anÁlise de fundaÇÕes de mÁquinas rotativas … · considerando a matriz de rigidez do solo...
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ANÁLISE DE FUNDAÇÕES DE MÁQUINAS ROTATIVAS
CONSIDERANDO A MATRIZ DE RIGIDEZ DO SOLO
CONDENSADA NA SUPERFÍCIE
Caio Ramiro Torres
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Civil, Escola Politécnica, da
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Engenheiro Civil.
Orientador: Sergio Hampshire de Carvalho
Santos
Rio de Janeiro
Março de 2019
ANÁLISE DE FUNDAÇÕES DE MÁQUINAS ROTATIVAS
CONSIDERANDO A MATRIZ DE RIGIDEZ DO SOLO CONDENSADA NA
SUPERFÍCIE
Caio Ramiro Torres
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO
DE ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL.
Examinado por:
_________________________________________
Prof Sergio Hampshire de Carvalho Santos, D.Sc.
_________________________________________
Prof. Silvio de Souza Lima, D.Sc.
_________________________________________
Prof. Bruno Martins Jacovazzo, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ- BRASIL.
MARÇO DE 2019
iii
Torres, Caio Ramiro
Análise de Fundações de Máquinas Rotativas
Considerando a Matriz de Rigidez do Solo Condensada na
Superfície/ Caio Ramiro Torres. - Rio de Janeiro: UFRJ /
Escola Politécnica, 2019. IX, 41 p.: il.; 29,7 cm
Orientador: Sergio Hampshire de Carvalho Santos
Projeto de Graduação – UFRJ / POLI / Engenharia
Civil, 2019.
Referencias Bibliográficas: p.41.
1. Rigidez do Solo. 2. Amortecimento do Solo. 3.
Funções de Impedância. 4. Interação Solo-Estrutura. I.
Santos, Sergio Hampshire de Carvalho. II. Universidade
Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de
Engenharia Civil. III. Análise de Fundações de Máquinas
Rotativas Considerando a Matriz de Rigidez do Solo
Condensada na Superfície
iv
Agradecimentos
Ao professor Sergio Hampshire, pela orientação acadêmica e profissional
essencial ao longo dos últimos anos.
À minha família, pelo apoio constante e incondicional.
Aos professores, pelo crescimento profissional e pessoal.
Aos amigos, por serem um pouco de tudo ao mesmo tempo.
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.
Análise de Fundações de Máquinas Rotativas Considerando a Matriz de Rigidez do
Solo Condensada na Superfície
Caio Ramiro Torres
Março/2019
Orientador: Sergio Hampshire de Carvalho Santos
Curso: Engenharia Civil
RESUMO
A análise dinâmica de estruturas é uma disciplina não contemplada em grande
parte dos projetos de Engenharia Civil. Isso ocorre porque a maior parte das forças e
carregamentos sofridos pela estrutura tem caráter estático (a amplitude desses não varia
em intervalos curtos de tempo). Também é comum que algumas ações dinâmicas, como
o impacto de caminhões numa ponte, sejam aproximadas por um carregamento estático
equivalente. Contudo, em instalações industriais é comum que a amplitude e a variação
das forças dinâmicas envolvidas sejam elevadas, tornando-se necessária uma avaliação
mais criteriosa. O mecanismo de máquinas rotativas, muito comuns na indústria,
consiste na rotação de uma massa excêntrica em torno de um eixo. As vibrações
produzidas nesse sistema geram uma frequência circular de excitação (rad/s). Esse
trabalho pretende analisar a influência de na rigidez do solo que apoia a estrutura de
fundação. A interface fundação-solo foi discretizada numa malha de elementos
retangulares nos quais as propriedades são consideradas uniformes e concentradas no
seu ponto central, buscando-se calcular a matriz de rigidez do solo. Fez-se uma análise
paramétrica em função de de forma a se avaliar a influência da frequência de
excitação na resposta do solo à rotação do eixo.
Palavras-chave: Rigidez do Solo, Amortecimento do Solo, Funções de Impedância,
Interação Solo-Estrutura.
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Civil Engineer.
Analysis of Rotating Machine Foundations Considering the Soil Condensed Stiffness
Matrix
Caio Ramiro Torres
Março/2019
Advisor: Sergio Hampshire de Carvalho Santos
Course: Civil Engineering
Structural dynamic analysis is often not contemplated in the current Civil Engineering
design. This happens because most loadings acting on structures have a static nature
(their amplitude does not change over short periods of time). It is also common that
some dynamic actions, like the impact of a moving truck on a bridge, be sometimes
considered as an equivalent static load. In industrial buildings, however, it’s common
that the dynamic actions involved have elevated amplitude and frequency, thus being
necessary a more cautious evaluation of its effects. Rotating machinery, largely used in
several fields of industry, presents an eccentric mass spinning around an axis. The
vibrations generated in this system have an angular frequency (rad/s). This work
intends to analyze the influence of in the stiffness of the soil that supports the
foundation. The soil-foundation interface is discretized in a rectangular element mesh in
order to obtain the soil’s stiffness matrix. A parametric analysis is made for evaluating
the influence of the angular excitation frequency in the soil response.
Keywords:Soil Stiffness, Soil Damping, Impedance Functions, Soil-Structure
Interaction.
vii
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................. 1
1.1 Motivação ............................................................................................. 1
1.2 Objetivo ................................................................................................ 1
1.3 Revisão da Literatura ............................................................................ 2
1.4 Organização do Trabalho...................................................................... 3
2 MODELAGEM DE FUNDAÇÕES DE MÁQUINAS .................................. 4
2.1 Sistema com um grau de liberdade ....................................................... 5
2.1.1 Amortecimento viscoso ..................................................................... 6
2.1.2 Amortecimento viscoelástico ............................................................ 7
2.1.3 Expressões de RICHART (1970) para blocos circulares ................ 10
2.1.4 Expressões de WOLF (1994) para blocos retangulares .................. 11
2.2 Sistema com múltiplos graus de liberdade ......................................... 12
2.2.1 Cálculo dos deslocamentos no solo ................................................ 13
2.2.1.1 Solução de Boussinesq (ABMS/ABEF, 1998) ............................. 13
2.2.1.2 Solução fundamental de DOMÍNGUEZ e ABASCAL (1984) .... 14
2.2.1.3 Solução de DOMÍNGUEZ E ABASCAL para baixas
frequências............. ................................................................................................. 16
2.3 Tensão de contato em placas apoiadas sobre o solo ........................... 17
2.4 Parâmetros adimensionais de frequência e rigidez ............................. 18
2.4.1 Frequência adimensional ................................................................. 18
2.4.2 Parâmetros de impedância adimensionais ....................................... 18
3 PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM MEIO ELÁSTICO ............................... 19
3.1 Ondas em meio infinito, homogêneo, isotrópico e elástico ................ 19
3.2 Ondas em um semiespaço elástico ..................................................... 23
4 ESTUDO DE CASO .................................................................................... 24
4.1 Apresentação do problema ................................................................. 24
viii
4.2 Apresentação dos modelos ................................................................. 27
4.2.1 Modelo 0 ......................................................................................... 28
4.2.2 Modelo 1 ......................................................................................... 28
4.2.3 Modelo 2 ......................................................................................... 29
4.3 Comparação com o bloco perfeitamente rígido .................................. 29
4.4 Comentário sobre os termos da diagonal principal das matrizes........ 30
5 ANÁLISE E RESULTADOS ...................................................................... 32
5.1 Matrizes de rigidez ............................................................................. 32
5.1.1 Modelo 0 ......................................................................................... 32
5.1.2 Modelo 1 ......................................................................................... 32
5.1.3 Modelo 2 ......................................................................................... 33
5.2 Comparação com o bloco perfeitamente rígido .................................. 35
5.2.1 Comparação com outras metodologias ........................................... 35
Análise paramétrica em função de .............................................. 36
6 CONCLUSÃO ............................................................................................. 39
6.1 Análise dos resultados ........................................................................ 39
6.2 Sugestões para trabalhos futuros ........................................................ 40
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................... 41
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Máquina rotativa apoiada sobre fundação direta. (SANTOS, 2017) 4
Figura 2.2 – Sistema massa-mola-amortecedor com um grau de liberdade.
(SANTOS, 2017) .............................................................................................................. 4
Figura 2.3 – Diagrama de corpo livre. (LIMA e SANTOS, 2008) ....................... 5
Figura 2.4 – Modelo Kelvin-Voigt de um material. ............................................ 10
Figura 2.5 – Semi-larguras a e b de uma fundação retangular. (SANTOS, 2017)
........................................................................................................................................ 11
Figura 2.6 – Malha de elementos finitos que representa a interação solo-estrutura
........................................................................................................................................ 13
Figura 2.7 – Deslocamento no solo produzido por uma carga P ........................ 14
Figura 2.8 – Força harmônica atuando num espaço infinito............................... 16
Figura 2.9 – Tensão de contato em placa apoiada no solo (ABMS/ABEF, 1998)
........................................................................................................................................ 17
Figura 3.1 – Tensões num elemento infinitesimal de um meio elástico infinito
(RICHART et al., 1970) ................................................................................................. 19
Figura 4.1 – Vista superior da estrutura. (ALBUQUERQUE, 2015) ................. 24
Figura 4.2 – Corte A-A. (ALBUQUERQUE, 2015) .......................................... 25
Figura 4.3 – Boletim de sondagem do solo de fundação. (ALBUQUERQUE,
2015) ............................................................................................................................... 26
Figura 4.4 – Associação de molas em paralelo. .................................................. 29
Figura 4.5 – Gráfico distância (r) × deslocamento (). ...................................... 30
Figura 4.6 – Área de influência de um nó. ......................................................... 31
Figura 5.1 – Coeficientes de rigidez em Y=0 ..................................................... 33
Figura 5.2 – Coeficientes de rigidez em X = 0 ................................................... 33
Figura 5.3 – Coeficientes de impedância em Y = 0 ............................................ 34
Figura 5.4– Coeficientes de impedância em X = 0 ............................................. 35
Figura 5.5 – Rigidez vertical para blocos rígidos ............................................... 37
Figura 5.6– Amortecimento vertical para blocos rígidos ................................... 37
Figura 5.7– Variação de k e c em função de a0. ................................................. 38
1
1 INTRODUÇÃO
1.1 Motivação
O desenvolvimento da ciência torna a Engenharia capaz de operar em situações e
ambientes cada vez mais extremos. O avanço tecnológico muitas vezes traz consigo um
aumento nos riscos envolvidos, como é o exemplo da engenharia nuclear que, apesar de ser
uma alternativa limpa à dependência de combustíveis fósseis — cada vez mais usados como
arma política —, tem elevado potencial de dano ambiental, social e econômico.
A necessidade de estruturas com níveis de segurança condizentes com os de uma usina
nuclear, por exemplo, motivou nas últimas décadas o estudo dos efeitos de ações de caráter
dinâmico nas estruturas, como vibrações de motores/geradores, impactos de martelos e até
mesmo ações de caráter excepcional, como sismos e acidentes aéreos.
A energia produzida por essas ações leva à propagação de ondas no solo, podendo
afetar pessoas, estruturas e equipamentos vicinais. Máquinas rotativas produzem forças
dinâmicas e harmônicas, que podem levar a deslocamentos excessivos caso a frequência de
operação se aproxime da frequência de ressonância do sistema.
Diversos trabalhos na literatura estudam o efeito de forças harmônicas na base de
fundações, apoiadas tanto em solo homogêneo quanto estratificado, onde a estrutura (bloco)
de fundação é quase sempre considerada como perfeitamente rígida: as deformações sofridas
pelo bloco são consideradas muito menores que as sofridas pelo solo. Essas simplificações,
apesar de válidas para muitos projetos correntes de fundações de máquinas, não fornecem
informações importantes acerca da interação solo-estrutura.
1.2 Objetivo
O presente trabalho visa determinar os coeficientes de rigidez e amortecimento que
traduzem a resposta do solo para a vibração de uma máquina rotativa, através do cálculo de
uma matriz de rigidez na interface fundação-solo. Discretiza-se a superfície que representa
essa interface numa malha de elementos retangulares, considerando as propriedades de cada
elemento como uniformes e concentradas no seu centro geométrico, reduzindo o problema a
um número finito de graus de liberdade. Com isso, torna-se possível obter uma matriz de
rigidez desta superfície, a partir dos parâmetros de rigidez do solo e da geometria do bloco de
2
fundação. Busca-se analisar como esses coeficientes se distribuem espacialmente na base da
fundação.
Faz-se também uma análise paramétrica em função da frequência de excitação do
sistema (), comparando-se os resultados com diversas expressões aproximadas para blocos
rígidos.
1.3 Revisão da Literatura
Simplificadamente, o problema de uma fundação rígida sujeita a um carregamento
harmônico, pode ser modelado como um sistema massa-mola-amortecedor com seis graus de
liberdade (três translações e três rotações, assumindo que o bloco seja muito mais rígido que o
solo adjacente e só haja movimento como corpo rígido). A cada grau de liberdade, atribui-se
uma mola (K) e um amortecedor (C), cujos coeficientes são funções dos parâmetros do solo e
da frequência circular de excitação 𝜔 (𝜔 = 2f, sendo f a frequência de operação da máquina,
em Hertz).
O problema da vibração de um bloco rígido apoiado num semiespaço infinito e
elástico levou à formulação de diversas expressões matemáticas que representam as
propriedades físicas desse sistema. Buscam-se os parâmetros que quantificam a rigidez do
meio ao movimento do bloco, que se traduz nos coeficientes de rigidez (resistência elástica do
meio) e de amortecimento (que representam a capacidade de dissipação de energia do sistema,
RICHART et al., 1970). Observa-se que, no estudo de fundações de máquinas, o solo que
apoia essas fundações é muitas vezes tratado de maneira simplificada, pois se considera que
esse seja perfeitamente homogêneo e semi-infinito. Tratar o bloco de fundação como rígido
também é uma simplificação, reduzindo o problema a seis graus de liberdade. Para a maior
parte dos problemas correntes de fundações de máquinas, essa simplificação não implica em
perda de acurácia significativa, além de reduzir o problema a um sistema de apenas seis
equações diferenciais.
RICHART et al. (1970) desenvolveram expressões para blocos com base circular e
retangular, que permitem determinar coeficientes K e C para todos os graus de liberdade de
um bloco rígido. WOLF (1994) desenvolveu expressões para blocos retangulares. Essas
expressões fazem uso de uma terceira simplificação: adotar os parâmetros de rigidez e
amortecimento como independentes da frequência de excitação. Assumir tal hipótese é
recomendável apenas para solos homogêneos (SANTOS, 2017).
3
Expressões posteriores, como as desenvolvidas por PAIS e KAUSEL (1988) e
GAZETAS (1983), fornecem os parâmetros K e C como funções de impedância (dependentes
da frequência circular de excitação. LUCO (1974) obteve funções K() e C() para solos
estratificados.
Quando se torna necessário considerar as deformações sofridas pelo bloco de fundação,
o sistema passa a apresentar infinitos graus de liberdade. O modelo proposto por SANTOS e
GUIMARÃES (1988) faz a análise de uma placa apoiada no solo, tratando a interface
fundação-solo como uma malha de elementos retangulares, calculando a matriz de rigidez do
solo condensada na superfície. Os resultados obtidos com esse trabalho são independentes de
, pois as equações envolvidas na metodologia tratam de carregamentos estáticos (→ 0).
Os trabalhos de LUCO (1974) e PAIS e KAUSEL (1988) levam em consideração o
caráter dinâmico das forças envolvidas na estrutura, porém consideram o bloco de fundação
como perfeitamente rígido. Os trabalhos de SANTOS e GUIMARÃES (1988) e RIBEIRO
(2010), consideram as deformações sofridas pela fundação, porém consideram os
carregamentos como estáticos. O presente trabalho pretende unificar as duas formulações,
analisando a influência da frequência de excitação na rigidez de blocos flexíveis.
1.4 Organização do Trabalho
A partir do que já foi mencionado, pretende-se organizar este trabalho da seguinte
maneira:
O Capítulo 1 apresenta a motivação e principais objetivos do trabalho. As principais
referências bibliográficas são discutidas neste ponto.
O Capítulo 2 discorre sobre a base teórica para a modelagem de fundações de
máquinas. São apresentados sistemas com um grau de liberdade e com múltiplos graus de
liberdade, bem como os principais modelos de amortecimento.
O Capítulo 3 discute as bases matemáticas relacionadas à propagação de ondas em
meio elástico.
O Capítulo 4 apresenta um estudo de caso, no qual são obtidas as matrizes de rigidez
para diversas situações, usando como base um bloco de fundação de um projeto real.
O Capítulo 5 exibe os resultados das análises.
O Capítulo 6 relata as conclusões do trabalho. Também são apresentados possíveis
desdobramentos futuros.
4
2 MODELAGEM DE FUNDAÇÕES DE MÁQUINAS
A Figura 2.1 apresenta uma representação esquemática de um problema comum de
fundações de máquinas: uma máquina rotativa, produzindo uma força harmônica F(t), apoiada
sobre o solo em fundação direta.
Figura 2.1 – Máquina rotativa apoiada sobre fundação direta. (SANTOS, 2017)
As forças decorrentes da rotação do eixo do rotor, oriundas da rotação de uma massa
desequilibrada em torno desse eixo, produzem deslocamentos na fundação e a rigidez que o
solo apresenta sobre esses pode ser representada esquematicamente por sistemas massa-mola-
amortecedor, conforme a Figura 2.2.
Figura 2.2 – Sistema massa-mola-amortecedor com um grau de liberdade. (SANTOS, 2017)
A Figura 2.2 representa as forças e deslocamentos verticais, porém esse modelo pode
ser estendido para os demais graus de liberdade de um bloco perfeitamente rígido. Em geral,
pode-se tratar cada grau de liberdade separadamente como um sistema independente de um
grau de liberdade, salvo os acoplamentos entre rotação e deslocamento horizontal (SANTOS,
2017).
5
2.1 Sistema com um grau de liberdade
A partir do princípio de d’Alambert é possível fazer o diagrama de corpo livre (DCL)
de um corpo sujeito à ação de forças externas (LIMA e SANTOS, 2008):
Figura 2.3 – Diagrama de corpo livre. (LIMA e SANTOS, 2008)
Escrevendo-se a equação de equilíbrio na direção x a partir do DCL da Figura 2.3,
obtém-se a equação do oscilador harmônico:
𝑚𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹(𝑡) (2.1)
Onde:
m – massa do sistema;
k – coeficiente de mola;
c – coeficiente de amortecimento;
F(t) – força aplicada.
A solução da Eq. (2.1) é composta por uma solução homogênea, correspondente ao
problema de vibração livre, e uma particular, que representa a resposta à força excitadora F(t).
A equação do movimento se relaciona ao sistema massa-mola-amortecedor
representado na Figura 2.2, onde K[kN/m] e C[kN∙s/m] representam as constantes da mola e
do amortecedor, respectivamente.
6
2.1.1 Amortecimento viscoso
O amortecimento matematicamente representado pela adição de um termo )(txc
na
equação do movimento é chamado de amortecimento viscoso. Esse termo resulta em uma
solução homogênea x(t) que tende a zero à medida que t aumenta. Essa definição matemática
concorda com a observação empírica de um sistema em vibração livre — sem ação de forças
externas — que finalmente atinge o repouso, pois a energia é dissipada ao longo do tempo.
A solução homogênea da Eq. (2.1) tem a forma:
(2.2)
Onde ae são constantes a serem determinadas. Substituindo-se a Eq. (2.2) e suas
derivadas primeira e segunda em (2.1) obtém-se:
(2.3)
Para que se tenha solução diferente da trivial, deve-se ter:
(2.4)
A Eq.(2.4) chama-se equação característica do sistema, cujas raízes são dadas por:
(2.5)
As raízes podem ser reais ou complexas, dependendo do valor do discriminante, c² -
4km. O coeficiente de amortecimento crítico ccr é o valor do coeficiente de amortecimento que
anula o termo , igual a:
(2.6)
Onde n é a frequência natural de vibração (não-amortecida). Define-se então o fator
de amortecimento:
taetx )(
02 tae)kcm(
0)( 2 kcm
m
k
m
c
m
c
2
2,122
kmmc ncr 22
7
(2.7)
Reescrevendo as raízes dadas na Eq.(2.5) em função de , tem-se:
(2.8)
Observa-se que as raízes 1 e 2 podem ser reais, nulas ou complexas, dependendo do
valor de . Para 0 << 1, tem-se que as raízes são complexas e o movimento é
subamortecido. Para > 1, as raízes são reais, resultando em movimento superamortecido.
Para = 1, o discriminante da Eq. (2.8) é nulo, resultando no movimento criticamente
amortecido. Isto corresponde ao valor de que separa movimento oscilatório do não-
oscilatório. O desenvolvimento matemático de cada um desses tipos de movimento não faz
parte do escopo deste trabalho.
2.1.2 Amortecimento viscoelástico
A fórmula de Euler relaciona as funções trigonométricas do movimento harmônico
com a função exponencial:
(2.9)
Onde =tg-1
(b/a) e A é o módulo do número complexo, obtido através do produto de
seu conjugado por si próprio:
(2.10)
Tendo em vista essa notação, é possível reescrever a função que representa a força
externa na Eq.(2.1) através de uma função exponencial harmônica Aeit
:
𝑚𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝐹0.𝑒𝑖𝜔𝑡 (2.11)
tisentAibaAe ti cos
22*2baAAA
km
c
m
c
c
c
ncr 22
12
2,1 nn
8
Assume-se que a solução particular tenha a forma:
(2.12)
Onde X é uma constante complexa a ser determinada. Substituindo-se(2.12) em (2.1)
chega-se a:
(2.13)
Como o termo eit
nunca é nulo, esse pode ser cancelado, obtendo-se a expressão para
a constante X:
(2.14)
Onde H(i) é definido como o fator de resposta em frequência (complexa).
Aplicando (2.10)em (2.14), obtém-se o módulo da constante X:
(2.15)
Assim, X pode ser reescrito na forma exponencial:
(2.16)
Onde:
(2.17)
Substituindo (2.16)em (2.12), obtém-se a solução particular:
(2.18)
ti
p Xetx )(
titi eFXekcim 0
2
02
0 F)i(Hcimk
FX
i
/e
)c(mk
FX
21
222
0
21222
0
21
2
0
2
0
/
/
cmk
F
cimk
F
cimk
FX
mk
ctg
2
1
ti
p e
CMK
Ftx
2/1222
0
)(
9
Seja a equação do movimento definida em (2.11). Substituindo-se a solução particular
obtida em (2.18) e dividindo ambos os lados por eit
tem-se:
(2.19)
Que pode ser reescrita como:
(2.20)
Ou:
(2.21)
Onde:
(2.22)
E:
(2.23)
é chamado de fator de perda e corresponde à energia dissipada no sistema.O fator
k*é denominado função de impedância (LUCO, 1974) ou rigidez complexa. A partir de (2.23)
observa-se que a dissipação de energia é diretamente proporcional à frequência da força
excitadora. Esse modelo representa um material do tipo Kelvin-Voigt, conforme a Figura 2.4.
Observa-se que muitos materiais apresentam este tipo de comportamento quando
vibrando em estado permanente, enquanto que respostas transientes ou em vibração livre são
mais bem representadas pelo modelo viscoso. O modelo de Kelvin-Voigt, apesar de mais
limitado, representa uma resposta mais acurada para vibrações em estado permanente.
Fundações de máquinas rotativas são um exemplo de ação que gera deslocamentos no solo em
regime permanente.
0
2 FXcikm
0
2 1 FXk
cikm
0
2 FXkm *
)i(kk* 1
k
c
10
Figura 2.4 –Modelo Kelvin-Voigt de um material.
2.1.3 Expressões de RICHART (1970) para blocos circulares
RICHART et al. (1970) apresentamos valores das constantes de mola K e dos
amortecedores de radiação C, para fundações circulares de raio r,com massa M, apoiadas na
superfície de um semiespaço elástico, como resumido na Tabela 2.1.
Tabela 2.1 – Parâmetros para fundações circulares com raio r
Grau de liberdade Mola KM2
C
C
C
C
Fração de massa (B)
Vertical
1
G4K
rZ
ZB
0,425Z
3
M
4
-1B
rZ
Horizontal
87
G132K
rX
XB
0,288Z
3
M
132
8-7B
rX
Rotacional
13
8GK
3r
BB1
0,15
58
13B
r
I
Torsional 3
16GK
3r
B21
0,5
5B
r
I
Para um disco circular, tem-se que:
(2.24)
e:
(2.25)
44
4 2MrhrI
II 2
Material com propriedades viscoelásticas
11
Onde é a massa específica do material da fundação.
A Tabela 2.2 apresenta as expressões explícitas dos amortecedores de radiação (C).
Tabela 2.2 – Expressões para os amortecedores de radiação
Vertical (CZ) Horizontal (CX) Rotacional (C) Torsional (C)
G1
3,4 2
r G
87
-118,4 2
r
GB11
0,8 4
r
3
G16
B21
13
Ir
2.1.4 Expressões de WOLF(1994) para blocos retangulares
WOLF (1994) apresenta expressões para as constantes de mola K para os seis graus de
liberdade de um bloco rígido, resumidas nas Eqs. (2.26) a (2.31). As dimensões a e b são
indicadas na Figura 2.5. Os coeficientes de amortecimento C são avaliados com as mesmas
expressões das fundações circulares, considerando-se raios equivalentes que reproduzam a
área e a inércia da fundação retangular.
Figura 2.5 – Semi-larguras a e b de uma fundação retangular. (SANTOS, 2017)
(2.26)
(2.27)
4286
2
GbK
650
,b
a,
,
X
618086
2
GbK
650
,b
a,
b
a,
,
Y
12
(2.28)
(2.29)
(2.30)
(2.31)
2.2 Sistema com múltiplos graus de liberdade
No caso da consideração das deformações sofridas pelo bloco de fundação (bloco
flexível), o sistema passa a ter infinitos graus de liberdade e, portanto, infinitos coeficientes de
rigidez e amortecimento distribuídos na interface fundação-solo (k e c).
O modelo proposto por SANTOS e GUIMARÃES (1988) permite obter uma matriz de
rigidez da interface fundação-solo para obter os coeficientes K e C que representam as
propriedades mecânicas do solo condensadas na superfície. Essa matriz é obtida a partir da
discretização desta interface em uma malha de elementos retangulares. Considerando-se as
propriedades de cada elemento como uniformes e concentradas no seu centro geométrico,
esses podem ser tratados como nós que se distribuem em toda a área da superfície do solo que
está em contato com a base da fundação, conforme a Figura 2.6.
6113
1
GbK
750
,b
a,
,
Z
8023
1
GbK
3
,b
a,XX
270733
1
GbK
423
,b
a,
,
YY
064254GbK
452
3 ,b
a,
,
ZZ
13
Figura 2.6 – Malha de elementos finitos que representa a interação solo-estrutura
Calcula-se inicialmente a matriz de flexibilidade desta superfície, que relaciona os
deslocamentos sofridos pelos nós da base com as forças aplicadas no sistema. A inversão
dessa matriz resulta na matriz de rigidez do solo (condensada na superfície).
Os coeficientes dessa matriz têm unidade de força por deslocamento (kN/m3), ou seja,
representam a rigidez do solo ao deslocamento imposto pela vibração do sistema mecânico
assente sobre a fundação (motores, geradores, turbinas, etc.), por unidade de área.
2.2.1 Cálculo dos deslocamentos no solo
2.2.1.1 Solução de Boussinesq
É comum que as soluções disponíveis na literatura para o cálculo de deslocamentos no
solo considerem-no como um semiespaço infinito, homogêneo, isotrópico e elástico. Destaca-
se a solução de Boussinesq (ABMS/ABEF, 1998), que obtém deslocamentos no solo a partir
das equações da Teoria da Elasticidade. A equação que fornece o deslocamento vertical em
um ponto do solo, produzido por uma força também vertical, unitária e concentrada, aplicada
na superfície desse semiespaço é dada por:
(2.32) G2
1
r
14
Onde:
G – módulo de deformação transversal do solo;
– coeficiente de Poisson do solo.
A Figura 2.7ilustra o problema resolvido por Boussinesq (ABMS/ABEF, 1998).
Figura 2.7 – Deslocamento no solo produzido por uma carga P
A Eq.(2.32) foi utilizada nos trabalhos de SANTOS e GUIMARÃES (1988) e de
RIBEIRO (2010) para o cálculo da matriz de rigidez do solo condensada na superfície.
Observa-se que a Eq.(2.32) é função apenas dos parâmetros do solo ( e G) e da
distância r de aplicação da força, ou seja, é independente da frequência circular de excitação.
Isso porque a solução de Boussinesq resolve um problema estático, ou seja, assume-se como
hipótese que a amplitude das forças aplicadas no solo não varia ao longo do tempo. Conclui-
se que isso leva a uma a simplificação do problema real de fundações que apoiam máquinas
industriais, onde as forças aplicadas têm caráter dinâmico ( é não-nulo). Tal simplificação é
recomendável apenas para solos homogêneos (SANTOS, 2017), enquanto em solos
estratificados deve-se preferencialmente considerar soluções a partir de métodos que
considerem a influência de.
2.2.1.2 Solução fundamental de DOMÍNGUEZ e ABASCAL
O trabalho desenvolvido por DOMÍNGUEZ e ABASCAL (1984) determina os
deslocamentos produzidos por uma força concentrada e harmônica, com frequência de
excitação atuando num espaço infinito, homogêneo e elástico. A equação, escrita em
15
notação indicial, calcula o deslocamento numa direção i para uma força unitária aplicada na
direção j:
(2.33)
Onde:
(2.34)
E onde:
Define-se pc como a velocidade de propagação da onda primária no solo e sc como a
velocidade de propagação da onda secundária (ver o item3.1). é a densidade do meio (solo).
Observa-se que, diferentemente da abordagem tradicional com a expressão de
Boussinesq esta considera a influência de no cálculo dos deslocamentos.
A Figura 2.8 ilustra o problema resolvido pelas equações de DOMÍNGUEZ e
ABASCAL (1984).
jiij
s
ji rrc
U ,,24
1
r
rk
rkkkc
c
r
rk
rkrkr
rk
p
prpp
s
s
ss
s
)exp(11
)exp()
11(
)exp(
222
2
22
r
rk
rkkkc
c
r
rk
rkrk
p
prpp
s
s
ss
)exp(1
33
)exp()1
33(
222
2
22
pp
ss
cik
cik
/
/
16
Figura 2.8– Força harmônica atuando num espaço infinito
Observar que:
(2.35)
2.2.1.3 Solução de DOMÍNGUEZ E ABASCAL para baixas frequências
O trabalho de DOMÍNGUEZ e ABASCAL (1984) também desenvolveu soluções para
forças estáticas (→ 0), que se assemelham ao problema resolvido por Boussinesq, com a
diferença de se tratar de uma força atuando num meio infinito, em vez de um semiespaço
infinito, conforme ilustrado nas Figuras 2.7 e 2.8. A equação que determina o deslocamento
numa direção i para uma força unitária aplicada na direção j é dada por:
(2.36)
222 zyxr
jiijji rrrG
U ,,431
)1(16
1
17
A Tabela 2.3mostra uma comparação da razão entre o deslocamento vertical calculado
pelas Eqs. (2.32) e (2.36) para diferentes valores de coeficiente de Poisson().
Tabela 2.3 – Razão entre expressões de Boussinesq e DOMÍNGUEZ e ABASCAL para deslocamentos
verticais
v Boussinesq /
Domínguez e Abascal
0 2
0,25 1,5
0,5 1
2.3 Tensão de contato em placas apoiadas sobre o solo
Quando se trata o solo como um semiespaço infinito e elástico, podem-se usar as
equações da Teoria da Elasticidade para o cálculo de tensões e deslocamentos. A Figura 2.9
mostra uma comparação da tensão de contato de uma placa rígida apoiada sobre um
semiespaço: a linha cheia representa a distribuição real de tensões, enquanto a tracejada
representa a solução a partir da Teoria da Elasticidade (ABMS/ABEF, 1998). Observa-se uma
discrepância dos resultados na região do contorno da placa, que se dá devido à plastificação
do solo nestas regiões (ABMS, ABEF, 1998). O efeito da plastificação não é representado em
modelos puramente elásticos, sendo necessário o uso de modelos que considerem o solo com
comportamento elasto-plástico.
Figura 2.9 – Tensão de contato em placa apoiada no solo (ABMS/ABEF, 1998)
18
2.4 Parâmetros adimensionais de frequência e rigidez
2.4.1 Frequência adimensional
A frequência circular de excitação pode ser adimensionalizada em função das
propriedades do solo e da geometria da fundação. A frequência adimensional a0 é dada por:
(2.37)
2.4.2 Parâmetros de impedância adimensionais
Conforme apresentado em 2.1.2, a impedância de materiais com comportamento
viscoelástico pode ser representada pela Eq.(2.22). Sabendo-se que os parâmetros K e C são
funções da frequência circular de excitação , esta expressão pode ser reescrita como:
(2.38)
Sabe-se que quando → 0, o sistema tende a uma situação estática, onde não há
dissipação de energia (C = 0). Chamando-se a rigidez do caso estático de Kest, a função de
impedância dinâmica K* pode ser adimensionalizada como:
(2.39)
Onde k e c são parâmetros adimensionais de rigidez e amortecimento, respectivamente.
Trabalhos como os de PAIS e KAUSEL (1988) e LUCO (1974) apresentam expressões para o
cálculo desses coeficientes.
sca
R0
CKK i*
ciak*
0estKK
19
3 PROPAGAÇÃO DE ONDAS EM MEIO ELÁSTICO
3.1 Ondas em meio infinito, homogêneo, isotrópico e elástico
Seja o elemento infinitesimal definido na Figura 3.1.
Figura 3.1 – Tensões num elemento infinitesimal de um meio elástico infinito (RICHART et al., 1970)
Pode-se expressar o equilíbrio translacional do elemento através do somatório de
forças atuando na direção de cada eixo. Na direção x a equação de equilíbrio— que relaciona
as forças atuantes com as tensões e despertadas — é dada por:
(3.1)
Onde u é o deslocamento na direção x.
Cancelando os termos comuns, chega-se a:
2
2
dt
uyxyxz
z
zxzxyy
zyzyxx
xz
xz
xz
xy
xy
xyx
x
x
20
(3.2)
Pode-se, então, escrever as três equações de equilíbrio do elemento infinitesimal:
(3.3)
Onde v e w são os deslocamentos ao longo dos eixos y e z, respectivamente.
As equações constitutivas da Teoria da Elasticidade expressam as relações tensão-
deformação do elemento:
(3.4)
Onde e G são as constantes de Lamé (G também é chamado de Módulo de Elasticidade
transversal), são as deformações axiais e são as deformações angulares (ou distorções).
Estas constantes se relacionam com o coeficiente de Poisson( e com o módulo de
Elasticidade Longitudinal E através das seguintes expressões:
(3.5)
As equações geométricas relacionam deslocamentos e deformações no elemento
infinitesimal:
2
2
t
u)zyx(zyx
zyx
xzxyx
zyxdt
w
zyxdt
v
zyxdt
u
zzyxz
yzyyx
xzxyx
2
2
2
2
2
2
zxzzxzz
yzzyyzyy
xuyxxyxx
GG2
GG2
GG2
211
E
12
E
G
21
(3.6)
Combinando as expressões (3.6) e (3.5) com (3.4) têm-se as equações do movimento
para o elemento intinifesimal (RICHART et al., 1970):
(3.7)
(3.8)
(3.9)
Onde =x + y + z e ∇2 é o operador Laplaciano, definido como:
A primeira solução para as equações do movimento pode ser obtida diferenciando-se
as Eqs. (3.7), (3.8) e (3.9) em relação a x, y e z, respectivamente, e somando-as resulta em:
Ou:
(3.10)
Onde:
x
w
z
u
z
wz
v
y
w
y
vy
u
x
v
x
u
zxz
yzy
xyX
uGx
Gt
u 2
2
2
2
2
2
2
2
22
zyx
vGy
Gt
v 2
2
2
wGz
Gt
w 2
2
2
2
2
2
G2
t
22
2
2
p
t
22
(3.11)
Conclui-se que a dilatação se propaga a uma velocidade p.
A segunda solução para as equações do movimento podem ser obtidas derivando-se a Eq.
(3.8) em relação à z e (3.9) em relação à y e subtraindo-as, desta forma eliminando :
(3.12)
As rotações de corpo rígido do elemento infinitesimal são definidas por:
(3.13)
Logo, aplicando a Eq. (3.13) em (3.12), tem-se:
Ou:
(3.14)
Analogamente, para y e z tem-se:
(3.15)
G2p
z
v
y
w
z
v
y
w
t
2
2
2
G
y
u
x
vx
w
z
uz
v
y
w
x
y
x
2
2
2
xx
t
2
2
2
G
xsx
t
22
2
2
ys
y
t
22
2
2
23
(3.16)
Conclui-se que a rotação se propaga com velocidade
(3.17)
Conclui-se que um meio elástico infinito apresenta dois tipos de onda, que se
propagam em diferentes velocidades (RICHART et al., 1970): a primeira, chamada de onda
dilatacional (onda primária, onda P, onda de compressão, onda irrotacional) que se propaga a
uma velocidade p e a segunda, chamada de onda distorcional (onda secundária, onda S, onda
de cisalhamento, onda equivolumial), que se propaga a uma velocidade s.
3.2 Ondas em um semiespaço elástico
No caso de um semiespaço elástico é possível obter uma terceira solução para a
equação do movimento, correspondente a onda que se propaga na fronteira desse semiespaço
(RICHART et al., 1970), denominada onda de Rayleigh, ou onda R, caracterizada por um
movimento elíptico das partículas de solo, num plano vertical paralelo à direção de
propagação da onda (SANTOS, 2017). Essas ondas são denominadas ondas de superfície.
No caso de perfis estratificados, surge um quarto tipo de onda na interface entre as
camadas de solo, denominada onda de Love, caracterizada por um movimento perpendicular
ao eixo de propagação da onda (SANTOS, 2017).
ys
y
t
22
2
2
Gs
24
4 ESTUDO DE CASO
4.1 Apresentação do problema
É analisada a base do bloco de fundação de uma máquina rotativa, baseado em um
projeto real (ver ALBUQUERQUE, 2015). A vista em planta e a seção transversal do bloco
são apresentadas nas Figuras 4.1 e 4.2, respectivamente.
Figura 4.1 – Vista superior da estrutura. (ALBUQUERQUE, 2015)
25
Figura 4.2 – Corte A-A. (ALBUQUERQUE, 2015)
Considera-se a base apoiada no solo, assumido como um semiespaço infinito, isotrópico,
homogêneo e elástico. As propriedades do solo foram determinadas com base na sondagem à
percussão (SPT) realizada no local, cujo boletim encontra-se reproduzido na Figura 4.3.
26
Figura 4.3 – Boletim de sondagem do solo de fundação. (ALBUQUERQUE, 2015)
O bloco de fundação tem base retangular, com dimensões de 6,3 m × 3,6 m. A origem
do sistema de coordenadas cartesianas é posicionada no centro geométrico da base, conforme
ilustrado na Figura 4.1.
O sistema é composto por um conjunto motor-bomba posicionado no topo do bloco de
fundação, conforme a Figura 4.2. O motor tem massa de 20,60 Mg e a bomba, 14,56 Mg,
ambos com frequência de operação de 710 rpm (11,83 Hz ou 74,3 rad/s).
O módulo de deformação transversal do solo (G),o coeficiente de Poisson (),a massa
específica () e a velocidade de propagação da onda secundária do solo (cs), são dados abaixo,
considerando-se o solo como homogêneo:
27
G = 50000 kPa
= 0,3
= 1,80 Mg/m³
cs = 166,7 m/s
ALBUQUERQUE (2015) obteve a matriz de rigidez condensada na interface fundação-
solo, conforme descrito em 2.2.1.1, utilizando a expressão de Boussinesq para o cálculo dos
deslocamentos no solo.
O presente trabalho busca obter a mesma matriz de rigidez, utilizando as diferentes
metodologias para o cálculo dos deslocamentos no solo apresentadas em 2.2.1.
A matriz é obtida a partir de uma rotina desenvolvida em Octave/Matlab, cujos dados de
entrada envolvem as propriedades do solo, dados da geometria da fundação e da operação do
conjunto motor-bomba.
4.2 Apresentação dos modelos
A seguir são apresentadas as diferentes metodologias usadas no cálculo das matrizes
de rigidez. A mesma malha foi utilizada em todos os modelos, sendo formada por elementos
quadrados de lado igual a 45 cm. Por se tratar de uma base de 6,3m × 3,6 m, a malha possui 8
× 14 elementos.
Considerando as propriedades de cada elemento como uniformes e concentradas no
seu centro geométrico, atribui-se um nó a cada elemento, sendo a malha formada por 8 × 14
nós. Conclui-se que o sistema possui 112 graus de liberdade, portanto a matriz de rigidez
obtida inicialmente tem 112 × 112 elementos. Faz-se uma condensação dessa matriz,
somando-se as linhas, resultando em um vetor 112 × 1. Cada linha i desse vetor representa a
força que surge no nó i quando todos os nós da malha sofrem um deslocamento unitário na
mesma direção. Os 112 elementos do vetor são então redistribuídos em uma matriz 8 × 14, de
acordo com a coordenada de cada nó da base da fundação.
28
4.2.1 Modelo 0
Utilizou-se a expressão de Boussinesq para o cálculo dos deslocamentos apresentada
em 2.2.1.1, da mesma maneira que os trabalhos de SANTOS e GUIMARÃES (1988),
RIBEIRO (2010) e ALBUQUERQUE (2014). Este, portanto é um modelo de validação do
algoritmo desenvolvido em Octave/Matlab.
4.2.2 Modelo 1
Utilizou-se a expressão de DOMÍNGUEZ e ABASCAL (1984) apresentada em 2.2.1.3,
que calcula o deslocamento no solo a partir da ação de uma força unitária estática. Deve-se
observar que estas equações tratam de um carregamento atuando num espaço infinito (-∞ <Z
< +∞), enquanto o caso estudado é representado por uma força atuando na superfície de um
semiespaço infinito (-∞ <Z <0). Dessa forma, aplica-se um fator de correção f aos
deslocamentos calculados, definido como a razão entre o deslocamento obtido por Boussinesq
(semiespaço) e o obtido por DOMÍNGUEZ e ABASCAL (1984) (espaço infinito):
(4.1)
Cancelando os termos comuns, tem-se:
(4.2)
Para v = 0,3:
(4.3)
Observar que no problema apresentado, tanto a força atuante quanto o ponto no qual
se deseja calcular o deslocamento encontram-se em Z = 0. Portanto o termo r,i∙r,j da Eq.(2.36)
é nulo quando i = j = 3 (deslocamento e força verticais).
rG
GrfDOMÍNGUEZ
BOUSSINESQ
1
)1(16
432
)1(
2
43
)1(8
f
18,2f
29
4.2.3 Modelo 2
Usou-se a expressão de DOMÍNGUEZ e ABASCAL (1984) apresentada em 2.2.1.2 ,
para a frequência de operação do conjunto motor-bomba ( = 74,3 rad/s). Assim como no
Modelo 1, os deslocamentos foram multiplicados pelo fator de correção f definido em (4.3).
4.3 Comparação com o bloco perfeitamente rígido
Na hipótese de um bloco perfeitamente rígido, para uma carga vertical centrada, todos
os pontos da base da fundação têm o mesmo deslocamento e, portanto, as molas idealizadas
na base da fundação assumem uma associação em paralelo, conforme a Figura 4.4.
Figura 4.4 – Associação de molas em paralelo.
Sabe-se da mecânica clássica que a rigidez da mola equivalente a uma associação de
molas em paralelo é igual à soma dos coeficientes individuais:
(4.4)
Sendo assim, o somatório de todos os coeficientes da matriz do solo fornece uma
rigidez equivalente, para o bloco considerado como perfeitamente rígido. Essa rigidez
neq K...KΚKK 321
30
equivalente é então comparada com a obtida através de diferentes expressões aproximadas
para blocos rígidos, discutidas em 1.3.
4.4 Comentário sobre os termos da diagonal principal das matrizes
Sabe-se, pela definição de matriz de rigidez, que os termos kij que a compõem
representam a força que surge numa direção i, causada por um deslocamento unitário na
direção j (LIMA, 2017). Sendo assim, os termos onde i = j representam a força causada por
um deslocamento aplicado no próprio nó em que se deseja saber a força. Portanto, quando no
cálculo dos deslocamentos do solo para a determinação da matriz de flexibilidade, o termo r
nas equações (2.32), (2.33) e (2.36) é nulo, resultando numa singularidade, pois tende ao
infinito, conforme Figura 4.5.
Figura 4.5 – Gráfico distância (r) × deslocamento ().
Para contornar esse problema, atribui-se aos termos da diagonal principal uma
metodologia de cálculo diferente: usa-se a expressão aproximada de RICHART et al. (1970)
para a rigidez vertical, apresentada na Tabela 2.1, para calcular a rigidez do nó. Sabendo que
o coeficiente de flexibilidade é o inverso do coeficiente de rigidez (LIMA, 2017), tem-se que:
(4.5)
0
0,000005
0,00001
0,000015
0,00002
0,000025
0 5 10 15 20
r
jiij
ara p 1
GR41
31
Onde:
ij – deslocamento que surge numa direção i, causado por uma força unitária na direção j;
R – Raio da fundação.
Calcula-se um raio equivalente, visto que a geometria do problema analisado não é
circular, proporcional à área de influência de cada nó:
(4.6)
Onde a e b são as dimensões do retângulo definido na Figura 4.6.
Figura 4.6 – Área de influência de um nó.
baeq
R
32
5 ANÁLISE E RESULTADOS
5.1 Matrizes de rigidez
5.1.1 Modelo 0
A Tabela 5.1apresenta os coeficientes de rigidez (k) na direção vertical (z) do Modelo
0, calculados para um quadrante da fundação, pela formulação de Boussinesq (ABMS/ABEF,
1998)descrita em 2.2.1.1. Esses coeficientes se repetem nos outros três quadrantes, devido à
dupla simetria da base da fundação. Os nós de extremidade têm seus coeficientes reduzidos
proporcionalmente à sua área de influência.
Tabela 5.1 – Coeficientes de rigidez dos nós segundo Boussinesq.(ABMS/ABEF, 1998)
5.1.2 Modelo 1
A Tabela 5.2apresenta os coeficientes de rigidez (k) na direção vertical (z) do Modelo
1, calculados para um quadrante da fundação, pela formulação de DOMÍNGUEZ e
ABASCAL (1984) descrita em2.2.1.3.
Tabela 5.2 – Coeficientes de rigidez dos nós segundo DOMÍNGUEZ (1984).
As Figuras 5.1 e 5.2 mostram a variação dos coeficientes ao longo de planos
transversais ao bloco (planos Y=0 e X=0, respectivamente).
K (kN/m ) X = 0 X = ±0,45 X = ±0,90 X = ±1,35 X = ±1,80 X = ±2,25 X = ±2,70 X = ±3,15
Y = 0 3526 3549 3624 3770 4071 4415 8284 6007
Y = ±0,45 3663 3686 3762 3909 4211 4554 8461 6116
Y = ±0,90 3904 3927 4003 4148 4446 4762 8793 6356
Y = ±1,35 7309 7345 7460 7678 8092 8592 13175 8767
Y = ±1,80 5305 5330 5408 5554 5822 6177 8701 5523
K (kN/m ) X = 0 X = ±0,45 X = ±0,90 X = ±1,35 X = ±1,80 X = ±2,25 X = ±2,70 X = ±3,15
Y = 0 3521 3545 3620 3766 4066 4409 8276 6003
Y = ±0,45 3659 3682 3758 3905 4207 4548 8454 6113
Y = ±0,90 3898 3922 3997 4142 4439 4754 8784 6352
Y = ±1,35 7303 7338 7454 7671 8085 8583 13166 8763
Y = ±1,80 5302 5327 5405 5551 5819 6172 8697 5522
33
Figura 5.1 – Coeficientes de rigidez em Y=0
Figura 5.2 – Coeficientes de rigidez em X = 0
5.1.3 Modelo 2
A Tabela 5.3 apresenta os coeficientes de rigidez (k) na direção vertical (z) do Modelo
2, calculados para um quadrante da fundação, pela formulação de DOMÍNGUEZ e
ABASCAL (1984) descrita em2.2.1.2.
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(kN/m)
X (m)
K (Modelo 0)
K (Modelo 1)
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
(kN/m)
Y (m)
K (Modelo 0)
K (Modelo 1)
34
Tabela 5.3 – Coeficientes de rigidez dos nós na direção vertical
A Tabela 5.4 apresenta os coeficientes de amortecimento (C) para um quadrante da
fundação.
Tabela 5.4 – Coeficientes de amortecimento dos nós na direção vertical
As Figuras 5.3 e 5.4 apresentam a variação dos coeficientes K eC ao longo de
planos transversais ao bloco (planos Y = 0 e X = 0, respectivamente).
Figura 5.3 – Coeficientes de impedância em Y = 0
= 74,33 rad/s
K (kN/m ) X = 0 X = ±0,45 X = ±0,90 X = ±1,35 X = ±1,80 X = ±2,25 X = ±2,70 X = ±3,15
Y = 0 991 1048 1228 1560 2147 2952 7976 6287
Y = ±0,45 1198 1256 1438 1774 2366 3173 8276 6477
Y = ±0,90 1722 1781 1965 2303 2896 3678 9023 6984
Y = ±1,35 5581 5673 5960 6477 7343 8519 14827 10251
Y = ±1,80 4562 4625 4820 5169 5740 6538 10092 6601
= 74,33 rad/s
C (kN/m) X = 0 X = ±0,45 X = ±0,90 X = ±1,35 X = ±1,80 X = ±2,25 X = ±2,70 X = ±3,15
Y = 0 3905 3908 3922 3962 4091 4230 7079 4944
Y = ±0,45 4031 4033 4045 4082 4208 4340 7203 5016
Y = ±0,90 4257 4258 4266 4294 4405 4504 7423 5166
Y = ±1,35 7585 7580 7573 7580 7673 7775 10904 7006
Y = ±1,80 5405 5401 5391 5388 5430 5496 7144 4384
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(kN/m)
X (m)
K
ωC
35
Figura 5.4– Coeficientes de impedância em X = 0
5.2 Comparação com o bloco perfeitamente rígido
Conforme discutido em 4.3, o somatório de todos os termos da matriz de rigidez
fornece a rigidez equivalente à de um bloco perfeitamente rígido. A rigidez equivalente Keq
dos modelos é apresentada na Tabela 5.5:
Tabela 5.5 – Rigidez equivalente de um bloco rígido.
Keq (kN/m) Ceq (kN∙s/m)
Modelo 0 810.370 –
Modelo 1 809.650 –
Modelo 2 697.200 10.206
5.2.1 Comparação com outras metodologias
A Tabela 5.6 apresenta os resultados obtidos para os casos estáticos (Modelos 0 e 1).
Utilizou-se como parâmetro de comparação a expressão aproximada — e independente de
— de WOLF (1994) para fundações retangulares.
Tabela 5.6 – Rigidez equivalente para blocos rígidos (independentes da frequência)
KEST (kN/m) Discrep. Relativa
(%)
WOLF (1994) 812.150 —
Modelo 0 810.370 0,2
Modelo 1 809.650 0,3
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
(kN/m)
Y (m)
K
ωC
36
A Tabela 5.7 apresenta a comparação da rigidez equivalente Keq obtidos no Modelo 2
(DOMÍNGUEZ e ABASCAL, 1984) com as expressões de LUCO (1974) e PAIS e KAUSEL
(1988), sendo ambas soluções dependentes da frequência circular .
Tabela 5.7 – Rigidez equivalente para blocos rígidos
K (kN/m)
Discrep. Relativa
(%)
DOMÍNGUEZ e
ABASCAL(1984)
(Modelo 2)
697.200 —
LUCO (1974) 672.031 3,7
PAIS e KAUSEL
(1988) 679.268 2,6
A Tabela 5.8 apresenta a comparação do amortecimento equivalente Ceq obtidos no
Modelo 2 (DOMÍNGUEZ e ABASCAL, 1984), com as expressões de LUCO (1974) e PAIS e
KAUSEL (1988).
Tabela 5.8 – Amortecimento equivalente para blocos rígidos.
C (kN∙s/m)
Discrep. Relativa
(%)
DOMÍNGUEZ e
ABASCAL (1984)
(Modelo 2)
10.206 -
LUCO (1974) 10.762 5,3
RICHART et al. (1970) 10.520 3,0
PAIS e KAUSEL
(1988) 12.729 22,0
Análise paramétrica em função de
Conforme discutido em 4.3, o somatório de todos os termos da matriz de rigidez
fornece a rigidez equivalente à de um bloco perfeitamente rígido. A Figura 5.5 apresenta a
variação da rigidez (K) do Modelo 2, calculada para blocos rígidos, em função da variação de
. A rigidez equivalente obtida através dessa metodologia é comparada com as calculadas
pelos métodos de PAIS e KAUSEL (1988) e LUCO (1974).
37
Figura 5.5 – Rigidez vertical para blocos rígidos
A Figura 5.6 apresenta a comparação entre o amortecimento (C) calculado através das
mesmas metodologias.
Figura 5.6– Amortecimento vertical para blocos rígidos
0,00E+00
3,00E+05
6,00E+05
9,00E+05
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
K (kN/m)
a0=ωR/cs
K (Luco)
K (Pais/Kausel)
K (Domínguez)
0,00E+00
5,00E+03
1,00E+04
1,50E+04
2,00E+04
0,1 0,6 1,1 1,6 2,1 2,6 3,1
C (kN∙s/m)
a0=ωR/cs
C (Luco)
C (Pais/Kausel)
C (Domínguez)
38
A Figura 5.7 apresenta uma comparação da variação dos parâmetros adimensionais k e
c em função de 0a . Segundo GAZETAS (1983), para solo homogêneo, os parâmetros k e c
podem ser considerados como constantes em 1,0 e 0,68, respectivamente.
Figura 5.7– Variação de k e c em função de a0.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
a0=ωR/cs
k (Domínguez)
c (Domínguez)
k (Gazetas)
c (Gazetas)
39
6 CONCLUSÃO
6.1 Análise dos resultados
Os Modelos 0 e 1 apresentaram distribuição dos coeficientes de rigidez k praticamente
idêntica em toda a base da fundação, conforme as Figuras 5.1 e 5.2. Na comparação com a
rigidez equivalente de blocos rígidos, a discrepância relativa de ambos os modelos em relação
à expressão aproximada de WOLF (1994) foi menor que 1%, conforme a Tabela 5.6. A
concordância do Modelo 0 com a expressão de WOLF (1994) é importante para a validação
do algoritmo que obtém as matrizes de rigidez. A concordância do Modelo 1 com o Modelo 0
é importante para a validação das expressões de DOMÍNGUEZ e ABASCAL (1984) para o
cálculo das matrizes. Com esses resultados, pode-se analisar os resultados do Modelo 2 (que
trata de forças dinâmicas) com mais segurança.
As Figuras 5.3 e 5.4 mostram que o amortecimento C tem comportamento similar à
rigidez K: ambos se concentram nos contornos da fundação. A distribuição da rigidez, que
representa a reação do solo, concorda com outros resultados presentes na literatura, como os
baseados na Teoria da Elasticidade, conforme a Figura 2.9. Já o amortecimento C, por falta de
dados experimentais e estudos teóricos em blocos flexíveis, muitas vezes é tratado como
tendo distribuição homogênea na base da fundação. Os resultados deste trabalho sugerem que
tratar o amortecimento com uma distribuição similar à rigidez (concentrada nos contornos)
pode ser preferível em relação à distribuição homogênea.
Na comparação com a rigidez equivalente de blocos perfeitamente rígidos, o Modelo 2
apresentou discrepâncias relativas menores que 5% em relação às expressões de LUCO (1974)
e PAIS e KAUSEL (1988), conforme a Tabela 5.7. O amortecimento equivalente apresentou
discrepância relativa de 5,3% em relação a metodologia de LUCO (1974) e 22% em relação a
de PAIS e KAUSEL (1988), conforme a Tabela 5.8. Cabe ressaltar que a metodologia de
PAIS e KAUSEL (1988) é mais simplificada quando se trata do amortecimento,
considerando-o como independente da frequência de excitação (ou seja, assume valor
constante para qualquer , conforme a Figura 5.6).
A análise paramétrica mostra que o amortecimento do solo se comporta como um
material viscoelástico: a dissipação de energia devido ao amortecimento aumenta conforme
cresce, concordando com a Eq. (2.23). Essa conclusão também já havia sido apresentada
por LUCO (1974), que mostra que K diminui e C aumenta conforme a frequência de
40
excitação aumenta. Esse comportamento pode ser observado nas Figuras 5.5 e 5.6, onde os
resultados de DOMÍNGUEZ e ABASCAL (1984) e LUCO (1974) apresentam
comportamento similar. GAZETAS (1983) considera os coeficientes k e c, das funções de
impedância apresentadas na Eq. (2.39), como independentes da frequência, conforme a Figura
5.7. Para a0 → 0, os coeficientes k e c do Modelo 2 concordam com os resultados
apresentados por GAZETAS (1983).
Deve-se observar que a metodologia aplicada no Modelo 2 usa equações para um meio
infinito e elástico, ou seja, esse é um modelo capaz de representar apenas as respostas
relacionadas às ondas de volume, discutidas em 3.1, não levando em conta a influência das
ondas de superfície (ondas de Rayleigh, localizadas na fronteira do semiespaço). Apesar disso,
o fator de correção aplicado aos deslocamentos mostrou resultados coerentes com outras
metodologias.
6.2 Sugestões para trabalhos futuros
Sugere-se a análise da influência das ondas de superfície — não contempladas na
metodologia deste trabalho — na rigidez do solo. Esses efeitos são relevantes sobretudo na
análise de solos estratificados, devido às ondas de Love (ondas Q), porém é possível que as
ondas de Rayleigh (ondas R) tenham influência sobre os resultados para solos homogêneos,
devido à consideração do solo como um semiespaço infinito.
41
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE MECÂNICA DOS SOLOS E ENGENHARIA
GEOTÉCNICA (ABMS) e ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE EMPRESAS DE ENGENHARIA
DE FUNDAÇÕES E GEOTECNIA (ABEF), Fundações, Teoria e Prática, 1ª ed., Editora Pini,
São Paulo, SP, Brasil, 1998.
DOMÍNGUEZ, A. e ABASCAL, R., On fundamental solutions for the boundary integral
equations method in static and dynamic elasticity, Engineering Analysis, Vol. 1, No. 3, 1984.
GAZETAS, G., Analysis of Machine Foundation Vibrations: State of the Art, Soil Dynamics
and Earthquake Engineering, Vol. 2, No. 1, 1983
LIMA, S. S., Análise de Estruturas com Computadores. 1ª ed. – Editora Ciência Moderna, Rio de
Janeiro – RJ, Brasil, 2017.
LIMA, S. S. e SANTOS, S.H.C., Análise Dinâmica das Estruturas. 1ª ed. – Editora Ciência
Moderna, Rio de Janeiro - RJ, Brasil, 2008.
LUCO, J. E., Impedance Functions for a Rigid Foundation on a Layered Medium, Nuclear
Engineering and Design 31, 1974.
PAIS, A. e KAUSEL, E., Approximate formulas for dynamic stiffnesses of rigid foundations,
Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Vol. 7, No. 4, 1988.
RIBEIRO, M. A. A., Análise Comparativa de Métodos Utilizados no Cálculo da Interação Solo-
radier, Projeto Final de Graduação, UFRJ - Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola
Politécnica, Rio de Janeiro, 2010.
RICHART Jr., F. E., WOODS, R. D., HALL Jr., J.R., Vibrations of Soils and Foundations, 1ªed. -
Prentice-Hall, Inc., The University of Michigan, Ann Arbor - MI, USA, 1970.
SANTOS, S.H.C. e GUIMARÃES, J.T.G., Análise de Placas de Fundação considerando a
Matriz de Rigidez do Solo Condensada na Superfície, IX Congresso Latino-Americano e Ibérico
sobre Métodos Computacionais para Engenharia, Córdoba, Argentina, 1988.
SANTOS, S.H.C., Fundações de Máquinas. (apostila), Universidade Federal do Rio de Janeiro,
Rio de Janeiro, Brasil, 2017.
SANTOS, J., Apontamentos sobre dinâmica de fundações, Mestrado em geotecnia para
Engenharia Civil, Instituto Superior Técnico/Universidade Nova de Lisboa/LNEC, 2002.
WOLF, J. P., Foundation Vibration Analysis using Simple Physical Models. 1ª ed. – PTR Prentice
Hall, University of Michigan –MI, USA, 1994.