Analiza zakrivljenih elektromagnetskih struktura pomoću hibridnog pristupa zasnovanog na spektralnoj metodi i asimptotskoj ekstrakciji

Marko Bosiljevac Fakultet elektrotehnike i računarstva, Unska 3, 10000 Zagreb

E-mail: marko.bosiljevac@fer.hr

Sažetak – Ovim radom dan je pregled analize velikih zakrivljenih antena ili antenskih nizova, te ostalih elektromagnetskih struktura pomoću općenitog hibridnog pristupa zasnovanog na primjeni metode momenata u spektralnoj domeni. Kao bazna metoda odabrana je rigorozna spektralna metoda koja ima svojstvo da određene kanonske trodimenzionalne probleme transformira u spektar jednodimenzionalnih koje je puno jednostavnije rješavati. Ovim pristupom moguća je efikasna analiza različitih višeslojnih kanonskih struktura, no problemi nastaju s povećavanjem dimenzija analizirane strukture u odnosu na valnu duljinu čime se znatno povećava složenost i jako povećava vremensko trajanje analize. Predloženi pristup analize zbog toga se zasniva na kombiniranju spektralne metode i različitih aproksimativnih pristupa karakterističnih u rješavanju velikih elektromagnetskih struktura pomoću asimptotske ekstrakcije. Spajanjem različitih pristupa nastoje se objediniti dobra svojstva korištenih pristupa bez značajnog gubitka preciznosti, ali uz bitno smanjenje potrebnog vremenskog trajanja analize. Keywords – hibridne metode, spektralna metoda, metoda momenata, UTD, konformne antene 1. UVOD Sve veće komunikacijske potrebe danas, stalni su pokretač intenzivnog razvoja novih vrsta antena i antenskih nizova. Obzirom da moderne komunikacije zahtijevaju antenske sustave koji su montirani ili integrirani u površinu raznih vozila ili platformi, zakrivljene elektromagnetske antenske strukture, često nazivane i konformnim strukturama, predstavljaju alternativu tradicionalnim planarnim antenama tj. antenskim nizovima. Prema IEEE-u rječniku (IEEE Standard Definitions of Terms for Antennas) konformna antena se definira kao : Antena koja je oblikovana prema površini čiji oblik je uvjetovan razlozima koji nisu elektromagnetski već npr. aerodinamički ili hidrodinamički. Ovu definiciju bi trebalo proširiti i na antene koje nisu planarne i čiji je oblik uvjetovan specifičnim elektromagnetskim razlozima kao što su zahtjevi na kut pokrivanja. Kao primjer mogu se navesti antenski nizovi na cilindričnim strukturama, koji imaju mogućnost da ostvare usmjereno zračenje u proizvoljnom smjeru u horizontalnoj ravnini ili da ostvare omnidirekcionalni dijagram zračenja. Isto tako nizovi na sfernim strukturama imaju mogućnost usmjeravanja jedne ili više antenskih latica kroz cijelu hemisferu [1]. Kao primjer primjene može se navesti industrija mobilnih komunikacija kod koje je bitno ostvariti dobre antenske funkcije bez narušavanja izgleda strukture ili uređaja. Također treba naglasiti da konformni sustavi često imaju i smanjenu radarsku refleksijsku površinu u odnosu na ekvivalentni planarni sustav, što je bitno u zrakoplovnim primjenama.

Osim geometrijskih promjena može se reći da antene postaju i električki sve veće tj. njihove dimenzije rastu u odnosu na radnu valnu duljinu. Ova tendencija rasta uzrokovana je sve izraženijim potrebama za visokim brzinama prijenosa podataka, čime se zapravo povećavaju potrebne širine frekvencijskih pojaseva. Zbog zagušenosti u nižim frekvencijskim pojasevima neophodno je stoga koristiti više frekvencijske pojaseve, što naravno dovodi do problema povećanja dimenzija antena u odnosu na valnu duljinu. Šira primjena ovakvih sustava je naravno vezana uz kvalitetne mogućnosti analize, koja je zbog zakrivljenosti strukture i velikih dimenzija često iznimno složena i predstavlja zapravo jedan od ključnih problema velikih konformnih struktura [2]. Najjednostavniji pristup u analizi bi bio iskoristiti neki komercijalni elektromagnetski program. Međutim takav program bi vjerojatno jako brzo ostao bez računalnih memorijskih resursa ili bi analiza potrajala nekoliko dana, ukoliko se u analizi ne bi iskoristio neki oblik pojednostavljenja. Primjer ovakvog pojednostavljenja je upotreba lokalne planarne aproksimacije za dijelove strukture s većim polumjerom zakrivljenosti. Naravno, u slučaju manjih polumjera ili strožih zahtjeva na preciznost ovakav pristup više nije prihvatljiv, te se kao rješenje nameće primjena specijaliziranih metoda koje omogućavaju relativno brzu analizu, a u stanju su uzeti u obzir i cjelokupnu složenost analizirane strukture. Ako bismo inzistirali na brzini analize velikih elektromagnetskih struktura onda bi najoptimalnije rješenje bila primjena aproksimativnih visokofrekvencijskih metoda. Među njima najčešće

korištena je sigurno Uniformna teorija difrakcije (Uniform Theory of Diffraction - UTD) koja omogućava efikasnu analizu proizvoljno zakrivljenih konveksnih metalnih struktura bez dodatnih dielektričnih slojeva [3]. S druge strane najegzaktniji su pristupi koji se zasnivaju na primjeni generaliziranih numeričkih metoda kao što su metoda momenata (MoM), metoda konačnih elemenata (FEM) ili metoda konačnih razlika u vremenskoj domeni (FDTD). Ovi pristupi omogućavaju analizu raznih zakrivljenih višeslojnih struktura primjenom diskretizacije domene analize, međutim problemi nastaju s povećanjem dimenzija analizirane strukture. Obzirom da postoji određena dualnost između spomenutih generaliziranih metoda i visokofrekvencijskih metoda očito rješenje je kombinacija ovih metoda kako bi se omogućila efikasna analiza višeslojnih konformnih struktura. Pristup korišten u ovom radu temelji se na primjeni metode momenata u spektralnoj domeni [4], tj. kombinaciji spomenute metode s različitim aproksimativnim metodama. Kako bi se dobio uvid u važnije dijelove analize u sljedećim poglavljima biti će obrađene osnove spektralne metode, zatim osnove i principi teorija difrakcije, te zaključno i princip na kojem se zasniva razvijena hibridna metoda. U zadnjem poglavlju vezanom uz rezultate biti će prikazane usporedbe rezultata hibridne metode s postojećim rezultatima na nekoliko primjera. 2. SPEKTRALNA METODA Planarne, cilindrične i sferne višeslojne strukture imaju jedno zajedničko svojstvo; strukture su homogene u dvije dimenzije i mijenjaju se samo kroz treću dimenziju što je prikazano slikom 1. Planarna je struktura homogena u x i y smjeru dok varira u z smjeru. Kod cilindrične strukture varijacija je u ρ smjeru, a homogena je u φ i z smjeru, dok sferna struktura varira u radijalnom smjeru i homogena je u θ i φ smjeru. Budući da su ove strukture promjenjive kroz jednu svoju dimenziju nazivamo ih i jednodimenzionalnim strukturama. Može se pokazati da se električno ili magnetsko polje u ovakvom slučaju može rastaviti u sumu planarnih valova [5],[6]. Suma planarnih valova za npr. električno polje može se kompaktno zapisati pomoću inverzne Fourierove transformacije u dvije dimenzije (u smjerovima za koje je analizirana struktura homogena):

∑∑

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

−−

∞

∞−

∞

∞−

−−

∆∆≅

=

yjkxjkyxyx

yxyjkxjk

yx

yx

yx

eekkzkkE

dkdkeezkkEzyxE

),,(~

41

),,(~

41),,(

2

2

r

rr

π

π

(1)

Drugim riječima, pomoću inverzne Fourierove transformacije određeni problem se može rješavati kao superpozicija rješenja u kojima izvor generira planarne valove. Daljnjim razmatranjem uočljivo je da pobuđeno elektromagnetsko polje u smjerovima za koje je struktura homogena za svaku spektralnu komponentu izvora ima istu harmoničku ovisnost kao i izvor. Rezultat toga je da je samo ovisnost elektromagnetskog polja u smjeru normale nepoznata. Time je orginalni trodimenzionalni problem transformiran u spektar jednodimenzionalnih problema koje je daleko lakše riješiti.

Slika 1. Prikaz višeslojnih jednodimenzionalnih struktura [6] Prebacivanjem problema u spektralnu domenu moguće je puno efikasnije rješavanje velikog broja problema, a posebno treba istaknuti mogućnost da se brojni problemi samo u spektralnoj domeni mogu opisati Greenovom funkcijom u analitičkom obliku. S aspekta konformnih antena najzanimljive strukture su cilindrična i sferna, te stoga treba spomenuti da se u cilindričnom slučaju transformacija u spektralnu domenu izvodi pomoću Fourierove transformacije u aksijalnom z smjeru i razvoja u Fourierov niz u φ smjeru, dok se u sfernom slučaju primjenjuje vektorska Legendrova transformacija u θ i φ smjerovima. Primjenom ove metode analizirani problem se rješava u spektralnoj domeni, te je za dobivanje konačnog rješenja potrebno vratiti se u normalni prostor. Ovdje nastaje jedan od problema vezanih uz spektralnu metodu, a to je integracija i/ili sumacija velikog broja članova (modova) prilikom računanja inverzne Fourierove transformacije tj. inverznog Fourierovog niza (ili inverzne vektorske Legendrove transformacije kod sfernih problema) kada se analiziraju strukture većih dimenzija. Upravo rješavanju ovog problema posvećena je posebna pažnja u razvoju hibridnih metoda.

3. PRINCIPI GEOMETRIJSKE OPTIKE I UNIFORMNE TEORIJE DIFRAKCIJE Kako bi se objasnio princip najraširenije visokofrekvencijske metode, tj. Uniformne teorije difrakcije neophodno je krenuti od temelja gotovo svih principa koji koriste sljeđenje zraka, a to je princip geometrijske optike. U osnovi može se reći da geometrijska optika proizlazi iz aproksimacije prostornih Greenovih funkcija kada vrijedi pretpostavka da su točka izvora i točka promatranja jako udaljene. Greenove funkcije u prostornoj domeni najčešće su definirane preko integralne reprezentacije, te je stoga moguće uz povećanje udaljenosti koristiti asimptotske metode za evaluaciju tih integrala. Primjenom metode sedla (method of saddle points) tako je moguće pokazati da ukupnoj vrijednosti integrala najviše pridonose polja koja su posljedica izoliranih stacionarnih kritičnih točaka (sedla) u integracijskom intervalu. Rezultat ovih stacionarnih točaka najčešće se opisuje pomoću tzv. paketa zraka, a u graničnom slučaju možemo svesti promatranje na jednu zraku i tada to nazivamo principom geometrijske optike [7].

Slika 2. Snop zraka geometrijske optike Povećanjem frekvencije osnovne pretpostavke geometrijske optike su u sve većoj mjeri ispunjene, te se u krajnjem slučaju kada je frekvencija dovoljno visoka može zanemariti valna priroda elektromagnetskog vala i može se promatrati samo transport energije iz jedne točke u drugu. Jednostavnom analizom uz primjenu zakona o očuvanju energije proizlazi da se amplituda polja geometrijske optike u nekoj proizvoljnoj točki može opisati kao [8]

σσ

ddEE 0

0= , (1)

pri čemu su dσ0 i dσ definirani na slici 2. Korištenjem radijusa ρ1 i ρ2 za opis površine dσ0, te radijusa (ρ1 + l) i (ρ2 + l) za opis dσ može se (1) zapisati kao

))(( 21

210 ll

EE++

=ρρρρ . (2)

U ovom zapisu naravno nedostaje informacija o fazi, no ona se može jednostavno ubaciti ako kao referentnu točku za fazu odaberemo točku koja se poklapa s točkom referentne ampitude;

ljj ell

eEE βφ

ρρρρ −

++=

))(( 21

210

0 . (3)

Izraz (3) predstavlja osnovni zapis zraka geometrijske optike i može se primjenjivati s velikom točnošću na širok spektar problema. Međutim, nedostatak geometrijske optike leži u tzv. području sjene tj. na ovaj način ne može se opisati polje iza neke prepreke konačnih dimenzija kao što je prikazano slikom 3. Kod ovakvih problema moramo proširiti princip geometrijske optike primjenom tzv. difraktiranih (ogibljenih) zraka, kojima opisujem polje u području sjene.

(a) (b) Slika 3. Primjeri difrakcije; (a) difrakcija na klinu, (b) difrakcija na zakrivljenoj površini Ovo proširenje geometrijske optike prvi je razvio Joseph Keller 1953. godine i ta teorija naziva se geometrijska teorija difrakcije (Geometrical Theory of Difraction - GTD). Prema GTD-u raspršeno polje u nekoj točci sastoji se od doprinosa geometrijski incidentnih, reflektiranih i difraktiranih zraka, čija svojstva ovise o lokalnim svojstvima objekta na kojem je došlo do raspršenja.

Slika 4. Prikaz područja incidentnih zraka, područja reflektiranih zraka i područja sjene kod difrakcije na klinu Slikom 4. dan je prikaz problema klina na način na koji se on analizira preko geometrijske teorije difrakcije. Polje u bilo kojem od prikazana tri područja može se opisati sljedećim izrazom [8]:

[ ][ )',()',(

)',()',(),(

*

*

φφρυφφρυ

φφρυφφρυφρ

−+−+

+++±=iB

i

rB

rE]

, (4)

pri čemu gornji indeks i kod u zapisu označava incidentno polje, a gornji indeks r reflektirano polje. Indeksi * i B označavaju polje uslijed geometrijske optike tj. polje uslijed difrakcije. Nepoznata polja uslijed difrakcije opisuju se pomoću tzv. difrakcijskih koeficijenata i može se pisati

[ ] [ ]ρ

φφφφφφρυφφρυβρj

rB

iB

eDD−

+±−=+±− )'()'()',()',(

(5) gdje su D(φ-φ’) i D(φ+φ’) difrakcijski koeficijenti. Izračun difrakcijskih koeficijenata iznimno je složen i najčešće je potrebno evaluirati neke oblike Fresnelovih integrala. Naravno za tipične strukture postoje asimptotska rješenja (vidi npr. [8]) koja se danas uspješno primjenjuju. Osnovni problem GTD-a međutim je točna evaluacija polja u područjima prijelaza i u slučajevima kada je točka promatranja u blizini analizirane površine ili ruba (r < λ). U tom slučaju potrebno je dodatno proširiti opis polja geometrijske teorije difrakcije na način da se ostvari glatki prijelaz polja u područjima prijelaza. To se u osnovi postiže primjenom prijelazne funkcije (Fresnelov integral) oblika

∫∞

−=x

jjx deexjxF ττ 2

2)( , (6)

koja se može aproksimirati kao

xjxF

21)( +≈ za x >>1

( )jxjxexF jx 2)( −≈ π za x <<1 . (7) Iz približnih izraza (7) vidljivo je da prijelazna funkcija za velike vrijednosti argumenta (što odgovara područjima van prijelaznih) poprima vrijednost približno jednaku 1, što znači da se korekcija vrši samo u području prijelaza. Na ovaj način definirana je tzv. uniformna teorija difrakcije (Uniform Theory of Diffraction - UTD) koja se temelji na radovima Kouyoumjiana i Pathaka [3],[9]. Nakon ovih općenitih zaključaka treba posvetiti pažnju posebnom slučaju difrakcije na zakrivljenoj metalnoj površini. Slikom 5. prikazan je kanonski slučaj difrakcije na sferi. Zraka koja spaja izvorišnu točku (I) i točku promatranja (P) zadovoljava generalizirani Fermatov princip, što znači da ogibljena zraka (putanja IQ'QP) predstavlja ekstrem među svim mogućim putanjama. Stoga su IQ' i QP ravne linije u slobodnom prostoru i tangiraju

površinu u točkama Q' i Q. Zraka između točaka Q i Q' prati tzv. površinsku geodetsku liniju. Vidljivo je također da se neke zrake rasipaju i ogibaju od površinske zrake duž tangenti na geodetske površinske putanje, što je posljedica generaliziranog Fermatovog principa. Na taj način se kontinuirano gubi energija iz površinskog polja zrake.

Slika 5. Simbolički prikaz rasipanja zrake duž putovanja po površini U ovom slučaju općeniti oblik površinskog polja može se simbolički prikazati kao [9]

teDQQQpdjkQQFd

jkt−

Τ⋅−

= )'|()'(4

)'|( rr

π. (8)

Ovim izrazom opisano je općenito asimptotsko polje (može biti električno ili magnetsko polje) u točki Q kao posljedica djelovanja infinitezimalnog strujnog dipola (električnog ili magnetskog) u točki Q', pri čemu je t udaljenost između točaka Q’ i Q. Faktorom divergencije D opisujemo promjene širine površinskog snopa koje uzrokuju varijacije površinskog polja. Površinskom dijadskom funkcijom opisani su glavni procesi o kojima ovisi površinsko polje, a to su izviranje polja zraka u točki Q', varijacija tog polja između Q' i Q, te poniranje polja u točki Q. Dominantna ovisnost tipičnog elementa ijΤ izražava se asimptotski kao

∑∞

=

−∫≈Τ

1

')'(

)()'( '

pp

dtt

pij QAetQL

Q

Qpα

, (9)

gdje su Lp(Q') i Ap(Q) tzv. koeficijenti izviranja i poniranja zraka, a izraz

∫−Q

Qp dtt

e '

')'(α

(10) opisuje gušenje površinskog polja zbog difrakcije između točaka Q' i Q. Upravo ovaj pristup analizi velikih metalnih površina iskorišten je u razvoju hibridnih metoda za kanonske i općenite zakrivljene elektromagnetske strukture na način koji je opisan u sljedećem poglavlju.

4. HIBRIDNE METODE ANALIZE Analiza velikih zakrivljenih struktura predstavlja iznimno složen problem koji je gotovo nemoguće efikasno obuhvatiti samo jednim korakom. Zbog toga je razvoj hibridne metode razdvojen na dva ključna dijela; postupak ubrzavanja spektralne metode analize za električki velike kanonske strukture, te proširenje analize na konveksne strukture proizvoljne zakrivljenosti. 4.1. Ubrzanje spektralne metode U uvodu o spektralnoj metodi spomenut je problem koji se javlja pri primjeni spektralne metode na strukture s električki velikim polumjerom, a to je potreba da se sumira velik broj modova u inverznom Fourierovom redu i/ili velika duljina integracija kod inverzne Fourierove transformacije. Nastojanje da se smanji spomenut potreban broj modova i duljina integracije osnovni je razlog zbog kojeg smo kombinirali spektralnu metodu s asimptotskim metodama. Osnovna ideja je da se oduzme asimptotski dio spektralne Greenove funkcije analiziranog problema i da se taj dio zasebno izračuna [10]. Oduzeti asimptotski dio predstavlja glavninu doprinosa Greenovoj funkciji, dok dio preostao nakon oduzimanja je zapravo samo doprinos višeg reda. U osnovi može se reći da je asimptotski dio gruba aproksimacija analizirane strukture bez finih detalja, mnogostrukih slojeva i sl. Prednost ovog pristupa jest u tome što asimptotski dio zbog svoje jednostavnosti možemo evaluirati koristeći jednostavnije i brže metode analize. Treba naglasiti da će odabir korištene asimptotske metode najviše ovisiti o promatranom problemu. Za ilustraciju koncepta poslužiti ćemo se primjerom valovodnog niza na višeslojnom metalnom cilindru. U tom slučaju elementi matrice metode momenata su oblika [4]

zzjzm

zi

jfunctiontest

iij

dkkmkmkm

dSY

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅−−=

=⋅=

∫ ∑

∫∞

∞−

∞

−∞=

),(~),(~

),(~4

1

)(

2 MGM

MHM

π

. (11)

U drugom dijelu izraza (11) G

~ predstavlja Greenovu

funkciju analizirane višeslojne cilindrične strukture, dok su

iM~ i jM~ bazne tj. testne funkcije u

spektralnoj domeni. Oduzimanjem određenog asimptotskog dijela dobivamo

∫∫

∫ ∑

−−+

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−−=

∞

∞−

∞

−∞=

functionbasis

ji

functiontest

zzjzzm

ziij

dSdSzMzzGzM

dkkmkmkmkmY

')','()','(),(

),(~),(~

),(~

),(~4

1

hom

hom2

φφφφ

πMGGM

(12)

Prvi član u izrazu (12) i dalje računamo u spektralnoj domeni, dok drugi član sada možemo računati koristeći neku asimptotsku metodu. Obzirom da je promatrani problem u osnovi metalni cilindar kao očiti izbor za asimptotsku metodu se nameće uniformna teorija difrakcije (UTD). Pritom treba uzeti u obzir da je vrlo teško analizirati višeslojne strukture pomoću UTD metode [11], pa stoga u asimptotskom problemu višeslojni dielektrik zamjenjujemo homogenim sredstvom oko metalnog cilindra ( homG ). Za dielektričnu konstantu homogenog sredstva odabiremo dielektričnu konstantu sloja u kojem se nalazi izvor. Ovakav izbor je očit ako se promotri razlika između ukupne Greenove funkcije i asimptotske Greenove funkcije za različite vrijednosti dielektrične konstante homogenog sredstva (Slika 6.).

Slika 6. Razlika ukupne i asimptotske Greenove funkcije za kružni cilindar za različite vrijednosti dielektrične konstante homogenog sredstva. Ova razlika simulirana je za dvoslojnu cilindričnu strukturu koja je opisana u poglavlju 5. Vidljivo je da imamo najmanju pogrešku u slučaju kada je za dielektričnu konstantu uzeta vrijednost 1 što je ujedno vrijednost dielektrične konstante sloja u kojem se nalazi izvor u promatranom primjeru. Sličan postupak analize moguće je primijeniti i u analizi zakrivljenih frekvencijski selektivnih struktura (Frequency selective surfaces - FSS). U ovom slučaju problem se najčešće sastoji od tankog dielektričnog sloja koji služi kao noseća struktura za selektivne elemente. S obzirom na prirodu problema u ovom slučaju UTD metoda nije optimalan izbor za asimptotsku metodu, već se može iskoristiti Greenova funkcija za slobodni prostor. Na taj način opet višeslojnu strukturu zamjenjujemo homogenim sredstvom određene dielektrične konstante, te asimptotski doprinos računamo u takvom okruženju. 4.2. Analiza nekanonskih zakrivljenih struktura Ideja spomenuta u prvom dijelu prethodnog poglavlja vezana uz primjenu UTD metode za ubrzanje spektralne metode može se proširiti i na

strukture proizvoljnog konveksnog oblika tj. na strukture koje nije moguće promatrati kao jednodimenzionalne. U tome nam pomaže UTD metoda koja je primjenjiva na strukture proizvoljnog oblika. Ideja je aproksimirati analiziranu konveksnu strukturu pomoću kanonske jednodimenzionalne strukture koristeći ekvivalentni radijus koji objedinjuje u sebi informaciju o zakrivljenosti strukture i udaljenosti između točke izvora i točke promatranja. Ekvivalentni radijus se izračunava pomoću Fockovog parametra korištenog u UTD analizi koji je dan kao [9]

( )[ ]∫ −⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Q

Qg dttk

'

3/23/1

')'(2

ρξ , (13)

pri čemu je ρg radijus zakrivljenosti u promatranoj točci. U slučaju eliptičnog cilindra može se pokazati da za ekvivalentni radijus proizlazi [12]

( ) 2/33/12/⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= lkRe ξ

, (14)

gdje je l duljina geodetske putanje između promatranih točaka. Ono što se ovime želi postići jest da stvarna struktura i ekvivalentna struktura imaju isti Fockov parametar, što ako je ispunjeno znači da će i pobuđeno elektromagnetsko polje biti približno isto. Primjenom ovog radijusa u izračunu kanonske Greenove funkcije u spektralnoj domeni postiže se vrlo dobra aproksimacija analizirane proizvoljne konveksne strukture. 5. REZULTATI 5.1. Rezultati postupaka ubrzanja spektralne metode Prvo ćemo se posvetiti rezultatima hibridne metode bazirane na korištenju UTD pristupa za ubrzanje, i to na primjeru valovodnog antenskog niza od 18x3 elemenata. Ovaj niz je izrađen u tvrtci “Ericsson Microwave Systems AB” u Molndalu u Švedskoj [2] i je na slici 7.

(a)

(b)

Slika 7. Kružno-cilindrični niz sačinjenog od pravokutnih valovodnih apertura; (a) presjek, (b) fotografija Polumjer cilindra je 30 cm (5.65λ na radnoj frekvenciji 5.65 GHz). Svaki red valovodnih antenskih elemenata u φ-smjeru pokriva sektor od 120º. Dimenzije valovodnih otvora prikazane iznose: Wφ=1.6 cm, Wz=3.9 cm, dφ=3.708 cm, dz=4.1 cm. Svi valovodi su zaključeni sa svojim karakterističnim impedancijama. Valovodni otvori i cilindar prekriveni su dielektričnim cilindrom debljine 0.399 cm, koji ima relativnu dielektričnost εr = 2.32 i tanδ = 0.000247. Nije bilo moguće izbjeći zračni raspor između valovodnih otvora i dielektričnog cilindra, te je stoga u proračunima uzeta u obzir i srednja vrijednost zračnog raspora (0.085 cm). Svi proračuni izvršeni uz korištenje 12 valovodnih modova za prikaz polja unutar valovoda. Na slici 8. prikazana je usporedba rezultata mjerenja, rigorozne spektralne metode, te razvijene hibridne metode, za spregu između prvog elementa i njemu susjednih elemenata u prvom redu niza. Rezultati pokazuju jako dobro slaganje između mjerenja i proračuna u amplitudi i u fazi. Također treba uočiti da su rezultati dva programska rješenja gotovo identični, iako je za proračun u hibridnom programu korišteno 10 puta manje modova za izračun inverznog Fourierovog reda i 20 puta kraća duljina integracije u inverznoj Fourierovoj transformaciji.

(a)

(b)

Slika 8. Sprega između valovodnih otvora za prvi red cilindričnog niza; (a) amplituda, (b) argument Hibridni pristup kod kojeg smo iskoristili Greenovu funkciju za slobodni prostor demonstrirati ćemo na primjeru zakrivljenog FSS-a sastavljenog od kružnih prstenova (slika 9.). Kružni prstenovi odabrani su kao građevni elementi za ovu strukturu zbog dobrih polarizacijskih svojstava (neosjetljivi su na polarizaciju upadnog vala), te zbog neosjetljivosti na kut upada vala (rezonantna frekvencija se gotovo ne mijenja za različite kuteve upada).

Slika 9. Geometrija sfernog FSS-a s heksagonalnim rasporedom prstenova Kao primjer odabrali smo heksagonalnu strukturu s prstenovima srednjeg radijusa 2 mm i širine 0.4 mm, te razmakom između centara prstenova od 4.9 mm. Prstenovi su postavljeni na dielektrični substrat debljine 0.0075 mm i relativne dielektrične konstante εr=2.33. Računat je koeficijent transmisije koji je definiran kao omjer amplitude ukupnog električnog polja u željenom smjeru i amplitude samog polja (bez prisutnog FSS-a), tj.

apertureaperturescatt EEET += . (15)

Na slici 10. uspoređeni su koeficijenti transmisije (opisanog FSS-a s četiri kruga elemenata raspoređenih oko centralnog elementa) proračunati primjenom rigorozne spektralne metode i primjenom

hibridne metode zasnovane na aproksimaciji sa slobodnim prostorom (u proračunu je za relativnu dielektričnu konstantu slobodnog prostora korištena vrijednost 1.2). Vidljivo je da imamo vrlo dobro poklapanje između dviju metoda, pri čemu treba naglasiti da je u hibridnoj metodi korišteno pet puta manje modova u proračunu, što je skratilo vrijeme analize za deset puta.

Slika 10. Koeficijent transmisije za sferni FSS (radijus FSS-a je 56.1 mm) 5.2. Rezultati za nekanonske strukture Za primjer analize općenitih konveksnih struktura uzet je antenski niz sastavljen od kružnih valovoda na rotacionom paraboloidu. Eksperimentalni model razvijen je u tvrtci “Ericsson Microwave Systems AB” u Molndalu u Švedskoj [2] (slika 11.).

(a)

(b)

Slika 11. Rotacioni paraboloid; (a) geometrija strukture, (b) fotografija niza Promjer strukture je 60 cm, a dubina 17.5 cm kao što je prikazano na slici 11.a., s tim da je na rub montiran dodatni metalni dio na koji su postavljeni absorberi (slika 11.b). Kružni valovodi su promjera

14.4 mm i ispunjeni su s dielektrikom s relativnom dielektričnom konstantom εr = 2.53. Rezultati na slici 12. prikazuju spregu između dva valovodna otvora, tj. između prvog valovoda koji je fiksiran (duljina luka od fiksiranog valovodnog otvora do vrha je 33.84 cm) i drugog valovoda koji se pomiče po paraboloidu preko vrha (vrh je uzet kao referentna točka na na slici 12.). Polarizacije valovodnih otvora su postavljene tako da se poklapaju s linijom na kojoj su otvori smješteni (E - polarizacija). Postignuto je odlično poklapanje i s mjernim rezultatima i s rezultatima programa CADT [11],[13].

Slika 12. Sprega između kružnih valovoda na metalnom rotacionom paraboloidu 6. ZAKLJUČAK Razvijena je hibridna metoda za analizu električki velikih proizvoljno zakrivljenih konformnih antena, koje ujedno mogu biti i presvučene višestrukim dielektričnim slojevima. Metoda kombinira spektralni pristup u analizi s jednostavnijim aproksimativnim pristupima. Ovom kombinacijom nastoje se ujediniti dobra svojstva spektralne metode i odabrane aproksimativne metode kako bi dobili jednu općenitu metodu primjenjivu u analizi raznih antenskih struktura. Spektralna metoda omogućava rigoroznu analizu raznih višeslojnih kanonskih struktura, dok aproksimativne metode predstavljaju efikasna rješenja za električki velike probleme. Prikazani su rezultati nekoliko hibridnih pristupa i uspoređeni s rezultatima mjerenja i drugih metoda. U svim slučajevima postignuto je vrlo dobro podudaranje između rezultata, a ono što treba naglasiti je da su hibridni prstupi za prikazane analize trebali daleko manje vremena u odnosu na ostale pristupe.

REFERENCES [1] R. J. Mailloux, Phased Array Antenna

Handbook, Arctech House, Inc., 1993. [2] L. Josefsson and P. Persson, Conformal Array

Antenna Theory and Design, Wiley - IEEE Press, 2006.

[3] Kou pathak - UTD [4] Z. Sipus, M. Lanne, and L. Josefsson, “Moment

method analysis of circular-cylindrical array of waveguide elements covered with a multilayer radome,” IEE Proceedings - Microwaves, Antennas and Propagation,Vol. 153, pp. 29-37, Feb. 2006.

[5] R.F. Harrington, Time harmonic electromagnetic fields, Prentice-Hall, 1961.

[6] Z. Šipuš, ″Analysis of Planar and Circular Cylindrical Multilayer Structures with Application to Soft and Hard Surfacces″, Ph.D. Thesis, Department of Microwave Technology, Chalmers University of Technology, Göteborg, Sweden, Oct. 1997.

[7] Felsen [8] W.L. Stutzman, G.A Thiele, Antenna Theory and

Design, John Wiley & Sons, Inc., 1998. [9] P.H. Pathak and N.Wang, ”Ray analysis of

Mutual Coupling Between Antennas on a Convex Surface”, IEEE Trans. Antennas Propagation, Vol. AP-29, No. 6, pp. 911-922, November 1981.

[10] D.M. Pozar, “Improved computational efficiency for the moment method solution of printed dipoles and patches”, Electromagnetics, Vol. 3, No. 3&4, 1984. pp. 299-309

[11] P. Persson and R. G. Rojas, “High-frequency Approximation for Mutual Coupling Calculations Between Apertures on a Perfect Electric Conductor Circular Cylinder Covered with a Dielectric Layer: Nonparaxial Region,” Radio Sci., Vol. 38, No. 4, 1079, 2003.

[12] M. Bosiljevac, P. Persson, Z. Šipuš, “Hybrid spectral domain - UTD method applied to conformal antenna analysis”, Proceedings of the European Conference on Antennas and Propagation EuCap 2006, Nice, France, ESA Publications Division, 2006.

[13] P. Persson, L. Josefsson and M. Lanne, ”Investigation of the Mutual Coupling Between Apertures on Doubly Curved Convex Surfaces: Theory and Measurements”, IEEE Trans. Antennas Propagation, Vol. 51, No. 4, pp. 682-692, April 2003.