REGRESI NON LINIER MODEL LOGISTIK

MAKALAH

Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Analisis Regresi

yang dibina oleh Ir. Hendro Permadi, M.Si

Oleh:

Agung Dian Pribadi 308312417494

Istiqomah 308312417478

Izza Nur Hayati 408312411948

Mega Ervannanda Putri 308312417503

Natalia Ambarukmi 308312417493

Wulandari Kusumastuti 308312410092

UNIVERSITAS NEGERI MALANG

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGATAHUAN ALAM

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

OKTOBER 2011

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam sebuah penelitian, sering terdapat data yang berpasangan (X,Y).

Data tersebut bisa jadi diperoleh dari sebuah percobaan terhadap peubah X

sedangkan respon yang terjadi dicatat sebagai peubah Y. Hal menarik yang bisa

disimpulkan dari data yang berpasangan adalah tingkat keeratan hubungan antara

X dan Y serta bentuk hubungan fungsionalnya.

Pada umumnya telah diketahui bahwa persamaan Regresi Linier ditulis

sebagai: Y = + xi + i , i = 1, 2, 3, ..., n. Dengan kata lain y linier terhadap

dan . Dan dijelaskan bahwa x adalah variabel bebas dan y adalah variabel

terikatnya, sedangkan adalah error atau kesalahan atau galatnya. Jika setelah

diuji ternyata bentuk Regresi Linier ditolak, maka perlu mencari Regresi y atas x

yang bentuknya non linier atau lengkung.

Berbeda dengan Regresi Linier pola yang dibentuk oleh pasangan data

membentuk garis lurus, akan tetapi dalam Regresi Non Linier akan membentuk

seperti kurva. Dan bentuk-bentuk tersebut akan didekati oleh suatu bentuk fungsi,

yang secara garis besar dibedakan 2 (dua) macam, yaitu fungsi polinomial dan

fungsi khusus. Di dalam bentuk polinomial terdiri dari polinomial pangkat k,

polinomial pangkat dua (kuadratik), dan polinomial pangkat tiga (kubik).

Sedangkan di dalam bentuk khusus terdiri dari eksponensial, geometri, logistik,

power, sigmoid, dan logaritmik.

Dalam makalah ini akan dibahas Regresi Non Linier sederhana bentuk

logistik dengan permasalahan penjualan suatu produk dari mulai diproduksi

sampai produk tersebut berumur 24 bulan (2 tahun). Seperti pada umumnya,

semakin lama memproduksi suatu produk, maka akan semakin naik pula

keuntungan yang didapatkan. Hal ini dapat dinyatakan dalam bentuk kurva

dengan Model Logistik.

1.2 Rumusan Masalah

Dari latar belakang yang telah dikemukakan di atas, diperoleh 3 (tiga)

rumusan masalah yaitu:

1. Bagaimana model Regresi dan persamaan regresi yang diperoleh

berdasarkan data penjualan suatu produk selama 24 bulan ( 2 tahun)?

2. Bagaimana pendugaan regresi yang berbentuk Y = (abx)

-1 ?

3. Bagaimana pengujian model regresi, koefisien regresi, dan asumsi analisis

regresi?

1.3 Tujuan

Dari rumusan masalah yang telah dikemukakan di atas, diperoleh 3 (tiga)

tujuan yaitu:

1. Untuk mengetahui model Regresi dan persamaan regresi yang diperoleh

berdasarkan data penjualan suatu produk selama 24 bulan ( 2 tahun).

2. Untuk mengetahui pendugaan regresi yang berbentuk Y = (abx)

-1.

3. Untuk mengetahui pengujian model regresi, koefisien regresi, dan asumsi

analisis regresi.

BAB II

KAJIAN TEORI

2.1 Regresi Logistik

Regresi Logistik adalah bagian dari analisis regresi yang digunakan

ketika variabel dependen (respon) merupakan variabel dikotomi, yaitu variabel

yang biasanya terdiri dari 2 (nilai) yang mewakili kemunculannya.

Tidak seperti regresi linier, regresi logistik tidak mengasumsikan

hubungan antara variabel independen dan dependen secara linier. Regresi logistik

merupakan regresi non linier dimana model yang ditentukan akan mengikuti pola

kurva.

2.2 Pendugaan Parameter Model Regresi Logistik

Suatu model regresi dikatakan non linier jika tidak berbentuk seperti:

y = 0 + 1x + . Suatu model persamaan non linier yang dapat ditransformasi ke

dalam bentuk linier, maka model tersebut dapat dikatakan linier. Jika suatu data

yang diberikan hanya dapat disajikan melalui kurva regresi non linear, maka kita

harus menentukan bentuk kurvanya dan menduga parameternya. Maka dalam

makalah ini akan dibahas transformasi model logistik ke dalam bentuk linier.

Bentuk paling sederhana dalam Model Regresi Logistik adalah sebagai

berikut:

Y = (abx)

-1

dengan a dan b merupakan parameter yang harus diduga dari data. Model regresi

logistik di atas akan diubah menjadi bentuk linier,

Y = (abx)

-1

⇔ log Y = log (ab

x)

-1

⇔

⇔

⇔

Jadi, bentuk linier dari model regresi logistik Y = (abx)

-1 yaitu:

Dalam hal ini linear dalam x dan log Y.

Kemudian dimisalkan bahwa log Y = Y*, - log a = b0 , - log b = b1 , maka

diperoleh bentuk liniernya yang lebih sederhana yaitu:

Y* = b0+ b1X

Sementara, dugaan untuk b0 , b1 pada bentuk linier Y* = b0+ b1X adalah

sebagai berikut:

XbYb 1

*

0 dan

22

**

1)( XXn

YXXYnb

Selanjutnya untuk memperoleh koefisien a dan b dapat dilakukan dengan cara

sebagai berikut:

Karena b0 = - log a dan b1= - log b maka diperoleh

- log a = b0 dan - log b = b1

log a-1

= b0 log b-1

= b1

a

-1 = 010

b b-1

= 110b

a = 1/ 010

b

b = 1/ 110b

2.2 Pengujian Model Regresi

Jika telah diperoleh model regresi yang linier, maka dapat dilakukan

analisa sebagai berikut:

1. Untuk menguji model regresi digunakan uji F, dengan hipotesis sebagai

berikut:

0H : model regresi tidak berarti

1H : model regresi berarti

Dengan alat bantu minitab, diperoleh nilai hitungF dari Anova, dan dari

tabel dapat diperoleh tabelF . Terima 0H jika hitungF < tabelF dan tolak 0H

jika hitungF > tabelF .

2. Uji Koefisien regresi

Untuk mengiji koefisien regresi menggunakan uji T, dengan hipotesis

sebagai berikut:

0H : 1 = 0, variabel bebas tidak berpengaruh terhadap variabel terikat.

1H : 1 = 0, variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat.

Dengan alat bantu minitab, diperoleh nilai hitungT dari Anova, dan dari tabel

dapat diperoleh tabelT . Terima 0H jika hitungT < tabelT dan tolak 0H

jika

hitungT > tabelT .

3. Uji asumsi analisis regresi

a) Normal residual

Untuk menguji kenormalan residual kita gunakan alat bantu

minitab dan uji Anderson Darling dan mencari nilai P-value, dan

dengan hipotesis sebagai berikut:

0H : Residual berdistribusi normal.

1H : Residual tidak berdistribusi normal.

Untuk menetukan apakah menolak atau menerima 0H , P-value

dibandingkan dengan suatu nilai yaitu taraf kepercayaan dengan

ketentuan sebagai berikut:

= 0.05, jika data diperoleh dari penelitian di lapangan.

= 0.01, jika data diperoleh dari penelitian di laboratorium.

= 0.1, jika data diperoleh dari penelitian terhadap manusia atau

binatang.

= 0.00, dalam bidang kedokteran.

Terima 0H jika P-value > , dan menolak 0H jika P-value < .

b) Kebebasan residual

Pengujian kebebasan galat dengan menggunakan Autokorelasi

yaitu jika garis merah melewati garis hitam atau garis merah tidak

membentuk suatu corong, maka kebebasan galat terpenuhi

c) Uji Kehomogonitas residual

Untuk menguji kehomogenitas residual digunakan alat bantu

minitab dengan Bartlett’s test atau Scatterplot. Homogenitas

residual bersifat homogen atau tidak saling bebas jika ada korelasi

antar sisa.

BAB III

PEMBAHASAN

1.1 Data

Data penjualan suatu produk dari mulai diproduksi sampai produk

tersebut berumur 24 bulan (2 tahun) serta keuntungannya adalah sebagai berikut:

Bulan

(X)

Keuntungan (Y)

(dalam ribuan rupiah)

Bulan

(X)

Keuntungan (Y)

(dalam ribuan rupiah)

1 150 13 77510

2 270 14 111950

3 480 15 165300

4 750 16 311600

5 1350 17 627480

6 2310 18 804250

7 3625 19 1540980

8 5390 20 2314250

9 9950 21 3923250

10 15510 22 6010500

11 26500 23 12334230

12 40350 24 15975210

Keterangan:

X = Bulan (mulai produksi sampai produk umur 24 bulan)

Y = Keuntungan (dalam ribuan rupiah)

Berikut ini ditunjukkan plot dari data di atas.

Dalam plot di atas diketahui bahwa model regresi yang diperoleh tidak berbentuk

linier akan tetapi berbentuk non linier yaitu Logistik.

3.2 Pendugaan Parameter Regresi

Untuk mentransformasikan persamaan regresi non linear logistik dalam

bentuk linier, maka diperlukan nilai – nilai sebagai berikut:

X Y Log Y X ^ 2 X * Log Y

1 150 2.176091259 1 2.176091 2 270 2.431363764 4 9.725455 3 480 2.681241237 9 24.13117 4 750 2.875061263 16 46.00098 5 1350 3.130333768 25 78.25834 6 2310 3.36361198 36 121.09 7 3625 3.559308011 49 174.4061 8 5390 3.731588765 64 238.8217 9 9950 3.997823081 81 323.8237

10 15510 4.190611798 100 419.0612 11 26500 4.423245874 121 535.2128 12 40350 4.605843539 144 663.2415 13 77510 4.889357737 169 826.3015 14 111950 5.049024098 196 989.6087 15 165300 5.218272854 225 1174.111 16 311600 5.493597449 256 1406.361 17 627480 5.797599888 289 1675.506 18 804250 5.90539107 324 1913.347 19 1540980 6.187797002 361 2233.795 20 2314250 6.364410272 400 2545.764 21 3923250 6.593645983 441 2907.798 22 6010500 6.778910601 484 3280.993 23 12334230 7.091112043 529 3751.198 24 15975210 7.203446576 576 4149.185

∑

∑

∑

∑

∑

Dengan perhitungan manual diperoleh:

4.739 *

Y

5.12X

221)(

loglog

XXn

YXYXnb dengan YY log

*

2)300()4900(24

)739.113(300)709.1672(24

90000117600

7.34121016.40145

27600

316.6023

= 0.218

XbYb 1

*

0

= 4.739 - 0.218(12.5)

= 2.014

Jadi persamaan regresi yang diperoleh adalah log Y = 2.014 + 0.218 X sehingga

dapat dicari a dengan menggunakan:

014.2log014.2log 1 aa

014.21 10a

014.210

1a

276.103

1a

00968.0a

218.0log218.0log 1 bb

218.01 10b

218.010

1b

652.1

1b

605.0b

Jadi, dugaan persamaannya adalah 1))605.0(00968.0( XY

Setelah diperoleh model regresi yang linier maka kita dapat melakukan

analisa sebagai berikut:

a. Uji Model Regresi

Untuk menguji model regresi digunakan uji F menggunakan Anova ,

dengan hipotesis sebagai berikut:

0H : model regresi tidak berarti

1H : model regresi berarti

Dari Minitab diperoleh ANOVA sebagai berikut:

Karena data diperoleh dari lapangan maka α = 0,05. Diperoleh Ftabel = 4,30095

dan F hitung = 40524,36. Karena F hitung > F tabel maka tolak H0, ini berarti model

regresi berarti sehingga dapat disimpulkan bahwa model regresi log Y = 2.014 +

0.218 X signifikan.

b. Uji Koefisien Regresi

Untuk menguji koefisian regresi digunakan uji T, dengan hipotesis

sebagai berikut:

0 1: 0H artinya variabel bebas tidak berpengaruh terhadap variabel terikat.

1 1: 0H artinya variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat.

Dengan alat bantu minitab, diperoleh:

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression 1 54.7729 54.7729 40524.36 0.000

Error 22 0.0297 0.0014

Total 23 54.8027

Predictor Coef SE Coef T P

Constant 2,01111 0,01549 129,83 0,000

X 0,218240 0,001084 201,31 0,000

S = 0.0367642 R-Sq = 99.9% R-Sq(adj) = 99.9%

Dari tabel diperoleh T tabel = 1,71714 dan dari Anova diperoleh T hitung = 129,83

Karena T hitung > T tabel maka tolak H0. Ini berarti variabel bebas berpengaruh

terhadap variabel terikat. Atau dengan kata lain penjualan suatu produk dari mulai

diproduksi sampai produk tersebut berumur 24 bulan (2 tahun) berpengaruh

terhadap keuntungan yang diperoleh.. 83.129hitungT

c. Uji Asumsi Analisis Regresi

a) Uji Normal Residual

Untuk menguji kenormalan residual kita gunakan alat bantu minitab dan

uji Anderson Darling untuk mencari nilai P-value, dan dengan hipotesis sebagai

berikut:

0H : Residual berdistribusi normal.

1H : Residual tidak berdistribusi normal.

Untuk menetukan apakah menolak atau menerima 0H , P-value

dibandingkan dengan suatu nilai .Dari minitab diperoleh grafik uji kenormalan

beserta P-value-nya

Karena P-value = 0,970 > 0,05 = α maka terima H0 atau dengan kata lain residual

berdistribusi normal.

b) Uji Kebebasan

Untuk menguji kebabasan residual dilihat dari autokorelasi fungsi untuk

residual dengan menggunakan alat bantu Minitab

Karena garis biru tidak melebihi garis merah maka disimpulkan tidak ada korelasi

antar residual atau dengan kata lain residual saling bebas.

c) Uji Homogenitas

Dari minitab diperoleh scatterplot hubungan antara sres1 dengan fits1.

Berdasarkan gambar diketahui bahwa standart sisa 95% berada antara (-2,2)

sehingga data berada dalam sebaran atau homogen.

BAB IV

KESIMPULAN

Dari hasil analisis regresi hubungan antara penjualan suatu produk dari

mulai diproduksi sampai produk tersebut berumur 24 bulan (2 tahun) dan

besarnya keuntungan yang diperoleh, menghasilkan persamaan regresi Logistik

sebagai berikut:

log Y = 2.014 + 0.218 X

Berdasarkan hasil analisis diperoleh nilai F-hitung (F = 40581,17) yang

nilai F-hitung lebih besar dari F-tabel, dengan kata lain data sangat mendukung

adanya hubungan antara penjualan suatu produk dari mulai diproduksi sampai

produk tersebut berumur 24 bulan (2 tahun) dan besarnya keuntungan yang

diperoleh. Dari pengujian keberartian koefisien arah regresi dapat disimpulkan

bahwa penjualan suatu produk dari mulai diproduksi sampai produk tersebut

berumur 24 bulan (2 tahun) berpengaruh besarnya keuntungan yang diperoleh.

Dari data tersebut dapat ditentukan nilai koefisien determinasi sebesar

99,9%, dan juga dapat disimpulkan bahwa asumsi kehomogenan residu terpenuhi,

hasil asumsi kenormalan residu terpenuhi, dan asumsi kebebasan saling bebas atau

saling mempengaruhi.