Analiza matematyczna 1

Marcin StyborskiKatedra Analizy Nieliniowej

pok. 610E (gmach B)marcins@mif.pg.gda.plwww.mif.pg.gda.pl/homepages/marcins

() 28 września 2010 1 / 10

Literatura podstawowa

R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN2006

W. Kryszewski, Wykład analizy matematycznej. Część I. Funkcje jednejzmiennej, Wydawnictwo Naukowe UMK

W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN2009

K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN 1964

() 28 września 2010 2 / 10

Literatura uzupełniająca

G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom 1, WydawnictwoNaukowe PWN 2007

W. Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN 2009

K. Maurin, Analiza, Tom 1, Wydawnictwo Naukowe PWN 2010

() 28 września 2010 3 / 10

Iloczyn kartezjański

Definicja

Parą uporządkowaną o poprzedniku a i następniku b nazywamy zbiór

(a, b) := {{a} , {a, b}} .

() 28 września 2010 4 / 10

Iloczyn kartezjański

Definicja

Parą uporządkowaną o poprzedniku a i następniku b nazywamy zbiór

(a, b) := {{a} , {a, b}} .

Definicja

Iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y nazywamy zbiór

X × Y := {(x , y)| x ∈ X ∧ y ∈ Y } .

() 28 września 2010 4 / 10

Relacje

Definicja

Dowolny podzbiór R iloczynu X × Y nazywamy relacją.

() 28 września 2010 5 / 10

Relacje

Definicja

Dowolny podzbiór R iloczynu X × Y nazywamy relacją.

Niektóre typy relacji R ⊂ X × X :zwrotna ∀x ∈ X (x , x) ∈ Rsymetryczna ∀x , y ∈ X (x , y) ∈ R ⇒ (y , x) ∈ Rprzechodnia ∀x , y , z ∈ X [(x , y) ∈ R ∧ (y , z) ∈ R]⇒ (x , z) ∈ R

() 28 września 2010 5 / 10

Relacje

Definicja

Dowolny podzbiór R iloczynu X × Y nazywamy relacją.

Niektóre typy relacji R ⊂ X × X :zwrotna ∀x ∈ X (x , x) ∈ Rsymetryczna ∀x , y ∈ X (x , y) ∈ R ⇒ (y , x) ∈ Rprzechodnia ∀x , y , z ∈ X [(x , y) ∈ R ∧ (y , z) ∈ R]⇒ (x , z) ∈ R

() 28 września 2010 5 / 10

Relacje

Definicja

Dowolny podzbiór R iloczynu X × Y nazywamy relacją.

Niektóre typy relacji R ⊂ X × X :zwrotna ∀x ∈ X (x , x) ∈ Rsymetryczna ∀x , y ∈ X (x , y) ∈ R ⇒ (y , x) ∈ Rprzechodnia ∀x , y , z ∈ X [(x , y) ∈ R ∧ (y , z) ∈ R]⇒ (x , z) ∈ R

() 28 września 2010 5 / 10

Funkcje

Definicja

Funkcją określoną na zbiorze X i o wartościach w zbiorze Y nazywamy relacjęf ⊂ X × Y spełniającą następujące warunki:

∀x ∈ X ∃y ∈ Y (x , y) ∈ f∀x ∈ X ∀y , z ∈ Y [(x , y) ∈ f ∧ (x , z) ∈ f ]⇒ y = z .

() 28 września 2010 6 / 10

Funkcje

Definicja

Funkcją określoną na zbiorze X i o wartościach w zbiorze Y nazywamy relacjęf ⊂ X × Y spełniającą następujące warunki:

∀x ∈ X ∃y ∈ Y (x , y) ∈ f∀x ∈ X ∀y , z ∈ Y [(x , y) ∈ f ∧ (x , z) ∈ f ]⇒ y = z .

() 28 września 2010 6 / 10

Funkcje

Definicja

Funkcją określoną na zbiorze X i o wartościach w zbiorze Y nazywamy relacjęf ⊂ X × Y spełniającą następujące warunki:

∀x ∈ X ∃y ∈ Y (x , y) ∈ f∀x ∈ X ∀y , z ∈ Y [(x , y) ∈ f ∧ (x , z) ∈ f ]⇒ y = z .

() 28 września 2010 6 / 10

Funkcje

Definicja

Funkcją określoną na zbiorze X i o wartościach w zbiorze Y nazywamy relacjęf ⊂ X × Y spełniającą następujące warunki:

∀x ∈ X ∃y ∈ Y (x , y) ∈ f∀x ∈ X ∀y , z ∈ Y [(x , y) ∈ f ∧ (x , z) ∈ f ]⇒ y = z .

Oznaczenie:f : X → Y

Jeśli x0 ∈ X , to jedyny element y0 ∈ Y taki, że (x0, y0) ∈ f oznaczać będziemyy0 = f (x0).X - dziedzina funkcji fY - przeciwdzedzina funkcji f

() 28 września 2010 6 / 10

Funkcje: obraz i przeciwobraz

Niech f : X → Y będzie funkcją, A ⊂ X oraz B ⊂ YObrazem zbioru A poprzez f jest zbiór

f (A) := {y ∈ Y | ∃x ∈ Ay = f (x)}

Przeciwobrazem zbioru B poprzez f jest zbiór

f −1(B) := {x ∈ X | f (x) ∈ B}

() 28 września 2010 7 / 10

Funkcje: obraz i przeciwobraz

Niech f : X → Y będzie funkcją, A ⊂ X oraz B ⊂ YObrazem zbioru A poprzez f jest zbiór

f (A) := {y ∈ Y | ∃x ∈ Ay = f (x)}

Przeciwobrazem zbioru B poprzez f jest zbiór

f −1(B) := {x ∈ X | f (x) ∈ B}

() 28 września 2010 7 / 10

Funkcje: obraz i przeciwobraz

Niech f : X → Y będzie funkcją, A ⊂ X oraz B ⊂ YObrazem zbioru A poprzez f jest zbiór

f (A) := {y ∈ Y | ∃x ∈ Ay = f (x)}

Przeciwobrazem zbioru B poprzez f jest zbiór

f −1(B) := {x ∈ X | f (x) ∈ B}

() 28 września 2010 7 / 10

Funkcje c.d.

Funkcja f : X → Y jestinjekcją lub różnowartościowa, jeżeli

∀x , x ′ ∈ X , x 6= x ′ ⇒ f (x) 6= f (x ′)

surjekcją lub „na” jeżeli

∀y ∈ Y ∃x ∈ X , y = f (x)

bijekcją lub „1-1” jeżeli jest jednocześnie injekcją i surjekcją.

() 28 września 2010 8 / 10

Funkcje c.d.

Funkcja f : X → Y jestinjekcją lub różnowartościowa, jeżeli

∀x , x ′ ∈ X , x 6= x ′ ⇒ f (x) 6= f (x ′)

surjekcją lub „na” jeżeli

∀y ∈ Y ∃x ∈ X , y = f (x)

bijekcją lub „1-1” jeżeli jest jednocześnie injekcją i surjekcją.

() 28 września 2010 8 / 10

Funkcje c.d.

Funkcja f : X → Y jestinjekcją lub różnowartościowa, jeżeli

∀x , x ′ ∈ X , x 6= x ′ ⇒ f (x) 6= f (x ′)

surjekcją lub „na” jeżeli

∀y ∈ Y ∃x ∈ X , y = f (x)

bijekcją lub „1-1” jeżeli jest jednocześnie injekcją i surjekcją.

() 28 września 2010 8 / 10

Funkcje c.d.

Funkcja f : X → Y jestinjekcją lub różnowartościowa, jeżeli

∀x , x ′ ∈ X , x 6= x ′ ⇒ f (x) 6= f (x ′)

surjekcją lub „na” jeżeli

∀y ∈ Y ∃x ∈ X , y = f (x)

bijekcją lub „1-1” jeżeli jest jednocześnie injekcją i surjekcją.

() 28 września 2010 8 / 10

Funkcje c.d.

Definicja

Niech f : X → Y i g : Y → Z będą funkcjami. Złożeniem funkcji f i g nazywamyfunkcję g ◦ f : X → Z zdefiniowaną wzorem

(g ◦ f )(x) := g(f (x)).

Definicja

Mówimy, że funkcja f : X → Y jest odwracalna, jeżeli istnieje funkcja g : Y → X ,taka że

∀x ∈ X g ◦ f (x) = x∀y ∈ Y f ◦ g(y) = y .

Funkcję g nazywamy funkcją odwrotną do f

() 28 września 2010 9 / 10

Funkcje c.d.

TwierdzenieFunkcja f : X → Y jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją.

WniosekJeśli f jest odwracalna, to funkcja do niej odwrotna jest tylko jedna.

() 28 września 2010 10 / 10