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Anomalie del Modello StandardDinamica del Modello Standard

Dipartimento di Fisica e GeologiaUniversita degli Studi di Perugia

[email protected]

Anno accademico 2018-19

Interamente basato suDynamics of the Standard ModelJ. F. Donoghue, E. Golowich, B. R. HolsteinCambridge University Press, 2014.

Le simmetrie di gauge e numero fermionico

Simmetrie di gauge

SU(3)c︸︷︷︸colore

×SU(2)L × U(1)Y︸︷︷︸isospin×ipercarica

I SU(3)c di colore e confinata e non e rotta.I SU(2)L × U(1)Y , del settore EW, subisce una rottura

indotta dal campo di Higgs.I E preservata la simmetria elettromagnetica U(1)em.

Il numero fermionicoE una simmetria vettoriale globale valida per tutti i campi fermionici.

ψf → ψ′f = e−iQf θψf

I La carica conservata Qf rappresenta il numero totale di fermioni ”meno” ilnumero totale di antifermioni.

I Il numero totale di barioni B non si conserva a causa di un’anomalia nel settoreelettrodebole.

I Si conserva la differenza B − L tra i numeri totali di barioni e leptoni.

S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia Le anomalie, Dinamica del Modello Standard 2/1

Simmetrie vettoriali globali della QCDL’invarianza di isospin e la simmetria corrispondente alla rotazione del gruppo SU(2)

ψ =

(ud

)→ ψ′ = e−i ~τ2 ·~αψ

• ~τ e il vettore delle matrici di Pauli, generatori di SU(2).

• ~α e il vettore dei parametri della trasformazione.

• La simmetria e esatta se i quark u e d hanno massaidentica: m = mu = md .

Il teorema di Noether associa all’invarianzaper trasformazioni di isospin una corrente conquadri-divergenza nulla.

~Jµ = ψ γµ~τ

2ψ ∂µ~Jµ = 0

Lmass =−mu +md

2(uu+dd)−

mu−md

2(uu−dd)

La simmetria di isospin e rottada una differenza non nulla dellemasse dei quark u e d .

Includendo il quark s si estende la simmetria da SU(2) a SU(3) (sapore).

ψ =

uds

→ ψ′ = e−i ~λ2 ·~αψ

• Le 8 componenti dei vettori ~λ e ~α sono i generatoridi SU(3) e i parametri della trasformazione.

• La simmetria e rotta dalla massa del quark s, che emolto maggiore di quella dei quark u e d .

La simmetria SU(2) dell’interazione elettromagnetica,che trasforma quark d in quark s, detta di U-spin, e rottadalla differenza di massa ∆m = ms −md .

ψ =

(ds

)→ ψ′ = e−i ~τ2 ·~αψ


Simmetrie chirali approssimate della QCDI Se i quark sono fermioni a massa nulla, il grado di simmetria della QCD aumenta.I Si hanno simmetrie chirali.I Nella lagrangiana i campi sinistrorsi e destrorsi si disaccoppiano.

LQCD,mass=0 = −14

F aµνF aµν + iψL /DψL + iψR /DψR

I campi chirali si trasformano indipendentemente, ~αL 6= ~αR .

ψL,R → ψ′L,R = e−i ~τ2 ·~αL,RψL,R

Si ha anche invarianza per trasformazioni vettoriali e assiali.

ψ → ψ′V = e−i ~τ2 ·~αVψ ψ → ψ′A = e−i ~τ2 ·~αAγ5ψ ~αV ,A =~αL ± ~αR

2

Le simmetrie chirali del gruppo SU(2) della QCD

SU(2)L × SU(2)R SU(2)V × SU(2)A

sono rotte dalle masse finite dei quark.


Simmetrie discrete, simmetria assiale einvarianza di scala

Il Modello Standard e una teoria hermitianae invariante per trasformazioni di Lorentz,e quindi invariante per la combinazione ditrasformazioni CPT .

I QED: C, P, TI QCD(θ = 0): C, P, T

I EW: /C, /P, /T , CP�, CT�, TP�, CPT

La QCD con quark a massa nulla dovrebbe avere un simmetria assiale (γ5) del gruppoU(1) (α ∈ R), dovrebbe essere invariante per trasformazioni

ψ =

uds

→ ψ′ = e−iαγ5ψ

Questa simmetria non e presente, nem-meno nella forma approssimata, che siavrebbe con quark a masse finite, a causadell’anomalia assiale della QCD.

La lagrangiana della QCD, nell’ipotesi di quark a massa nulla, non contiene parametridimensionali dovrebbe, quindi, essere invariante per trasformazioni di scala dei campi.

ψ(x)→ λ3/2ψ(λx) Aaµ(x)→ λAa

µ(λx)

Questa simmetria non si manifesta a causa della presenza di anomalie.


Integrali sui cammini e funzionali generatori

Il funzionale generatore di una teoria di campo φ con lagrangiana L(φ, ∂φ)

Z [j] =

∫[dφ] exp

[i∫

d4x (L(φ, ∂φ)− jφ)

]I e un funzionale della sorgente classica j(x), scalare o vettoriale,

j(x)→ (j1(x), . . . , jm(x)), nel caso della presenza di piu campi {φj (x)}mj=1.

I Il simbolo∫

[dφ] indica l’integrazione di tutti valori del campo φ(x) in ogni puntodello spazio-tempo.

I Dalle derivate funzionali del logaritmo di Z [j] si ottengono tutte le ampiezze.

L’elemento di matrice a n campi si ottiene dalla derivata funzionale n-esima

〈0|T(φ(xj ) . . . φ(xk )

)|0〉 = (i)n δn ln (Z [j])

δj(xj ) . . . δj(xk )

∣∣∣∣∣j=0

Nel caso di due soli campi, 〈0|T (φ(x1)φ(x2)) |0〉 e il propagatore.


Esempi di funzionali generatoriPer studiare una corrente Jµ, associataad una simmetria classica, si aggiungealla lagrangiana, nell’integrale dell’azione,il prodotto scalare tra la corrente e unasorgente classica vµ.

Z [vµ] =

∫[dφ] exp

[i∫

d4x (L−vµJµ)

]

La derivata funzionale rispetto alla sorgentevµ(x) e il funzionale J

µ(x) della corrente Jµ(x). J

µ(x) = i

δ ln(Z )

δvµ(x)

∣∣∣∣vµ=0

〈0|T (Jµ(x)φ(x1)) |0〉= iδJµ

(x)

δj(x1)

∣∣∣∣∣j=0

Elementi di matrice con piu campi accoppiatialla corrente Jµ si ottengo con derivazionifunzionali successive.

Dalfunzionalegeneratore

Z [vµ, aµ]=

∫[dψ][dψ][dAµ] exp

[i∫

d4x(LQED−vµψγµψ−aµψγµγ5ψ

)]si ottiene

〈0|T(ψ(x)γµγ5ψ(x)ψ(y)γαψ(y)ψ(z)γβψ(z)

)|0〉= (i)3 δ3 ln(Z )

δaµ(x)δvα(y)δvβ(z)

∣∣∣∣ vµ = 0aµ = 0


Teorema di NoetherLa trasformazione infinitesimale dei campi {φj}j φj → φ′j = φj + ε(x)fj (φ)

e una trasformazione di simmetria se la lagrangiana cambia come

L′ = L(φ′, ∂φ′) = L(φ, ∂φ) + Jµ∂µε Jµ(x) =∂L′

∂(∂µε)

La lagrangiana e invariante rispetto alla trasformazione se ε(x) e costante.

In termini del funzionale generatore si ha Jµ(x)= i

δ ln(Z [vµ])

δvµ(x)

∣∣∣∣vµ=0

da cui

δ ln(Z [vµ])= ln(Z [vµ+δvµ])−ln(Z [vµ])=−i∫

d4xJµ

(x)δvµ(x)

Posto δvµ(x) = −∂µε(x) e usando il teorema di Stokes

δε ln(Z [vµ])= ln(Z [vµ−∂ε])−ln(Z [vµ])= i∫

d4xJµ

(x)∂µε(x)=−i∫

d4xε(x)∂µJµ

(x)

La corrente si conserva se il funzionale generatore e invariante per vµ → vµ−∂µε.

Z [vµ − ∂µε] = Z [vµ] ⇒ ∂µJµ

(x) = 0


Teorema di Noether e funzionale generatoreL’invarianza del funzionale generatore rispetto ad una variazione dellasorgente classica implica la conservazione di un funzionale corrente.

Z [vµ − ∂µε] = Z [vµ] ⇒ ∂µJµ

(x) = 0

Il funzionale generatore con la sorgente ”traslata”.

Z [vµ − ∂µε] =

∫[dφj ] exp

[i∫

d4x(L(φj , ∂φj )− (vµ − ∂µε)Jµ

)]Con la traslazione ε(x)fj (φ) deicampi e la trasformazione dellalagrangiana che ne consegue.

φj (x) → φ′j (x) = φj (x) + ε(x)fj (φ)

L(φj , ∂φj ) → L(φ′j , ∂φ′j ) = L(φj , ∂φj )+Jµ∂µε

Assumendo l’invarianza dellamisura dell’integrale funzionale.

∫[dφj ] =

∫[dφ′j ]

Z [vµ − ∂µε] =

∫[dφj ] exp

[i∫

d4x(L(φj , ∂φj ) + Jµ∂µε− vµJµ

)]=

∫[dφ′j ] exp

[i∫

d4x(L(φ′j , ∂φ

′j )− vµJµ

)]= Z [vµ]

∂µ

(i∂ ln (Z [vµ])

−∂µε(x)

)= ∂µJ

µ(x) = 0 Il funzionale generatore non dipende da

∂µε(x), quindi la corrente si conserva.


Cambiamento di variabile e anomalie

La formulazione del teorema di Noether in termini di invarianzadel funzionale generatore e conseguenza dell’invarianza dellamisura dell’integrale funzionale, per φj (x)→ φj (x)− ε(x)fj (φ).

∫[dφj ] =

∫[dφ′j ]

• Il simbolo∫

[dφj ] indica l’integrazione su tutti gli infiniti valori del campo φj inciascun punto x dello spazio-tempo.

• Uno ”spostamento” dei campi non (dovrebbe) cambiare il valore dell’integrale.

• Conseguenza di questa invarianza e la legge di conservazione ∂µJµ

(x) = 0,che implica quelle per tutte le derivate funzionali successive.

• Se il cambiamento di variabile alterasse la misura dell’integrale funzionale

∂µJµ

(x) 6= 0• La simmetria classica non e una simmetria del sistema quantistico.

• Quando una simmetria dell’azione classica non si realizza al livelloquantistico, ovvero non e una simmetria della teoria di campo completa,si ha un’anomalia.


L’anomalia assiale U(1)Nonostante la lagrangiana di QCD con quark a massa nulla sia invariante pertrasformazioni globali U(1),

ψ =

uds

→ ψ′ = e−iθγ5ψ

le correnti assiali di singoletto e terza componente dell’ottetto di SU(3)

J(0)5µ = uγµγ5u + dγµγ5d + sγµγ5s J(3)

5µ = uγµγ5u − dγµγ5d

non si conservano, le quadri-divergenze sono

∂µJ(0)5µ =

3αS

4πF aµν F aµν ∂µJ(3)

5µ =Ncα

6πFµν Fµν

I F aµν , Fµν sono i tensori delle forze dei gluoni ed elettromagnetico.I F aµν = εµναβF a

αβ/2, Fµν = εµναβFαβ/2 sono le rappresentazioni duali.


Diagramma triangolare

Accoppiamento della correnteassiale U(1) con due gluoni.

T abµαβ(k , q) = i

∫d4xd4y eikx eiqy 〈0|T

(J(0)

5µ (x)Jaα(y)Jb

β(0))|0〉 Ja

α=∑

q=u,d,s

qγαλa

2q

p+k

µ

p

p+k +q

−k−q

qα

β

p+k

µ

p

p−q

−k−q

q

α

β

Le conservazioni della corrente vettoriale e della corrente assiale si esprimono nellospazio dei momenti con due identita di Ward.

∂αJaα(x) = 0 ⇒ qαT ab

µαβ(k , q) = 0 kµJ(0)5µ (x) = 0 ⇒ pµT ab

µαβ(k , q) = 0

Il contributo fondamentale all’ampiezza T abµαβ(k , q) e rappresentato dal diagramma

triangolare, con tre propagatori fermionici, due vertici gluonici (α, β) ed uno assiale (µ).

T abµαβ(k , q) = −3

∫d4p

(2π)4

[Tr

(γµγ5

1/p+/k

γβλb

21

/p−/qγαλa

21/p

)+Tr

(−q↔k+qα↔βa↔b

)]

• L’ampiezza T abµαβ(k , q) e linearmente divergente.

• C’e un’ambiguita nella scelta del 4-momento su cui integrare.


Un esempio di integrazione

Consideriamo un integrale condue contributi ”traslati” di sµ. Q(sµ) =

∫d4p [F (p)− F (p − s)]

L’integrale e linearmente divergente.F (p) = O(p−3) con p →∞. lim

p→∞p3 dnF (p)

dpn

{6= 0 n = 0= 0 n ≥ 1

Facendo lo sviluppo di Taylor di F (p− s) in sµ = 0 e applichiamo il teorema di Stokes.∫d4p [F (p)−F (p−s)] =

∫d4p

[sµ∂µF (p)−

12

sµsν∂µ∂νF (p)+· · ·]

= sµ∫

d4p ∂µ[

F (p)−12

sν∂νF (p)+· · ·]

= sµ∫

Σ∞d3σµ F (p)

Nel caso in cui F (p) sia il prodotto di propagatori e con pE = (−ip0, p1, p2, p3)

Qµ =

∫d4p[pµp4−

(p − s)µ

(p−s)4

]= i∫

d4pE

[pµp4−

(p−s)µ

(p−s)4

]= isν

∫Σ∞d3σν

pµp4

= isν∫

Σ∞d3σ

pνpµp5

Per la covarianza euclidea nell’integrale si fa la sostituzione: pνpµ → gνµp2/4

Qµ =isµ4

∫Σ∞

d3σ1p3

= iπ2sµ

2L’integrale e finito e dipende dal valore ditraslazione sµ.


Integrazione del tensore T abµαβ

Con la sostituzione p → p + b1q − b2(k + q) nel tensore

T abµαβ(k , q) = −3

∫d4p

(2π)4

[Tr

(γµγ5

1/p+/k

γβλb

21

/p−/qγαλa

21/p

)+Tr

(−q↔k+qα↔βa↔b

)]Si ottiene che la differenza tra i due integrali

T abµαβ(k , q, 0, 0)− T ab

µαβ(k , q, b1, b2) = −3δab

16π2(b1 − b2)εµαβγ(2q + k)γ

Le due identita di Ward diventano

qαT abµαβ(k , q, b1, b2) =

3δab

16π2(b2−b1−1)εµβργkρqγ

kµT abµαβ(k , q, b1, b2) =

3δab

8π2(b2−b1+1)εαβργkρqγ

Non ci sono valori di b1 e b2 cheannullino entrambe le identita.

Sono le correzioni quantistichead rivelare le ”vere” simmetrie.

L’origine classica del teorema diNoether ne limita l’applicabilita asistemi quantistici.

Sperimentalmente si osserva che la correntevettoriale e conservata. Si sceglie b2−b1 = 1.

qαT abµαβ = 0

La corrente assiale non si conserva.

∂µJ(0)5µ =

3αS

4πF aµν F aµν


Anomalie e integrali sui camminiLa corrente assiale si ottiene dal funzionale generatore

Z [aµ,Aaν ] =

∫[dψ][dψ] exp

[i∫

d4x(LQCD(ψ,ψ,Aa

ν)− aµJ(0)5µ

)]l’elemento di matrice della corrente e quello dell’accoppiamento con due gluoni sono

J(0)5µ(x) = i

δ ln(Z [aν ,Aa

δ])

δaµ(x)

∣∣∣∣∣aν=0

T abµαβ(x , y , z) = (i)2 δ2J

(0)5µ(x)

δAaα(y)δAbβ(z)

∣∣∣∣∣∣Aaν=0

Si conserva la corrente se

Z [aµ−∂µβ,Aaν ] = Z [aµ,Aa

ν ]

• ln(

Z [aµ−∂µβ, Aaν ]/Z [aµ, Aa

ν ])

=−i∫

d4xβ(x)∂µJ(0)5µ(x)

• LQCD(ψ, ψ, Aaν ) = LQCD(ψ′, ψ′, Aa

ν )− J(0)5µ∂

µβ

• ψ′ = e−iβγ5ψ, ψ′

= ψe−iβγ5

Calcoliamo l’integrale funzionale Z [aµ−∂µβ,Aaν ], con le sostituzioni ψ→ψ′, ψ→ψ

′.

Z [aµ−∂µβ,Aaν ]=

∫[dψ′][dψ′] exp

[i∫

d4x(LQCD(ψ′, ψ

′,Aaν)−aµJ(0)

5µ

)]=J Z [aµ,Aa

ν ]

∫[dψ′][dψ′] = J−1

∫[dψ][dψ]

I Se lo jacobiano J e uguale a uno, la misuranon cambia e la corrente si conserva.

I Se J 6= 1 si ha l’anomalia.


Lo jacobianoUsando il risultato precedente e la differenzatra i funzionali generatori traslati Z [aµ−∂µβ,Aa

ν ] = J Z [aµ,Aaν ]

ln(Z [aµ−∂µβ,Aa

µ])− ln

(Z [aµ,Aa

µ])

= −i∫


ln (J ) = −i∫


Si ha simmetria se questo integrale e nullo.Se l’integrale e non nullo si ha un’anomalia.

Il valore regolarizzato dello jacobiano e la quadri-divergenza della corrente assiale sono

J = exp(−i∫

d4xβ(x)3αS

4πF aµν F aµν

)∂µJ

(0)5µ =

3αS

4πF aµν F aµν

I Lo jacobiano e divergente e deve essere regolarizzato.I Si sceglie la procedura di regolarizzazione che preserva la conservazione della

corrente vettoriale.I La liberta di scelta della procedura di regolarizzazione riflette la liberta che si ha

nell’approccio diagrammatico di scegliere il parametro di traslazione dellavariabile di integrazione (b1, b2).


Quark massivi e sommarioCon quark massivi la parte anomala della corrente assiale non cambia poiche essadipende dalle correzioni ultraviolette che non sono influenzate dalle masse.

∂µJ(0)5µ (x) = 2i

(muuγ5u + md dγ5d + mssγ5s

)+

3αS

4πF aµν F aµν

• Quando una simmetria della lagrangiana classica non e tale per la teoria dicampo completa, si ha un’anomalia.

• Nella teoria delle perturbazioni le anomalie sono conseguenza delle correzioniradiative, ovvero delle ampiezze divergenti di alcuni grafici di Feynman.

• La ”mancanza”, nella teoria di campo, di simmetrie classiche non e imputabile arotture dinamiche e quindi non e accompagnata dall’introduzione di campi senzamassa, come previsto dal teorema di Goldstone.

• Nella formulazione che si basa sugli integrali sui cammini, le anomalie sonoassociate alla non conservazione della misura degli integrali funzionali dei campi.

• Le anomalie, come ad esempio quella assiale U(1), sono spesso legate afenomeni sperimentali peculiari, come il decadimento π0 → γγ.

• La presenza di anomalie nelle teorie di gauge altera l’invarianza di gauge e lastessa rinormalizzabilita della teoria. Si scelgono teorie di gauge prive dianomalie o tali da cancellare quelle presenti in particolari settori.


Invarianza di scala

LQED =−14

FµνFµν+iψ(/∂+ie/A

)ψ

La lagrangiana della QED con fermioni a massanulla non contiene parametri dimensionali.

Con la trasformazione di scala

• x → x ′ = λx • ψ(x)→ ψ′(x) = λ3/2ψ(λx) • Aµ(x)→ A′µ(x) = λAµ(λx)

la lagrangiana si trasforma come

• LQED(x)→ L′QED(x) = λ4LQED(λx)

l’azione rimane invariata

• S′ =

∫d4x ′ L′QED(x ′) = λ4

∫d4x ′ LQED(λx ′) =

∫d4x ′′ LQED(x ′′) = S

Jµ = xνθµν La corrente conservata dipende dal tensore energia impulso θµν .

• θµν = −gµν(−

14

FαβFαβ + iψ /Dψ)− FµαFνα + Aν∂αFµα +

i2ψγµ

↔∂νψ

∂µθµν = 0

La conservazione del tensore energia impulsoimplica l’annullamento della traccia.

• 0 = ∂µJµ = xν∂µθµν + gµνθµν = gµνθµν =⇒ θµµ = 0


Invarianza di scala e anomaliaValore di aspettazione del tensore energia-impulsoper un generico adrone di quadri-momento pµ.Elemento di matrice per la transizione |p〉 → |p〉.

〈p|θµν |p〉 = 2pµpν

θµµ = 0

〈p|θµµ |p〉 = 2p2 = 2M2 = 0

La condizione di invarianza di scala della QCDcon campi a massa nulla, implica che ogniadrone deve avere massa nulla.

• La massa degli adroni (leggeri) e grande rispetto alla massa dei quark costituenti.

• Tale massa sarebbe non nulla anche nel caso in cui i quark avessero massa nulla.

• La procedura di rinormalizzazione della QCD introduce una scala, ΛQCD, necessariaper la definizione della costante di accoppiamento αs(q2).

• Per calcolare le ampiezze di QCD sono necessari LQCD e il parametro ΛQCD.

La QCD con quark a massa nulla non e invariante per trasformazioni di scala.

• La traccia del tensore energia-impulso ha un’anomalia.

• C’e una relazione tra la scala di rinormalizzazione e l’anomalia della traccia.


Il funzionale generatore e l’anomalia in θµµFunzionale generatore con la sorgente j(x), nel caso di un solo quark di massa m.

Z [j,Aaµ] =

∫[dψ][dψ] exp

[i∫

d4x(LQCD + jθµµ

)]θµν =

i2ψγµ

↔Dνψ

Con la trasformazione infinitesimale• ψ(x)→ ψ′(x) = eh(x)/2ψ(x) ' ψ(x) + h(x)ψ(x)/2l’integrale dell’azione con la sorgente h(x) diventa

•∫

d4x(LQCD(ψ) + h θµµ

)=

∫d4x

(LQCD(ψ′) + h mψ′ψ′ + i ψ′γµψ′∂µh

)Traslando la sorgente j(x)→ j(x) + h(x) nel funzionale generatore e facendo lasostituzione dei campi ψ(x)→ ψ′(x) si ha

• Z [j + h,Aaµ] =

∫[dψ][dψ] exp

[i∫

d4x(LQCD(ψ) + (j + h) θµµ

)]• Z [j + h,Aa

µ] =

∫[dψ′][dψ′]J exp

[i∫

d4x(LQCD(ψ′) + jθµµ + h mψ′ψ′

)]• i

∫d4x h θµµ = ln (J ) + i

∫d4x h mψψ

J e lo jacobiano della trasformazione dei campi.


Lo jacobiano dell’anomalia in θµµLo jacobiano e divergente e deve essere regolarizzato.

J = det−2(

e−h/2)

= exp

[i∫

d4x hg2

3

48π2F aµνF aµν

]

Con la relazione precedente, si ottiene la traccia anomala del tensore energia-impulso.

• i∫

d4x h θµµ = ln (J ) + i∫

d4x h mψψ = i∫

d4x h

(mψψ +

g23

48π2F aµνF aµν

)

θµµ = mψψ +g2

3

48π2F aµνF aµν

• La traccia del tensore energia-impulso rimane non nulla anche nel limite m→ 0.

• A differenza di quella chirale, l’anomalia della traccia ha anche contributi gluonici.• Nella trattazione diagrammatica, il grafico triangolare ha anche propagatori gluonici.• La trasformazione di scala che determina l’anomalia della traccia coinvolge anche i

campi dei gluoni.


L’espressione completa di θµµ

Traccia del tensore energia-impulso con tutte le generazioni e le correzioni radiative.

θµµ =βQCD

2g3F aµνF aµν + mu uu + md dd + ms ss + · · ·

La funzione beta della QCD descrive la dipendenza della costante di accoppiamentog3(µR) dalla scala di energia µR .

βQCD = µR∂g3

∂µR= −

(11−

2nf

3

)g3

3

16π2+O(g5

3 )

Scalando solo i campi gluonici con g3, ovvero: Aaµ → A′aµ = g3 Aa

µ, si trasformano diconseguenza il tensore delle forze, la derivata covariante e la lagrangiana.

F aµν → F ′aµνD → D′

LQCD = −1

4g23

F ′aµνF ′aµν + iψ /D′ψ

L’azione di questa lagrangiana non e invariante per trasformazioni di scala a causadella presenza della costante di accoppiamento che dipende dalla scala di energia.


Il termine in βQCD e la massa degli adroniVariazione dell’azione rispetto alla scala di rinormalizzazione µR , in µR = 1.

•δSδµR

=

∫d4x

∂

∂µR

(−

14g2

3 (µR)

)F ′aµνF ′aµν =

∫d4x

12g3(µR)

∂g3(µR)

∂µR

F ′aµνF ′aµν

g23 (µR)

•δSδµR

∣∣∣∣µR =1

=

∫d4x

βQCD(g3)

2g3

F ′aµνF ′aµν

g23

=

∫d4x

βQCD(g3)

2g3F aµνF aµν

• La necessita di specificare una scala di energia per la definizione della costante diaccoppiamento rimuove l’invarianza per trasformazioni di scala.

• L’anomalia della traccia ”genera” masse non nulle per gli adroni composti daquark a massa nulla.

La massa di un nucleone N di quadri-momento p si ottiene dall’elemento di matricedella traccia del tensore energia-impulso.

mNu(p)u(p) = 〈p|θµµ |p〉 = 〈p|(βQCD

2g3F aµνF aµν + mu uu + md dd + ms ss

)|p〉

• I termini con la massa dei quark u e d contribuiscono per non piu di 45 MeV.

• Il contributo dominate alla massa mN ' 940 MeV del nucleone proviene dallamassa del quark s e dal termine F a

µνF aµν .


Trasformazioni di gauge non continue• Lo studio delle trasformazioni di gauge infinitesime o continue con approccio

diagrammatico o basato sull’integrazione funzionale, permettel’individuazione e la caratterizzazione delle anomalie.

• L’analisi degli effetti di trasformazioni di gauge non infinitesime mette inevidenza la connessione tra l’anomalia assiale e il vuoto di QCD.

Trasformazione dei campi dei gluoni, dipendentedal parametro arbitrario d ∈ R. ~τ e il vettore dellematrici di Pauli in un generico SU(2) ⊂ SU(3).

UUU(~x) =~x2 − d2 + 2id~τ · ~x

~x2 + d2

Legge di trasformazione dei campi di gauge per un teoria non abeliana [SU(3)].

• A′A′A′µ = UUUAAAµUUU−1 +i

g3(∂µUUU) ·UUU−1.

Trasformazione del campo nullo AAAµ(x) = 0, µ = 0, . . . , 3.

• A′A′A′k =i

g3

[(∂µUUU)·UUU−1

]k=

−2d

g3(~x2 +d2

)2

[τk (d2−~x2)+2xk

(~τ · ~x

)−2d

(~x × ~τ

)k

]• AAAµ =

λa

2Aaµ. Il potenziale appartiene a un gruppo SU(2) sottogruppo di SU(3).

Il termine (~τ ·~x) del potenziale accoppia i gradi di liberta spaziali con quelli di colore.Un percorso nello spazio ne implica uno corrispondente nel sottospazio di colore SU(2).


Numero di avvolgimentiTutti i campi gluonici hanno una caricatopologica conservata, n ∈ N, dettanumero di avvolgimenti.

n =ig3

3

24π2

∫d3xTr

(AAA(n)

i (x)AAA(n)j (x)AAA(n)

k (x))εijk

Il campo AAA(n)(x), della classe topologica n,si ottiene applicando n volte UUU(~x). AAA(n) = [UUU(~x)]nAAA = UUUn(~x)AAA

E possibile definire un campo gluonicoAAA0→1(x): nullo a t = −∞, finito per tempifiniti (t∼ t0), tendente a AAA(1)(x) per t →∞.

AAA0→1(x) =

0 t = −∞AAA(~x , t) |t | < t0 <∞AAA(1)(x) t →∞

La contrazione F aµν F aµν e una quadri-divergenza.

• F aµν F aµν = ∂µKµ = ∂µ

[εµναβ

(AaνF aαβ +

g3

3fabcAa

νAbαAc

β

)]Con il campo AAA0→1(x).

•g2

3

32π2

∫d4x F a

µν F aµν =g2

3

32π2

∫d4x ∂µKµ =

g23

32π2

∫d3x

(K 0(∞)− K 0(−∞)

)=

ig33

24π2

∫d3x Tr

(AAA(1)

i (x)AAA(1)j (x)AAA(1)

k (x))εijk = 1


Il vuoto θSe al tempo t = ±∞ la configurazione dei campi gluonici e AAA(n±)(x), l’integrale dellacontrazione F a

µν F aµν rappresenta la variazione del numero di avvolgimenti.

g23

32π2

∫d4x F a

µν F aµν =g2

3

32π2

∫d3x

(K 0(∞)− K 0(−∞)

)= n+−n−

• Gli stati di vuoto sono caratterizzati da un valore del numero di avvolgimenti.• L’operatore unitario Un, associato alla trasformazione di gauge UUUn, cambia il

numero di avvolgimenti di uno stato di vuoto da n1 a n2 = n1 + n.

Un|n1〉 = |n1 + n〉

Uno stato di vuoto invariante per trasformazioni Un e lasovrapposizione coerente di tutti gli autostati del numero diavvolgimenti.

|θ〉 =∑

k

e−ikθ|k〉

• Un|θ〉 =∑

k

e−ikθUn|k〉 =∑

k

e−ikθ|k + n〉 = einθ∑k′

e−ik′θ|k ′〉 = einθ|θ〉

Il vuoto θ della QCD e la sovrapposizione di configurazionidi tutte le classi topologiche del numero di avvolgimenti.


Il termine θAl fine di definire la teoria di campo della QCD sono necessari:• la lagrangiana LQCD;

• la scala di rinormalizzazione ΛQCD;

• il termine θ che caratterizza lo stato di vuoto.

Il valore di aspettazionenel vuoto, con θ = 0, diun operatore O.

〈θ|O|θ〉=∫

[dAµ][dψ][dψ] O exp(

i∫

d4xLQCD

)=∑m,n〈m|O|n〉

〈θ|O|θ〉 =∑m,n

ei(m−n)θ〈m|O|n〉 Con un valore non nullo di θ si ha un fattoredi fase per ciascun elemento di matrice.

Le fasi dipendenti da θ e dai numeri di avvolgimento si ottengono aggiungendoall’azione un termine proporzionale all’integrale della contrazione F a

µν F aµν .

〈θ|O|θ〉=∫

[dAµ][dψ][dψ] O exp[

i∫

d4x(LQCD +θ

g23

32π2F aµν F aµν︸︷︷︸

m−n

)]=∑m,n

ei(m−n)θ〈m|O|n〉


La lagrangiana di QCD e il termine θAl fine di includere l’effetto di un vuoto con parametro θ non nullo, la lagrangiana diQCD deve contenere l’opportuno termine proporzionale alla contrazione F a

µν F aµν .

LQCD(θ) = LQCD(θ = 0) + θg2

3

32π2F aµν F aµν

• Il parametro θ deve essere considerato come una costante di accoppiamentotra i campi gluonici.

• L’operatore F aµν F aµν e dispari per trasformazioni di inversione temporale T e

spaziale P.

• Stati di vuoto con termine θ non nullo hanno un effetto fisico misurabile, inquanto implicano la violazione dell’invarianza per trasformazioni di inversionetemporale T .

• Gli stati di vuoto, che si hanno nel caso di rottura spontanea di una simmetria,rappresentano diversi stati di vuoto possibili di una stessa teoria.

• Gli stati di vuoto con diversi valori del termine θ rappresentano stati di vuoto didiverse teorie.

• Specificando LQCD, ΛQCD e θQCD in base alle osservazioni sperimentale, sidefinisce la teoria di campo della QCD realizzata in Natura.


Il termine θ e la corrente assiale

A causa dell’anomalia chirale U(1), la corrente assiale di singoletto non e conservata.

∂µJ(0)5µ =

nf g23

16π2F aµν F aµν J(0)

5µ =

nf∑k=1

ψkγµγ5ψk

Poiche la contrazione F aµν F aµν e una quadri-divergenza, ovvero F a

µν F aµν = ∂µKµ, epossibile definire la corrente conservata.

J5µ = J(0)5µ −

nf g23

16π2Kµ ∂µJ5µ = ∂µJ(0)

5µ −nf g2

3

16π2∂µKµ = 0

La corrente J5µ e la relativa carica conservata Q5non sono invarianti per trasformazioni di gauge. Q5 =

∫d3x J5,0(x)

U1Q5U†1 = Q5−2nf ILa trasformazione di gauge U1, che innalza di una unitail numero di avvolgimenti, trasla l’operatore Q5 di 2nf I.


Il vuoto θ e le trasformazioni chiraliGli stati di vuoto θ sono connessi da trasformazioni chirali del gruppo U(1). L’azionedell’operatore U1 sullo stato che si ottiene dalla trasformazione chirale αQ5 dello statodi vuoto |θ〉, produce uno sfasamento.

• U1

(eiαQ5 |θ〉

)= U1eiαQ5 U†1︸︷︷︸

eiα(Q5−2nf )

U1|θ〉︸︷︷︸eiθ|θ〉

= ei(θ−2nfα)eiαQ5 |θ〉 = ei(θ−2nfα)(

eiαQ5 |θ〉)

• Si ha: U1|θ〉 = eiθ|θ〉 ⇒ eiαQ5 |θ〉 = |θ − 2nfα〉

Tutti gli stati di vuoto θ sono equivalenti, la dipendenza dal termine θ puo essereeliminata da una opportuna trasformazione chirale.

• Trasformazioni di gauge topologiche connettono settori ”topologicamente”diversi della teoria, caratterizzati da valori diversi del termine θ.

• I diversi settori della teoria sono identificati da un termine aggiuntivo nell’azione.

• I valori del termine θ sono modificati da trasformazioni chirali, che possonocancellarne l’effetto.

• Nel caso di quark massivi l’effetto anomalo rimane, in quanto la corrente J5µ none piu conservata.


Conservazione di B − LLa lagrangiana del Modello Standarde invariante per trasformazioni di faseglobali dei campi barionici e leptonici.

q → q′ = eiθB q l→ l′ = eiθL l

Per il teorema di Noether si hanno le correnti vettoriali conservate.

JµB =13

(uγµu + dγµd + · · ·

)JµL = eγµe + νeLγ

µνeL + · · ·

Le cariche corrispondenti coincidonocon i numeri totali di barioni e leptoni. B =

∫d3x J0

B(x) L =

∫d3x J0

L (x)

• La corrente barionica e vettoriale ha comunque un’anomalia, poichel’accoppiamento dei quark ai bosoni vettori viola la parita.

• I diagrammi triangolari che descrivono l’accoppiamento della corrente barionica conla corrente di ipercarica U(1)Y hanno una struttura VVA e quindi un’anomalia.

• Si ha un’anomalia analoga anche per la corrente leptonica.

• La corrente che si ottiene dalla differenza JµB − JµL e conservata, le anomaliebarionica e leptonica si cancellano.

• Le transizioni che violano il numero barionico nelModello Standard sono fortemente soppresse. e−16π2/g2

2 ' 10−160


anomalie del modello standard - dinamica del modello standardpacetti/files/dms... · dipartimento...

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