In here, we will give some problem about:

1. Number Theory

2. Algebra

3. Geometry

4. Probability

1 Number Theory

1.1 Exercise

1. Tentukan angka terakhir dari 777333

2. Tunjukkan bahwa 55552222 + 22225555 habis dibagi oleh 7

3. Tentukan sisa 31990 jika dibagi 41

4. Tentukan angka satuan bilangan 19971991

5. Berapakah sisa pembagian 434343oleh 10

1.2 Answer

1. Mencari angka terakhir = menentukan sisa pembagian oleh 10= 777333mod(10)= 7333mod(10)= (7710 + 7)333mod(10)= 72166+1mod(10)= (72)1667mod(10)= (49)166x7mod(10)= 92837mod(10)= (81)837mod(10)= 1837mod(10)= 7mod(10)jadi angka terakhir dari 777333 adalah 7

2. Bukti : 55552222 + 22225555mod(7)= (7793 + 4)2222 + (7317 + 3)5555mod(7)= 42222 + 35555mod(7)= (43740+2) + (331851+2)mod(7)= (43)74042 + (33)185132mod(7)= 6474016 + 2718519mod(7)= 174016 + (−1)9mod(7)= (16− 9)mod(7)= 7mod(7)= 0 (terbukti)

1

3. 31990mod(41)= 34x497+2mod(41)= (34)497x32mod(41)= (2x41− 1)497x9mod(41)= (−1)497x9mod(41)= −9mod(41)= (41− 9)mod(41)= 32mod(41)Jadi sisa 31990 dibagi oleh 41 adalah 32

4. angka satuan 19971991= sisa pembagian 19971991 oleh 10= (199x10 + 7)1991mod(10)= 71991mod(10)= 74x497+3mod(10)= (74)497x73mod(10)= (2421)497x343mod(10)= 1x3mod(10)= 3mod(10)Jadi angka satuan 19971991 adalah 3

5. Berapakah sisa pembagian 434343oleh 10 4343 = (11.4− 1)43mod(4)

= (−1)43mod(4)= −1mod(4)= (4− 1)mod(4)= 3mod(4)Berarti 4343= 4k + 3434343

= 434k+3mod(100)= (1849)2k.433mod(100)= (49)2k.433mod(100)= (2401)k.79507mod(100)= 7mod(100)jadi sisa pembagian 434343

oleh 100 adalah 7

2 Algebra

2.1 Exercise

1. Tentukan banyaknya akar-akar bilangan bulat dari persamaan 4x4−15x2+5x + 6 = 0

2. Diketahui akar-akar persamaan x3 − 2x2 − 3x + 1 = 0 adalah x1,x2 danx3. Tentukanlah nilai 1

x1+ 1

x2+ 1

x3

3. Diketahui akar-akar persamaan x3 − 3x2 + 4x + 5 = 0 adalah x1,x2 danx3. Tentukanlah nilai x3

1 + x32 + x3

3

4. Diketahui akar-akar persamaan x4 − 8x3 + ax2 − bx + c = 0 membentukbarisan aritmetika dengan beda 2. Tentukan nilai a, b, dan c

2

2.2 Answer

1. Faktor-faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, 6x = 1

4 0 −15 5 64 4 -11 -6

4 4 −11 −6 0

x1 = 1 merupakan akar-akar persamaanx = −2

4 4 −11 −6-8 8 -6

4 -4 −3 0

x2 = −2 merupakan akar-akar persamaanakar-akar yang lainnya diperoleh dari persamaan 4x2 − 4x− 3 = 0(2x + 1)(2x− 3) = 0x3 = −1

2 , x4 = 32

jadi banyaknya akar-akar persamaan 4x4 − 15x2 + 5x + 6 = 0 adalah 2

2. x3 − 2x2 − 3x + 1 = 0x1x2 + x1x3 + x2x3 = (−1)2 a3−2

a3= −3

1 = −3x1x2x3 = (−1)3 a3−3

a3= −1

1 = −1jadi:1x1

+ 1x2

+ 1x3

= x1x2+x1x3+x2x3x1x2x3

= −3−1 = 3

3. x3 − 3x2 + 4x + 5 = 0x1 + x2 + x3 = (−1)1 a2

a3= (−1)−3

1 = 3x1x2 + x1x3 + x2x3 = (−1)2 a1

a3= 14

1 = 4

x21 + x2

2 + x23 = (x1 + x2 + x3)2 − 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = 32 − 2(4) = 1

x3 − 3x2 + 4x + 5 = 0x3 = 3x2 − 4x− 5

x31 = 3x2

1 − 4x1 − 5x3

2 = 3x22 − 4x2 − 5

x33 = 3x2

3 − 4x3 − 5

x31 + x3

2 + x33

= 3(x1(2 + x22 + x2

3 − 4(x1 + x2 + x3)− 15

3

= 3(1)− 4(3)− 15= −24

4. misalkan akar-akar persamaan x1 = p, x2 = p + 2, x3 = p + 4, x4 = p + 6x1 + x2 + x3 + x4 = 8p + (p + 2) + (p + 4) + (p + 6) = 8,makap = −1didapat x1 = −1, x2 = 1, x3 = 3, x4 = 5x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = a−1− 3− 5 + 3 + 4 + 5 + 15 = a,makaa = 14x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = b−3− 5− 15 + 15 = bmakab = −8x1x2x3x4 = c−15 = cjadi a = 14, b = −8, c = −15

3 Geometry

3.1 Exercise

1. Sebuah segitiga mempunyai alas yang panjangnya 3 cm lebih pendek daritingginya dan luasnya kurang dari 27cm2. Jika tinggi segitiga itu t cmmaka...

2. Dari selembar karton yang luasnya 10dm2 akan dibuat selimut tabungyang jari-jari alasnya 14 cm dan tingginya 10cm. Dengan π = 22

7 , luassisa karton adalah...

3. Seorang anak berdiri di suatu tempat A di tepi sungai yang lurus. Iamengamati dua pohon B tepat diseberang sungai. Pohon B tepat dise-berang A. Jarak pohon B dan C adalah 8

√6 meter dan besar sudut

BAC = 30o. Lebar sungai adalah...

4. Trapesium ABCD, DC ‖ AB. T titik potong perpanjangan AD dan BC.Panjang TA adalah...

3.2 Answer

1. L < 2712(t− 3)t < 27t2 − 3t < 54t2 − 3t− 54 < 0(t− 9)(t + 6) < 0karena t > 0 maka haruslah t− 9 < 00 < t < 9

2. sisa = luas karton-luas selimut= 10dm2 − 2πRt= 1000cm2 − 2x22

7 x14x10cm2

= 1000cm2 − 800cm2

= 120cm2

4

3. tan300 = 8 6AB

33 = 8(2)(3)

AB

AB = 24√

2

4. misalkan TD = xx9 = x+8

1515x = 9x + 726x = 72, maka x = 12TA = x + 8 = 12 + 8 = 20

4 Probability

4.1 Exercise

1. Perempat final Champions 2010 diikuti 8 team A,B,C,D,E,F,G dan H.Setiap team mempunyai peluang 1/2 untuk menuju ke babak berikutnya.Peluang kejadian A bertemu G di final dan pada akhirnya A juara adalah...

2. Misal dadu pertama munculnya angka a dan dadu kedua memunculkanangka b. Maka kemungkinan-kemungkinan yang akan didapatkan jikaa dan b adalah angka-angka pada dadu yang saling bertolak belakangadalah ...

3. Berapa banyaknya cara Rizky menuliskan bilangan 6 angka sama denganbanyaknya cara menyisipkan dua angka 1 pada bilangan 2002 (termasukangka pertama dan sesudah angka terakhir)?

4. Berapa banyak cara menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengan ke-dua T tidak berdekatan ?

4.2 Answer

1. Perempat final Champions 2010 diikuti 8 team A,B,C,D,E,F,G dan H.Setiap team mempunyai peluang 1/2 untuk menuju ke babak berikutnya.Peluang kejadian A bertemu G di final dan pada akhirnya A juara adalah(12)5= 1

32

2. Misal dadu pertama munculnya angka a dan dadu kedua memunculkanangka b. Maka kemungkinan-kemungkinan yang akan didapatkan jikaa dan b adalah angka-angka pada dadu yang saling bertolak belakangadalah (a,b) = (1, 6), (2, 5), (3, 4), (6, 1), (5, 2), (4, 3) jadi 6

36 = 16

3. Berapa banyaknya cara Rizky menuliskan bilangan 6 angka sama denganbanyaknya cara menyisipkan dua angka 1 pada bilangan 2002 (termasukangka pertama dan sesudah angka terakhir)?15 cara

4. Berapa banyak cara menyusun huruf-huruf MATEMATIKA dengan ke-dua T tidak berdekatan ? 120960

5