analogna mikroelektronika - osnovna rc i rl...

Analogna mikroelektronikaOsnovna RC i RL kola

Z. Prijic, D. Dankovic

Univerzitet u Nišu, Elektronski fakultet u NišuKatedra za mikroelektroniku

Dodatni materijal

Z. Prijic, D. Dankovic Analogna mikroelektronika Dodatni materijal 1 / 81

Deo I

RC kola


Sadržaj

1 Definicije

2 RC kolo

3 CR kolo

4 Uticaj širine i periode impulsaIntegratorDiferencijator


Definicije

Definicije

Kapacitivnost C:

C =Q

VC, (1)

pri cemu je Q kolicina naelektrisanja na oblogama kondenzatora,a VC je napon na kondenzatoru.Struja i je promena kolicine naelektrisanja Q u vremenu t:

i =dQ

dt. (2)


Definicije

DefinicijeImpulsna pobuda

Pod impulsnom pobudom se podrazumeva povorka naponskih impulsa:

Amplituda impulsa je VS . Impulsi se kontinualno ponavljaju u vremenusa periodom T . Ucestanost impulsa je f = 1/T . Faktor iskorišcenjaperiode (Duty Cycle) je:

D =tONT× 100 (%)


Definicije

DefinicijeImpulsna pobuda

Vreme tON naziva se i vremenom trajanja impulsa, odnosno njegovomširinom (pulse width).Impuls ima prednju i zadnju ivicu:

prednja ivica (leading edge) zadnja ivica (trailing edge)

Kod realnih impusa promena amplitude nije trenutna, vec postoje ko-nacna vremena porasta prednje i opadanja zadnje ivice.


Definicije

DefinicijeVreme porasta prednje ivice impulsa (rise time) tr, VS = 5V, f = 1MHz

Definiše se kao vreme za koje impuls poraste od 10% do 90% nomi-nalne vrednosti VS .


Definicije

DefinicijeVreme opadanja zadnje ivice impulsa (fall time) tf , VS = 5V, f = 1MHz

Definiše se kao vreme za koje impuls opadne od 90% do 10% nomi-nalne vrednosti VS .


RC kolo

RC koloOsnovno kolo

Na ulaz kola dovodi se povorka naponskih impulsa vs sa amplitudomVS i periodom T , pod pretpostavkom da je tr = tf = 0. Pre pocetkadovodenja impulsa kondenzator je bio prazan, tj. na njegovim oblogamanije bilo razdvojenih naelektrisanja.


RC kolo

RC koloIntuitivna analiza

U trenutku dovodenja impulsa kondenzator je prazan, pa je vC(t = 0) ≡vC(0) = 0. Sav pad napona je na otporniku, pa je vR(0) = VS . Poddejstvom impulsa kondenzator pocinje da se puni, pa napon vC raste,dok napon vR opada. Kroz kolo tece struja iC .


RC kolo


Slika 1. Ekvivalentno kolo tokom vremena tON .

Ako je vreme tON dovoljno dugo, kondenzator ce se napuniti na vred-nost napona VS , pa ce struja iC prestati da tece.


RC kolo


U trenutku ukidanja impulsa kondenzator je pun, pa je vC(tON ) = VS .Na otporniku se pojavljuje napon vR(tON ) = −VS . Struja iC menja smeri kondenzator se prazni preko otpornika.

Slika 2. Ekvivalentno kolo tokom vremena tOFF .

Ako je vreme tOFF dovoljno dugo, kondenzator ce se isprazniti do nule,pa ce struja iC prestati da tece.


RC kolo

RC koloKvalitativna analiza

Cilj je pronaci zavisnost vC(t) tokom punjenja kondenzatora.Na osnovu Kirhofovog zakona za napon je:

vs = vR + vC . (3)

Struja u kolu je, na osnovu (1) i (2):

iC = CdvCdt

. (4)

S obzirom da je u pitanju redna veza, ista struja tece i kroz otpornik(iC = iR, vR = RiR):

vR = RiC = RCdvCdt

. (5)


RC kolo


Nakon dovodenja impulsa je vS = VS . Zamenom (5) u (3) i preurediva-njem:

dvCdt

=VS − vCRC

,

odnosno:1

RCdt =

dvCVS − vC

.

Tokom vremena t napon na kondenzatoru ce se promeniti, od 0 do (uopštem slucaju) neke vrednosti vC . Prema tome:∫ t

0

1

RCdt =

∫ vC

0

dvCVS − vC

. (6)


RC kolo


Rešenje (6) je:1

RCt

∣∣∣∣t0

= − ln(VS − vC)

∣∣∣∣vC0

,

odnosno:

ln(VS − vC)

∣∣∣∣vC0

= − 1

RCt

∣∣∣∣t0

Napomena: Desna strana (6) rešava se smenom VS − vC = z ⇒ dvC = −dz, pa se svodi natablicni integral:

−∫

dz

z= − ln |z| = − ln |VS − vC | = − ln(VS − vC) .

Pošto napon vC ne može biti veci od napona VS , nema potrebe za zadržavanjem apsolutnevrednosti argumenta logaritma.


RC kolo


Nakon zamene granica:

ln(VS − vC)− ln(VS − 0) = − 1

RC(t− 0) ,

odakle je:

ln

(VS − vCVS

)= − 1

RCt . (7)

Iz (7) je:VS − vCVS

= e−t/RC ,

odnosno:vC = VS(1− e−t/RC) . (8)

Napomena: Prema svojstvima logaritama je lnx− ln y = ln(x/y).


RC kolo


Izrazom (8) opisana je zavisnost promene napona na kondenzatoru to-kom punjenja od vremena trajanja impulsa. U trenutku t = 0 je vC = 0,a kada t → ∞ tada je vC = VS . Zavisnost je eksponencijalna, tj. kon-denzator se u pocetku puni brzo, a zatim sve sporije. Stuja punjenja jesve manja i manja, da bi, nakon dovoljno dugog vremena, postala za-nemarljiva. Teorijski, napon na kondenzatoru asimptotski teži naponuVS .


RC kolo


Cilj je pronaci zavisnost vC(t) tokom pražnjenja kondenzatora.

Po prestanku dejstva impulsa je vs = 0. Zadržavajuci konvenciju zaznake napona i struje sa Sl. 1, iz (3), (4) i (5) je:

0 = vR + vC . (9)

0 = RCdvCdt

+ vC . (10)

Iz (10) je:dvCvC

= − 1

RCdt . (11)


RC kolo


Pošto je kondenzator pun, tokom vremena t napon na kondenzatoru cese promeniti, od VS do (u opštem slucaju) neke vrednosti vC . Prematome: ∫ vC

VS

dvCvC

= − 1

RC

∫ t

0dt ,

odnosno

ln vC

∣∣∣∣vCVS

= − 1

RCt

∣∣∣∣t0

.


lnvCVS

= − t

RC. (12)


RC kolo


Iz (12) je:vC = VSe

−t/RC . (13)

Izrazom (13) opisana je zavisnost promene napona na kondenzatorutokom pražnjenja od vremena trajanja impulsa. U trenutku t = 0 jevC = VS , a kada t → ∞ tada je vC = 0. Zavisnost je eksponencijalna,tj. kondenzator se u pocetku prazni brzo, a zatim sve sporije. Strujapražnjenja je sve manja i manja, da bi, nakon dovoljno dugog vremena,postala zanemarljiva. Teorijski, napon na kondenzatoru asimptotski težinuli.

Diferenciranjem (13) i zamenom u (4) dobija se iC = −(VSe−t/RC)/R.

Predznak „−“ ukazuje da struja u kolu tokom pražnjenja menja smer,kao što je oznaceno na Sl. 2.


RC kolo

RC koloVremenska konstanta

Definiše se vremenska konstanta RC kola:

τ = RC (s) . (14)

Ako je t = 5τ , tada je e−5τ/τ = e−5 ' 0, 0067, pa je:

Za punjenje kondenzatora:

vC = VS(1− e−5) = VS(1− 0, 0067) ' 0, 9933VS .

Za pražnjenje kondenzatora:

vC = VSe−5 ' 0, 0067VS .

U svim prakticnim slucajevima se može uzeti da se kondenzator u potpunostinapunio, odnosno ispraznio, za vreme t ≥ 5τ .


RC kolo

RC koloVremenska konstanta

Primer: Za R = 1 kΩ i C = 1µF, vremenska konstanta je:

τ = RC = 1 · 103 × 1 · 10−6 = 1ms .

Ako je tON > 5τ i tOFF > 5τ , kondenzator ce se u potpunosti napuniti,odnosno isprazniti, za vreme t ≥ 5τ = 5ms. Ako je amplituda impulsaVS = 5V onda ce napon na kondenzatoru za 5ms porasti od 0V do 5V.Po prestanku dejstva impulsa napon na kondenzatoru ce za 5ms opastiod 5V do 0V. Ciklus punjenja i pražnjenja se ponavlja sa povorkomimpulsa.


RC kolo

RC koloPrimer: R = 1 kΩ, C = 1 µF, VS = 5V, T = 20ms, D = 50%

v s (V

)

0

1

2

3

4

5

pražnjenje

punjenje

v C (V

)

0

1

2

3

4

5

t (ms)0 10 20 30 40 50


RC kolo

RC koloPrimer: R = 2,2 kΩ, C = 2,2 µF, VS = 5V, T = 100ms, D = 50%


RC kolo

RC koloPrimer: R = 1 kΩ, C = 1 µF, VS = 5V, T = 20ms, D = 50%

i C (m

A)

−6

−4

−2

0

2

4

6

v R (V

)

−6

−4

−2

0

2

4

6

t (ms)0 10 20 30 40 50


CR kolo

CR koloOsnovno kolo

Na ulaz kola dovodi se povorka naponskih impulsa vs sa amplitudomVS i periodom T , pod pretpostavkom da je tr = tf = 0. Pre pocetkadovodenja impulsa kondenzator je bio prazan, tj. na njegovim oblogamanije bilo razdvojenih naelektrisanja.


CR kolo

CR koloIntuitivna analiza

U trenutku dovodenja impulsa kondenzator je prazan, pa jevC(t = 0) ≡ vC(0) = 0. Sav pad napona je na otporniku, pa jevR(0) = VS . Pod dejstvom impulsa kondenzator pocinje da sepuni, pa napon vC raste, dok napon vR opada. Kroz kolo tecestruja iC . Ako je vreme tON dovoljno dugo, kondenzator ce senapuniti na vrednost napona VS , pa ce struja iC prestati da tece.U trenutku ukidanja impulsa kondenzator je pun, pa jevC(tON ) = VS . Na otporniku se pojavljuje napon vR(tON ) = −VS .Struja iC menja smer i kondenzator se prazni preko otpornika.Ako je vreme tOFF dovoljno dugo, kondenzator ce se isprazniti donule, pa ce struja iC prestati da tece.


CR kolo

CR koloKvalitativna analiza

Kvalitativna analiza se sprovodi na isti nacin kao i kod RC kola. Izrazikoji važe za RC kolo, važe i za CR kolo.

Osnovna razlika izmedu RC i CR kola je u obliku napona na izlazu. KodRC kola na izlazu je kondenzator, a kod CR kola na izlazu je otpornik,što utice na oblik izlaznog napona. Izlazni napon kod RC kola je vC , akod CR kola vR!

RC i CR kola se u literaturi zajednicki nazivaju RC kolima, tj. ne pravise razlika u „redosledu“ elemenata.


CR kolo

CR koloPrimer: R = 1 kΩ, C = 1 µF, VS = 5V, T = 20ms, D = 50%

v s (V

)

0

1

2

3

4

5

v C (V

)

0

1

2

3

4

5

t (ms)0 10 20 30 40 50


CR kolo

CR koloPrimer: R = 1 kΩ, C = 1 µF, VS = 5V, T = 20ms, D = 50%

i C (m

A)

−6

−4

−2

0

2

4

6

v R (V

)

−6

−4

−2

0

2

4

6

t (ms)0 10 20 30 40 50


CR kolo

CR koloPrimer: R = 2,2 kΩ, C = 2,2 µF, VS = 5V, T = 100ms, D = 50%


Uticaj širine i periode impulsa


Mogu se razlikovati cetiri slucaja:1 Vremena tON i tOFF su dovoljna da bi se kondenzator u

potpunosti napunio, odnosno ispraznio (tON , tOFF ≥ 5τ ).2 Vreme tON je dovoljno dugo da bi se kondenzator u potpunosti

napunio, ali vreme tOFF nije dovoljno da bi se u potpunostiispraznio (tON ≥ 5τ , tOFF ≤ 5τ ).

3 Vreme tON nije dovoljno dugo da bi se kondenzator u potpunostinapunio, ali vreme tOFF je dovoljno da bi se u potpunostiispraznio (tON ≤ 5τ , tOFF ≥ 5τ ).

4 Vremena tON i tOFF nisu dovoljna da bi se kondenzator upotpunosti napunio, odnosno ispraznio (tON , tOFF ≤ 5τ ).

Od veceg prakticnog znacaja su slucajevi 1 i 4.

Napomena: U praksi se umesto relacija ≥ ili ≤ uvek uzimaju > ili <, respektivno.



Uticaj širine i periode impulsaRC kolo, tON , tOFF < 5τ

Ako je vreme trajanja impulsa tON krace od 5τ , kondenzator se nece upotpunosti napuniti.

Na primer, ako je tON = 1ms, τ = 1ms i VS = 5V, sa nailaskom prvogimpulsa kondenzator ce se napuniti na vrednost napona:

vC1 = VS(1− e−t/τ ) = 5(1− e−1) ' 5(1− 0, 37) = 3,15V .

Ako je faktor iskorišcenja periode D = 50%, odnosno tOFF = 1ms, poprestanku dejstva prvog impulsa kondenzator ce se isprazniti do vred-nosti:

vC2 = vC1e−t/τ = 3, 15e−1 ' 1,16V .

Za vreme tOFF kondenzator se nece u potpunosti isprazniti.




Sa nailaskom drugog impulsa, kondenzator ponovo pocinje da se puni.Ovoga puta puni se od vC2, a ne od nule. Zbog toga maksimalna vred-nost napona na koji bi kondenzator mogao da se napuni nije više VS ,vec VS − vC2. Tokom drugog impulsa kondenzator se puni na vrednost:

vC3 = vC2 +(VS−vC2)(1−e−t/τ ) = 1, 16+(5−1, 16)(1−e−1) ' 3,59V .

Po prestanku dejstva drugog impulsa kondenzator ce se isprazniti dovrednosti:

vC4 = vC3e−t/τ = 3, 59e−1 ' 1,32V .




Tokom treceg impulsa kondenzator se puni na vrednost:

vC5 = vC4 +(VS−vC4)(1−e−t/τ ) = 1, 32+(5−1, 32)(1−e−1) ' 3,65V .

Po prestanku dejstva treceg impulsa kondenzator ce se isprazniti dovrednosti:

vC6 = vC5e−t/τ = 3, 65e−1 ' 1,34V .

Proces se sukcesivno natavlja. Kada ukupno vreme trajanja povorkeimpulsa bude vece od 5τ , napon na kondenzatoru ce varirati izmedu3,65V i 1,34V. Srednja vrednost napona ce biti:

vC =3, 65 + 1, 34

2' 2, 5 =

VS2.

U opštem slucaju, vC ce varirati oko vrednosti VS(tON/T ).



Uticaj širine i periode impulsaPrimer: RC kolo, R = 1 kΩ, C = 1 µF, VS = 5V, T = 2ms, D = 50%

v s (V

)

0

1

2

3

4

5

v C (V

)

0

1

2

3

4

t (ms)0 2 4 6 8 10



Uticaj širine i periode impulsaPrimer: RC kolo, R = 1 kΩ, C = 1 µF, VS = 5V, T = 1ms, D = 50%

v s (V

)

0

1

2

3

4

5

5τ

v C (V

)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

t (ms)0 2 4 6 8 10


Uticaj širine i periode impulsa Integrator

IntegratorRC kolo, tON , tOFF τ

Ako je tON τ , tada ce se kondenzator tokom trajanja impulsa napunitina vrednost napona koja je mnogo manja od vrednosti VS . Na primer,za VS = 5V, t = tON = 0,5ms i τ = 4,7ms, ako je kondenzator napocetku bio prazan napunice se na vrednost napona:

vC1 = VS(1− e−t/τ ) = 5(1− e−0,5/4,7) ' 0,5V = 0, 1VS .

Za vreme t = tOFF = 0,5ms ispraznice se na:

vC2 = vC1e−t/τ = 0, 5e−0,5/4,7 ' 0,45V .

Proces ce se sukcesivno nastaviti, kao što je prethodno opisano. Nakonvremena t > 5τ napon na kondezatoru ce varirati izmedu dve stabilnevrednosti, kao što je prikazano na Sl. 3.



IntegratorPrimer: RC kolo, R = 1 kΩ, C = 4,7 µF, VS = 5V, T = 1ms, D = 50%

v s (V

)

0

1

2

3

4

5

A

v C (V

)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

t (ms)0 10 20 30 40 50

Slika 3



IntegratorPrimer: RC kolo, R = 1 kΩ, C = 4,7 µF, VS = 5V, T = 1ms, D = 50%

v C (V

)

2,30

2,35

2,40

2,45

2,50

2,55

2,60

2,65

t (ms)30 31 32 33 34 35

Slika 4. Uvecani deo oznacen sa A na Sl. 3.




Pošto se kondenzator napuni na vrednost napona koja je mnogo manjaod vrednosti vs, u prvoj aproksimaciji se može smatrati da je pad na-pona na kondenzatoru zanemarljiv, odnosno da je struja kroz otpornik:

iR =vRR

=vs − vCR

≈ vsR.

Ista struja tece i kroz kondenzator:

iC = iR =vsR

= CdvCdt

,

odakle je:

dvC =1

RCvsdt . (15)




Integracijom (15) dobija se:

vC =1

RC

∫vsdt , (16)

što znaci da izlazni napon RC kola vC predstavlja integral ulaznog na-pona vs, pa se RC kolo naziva integrator. Izraz (16) predstavlja aprok-simaciju koja važi samo pod uslovom tON , tOFF τ !

Nedostatak integratora je mala amplituda napona vC . U prikazanomprimeru se napon vC menja svega 0,26V. Zbog toga se koristi konfigu-racija sa operacionim pojacavacem1.

1Videti predavanja o primenama operacionih pojacavaca.



IntegratorPrimer: RC kolo, R = 2,2 kΩ, C = 2,2 µF, VS = 5V, T = 1ms, D = 50%

Napon vC varira oko vrednosti VS(tON/T ) = 5(0, 5/1) = 2,5V.Z. Prijic, D. Dankovic Analogna mikroelektronika Dodatni materijal 43 / 81

Uticaj širine i periode impulsa Diferencijator

DiferencijatorCR kolo, tON , tOFF τ

Ako je tON , tOFF τ , kondenzator ce se vrlo brzo puniti/prazniti, pa semože uzeti aproksimacija:

iC = CdvCdt≈ Cdvs

dt,

koja znaci da ce promena napona na kondenzatoru približno slediti pro-menu ulaznog napona.



DiferencijatorCR kolo, tON , tOFF τ

Kod CR kola je napon na izlazu vR. Pošto je iC = iR, to je napon naotporniku:

vR = iRR = RCdvsdt

= τdvsdt

, (17)

što znaci da izlazni napon CR kola predstavlja diferencijal ulaznog na-pona, a kolo se naziva diferencijator. Izraz (17) predstavlja aproksima-ciju koja važi samo pod uslovom tON , tOFF τ !

Ako je na ulazu povorka pravougaonih impulsa, izlazni napon diferen-cijatora ce biti u obliku povorke oštrih impulsa, tzv. šiljaka (spikes), kojitipicno služe kao okidacki (trigger ) impulsi u složenijim kolima.



DiferencijatorCR kolo, R = 1 kΩ, C = 0,1 µF, VS = 5V, T = 20ms, D = 50%

v s (V

)

0

1

2

3

4

5v R

(V)

−6

−4

−2

0

2

4

6

t (ms)0 10 20 30 40 50



DiferencijatorCR kolo, R = 1 kΩ, C = 0,1 µF, VS = 5V, T = 20ms, D = 50%

v s (V

)

0

1

2

3

4

5v C

(V)

0

1

2

3

4

5

t (ms)0 10 20 30 40 50



DiferencijatorProracun diferencijatora

Kod diferencijatora je cesto potrebno proracunati elemente kola za una-pred poznato trajanje (širinu) okidackog impulsa na izlazu. Neka je tavrednost npr. ttrig = 1ms. Uobicajeno je da se usvoji vrednost kapaci-tivnosti kondenzatora, npr. C = 0,1µF. Tada se vrednost otpornika Rodreduje tako da je 5τ = ttrig, odnosno:

R =ttrig5C

=1 · 10−3

5× 0, 1 · 10−6= 2 kΩ .

Da bi aproksimacija na kojoj se zasniva diferenciranje sigurno bila va-žeca, najcešce se uzima da je trajanje impulsa na ulazu 10 puta dužeod željenog trajanja okidackog impulsa na izlazu (tON = 10ttrig), te biu ovom slucaju bilo tON = 10ms. Treba napomenuti da se koriste kera-micki kondenzatori, po mogucstvu sa X7R dielektrikom.



DiferencijatorProracun diferencijatora

Najcešce se na ulaz dovodi samo po jedan impuls. Amplituda okidac-kog impulsa na izlazu približno je jednaka amplitudi ulaznog impulsa.

tON

v s (V

)

0

2,5

5

7,5

10

12,5

15

ttrig

ttrig

v R (V

)

−15

−10

−5

0

5

10

15

t (ms)0 5 10 15 20



DiferencijatorPrimena diferencijatora

Diferencijator se primenjuje u kolima u kojima je potrebno obezbeditikratkotrajnu promenu napona u nekom cvoru, kako bi se time pokre-nula odredena akcija u ostatku kola. Jedna od primena je u kolima mo-nostabilnih multivibratora2. Tu se standardno diferencijator pojavljuje ukombinaciji sa diodom na izlazu.

2Videti predavanja o primenama operacionih pojacavacaZ. Prijic, D. Dankovic Analogna mikroelektronika Dodatni materijal 50 / 81


DiferencijatorPrimena diferencijatora

Kada je kondenzator napunjen na vrednost napona VS , dioda ne vodi,pa je vout = 0V. Kada se ulazni napon spusti sa vrednosti VS na nulu,na izlazu diferencijatora se generiše negativni okidacki impuls (šiljak),koji direktno polariše diodu, jer katoda odlazi na negativniji potencijal odanode. Time se menja i napon vout = VD + vR, pri cemu je VD ' 0,7V,pa i on postaje negativan tokom vremena ttrig, što je dovoljno da iza-zove odredenu akciju u ostatku kola (koje je u ovom slucaju aproksi-mirano opterecenjem RL). Kada istekne vreme tON , na ulazu kola seponovo pojavljuje napon VS , što izaziva pozitivan impuls (šiljak) na iz-lazu diferencijatora. Pošto je katoda diode na pozitivnom potencijalu,dioda je inverzno polarisana, pa ova promena napona nema uticaja naostatak kola.



DiferencijatorPrimena diferencijatora, primer: VS = 15V, R = 2 kΩ, C = 0,1 µF

v s (V

)

0

5

10

15v R

(V)

−15−10−5

05

1015

v out (V

)

−15

−10

−5

0

t (ms)10 20 30 40 50



Završne napomene

Ako je ulazni signal naizmenicna prostoperiodicna funkcija (npr. sin),RC kola se mogu posmatrati i kao pasivni filtri3 (RC kao propusnik sig-nala niskih ucestanosti, a CR kao propusnik visokih ucestanosti).

Sva razmatranja važe samo pod uslovom da su vremena porasta pred-nje tr i opadanja zadnje ivice tf pobudnog impulsa zanemarljiva u od-nosu na vremensku konstantu!

U opštem slucaju moguce je odrediti i odziv RC kola na proizvoljnupobudu. Za detalje pogledati, na primer:

J. Nilsson and S. Reidel "Electric Circuits", 10th Ed., Pearson Education, 2015;

W. Hayt, J. Kemmerly, and S. Durbin, "Engineering Circuit Analysis", 8th Ed., McGraw-Hill,2012;

kao i druge literaturne izvore.

3Detaljnije of filtrima u predmetu Komponente za telekomunikacije.Z. Prijic, D. Dankovic Analogna mikroelektronika Dodatni materijal 53 / 81

Deo II

RL kola


Sadržaj

5 Definicije

6 RL koloLR kolo


Definicije

Definicije

Napon na kalemu vL je proporcionalan promeni struje i krozkalem u vremenu t:

vL = Ldi

dt. (18)

Konstanta proporcionalnosti je induktivnost kalema L.

Kalem akumulira energiju u magnetnom polju koje nastaje poddejstvom promene struje kroz njega. Akumulacija energijepredstavlja punjenje, a njeno oslobadanje pražnjenje kalema.


RL kolo

RL koloOsnovno kolo

Na ulaz kola dovodi se povorka naponskih impulsa vs sa amplitudomVS i periodom T , pod pretpostavkom da je tr = tf = 0. Pre pocetkadovodenja impulsa kalem je bio prazan, tj. u njemu nije bilo akumuliraneenergije.


RL kolo

RL koloIntuitivna analiza

U trenutku dovodenja impulsa struja kroz kalem ne može da se uspo-stavi odmah, pa je vR(t = 0) ≡ vR(0) = 0. Sav pad napona je nakalemu, pa je vL(0) = VS . Pod dejstvom impulsa kroz kalem pocinje datece struja, pa napon vR raste, dok napon vL opada.


RL kolo



Ako je vreme tON dovoljno dugo, napon na otporniku ce biti vR = VS ,napon na kalemu ce biti vL = 0, a struja kroz kalem ce postati konstantaiL = VS/R.


RL kolo


U trenutku ukidanja impulsa kalem teži da zadrži uspostavljeni smerstruje, pa na svojim krajevima indukuje napon suprotnog polariteta, takoda je vL(tON ) = −VS . Napon na otporniku pocinje da opada jer sestruja smanjuje, tako da se kalem prazni preko otpornika.


Ako je vreme tOFF dovoljno dugo, kalem ce se u potpunosti isprazniti,pa ce struja iL prestati da tece.


RL kolo

RL koloKvalitativna analiza

Cilj je pronaci zavisnost iL(t) tokom punjenja kalema.

Na osnovu Kirhofovog zakona za napon je:

vs = vR + vL . (19)

Na osnovu (18) i Omovog zakona:

vs = RiL + LdiLdt

. (20)


RL kolo


Nakon dovodenja impulsa je vS = VS . Preuredivanjem (20) dobija se:

L

R

diLdt

=VSR− iL ,

odnosno:R

Ldt =

diLVSR − iL

.

Tokom vremena t struja kroz kalem ce se promeniti, od 0 do (u opštemslucaju) neke vrednosti iL. Prema tome:∫ t

0

R

Ldt =

∫ iL

0

diLVSR − iL

. (21)


RL kolo


Rešenje (21) je:R

Lt

∣∣∣∣t0

= − ln

(VSR− iL

) ∣∣∣∣iL0

,

odnosno:

ln

(VSR− iL

) ∣∣∣∣iL0

= − R

Lt

∣∣∣∣t0

.

Napomena: Desna strana (21) rešava se smenom VSR− iL = z ⇒ diL = −dz, pa se svodi na

tablicni integral:

−∫

dz

z= − ln |z| = − ln

∣∣∣∣VSR − iL∣∣∣∣ = − ln

(VS

R− iL

).

Pošto struja iL ne može biti veca od struje VS/R, nema potrebe za zadržavanjem apsolutnevrednosti argumenta logaritma.


RL kolo



ln(VSR− iL)− ln(

VSR− 0) = −R

L(t− 0) ,

odakle je:

ln

(VSR − iLVSR

)= −R

Lt . (22)

Iz (22) je:VS −RiL

VS= e−Rt/L ,

odnosno:iL =

VSR

(1− e−Rt/L) . (23)

Napomena: Prema svojstvima logaritama je lnx− ln y = ln(x/y).


RL kolo


Izrazom (23) opisana je zavisnost promene struje kroz kalem tokom pu-njenja od vremena trajanja impulsa. U trenutku t = 0 je iL = 0, a kadat → ∞ tada je iL = VS/R. Zavisnost je eksponencijalna, tj. struja krozkalem u pocetku raste brzo, a zatim sve sporije. Napon na kalemu jesve manji i manji, da bi, nakon dovoljno dugog vremena, postao zane-marljiv. Teorijski, struja kroz kalem asimptotski teži vrednosti VS/R.


RL kolo


Cilj je pronaci zavisnost iL(t) tokom pražnjenja kalema.

Po prestanku dejstva impulsa je vs = 0. Zadržavajuci konvenciju zaznake napona i struje sa Sl. 5, iz (19), (20) i Omovog zakona je:

0 = vR + vL . (24)

0 = RiL + LdiLdt

. (25)

Iz (25) je:diLiL

= −RLt . (26)


RL kolo


Pošto je kalem pun, tokom vremena t struja kroz kalem ce se promeniti,od VS/R do (u opštem slucaju) neke vrednosti iL. Prema tome:∫ iL

VS/R

diLiL

= −RL

∫ t

0dt ,

odnosno

ln iL

∣∣∣∣iLVS/R

= − R

Lt

∣∣∣∣t0

.


ln

(iLVSR

)= −R

Lt . (27)


RL kolo


Iz (27) je:

iL =VSRe−Rt/L . (28)

Izrazom (28) opisana je zavisnost promene struje kroz kalem tokompražnjenja od vremena trajanja impulsa. U trenutku t = 0 je iL = VS/R,a kada t → ∞ tada je iL = 0. Zavisnost je eksponencijalna, tj. ka-lem se u pocetku prazni brzo, a zatim sve sporije. Struja pražnjenjaje sve manja i manja, da bi, nakon dovoljno dugog vremena, postalazanemarljiva. Teorijski, struja kroz kalem asimptotski teži nuli.

Struja u kolu tokom punjenja i pražnjenja kalema ne menja smer, kaošto je oznaceno na Sl. 5 i Sl. 6.


RL kolo

RL koloVremenska konstanta

Definiše se vremenska konstanta RL kola:

τ =L

R(s) . (29)

Ako je t = 5τ , tada je e−5τ/τ = e−5 ' 0, 0067, pa je:

Za punjenje kalema:

iL =VSR

(1− e−5) =VSR

(1− 0, 0067) ' 0, 9933VSR

.

Za pražnjenje kalema:

iL =VSRe−5 ' 0, 0067

VSR

.

U svim prakticnim slucajevima se može uzeti da se kalem u potpunosti napu-nio, odnosno ispraznio, za vreme t ≥ 5τ .


RL kolo

RL koloVremenska konstanta

Primer: Za R = 1 kΩ i L = 1mH, vremenska konstanta je:

τ =L

R=

1 · 10−3

1 · 103= 1µs .

Ako je tON > 5τ i tOFF > 5τ , kalem ce se u potpunosti napuniti, od-nosno isprazniti, za vreme t ≥ 5τ = 5µs. Ako je amplituda impulsaVS = 5V onda ce struja kroz kalem za 5µs porasti od 0A do 5mA. Poprestanku dejstva impulsa struja kroz kalem ce za 5µs opasti od 5mAdo 0A. Ciklus punjenja i pražnjenja se ponavlja sa povorkom impulsa.


RL kolo

RL koloPrimer: R = 1 kΩ, L = 1mH, VS = 5V, T = 20 µs, D = 50%

v s (V

)

0

1

2

3

4

5

pražnjenjepunj

enje

i L (m

A)

0

1

2

3

4

5

t (μs)0 20 40 60 80 100


RL kolo


v L (V

)

−5−4−3−2−1

012345v R

(V)

0

1

2

3

4

5

t (μs)0 20 40 60 80 100


RL kolo



RL kolo LR kolo

RL koloOsnovno kolo

Na ulaz kola dovodi se povorka naponskih impulsa vs sa amplitudomVS i periodom T , pod pretpostavkom da je tr = tf = 0. Pre pocetkadovodenja impulsa kalem je bio prazan, tj. u njemu nije bilo akumuliraneenergije.


RL kolo LR kolo


U trenutku dovodenja impulsa struja kroz kalem ne može da se uspo-stavi odmah, pa je vL(t = 0) ≡ vL(0) = VS . Sav pad napona je nakalemu, pa je vR(0) = 0. Pod dejstvom impulsa kroz kalem pocinje datece struja, pa napon vR raste, dok napon vL opada.


RL kolo LR kolo



Ako je vreme tON dovoljno dugo, napon na otporniku ce biti vR = VS ,napon na kalemu ce biti vL = 0, a struja kroz kalem ce postati konstantaiL = VS/R.


RL kolo LR kolo


U trenutku ukidanja impulsa kalem teži da zadrži uspostavljeni smerstruje, pa na svojim krajevima indukuje napon suprotnog polariteta, takoda je vL(tON ) = −VS . Napon na otporniku pocinje da opada jer sestruja smanjuje, tako da se kalem prazni preko otpornika.


Ako je vreme tOFF dovoljno dugo, kalem ce se u potpunosti isprazniti,pa ce struja iL prestati da tece.


RL kolo LR kolo


Kvalitativna analiza se sprovodi na isti nacin kao i kod RL kola. Izrazikoji važe za RL kolo, važe i za LR kolo.

Osnovna razlika izmedu RL i LR kola je u obliku napona na izlazu. KodRL kola na izlazu je kalem, a kod LR kola na izlazu je otpornik, što uticena oblik izlaznog napona. Izlazni napon kod RL kola je vL, a kod LRkola vR!

RL i LR kola se u literaturi zajednicki nazivaju RL kolima, tj. ne pravi serazlika u „redosledu“ elemenata.


RL kolo LR kolo


v s (V

)

0

1

2

3

4

5

pražnjenjepunj

enje

i L (m

A)

0

1

2

3

4

5

t (μs)0 20 40 60 80 100


RL kolo LR kolo


v L (V

)

−5−4−3−2−1

012345v R

(V)

0

1

2

3

4

5

t (μs)0 20 40 60 80 100


RL kolo LR kolo

Završne napomene

Analiza uticaja širine i periode impulsa analogna je analizi kod RC kola.

Ako je ulazni signal naizmenicna prostoperiodicna funkcija (npr. sin), RLkola se mogu posmatrati i kao pasivni filtri4 (LR kao propusnik signalaniskih ucestanosti, a RL kao propusnik visokih ucestanosti).

Sva razmatranja važe samo pod uslovom da su vremena porasta pred-nje tr i opadanja zadnje ivice tf pobudnog impulsa zanemarljiva u od-nosu na vremensku konstantu!

U opštem slucaju moguce je odrediti i odziv RL kola na proizvoljnu po-budu. Za detalje pogledati, na primer:

J. Nilsson and S. Reidel "Electric Circuits", 10th Ed., Pearson Education, 2015;

W. Hayt, J. Kemmerly, and S. Durbin, "Engineering Circuit Analysis", 8th Ed., McGraw-Hill,2012;

kao i druge literaturne izvore.4Detaljnije of filtrima u predmetu Komponente za telekomunikacije.


analogna mikroelektronika - osnovna rc i rl...

Documents