análisis de fourier tema final: transformada de...
TRANSCRIPT
![Page 1: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/1.jpg)
Analisis de Fourier
Tema final: Transformada de Fourier
4-11 de diciembre
![Page 2: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/2.jpg)
1 Definicion y primeras propiedades
2 Resultados principales
![Page 3: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/3.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Definicion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Transformada de Fourier
Fijado N ∈ N , para x,y ∈ RN denotamos por (x |y)
al producto escalar de los vectores x e y
Para f ∈ L1(RN) , la transformada de Fourier de f es
la funcion f : RN → C definida por:
f (y) =∫
RNf (x)e−2πi(y|x) dx ∀y ∈ RN
Primeras propiedades
Para f ∈ L1(RN) se tiene:f es uniformemente continua
| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN
![Page 4: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/4.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Definicion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Transformada de Fourier
Fijado N ∈ N , para x,y ∈ RN denotamos por (x |y)
al producto escalar de los vectores x e y
Para f ∈ L1(RN) , la transformada de Fourier de f es
la funcion f : RN → C definida por:
f (y) =∫
RNf (x)e−2πi(y|x) dx ∀y ∈ RN
Primeras propiedades
Para f ∈ L1(RN) se tiene:f es uniformemente continua
| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN
![Page 5: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/5.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Definicion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Transformada de Fourier
Fijado N ∈ N , para x,y ∈ RN denotamos por (x |y)
al producto escalar de los vectores x e y
Para f ∈ L1(RN) , la transformada de Fourier de f es
la funcion f : RN → C definida por:
f (y) =∫
RNf (x)e−2πi(y|x) dx ∀y ∈ RN
Primeras propiedades
Para f ∈ L1(RN) se tiene:f es uniformemente continua
| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN
![Page 6: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/6.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Definicion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Transformada de Fourier
Fijado N ∈ N , para x,y ∈ RN denotamos por (x |y)
al producto escalar de los vectores x e y
Para f ∈ L1(RN) , la transformada de Fourier de f es
la funcion f : RN → C definida por:
f (y) =∫
RNf (x)e−2πi(y|x) dx ∀y ∈ RN
Primeras propiedades
Para f ∈ L1(RN) se tiene:f es uniformemente continua
| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN
![Page 7: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/7.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Definicion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Transformada de Fourier
Fijado N ∈ N , para x,y ∈ RN denotamos por (x |y)
al producto escalar de los vectores x e y
Para f ∈ L1(RN) , la transformada de Fourier de f es
la funcion f : RN → C definida por:
f (y) =∫
RNf (x)e−2πi(y|x) dx ∀y ∈ RN
Primeras propiedades
Para f ∈ L1(RN) se tiene:f es uniformemente continua
| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN
![Page 8: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/8.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Definicion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Transformada de Fourier
Fijado N ∈ N , para x,y ∈ RN denotamos por (x |y)
al producto escalar de los vectores x e y
Para f ∈ L1(RN) , la transformada de Fourier de f es
la funcion f : RN → C definida por:
f (y) =∫
RNf (x)e−2πi(y|x) dx ∀y ∈ RN
Primeras propiedades
Para f ∈ L1(RN) se tiene:f es uniformemente continua
| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN
![Page 9: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/9.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Definicion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Transformada de Fourier
Fijado N ∈ N , para x,y ∈ RN denotamos por (x |y)
al producto escalar de los vectores x e y
Para f ∈ L1(RN) , la transformada de Fourier de f es
la funcion f : RN → C definida por:
f (y) =∫
RNf (x)e−2πi(y|x) dx ∀y ∈ RN
Primeras propiedades
Para f ∈ L1(RN) se tiene:f es uniformemente continua
| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN
![Page 10: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/10.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Definicion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Transformada de Fourier
Fijado N ∈ N , para x,y ∈ RN denotamos por (x |y)
al producto escalar de los vectores x e y
Para f ∈ L1(RN) , la transformada de Fourier de f es
la funcion f : RN → C definida por:
f (y) =∫
RNf (x)e−2πi(y|x) dx ∀y ∈ RN
Primeras propiedades
Para f ∈ L1(RN) se tiene:f es uniformemente continua
| f (y) | 6 ‖ f ‖1 ∀y ∈ RN
![Page 11: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/11.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (I)
Notacion: multi-ındices y derivadas parciales
Para α = (α1,α2, . . . ,αN) ∈(N∪{0}
)Nescribimos:
|α|=N
∑k=1
αk y yα =N
∏k=1
yαkk = yα1
1 yα22 · · ·yαN
N ∀y ∈ RN
Si ahora f : RN → C es una funcion de clase C∞, tambien escribimos:
Dα f =∂|α| f
∂xα11 ∂xα2
2 . . .∂ααNN
Transformadas de Fourier de las derivadas
Si f ∈ D(RN) (clase C∞, soporte compacto) y α ∈(N∪{0}
)N, se tiene:
Dα f (y) =(
2π i)|α| yα f (y) ∀y ∈ RN
![Page 12: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/12.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (I)
Notacion: multi-ındices y derivadas parciales
Para α = (α1,α2, . . . ,αN) ∈(N∪{0}
)Nescribimos:
|α|=N
∑k=1
αk y yα =N
∏k=1
yαkk = yα1
1 yα22 · · ·yαN
N ∀y ∈ RN
Si ahora f : RN → C es una funcion de clase C∞, tambien escribimos:
Dα f =∂|α| f
∂xα11 ∂xα2
2 . . .∂ααNN
Transformadas de Fourier de las derivadas
Si f ∈ D(RN) (clase C∞, soporte compacto) y α ∈(N∪{0}
)N, se tiene:
Dα f (y) =(
2π i)|α| yα f (y) ∀y ∈ RN
![Page 13: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/13.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (I)
Notacion: multi-ındices y derivadas parciales
Para α = (α1,α2, . . . ,αN) ∈(N∪{0}
)Nescribimos:
|α|=N
∑k=1
αk y yα =N
∏k=1
yαkk = yα1
1 yα22 · · ·yαN
N ∀y ∈ RN
Si ahora f : RN → C es una funcion de clase C∞, tambien escribimos:
Dα f =∂|α| f
∂xα11 ∂xα2
2 . . .∂ααNN
Transformadas de Fourier de las derivadas
Si f ∈ D(RN) (clase C∞, soporte compacto) y α ∈(N∪{0}
)N, se tiene:
Dα f (y) =(
2π i)|α| yα f (y) ∀y ∈ RN
![Page 14: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/14.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (I)
Notacion: multi-ındices y derivadas parciales
Para α = (α1,α2, . . . ,αN) ∈(N∪{0}
)Nescribimos:
|α|=N
∑k=1
αk y yα =N
∏k=1
yαkk = yα1
1 yα22 · · ·yαN
N ∀y ∈ RN
Si ahora f : RN → C es una funcion de clase C∞, tambien escribimos:
Dα f =∂|α| f
∂xα11 ∂xα2
2 . . .∂ααNN
Transformadas de Fourier de las derivadas
Si f ∈ D(RN) (clase C∞, soporte compacto) y α ∈(N∪{0}
)N, se tiene:
Dα f (y) =(
2π i)|α| yα f (y) ∀y ∈ RN
![Page 15: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/15.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (I)
Notacion: multi-ındices y derivadas parciales
Para α = (α1,α2, . . . ,αN) ∈(N∪{0}
)Nescribimos:
|α|=N
∑k=1
αk y yα =N
∏k=1
yαkk = yα1
1 yα22 · · ·yαN
N ∀y ∈ RN
Si ahora f : RN → C es una funcion de clase C∞, tambien escribimos:
Dα f =∂|α| f
∂xα11 ∂xα2
2 . . .∂ααNN
Transformadas de Fourier de las derivadas
Si f ∈ D(RN) (clase C∞, soporte compacto) y α ∈(N∪{0}
)N, se tiene:
Dα f (y) =(
2π i)|α| yα f (y) ∀y ∈ RN
![Page 16: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/16.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (I)
Notacion: multi-ındices y derivadas parciales
Para α = (α1,α2, . . . ,αN) ∈(N∪{0}
)Nescribimos:
|α|=N
∑k=1
αk y yα =N
∏k=1
yαkk = yα1
1 yα22 · · ·yαN
N ∀y ∈ RN
Si ahora f : RN → C es una funcion de clase C∞, tambien escribimos:
Dα f =∂|α| f
∂xα11 ∂xα2
2 . . .∂ααNN
Transformadas de Fourier de las derivadas
Si f ∈ D(RN) (clase C∞, soporte compacto) y α ∈(N∪{0}
)N, se tiene:
Dα f (y) =(
2π i)|α| yα f (y) ∀y ∈ RN
![Page 17: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/17.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
![Page 18: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/18.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
![Page 19: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/19.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
![Page 20: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/20.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
![Page 21: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/21.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
![Page 22: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/22.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
![Page 23: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/23.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
![Page 24: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/24.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
![Page 25: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/25.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
![Page 26: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/26.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
![Page 27: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/27.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (II)
Lema de Riemann-Lebesgue
Para toda f ∈ L1(RN) se tiene que lım‖y‖→∞
f (y) = 0 , luego
la transformacion de Fourier f 7→ f es
un operador lineal continuo de L1(RN) en C0(RN) , con norma 1
Una funcion que coincide con su transformada de Fourier
Definiendo G(x) = e−π‖x‖2= exp
(−π
N
∑k=1
x2k
)∀x ∈ RN ,
se tiene G ∈ L1(RN) y G(y) = G(y) para todo y ∈ RN
Si ahora definimos Gn(x) = nN G(nx) ∀x ∈ RN , ∀n ∈ N ,
la sucesion {Gn} es una unidad aproximada en L1(RN) ,
luego{‖Gn ∗ f − f ‖1
}→ 0 ∀ f ∈ L1(RN)
![Page 28: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/28.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (III)
Traslaciones
Para f ∈ L1(RN) y z ∈ RN se definen τz( f ) , ρz( f ) ∈ L1(RN) por:
τz( f )(x) = f (x− z) y ρz( f )(x) = e−2π i(x |z) f (x) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces τz( f ) = ρz(
f)
y ρ−z( f ) = τz(
f)
Dilataciones
Para f ∈ L1(RN) y a ∈ R+ se definen δa( f ) por:
δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces δa( f ) = a−N δ1/a(
f)
![Page 29: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/29.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (III)
Traslaciones
Para f ∈ L1(RN) y z ∈ RN se definen τz( f ) , ρz( f ) ∈ L1(RN) por:
τz( f )(x) = f (x− z) y ρz( f )(x) = e−2π i(x |z) f (x) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces τz( f ) = ρz(
f)
y ρ−z( f ) = τz(
f)
Dilataciones
Para f ∈ L1(RN) y a ∈ R+ se definen δa( f ) por:
δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces δa( f ) = a−N δ1/a(
f)
![Page 30: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/30.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (III)
Traslaciones
Para f ∈ L1(RN) y z ∈ RN se definen τz( f ) , ρz( f ) ∈ L1(RN) por:
τz( f )(x) = f (x− z) y ρz( f )(x) = e−2π i(x |z) f (x) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces τz( f ) = ρz(
f)
y ρ−z( f ) = τz(
f)
Dilataciones
Para f ∈ L1(RN) y a ∈ R+ se definen δa( f ) por:
δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces δa( f ) = a−N δ1/a(
f)
![Page 31: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/31.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (III)
Traslaciones
Para f ∈ L1(RN) y z ∈ RN se definen τz( f ) , ρz( f ) ∈ L1(RN) por:
τz( f )(x) = f (x− z) y ρz( f )(x) = e−2π i(x |z) f (x) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces τz( f ) = ρz(
f)
y ρ−z( f ) = τz(
f)
Dilataciones
Para f ∈ L1(RN) y a ∈ R+ se definen δa( f ) por:
δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces δa( f ) = a−N δ1/a(
f)
![Page 32: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/32.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (III)
Traslaciones
Para f ∈ L1(RN) y z ∈ RN se definen τz( f ) , ρz( f ) ∈ L1(RN) por:
τz( f )(x) = f (x− z) y ρz( f )(x) = e−2π i(x |z) f (x) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces τz( f ) = ρz(
f)
y ρ−z( f ) = τz(
f)
Dilataciones
Para f ∈ L1(RN) y a ∈ R+ se definen δa( f ) por:
δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces δa( f ) = a−N δ1/a(
f)
![Page 33: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/33.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (III)
Traslaciones
Para f ∈ L1(RN) y z ∈ RN se definen τz( f ) , ρz( f ) ∈ L1(RN) por:
τz( f )(x) = f (x− z) y ρz( f )(x) = e−2π i(x |z) f (x) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces τz( f ) = ρz(
f)
y ρ−z( f ) = τz(
f)
Dilataciones
Para f ∈ L1(RN) y a ∈ R+ se definen δa( f ) por:
δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces δa( f ) = a−N δ1/a(
f)
![Page 34: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/34.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier (III)
Traslaciones
Para f ∈ L1(RN) y z ∈ RN se definen τz( f ) , ρz( f ) ∈ L1(RN) por:
τz( f )(x) = f (x− z) y ρz( f )(x) = e−2π i(x |z) f (x) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces τz( f ) = ρz(
f)
y ρ−z( f ) = τz(
f)
Dilataciones
Para f ∈ L1(RN) y a ∈ R+ se definen δa( f ) por:
δa( f )(x) = f (ax) p.c.t. x ∈ RN .
Entonces δa( f ) = a−N δ1/a(
f)
![Page 35: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/35.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Inversion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Un lema clave
Para cualesquiera f ,h ∈ L1(RN) se tiene:∫RN
h(y) f (y)dy =∫
RNh(y) f (y)dy
Teorema de inversion
Si f ∈ L1(RN) verifica que f ∈ L1(RN) , entonces:
f (x) =∫
RNe2π i(x |y) f (y)dy =
(f
)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Teorema de unicidad
f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)
![Page 36: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/36.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Inversion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Un lema clave
Para cualesquiera f ,h ∈ L1(RN) se tiene:∫RN
h(y) f (y)dy =∫
RNh(y) f (y)dy
Teorema de inversion
Si f ∈ L1(RN) verifica que f ∈ L1(RN) , entonces:
f (x) =∫
RNe2π i(x |y) f (y)dy =
(f
)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Teorema de unicidad
f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)
![Page 37: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/37.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Inversion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Un lema clave
Para cualesquiera f ,h ∈ L1(RN) se tiene:
∫RN
h(y) f (y)dy =∫
RNh(y) f (y)dy
Teorema de inversion
Si f ∈ L1(RN) verifica que f ∈ L1(RN) , entonces:
f (x) =∫
RNe2π i(x |y) f (y)dy =
(f
)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Teorema de unicidad
f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)
![Page 38: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/38.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Inversion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Un lema clave
Para cualesquiera f ,h ∈ L1(RN) se tiene:∫RN
h(y) f (y)dy =∫
RNh(y) f (y)dy
Teorema de inversion
Si f ∈ L1(RN) verifica que f ∈ L1(RN) , entonces:
f (x) =∫
RNe2π i(x |y) f (y)dy =
(f
)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Teorema de unicidad
f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)
![Page 39: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/39.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Inversion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Un lema clave
Para cualesquiera f ,h ∈ L1(RN) se tiene:∫RN
h(y) f (y)dy =∫
RNh(y) f (y)dy
Teorema de inversion
Si f ∈ L1(RN) verifica que f ∈ L1(RN) , entonces:
f (x) =∫
RNe2π i(x |y) f (y)dy =
(f
)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Teorema de unicidad
f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)
![Page 40: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/40.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Inversion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Un lema clave
Para cualesquiera f ,h ∈ L1(RN) se tiene:∫RN
h(y) f (y)dy =∫
RNh(y) f (y)dy
Teorema de inversion
Si f ∈ L1(RN) verifica que f ∈ L1(RN) , entonces:
f (x) =∫
RNe2π i(x |y) f (y)dy =
(f
)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Teorema de unicidad
f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)
![Page 41: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/41.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Inversion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Un lema clave
Para cualesquiera f ,h ∈ L1(RN) se tiene:∫RN
h(y) f (y)dy =∫
RNh(y) f (y)dy
Teorema de inversion
Si f ∈ L1(RN) verifica que f ∈ L1(RN) , entonces:
f (x) =∫
RNe2π i(x |y) f (y)dy =
(f
)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Teorema de unicidad
f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)
![Page 42: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/42.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Inversion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Un lema clave
Para cualesquiera f ,h ∈ L1(RN) se tiene:∫RN
h(y) f (y)dy =∫
RNh(y) f (y)dy
Teorema de inversion
Si f ∈ L1(RN) verifica que f ∈ L1(RN) , entonces:
f (x) =∫
RNe2π i(x |y) f (y)dy =
(f
)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Teorema de unicidad
f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)
![Page 43: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/43.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Inversion de la transformada de Fourier en L1(RN)
Un lema clave
Para cualesquiera f ,h ∈ L1(RN) se tiene:∫RN
h(y) f (y)dy =∫
RNh(y) f (y)dy
Teorema de inversion
Si f ∈ L1(RN) verifica que f ∈ L1(RN) , entonces:
f (x) =∫
RNe2π i(x |y) f (y)dy =
(f
)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Teorema de unicidad
f ∈ L1(RN) , f (y) = 0 ∀y ∈ RN =⇒ f = 0 (c.p.d.)
![Page 44: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/44.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Transformada de Fourier en L2(RN)
Lema fundamental
f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN
h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h
∥∥2 =
∥∥h∥∥
2
f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f
∥∥2 =
∥∥ f∥∥
2
Transformada de Fourier en L2(RN)
Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:
F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)
Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,
para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .
Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que
f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion
f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .
![Page 45: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/45.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Transformada de Fourier en L2(RN)
Lema fundamental
f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN
h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h
∥∥2 =
∥∥h∥∥
2
f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f
∥∥2 =
∥∥ f∥∥
2
Transformada de Fourier en L2(RN)
Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:
F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)
Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,
para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .
Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que
f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion
f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .
![Page 46: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/46.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Transformada de Fourier en L2(RN)
Lema fundamental
f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN
h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h
∥∥2 =
∥∥h∥∥
2
f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f
∥∥2 =
∥∥ f∥∥
2
Transformada de Fourier en L2(RN)
Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:
F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)
Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,
para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .
Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que
f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion
f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .
![Page 47: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/47.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Transformada de Fourier en L2(RN)
Lema fundamental
f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN
h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h
∥∥2 =
∥∥h∥∥
2
f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f
∥∥2 =
∥∥ f∥∥
2
Transformada de Fourier en L2(RN)
Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:
F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)
Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,
para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .
Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que
f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion
f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .
![Page 48: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/48.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Transformada de Fourier en L2(RN)
Lema fundamental
f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN
h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h
∥∥2 =
∥∥h∥∥
2
f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f
∥∥2 =
∥∥ f∥∥
2
Transformada de Fourier en L2(RN)
Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:
F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)
Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,
para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .
Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que
f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion
f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .
![Page 49: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/49.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Transformada de Fourier en L2(RN)
Lema fundamental
f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN
h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h
∥∥2 =
∥∥h∥∥
2
f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f
∥∥2 =
∥∥ f∥∥
2
Transformada de Fourier en L2(RN)
Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:
F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)
Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,
para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .
Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que
f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion
f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .
![Page 50: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/50.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Transformada de Fourier en L2(RN)
Lema fundamental
f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN
h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h
∥∥2 =
∥∥h∥∥
2
f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f
∥∥2 =
∥∥ f∥∥
2
Transformada de Fourier en L2(RN)
Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:
F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)
Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,
para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .
Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que
f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion
f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .
![Page 51: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/51.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Transformada de Fourier en L2(RN)
Lema fundamental
f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN
h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h
∥∥2 =
∥∥h∥∥
2
f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f
∥∥2 =
∥∥ f∥∥
2
Transformada de Fourier en L2(RN)
Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:
F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)
Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,
para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .
Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que
f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion
f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .
![Page 52: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/52.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Transformada de Fourier en L2(RN)
Lema fundamental
f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN
h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h
∥∥2 =
∥∥h∥∥
2
f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f
∥∥2 =
∥∥ f∥∥
2
Transformada de Fourier en L2(RN)
Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:
F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)
Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,
para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .
Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que
f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion
f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .
![Page 53: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/53.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Transformada de Fourier en L2(RN)
Lema fundamental
f ,g ∈ L1(RN) =⇒ f ∗g (y) = f (y) g(y) ∀y ∈ RN
h ∈ D(RN) =⇒ h ∈ L1(RN)∩L2(RN) y∥∥ h
∥∥2 =
∥∥h∥∥
2
f ∈ L1(RN)∩L2(RN) =⇒ f ∈ L2(RN) y∥∥ f
∥∥2 =
∥∥ f∥∥
2
Transformada de Fourier en L2(RN)
Existe un unico operador lineal y continuo F : L2(RN)→ L2(RN) que verifica:
F ( f ) = f ∀ f ∈ L1(RN)∩L2(RN)
Se dice que F es la transformacion de Plancherel y que,
para cada f ∈ L2(RN) , F ( f ) es la transformada de Plancherel de f .
Para f ∈ L2(RN) , tambien se escribe f = F ( f ) , se dice que
f es la transformada de Fourier de f , y que la aplicacion
f 7→ f es la transformacion de Fourier en L2(RN) .
![Page 54: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/54.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier en L2(RN)
Teorema de Plancherel
La transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico
del espacio de Hilbert L2(RN) sobre sı mismo.
Mas concretamente se tiene:∥∥ f∥∥
2 =∥∥ f
∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)
f (x) =(
f)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Si para cada f ∈ L2(RN) y cada n ∈ N , definimos
ϕn(y) =∫
Bn
f (x)e−2π i(y |x) dx ∀y ∈ RN
ψn(x) =∫
Bn
f (y)e2π i(x |y)dy ∀x ∈ RN
donde Bn es la bola (euclıdea) de radio n centrada en el origen,
se tiene que:{∥∥ϕn− f
∥∥2
}→ 0 y
{∥∥ψn− f∥∥
2
}→ 0
![Page 55: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/55.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier en L2(RN)
Teorema de Plancherel
La transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico
del espacio de Hilbert L2(RN) sobre sı mismo.
Mas concretamente se tiene:∥∥ f∥∥
2 =∥∥ f
∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)
f (x) =(
f)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Si para cada f ∈ L2(RN) y cada n ∈ N , definimos
ϕn(y) =∫
Bn
f (x)e−2π i(y |x) dx ∀y ∈ RN
ψn(x) =∫
Bn
f (y)e2π i(x |y)dy ∀x ∈ RN
donde Bn es la bola (euclıdea) de radio n centrada en el origen,
se tiene que:{∥∥ϕn− f
∥∥2
}→ 0 y
{∥∥ψn− f∥∥
2
}→ 0
![Page 56: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/56.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier en L2(RN)
Teorema de PlancherelLa transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico
del espacio de Hilbert L2(RN) sobre sı mismo.
Mas concretamente se tiene:∥∥ f∥∥
2 =∥∥ f
∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)
f (x) =(
f)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Si para cada f ∈ L2(RN) y cada n ∈ N , definimos
ϕn(y) =∫
Bn
f (x)e−2π i(y |x) dx ∀y ∈ RN
ψn(x) =∫
Bn
f (y)e2π i(x |y)dy ∀x ∈ RN
donde Bn es la bola (euclıdea) de radio n centrada en el origen,
se tiene que:{∥∥ϕn− f
∥∥2
}→ 0 y
{∥∥ψn− f∥∥
2
}→ 0
![Page 57: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/57.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier en L2(RN)
Teorema de PlancherelLa transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico
del espacio de Hilbert L2(RN) sobre sı mismo.
Mas concretamente se tiene:
∥∥ f∥∥
2 =∥∥ f
∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)
f (x) =(
f)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Si para cada f ∈ L2(RN) y cada n ∈ N , definimos
ϕn(y) =∫
Bn
f (x)e−2π i(y |x) dx ∀y ∈ RN
ψn(x) =∫
Bn
f (y)e2π i(x |y)dy ∀x ∈ RN
donde Bn es la bola (euclıdea) de radio n centrada en el origen,
se tiene que:{∥∥ϕn− f
∥∥2
}→ 0 y
{∥∥ψn− f∥∥
2
}→ 0
![Page 58: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/58.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier en L2(RN)
Teorema de PlancherelLa transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico
del espacio de Hilbert L2(RN) sobre sı mismo.
Mas concretamente se tiene:∥∥ f∥∥
2 =∥∥ f
∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)
f (x) =(
f)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Si para cada f ∈ L2(RN) y cada n ∈ N , definimos
ϕn(y) =∫
Bn
f (x)e−2π i(y |x) dx ∀y ∈ RN
ψn(x) =∫
Bn
f (y)e2π i(x |y)dy ∀x ∈ RN
donde Bn es la bola (euclıdea) de radio n centrada en el origen,
se tiene que:{∥∥ϕn− f
∥∥2
}→ 0 y
{∥∥ψn− f∥∥
2
}→ 0
![Page 59: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/59.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier en L2(RN)
Teorema de PlancherelLa transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico
del espacio de Hilbert L2(RN) sobre sı mismo.
Mas concretamente se tiene:∥∥ f∥∥
2 =∥∥ f
∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)
f (x) =(
f)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Si para cada f ∈ L2(RN) y cada n ∈ N , definimos
ϕn(y) =∫
Bn
f (x)e−2π i(y |x) dx ∀y ∈ RN
ψn(x) =∫
Bn
f (y)e2π i(x |y)dy ∀x ∈ RN
donde Bn es la bola (euclıdea) de radio n centrada en el origen,
se tiene que:{∥∥ϕn− f
∥∥2
}→ 0 y
{∥∥ψn− f∥∥
2
}→ 0
![Page 60: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/60.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier en L2(RN)
Teorema de PlancherelLa transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico
del espacio de Hilbert L2(RN) sobre sı mismo.
Mas concretamente se tiene:∥∥ f∥∥
2 =∥∥ f
∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)
f (x) =(
f)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Si para cada f ∈ L2(RN) y cada n ∈ N , definimos
ϕn(y) =∫
Bn
f (x)e−2π i(y |x) dx ∀y ∈ RN
ψn(x) =∫
Bn
f (y)e2π i(x |y)dy ∀x ∈ RN
donde Bn es la bola (euclıdea) de radio n centrada en el origen,
se tiene que:{∥∥ϕn− f
∥∥2
}→ 0 y
{∥∥ψn− f∥∥
2
}→ 0
![Page 61: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/61.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier en L2(RN)
Teorema de PlancherelLa transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico
del espacio de Hilbert L2(RN) sobre sı mismo.
Mas concretamente se tiene:∥∥ f∥∥
2 =∥∥ f
∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)
f (x) =(
f)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Si para cada f ∈ L2(RN) y cada n ∈ N , definimos
ϕn(y) =∫
Bn
f (x)e−2π i(y |x) dx ∀y ∈ RN
ψn(x) =∫
Bn
f (y)e2π i(x |y)dy ∀x ∈ RN
donde Bn es la bola (euclıdea) de radio n centrada en el origen,
se tiene que:{∥∥ϕn− f
∥∥2
}→ 0 y
{∥∥ψn− f∥∥
2
}→ 0
![Page 62: Análisis de Fourier Tema final: Transformada de Fourierrpaya/documentos/Fourier/2018-19/Pres_Trans...Definici´on y primeras propiedades Resultados principales Propiedades de la transformada](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052808/60722afc36040844ac3ff440/html5/thumbnails/62.jpg)
Definicion y primeras propiedades Resultados principales
Propiedades de la transformada de Fourier en L2(RN)
Teorema de PlancherelLa transformacion de Fourier es un isomorfismo isometrico
del espacio de Hilbert L2(RN) sobre sı mismo.
Mas concretamente se tiene:∥∥ f∥∥
2 =∥∥ f
∥∥2 ∀ f ∈ L2(RN)
f (x) =(
f)(−x) p.c.t. x ∈ RN
Si para cada f ∈ L2(RN) y cada n ∈ N , definimos
ϕn(y) =∫
Bn
f (x)e−2π i(y |x) dx ∀y ∈ RN
ψn(x) =∫
Bn
f (y)e2π i(x |y)dy ∀x ∈ RN
donde Bn es la bola (euclıdea) de radio n centrada en el origen,
se tiene que:{∥∥ϕn− f
∥∥2
}→ 0 y
{∥∥ψn− f∥∥
2
}→ 0