analyse statistique des données expérimentales incertitudes et analyse des erreurs dans les...
TRANSCRIPT
![Page 1: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/1.jpg)
Analyse statistique des données expérimentales
Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques
John Taylor
![Page 2: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/2.jpg)
Plan
• Introduction : incertitudes sur les données
• Probabilités
• Distributions de probabilités
• Incertitudes, propagation des incertitudes
• Ajustement de courbes
![Page 3: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/3.jpg)
Mesure et incertitude
• Toutes les quantités mesurées le sont à une précision finie
• La science de la mesure consiste à– mesurer à la meilleure précision possible– d’évaluer l’incertitude sur la mesure
![Page 4: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/4.jpg)
Erreur vs incertitude
• Erreur : écart entre la mesure et la valeur vraie (en général inconnue)
• Incertitude : écart probable• Les barres d’incertitude contiennent probablement
la valeur vraie• Attention de ne pas sous-évaluer l’incertitude• Mieux vaut une mesure présentant une grande
incertitude mais qui contienne la valeur vraie que l’inverse
![Page 5: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/5.jpg)
Mesure et incertitude
• Chiffres significatifs et mesure
• Quelle est la signification de :– Albert a 22 ans– J’ai parcouru 100 kilomètres à vélo– Le LEP mesure 26,66 km de circonférence– Ce pointeur laser éclaire à 50 m– This laser pointer shines to 54,68 yards
![Page 6: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/6.jpg)
Mesure et incertitude
• Quelle est la signification de:– G = (6,67428 ± 0,00067) × 1011 m3 kg1s2
– me = (9,10938215 × 1031 kg) ± 50 ppb
– www.physics.nist.gov/constants
![Page 7: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/7.jpg)
Chiffres significatifs
a = 7,35678 ± 0,345 (utilisation incorrecte)
a = 7,3 ± 0,3
a = 7,356 ± 0,04
a = 7,3568 ± 0,005
a = 7,35678 ± 0,0007
On arrondit l’incertitude à 1 chiffre significatif
On arrondit la valeur au dernier chiffre significatif
![Page 8: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/8.jpg)
Chiffres significatifs (exemple)
• Soit a = 3 m et b = 7 m• a/b = 0,428571 ... ?• a/b = 0,4
![Page 9: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/9.jpg)
Incertitude
• Erreur de mesure
• Erreur systématique
• Incertitude aléatoire
• Incertitude sur une quantité dérivée
• Propagation des incertitudes
• Distribution de probabilité
![Page 10: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/10.jpg)
Erreur de mesure
• Mesure de distance avec une règle graduée en millimètres:– La précision ~ ½ mm
• Mesure de tension avec un multimètre:– La précision dépend de l’appareil– L’appareil est très précis mais la tension varie
![Page 11: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/11.jpg)
Erreur systématique
• Vous avez mesuré une longueur à ± ½ mm– Mais la règle est fausse de 10% !
• Vous avez mesuré une tension à 0,01%– Mais l’appareil est décalibré de 5%
• Vous avez fait une mesure avec grand soin– Mais un des appareils était débranché
![Page 12: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/12.jpg)
Incertitude aléatoire (statistique)
• Vous répétez une mesure 100 fois
• Les résultats se ressemblent mais ...
![Page 13: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/13.jpg)
Incertitude
• L’ensemble des valeurs possibles sont décrites par une distribution de probabilité
• L’incertitude représente un intervalle à l’intérieur duquel la vraie valeur se trouve probablement
• L’incertitude = 1 déviation standard
![Page 14: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/14.jpg)
Incertitude
Quelle est la signification de:– G = (6,67428 ± 0,00067) × 1011 m3 kg1s2
– me = (9,10938215 × 1031 kg) ± 50 ppb
– L’incertitude = une déviation standard– La probabilité que la vraie valeur soit dans cet
intervalle est de 68%
![Page 15: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/15.jpg)
Exemple de mesures
• Fréquence d’un pendule (~ 1 s)
• Chronomètre très précis (~ 1s par an)
• À quelle précision puis-je mesurer la période ?– quelques dixièmes de seconde
• L’histogramme présente une fluctuation
• Je peux moyenner sur plusieurs périodes
![Page 16: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/16.jpg)
Exemple de mesures
• Fréquence de ma respiration
• Même précision de mesure que précédemment
• L’histogramme est plus large
• Le phénomène présente plus de variabilité que la précision de la mesure
• Je peux moyenner
![Page 17: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/17.jpg)
Incertitude relative ou fractionnaire
– G = (6,67428 ± 0,00067) × 1011 m3 kg1s2
– G = 6,67428 × 1011 m3 kg1s2
– G = 0,00067 × 1011 m3 kg1s2
– G/G = 0,00067/ 6,67428 = 10-4 = 0,01 %
– me = (9,10938215 × 1031 kg) ± 50 ppb
– me/ me = 5 × 108
– me= 4,6 × 108 kg
![Page 18: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/18.jpg)
Propagation des incertitudesAdditions et soustractions
• a = 9 ± 3 a entre 6 et 12
• b = 7 ± 2 b entre 5 et 9
• s = a + b = 16 ± 5 car s entre 11 et 21
• d = a b = 2 ± 5car d entre 3 et 7
![Page 19: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/19.jpg)
Propagation des incertitudesProduits et quotients
• a = 29 ± 3 a entre 26 et 32
• b = 37 ± 2 b entre 35 et 39
• ab = 1073 et est entre 910 et 1248
![Page 20: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/20.jpg)
Probabilitéset
Statistiques
![Page 21: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/21.jpg)
Probabilité
• Probabilité qu’un événement X se produise
NNP
succès de nombrelim
Où N = nombre d’essais
![Page 22: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/22.jpg)
Probabilité
• On lance un dé
• 6 résultats possibles
• Chaque résultat a un pi = 1/6
10 ip
1 ip Normalisation
![Page 23: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/23.jpg)
Complément
• p = la probabilité que X se produise
• 1 p = la probabilité que X ne se produise pas
• q = 1 p est le complément de p
![Page 24: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/24.jpg)
Calcul de la probabilité
• 1) Calculez le nombre total de combinaisons N, supposées équiprobables
• 2) Calculez le nombre de ces combinaisons qui représentent un succès S
• 3) p = S/N
![Page 25: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/25.jpg)
Calcul de probabilité
• Probabilité de tirer 3 avec 1 dé
• 1) N = 6 possibilités
• 2) S = 1 seule bonne combinaison
• 3) p = 1/6
![Page 26: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/26.jpg)
Calcul de probabilité
• Probabilité de tirer une somme de 4 avec 2 dés
• 1) N = 6 x 6 = 36 possibilités
• 2) S = 3 (1,3) (2,2) (3,1)
• 3) p = 3/36 = 1/12
![Page 27: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/27.jpg)
Calcul de probabilité
• Probabilité de tirer une somme de 7 avec 2 dés
• 1) N = 36
• 2) S = 6 (énumérez les)
• 3) p = 6/36 = 1/6
![Page 28: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/28.jpg)
Distribution de probabilité
• Indique la probabilité de succès pour chaque type d’événement
• Se présente sous forme graphique
![Page 29: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/29.jpg)
Distribution pour 1 dé
![Page 30: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/30.jpg)
Somme de 2 dés
![Page 31: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/31.jpg)
Distributions
• Propriétés des distributions– Moyenne, mode, médiane– Valeur attendue– Moments
• Distributions de probabilité particulières– Binôme, Gauss, Poisson, ...
![Page 32: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/32.jpg)
2 types de distributions
• Distributions discrètes
• Distributions continues
![Page 33: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/33.jpg)
Distributions discrètes
(comme on a déjà vu)
– P(xi) > 0 pour des xi discrets
– P(xi) = 0 partout ailleurs
1 ip
![Page 34: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/34.jpg)
Somme de 2 dés
![Page 35: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/35.jpg)
Distributions continues
• Le nombre de résultats permis est • Chaque résultat a une probabilité = 0
• On définit la densité de probabilitéf(x) dx = probabilité de trouver le résultat entre
x et x + dx
Normalisation: 1)(
dxxf
![Page 36: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/36.jpg)
Distribution continue
![Page 37: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/37.jpg)
Mode
• Valeur la plus probable
= 7 pour la somme de 2 dés
Non défini pour un dé
Non défini pour pile ou face
![Page 38: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/38.jpg)
Médiane
• Point qui sépare la distribution en 2 moitiés égales
• = 7 pour la somme de 2 dés
• = 3,5 pour un dé (ou toute valeur entre 3 et 4)
![Page 39: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/39.jpg)
Moyenne
• Ou valeur attendue
• Discrète :
• Continue :
dxxxp
xpx ii
)(
)(
![Page 40: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/40.jpg)
Pour une distribution symétrique
• Moyenne = Mode = Médiane
![Page 41: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/41.jpg)
![Page 42: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/42.jpg)
Valeur estimée
• Moyenne = – est la valeur attendue (ou estimée) de x– Notée
• La moyenne de x est la valeur estimée de x
• La valeur attendue de toute fonction f(x) est
dxxxpxpx ii )(ou )(
dxxpxfxpxff ii )()(ou )()(
x
![Page 43: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/43.jpg)
Normalisation
1)(1)(
1)(1)(
dxxpdxxp
xpxp ii
La normalisation représente la valeur attendue de 1qui est bien sûr égale à 1
![Page 44: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/44.jpg)
Propriétés de la valeur attendue
nn xx
xgbxfaxbgxaf
)()()()(
![Page 45: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/45.jpg)
Ex: N lettres au hasard dans N enveloppes
Combien y a-t-il de lettres dans la bonne enveloppe?
Xi= 0 ou 1 selon que la lettre i est dans la bonne enveloppe ou non
![Page 46: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/46.jpg)
Ex: N lettres au hasard dans N enveloppesCombien y a-t-il de lettres dans la bonne enveloppe?
Xi= 0 ou 1 selon que la lettre i est dans la bonne enveloppe ou non
1/1*/1
1
NNNXXX
XXNX
ii
i
i
Quel que soit N, il y a en moyenne 1 lettre dans la bonne enveloppe
![Page 47: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/47.jpg)
Moments
• Différentes distributions peuvent avoir la même moyenne mais être différentes
![Page 48: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/48.jpg)
Moments
• On peut représenter une distribution par l’ensemble de ses moments
22
1
0 1
xm
µm
m
xm ii
...
Normalisation
Moyenne
![Page 49: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/49.jpg)
Moments centrés
• On soustrait la moyenne pour recentrer
22
1
0
0
1
µxµ
µ
µ
µxµ ii
Normalisation
Moyenne recentrée = 0
Variance = s
...
![Page 50: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/50.jpg)
Écart-type
• Représente la largeur de la distribution
= Écart quadratique
moyen
= Déviation moyenne
22
2222
22
22
22
222
2
2
2
2)(
xxs
xxµx
µµµx
µxµx
µµxx
µµxxµxs
![Page 51: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/51.jpg)
Mesure et incertitude
• Je mesure une quantité 5 fois
• x = 17, 16, 18, 17, 18
• Quelle est la valeur probable de x et son incertitude ?
7,02,17
0,75
1
2,175
1
22
x
µx
xxµ
i
i
![Page 52: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/52.jpg)
Probabilité de N événements
• Obtenir 25 piles en 35 lancers
• Obtenir 30 fois 6 en 100 lancers
• Que 10 noyaux de radium se désintègrent en 5 minutes
• Que la bactérie se divise 20 fois en 1 heure
• Que 8 de vos 10 mesures soient dans un certain intervalle
![Page 53: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/53.jpg)
Distribution binômiale
• On lance un dé 100 fois
• La valeur attendue du nombre de 6 est ~17
• Quelle est la probabilité de tirer r fois 6 ?
![Page 54: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/54.jpg)
• Toutes les séries (a1, a2,..., a100) sont équiprobables
• La probabilité de 6 à chaque case est p = 1/6
• Chaque combinaison de r succès et nr échecs a une probabilité
rnr pp )1(
)!(!
!
rnr
n
r
n
rnrB pp
rnr
npnrP
)1(
)!(!
!);;(
•Il y a combinaisons de r succès
Probabilité pour r succès et nr échecs =
![Page 55: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/55.jpg)
67,1)1(
33,36/20
pnp
npµ
![Page 56: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/56.jpg)
727,3)1(
66,166/100
pnp
npµ
![Page 57: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/57.jpg)
Désintégration radioactive
• 1 g de radium = 2,7*1021 atomes = 1 Ci = 1,7*1010 désintégrations/s
• Demi-vie = 5,26 *108 min ~ 1000 ans
• Probabilité qu’un atome donné se désintègre dans les 5 minutes est faible p ~ 108
• µ = np = 5*1012 désintégrations en 5 minutes
![Page 58: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/58.jpg)
• Probabilité de r désintégrations =
rnrB pp
rnr
npnrP
)1(
)!(!
!);;(
Mais n! est impossible à calculern est très grandp est très petitnp = µ est finiOn remplace p par µ/n
![Page 59: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/59.jpg)
r
nr
r
r
n
r
r
rnr
B
nµ
nµ
µ
rn
rnnn
nµnµ
n
µ
rnr
n
n
µ
n
µ
rnr
npnrP
)1(
)1(
!
)1)...(1(
)1(
)1(
)!(!
!
)1()!(!
!);;(
![Page 60: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/60.jpg)
1)1)...(1(lim
11lim
1lim
)1(
)1(
!
)1)...(1();;(
r
r
µn
r
nr
rB
n
rnnn
n
n
µ
n
en
µ
n
nµ
nµ
µ
rn
rnnnpnrP
![Page 61: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/61.jpg)
Distribution de Poisson
),(!
);;(lim
)1(
)1(
!
)1)...(1();;(
µrPr
µepnrP
n
nµ
nµ
µ
rn
rnnnpnrP
P
rµ
B
r
nr
rB
![Page 62: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/62.jpg)
n = 10, p = 0,5µ = 5
n = 100, p = 0,05µ = 5
![Page 63: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/63.jpg)
Propriétés de la distribution de Poisson
• Normalisation
• Écart-type
1!
!),(
0
0
µµ
x
xµ
x
xµ
P
eex
µe
x
µeµxP
µnppnp )1(
![Page 64: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/64.jpg)
Rayons cosmiques
• 180 rayons cosmiques / (m2 min)
• Combien en passe-t-il en 10 secondes ?
• µ = 180*10/60 = 30
• On peut prédire qu’il passera
rayons cosmiques en 10 secondes
3030
![Page 65: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/65.jpg)
5,530
30
secondes 10
7,13
3
seconde 1
![Page 66: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/66.jpg)
Distributions de Poisson
• Nombre de fautes de frappe dans une page
• Nombre d’individus vivant plus de 100 ans
• Nombre de émis par une source
• Nombre d’incendies à Montréal par semaine
• Nombre de gens tirant le numéro gagnant
![Page 67: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/67.jpg)
Additivité
• x obéit à
• y obéit à
• Alors, z = x + y obéit à
),,( pmxPB
),,( pnyPB),,( pnmzPB
22yxz
yxz
![Page 68: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/68.jpg)
Additivité
• x obéit à
• y obéit à
• Alors, z = x + y obéit à
),( 1µxPP
),( 2µyPP),( 21 µµzPP
22yxz
yxz
![Page 69: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/69.jpg)
Distribution gaussienne
• La distribution de Poisson est asymétrique
• Mais devient plus symétrique pour µ grand
• Pour µ>30, la distribution est symétrique
![Page 70: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/70.jpg)
5,530
30
secondes 10
7,13
3
seconde 1
![Page 71: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/71.jpg)
Distribution gaussienne
• Abraham de Moivre 1733
• Distribution continue de à
• Maximum en x = µ
• Forme en cloche
• D’application très générale – Théorème de la limite centrale
• Approximation de pour µ grand
),( µxPP
![Page 72: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/72.jpg)
Distribution gaussienne
• Taille des individus
• QI
• Incertitudes
• Vitesse des molécules
2
2
2
2
1)(
µx
G exP
![Page 73: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/73.jpg)
![Page 74: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/74.jpg)
Distribution gaussienne
• 2 paramètres : µ et • Symétrique autour de µ
![Page 75: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/75.jpg)
Additivité
• x obéit à
• y obéit à
• Alors, z = x + y obéit à
),,( xxG µxP ),,( yyG µyP
),,( zzG µzP
22yxz
yxz
![Page 76: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/76.jpg)
Distribution normale
• Distribution gaussienne
• µ = 0
= 1
Fonction tabulée
Fonction standard
2
2
2
1)(
x
N exP
![Page 77: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/77.jpg)
Distribution normale
![Page 78: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/78.jpg)
1
1
%6868269,0)( dxxPN
![Page 79: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/79.jpg)
68,0
68,0
5,0)( dxxPN 68,0P.E.
![Page 80: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/80.jpg)
35,2Largeur à mi-hauteur
![Page 81: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/81.jpg)
Distribution gaussienne
35,2
68,0..
2
1)(
%6868269,0)(
68,0
68,0
EP
dxxP
dxxP
G
G
![Page 82: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/82.jpg)
Fonction erreur erf(x)
21
)(
1)(
2
2
2
2
aerfdxedxxP
dxeaerf
a
a
xa
aN
a
a
x
![Page 83: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/83.jpg)
Fonction erreur
5,0)2/68,0(
68,0)(
1)(
0)0(
2
erf
erf
erf
erf
![Page 84: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/84.jpg)
Théorème de la limite centrale
• Sans démonstration
• Indique pourquoi tant de phénomènes obéissent à une distribution gaussienne
![Page 85: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/85.jpg)
Théorème de la limite centrale
• Soit xi i = 1, ..., n n variables indépendantes
• Les xi obéissent à des distributions caractérisées par des µi et des i
• Alors, est distribuée selon une
• gaussienne avec
n
iix
1
n
ii
n
iiµµ
1
22
1
et
![Page 86: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/86.jpg)
5,530
30
7,13
3
![Page 87: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/87.jpg)
Lorentz
• Pas de lien avec les autres distributions
• Phénomènes de résonance
• Circuits RLC
![Page 88: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/88.jpg)
Lorentz
• est infini
• On utilise
222
21
µxPL
![Page 89: Analyse statistique des données expérimentales Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques John Taylor](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062312/551d9dba497959293b8de50e/html5/thumbnails/89.jpg)
Lorentz