analiza toka racionalne funkcije i crtanje grafika

8/9/2019 Analiza Toka Racionalne Funkcije i Crtanje Grafika

1/19

ANALIZA TOKA RACIONALNE FUNKCIJE I CRTANJE GRAFIKA

1.3

542

x

xxy . 1)Oblast definisanosti:Kako deljenje nulom nije definisano, racioanlna

funkcija nije definisana za one vrednosti za koje je izraz u imeniocu (ispod razlomake crte) jednak

nuli.x 3 = 0 zax= 3. Dakle ),3()3,(3 xRxDf .2)Nule funkcije i presek sayosom. Vrednosti argumentaxza koje je funkcija jednaka nuli,

nazivaju se nule funkcije (presek saxosom). Racionalna funkcija je jednaka nuli za one vrednosti

za koje je izraz u brojiocu (iznad razlomake crte) jednak nuli. . Izraz u

brojiocu je kvadratna funkcija. Nule kvadratne funkcije se dobijaju reavanjem kvadratne jednaine.

0540 2 xxy

Opti oblik kvadratne jednaine je . Reenja se dobijaju po sledeem obrascu02 cbxax

aacbbx

24

2

2,1 . Ako je diskriminanta 0, jednaina ima dva reenja, ako je

D = 0, jednaina ima jedno reenje, a ako jeD0, jednaina nema reenja.

ac42 bD

U ovom primeru jeD= 16 + 20 = 36, pa jednaina ima dva reenja2

3642,1

x .

,12

641

x a 5

2

642

x . To znai da ova funkcija ima dve nule, odnosno dvapreseka

saxosomN1(1, 0)iN2(5, 0).

Presek sayosom se dobija kad se za vrednost argumentaxuzme nula i izrauna vrednost funkcije.

3

5

3

50

yx . Presek sayosom je takaM(0, 5/3).

3)Znak funkcije.Znak kvadratne funkcije zavisi od znaka konstante a.cbxaxy 2

Ako jea 0iD 0,y 0 za ),(),( 21 xxx , ay 0 za ),( 21 xxx .

+ + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + +

x1 x2

Ako jea 0iD = 0,jednaina ima samo jedno reenje i kvadratna funkcija je pozitivna za svakox

iz oblasti definisanosti, osim za reenjex1=x2.

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

x1=x2


2/19

Ako jea 0iD 0,jednaina nema reenje, pa kvadratna funkcija nema presek

saxosom iy0 za svakoxiz oblasti definisanosti.

cbxaxy 2

Ako jea 0iD 0,y 0 za , a y 0 za),( 21 xxx ),(),( 21 xxx .

- - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - -

x1 x2

Ako jea 0iD = 0,jednaina ima samo jedno reenje i kvadratna funkcija ima negativan znak za

svakoxiz oblasti definisanosti, osim za reenjex1=x2.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

x1 =x2

Ako jea 0iD 0,jednaina nema renje, pa kvadratna funkcija nema presek

saxosom iy0 za svakoxiz oblasti definisanosti.

cbxaxy 2

U naem primeru znak odreujemo na sledei nain:

+ + + + + + + _ _ _ _ _ _ _ _ + + + + + + + +

x2 + 4x 5

-5 1

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ + + + + +

x 3

3

3

542

x

xx - - - - - - - + + + + + + - - - + + + + +

-5 1 3

Dakley0 za , ay0 za),3()1,5( x )3,1()5,( x .

4) Asimptote.

Ako funkcija nije definisana u taki a, funkcija ima u toj taki vertikalnu asimptotuukoliko vai

i/ili .

)(lim xfax

)(lim xfax

U naem sluaju funkcija nije definisana u a = 3. Ispitaemo kakve vrednosti funkcija dobija u

okolini te take.

.h

hh

h

hhh

h

hh

h,h

hx

x

xx

limlim

limlim

hh

hx

0

161610541269

33

5343

00

3

3

54

2

0

2

0

2

0

2

3


3/19

Za odreivanje granine vrednosti upotrebili smo smenux= 3 + h, gde je hmala pozitivna veliina

koja tei nuli. Na osnovu dobijene granine vrednosti, zakljuujemo da kadxtei ka 3 sa desne

strane funkcija tei +.

.0

161610

541269

33

5)3(4)3(

0,0

3

3

54

2

0

2

0

2

0

2

3

lim

limlimlim

h

hh

h

hhh

h

hh

hh

hx

x

xx

h

hhx

Sada smo upotrebili smenux= 3 h, gde je hmala pozitivna veliina koja tei nuli. Na osnovu

dobijene granine vrednosti, zakljuujemo da kadxtei ka 3 sa leve strane funkcija tei -. Dakle

pravax = 3 je vertikalna asimptotafunkcije i sa leve i sa desne strane grafika.

Ukoliko vai bxf

x

)(lim i/ili bxf

x

)(lim , onda je pravay=b, horizontalna asimptota.

Granina vrednost racionalne funkcije kadx , odreuje se na sledei nain:

Opti oblik racionalne funkcije jemm

mm

nnnn

bxbxbxb

axaxaxa

11

10

11

10

.

mn,

mnb

amn,

bx

ax

xb

xb

xbbx

xa

xa

xaax

bxbxbxb

axaxaxa

m

n

x

mmmmm

nnnnn

xmm

mm

nnnn

x

lim

limlim

0

,

111

111

0

0

0

0

1110

1110

1

1

10

11

10

000

0000

U naem primeru je n =2, m= 1, pa je

3

542

x

xxlimx

to znai da vertikalna asimptota ne postoji. Vertikalna i kosa asimptota se uzajamno iskljuuju,ako postoji jedna ne postoji druga. U ovom primeru ne postoji horizontalna asimptota, pa emo

ispitati da li postoji kosa asimptota.

Opti obrazac za kosu asimptotu jey = ax +b, gde jex

)x(fa lim

x

, a )ax)x(f(b limx

.

U naem primeru je

13

54

3

543

54

2

22

2

xx

xx

xx

xx

x

x

xx

a limlimlimxxx


4/19

73

57

3

354

3

54 222

x

x

x

xxxxx

x

xxb limlimlim

xxx

pa je kosa asimptotay=x+ 7. Da bi nacrtali kosu asimptotu, dovoljne su nam bilo koje dve njene

take.y(0) = 7,y(7) = 0. Kosa asimptota prolazi kroz take K1(0, 7) i K2(-7, 0).

5) Monotonost funkcije i ekstremne vrednosti.

Da bi odredili ekstremne vrednosti i intervale monotonosti, potrebno je da naemo prvi izvod

funkcije i nule prvog izvoda.

Za nalaenje izvoda racionalne funkcije upotrebiemo formulu za izvod kolinika.

2v

vuvu

v

u

. U naem sluaju je ,54 xxu 2 1,42,3 vxuxv .

2

2

2

22

2

2

2

222

)3(

76

)3(

5412462

)3(

1)54()3)(42(

)3()3)(54()3()54(3 54

x

xx

x

xxxxx

x

xxxx

xxxxxxx

xxxy

221

2,12

)3(

)1)(7(1

2

2,7

2

142

86

2

646

2

283660760

x

xxyxx

xxxy

Dakle, nule prvog izvoda sux1 = 7 ix2= 1. Sada treba odrediti znak prvog izvoda. Kako je u

imeniocu funkcijey, izraz (x 3)2koji je pozitivan za svaki realan broj (zbog toga to je izraz na

kvadrat), znak funkcijeyzavisi samo od znaka kvadratne funkcije u brojiocu

.)1)(7(762 xxxx

y0 zax(-, -1)(7, -), pa je funkcija monotono rastua na tim intervalima;

y0 zax(1, 7), pa je funkcija monotono opdajua na tom intervalu. U takix = 1, funkcija

menja svoju monotonost, iz monotono rastue prelazi u monotono opadajuu, pa u toj taki funkcija

ima lokalni maksimum. U takix= 7 iz monotono opadajue, funkcija prelazi u monotono rastuu,

pa u toj taki ima lokalni minimum.y koordinatu maksimuma dobijamo kad za vrednost argumenta

u funkciji zamenimox = 1.

+ + + + + + - - - - - - - - - + + + + + + +

762 xx

1 7


5/19

24

8

31

5)1(4)1()1(

2

max

yy , Pmax(1, 2) - koordinate maksimuma

,184

72

37

5747)7(

2

min

yy Pmin(7, 18) koordinate minimuma

7)konveksnost, konkavnost i prevojne take 33

32

x

y ; drugi izvod funkcije nema nule, pa

funkcija nema prevojne take; funkcija je konkavna za 3,x , konveksna za ,x 3

+ + + + + +

(x 3)3

3


6/19

2.2

2

)3(

2

x

xxy , Reenje: 1) oblast definisanosti ),3()3,( ;

2) nule funkcije N1(2,0), N2(1,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,2/9);

3) znak funkcije 0),1,2(zaa,0,),1()2,(za yx yx ;4) asimptote: vertikalna asimptotax= 3; horizomtalna asimptotay= 1;

5) monotonost i ekstremne vrednosti3)3(

75

x

xy ; ),5/7 ()3,(za x funkcija je

monotono rastua, )5/7,3(zaa x , funkcija je monotono opadajua; funkcija ima minimum u

taki Pmin(-7/5,-9/16);

6) konveksnost i prevojne take4

)3(

)35(2

y

),5/3 x

x, funkcija je konveksna za ,

konkavna za i ima prevojnu taku P(-3/5,-17/8).

)5/3,(x

(x


7/19

3.3

1682

x

xxy , Reenje: 1) oblast definisanosti ),3()3,( ;

2) nule funkcije N(4,0); presek grafika funkcije say-osom M(0,16/3);

3) znak funkcije 0),,3(zaa,0,)3,(za xyx y ;4) asimptote: vertikalna asimptotax= 3; kosa asimptotay = x 5;

5) monotonost i ekstremne vrednosti2

2

)3(

86

x

xxy ; ),4()2,(za x funkcija je

monotono rastua, )4,2(zaa x funkcija je monotono opadajua; funkcija ima minimum u taki

Pmin(4, 0) i maksimum u taki Pmax(2, 4);


)3(

2

x

y , funkcija je konkavna za )3,(x , konveksna

za i nema prevojnu taku.),3( x


8/19

4.4

22

3

x

xy , Reenje:

1) oblast definisanosti ),2()2,2()2,( ;

)(4

22

3xf

x

x

2zaa,0

4)()(2)(

2

3

x

xxf

, funkcija je neparna

to znai da je grafik simetrian u odnosu na koordinatni

poetak;

2) nula funkcije i presek grafika funkcije say-osom je ista

takaN(0,0);

3) znak funkcije

020202za (),(xy) y),,,(),(x4) asimptote: funkcija ima dve vertikalne asimptote

x= 2 ix= 2 i kosu asimptotuy = 2x;


22

4(

(2

x

xxy

)

)12;

),32 ()32,(za x funkcija je monotono

rastua, )32,32(zaa x funkcija je monotono

opadajua; funkcija ima minimum u taki 3632 ,Pmin imaksimum u taki )36,32(max P ;


2

)4(

)12(16

x

xxy , funkcija je konkavna za ,

konveksna za i ima prevojnu taku P(0,0);

)2,0()2,(x

),2()0,2( x


9/19

5.1

12

x

xxy , Reenje: 1) oblast definisanosti ),1()1,(

0),

;

2) kvadratna jednaina nema realna reenja, pa funkcija nema nule; presek grafika funkcije

say-osom M(0,1);

3) znak funkcije

12 xx

,)1,( ,1(zaa,0za y yxx ;

4) asimptote: vertikalna asimptotax= 1; kosa asimptotay = x;


2

)1(

2

x

xxy ; ),2()0,(za x funkcija je monotono

rastua, funkcija je monotono opadajua; funkcija ima minimum u taki P)2,0(zaa x min(2, 3) i

maksimum u taki Pmax(0, 1);

6) konveksnost i prevojne take3)1(

2

x

y , funkcija je konkavna za )1,(x , konveksna

za i nema prevojnu taku.),1 (x


10/19

6.3

32

xx

xy , Reenje: 1) kvadratna jednaina nema realna reenja, pa je oblast

definisanosti ;

2) nula funkcijeN(3,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,1);3) znak funkcije

03 xx

0),

2

),(

za ,3(zaa,0,)3,( xyx y ;

4) asimptote: funkcija nema vertikalne asimptote jer je definisana na celom skupu realnih brojeva;

horizontalna asimptotay = 0 ;

5) monotonost i ekstremne vrednosti2)3

)2(

6(

xx

xxy ; ),0()6,(za x funkcija je

monotono rastua, )0,6(zaa x funkcija je monotono opadajua; funkcija ima minimum u taki

Pmin(0, 1) i maksimum u taki Pmax(6, 1/11);


23

)3(

)99(2

xx

xxy , teko je izraunati nule drugog izvoda pa

samim tim i odrediti njegov znak. grafik moe da se nacrta i bez ovih elemenata.


11/19

7.

221

4

12 2

2

2

xx

x

x

xxy ,

Reenje: 1) oblast definisanosti ,,, 2222

;

2) nula funkcijeN(1,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,1/4);

3) znak funkcije 022za 2zaa,0,2, y,,,x xy

; 4) asimptote: funkcija ima

dve vertikalne asimptotex= 2 ix= 2; horizontalna asimptotay = 1 ;


2

4

8102

x

xxy ; nule prvog izvodax= 1 ix= 4;

funkcija je monotono rastua, ,x 1za ,4 41zaa ,x funkcija je monotono

opadajua; funkcija ima minimum u taki Pmin(4, 3/4) i maksimum u taki Pmax(1, 0);

6) konveksnost i prevojne take

3223

4

20241522

x

xxxy , teko je izraunati nule drugog

izvoda pa samim tim i odrediti njegov znak. Grafik moe da se nacrta i bez ovih elemenata.


12/19

8.

82

12

2

xx

xy


;

2) nula funkcijeN(1,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,-1/8);3) znak funkcije 042za 2zaa,0,4, y,,,x xy ; 4) asimptote: funkcija ima

dve vertikalne asimptotex= -2 ix= 4; horizontalna asimptotay = -1 ;

5) monotonost i ekstremne vrednosti

22 82118

xx

xy ; nula prvog izvodax= 1;

funkcija je monotono opadajua, 2za ,x 12, ,4,x 41zaa funkcija je

monotono rastua; funkcija ima minimum u taki Pmin(1, 0);

6) konveksnost i prevojne take 32

2

82

4254

xx

xxy , jednaina 422 xx nema realna reanja,

pa drugi izvod nema nule. Znak drugog izvoda

funkcija042 ,y,,x konveksnaje,0y zaakonkavna,jefunkcija,4,2za ,x


13/19

9.3

45 2

x

xxy , Reenje: 1) oblast definisanosti ,, 33 ;

2) nule funkcije N1(-1,0), N2(5, 0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0, 5/3);

3) znak funkcije 513 0zaa,0,51,3za yy,x

,,,x ;

4) asimptote: vertikalna asimptotax= -3; kosa asimptotay = x+ 7;


2

3

76

x

xxy ; 17za ,,x funkcija je

monotono opadajua, 133 ,7zaa ,x

funkcija je monotono rastua; funkcija ima

minimum u taki Pmin(7, 18) i maksimum u taki Pmax(1, 2);


32

xy , funkcija je konveksna za 3 ,x , konkavna

za i nema prevojne take. ,x 3


14/19

10.

6

22

2

xx

xy ,


;

2) nula funkcijeN(2,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,-2/3);3) znak funkcije 032za 2zaa,0,3, y,,,x xy

;

4) asimptote: funkcija ima dve vertikalne asimptotex= -2 ix= 3; horizontalna asimptotay = 1 ;

5) monotonost i ekstremne vrednosti:

22222 32

6

22203

xx

xx

xx

xxy

6

14; nule prvog izvoda

x= 2 ix= 14/3; ,/,x 3142za funkcija je monotono rastua,

funkcija je monotono opadajua; funkcija ima minimum u taki P

3412zaa /,x

min(14/3, 16/25) i maksimum u

taki Pmax(2, 0);

6) konveksnost i prevojne take:

3223

6

88843032

xx

xxxy , teko je izraunati nule drugog

izvoda pa samim tim i odrediti njegov znak. Grafik moe da se nacrta i bez ovih elemenata.


15/19

11.2

762

x

xxy , Reenje: 1) oblast definisanosti ,, 22 ;

2) nule funkcije N1(1, 0), N2(7, 0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0; 3,5);

3) znak funkcije 217 0zaa,0,217za yxy,x

,,, ;4) asimptote: vertikalna asimptotax= 2; kosa asimptotay = x+ 8 ;

5) monotonost i ekstremne vrednosti:2

2

2

54

x

xxy ; 5 1za ,,x funkcija je

monotono rastua, 51zaa ,x funkcija je monotono opadajua; funkcija ima minimum u taki

Pmin(5, 16) i maksimum u taki Pmax(1, 4);

6) konveksnost i prevojne take 32

18

x

y , funkcija je konkavna za 2,x , konveksna

za i nema prevojnu taku. ,x 2


16/19

12.

54

22

2

xx

xy ,


;

2) nula funkcijeN(2, 0); presek grafika funkcije say-osom M(0,4/5);

3) znak funkcije 015za 5zaa,0,1, y,,,x xy ;

4) asimptote: funkcija ima dve vertikalne asimptotex= 5 ix= 1; horizontalna asimptotay = 1 ;


22 54218

xx

xy ; nula prvog izvodax= 2 ;

funkcija je monotono rastua, 5za ,x 2-5, ,11,x 2zaa funkcija je

monotono opadajua; funkcija ima maksimum u taki Pmax(2, 0);

6) konveksnost i prevojne take:

322

54

7454

xx

xxy , jednaina nema realna

reenja, pa funkcija nema prevojne take; funkcija je konveksna za

0742 xx

,1,x 5

konkavna.jefunkcija15zaa ,x


17/19

13. 2

2

1

12

x

xy , Reenje: 1) oblast definisanosti ,), 11 ;

2) nule funkcije

0

2

10

2

121 ,N,,N ,presek grafika funkcije sa y-osom M(0,1);

3) znak funkcije 02

1

2,

2

1

2

1za

y,,,,x

1zaa,0

xy ;

4) asimptote: vertikalna asimptotax= 1; horizomtalna asimptotay= 2;

5) monotonost i ekstremne vrednosti

31

122

x

xy ; 121za ,/,x

funkcija je

monotono opadajua, , funkcija je monotono rastua; funkcija ima minimum u taki

P

121zaa ,/x

min(1/2,2);


41

142

y

x

x 4/, funkcija je konkavna za 1,x , konveksna

za i ima prevojnu taku P(1/4,-14/9). ,/x 41


18/19

14.

2

3

2

1

x

xy , Reenje: 1) oblast definisanosti ,, 22 ;

2) nule funkcije N(1, 0); presek grafika funkcije say-osom M(-1/2, 0);

3) znak funkcije 01zaa,0,1za ,xy,x y, ;4) asimptote: vertikalna asimptotax= 2; kosa asimptotay = x+ 1 ;


32

4x21

x

xy ; 42za ,,x funkcija je

monotono rastua, 42zaa ,x funkcija je monotono opadajua; funkcija ima minimum u taki

Pmin(6, 27/4);


4

2

16

x

xy , funkcija je konkavna za 1,x , konveksna

za i ima prevojnu taku P(1, 0). ,x 1


19/19

15. 2

3

12

x

xy , Reenje: 1) oblast definisanosti ,, 11 ;

2) nula funkcije i presek grafika funkcije say-osom je ista taka N(0, 0);

3) znak funkcije 00zaa,0,0za ,xy,x y, ;4) asimptote: vertikalna asimptotax= 1; kosa asimptotay = x/2 1 ;


3

2

12

3

x

xxy

; 13-za ,,x funkcija je

monotono rastua, 1-3zaa ,x funkcija je monotono opadajua; funkcija ima maksimum u

taki Pmax(3,27/8);


4

1

3

x

xy

, funkcija je konkavna za 0,x , konveksna

za i ima prevojnu taku P(0, 0). ,x 0

analiza toka racionalne funkcije i crtanje grafika

Documents