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Análisis y Control de Sistemas Lineales

Análisis en el Dominio de la Frecuencia

Contenido

◼ Respuesta de frecuencia de sistemas en lazo cerrado

◼ Especificaciones en el dominio de lafrecuencia

◼ Gráficas de Bode◼ Ejemplos◼ Ejercicios

Análisis y Control de Sistemas Lineales 1 Ing. Eduardo Interiano

9. Análisis en el dominio de la frecuencia Tenemos una señal de entrada senoidal r(t) con amplitud R y frecuencia ω0 y nos interesa la salida y(t) en régimen senoidal permanente.

r t R sen t( ) = ω 0 (1)

( )y t Y sen t( ) = +ω φ0 (2)

en el dominio de la frecuencia compleja la salida es

Y s T s R s( ) ( ) ( )= (3)

para el análisis en régimen senoidal permanente hacemos s jω en la ecuación (3)

))R(jT(j)Y(jT(s)R(s)limY(s)limjsjs

ωω=ω==ω→ω→

))R(jT(j)Y(j ωωω = (4)


escribiendo Y(jω) como número complejo en magnitud y fase

( ) ( )Y j Y j Y jω ω ω= ∠ ( ) (5) donde

Y(j ) T(j R(jω ω ω= ) ) (6)

( ) ( ) ( )∠ = ∠ + ∠Y j T j R jω ω ω (7) de (1), (2) y (6) tenemos que la amplitud Y de la salida senoidal es:

Y R T(j= ω0) (8)

EIS

Note

La amplitud de la salida depende de la amplitud de la entrada y de la magnitud de la función T(jw) evaluada en wo.


y de (1), (2) y (7) escribimos la fase de salida como:

φ ω0= ∠T(j ) (9)

( ) ( ) ( )φ ω ω ω= ∠ − ∠ = ∠Y j R j T j (10) Las características de magnitud y de fase de un sistema de lazo cerrado se pueden emplear para predecir el desempeño en estado estable cuando la entrada es senoidal; asi como el transitorio en el dominio del tiempo.


Respuesta de frecuencia de sistemas de lazo cerrado

+

-

G(s)R(s)

H(s)

Y(s)

Figura 10.1: Sistema de control de lazo cerrado

T(s) = Y(s)R(s)

G(s)+ G(s)H(s)= 1 (11)

Si s jω para régimen senoidal permanente


( ) ( )( )

( )( ) ( )

T jY jR j

G jG j H j

ωωω

ωω ω

= =+1

(12)

donde la función de transferencia en régimen senoidal permanente es

( ) ( )T j T j T jω ω ω= ∠ ( ) (13) o equivalentemente como número complejo

( ) ( ){ } ( ){ }T j T j j T jω ω ω= +Re Im (14) donde

))H(jG(j1)G(j

)T(jωω+

ω=ω (15)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∠ = ∠ − ∠ +T j G j G j H jω ω ω ω1 (16) T(s) se interpreta como la función de transferencia de entrada-salida de un filtro eléctrico.


Especificaciones en el dominio de la frecuencia

10,707

0

0

T(jω)

φ T(jω)

ωr ωc= BW (en este caso)

pendiente decaída

Tr

Figura 10.2: Características típicas de ganancia y fase de un sistema de control realimentado


Definiciones: Tr: Pico de resonancia, es el valor máximo de T(j )ω a la frecuencia de

resonancia ωr

• Valores deseados: 1,1…1,5 • Indica la estabilidad relativa y está directamente relacionado con el

sobrepaso en el tiempo ωr: Frecuencia de resonancia, frecuencia a la cual ocurre el pico de

resonancia Tr

ωc: Ancho de banda (BW) o frecuencia a la cual la magnitud ( )T jω cae al 70,7% ( )−3dB de su valor a ω=0. (BW = ωc pues el sistema no tiene frecuencia de corte inferior)


Tr, ωr y BW para un sistema prototipo de 2° orden

( )T s Y sR s s s

n

n n

= =+ +

( )( )

ωξ ω ω

2

2 22 (17)

Pico de resonancia y frecuencia de resonancia

En régimen senoidal permanente (s ω)

2

21

1)()(lim

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

==→

nn

js

j

jTsT

ωω

ωωξ

ωω (18)

para simplificar hacemos

Ω = ωω n

Frecuencia normalizada (19)

( )T jj

ΩΩ Ω

=+ −

11 2 2ξ

(20)


Figura 10.3: Magnitud en función de la frecuencia

normalizada de un sistema de control de lazo cerrado de 2º orden.


La magnitud y fase son:

( )( ) ( )

T jΩΩ Ω

=− +

1

1 22 2 2ξ

(21)

( )∠ = −−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−T jΩ ΩΩ

tan 12

21

ξ (22)

para encontrar el máximo derivamos respecto a Ω e igualamos a cero

( )[ ]d T jd

Ω

Ω= 0

(23)

⇒ Ω r frecuencia de resonancia:

Ω r =−

⎧⎨⎪

⎩⎪

0

1 2 2ξ (24)

Ω r = − <1 2 0 7072ξ ξ; , (25)


Ωr = 0 no es un máximo verdadero si ξ<0.707

desnormalizando, de (19) y (25)

ω ωr n= Ω r

ω ω ξ ξr n= − <1 2 0 7072 ; , (26)

Sustituyendo

0.707 ξ ; 121

2<

−=

ξξrT (27)

( )T jj

ΩΩ Ω

=+ −

11 2 2ξ

(20)

EIS

Note

zeta^2 = 0.5 - 0.5 sqrt((Tr^2-1)/Tr^2)


Figura 10.4: Fase normalizada de un sistema prototipo de segundo orden

Relación con el gráfico de Bode

Significado del gráfico de Bode

Gráfico de Bode


10. Gráficas de Bode

( )( )( ) ( )

T sG s

G s H sG s

=+1

0 ( )

(1)

( ) ( ) G s K G s0 0=

(2)

( ) ( )lim

s jG s KG j

→=

0 0 (3)

Si deseamos encontrar el punto en el cual los polos se encuentran sobre el eje imaginario. La condición de ganancia 0 1 K


( )KG j

0 1 = (4)

Si K>0

( )G jK0

1 =

La condición de fase KG j0

( ) = 180º (5) „El sistema es inestable si la magnitud de la ganancia es mayor que uno a una frecuencia en la que la fase del sistema sea de 180º “

( )G jK0

1 1 = y ( ) = G j0 180


Margen de Ganancia El margen de ganancia se define como la ganancia de amplitud necesaria para hacer GH=1 cuando la fase del sistema ( ) = G j0 180 .

( )( )

MG G jG j

= − =

0 0 1800


Figura 11.1: Márgenes de ganancia y fase en la gráfica de Bode

Fulanito

Stamp


Margen de fase Es la diferencia hacia 180° de la fase del sistema a una ganancia de 0dB. Si hay cruces múltiples de 180° entonces, el margen de ganancia es la menor de las posibilidades.

MF GHG

GH dBG

= +

=

1800

0

1 0

Para que un sistema sea estable debe cumplirse que: „los márgenes de fase y de ganancia deben ser positivos según las definiciones“.


Ventajas de las Gráficas de Bode • La gráfica se puede aproximar por segmentos de recta. • Los cruces de ganancia y fase asi como de los márgenes de ganancia y fase se

determinan más fácilmente que en una traza de Nyquist. • Para los propósitos de diseño es fácil visualizar el efecto de añadir controladores

y sus parámetros se visualizan mejor que sobre una gráfica de Nyquist. NOTA: Para más detalles sobre Bode y otros métodos de análisis descargue el ctm

o Tutor de Control en Matlab de la dirección: http://www.ie.tec.ac.cr/einteriano/analisis/ctm o en línea directamente en: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/

http://www.ie.tec.ac.cr/einteriano/analisis/ctm

http://www.engin.umich.edu/group/ctm/


Ejemplo 1: Margen de ganancia y margen de fase


Ejemplo 1: Ancho de banda y tiempo de subida


Ejemplo 1: Error de estado estacionario para sistema tipo 0


Ejemplo 1: Respuesta de lazo cerrado ante escalón con tr y ess


Ejemplo 2: Error de estado estacionario para sistema tipo 1


Resumen de fórmulas:

Coeficiente de error ess

-20db/dec

ω = 1

MF = 15°

ω = 1

MG = 25° -20db/dec

Ejemplo sistema tipo 1

Ejercicio 1: estabilidad y ess

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Mag

nit

ud

(dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Fas

e (

de

g)

Diagrama de Bode de lazo abierto

Frecuencia (rad/sec)

Ejercicio 2: estabilidad y ess

-60

-40

-20

0

20

40

60

Mag

nit

ud

(dB

)

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

Fas

e (

de

g)

Diagrama de Bode de lazo abierto

Frecuencia (rad/sec)

Referencias

◼ Kuo, Benjamin C.. „Sistemas de Control

Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996, México.

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