 2 2
302
1 2
2
2
= + −
−
− − −
−∫sen sencos sen ξ ξ
En el programa MOMENTOS se utiliza esta formulación para calcular las autoimpedancias ylas impedancias mutuas entre los diversos segmentos de los dipolos.
Gráficas de Impedancias Mutuas
z=y
36
Antenas Yagi
• Son antenas construidas con dipolos paralelos , en las que sólo se alimenta uno (“excitador”, activo) de forma directa, haciéndolo los demás (“parásitos”, cortocircuitados) a través del acoplamiento mutuo con el primero.
• Yagi de 2 elementos.
D. Parásito: - l2>l1 “Reflector”
- l2<l1 “Director”
D. Activo “Excitador”
2l2
2l1
( )r r r rE E E
I
Ie ETjkd
d= + ≈ +
⋅1 2
2
1
1 cos ,θ θ φ
z
xd cosθ
θ
dI1
I2
Yagi de 2 elementos
V Z I Z I
Z I Z I1 11 1 12 2
21 1 22 20
= +
= +
I
I
Z
Z2
1
12
22
= −
ZV
IZ
Z
ZIN = = −1
111
122
22
“Director”
d=0,12λλλλ
Cancela
el Campo
Posterior
al activo
“Reflector”
d=0,16λλλλ
Cancela
el Campo
Posterior
al reflector
Variación lenta con l2/λλλλ
Variación rápida con l2/λλλλ
37
Yagi de 2 elementosDiagramas Plano H
Plano XZ: Ed(θθθθ,φφφφ=0)=cte; F(θθθθ,φφφφ=0)=|1+I2/I1 exp(jkdcosθθθθ)|
Reflector
Plano E (Plano YZ): Estos diagramas deben multiplicarse por el diagrama propio del dipolo λ/2
z -z
Director
z
Directividad=7,4 dB Directividad=7 dB
Otras configuraciones de Yagis
Como elemento activo es frecuente utilizar un dipolo doblado para aumentar la impedancia de entrada y el ancho de banda
Yagi de doble reflector
R
R
A D D D
38
Otras configuraciones de Yagis
Yagi con reflector diédrico
A D D D
3λ/4 a λ
Varillas de l ≈ λ
Otras configuraciones de Yagis
Estos elementos de cuernos aumentan el ancho de banda
Yagi de cuernos
39
Ejemplos de Diseño
2a/λ=
D= D0=2,16+D dBi
Ejemplos de Diseño
40
Ejemplo de Diseño- Yagi de 27 Elementos
La corriente se mantiene constante sobre los directores porque los excita la propia onda “endfire” radiada.
D0 ≈ 22 dB
Antenas Logarítmico-Periódicas
• Principio de Duhamel (1955)– “Si una estructura se hace igual a si misma para una valor particular del factor de escala τ, tendrá las mismas propiedades para las frecuencias f0, f1=f0/τ, f2= f0/τ
2, … fn=f0/τ
n
• Principio del Periodo Logarítmico– Los parámetros expresados en función del logaritmo de la frecuencia (log fn = log f0 – log τ) serán función periódica del periodo log τ.
– Las dimensiones están relacionadas por el factor de escala τ, pero a nivel práctico se suele tomar sn y dn constantes
– Otros dos parámetros que intervienen en la antena
• Ángulo de crecimiento α
• Factor de espaciado relativo entre dipolos σ
n
1n
1
2
n
1n
1
2
n
1n
1
2
n
1n
1
2
s
s
s
s
d
d
d
d
R
R
R
R1 ++++ ========τ l
l
l
l
( )2tan4
1
2
RR
1n
n1n
α
τ−=
−=σ
+
+
l
41
Antenas Logarítmico-Periódicas
A:T 81
