analiza mate
TRANSCRIPT
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 1/218
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 2/218
I
Radu
GOLO
ANALI'
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 3/218
Andrei
HALAI\AY
Radu
GOLOGAN
Dan
TIMOTIN
ELEMEI{TE
DE
ANALIZAMATEMATICA
VOLUMUL
I
Edilia
a V_a
MATRIX
ROM
BUCURE$TI1998
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 4/218
O
M,A.TRIX
ROM
c.
P. 16
-
t62
77500
-
BUCURE$TI
tel.
0114113617
rsBN
973-9254-78-0
€L€M€NN
MRT(
in
Coperta:
Alfted
Faltiska
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 5/218
#L€tv-q€FlT#
*€
ffiNfqLgAfi
JL4ffiT€foqffiT Cffi
'irc.
u.wi*rnrea
tatdkai
#Ee$.
Awdrei
E{a\*aa*3t
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 6/218
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 7/218
(
irii;iins
Ilt:L'f/l\.lt,liuN(.r'['il,
NUN
T0 ltx.{,l,jj
$t
N[-\{ERE
C]()t\,tpl}lxit
)
gl.
fitullirni
ri
lirnctij
C
$2.
\'lril{irni
ordolaic
t3
fj3
Nurrrt:rc
nal,rrralc.
nurneri.inl,fr:ll-i.
nrrnlr:r(,r:rLiorale
X,iultimi
nrrrr,i,rabilo.
$
ilrr Li
4
(brpul
ntinxrrr:lor
rc;rlc.
$ilur.i
rJc
lnitrerr:
rcalc,
$1.
llurnerr:
ccmplexe
ttj.
iixcrr:i1ii
()apirolul
li
sPA'f Il vl r,t't'lt.i(j
Ii
{l. Spa ii
mct,ricc:
conieigoit'\i:
topologi.i
.ojnpl.+,ituilir.
2.
Spalii
norrnatei
convcrgcntra
uli{brmi
$11
Spa{ii
crr
produs
scalar;
polirroarne
ortogonale
$4.
fulultinri
conlpa(:l,e
in
spalii
mel,rice
$5.
Exer.crlii
ijapiroiui
l-I I
(JoNTINI]ITATE
,
\l
(,,r,trnrr'tr
"
1,:l,a(1
rr..
rfJ.,
2.
li:or:tita
rojtttaL:ii.j
ii
l,iioc{iorraic
li
opcrato i
jitriar
coltiliri
ru
spalii
norrnate
4.
Cr'1,r:r'a proprietiti
alr:
spa{irrlrri
normal
R',
It
r
j^-,....i,
^+..
$6.
$irLrlt
11c
f.rltclti
corLliriuc
. i.
Excrci{ii
Capiiolui
iV
IN'T
'GIi,AI,A
RI}]i\{ANN
[1.
Funclii
integralrilt:
Iiir:rnann
pe
intetvaie
rornpar:l,r:
clin
R
$2.
Crilcliul
dr: int.egrabilit
ate
ll.icliirnn
al
lui
Lerbesgrre
$3.
Tnicgraia
Riernann pc
jntervale
a dimeusionaie
compacte
<jin
R" .
lj4
,.oi) .1.:1.ii le
llr.egraler
irlr:.lrl:i
ale
ltlc+riilor
ilteglabl e
Rietltul
ne
inlclvalc
l-d
imeosion
a le
f.jt tpac1..
$5.
l.lnele
mirimi
dclinitc prin
int.egrale
Rienaln
$
5.1.
Volun
5.2.
i\{
asi
i)
l{
lr
JC
li3
i]5
:l{t
.1J
i1.
;,i
iii
\(:,
d:l
6,r
(li
?:i
i6
7
78
84
86
9,1
9i
98
9E
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 8/218
5
J
r',
n' r'r lc
g-qrtt;rre
$l'.r.4.
Nlorrrentul
de iner{ie
in raporl
cu o
axi
{i6.
lnt,Jtral"
'
rr
pirirln^rrrl
\7
lrrrogral"
:'e
rrrerrdl- nnnrargit'it"
$8.
in:egrail
peniru
rurele
frlic'1ii
oeiiiSiginiie
9.
(lc'nvergella.
uniformii
a
unor integrale
cu
parametru
$
ln
l.x^r.iqii
Oapitolul
V
DERIV
\
tJl
br
Pl-tl\il
llfr
jl
.
Derivabiliiate
pentru
furclii
dc o
variabild
reali" sau compicxX
$2.
D,
rrvar"
part,ral"
i;1.
l'rimitive
qi
calcuiui integralelor Riernanl
$4
[
ormula
laylor
$i.
I
unrl.ii
eul,:riene
$6.
Cit,eva
tipuri de ecualii di{erentrialc
Ji6.l.
Iicrai,ii
tu
varia.hile
seoarabilc
$6.2.
Dcua(ii diferenliale
a{ine dc ordin
unu
$6.i1.
Ocualii
diterenliale
de
ordin
doi
cu coeflcienti
constanti,
('MOg^nF
$6.4.
Ecualii
reductibile
la ecuatii de ordii
doi cu coeficienti
constanli:
ecualii Uuler
qi
ecualii Cebigev
.
$7. Convergcnla
unifornri
qi
operaliile
de
pritnitiva,rc
Qi
dcrivare
$,r.
Exer.r1,i
Oapitolul
Vl
SENII
i1.
Scrii
in
sJralii lSanaclr: definitii
Ei
propr;ctdli
gererale
$2.
Serii
de numele
rcale
qi
serii
de numete co[rpiexc
ld.
rtrrr
rI
i,",i (r'
$4.
'l-corema
de
exisienlri
qi
unicital,e
locali
a solrrtici
problemti
Caucliy
p'
nilr
'\'uaii,
,Jii.i,
i'iiai'
31.
Serri d"
prr',
ri
|]6.
Serii
buricr trigorrornel
rice
$
6.1.
Considerente
generale
[6.2.
PropnctS.li
lcaate de coeficientj
$6.i3.
'Icoremc
de
convergen{i
$6.4.
Consecrntc
ale Tcoremei
lui
l"ejer
iii.ii.
lkc;iri,lul
hii
'J-,tiersi
r;;; J. lur
',it
11:"1i1,11
rl'ri'- 1h11
1
af
i,
r
plln(t
$7.
ivir:toda
scparblrii variabiieior
$?.1.
I'roblema micilor oscilalii
libere
pentru
ecua ia
corzii
vibrante
fixat'
$7.2.
Problerna
oropa{5rii
ci.ldurii
in flre
q,J.
h:\"r,-itii
-\olL,
.
I}]BI,IOG
R,A
FIE
I],TD
I('L
98
9{)
1C0
t01
1 0:-r
109
111
114
i 1.1
121
i33
135
138
r39
140
1,4')
141
1,15
147
150
150
157
-thn
169
182
182
185
188
194
196
i98
200
206
208
210
\'Ianrralul
d<:,\lalizi
rczult,iit
atrt
al
acti\'itiili
din
llu(ur('{lr
cil
qi
al for
l)irrt
rr
ar elt ia sc disiinge
ln
sr:lcclia rrraierialu
pr'czc:nt
iiri
r:art'
si rcspecl
acc,plririi
unui
crl,
lrai
rr;
aparatul nrateil:il
ic servc
,,\stlcl
s-a
urnririt
d,
ar:esl lucrLr
xu
a
{ost
Poi
dcrnonstra{ii.
Ordinea-
in
carc sc it
dc
obliga\iir
unci
preg.i.ljri
cit nrai rt:perlc rle noIittli
a cair:ulului dilcren{ial
qi
:
Drpd
Lir
capitol dedical.
(
paleior
proprietili
alc
ru
struclrrrilor
abstracte
dc s
cu
relirirt:
inrcdialii lir R"
cstr, ficul il cirdrul
{.n.ra
contrac i.i
;i
r:chilalcrr\a
i-rrrroazi
ir
(lapit.olu
(n-duronsronai) cornpa(t
lale
a
criieriului
lui l,obei
ini.rvaie
n.(oiriDactc.
\o{iu rrilc
tlc
dcni a(ii
,..,".i"1,it;
q^,t^fi.."r".
r:alcu)rrl ini
egi;r,iclor plirr
Sirrt definrte fitnr:1iil,
accstota.
rrrrlluL rdtIui Jr ]
-.paiii
ilararh i,sie
folosii
Sint
prczentalc qi
proprie
seriilc
l'ourier trigor)orlel
'fr:orerrr:i
Cauchl
Lipschit
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 9/218
Irttroritr<'crc
l{arttalul
cl.
i\rralizii
tirat.rrrirtia:i
pc care
il
propttlr:tIr
i)rtli
ir'esl
\'c'lltrr
istc
rczultal.
attt
;rl ar:trvitiitrii
drsfirqltralc
de
iirttori
in
cadrrri
I nivorslt;lL1
I'''irttIt'i';I
rlirr L|r<:tt|t:qti
crt
qi
al
li:rtrrirli
Ia nlalorrratir:it'ni
srllr
tnllliIn1ir
ltnc'r
profcsori ilu\tri
l) inl
t,
ace iia
sc
Lli-stirige
Nlirrl.in
ltrlrlrest:tr.
rrrrrrorici
ciiruia ti
tlcdicirrr
a(r'asi;i
carli'
irr
sr lrclia
rrtai"rialnllrt
I
a
(:'tlilill
l)eslrirrea
rtttrri clllilibrtt
i'rir'
rr3"f
i'
lll"
Ir.r,zcIt,iii;
c;rrc
s,i
i,
spcctr,
s
i
a
rl
r
I
I
I
r L I
, ,
I
.
lt/.udlr
llr
tL
alL rrr,r{iL
'
;r,
tLr;rlii
qi
rlcc('si it1(:ii
ac()p,.rirrr
Ltnui
t:rt rrrai
rr|rLr, rolrrrrL
rliIi
c|r'a.
cc
r:ste
lttilizai
dc
tirrrncltiil.
lr{' r1rll
(
ill('
ilparalLrL
Inal(tttlalir
sfivr\1.{r
la
lllotleldrr'a
le ltottrctlelt-rt
realilii{ii
,\st{i:1. s
a tlrtltiril
(lclllonstrilr€ra
iulllror
r:trun urilor
rlal'r:
ltt
rarelc
(azltri
cliid
accsl,
lrtclrt
lu
a
{ir-1
p,rsibil
sir l
irldi.al(:11111i1ile
ln
carc
s1)
pot
giisi
rtspr:ttircic
rlcinolsl
rir ii.
()lrlileairr.at.s(,illtro(lu.rlivt:rseleobieclcrnatcniai,icecsl.d.l(]llllinlrl:riLIii
rlc
obh.ralil
utiri
prcgi.liri
prcalabile
<lcfinirii
a<r:stora
cit
qi dt:
iritrn{ia
dl
ir beur:ticia
crl nrai't,'perlr'
,lc n,,lirrrri
cn o
lrrgii
lolosirt:
S-a
inccrcat
asllel
d'r\oLtar'a
in
ir:rralei
a caLr:ulrlui
rliir:rcrrlial
1i
a
i:r:lui inlcgril
r{rrllLrtlindli
se
la
''rcpalar'4
l"r
tiiidilion;rli
Llupii
urI
capitol
.ledical
ciiorva
elerr'l.r1e
(ic
t,eo|i;r nrrrl\llrrriL:'r
ii lrrezi'nliirii
lrirri:i-
pale:lor'
proprit:ti1i
Dlc ulrlllar'lor
r'e;rlc
5i
alc
nlllllrJclt)r
(''nrpl'x'
rrlrrrta;:l-r
rl'iir:ircir
.t,r,t.1,'ril,rl
ai)slfacte
(lc
spa\itl
olelll(r.
de
splr'1itr
tloItrlal
dc spa irt
ctt
ptoriLt::
srirlar
cu
rc{i:rilt:
inrr:rlial;i
la
i'l".
Srrrrlirrl
c
,
I
t t t
i
t
r t t
i
t
ir
1
i i
qi
al
lr
nrlr
r irri'iit,
i
it-'l legirtc
11c
act:ir:rta
.st(, 1i.ur.
irr
irrrlltrl
qi.rrcral
ei s1;a{iiiol
lrtt.lic
lr
({)tll(:ri,
st.
rli'trrotlslrcarlil
I)ritlcilr;ril
.i)lll,r'aa i.i
il
c.hiIrll{'llta
rr,;rrrrr'1or
p,r
fi''
('rrteazi
tti
(
af
it,,lrrl
l\
,leliriir|a
tlLrllitirii
rlc
itltt'g|ala
Rit:ttlrurrr
l'"
rrr' ilrr''t
r''rl
(ri i1 .rrst,rrrlrlj.orllf);r(t
.iitl
iii''
crL ricrrroDslia.rt:a
ua
pliucilr:ri
.Iitc.iu
.ie
lui,r:giiii,iii
tate
;r
crireliuiui
lrri
,t'Lesgtt,.r. Sini
riclirrilc
ittttrglal' l
'il
iraiaii'i'r'rl
rl
li
i
6ial'
ll
l't
irt
t
r'vale tr
cco
rtt
pi'rcl,c
\r-,lirrnilc
<1r:,1r'riraiiqi
ptitrritlln
sirrt rrltr()dus.
rn
(lalril'rlLrl
\
i'
rLlrLr
ilr:I'
I
I ll
o
lirri:,Liii.
(,'
rl.lilr;1r' i
lorr,rrrrt'a
,lr'
,l:'riv.rli
1r;rlialir
PrirrriLivlL'
srtrt
rliilizalc
i;r
calculrrl
irrlr,gia|rlor
Plrrr
irtterrrrr'lirrl
l''rlrrulci
i'r'tbniz
Nlutotr
Sirri
tli'iirit.r
lrtrrcliiL
crrL:rictt''
1x
i0,
o:,)
1i
dirlrrs"
lrrinr:ipaLrlc
prol)riu1i i
llc
iiliir,,ti
i,,1,ii'i. ai
','i
ir:a,
iil iojuri,iiliii
i
t.ii(r
rtjir;'ttiiii:;r'lllioi
'li:oli::iriilci
jl:
,.1'."iii
iiaiiaih
i,sir
folosiii
j).iifiii
;iirili.i.a
:r('l.iilor ljrjlreli.{'
;i
a scriilor
rle
furc1,ii.
Sirr
prczelrtalc
.i
prol)rieiitri
l.galc
tiI
srriilc
duble
Srni
sltldiat'r
s'riiltr
tlc
prrl'eIi
5i
seriij,, ,r,ilri,rr
tIlgo
oi ,ttri(,. se
ilcrrrorslrcazi
in
cdclr:rl
studu.rii
seriilor
dc
iir[ciii
,lcoretnl(,aur.h1-Lii)s.ltiiz(le{txisierilali
'Uricilltr:
a
sc,luliei
piohlirrtci c'atil:h}
iae
c;r
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 10/218
exempiu
de
ll+,ilizare a seriilor
Fourier Lrigolometrice
este
prezentatd
rncloda
separirii
variabilelor
pentru
ccua(iile
uridimensionale
a undelor
qi
a cdidurii.
Apreciem c;i, acesl,
ma.nual esl,e
folositor
tuluror
celor
care utilizeazi
maiematica,
in
speciai stucientiior
qi
speciaiiqtilor
<iin
riorncniui
tehnic.
NIul{imi, func{ii,
Mullinn;
f
amilii
d,'
pdr[ilor.
MulJimi
subgir, mullime
nt
lui
Arhimed,e;
ari.or
propri,elalea
margit
leria
lui
Cauchy.
lard;
qiruri
de num
$1.
MULTIMI
$I
FUNCTX
in
cele
ce urmeazi vom
Definitiile
gi
axiomele
preze
calculului
cu multrimi
qi prol
aminun{iti recomandim
[21]
Nu vom
deflni noliunile
,
r
poate
apartine
unei mullim
DoFrNrtrE.
FieX
omul
X
dacE orice
€
Y
este elerr
a
lrri
X
se noteazi
prin
Y
g
-
ci
incluziunea este
slrictd.
A
se folosi un
semn special.
Axronre
uur,lrurr r,inr
P(,Y)
numitl
r"utlirnea
pd,rl
Axloh,la og ExrENstoN,
dacS.XCYqiYCX.
AxIoMA
MULTIMII
VIDE
mentuir,a(6.
Rezulti c[ oricare ar li
Not5,m
{a}
mullimea
cu
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 11/218
CAPITOLUL I
Nlu1trimi,
funclii, nulnere reale
$i
numere complexe
Multinti;
fanr.tlii
de
elemente.
Functii;
erliuderea
la
mullimea
pd4ilor.
Multtmi
ordonate. Multirnea
num.erelor
nalurale;
gir,
subgir, mullime numd.rabr.ld..
Corpul
nurnerelor
reale;
axioma
lui
Arhimed,e; ari,oma Cetutor- Ded,ektntl,
nenumdrabililalea lui,
R,
propri,elqlea rnarginzi
superioare. Lema Bolzano-Cesaro
9i
cri-
tertul lui
Cauchy. Corpul
numerelor complexe; reprezentare
po-
lard,;
sirun.
de numere comTtleze.
$1,
MULTIMI
SI
FUNCTII
in
cele ce
urmeaz[ vom
prezenta pe
scurt
citeva elemente
de teoria multirnilor.
Definiliile
qi
a-xiomele
prezentate
sint menite
si,
introducd.
obiectele
esentiale
ale
ca,lculului
cu multimi
qi proprieii,lile
esenliale
ale acestuia. Pentru
o
tratare
mai
amd.nuntitl
recomandd.m
[21],
[16].
Nu
vom
defini
noliunile
de element
qi
de multrime
(noliuni primare).
Elementul
e
poate
apar{ine
unei
multimi
X
gi
acest
lapt
se
noteazS"
e
€
X.
DEFINITIE.
Fie
X
o
mullime.
O multime
Y
se numeqte
parte
(subnul[ime)
a)ui
X
daci
orice
g
€
y
cste element
al
lui
X
(Vy
e
Y
.+
y
€
X).
Faptul
cd
Y este
parte
alrri X
se
noteaziprin Y
C
X
(Y
este
inclusinX).
DacXl'
C X
Si
Y
I
X
sespune
ci incluziunea esLe stricld,. Acest
lucru
va
fi
rnenliorrat
explicit,
cind
este
cazul firi a
se folosi un semn
special.
AxIoul
uur,lrnall
piRTILoR.
Pentru orice
mullime
X existd, o
mullirne
notati
,/
v
\ .,,-ir
4
,-.lt;^""
^n.t;l^,
1,,;
v
AxroMA
DE
EXTENSToNAL|rarr.
DouS
mul{imi
X
qi
Y sint
e4cle dacd
qi
numai
daciXcYsiYcX.
AxroMA
MULTIMII
vrDE.
Existi o
rnuilime
{i
cu
propnetaiea:
oricare
ar
fi cie-
meni,ulr,c(0.
Rezult;
c5 oricare ar Ii
mullimea
X
,
A
C
X.
Not5m
{r}
mullimea
cu elementul
r.
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 12/218
Fic
p
o
propdetate.
Nolilr
{:r
I
r
art:
p}
rruilil]}ca
clementelor
r
r:are
;.ru
prol;ri
elateir
p
dit{ri
o
aseltenea rDultimc
oxisti}.
Din alte
a-tir;rne ale i.orici
rnrrllirnilor
al c:dror clunt,
mai
telrlic.
lx)ate
fi
gasjt
irr
121.
Ca.p.
l.
$1],
reztltl
exisienla
iiiul{iiriloi
.liii
riefi;iiiiie
.aiij
i irred/-,.1.
Di.:i.ilrl'iil.
Sc
ririmt:;itt
t
eu Li:uritl tnulititrriirrr
-'i
qi
i'rnuiiicrca
-YUl'=ir
ze
Isauz€l'].
Sc nurneqte
in,tet
setlta
rnullimilor
)(
qi
1, rnullirnca
-Ynf-
=
{ir l:r:
e
-{
qi
r
e
r"}.
-
Fie
1'
C
,r.
Se nunrcE|e
r:ornplemenrara
mullirnii
)/
in
raport
cu
_I
mullimea
C_1
1-
=
{r;
€
X
lt
/
Ij}.
Daci
mullimea
J
este
subirlelcasi
se r,a iblosi
notalia
C},.
Dac:i
A.B
e
P(-X) definim A-
B
-
{x ln
e
,,1
qi
r
/
B}
=,{flCB,
numitd
u//rrrlr{rr
rjrulrrnrt]rrjr
d
tr
D.
Operalia.
de
trecere la
compiementard
are umetoarclc proprieldii,
aie
cdror
deuronstralii
le
propunem
ca exerciliu.
PRoPozr'frA
1.1.
Fie A-
B
e
P(X).
a)
c(l
u
B)
=
c:t
n
ca.
b)
C(A0B)
=CAUCB.
DITI,INITIE.
Fie
z,
g,
elemente.
Se numeqte
cuplu
(pereche
ordonata) multimea
..lel
'.
-,
-.
:
=
{.r..r)
=
llri,ir,U}}.
Rezulrb ugor cd
pentru
doui
perechi
ordonate z
=
(r,9)
qi
z'
-
(.;t:'
,u').
7.
=
z,
.:+
t=t:'Ery=g'.
DEFINITIE. Fie
{. )' mullimi- Se numeqte
prod,us
car-tezian,
(rJzreci)
mrrllinea
-lg
x
I"
=
{(",y)
l
x
€
-Y
qi
s
€
f}.
Aqadar
produsul
cariezian constd diu
toate
perechile
de
eiemente.
primul
din,{
iar
ceiiiait
dirr i'. Accasi,ir, loiiul*
esu"
i"gara ,-ie
lea
ri.'
reia1i,.
iu iiili;i1jui 11bi;lrri|
o reltilie inscarnrri o legaturd, intre
anumitc
clcncnte.
Este dcci rraturald
uri]rdtoarea
cicfiligie.
DEFINIITn.
Se
numeqte
rclotic
o
submullime
Rc
I x
l-.
O relalie ??
C
)l x
X
se nurneQte t elati.e de echhnlenlii,
1te
X daLrii are
propricl.i{ile:
i
)
(r.
r)
e B Vr
e
-t
(rcflexivitate):
2'1
Q:.u)
e E
<+
(y.
r)
€
E
(siuretrie):
3)
("r,
g)
e
,t
qi
(y,
z)
€
-R
+
(r,
r)
€
1l
(rrarzitivitate).
i-
t"
tr
o
rclaqio,io
o|iri|ajen(a
pt'
\
. Ppnlru
-r
E
.\
rir
iinitn ci,1rn
q|
r
ittntir.ttlo
o
ftrz
r:
in rifport
cu
fi
prirr
i
-
ly
e
X
I
(2.9)
e
ni.
Multimea
claselor dc rr:hivalcntii
iri
raport cu R sc nurncQtc ntu,lfi,rte.a
lactor
a
lui
X relatfu
la
R.
Aceasta
sc va rotil
cu
Jl
sau
,\/fi.
Obsen.S,In c , doul c]asc
dc cchir.alcnlii diferite
au
irtersectia
vid5.
Excrnplele cele
mai
crrnoscute
de rl}u]triuri iactor
sint
mullimile
2",, n
)
1.
oblinute
,,:. ',,,,
.-l
,.^t...:-.
r.
.,..,..r;,.
^o,,
_
"
_
".
,_^ I
-,
,rilr
li,"
'll/dr\d
,\ .i.
rrri ('r ri.li -1 r
-
tr iriiiru
i/i.
Tot
de noqiurca rlc
produs
cartezlan se
lcagi
gi
urmitoarea
defiliqic.
DEL iNtTTF. -ie 1
qi
-{
mullirni.
Se numc6te
farn,rlie
de elem,ente din X indenatd,
d.v.pri
I
c
submullime
f
C
I
x
-{
cu
proprietatea
V?
€
1l
:i,.r
€
-Y
astfel
incir
(i.t:,';
€
f.
O farnilie
se
\.'a nota
("i,)r€r
sau uneori
i:r,)161.
10
Cu
clctrLtrrtellel
tLrtei
fi
ulnril
oiifa.
I)r-FI\tl:iE.
l-ic
(.\;
)ie
l-.1
.1,
-
{.r
,
e
1
as,
{l
-1,
--
1..
ir
€
-Ii
V
taI
fl
.1i,
-
ii.riJi,
/
i.|,
(
I)riint
lt'ikru;t
llittlt it:ti
ca rrLrrllirne
rrc iild
atlttlci
r
-\
\Io\lr
nl.l'(iElill.
f
.t;'
1
0.
iir
rLdiliqia
ttltllil
r)ai(
diiilit
ri
dr:
t
,:ra
folo-.itii
itt I
rrai
lrilc
itr eiirLt'ttlit
lrli,pr
Ll]]fl\l
ittt.
Fie
,\
li
' tripletul
/
.-
(.r.
t.
a;)
l
i (it
(r.
t/)
e
G.
'\rtsr
1
I
rTtutftiie
donrcni
d.
t.(rlot
Clrr
rLtc
crrvirtlc. o
firr
i)f
ilrt1---o
rlr{,to([A
l)a]
('citl
c
In
ccle
cc tuureazi.
fit'
',n-,rri
.; r'.,,
-fii,
\ : , F'
ExFr\11't.t..
)
F-i{'.laE.
tiuxlit
s.
nlrriarsra
.f
tnr:1it
r
nrtlt
2l
'il
tl rr relaiic
rl<l
e
lui
-\
r't'latil
lr ll. fiuru
aiirfii)lia
ar
i:r il:r
\,
ire
l:
Fiinrl dat
ii o lrurcqit'
,
.lac:i {
€'fi
f).,ll-1)
trnag:tn.cu
lti )
ptit
,f
.
Darri
6
€
2(l
).
dcfir
E
pr
ir
i.
E;rr i\iPi.i..
r.riC)
=
{1}.
VC c.'
i.r{D)
=
{0.
i}.
vl)
\
lrilrlr-Lr;\
t
1i
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 13/218
il
Cu
i'lr:itu'rteie
rurei
farrrilii dc
rtrrtllirli
I'om
coltsirui
loi
rnul{inti
iri defini{ia
lrft)1ii1.oaril.
l)t FIN1'l.lE.
Fic
(.Ii);51
o
i;ruilic
Cc
lrul 1rli.
Delitirrr
-f'
- {.r lir:
e.I
artlii irr:it
.r
e
-{;}
(r'eurizur't'o'1;
|
.f;
= {.r' :r
€
-\1
Vr
€
Ii
{.inkt
srL:litz):
iel
fl
- '
- {(.r1);-.1
i:r;
€
-\;
Vi e
ii
lprotusul
dinr:ti'
I)rirnr:1c
rk[Li
rttullittri
exrittcl
rxrlittni]c
clotirrir,e
arlerr-ior'
Erist'r:r a
celci
clc-:r
lteii'r
ca
nurilitnr'
l c\,idi
atrulci
r:iril
-Y,
f
{tr
Vi
este
(1ati1
(10
ulnit'oaretl
aliLinra
,\
\1()\l
\ A t.li(iF-lt
l
.
n'
i,{;),.
r
o larlrilie
de
rntilirni.
Dat:i
-Y;
l
0
Vi
e
I at'unci
.Ii
+
{i).
irr iLcliniliil
urr]riiioare
1)rlriel1l
iln
o
rllanierii
r.lc
a
intr-odut:c
notiuuea
dc
fullclic
tlilllitii
de
cea lirlositi
irt
trr;rrtualele
t1e litt'1.
il sperauta
ci
itt accsl
tirotl \1)r
ii
pu're
ua.i
bilc
irt
er-jdt:rrtti
Irr
r,irr
ict.itilc
e.rcr1lia1e.
Dri't\filll.
I'ie
,Y
ti
}' rrrul{irni.
Sc
mrroeiitc
/?r?rcl,e
dr:Jinitri
pe X cu uaktri
t)n
)'tr:ipletul
/
--
(-Y.
1,4'')
unrleCic-{
xY are
pr-opliel atea:
V:'t
e
I
ll
U
€
l- astf(
i
irrc'it
(J.
)
a
G.
Acost
y
st' troictrzi
/(rl.
I sc trurteSte
dttmerirt
de tle'Jintlic
l'
st:
nllmeqte
il.)i7iclr;?r
tlt:
t'alrni
tt'r
C
se
rtulte5Le
ora
Ji
cul,
.funr:[iei
f'
Crt
altc ctrr,iltc.
o liln(:lie
se oblintr
cinrl
liecdmi
eienient
a din
{
i
se
asociaz5'
lrrirrtr'-o
rrctotli oiir{)care
uri
ttnic
eloirrent
/(r)
dh
f' Gra{icul
tiirrclici
;'estc
G'
G
r
d
{(r,
./(r))
n:
e
-{i.
in
ccle
i:e
r1r'rleazi.
tuncliile
(-{, }',
G)
vor
fi
rrotate
pril
/
:
-t
+
}',
lokrsiirrlt
sc
..rlcori
5i
lot.alia
.t
:
r
'+
,f(z)
e
)'-
ExRIutpt-t.
lr t.,
t
f.
l,r,rr,i;,
i r:
I
'rr.
I,
rllrrr'r
1'
rr,
,.,i')=il
lr'1
(l .1r
se
l
urrir'.<1
e
./rnr:trin
(tintctt:r'istiti
a
nuiilinrii
.-1.
2)
|io ii
o
relirlie
rk:
eflii\?1erl:i
pc.Y
qi
{ic
-\
-
1-t
i.r:
€ -{}'.lrrilitn'a
iatr",
a
lui
-\
rr.lativ
1:r
,R. lunclia
7.,
: ,\
+
-f
dr:firritii
piin p(.i:i
=
i sc
nume\ic
opli.:rriirr,
.,.,.-^^;-;. i,'i l_
^a
\'_
Fiind
(lali
o
{rrlr:1ir
"l
:
I
-+
l'.
,Jafiiirrt
ertitiderea
sa la
rruiliuerii
pirlilor
pril:
daci..i
€
"(,{).
/{.1)
-
{g
€
}'
j
i:r;
e
-{
astfel inr:ii
l(r) =
g}.
,ti-{)
sc rrrrln,'\iF
inag
r.e,t, hti
1
priu
J.
Dacd,B €
2(l'),
dcfiuini./
t(B)
=
ir
e
-Y
I
/(:r,)
€
B)
mirniti
pre'inrughrca
lti
tJ
lrrin
i.
LXt.\lrt_L.
YrfC)
=
{
1}. VC
c.r.
.r.i(t)
-
i0.1], VL
€
P(,{).
c'r
proprietarc:r
DOA+$
Dnt,t
+$.
r;'({oil -
Cr,
r.,'({i}i
=
.+.
11
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 14/218
Extinderea
unei
functii
Ia
mullimea
p;xlilor
are u-rmetoarele
proprietlli
a c5ror
demonstralie
constituie
un
exerciliu
util.
PRoPozrTrA
t.2. Fie
J
:
X
-+
Y
a)
Fi,ind,
datd,
(Ai1;61
iamile
de submulli,rni
aie
lui
X
au ioc:
t(l)ao1
:l)f
{.+,);
(
1.2)
(1
3)
(1.4)
(
1.5)
(1.6)
(1.7)
(1.8)
,eI
r(fr/''cfff{,t,);
'i€I
i€I
Ar, A2ep(X),
Arc
Az+
f(At)
c
(Az)"
b) Fiind
datd,
(81);a1
o
fam,ili.e
de
submullimd
ale
luiy
au loc:
t
-'
(l)
nu1
=
l.J
r-'(4,);
id
iel
Demonstralie.
Fie:
J:I
lho(so
[(hos)o
qi
asociativitatea compunerii
Se
observd cd
/
o
idl
-
drept
elemente
neuire la
con
Sint
numeroase
exemple
punere.
Astfel
sin
(r2)
I
(sin
qi
iau
valori in aceeaqi
multi
sin(r2) are atit valori
pozitir
DEFINTTIE.
Fie
,4
c
X
aplicalia
de incluziune.
Fiinddaii/:X"-i/,fl
Rezult5
/la(r)
=
f(iA(c))
=
DacLu:A-Yesteofi
se
numest€
prelungire
a lui u
$2-
MULTIMI
ORDONATI
DEFINITIE-
Se numeqte
r
cu
propriet;lile:
1)
(x,x)
e
r?
Vr
e
X
(re
2)
(x,y)
e
n
qi
(y,
a)
e
,
3)
(r,y)
e
Rsi
(y,z)
e
t
NorATrE-
Condilia
(c,3
de ordine
prin
r
( g (c
rnai
;
DEFINITTE,
Se spune
ci
stx*y.
DEFTNTTTE.
O
multime
mu\ime
ordonald,.
Se va folos
ExEMPLE.
1)
Q,
multrimea
numerel<
2)
Fie
E
o mullime.
Rel
DEFTNTTIE.
O mullime
nume$te
lordl
ordonatd (relat
Oesonvllto.
Daci
E
ioial
ordonatd..
/-'(fla,;
=
|/-'(a;);
iel
ael
Bt. Bz
€P(Y).
Bt
c82=
J-l(Bt\c
f
\(82).
vB
eP(Y),
"f-'(CyB)
=Cxl-,@).
DDFINITIE. Fie/;X-+),
/
se numeqte
injectiud
H
Yq.rz,
xt
*
rz
+
f
(r)
I J@2);
J
se nrrmeqte
surjectiud
€ Yy
€
Y
)s
e
X
astfel incit
f(d
=
U:
/
se numeqte
bijectiud
I
f
este
injectivi
qi
surjectivS,.
OBSBRvATIE.
Condilia
ca
J
sd fie injectivi
este echivalentS.
cu
Yr1,12
€
X,
J@1)
=
f
(r2)
++
nr
=
x:2.
DEFINITIE.
Fie
I
: X
-+
Yy, g
;
Y2
-+
Z,
f(X)
C
Yr.
Se numeqte
cornpunerea
funclii,lor
J
qi
g
funclia
s
o
J
: X
-+
Z,
(s
o
f)(r)
=
slJ@)1,
a
e
X.
DEFINTTIE.
Se numeqie
/zncfi
e
i,ilenticd
(sau
identitate
pe
X)
funcqia
id;
:
X +
X,
ida(r)
=
a,
Ys
E
Y
Se
mai
noteazl
qi
11.
Oeseavalre.
Qro*
=
{(x,x)l
n
e
X}.
PRopozITrA
L.3.
Compunerea
funcliilor
este
asociatiad,
(tn
condilii
de bund,
def.rfire), are element
neutru
la
sttnga,
element
neutra
la
dreapta
qi,
nu
este
cotnuto,-
ti,ud.
1)
-4.
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 15/218
i).r rr
)rrsl
ra
{re
lic:
I
:-1
--
i.i.,t :
Il It
('
-
l):
Ino(coJ)iia)
-
tt,,ilt a.f
),.'):
-
i,iai..fit')jl.
i(ri
o
r)c.7"11(rr)
.
it
o
r)i.i
(all
-
it:,L1iji3
i,i.
qi
as<x
ia1
ir ii
iiir:it
lotr
lr,trrr't
ir r'slr'
r[,tnonstraii
ge
obscrvii
ci
j
o
i,l;-
,-
./
;i
irl1
o
.i
-
.l
\,1f :
.\"
-
i.'.
r|rri irJa
qi
irlr,
:icr'"est:
clt'el)1 a (rrlrlrltc
llilil i lii
(ourl)ulerc
li\
1 t1nll1:t
ii
r.si)a.ti\
la
sll,gil
Sil+"
urlrrolsr.eretnlrlci,'rarr
evidrll{ilzi
leL:ollLlllitlivitaLea
opr:raItei rlr, rorrr
puncr. ?\s1{llsirr
(.r:)
I
(5ir.r)?.
(lcl.
rloui
lirrclii iru a<:e1aqr
clorrrenirr
rIt
rIr:iil1,ir..
iR.
;i
ii:u r.llor
rf
ir..i,:rli
triLtltirLt.. R.
dlf
l]l
Iill l)
1"
(sirr)l
rLre
r-rrrrl]aivaiori
rr<rrii,i|r,
sitt
1.rr)
rtt lltt \alcii
Iozilir,r'
ctt gi rr:galivr,.
t
DEFtNiltl,..
Iie
,1
C
I.
l'uricqia i_1 :
,1
.
X. i1(,o)
-
.j
Vrr
e
I sr
nrjlr(.\te
rTtltut"ltt
tlr
t
n
tlr.l
ln(.
'ii,'r,l
r.iaii
.i
.
-\
--
l'.
[riri'1ia./'],1
-
i.oi
1
.,.
;iiiiiir r1e iirtliiiiiij
lrrr
I
la ..1
a
].
Itr:zLrlti
.fi-1(.r)
=
./(/
i(.r))
,
.,i(.r.)
Vr
e
.1.
ilacii
u:.1
-
l
r.stco
lirrrclrt'11aiir.
o fLr:rclii.
r.:/J
-
i'L.u
itol)rierat.a
rl_1
-
u
s0 Jrrrrr' te
1ft.i
.ljtr(
;r
lLij r;
la
/i
I -,1.
i2.
Mlrl,'ll
\,1 I
OII DON.\
i'ij
Dt,il
t-\lf1li.
5e
rrrrrrtr'q1c
trla(tt
lt
crdtn,
1rr.rrtriJltrtrca,Yosubirilllir..lr/l(, x,V
cll
proprietitil,r:
) (r.
r)
e
P V,r
5
.r;
(r11+:r..
ir:rt.r):
2)
(r
9)
e
1i
iii
(1.,r)
€
Il.,:+
.t
=
(aniisinr(.rrie).
:i)
(x. g)
€
/i
{i
(r. .')
€
li
=
(.r.:)
€
/i
(irrnzii;v1laii.).
Not,\1rE.
tlondi(ia
(r.,
r)
€
/l
(nor.ari
rLncori
;r.ltl) se va
nota
irr
r:azul
relaliiior
tlr:
orclire
prin
t
{t1
(.:t
trtLtt
nx(: sl.u tttl.l
.)t
j).
I)EFlNl
il.l.
$r, ,sgr1illn 1i.
r .slc
\ht .1
tDqi ttr
tlt,c.it
u r('tat
i < l laci
:t :. l
,t
t
+ 1.
I)ttl.'tNt
fut.
O
rrrLrilillc
-Y
lrr:resirill.ii
rr]
o
rclatie
rle
orclitrc
.-_<.. sl. rlnt 1.$i,i.
mullznrt:
.rde'rtairi.
Se
va
fok'si
roralia (- .
-{)
pcnttr
i
ll.s(:lnril
o rrrrllirrre
or(i(,ri i;'l
ExIrltpi,I,_
l)
Cl.
muilirrr,:a
ilutncreior
ra{r,rnalc, r'sic
o rrrul\irne
c,rdoriat,i..
2) |ic
/i o riirrltirne
Fela(ia,.C'(j- 1r,o
lcla{ic.
de
oldino
in
?1E).
IJtFtNl tt;.
O
ntullirrrc
of(lorzrlir
T
irr
r:aro
Vz,.V
f
I. r
-l
l
sarr r7
(
.r sc
nriln. i1c
1r)ldl
ortl.arolii
(relaliit
rlc
ordia,
.stt
t(){irla
pc
aera
rlrrllirne)
OBSERvATIti.
i)aci Ii
arr.cci
lrrr in
cioui.lrnrorl..
alrrn(i
(Z{1i).C)
lu
lst.
Lo1,ilI
oidotal
ii
t3
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 16/218
DEFINTTTE.
Fie
(X, ()
o
mullime
ordonat[
qi
A
C
X.
A
se numelie
maJorotd'
H
:
llZ
g
X astfel
lncii
x{MVr€A.
M
senumelte
un
majorant alluiA.
,4 se
uumegte
minorald
E
3rn
e
X astfel
incit
rn
(
o
Vc
€
-4.
m
se numeqte
un minoronl
al hi A.
O
mullime
simultar majoratl
qi
minorat5
se numeqle
md,rginitd,
DEFTNTTTE. (X, ()
se nurneqte izdrcliud
(indactia
ord.onald;
oS
X
+
0
qi
oricare
arfiACX,A*0,dac{
A
este
total
ordonat5.
atunci,{
este majoratS,
in
X.
DEFINITIE. Fie
(X,
<)
o
multime
ordonatS..
u
e
X
se
numeqte
element
maximal
al
lui X
H Y:r
e
X,u(
a
:+
u
=
r.
TEoREMA
2.1.
(Lema
lui
Zorn)
Orice
mullime
inductia
ord,onald
are elemenle
narimale.
O
demonsiralie
a
acestei teoreme (echivalenla
enunlului
cu axioma
alegerii)
se
poate
gXsi
in
[21,
Cap. I,
$8,3].
-
DEFTNTTTE. Fie
(X,
()
o mullime
ordonatS.
Ei
A
C
X o
submullime
majorati..
Cel
mai mic majotant
al
lui,4,
daci
exist6,
se numegte
margine
superioo,rd
a
lui A
qi
se
noteazd sup,4
(supremumul
lui.4).
Dac5. sup,4
€
A vom
nota sup,4
=
ma;r;
(maximumul
lui
,4).
Prin
urmare,
elementul
6
e
X
satisface 6
=
sup,4 dac5.
qi
numai
daci:
1)b>-a,YreAqt
2)
dacd
M
€
X
qi
M
)
xYr
€
A, atunci
M
)
b.
Expupr,p.
rie
(Q,()
qi
mullimile
A7=
{r
e
Q
l"
(
2}
9i.A2
= {r
e
e
lr,
(
3}.
Atunci,
Vr
€Q,
r
>
2 este majorant
al lui ,41
iar sup,4,1
=
max-4r
=
2. in
acela{i
timp,
,42
este
majoratd,,
dar
nu are
margine superioard
in
Q
(deoarece
.rg
e
S)
DEFINITTE.
Fie
(X,
()
o
mullime ordonatd
qi
A
C
X
o
submullime
minoratd..
Cel
nrai
mare
minorant
al
lui
,4,
daci
existd,, se numeqte
margine
inferioard,
a lui
A
gi
se
noteazi
inf ,4
(inflmumul
lui
4). Daci,
inf
,4
€
,4 vom nota
inf ,4
=
min ,4
(minimul
lui,4).
Aqadar,
o
=
inf
.4
€
X
daci
qi
numai
daci:
1)
agc,
Vee
,4qi
2)
dacl m
€
X
qi
rn
-(
r
Vr
6
A,
atunci
rn (
o.
$3.
NUMERE
NATURALE,
NUMERE
iUTROCT,
NUMERE
RATIONALE.
MULTIMI
NUM.IRABILE.
$IRURI
ExistE, o bunX
bazi, intuitivS. pentnr
a
opera
cu
numere
na,turale,
cl mrmere
intregi
sa,u cu
numere
ralionale.
Proprietd,lile
esenliale
ale
numerelor naturale
vor
fi
enuntate
sub
forma sistemului
de axiome
ale lui
Peano.
T4
Delrnrltr.
(Pea.no,
I
N inzestrati
cu un elemen
1)
s este
injectivi.;
2) 0
d
s(N);
3)
Dac5. ,4
C
N,
are
pr
a)0e.4q
b)VneA
atunci,4=N(axiomr
Mullimea
N
{0}
va
Pentru
detalii
privinr
relaliei
de ordine
binecunr
se afli
prezentati
constru,
mullimii
numerelor ralion
Pe
Z
qi pe
Q
se
inir<
inel
comutativ, iar
(Q,
+,
.
initial
pe
N, se extinde la ,
submullime nevidd. a lui
N
DrrrNrltr.
Se
numeq
exist5.9 :
|L,...
,nj--
Al
Numirul n
se
numeqt
care nu este
finiii se numt
Din
axiomele
lui
Pear
DEFINITTE.
O
multirn
Vom spune cd o rnultime r
O multime care este
r
PRoPozrTrA
3.1.
.Fi
9
:
N
--
A
stricl crescdtor
Demonstralie. ([2],
P(1)
=
Inin(,A
-
ie(0))),
.
g
este asigurat5, de
existe
din
l\.
t
in cele ce urmeazi,
qr
ale
aplica{iei
construite an
A
=
{k ,k1
PRoPozrTrA
3.2. ,a,
Demonstralie.
Obsen
iar
din ipoteza de
surjectiv
din
fiecare submu\ime g-
aceasta
construim o biject
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 17/218
L)i.tt
I).'l{t[.
{ll:alo,
Lr] )l) Sr: rLLrrrreql,e ttullttnc
a
ntrterr:lctr
rralrrral:
o
rnrrllirrrc
N
rrr.-a ra1ai cu un
cbriicnl
l)
qt
rrt
r';r1rlrral,ir'.\
\*
,
N
(rirrcc-.orj
(u
ltt(,priet;trile:
1
)
s
rstr,
inlr:r tir';1r
2)
tl
7
"11i,,
r)
0
e
.1
1i
[)V,
r
.1+
rirr)r
.],
airirrri
-.1
=
N (uxicrli'.
inrl
rr
\rri)
\irrl' irr,a
\ l{)ira
fi
n<,r.atli
N'.
i)r'ttllrr
rir.lrlrr privrld
oirl,irirrrca
lrrolrrict,iililol
aigebrict'alc
lui
N;r
,li.lirur.a
relalier
dl
orrlirLr bintcrrrroscrrlr..
r'ccomardiinr
[-);]...'o1
ll.
l2
(la1r.
l.
tr2l
llr rici
s, allir
rr.zrrrt;rt;i
(:tiltsirlt(\ta.
lror'irind
rlr la
N
a rrrtrll,irriii
lL t11.r.,lor
jltt..ei
Z.
qi
lr
rrrrr l1irr rir
trLtrtrer,'lor ra\ionlrlo.
Q
l'r'Z
1i
rr.Q
-.r'irrlrorlrc
op,:r'aliilc
d', rrrlLroarc
\j
ilnullir..
(/.+.
)
,l.rrrrrnrl
in.L
.onli1;rlir',
ia,r
i,Q.
+.
j
.()tl)
f,rinltirti,,
l)r.irsr.rrrr.rr,';,.
icl;L1ia
rlr
q1lir1.
riciirril.:i
rrrili;r1
lrc
N
sr',..{llr(ll i.r
Z'<i iu
Q.
iL,iar,ra
dc
olrljrrc
csi,.r(,i.1
i
lr(.N
Z
51 Q;i
orilr.
sLrlr:rirliurrc
l,,rirli r
lur N arr
lLtr
crl
rrar nric rlemrnt
l)ftfr\tftP,.
$c
rrrrrrelle nr.lltnt.t
ltttli
o
rlrLllirrre
I
petrrnr
car. t.xisri
r
€
N
li
'\-ri.
{
/,
I
.ll.,
r'..r.
\rrrrirrrl
a
s.
lllltali{r tnrdintlul
.ntull)ntu
filtLt'
..1, noiar
car.rl _. .
O
rrtlriltrrrr:
calc
rlu esti, finiti
se rlull.-ite
?ilfirrlri
I)il
ariornele
lri l,r.ano
rezrrlti ra
N
esre
jnfirriii
i2l,
(lap.
i.
2.61).
l)El1\t1rIt
Olltrrllrlir-1
s|
iluJn('lit nuriritubtlu
dar.ecxjsti;:l\
..1lrrjectir.i
\,'orr._l.rrr,'r: rri
o rrrrLqinrL,rrirrrriir':rlrila
art
cartlinairrl
Nx
(;rlel
;cro)
O
rrrtLlrirr<r
care ejle
sail
liritir
-rau
lurrrirairilil
se ta rrrrrLi
Lti ttLtil ntt:ttrtnthtlti
PR{)r.)Zr.i.\
:l
I l|
.{
t,;yl,ntltrtrtt
ttji.';t i
u lut
N.
,ll,rrrl
,.tt:tti
o
Lt.j,r:iit
,p
rN
-
-1
tltt(1.
ittstilaott.
I)drorsLr,rfic
(12i.
('ar,.
l.
\S,21)
f
sr: va
dclili irrlrrrrrv
lrrin
t{0)
-
rnil_,r.
ti1)
rrrirri,i
ir(il)l),
.;(rr
i
l)-
nrilr(.1-
{pi{tj,
..
,p(,r)}).
i;.rrstrr a
lLri
.:,
islr'lsjqrtr';r1a
dc,.\is1.nta
{lnltj
Iel
ltjiii
rrrit
elenrelit
iti
oricc
sublrrLri{irrrr.
trr:t.tri
j
rlirr
N.
n
lrL colr:
ee urlr.ilzii.
snl)r
ltl{inrilr infinitl
ale
lLli Nl s vor
rel)r, r. r,l
1 r
tL llrrigriil
eir:
aIiir:;li,r.i .ol)stniit,i'
atri erior.
rlrrr:i
.1
1i'
,1,.
.. 1.,,....
].rrrrle
1..:.kt<....
<
1,,.<...
lrrtol,()zi
f
t,\ l\
'2
I)ut,i
rlrld
;
l\
t].
',,.
,.-
',-.,,.
iar
drn irrotez;r.
rle
-.Luit
r
1ir
il
irrl
p
jiilrI)
riir
liecarr:
subnrLilllrrc
t
r({9}).
r/
(.
.1
i:r(cirsla
(rrrrstrtiint
o Lijeclit
cle la
,1 lii o
'
,\
ttnlLtltlu.
,\
t.lr t,.
rt,tll
utttttirah d.
j
r-..
jr
l,j
l',
,:.r:,,-::
I
tl.
Vy c
,1.
'\lc ,:rrr
alilrl
i .rir rl
clclncni
(<lr:
cxcntplrr
cel
lr;ri
irrir el:rncnt)
;i
plin
parir'
;r
1ui
N E
t;
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 18/218
TooREMA
3.3.
Iie
(,4")"sq
o
fami.Iie
d.e
mulJimi numdrabile.
Alunci
A
= l)
nA*
esfe
numd.rabild.
in
particular,
o
reuniune
finitd
de
nullimi
nur4drabile
esle
nrmd,rabtld,.
Demonstratrie.
Pentru
orice n
€Nexistd.obijeclie
p":
Fd
+
ln,
V,,(k)=
om,
,t
)
0.
Regula
din
figura
urmitoare
permite
construirea
unei
surjeclii p
,
tnl
-
a.
at6--->aa
aa-ra[-.'
',,
,,
'/
ah dn
dt
oD_'
l.r,/
an
,,4
ttt
at
"'
oP
a
a'2 ots...
t
o
func{ie
/
16
Dacri
(n
+
ft)
ecte
par,
indicele
lui
^
(n
-
h\(n
-
k
'
It
oka
va
n
- -,-'
*t
-
l. iar
dacd.
(n+t)
este
impar,
indicelelui
ap
^
frr
l/c){n+}+ll
."
uon
.__,:___,_,:
_n+L
l
ConoleR
3.3.1. V
esle
numdrabild.
Demonstra\ie.
I
=NiU{-6-
1
|
&€N}.
I
Conorln
3.3.2.
Q
esie nuntdrabild.
Dcmorlstratie.
a=
U
{ lrez}.
-
4€N'
'
DEFTNITTE.
Fie
X
o mullirne.
Se
numeqte gir
de elemente
din
X
definitd, pe
o
parte
infinit5.
1fr
C
I\,
cu valori
in
X.
Elementele
qirului
vor
fi
notate
r.
= f
(n),
n
€
Nr
iar
sirul
se va
nota
(,r),"er,,
uneori
{r,},.r,
sau
simplu
(t")",
{r"}".
OBSERVATTE.
Compunind
cu aplica{ia
g
din
propozilia
3-1
qirurile
pot
fi
consi_
derate
de forma
(r,)..r,
dar apar
frecvent qiruri
cu
mullimea
indlcilor
diferiti
de N.
DEFiiirTrE.
Fie
/
: i.-
-
X
un
qii,
ir'r
C
N.
Se numeqie
su69ir
resiric{ia
iiii
/
la
o submul{ime
infini',i
4
6l/1.
Nor^TlE.
Fie
(.r")na",
un
qir.
ln conlormital,e
cu
Propozilia
3.1,
vom
nota
un
sublrr
prin
(rr-,)o,
unde
io
( lr (
...
<
kn
<
...
$4.
CORPUL NUMORELO
in acest
paragraf
vor
fi
rizeazS, numerele
reale
qi
v<
supunem curroscute
axiomele
ta.tiv,
corp comutativ
qi
de a
a
submullimilor
N,
Z
9i Q.
Construclii
riguroase
al
[22],
[30].
DEFINITIE.
Se numeqte
ordine
,,
..{
"
cu
proprietilile
01)r(y<+r-pzgy
02)dacir)0qi
y)0
DEFINITTE.
Se numeqte
urmS,toa,re:
(I)
R esie
corp comuta
(II)
Existi
o relalie
de
o
(adici
(R, ()
esie c
Definim
interyalele
din
I
(a,b)={o€Rjo<c<
[o,0]
={c€Rlc(a(
la,b)=$€Rlo{r<
(o,b|={x€Rlo<ag
.
Pentru
intervalele
I
de
lungimea
lui f.
ContiluS,m cu
enuniare
(III)
AxroMA
LUr ARr
ordonate
care au
aceast
prr
(IV)
AxtoMA
DE
coMp
de intervale
inchise
din
R
cu
Existi
firodalitl[i
diferi
streazi (de
cxemplu
p,
Cap.
reale
sint
izomorfe.
in
contin
Observim
in
primul
rint
in
R.
O
alti
conseciali,
a
prc
PRopozrTrA
4.\.
Fie t
nr(y<(n+1)a.
Demonslragie.
Existd p
superior
de
1)
gi
existd
q
e
T
Dinq<g<prezultrici{r
cirui
cap?t
sting va
fi
nuni5"r
t,
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 19/218
rr
r.
a
()riii
I
:.i
'
ii,t.i,;r;
i,;..\:;
.:ti-lt
iliiji
\l
ril:...iil
llL-\i
i,
;,
,ir'r:i
,;r'., r;tr
r,j
i rir
LiiL,
s,ll.i
rr'.
t'lr,liri,llt
.,r,.
..1trl
r,'i,r:ii
jiit:it: j,l
i.tiLi
.tj
.,
1i i,,llt.r r.,r,,.tri
i,r..,itr,rtt
iili
[ri.ii)rii
ir:.,
'lll)iiii,
lr allrlrrsilil('j;L1.Lirr)r
,.i,.]| ltrr'
,1,
.i
r,
t
,jr.l'
rr,,,r.t;rLrllt,r :lci
,r,|tLt
li ]]\.('t):|]i:1rll:L]1i1]]i;,1.).l.llll..Lll
i,
sirj,jrnrilrJ) ;i(
r \
j
rr
4
I
ottslr'Lr".ri
|rluir::,sr ;ri,
l|Lliitij,j,
itLrJ|(
i.i.,,r
r I I
l)()t
ji
gailt,,
rj
r;1.
i 11
;1..
2:2
isit'
Itt
rr1111;
:li rrt,j,Lit,
rr,rtt,i, |n,,1
lir
,,,-i,
i,l\
I
]lrZf ,j
l.iii
,..1
0
r(,Lirrt1
,11,
or,lir,i
:
.u
l,r'( l)iLt
trli
r
r,r',riri:
.r
;i
11
riil
ir
1.ilt
'
a,rr
r-.:r
il
.\i
ti
::
ir
;rl
r,1
i
i
r-
.l
llt r
r):il.
t-
:ri.
rrll|,.ir,
',,,t /
it,
,
,:,;, ,)
.: ,::;,
,.
tr,irliirrtr
,e
r,t
I
;
I. L
r r
,
r
,
r
.
;
; I
;
:,
ill
1.1
r'-1,'
r,.i;, ,
irir iri;1
:
r
.'"
i
;r
i
rll
1li)
l'.rr--r,'rr'lriitrir.,,r,l
|,-.::
,1,,r,1;i;r,ri.i;,sll',.1
r|iri
rll
.
i,st..r)ft,
i,r..l,,jj.il
(irrl
rrr
ilil..:.Jesi'-
rlr ii
tlit:ll
()i(l,rir;rtl
i)Liirirr
r:1, r'ra,.J, ,lirr
.R
1)lti,:
irt.it' 1, =,{
,,
--.
i
':.
ll
rrrt,
rr,rl ,ils,lri.
crr
,r1rL,tr.
,r
a,
t,r
L
-
),,
i: ll
.
ri
-
r... li
li,.rirr
r
r
r
r
i
r
t
,: ,
;
t
,
.
r
i i
,
r
i
,
i;. /,,
tj.i)t
i.r
i.
lt
,r ::.
.r
: r'i
,r,ri',r,r
,i.i"
i,,.',1,.,,,r
,ir,:,irs
I,L
or.r,rrlll:
:r.l,l
1.)
(i
'r':.r:
lr':
itl,t';il ,jf.,,rlrr::,i.;:,,ir,,..
;rri,t-
lr,,1r.. I,r1l
i,,,;,rr.r
,;,t,.',.:i
,
I .t
t,
lrllri
r,r.,,
I
,r
,,
i,r
i,,
,r
l,_.,,r
r,,.,i:r
r,r
,,
.
1,
lLLi.qlrrrra
l,:
.l
(
.,rljjj
t.)jrt
..t
(,rti:,)lirir
r
I,jL,i).I'iaL.IL
r
,i"lr
trt
,iti
ri,,
lrtl
R
(Iili
'.rlr.r \ i.t,t
,:1Rlti\iutJjt
\
jrir
rt(
rir;rrrrLjritl sr
l tsr {ri
lri
li
(i,ll.litltr
I'rr]41:ttr..:rtL
irLl
rt,-i,,\ii,
i,rrrl,rir,l
,t-,
:r iti;i,it.:a
,:i ,11,i ,
tt,:
ii\') ,\\lorl
\ tri_ t
(r-\Ii)l.L1ijiljItL,
\..
(rit
:),:)l rLt, )
l)i]trt
r
,rrr\,
tlr \;
,
,i in irr,l'
r, .,',
lr, r.:
,
Lr
r'.
a
,r
,ir
rii
,
i-l
i.
7.
i;)
i.lis'r.ir
rrrrrriiriirari
riiiirr'rie
ile
a
( ir,-rr
r
a(,jir
rl
iririir,'rai0r
rcJic. liirI
s{.
(l
ir,)rl
fltiir:'l
iri.,.rr,rltitlri li.
(ll1;
. fi
ffr,
i
;,tj
i.
f,ij
l
r;r
l;li,
iti)ij,i L.
i,.,,.,
.1.
, ,,
.,,
r.tlf,jini
izr)rJir)r{.
irr
|olijrrit;,ri
1.'(jr
tj
,lr(lrr;,,,.,_,|:j(..j,ri,.,ri,
l,ri)iri.r:,1lit,.i
trt
lt'
i)i,sr'rr:,,rr
t:l
[)r]tJ'ir.riill
i;1
,lill
fiiirr,,t.
i:
r,l 1i., r,frr.ri:-lr. ., iil
lt
ti rii:.i,.r
rrr
R
O
rritl
ors.,
irllii ir')ror)r',,1:11
ili l r,.t.
r
r,
t):,7.:i;r,
rirjiiirr)i|..
l'liOl'cllf
l
\
1i it'.:i
t
tl
.,r
r tr
.r1_,/,i
t )t 11;tit:
jt
i
L
0,ili.i
ItLti
rr,r::.{<{n*l).r.
j,),trrl:-'trlil..
i,-r: rlt
,r,
i .r r:s,ttl
rrtr I
:.r.
>
,: t)
,.:tt
.ll
.l'
ll tl
l)r
/
,
i .
..
..
.,
r
.tir'irfl|l
(]ir[)il1.
-a]l]l t
va
i lilllr,tr
l
illiJ.cA
aii:tlii1
g:j
,:.Irrr'.ri
t/
:.r
tt
ril:rrr']l
l:
l
-"
li ,,,:,,,,,,,,i:.
i,,r,.,.: ., l
i,i.q
I
lr.-
i;,
l./,j
il
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 20/218
Conolea
4.1-7- Pentru
orice
g
€R'
eri,std
un
uni'c
n
€Z
astfel inctt
n
{y
<
n+l
DcFl\iTiE.
Se
numeEle
piir'ft
intr?aad a lui
g
C
P-
numdrul
intrcg
n
r'rr
proirri
ctatea n
<
y
<
n
*
l. Partea
intreag[
a
lui
g
se noteazS.
[g].
CoRoLAR
4-I.2.
Yr
>
0, Vg
>
0 ln
€
N*
astfcl incit
I
<
r.
CoRoi,aR
4.1.3.
Vy
>
0,
ini
{t
r
e
N-}
=
0.
(n
J
CoeolAR
4.f
.4.
Yy
>
0,
Va
€
R
n
(0.#l
=o
n
l,-
a,o)
=a,
)
h'o+lot'
a.
16l\' n€ N'
ne\"
TEoREMA
4.2.
(densitatea
lui
Q
in lR)
Oricare
ar
fi
a, b
€
IR, o
I
b,
are loc
(o,a)0Q10.
Demonstatie.
Fie
h
-
b-a
>
0-
Din
Corolarul
4.i.2,3n
€
i'r-* a.stiei
incit
l
an.
Uto
Corolarul
4.1.1
1m
eV'
astfelincit
m
(
na<m+1.
Atunci
n
rn m+7
m
1 m
';
<"
<;
-;*;.
-j+ h(c *h=a
t
b-n=b
-rl
6pg;
1l-'
e
(a,b)
ne.
I
Pe?aza
axiomei
Cantor-Dedekind
vom demonstra
acum
c5,
mullimea
numerelor
reale
este
ma,i
bogati
decit
cea a
numerelor
raliona,le.
TEoRDMA
4.3.
(Cantor, 1874)
R nz
este nurndrabild.
Demonstratie.
Demonstrim
cii.
l0,tl
nu
este numd,rabiiS
Presupunem
cX a.r
fi,
deci
[0,1]
=
{r^lrz
)
1}. imp5.rlim
10,1]
ln
trei subiltervale
de
lungimi
ega[e.
Fie
1r un
hterval
care
nuJ
conlir:e
pe
rri deci
11
d
1r
'
impdrlim
4
in trei
intervale
de
lungimi
egale.
Fie
1r
C
Ir
un subhterva,l
care nu-l
contine
pe
22,
12
(
12. impd.r{im
12
in trei
subinterrale
de
lungimi egale.
Fie
I:
C
I:
un subinterval
care
nu-1
conline
pe
ca,
,03
f
13.
Continuind,
se
obline
qirul
descendent
(1.).21
de
interva,le inchise cu
u
4
I^Yn
)
1. Axiorra
Crmtor-Dedekrnd
lmplicS existenla
unui
€
€
n
1"
f
A.
Deoarece6
f.
I*Yn
>
1qi
€
€
I"Yn)
7
+
tl
"^
Vn
)
1qi
n>L
i
€
i0,
1], in con'r,radiciie
cu
ipcicza
ficiriS.
Pdn
urmare
[0,1],
deci
9i
P5 mr este o
mullime
numdrabilS.
I
CoRoLAR4.3.1.
R-Q
nu
este
nurndrabild,-
DEFINITIE.
Se
numeqte
modul
tunc\ia
|
'
|
:1R +
10,
oo) definitd
prin
PRoPozITIA
4
4'
Fl,
(4.1)
lr
+
Yl
(
lrl
+
lt
(+
z)
llrl
-
lsll
(
lr
-
(a.3)
lr
Yl
= lrl
lsl
(a.a)
|
-
ri
=lrl;
(4.5)
lr-sl
<e<+z
Denronstra{ie.
(4
1),
rty,x+Aqie-9,iar(4
lrl
=
lr+s-sl(lr
Doi.iNiltr.
I'ie
r,g
DEI.INrltE.
\{ultim{
(r-e,r+e)cG
ExE\'tPLLJ
Intenal(
DEFINITIE.
Se
nutr
propriet
atea
3G
c
JR,
G
NoTATIE.
I\4ultimer
PRoPozITIA
4.5.
Demonstratie.
,,+'
lle
G
mul\ln
€,ro+€)cGqiProPoz
,,s"@={r€R
roeGcV.
-
DEFIT.'ITIE
Eirul
dr
lirrrita
a)
Ve
>
0,
I n. €
NoTATIE.
f -
0n
Observiim
cd
un
qir
in cele
ce
urmeazd,,
q
seqiincazul
n
gNr
cI
PR.oPozlTIA
4.6.
r,L€V.
Demonstl"t,ie.
,.+
re
l'
e
/(oi
definilia
limitei.
Atrrnci
e" Fie V
=
(a-
limitei.
I
Jinird
cort
de
defi
I )l: l]iT(at
at;
.t
v
Irl
=1
18
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 21/218
r
--
ri;r
i
ri
jr
E}
:t
I
e'
i,:i
ti
i)1i|t|)tt,jait
1)tt)lt
tt itli.
,
1.
ll
i1..-,
.,
:.
t.
:)
,:1
,
/-1,.;,,
.ii:rr.
i.l
ri;
r
ll,
.
l:',i1,
il-r,i
rrli.
i.'rr,,1.,'
rr,,
r ,rr
l'
.t.:l .t |
:rr
i
i
n'lf
i.rt,l lL
1.,l
.r
- ,
't
,t
,
tl
j)
:...i rillr:i. ir
':.
.r ir
.i
F
li
.: , ii .,.r,
-r
:,,
iiiili.:::.
tl:r
t:ttit:'t)i) .r';i
l,'r'llrl-
"rl
.
li
r"
t
\ ,
i.
'lr:llirrr,';,
r',
J
:r r:lirli'ir
irlri11,t,,
:,:
t,.r
=C
l'
'
::''riil
i'
'r
'|,
l-..:
'.,i
I iir
.
:r
,
r,
r
.'
:irrr
r, iririllll
rl,-r
l,i*
l) l'.r:
:.',
rli,:i,
t't
ttt,ti
ii i 1 I 1 i
i
I I
i
j
i 1 1
i
j
:
i l(
i-
_-
Lj lli.'
,'i,,i)r'
'i
rrr
i
r
-,
lrl:lLtil::;'ll,:r
li'rl.
"'lil
lrriji.r.'
'.:1.'a
l_
\,,
\
I
-,,tLtlt
t,,r,|
,,el
i, ri;t\jl,|
,Lt
.r
.r
.,,r
il(jlti
t)ti
I
r
r'
I
I
i,'i
t,r,,
ii.,,
r, ,1
L
lr',q i,, til
:
r'. -'r.
i
;jr
jrlrj
.,
l:i:'r
..
ii
i,'ii,ir
.,rL
l,':rlllin .i1
:;
i,'(
l_.
.iilllrii r''_'il
.1:lr'.i
'ii(li
ili
..r'
,I
:-,
.j
i,r.'t,
,.'tit: r,
''tiill
1l
l.ri:Lri
l.ll.
t,
'.
.r':i.,
I.
G
i) :]..).j].,]..'.',l....'.'l...lli..].,,,,':.'i\/'l)L]]]i']ll,.,l]],.']i.
iii,
i
,r
i.
-
i: ir
,.
l.
... l,l r:
t
ir,,'
I' rr
i \
;'
t.,
,
:t-).i -rti:
).i.
i;1,s,'llllir. iil;ill::il
.r'..),r
ill r', , ,r'' i
/r
r l
ii(,' ijiliirirr':lli
Ll,
rir
,
r,,;irrLi'riza. r,i,rrriI, Irr: il i',llsi,i,,
,ia, ii,r
,-i .
iii:r:".'irl..'
rr.
i,l:r
,
ij:1 |
j.ii
i,,
i
lil,
;,,
,.
ir
j=
i.
I
. i.t,,j
r,t
r.
:r.1i,'i
rri(
rl
,ai
i:.rl
l-jr,.r I il
rir
r;
i:r
i:',
._. i.i.
I ir
i..i,r
.il
.i'
ll,l:ir, llrrj.r'1.
rlrl:ri:
r-:r
'-
',
...=, Frri=,t,i :r
l:i.
;,,.:t-, ri,,tr
li:
:.it+:ii
i-
iia'rr
:
.i:l:
ri{
r', /r
.:
:.
,icri.r',.
i
iri
,.,
+:r
a
i
Per,lr'r
r;
j
rii
.'tii'
\_erilli
:L;ii ritrrl;ir:i,hr,ii'iLrri rir
:
i,t,Lr,ii
r,
lr
r.r'rlr
i:rLrl.ia
- ,r'ti,r:i
rrrit':: ,' 11.,1:rr
{'lr'' l:,lrrl i I I
lr'1:rlii:r
l:l-i'
l
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 22/218
[.Irmitoiuelc
proprietS i
se deduc
aplicind direct
dcfini1ia.
Derrronstralia
lor se
giseqte
in
nranualul
dc
-r\nalizi
matematici,
clasa
a XI a
[13].
l-Rorozt
lrA
4.;.
1) Dut:d
lr"
-
ol
<
6,, Yrt
)-
n6
9i
lin b^
=
0
al.uncz
jg
r",
=
o-
'))
Dacd.
iun
x"
=
x
aiunci
jg1
i.r"i
=
irl.
'3)
Duci.t"
{
y",
Vt
}ns
4i
\rn
z,
=
d,
iim
An-b
aiuntie<h.
llrnrltorul
rezultat
este u
qi
Cantor-Dedekind.
TEoRDMA
4.9.
(Propriett
hti R
are
margine saperioard.
Demonstralie.
Fie ,4
C
R
natural
al
lui
,4
(acesla
exist
submullime
nevld6
din
N
are
este
denonstratS.
Presupunem ci,
N
nu
estr
existi
rr
€
[N
-
1, Ai]nA. C
1-
Daci
lN :,
N
I n,t
+
1,
=
tN
l.N-
l
')'
Renc,tim
11
- [c1,11].
I
demonstratS,.
in
caz contrar,
--
or*6r
^
-
Ie
ct
=
---.
ljaca
fie 12
=
la1,c1l.
Renotdm
12
,
In
caz
contrat,
a2
nu
este
mi
intervalele 1,,
--
la",b"]
C
h-
Daci,
pentru
orice
n
)
l,
inchise
qi,
din axioma Canior.
rie
{{}
=
fl
1". Ardtin
n>r
Deoarece
[a",
6"]
fl,4
I
'
2n-
|
Deoarece Vn
)
l,
b"
)
r:
este majorant
al
lui
,4
qi
deoar
COROLAR
4.9.1.
Orice s
Demonstraiie.FieBcf
maiorat5.
gi
sup,4
=
inf B.
O
prinri
aplcatic
a
Tcore
Rep
re z enlarea nurnerelo
r
real
Este
clar
ci
este suficier
c
E
R,
r
> 0.
Presupunem
cr
Fie
nq
=
la].
Dac[
no,r
naturai
astlel
incit
nr
no*m*
(agadar
n; =
[10rc
-
10]n6
-
4) Docd
li"ll
x,
=
a,
lirn
yn
=
b
olunu lirn(r^
-f y")=
a+b
pi
lim ;r,g,
=
o6,
,i',.
(l
5)
Dn.ri
,llm
r" -
n
rr
nlim
^
=
b.
b
/
U.
otunLt
-hn
I
;
_6 g4
o
in
urrnitoarea
propozilie
reformulirm
proprietatea
de
rlensitai,e a
lui
Q
in
R
(Propozi ia
4.2) in
limbalul
qirurilor
qi
demonstrim
de asemenea densitatea
lui R
-
Q
in
R.
PRopozrTr^
4.8.
Penlru
.r:
€
R e"islri (*',),,
Eir
din
Q
aslfel
incit
li'r xt.
=
r
9t
eristd
(.x )^
;ir
din
R
-
Q
ast.fel
inctl
_ 1
rl
=
x.
$irurile:rt";i
r "
scpot
alege
m
o
nolon
cre
s c
d,7 o
arc s a7t m o n ol,o
tt d, e
s cre s c dloare.
Demonslralie.
Alegem
11
t'^e(t-;
'
,+r)nS
,;r
r.r'-,
'--1
.ttlrilt
e;
n n+t
Dxistenta
lrri
,r,f,
este
demonstratd
irr
Propozilia 4.2, iar existen{a
lui
rl
rezulti
din
'I'eorema.4.3
qi
din
faptul
ci
mullimea
Q
este nrrmirabili
(Corolarul
3.3.2
).
Dt
oarect
1t
,r--<.rl<.r
n
,,
rrrl
tt
"
nr I
tim
x',
=
lim
rf
=
g
rl
x',
1x-
.,1x'n+,.,"1
(J"-
,<.r;+r.Vnll.
n+ |
n
I
I
Simiiar,
considcrinci
x;€(-rr
l''
')nq
i
L
n
qi
""'j
e
1',.
+
_
''
'
fl
nt* -
e'
fr+
I
n
se
oblirr
qirLrri
morioton
descrescitoare cu
limita
r. I
Ql
rezultX
iii
20
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 23/218
se
UrmS,torul
rezultat
este
uneori considerat
axiomS, inlocuind
axiomele
Arhimede
qi
Cantor-Dedekind.
TEoREMA 4.9.
(Proprietatea
marginii
superioare\
Orice submullime
majotatd
a
h,i R are margrne
superioard.
Demonstra\ie.
Fie,4
C
R o submullime
majoratd,
qi
fie
1f
cel
mai
mic rnajorant
natural
al Iui
.4
(acesLa
existi conforur
axiomei
lui Arhimede qi
faplului
cE.
orice
submultime nevidS.
din
N are
un
cel
mai
mic element).
DacE
N
=
sup,4,
teorema
este demonstra[5.
Presupunem
ci
-ly'
nu
esie
supA.
Deoarece
(N
*
1)
nu
este
majorant pentru,4,
existd.
rr
e[//
- 1.,ryi
n,4.
Considerim
intervale].
[N
-
t,ff
-11
u,
It
Llvt
. r
2'-
|
Daci
fr'r
i:r]
n"
*
0,fie
h
=
tr -
],rl
Dacn
[N
-
],ll
1e
=
o,
n"
_l
L=lN r M-l
F,erotErn
11
=
[.-r1,6y].
l)ac o1
=
sup:{
(gi
aturci
a1
-
l{
-
1)
i"o."mu
".i"
'
"--'-'--"
"-"
demoastratS.
in
caz contrar,
dt nu
este
majorant
al
lui,4.
a.*h,
Fie c1
=
:--:---:
Dacn
[c1,b1]flu{
10,fre
12
=
[cr,Dr].
Dacd
[c1,61]
[l,4
=
0,
fie 12
=
[41,c1].
RenotS,m
12
=
la2,b2j.
Dac6,
a2
=
sup,4,
teorema este
demonstratX.
In
caz
contrar,
02
nu
este
ma,jorant
qi
procedSm ca
mai
inainte.
Se
oblin
recurent
interyalele
I"
=
la",b"]
C
l^-r
=
[o"-r,6,,_rl.
Dacd,
pentru
otice
n
)
1,
o*
nu
este sup
,4,
rezultd,
un
qir
descendent
de intervale
inchise
qi,
din
axioma
Cantor-Dedekind,
rezulti
fl
I"
I
fl.
Fie
{{}
=
(-l
1,.
Ariid.m
ci
{
=
sup,4.
tl>r
n>r
,
Deoarece
la",b"lltA I
AVn
21,
I an
€
Anb",b"l
Vn
)
l,
deci
lr"
-
tl
<
a
2*f-
Vn
>
L
rezult
rnd
"lTJ
"'
-
e
.
Deoarece
Vrr
>
I, b">
xYr
€
A
iariirn
i.
=(,
rezuit,5. c6
{
}-
rVa€ A,deciI
este majorant
al
lui
,4
qi
deoarece
(
-
,$
r", rn€AYn
)
l,rezult5{=supr4.
t
Conolln
4.9.I.
Orice submutlime
d,in R rninoratd
are margine
inferioard.
Demonstrafie.
Fie
B
C
R, B
minoratS,
Si
fie
/
-
{-c I
a
e
_tsi.
Atunci A
este
majorati
qi
-sup
A
=
inf
8. I
O
prinid.
aplcalic
:r
Tcoremei
4.9
este
Eeprezenlarea
numerelor
reale
ca
Jrac ,ii
zecimale
Este
clar
cd
este
suficient
s[
gisirn
reprezentarea
numerelor
pozitive,
deci
fie
r
€
R, c
>
0.
Presupunem
cunoscuti
scrierea numerelor
intregi
in
baza 10.
Fie
n6
=
[c].
DacA
n0,n1,...
,n]-t
sint
construi{i,
fien4
cel
mai
mare
numir
naturai
astfei
incit
Ilt
nk
n1
nr+l
no+r0
1 +l*(r(nor
t0
I +ti
(aqadar
n;
=
110ir
-
10rns
-
10*-In1
-
...
-
1Ons_1]).
21
(4.6)
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 24/218
Atnnci nl este
unic
qi
lLk
€
{0,1,...,9}.
Coniinuind
recurent,
se
oblinc
repre-
zerrl,area
lui r sub forma
n0) nt
j
71
2,
...
n:umit6,
fraclte
zccimald,,
n6, n1,
n2, .
_.
fiind
unic
deterrnirrali
("r
e
{0,
f,...
,9}
Vl
)
1),
S5,
observirn
c;
nu
este
posrbil
ca
n;
=
I Vf
2
ko
>-
l.
iutr-adcv{r,
in
caz
co4tlar
ar
rezulta
^r
i
I r r
.r{ fi l,r-_
_
^_r
I
ti
-
,lr'n
l
-
t0r"-
t
10"
r"
-
t0r,
.
/
",rnfor-
Cn"olarulrri 4.
i.4,
liac{rrle n6
+
}
+...
+
*
ain
(4.6)
se
numesc
aproximd.ri
zeumate
prin
lipsd
I0
10r
al. nunttirulut
rra/r.
Se ararb
usor ca
""-sup{no,
xi
-
f
fttl
u
O}
Reciproc,
fie
fraclia
zecimaid
nO)nLn2...
(4
7)
unde
(n;)0,
este
un
qir
din
{0,
1,...,9}astfelincitnuexistS.}o€N'cunk=gvk>k0.
Vom
ard,ta
ca existi
r
€
R a
cirui
reprezentare
ca
fraclie
zecimalE
descrisi, anterior
conduce
la
(4.7).
l-iedeci
n0,ar.n?...da(i
de(4.i.1
;i
,l
-{no1i]
r
- -ij.
f
f
)
ca ,4
esLc
maj.rata dcoa"ece
l"'
'
tn
'
IOi
r"
)
0)
observzim
n1
nr 9
/ I
i I I
r'0
+
t0
+..
+
d
.
no
+
r-
(
t
*
t0*
*
+
10;J
-
"o
+
1
-
T*
<
no
*
I Vl
)
1.
Atunci
existi c
=
sup,4
€
R
qi
aretl,rn c5.
c are
reprezentarea (4.7)
ca
fraclie
zecimali.
P6e61s66
1,^ -F
l-L
r r
l
I
-
iij
10"
(
r
V,l
2
l
qi
deoar"""
"o
I
l-;
esrp
maiorant
al
lur,4
iar e
=
sup,4,
rezultl
c
(
no*1,
deci
[*]
=
no. Apoi,
deo-*"
ro+
fr
+
]- $
este
majorant
al
lui
,4,
10ns
+
nl
\<
l0r
<
I
0n6,
|
zr
*
1,
deci
",
=
110"
-'tOz,i1
in
g.n.ral.
observlm
ca
no
|
+...
+
,*
+;1,
,^l=
"","
malorant
al lui
,4
"
-
10 l0r tol l0r
r
4
""-'
pcntru
oricc,t
)
0
qr
oric"
m
)
l
qi
razulri-
n;
=
[10]r
-
10]no
-...
-l0n1_1].
DDTrNITTE.
Fie
(2"),.*
un
qir
de
numere reale.
(r,),
se numeqte
rnonolon
trestilor
daci
r,,
)
r^
Vn
):
nt. (a").
se n.rmeqte
monatan
destrescd,lar
dac1,
x"
{^r^
Yn
}
rn.
In cazrrl
in care
inegalit;,iile
precedente
sint
stricte
se vorbeqte
de
monolonie
sl.rield.
rnullimea
terrnenilor
qirului
girul
g"
=
asinf
nu
estc
TEORDMA
4.10.
Un
6i
genl.
Dacd.
girul
(x,), esle
iar d,acd
(x")^
esle
monolo
Demonstra{ie.
Fie
(r''
Deoarece
(c,),
este mirgin
Deoarece
{
-
e nu
este maj<
$irul
(2")" fiind oescS,ior,
lr"
-
{l
<
eYn)
n,.
Cum
Cazrrl
(c"
)"
descrescitr
care
esie
cresciior.
i
O
apJica{ie importantd
PRoPozrrrA 4.11.
lr'
a)
g'irul
o"
-
(l
+
;J
1
b)
$rrzl
6"=1+
it
+
6i
mdrgintl.
..-dr
.) Irm a-
=
llm b-
=
d)eqR-Q.
e)
Vr
>
0,
giruriie
rn
rnd,r_oinite
gi
au
aceeaqi
lim
Demonstralie.
a),
b).
Observim
cd,
O"=DC
l=0
pentrun>2.Atunci
a"+r
=
2l
DEr.rNrTro.
$irul
(r")"
sc
numeqte
mdrginit
daci.
este
rnirginiti.
IlxEMpLE.
girul
(r,,)
=
(-l)'
esre mirginir,
dar
mirginit.
22
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 25/218
i
l
] |,i
\
.. r,,.,.,,
j:j;t
t
t)ti..,1,
r/i,:r,,
.i,
lr,
l
llr
.,.i\.,ir,
/
l
rl l
i
liiltrt
,r
..1
r:ttr:t
i
't,i
t.
t,
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 26/218
obseryind.
c6
1-
1<
t-
1",1
<
j
<
r-
r,vk
>
2. Din
(4.7)
rezulti
n
n+ |
fll
2(c"('t+ U.=bivn>I
Observi,m
c5.
pentru
k>2,k\=2'3"'k>
2i-1,
deci
t r-t: I
-
\- t .. \-
l-tt-
Z-,E-L-
2
I
2"-r
--'
k-2.- k-2
r-
t
rezultind
2
{
o'
(
6"
<
3
Vn
)
I
gi
am
demoostrat ci
(on),,
-este
monoion
crescStor
1
qi
mS.rginit;
(6")"
este
m5.rginit
qi,
deoarece
D'11
-
,"
=
t"
+
II
> 0,
rezulti.
(b")'
monoton
cresci,tor.
Prin urma.re,
existd
limitele
a--
lim
an
( D
=
Iim
b".
c)
Fiep
€
N,
p)
2,pfixat
qi
fie
n
)
p
Atunci
a--z+irr-ir
rr-l-- rl>z+irr-lr,,-*'rl
,zr\.
n,
,_
n
,kl--,H,.
,r.,...,-
n
,kl.
k=2
Pentru
n
+
oo oblinem
",
i+ =
6p Deoarece
p
a fost
ales
arbitrar,
'
ilz
hl
rezulti6
(
aqi rnfinal
a=b=e-
d) Observim
Ia incePut
ci
SlIrrrl lr
L.
L
-
\-
j:.-
---]:rl
-
---1
- ...r-'-
on-p
-
un:
Z-
11
-
(,
+
l)t
t'-
"+2-
'
{n
+
z1o-'1
-
ii=t1+1
t 1
\p
1l1l
1
'-\nl-2i
<t
ni2.Iyr;1.
(n*l)l
,
I
-n (nll)
n'nl
"
n+z
Pentru
p
-
oo rezulti e
-
6''
fr
v"
)
i' estimare
utili
qi
pentru
calcularea
aproximativi
a
lui
e cu o
precizie
datr'
.0^
Prin
urrnare,
e
=
D"
*
;h,
u"
€
(0,
1).
Presupunem
c5'
e
=
c.m.m.d.c.
(P, q)
=
l
Atunci
9=5-l+
d",.d.€(0,r)
0 -kl n
nl
4,
p,q
e
N.,
c
deci,pentrun>q
p.n.1.2. (q-l)
si
rezult5. O-
e
Z
1-110,
r1
=
X
e) Analog cazului a
=
I
?n
=
1+a
qi
r'
<
r,'.1-1 rczultd, ca ma
Fie rn
=
[a].
Pentru
t
deci
pentru
n
>
rn,
tinind
t
n^km-r
\-._\."+
z--
kt
z-
h\
'
k=2 k=2
$.ur
,
(m
+
1)'
?-kl'
ml
0
Deci
(gr")"
rezulti
r
,l 1'"
=
"ljgr"
r
TEoREMA
4.12.
Fie
(
dac6.
pentru
ori,ce
(rp.)^,
Demonstra$ie,
,,+"Ye>0fn"eN
Yn
)
nt" cr
k^
)
n, Yn2 r,
qi
nemErginit de numere n:
,,€"
Presupunem cA
I
Vne
N I h-.),n
k^c
oblinem
un subqir (a;"),,.S
in urmitoarea teoremi
compacitatea submullimilo
TEoREMA 4.13.
(Lem
un svhqir conuergenl.
Demonstralie. Iie
(an
Daci
multimea
valorilor
qir
mul{ime
infinitd
de
indici
g
qi
teorema
este
demonstrat
Presupunem
mullimea
egale.
Fie
1t
un
subinter
24
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 27/218
'.
1,
',,,t,
:,;rrl:
rL
';r
I
l
:-:-
|
:'.'
irrr
l'
:
;
:
ltr,,
ir,t
iti
:i, , t
t,,t
t
l
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 28/218
accQtia rl,,,rii1,,...
,x:k ^,....
IrrrpS,rlim 11
in doui. subintervale
egalc.
l'ie
12 un
subinterval
al
lui
1r
care
conline
o infinita.te
de termeni
din (r1,.),.
l"ie
accqtia
tkt,,tkzz,...
,rk.,^,... ,
unde t22
)
kri.
Continuind,
rezulti urt
qir
descendent
de
intervirlc
inchise It'- Iz)...
l1-->1-1r)
.,
cu
l1-l
=f
t0.
Axiontt
Canior-Deciekind
impiiti
existenla unui
(unic)
€
€
n
l-.
h>1
Fie subEirul
(r1""), extrix
din
(r"),".
Rezultizs^.
€
I^Vn>- 1, deci
1r1."-{l
-<
1 :'
yn)
1
Rczultir
lim
r1""
={qiteoremaeste
demonstrate.
I
'2
DEFINITIE.
$irul
(r"),
din
R
se
numeqte
gir
Cauchy
(sat
6ir fundamenlal)
8
V"
>
0
ln.
e
N astfel
incit Vn,rn) n,,
lr.
r*l
<
€
sau,
intr o formulare
echivalentd,, Ve
> 0
ln"
€
N
astlel
incit,
Vn
)
n,,Yp). 1,
lr"+r-
rnl
< e
(dac5,2,,
este
definit
pentru
n
€
Nr
se impune
Si
n
*
p
€
Nr
).
Dxelrpr-o.
a coslft.})
It r,
-
| #.
n
)
0. erl,e
Eir
Cauchy.
-n
intr-adev[r,
n+p
1
1.,+p-'"1.
t,*-,f,,-
r ,t,
j,,
h=^+1
vn)n,-
1rog,f]
+r.
Vp)
r
2)
girul
5,
=
i
]
r"
"r,"
5i.
Cuu"nyj
ilt
f,
Aritim
ci
ls
>
0
astfel
incit
Vn
€
N lt",m"
)
n
astfel
incit,
15r"
-
S-)>- e.
Luam
ln
=
2n,
mn
=
n
qi
rezulti
sz,-s.-#-
**,
*=l=,v,>i
PRopozITlA
4.14.
Orice
sir
conuergenl
ile
numere reale
esle qir
Cauehq.
Demowtta\ie.
Fie limz"
=
e
qi
fie e
> 0.
Existi
"
=
"
(;)
asrfel
urcitr
6
,,
Yn.
>
n,,
jr"-*l
<
i.
L'entru
n,m> n.,
ir,,-
x*]
= lr"
r+r-t-i
S
lr.
-
rl+
lx",
-
x)
< e.
I
LtrMA
4.15.
Orice
Eir
Cuuchg
de
nume.re
reale
esle
mdrginil.
Demonstratie. Fie
(r")"
qir
Cauchy
qi
fie e
> 0.
Fiind
qir
Cauchy, exist5.
nE
€
N
asr
ioi
rncrt
Vn.;
'r..
Vp-> i
ir ri
ril< ..jrrt
r,
€
{".n.
...r,,,-a)
Vr
r>
r:.-
Luind
a
=
lrrin{ci,rz,...,r,.,r,.
-
e}
9i
6
=
max{c1,
22,
.
,.8^.,
s^.
+
€}
rezult5.
c,,
€
[a,b]
Vn. I
flna
dintre
consecintele
r
rema
urmS,toare,
in
care
dem
Tcontu-t
4.16.
(Criter
Cauchy
d,e
tuulrrcre
reale
esle
Demonstralie.
Fie
(c'),
acesta
este mbrgilit,
deci
are
(r1.),
qi
r
=
limci".
Aritbr
Fie
e
>
0.
Dxisti
n.
€
N
l
le
f,n
>
ne
cu
l.rtr
-
nemS.rginit
iai
limcs"
=
r).
Rezult[
ci Vn
].
n,,
I
,I*,.
=
'.
r
NorA
ItE
're o
€
R. Vo
(o,m)-iceRl
[o,oo)={ceRl
(-oo,
o)
= tf,
e
h
(-oo,
ol
-
{c
e
R
DEFINITII.
Se
numegtt
I
a
€
R asifel
incit
(4, oo)
C
Se numeEte
aecind.lale
r
astfel
incit
(-oo,
a)
c
V.
DEFINITIE.
$irul
de nu
astfel
incii
Vn
)
n74,
ro
)
.
$irul
de
numere
reale
(l
Yn
l
ny, tn1M.
NolATrE.
(r")"
are
lir
pentru
(-oo)
sint
similare.
Urmitoa,-ea
propozilie
t
PRoPozrTrA
4.1?.
a)
limr"
=
co
e
Vl'
N,
t"e Y
b)
hmo"
= -co
<+
\
ny,r}€N,
aa€Y.
Urmitorul
criteriu
qi
cc
la
cazuri
mai simple.
PRoPozrTrA
4.18.
(C
proprield.lrle:
l)
(b,),
estc
stricl
mot
26
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 29/218
Una
dintre
consecin{ele cele
mai importante ale Lemei Bolzano-Cesaro este teo-
rema urmi,toare,
in
care demonstri.m completitudinea
lui
R (vezi
Cap. II,
$1
).
TEoREMA
4.16.
(Criteriril
lui
Cauchy
pcrtru
qiruri
de
numere reale)
Orice
gir
Cauchy
d,e numere rcale este covltcr7enl.
Demonsfta\ie. Fie
(c").
un
qir
Cauchy
de nurnere
reale.
Conlorm
Lemei 4.15
acesta este
mErginit, deci are un subqir convergent
conform Teoremei 4.13.
Fie
acesta
(r1")"
qi
r
=
Iimz1.. Ariti.m cX
limr,
=
r.
Fie
e
>
0.
Dxisil
n.
C
N
astfel
incit
Vn,
m
2 n",
lx^-c*lai
2'
Fie ft,"
>
n"
cu
lr1.
-
rl
<
t
(acesta
existd deoarcce
(ft")"
este crescil,or
qi
nenld.rginit
iar limrl.
=
z).
Rezult;
ci
Yn
)
n",
lr,
-
"l
(
l*,
-
**.1*
lrs.
-
rl
.
i+l
=
6,
deci
22
,j3'"
=
'.
.
NOTATIE . 'ie a
€
R.
Vom
nota:
(a,oo)
=
{r
€
R
lc
>
a};
fo,oo) =
{r
€
R
lr
)
a};
(-oo,a)
=
{c
e
R
lc
<
o};
(-oo,ol
-
{r
€
R
lr
(
a}.
DEFINITIc.
Se
numeEte
wcindtale a
lui
cn o
mullime
V
C
R
cu
proprietatea:
3 o
€
R astfel incit (a, oc)
C
Y.
Se numeqte
wcirti,tale a lrri
(-oo)
o
mullime
V
C
R
cu
proprietatea:
1a
6
R
asifel incii,
(-co.
a)
c
V.
DEFINITIE.
$irul
de numere reale (2.)"
are
lirnrla co
dg
VM
€
R, I ny
6
\
astfel
incit
Vn
)
ny. x.
>
M .
$irul
de
numere reale
(r,)"
are
limila
(-oo)
g
VM
€
R, 3 ny
€
N
astfel
incit
Yn)ny,rn<i,f.
NoTaltn.
(2")"
are limita
co se va
nota limr,,
=
oo sau
e"
--+
oo.
Notaliile
pentru
(-oo)
sint
sirnilare.
Urrni,ioaiea
propozilie
se demoostrtazE ia
fri
cu
Prupozi ia.i.6.
PRopozrTrA
4,17.
"\
li-"
-.-
AVI/ ,L,..
-l-
-toI
..rcr.--:r w- \
-rrJtt .t.'.1 t t.
a
lLy
I
tL
c
N't"eY-
b) limr.
=
-co
<+
VV
uecindlale a
ny,
rr€N, tn€Y.
UrmS,torul criteriu
qi
consecinlele
sale
permit
calculul
rrnor limif,e
prin
reducerea
la cazuri
mai simple.
Pnoroztlle
4.18.
(Cesaro-Stolz)
Fie
(a")",(b")n
Siruri
de
numere reale
cu
proprieldtile:
I)
(b")*
eslc
slricl
Tnonolon
gi
nent d,rginil;
lui
(-co),
I
rv
€
N
astt'el
fncil Vn
)
27
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 30/218
2)..ttstd
tin
i"*'-?
_
;.
n
.d
0
^+t
-
btt
Aluntt
Pr:tslo
.liy
I
=
e
I)emonstratje.
Considerim
la
inceput
cazul
irr
care
,4
este
filitd.
plesupunern
ci
(6",),
tind_e.*escitor
cdtre
oo
(cazul
in
care
(0")"
.";;;;;""cle.c;tor
.erre
l__)
se
trateazd,
la {el,
cu
rrodifici.ri
ovidente).
.etu"ii,
in
purti'i.ulur,
O,,
O'Vn-}'r,'o
',
Fie
V
=
(4,
ii) e
V1
ai
(at,
)')
=_
/, asrfet
incii
I
e
il'
c'
/.
Din
2),
exisrd
nr
=
n(V')
€
f{,
nl
;:
n0,
astfel
rncrr
?it
-
?"
€
V,
Vn
2
nt
.
adic6.
hn+t
-
bn
"'
<
i:Jl-::
<
o'
yn
z
,t
Deoarecc
(6,),
cste
strict
cresci,tor.
deduccrrr
a'(b,,,4
-
b,)
.L^*,
-
o,
<
B,(b,11
-
h.)
Vn
>
,,,.
Scriind
rela{iile
precedente
pentru
?i1,
rr1
*
1,...
,
n
_
I
qi
adunintJ,
oblinem:
, '(b"
-
b",)
l
an
_
an,
<
p,(b^
_
b^,)
vn>
nt
+
1
deci
o'(i
-
6,:-.1
r
1"
?
.
n,
lt
-h,,,-)
vrt
.,
n,
1 1
b"
,
b,,
b,.
b,,
,
qi,
deoarece
6n
*m,existd
n2)n1
1
a,stfel
rncrt
ep,p1
Vr2nr.
Dac5,,4
=
oo,
fie
clin
nou
nlinL
6n
=
)o, (b,),,
.l3s.aro,
t,,r0
Vr)n6.
_F,ie
V
-(o.
nt.
o'>
o
qi
rr,
CNastl;l
rn,rt
lntt-
a,
,-,r,
Vrr
z t,
ca
rrrai
rnarrrle,
r,"zulta
a"lt
-
l"'
>
o't t
-
L
i
6"
b'
'"
''-7;l
dcci
o,,
b'>a
Yn>at
Cazul
A
=
-oo
se
trateazd
a^semiiniilor,
considerlnd
vecind,ti{ile
(_m,
B).
I
Ii,entarcirr
cE
exisienta
unei
linite
pentru
(#),
t,
antreneazd
in
general
exis
tenla
limitei pcntru
(3:11-3"
)
.,
rb"+t-bn./,,
,
un exemplu
fiind
firrnizat
de qirurile
a,,
=
(_1)"
,
In
continuare
vor
li
definite
purici,eie
iirnitd
aie
qiruriior
cie
nuncre
reaie,
im;ror
tantc
iu
sl,udiui
qiruriior
care
nu
au
iirnir.;.
,.
..?":t*ttl"
I.
(""1"
Drr qrr
de
numere
reale.
Nurnirul
a
€
R
se
nume$te
pzn.cl
lrmtl'i al
gtru.lui
(r"
),
daci
.xisti
un
subqir
t"r"l"
.f
s,rrl"ilr;j,
",,,
,f*
,0.
=
o.
OBSERvATIL
l)
Daci
r,,
€
lm,
MlYt
2) Lema Bolzano-Cesar,
3)
'Ieorema
4.12 se
poa
dacl
multimea
punctelor
lin
Jinind
cont de
observi
multimea
punctelor
limitS.
n
DEFINITIE.
Fie
(c,')^
u
NumSlul
o/
=
inf{o
I
o
a
Eirului
(x^)^ gi
se noteazd
Numirul
o/'
=
sup{a
I
o
a
Etrului
(r")^
gi
se noieazi
PRopozlTJA
4.19.
Iie
sint
pxncie
ltmild
ale lui (x,
De-monstraJie.
Demonr
pentru
l 4q
c,
fiind
asemd,nd.t
Deoarece
a"
=
sup{a
/1
1
at
e
\a"
-
i,
o")
,
o*
punr
punctelor
limiti).
Atunci a;
aqadar
a"
=
ulll3
rr".
I
ProprietX,tile
esenliale
in
teorema
urmd,toare.
TEoREMA
4.20.
Fie
(x,
r)
ot
=
ljgv^ dacd'
6i
nt
(i/)
Ve
>0Irv(r
(ii')
Ve
>0
3(a1
2)
o,tt
=
hma,
.
dacd
gi
n
(i//)
Ve
>0IrV(e
(ii")
Ve
>0 J(e1,
(cu
alte
cuvinte,
toli
termenii
qi
mai
mari
decit
(c/
-
e
)
qi
r
(a'
*
e),
respectiv
mai
mari
Dernonstra{ie.
Vom
da
deducindu-se
uqor,
'tinind
sea
,,+
"
Presupunem
prin
al
(r")"
cu
xr-
)
a"
+eY
la a,
punct
limit5
pentru
(c,
28
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 31/218
?s
tr
j.
ilr,,ri,
r'r
''r'
=
srlr
irr
r;
r,si,.
i;ir,r
t
lir:r1;r ;ri
'.
I
,
,i
.
;
irrl.,ri''..
r
irl.r,r'i.,,.
]l
\i
,ir
rjli,-r'i.LlL
I
tlLir:r
r,l
i,lr
i.r,.i-,.;rltllriii,
a;/r,
,L/
lti,lt rtj, rr
:
i
, 1
.
-
,.
,
.
:
:
,
'
1
:i;ir
,r,l
.;,,,r
r,
-i
ri
,,r,
,r riri
fi ;rl..,tLrr
IJuil,.l
l il
,lt
ii,'t,ii.ir
1.12.r'1.,,.t
tr
ia,tiiriijll
.,-,ir
I
t.:
j
isra
irjlt\(,fgi,rl
ti;if11
lr
ltirrti.Ll
Ii:,..
Jrrr ,i
,:r,rt
i,
r.,'.r.r';Lli
rr
i,'.,,
,j..tr:,
.
iLti
:,1:
iitirir.,i
lt
,1,.
iitr,
,,rr.
lr:r1,.
;
--
iurLiilirii|;)L f,lri,,: irLti;r
1,.\ rrli
:
lliriLltii:r.1l,.ai
llfj]rli()ll{,ir.rlr,lir,ti
t. rt
.,,t.,1
ijt.t,,t'iltr,. l ,1.,.L
lilj
.-il
rlr
r II I,_rr.i,nIr.
,|:jrg;rri1.
lir,,'jrir i;'- lllti ti.sir i)ir,r'r lilrri
irl
i.r.,), l i. x..irr.rlr' lt,ttlrt ,tlrt),t,tt'
ir
iirrlli/r
.i'r,
l-
i,
sl,iriii(r:/il;rrrr
irirrr,
:atr
lti
itLl .r.,
\| ti|tlr,'
s,r:,1,;
I,,,-5i/
|,iL,II
IIIiir
ILI
l.r.).,f
sr
tr: :t,,;tr.Ir:.:
:.rt; :
,
'''''',.''
lt
l ,,')
) t,
'.tj
t)t it itrtl
lt tti|:i t ririlr
i ,,,,,
.,
.r ,
t
-)
'
r
r
,
i,
i
I
j
i
,
i :
i
I 1
,
i)r
L;s1,
111, , ,
iii
r,.r
I
r;r. .1,.t|,.,r,.-i-i
l,l
t,i
tiir' r
lrlr.',.
liir.l l:,
I L
r
.
I
r
I
I
i t
I
r
I
I
i
,
(t.,i,
I
1'l'rtltt,
irrir
l.
:
ri
rr
'
sl, rr.r.ir,r
l
lt
,:
i :i
.l:
\
i.rl
l)rrri'
f,
if,t
lLrrLliii
,\,i rrtr,,r;
I,|,.r',.,
t,,ct
i,:iiltil
.i,.r,
,
f-
i,,,t)'-,
i
i
t;:
,
lilr lf , E
i.]],1
i)lt
lrri.l;llil.
er,r'iilriil_;,1,
l;rrL,rr'r
lrr1,,t,;rr':l
irrrrtr,l
iir:rr.i.,i|.
(trt1
t)f.
l. :ll
il1
1r'i)ii.iliit iti l;titlt)liir.
'l
t,()Ri.ir,\
ll(J l,r
i.r,,i,,
,r.rr,/,
rtiittttt
trriii..
trtrtrtjirri
l) r'
=
It,rr.r'
'irtt
'i
:r
,,Lrt',t
rit'
l
ri,:
i'
.:
tl
.
i
1:1
1, 1 t.,iiri tr rt .t,
.
i,
:
r,, .:
\
i
L
,
-
i/,1rr ,ii
lr1
Lt
,,
),
tt:ti,
i
t,:r,i
.t
;.
.-
t
-
,.
.'
1.
t
ri
ii/'l
n.
t.
il
-l
'\i,.1
a
\
t r
.
I
i
t,
i i ,
)
,
;
| .,
,
,
.:
it'
+,
ri,.:
\
,..
r.
tri")
V'.>{t I
i."r,,),
,t ,i t
il
lui
t.r,.)..
rr; f,ljr.il
.(t,>t/
:.
Vrr
ll u n
l., \
ir,i,
.
i,rl
l,'r
lr
rfri.
r'Lr r"'r
r
i,1lrr
ulri
ril*iiilr
iilrt. ilr
r,
lliiti
i]ri.L
(1,:art
ilr'//
r
:)
:i
,i,.,;
n, .i
i,.,.
I
r,,r
.\ .j ,,.,i.r.i
.-t ,.,,i
-,,,.
.,,.
, i.,:"
,r..
_.r
rr,i(r
r., rri
rirr
?tt
irt
irr/
t
ti. r'es,lr,.,tty
rir'r.i
rr|lr,rlr.ctL
iu"
.ll
f)t..t|,.:it.ii;t.Ij,
r.ri|,i::
,1,|,,rr
-
,rt
llt ,,-,,
,i
,,,,
r.tr
rlia
l).rjrfll
iiit.i.
tl
'r\Lrr
.Lirrr l]li)i
ar
l
..:+
'r'r.
jirrLtr:.1
l,ill]
.ri,srtrrl cir
,.tri:Lii
:-
..,
lt r.|r
i iIi.rl
r,tiir:,i
r.l.r
.,:,
_r
r -,,.
ri
l;r,.;.
"t,.r,
a,,.'
--.
\./rr
llt:tri
rjrii ri
ii
.-..
r.
,,il
t.irt,.
ltr s,j,.
rr - (:lt
ir'.
rt
Prririi
illrtiii;;r
rrlrir
ir.,l, ii,:,i.:r'r
:.ri
i
isl..t,IrL,i
iir.rlt,r .t .,,,j..11
:ll
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 32/218
contradiclie
cu defini{ia
lirne',
deci
(i//)
este demonstrati,.
Pentru
(ii")
presupurem
ci
existi
e > 0
astlel incit
r,,
<
a't
-e
Vn:.
N(e).
Aiunci,
orice
punct
limil,i
a
al
(.r,.\",
ar
satisface
a
{
a"
-
a.
deci
(o"
-
e)
ar Ii
majorant
al
mullirnii
punctelor
limitX., o contradiclie.
,,+"
i"ie
e > 0
Si
fie
(r1")"
subqir
ai
(r"),
cu
xr-
>
a"
-
e
Vn,
dat
de
(ii")
qi
,k-
<
o"
i
e'ln
).N(e),
coniorrl (i").
Aiunci iim:r1"
=
tr", decl
"",
dcfiti',
pril
(i")
qi
(i1')
este
purct
limiti al
(c"),,. Fie tr
-
sup{a o
punct'
lirnili
"l
(".)"}
qi presupunern
o"
<
/-. Atunci existS, e
>
0
aslfel
incit att+e
<
I'
-e
(
tr. Din
prima parte
a
demonstraliei,
-L
satisface
(ii"),
deci
existS,
un
subqir
(r;.")-
al
(r")"
cu.irj. >
L-e
Yn
prin
urmare
tj,) o"
+e
Vn,
in
contradiclie cu
(ii").
Rezulti
at'=L. I
in
cazul
qirurilor
nemS.rginiic,
vom
puoe prin
definilre
li.t"
=.o
daci
(.r.)"
nu
esl,e mS,rginit
superior,
j.g4
c,
=
-oo
daci,
(z').
nu este
m6rginit
inferior. Alie
proprieteli
leqate de
li41
qi
lirn sint
prezentate
in exerciliile 14
qi
15.
$5.
NUM}'RE COMPI,EXE
Prin defiri{ie,
nulJimea
numerelor
rnmplerrc,
notati
C, este
mullimea
R2
=
R x R
inzestratd,
cu legile de compozitie
intcrni.:
adunarea:
(rt,At)
+
(xz,y")
=
(r1
t2,9t
*
gr) qi
inmullirea:
(rr,llt)
(rr.ar)
=
(a1
12
-
A1
. 2,
xt
.A2
+:r2
y1).
Acestea
deterrni05.
pe
C
o
structuri
de corp comutaliv.
Ident,illc5,m. oertr,-r
orice.r
€ R.
perechea.
(r.0)
e
R
x
R cu numErul:r
€
R.
RezrltS.
atunci din
dcfinilia inmullirii cA
(r,
0)(o, 0)
=
(ta,
rb)
=
e(a, 6), ob{inindu-se
l-"-. .l-.^mh^'it,^ awl^rn.
'.-"li''.' ".";
.-.r^. Ji" F[2 erl,n
-.rlar
raAl' d-
devenind
in acest
mod
spaliu
vec+,orial real.
Notind i
-
(0,
1)
observim c[ i'?
=
(-1,0)
=
-1,
ceea
ce face ca
uneori i si
fie
notat
/-1.
'inind
cont de definilia operaliilor de
adunare
qi
inmullire
qi
de
identificarea
s
=
(r,0)
Vc
€
R, orice
numd,r
complcx
(r,9)
se
scric
in
mod
unic
sub
forma
(",
s)
=
'(o'
1)
+
c(1,
o)
-
"
a
1r'
Numereie cornpiexe se
vor
noia
z
=
r
*iy.
Vom
nota
n
=
iie z
(pattea
realS a
lui
z),
y
=
Ima
(part'ea
imaginari
a
lui
z).
VomnotaA.
=A-{0}.
DEFINITIE. F\ez
=
r*ig
€C.
Nurn5rult=
c-iyse
numeqte conjugal al lui z.
u^^-:,.r i- ,,--ir,.,.^,.1^
^-^^..^r
i i
^l^ ^-^-^'
i^i .l^
-^-i.,^-.^
,l^-^^-r.-r i- l^"
PtvPrrcrd\t
dt( uytrd\-{r uUvrtiuBqrr'
v t I I v I I r
I
u I t rvr
{iind
un exerci{iu
rrqor.
PRoPozrTrA 5.1.
h) 2r
+
22
=
2t
+
22:
c)
'/\
.
22
=
Zr
Z2;
d)
z
=
7<+
z
€
R.
DEFh-ITIE.
Fiez-c
PrezentS.m
in
continua
tuind
un
exerciliu
util.
PROPozrTlA
5.2.
a)
lzl
=0<ir--6t
b)
lz1
{2,15lzll+lz
")
ll''l
lalj
<
1,,
-
d)
lzr
.z2l
-
lztl.lz2l
e)
l.zl= lrlat
z
2=12
Din
punci
de vedere
ge
un reper
cadezian ortogon
corespunzind
lui z cu origil
punctele planuhti
corespun
D,(zr)
qJ
\z
e
cllz
-
D,[zs] I
{z
eCllz-
C.QI\Y
lz
e
Cllz-
PRoPozrTrA 5.3.
a)
Penlru
orice
z
€
t
e
l-r,r))
aslfel
inctl
b) Orice z
€
C'
se n
t
e
[0,2:r)
(saute
[-r,r
al lur.
z).
Demonstratie.
a)
Pentru
z
=
a*tg
I
=
2z
-
arccos
c satisfacc
b)
z
l0
++
lzl
l0
punctul
a). I
OBSERVATTE.
{z
€
C
pornegie
din originea sisie
De
lrNrlrn. Fie
(z^)"
oergenL Iu nuuLd,r'ul
uurpl
1""
-
rl
<
e.
Acest
fapt
se
Oasnnvalte.
Confor
incit
Vn
)
1/(e), z"
e D"(
30
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 33/218
N
(t).
ar
fi
qi
priii
)"
)
Din
(c")"
lr-
)
Alte
RxR
t
fi.
C
i
sd
qi
de
a
lui
z.
lor
d)z=z<+zeR.
DEFTNITIE. Fie z
-
r ig
€
C. Se numegte
modul al
lui
z
numirul
real
pozitiv
l"l=j,"+u"
(5 1)
PrezentS,m in
continuare
proprieti ilc
modulului,
demonstra{iile
acestora
consti-
tuind
un exerci iu
util.
PRoPozrTrA 5.2.
a)
lzl
=0ez=
0-
b)
lz1
+
z2i (
iz1 |
+
lzrl
Yzt,
zz
€
C:
c)
ll4l
-
lzr)l
{
l"r
-
"zl
Vzt, zz
e
C;
d)
lz1
.z2l=lal
lz2l
Vzt,zz€E;
e)
lzl
=lzl
yz.z=lzl2
Yz(C.
Din
punci
de vedere
geometric,
daci identificim
R2
cu
un
plan
in
care se
consider6
un reper cartezian
ortogonal,
lzl
misoar5,
lungimea segmentului
care unegte
punctul
corespunzind
lui
z cu
originea
axelor,
deci
lz1-
z2
mdsoa.ri distan{a
euclidianS,
dintre
punctele
planului
corespunzind
numerelor z1
qi
22.
Atunci
D.(.zq)er
k eCllr-
z6l<
r]
este
drscul
dcschts
d.e
razdr
centrat
in
zg,
D,lznl+J
{"
€
c
I lz
-
zsl
<
r} este d.iscul
i.nchis de razd
r central i.n zn,
iar
C,(zr)
d:i
lzeCllz-z6l=rleste
cercal
d.e
razd r central
tn
zs.
Pnorozrlr.n
5.3.
a)
Penlru orice
z
€
C
t
e
l-r,r))
aslfel
tnciL
cu
lzl
=
1 eristd,
un
z=t:oslfisili.
1
e
l0,2tr)
(saa
un unzc
b)
Orice
z
€
C* se reprezinld
in mod
wtic
suh
forma
z
=
lzl(cost
*
isint) cz
te
[0,2r)
(saut,el,-r,r))
Arest unic
t
e
l0,2tr)
tc
1'0.
nola
prin
arg,z
(argu.n
en.t
al lui z).
Demonstra\ie.
a) Pentru
z
=
x
ly
cv
>
0,
/
=
a.rccosz
sa.l.isface
(5.2), rar clac|
y <
0,
1=
2n- arccos
r satisfacc (5.2) (respectiv
I
=
arccos
a
€
(-r,r]).
bt,*0++ltl+}i.tl+l
-
t.
Arunci
t,
-.o"/
tisint,.u
r dcdus
la
ll:il
:l
punctul
a).
I
OasonvnlIc.
{z€C.
latgz
=a
e
[0,2r)]
este o
semidreapti
deschisE care
porneEte
din originea
sistemului
de
axe ortogonale.
DEFINI'{IE.
Fie
(2")"
un
qir
de numere
complexe.
$irul
(2")-
se numeQte
corr-
aergent
lu nurntirui
annplet
z
<iaci
Vi
>
0 3
rv(r)
€
h a"rtfel
',ucii
Vn
2
^(e),
lr"
zl
<
e.
Acesi,
fapt
se va
-rota
prin
zn
+
z
salu',irn zn
-
7.
OBSERVATIE.
Conform celor
precedente,
zn
+
z
#
Ve
> 0I
N(e)
e
N astfel
incit
Va
)
N(e),
z^
e
D"(z).
31
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 34/218
TDoREMA
l;.4.
Fie
2,,
=
r:n1-tUn.
n€ldangrrdinC.
Atunci\imz"=z=rlig
rlacd
5i
numaz
dacd
\m
x,,
=
r
9i
lirn
g,
=
9.
I )^,
-^--,
--
r i.
,+" 1".
-
4
-
[..;
-,)'
<
,r[,-,-,1'*.
,,,
-
lr,
fel,
lv,
-
vl
{
lr.
-
rl
conduc la
rezultatul
dorit.
,,€"
ObservEm <:alz^-zl
g
lr"
-el+
ifl.
r/1.
[,iee
>
0
qi
lie nl(e)
€
fd
ast{.el
{..
Ir"rr lJ, -
"l.
<
VD
>
rrr(-).
fi
he
t2(r)
t
Ni
asrfel rrrcrt ,yn
-
.u,
<
€UVn
2
nr(e).
Atunci
z.
-
zl
<
eYn.)
N(e)
=
max(n1(e),
nr(e)).
I
Din'I'eorerLra
5.4 se deduc
urmitoareie
propriei,Eli
legatc de
legintlu
le de
proprietilile
corespunzdtoare
din lt.
colvergen{a
in
C,
PRoPozlTrA
5.5.
a)
Lzmifu
urtut
:itr
de ntnn.e-re
cornple.xt
csle unic
delcrmmatd.
b)zn-2<+t,-z-0
c)
lirn;,,
-
.:
<+ V(-?r"),,
subgtr
al
(2,,),,,litr-21,"
=
z.
d)
Darli
)tmu,,
-
u, Iimu,
=
t), atunci
lim(u,+u,)
=
u+u
lxlirn(u"1,,)
=
1
,-
zu dacd,
in plus,
tt,"
t'
\Yn
9t
y
f
g
o1r.nri
lrrrrlL
=
tt
Un
l)
l)E 'rNrIIL.
Mullirrrea
-4
C
C
sc numeEte
rndrgznfld
daci
t:xisti
M
>
0 astlll
incit ,4
C
D,y(0).
Un
qir
din C
se
nvuteEL.
mdrttinxl
daci
mullimea
tcrrrrenjlor
si.i
esLc mS,rginitir.
PRopozrTIA
5.6.
Orice
6ir
dtn
C, mdrginit,
at.e
un
suhqzr
cctnrergent.
.
DemoLt
tratie.
Fic
zn
=
(.r",y.),
lz,.l
(
,lr'
Vn.
i\tunci
]r,l {
M Vrt
Ci
]y"l{
M,
Vn.
Lema
I}olzalo-Ccsaro
($4,
Teorema
4.13)
irnplici
existcnga
unui.
subqir
("r1")"
al
lui
(r"),,
cu
limrl.
-
r
€
R.
Dcoarece
(ys_),
csie
nrirginit,
are
qi
cl
un
slbqir
.olvergcnt
i,,*_.)",
1itl1i7^^
-
y
(J:im
iilll;r;,."
=
t:
rez,.iiF"
iittrzy.^,
-
z-rii j.
-
DE -rNr lE.
(2,),,
qir
'in
C,
se
nunre5te
str ()auchg
5
V,
>
O
3
tf(e)
e
ld
astfel
incit
Vr,nr
>-
N(e),
lz"-
2,,,1
<t
<+V€
> 0l,V(e)
e
N
astfr:l
incii
Vn
),y(c),
Vp>.-1,lz^+p-z^l<e.
AserninS.tor
cu
Teorema
5.4
se
demcrrstreazi
urrnitoruj
rr:zultat
PnoPozl'lrA
5.i. Fie z,=
xn iy^,
n
€
N. ,4lancr
(2,).
este gtz.
Cauchy
in
C
dacd.
gt.
num.ai
d,atd (r:,),
Et
(y,,).
sint
jiruri
Cawhy
tn
R.
Demonslr
a[ie.
l,
^
+,
-
r.1,
ly,+e
-
y.
|
(
lz,+o
-
2,,
|
{
lr,1u
-
r.,
i
+
]
an+p
-
?1,
I.
I
De
aici reziili;
inredia.i
qiiitr.iuj
jui
Cauchv
peninr
qiruri
riin
C.
'i
u<.inlivil
ir.8. (corrrp
ieii'r,
u<j
inea
iui (C.
]
.
')) iht
qtr
de
n,unterr:.
cornplece
csie
9ir
Cauchy
tlacd
Si
nutnai
dacd,
csle
utntcrqelt.
irr
afara
idenlilicirii
cu punctele
unui
plan
in
care
avern
un
reper
cartcziaD,
nurrrerele complexe
se
pot
retr
proiectiei
stereografi
ce.
Se consideri, o sfer5. tangr
R2. Fie
N
extremitatea
opusd
ptnct
z din
plan
pulctul
P de
I
zeazi astfel o corespondenli
bt
de 1y'.
Puactelor
P
care
sint i
dule
mari.
Se
poaic
deci
addu
(notat z
=
oo)
carc
poate
fi
completat
cu
punctul
de la inl
Aceixta
jus1,ific5,
urrndtoarele
,
DEFINTTTE.
Se numeqte u
o submultime
dc forma
{z
€
(
disc de
razi r
)
0
cu centrul
i
ObservS.m c5. transforma.r
DDFINITTE.
$irul
de num
daci.
gi
numai
dacd.lim
lz"l
=
Remarcim
diferen a dintr
distingem
qiruriie
care converg
h
=
(-l)"
.n
nu are
limit5,
i
Atit
in
R
cit
qi
in
C,
daci z,
$6
ExERCtTrr
1.
Demonstra{i
relaliile
din Pr
32
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 35/218
flurnerele cornplcxe se
pot
reprezella
ii
proiectiei
stereografi ce.
ca
puncte
ale
unct
slerc.
prln
interrnediul
Se
consideri
o sler .
t,angcnti in
lunclul
O
(z
=
0)
]a
planul
rOv
identifical
cu
R2. ie
N exl,rcmiiatca
opusir
ILri O a diamertrului ca.re t'rccc prir
O.
;\socicrn
lir:r:iru
punct
? din
plan
pulctui
P de
pe
sfer'5 afiat la intersec{ia
sferei cu
cireapta
,\'; ,Se reali
zeazi
astlcl
o ctircspondcn{.1
bijectivE" intre
pulctele
plariu}ui
gi purrctclc
s&rlri
dilerJlr:
de /{. Punctclor P cate
sint in
apropierea
lui
N le corespund
puncte
din
plal
cu
mo-
dule
mari.
St:
poaic
,Jcr:i adiiuga
planului
un
punct
{icliv
uirnril
prrnrlrrl
dc la iniilit
(nolat
z
-
\o)
.nrF
I,,,al'
h
"nrr.r,l^rar
corospond,ntrrl
lrrr V
d.
p".t,n
Pl.',,"1
co[rpiclat
cu
punrl,ul
de ]a infinit se va
numi
plon
com,plet sau sferd a
lui
Riemann.
AceasLa
justifici
rrrrnitoart*:
defini ii.
DEttNlTIt.
Se ourneqte uecintitale
a
punclulut
z
-
co o
mullime
y
care
co0lite
o submullime
dr:
lorrna
{z
€
A
Jlzl
>
r}
pcntru
un
r
>
0
(V
conline
extr:rionri
urrui
disc
de raz5.
r
)
0 cu centrul
in
O).
(Jbservdrn
ci trans{ormarea
.l(
z
I
-
l6u."
rr-,n,
10}
r
>
0
or: o
vi:cini,t;rte
a
DnfINIltli.
$irul
de numere complexe
(zn)n
ure linnlo rx,,
nolat
litrr
z,
=
ixr
daci
si numai dac6.
lim
lr"] =
*.
Remarcim diferenla
dintre defini{iile
date
limitei
co in
C
qi
R.
In
Lirip ce in R
disttngem
5icurrie.arc
"onrr'rB
i:'
ro.i"
ccic care
.onverg
ia
1-a,)
qi.a
urmare
Errui
h
-
(-l)"
n
nu are
lirniti,
in C
limita
infiniti este dat5. nurnai
de
qirul
modulelor.
Atit ir
R
cii
qi
in
C,
daci
z^
l|Yrt
qi
hm
lz"l
=
co, atunci ii,,,
.l
'
0.
n*@
ztL
$6.
EXERCITII
1.
Demonstra{i relatiile
din Propoziliilc
1.1iii
1.2.
astfel
in
C.
x
sii
unui
in C
r
(.sic
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 36/218
2.
Oonst,r'uiii
ul
cxcrnplu rn
care
/(0,r,)
I l/('r,)
ral
tEl
i1 Fi,:/:X-Yqi
1:\'-Z
Sn
se ara.t. c;.
dari'
{
11
sint
hijective. alrrnr:i gol
'\1,
L,U,'rrvi
ir
(4oil
=
I
aA
.
,1.
Aritali ci
dar:5
,J
$i
t silri.
rnultirrti
nuiniirabiic,
atrnci
-4
x
B
cstc
trurniirabilil.
lntlicalie:
A\
B
=
U [email protected],,)ln
>Aj.
k>a
i.
-A'iiiia{i
ci
lrul{intr:a.
QI-Y1r
a
i;oliloiiiiieloi
cii
cocficien i
ra{ioniili rs'"i
tii.i.tiiiaLtii.
hdrca{ic:
AlXl
-
U
{/'€
QIX]
jgradP
(
a};i se denrorslreaz{
prin
induclic
n>t)
cn
1l,
€
QlXl
I
grad
l']
(
n.) cslq nurndrabil;
perrhu
ori{:e ri
E
N.
ij.
l'ojosrnci
(Oi)
cieciuccii cchivaicnla
in (R,
{)
a
urftr;ioareior aiirrralir.
a) ,r<v;
b)
0(s/-r;
c)
Y(
z;
d)
r-r(0.
7. Iblosrnd (O2) arnta{i
ci
in
(R.
1)
au
lor::
d)r
3
-
b)
z(0qi
s(0+r.y){):
c)
r(0qig>0+r
y<{l;
u.;
r?
-
u
vr
c
R
r) I
>il
I
*iLe
rnonoton dr:scresciitor.
(Pnrpozilia 4.18)
dr:duccli
ci daci
lim
c, =
c
cr
+
+.'
a) llnl
tl
t,)
,1a'
i
r"
'
tJ Va
qi
,
-
U,
rlu1"i
lint
;7r"1
,
,
r
10. Aritati ci da<:6 c,.
)
0 Vrr
qi
lrr;r
llr
-
,.
I
0, al unri
lirn
16,
=
c. Oolstnrili
un
cxcmplu
carc
sii
aratc ci
inrplicatia
inversE
nrr esl,c
in
generai
valaliili
Lrl
I L
Sd
se calculeze
lirnita
qirului
u,,
-
J .
fT
12. Folosirrri
criteriul
lui
Cauchy,
aritaqi
,;
q,,ut
f
tt",(ft'
"",.
convergent.
13.
'ie
a1
>
0
V,t
e
N,
fie
sc aratc c; dac5.
(r"),
este
Iadica{ie:
Sc ulilizeazd
14.
Si
se arate
c.1 liminf
rn+r,
.
)
penLru
(r,)n
Eir
15.
Si
se arate ci dacX
(r
lirrr(.r,
+
u" )
<
iirnr"
+
lin
16. Dcmonstrati relatiile
di
17.
Reprezcntati
gralic
urm
a)
D11,l0l;
b)
{z
Inrz
=
l;
c)
{z
i
R,ez
e
[1.
d)
{z ll"+tl
<
1l
e)
l?
largz
=
t
18.
Si,
se calculeze
S,
qi
Lir
^r
c
-
r- I
'
s)rn-/,t.
t=0
\r-
^,.
-3t,
i=0
19.
S5,
se calculeze
r1
Lrm
I
I
l10 t
g<'>tl
\
lJ
|
'+'
S. Su sL.
a|att
cd sir,rl fl
+
1)
'
\ n/
9.
Folosind
criteriul
Cjcsaro-Stolz
atunci:
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 37/218
lli i
r,,
,rr
r
r;,l.
a
\ I
,,
.r
r_ r,
ir
l
:.t
iir,i;r
e1i' S, iiti
t:,i
i,l.l
I
I
,
t; rl
,t:
(
rr
r'
i
r
li. li,r
r,, irlll
r:_r
1tr.Lr,l.;.
,l;,,ri1..,.
r,-
,,,+,.
I
t)r'lrtr
r
1.1
..
1..
-ilt
,lrir
il
l
5ii.r'
:Lr;rie
tn
,i;t,it
1_,i,,i,,
..j
1q,,
1,,
:|tl
il,,tiir
siruri t iir.t,riirr,,l,.
lll,tr,,ri:
t,.,,.
lirrr(.r',
.q.,
j:.
ir.rir.r',
I
ii,rr1,,
;i
l1rrl
r.,
r,
i
:-
ir, .r,,
iii ri,.
1(j. I)r
rrrrrrrtrrr:.i
J.l.rr.lle
riirr
1,r,1;r,zir.ill
:t./
li. ll,'t,r,z i,iitl
iti;rli.
r:;rrritlrr,,lr.
sll,lJrijli,l
tj
,jil
{-':
;ri
l)
1,lii
:
l,t
1.;
irrr:
-
l]
cl
t: T1,,.
a
rl.2 ifir:
I. iti
iil
1:
',ail
-
l:
,
rrq
1;l
1l
Sir.r'cal'
rrlrzr:
,\',.
lj
.,iirtr
\',,
1rr:irrr.u:
t.
i.
_,
1II
',1
l
s
.
,1.
.
:,
i
-
:"i
l.I
:r
1rr,
1,,
-
)-l
rr1./i.r'.1
5i
I .
,': i
iJtli
lA,'lli
i
r.r
i,:l
sLt;, r.,
,
ir
1
.-ll
i
i.,
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 38/218
CJAPITOI,UL
II
Spa{ii
rnetricc
Noliunea
de
spolit.
rnelrzc;
conuergehld;
mulltmt
deschtse,
mu[limi
inch.isc.
Spalii
norntat-e:.
,9palii cu
prarLus
scalar.
Compac'tlale
in
spattr melrtce
$1.
SPATX
NlEl'RlCIl;
CIONVEn.CDNTA;
TOPOLOCiIITI;
COMPi,E'll1'UDINL
in
capitolul
precedent
s a v5,zul,
r:unr.
in
mod
natural,
noliunea de convergenli
in
R sau
in C
poatc
{i exprimati
folosind
functia
modul.
Geometric.
este
ugor
de
observat
ct
pentru
z,to
€
C,
lz
u,| exprimi drstanqa
in
planui
complex
dintre
afixcle
numcrclor z
qi
ta. Existcnla unci
,,distan c"
per-
mite
definiren corvergen{ei.
ln
defini ia
urmitoare sint
prezeutate proprietS,lile
care
caracterizeazi. distanla.
DEI'tNt'f
tc.
Irie X o
mul{imc.
Sc
numcqte dlslanld
pe
X c> funclie d
:
Xx X*10,
oo)
cu
proprietE ilc:
(Dt)
pcr'tru
r,y
€
X,
d(r,y)
=0(+r=y;
(D2)
d(r,
s)
=
d(u, r)
Vr,3/
€
X;
(Il3)
d(r,
9)
tr
d(r,
z)
+
d(2,
g)
Yx,y,
z
E
X
(inegaliiaiea
triunghiului).
Perechea
(X,
d),
cu
d definit6
mai
sus, se numcqtc
spafiu
rnclruc.
OBsERVATII. Folosind
indur:1ia,
din
(DJ)
se
deduce
ci
dac.la
xt,xz,...
x,,
e
X,
d(e1,r,,)
(
d(r1,12)
1d(r2.13)
+... +d(r"
1,",,)
36
5e
arati uqor
este
spaliu
meiric,
metric.
Vor
fi
prezentate
Ei
al
Noliunea
de converge
DrrrNrgro.
Fie
(X,
d,
lan€X,sunotatia; ]L
OBSERVATIE.
Rationj
Eir
convergent este unic[..
Pentru
gcneralizarea
r
citeva noi
defini{ii.
Acester
Vorn
colsidera in
con
DEFINITIE.
l)
O
mullime
,F
C
.
convergent,
,jlg
t"
9t
,
2) O mul{imeDcX
Prin definitie, multin
Pentru o caracterizar
de
cea cunoscutS, din ana
interval
deschis
gi
interval
DEFTNTTTE.
Fie
c
€
numeEte 6ili deschtsd
de
se
numeqte
bild
inchisd
dt
Recomandim
ca
pe
r
deschisS.
iar
B"lo] este
o r
(exercit
iar
da,
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 39/218
'
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 40/218
,\ccste
defini{ii
srnl
naturale:
in
cazril uullimri
R
cu
(listanle
dirtii
iic modul,
B"(o)
-
(o
-
r,
a
-l-
r).
intcrval
deschis c('rrtra1,
in
r
de
luogirnc
2r.
iar in (C,d2).
il.(?f)esie discrrl
dr:sr:his
de cenl r'rr 11,
qi
razi
r,lil
plalLri
ror Pler
r\\adirf
irterv:rlele
(a )'.
.r
+
r)
sinl
rnLrl{irrri
deschisr',
la
M cLr discurile lleschisc
din C.
l)r.oPozrTrA LI
a)
D
C
I
estt
d.esch''rii d.atd
it,.(.a)
c
D.
l'1
t
r
\
'
'tP
;,,r
tt',,t
'la,
a
B,(,.r)Tl
I
=
0.
st.
n.unt.nt
datd. Va
€
ll. I
r
>
A
aslfel
itt:it
lL
n.unax
dt.td
Ya
Q
1".
1r
>
0
aslfi[inctl
/)ernorsl ra.(ic. Se
obsr:rvi,
cir
Jrrirn:r
afirrnir{ie
se
deduce
din a
dorta, deoattc,:
o
rnuiirirrrc
rieschisii eskr t:ornpicnreritiua
unci
multrrrnr
inchisc.
Vorn dernon-.lra deci
a
dou a aiirnra(ic
Fie t
C
X
inclrisii. Sd
presupun('rn prirr
absurd cicxisti o
I
lj
astli:l incrt
pentru
oricc r"
>
0.
ll,(o)f-l
I
f
0.
,{trrrr,r,
lurn,l
p.'tir',[
",,
-
,t
c
N*
putcm
alegr:
pentru
olice
ri
€
N', r,,
e
flr(a)flJ". Aqadar.
din r,,
e
-llr(a)
avern d(r",,o)
<
l
Yn
2
L
ceea cr:
irnplic6
Iirrr
r,,
=
.t,
iar
curn
/i cste
inchisi.
rczultS, o
€
/",
//
r
-'
r:ontradtc ie.
li.cr:iproc,
daci
pcntru
ortu'
a
f
I existi.
r
> 0
crr
B.(a)f11"
=
0
i
tiaci i' nu
cslc
inclrisi.
[i,-:
r,,
E
]:,rr
€ N
astfel
ircit
r:xistd,
=,,t:t].,r,.
qi
al l'. ]'icr>0qi
7),.
e
ld
r:u cl(a,:r:,,,)
<
r'(din
dr:lirri1ia convergert('i
tlirn
c;
eliista rrr lsl,lel cle ri.).
A<:erasia irlplir:ir.r',,
e
B.(rr)|
1r
in coutrac{ic{ir: cu se s-a
prcsupus
mai inaintc I
Vorn
nota
pnn
rx
nrLri inoa
submullinrilor deschisc ale
spal,iului
nietric
(X.
d).
I-rrnriitoarca
propozil,ie, :r cirei
dernolstralie,
rezuidilrl
u5or
dln Propozilia
1.1,
estr: lisalir ca
exerciliu.
prczinte
riteva
proprieteti
alc
nultimii
zy.
PR.opozl
lI.\
1.2.
I'ie
(X,
d) ut
spaliu ntelric.
1,1 2 l) I)ot:ii
l)i
e
rx.
i
e
L.
trtu\t
U
lt,
e
"x.
eI
(.1.2.'))
Ducd Dt... . D,,
e
rx
al.rnr:i
)
D,
€rx.
A6aclar.
o
rcuniune
arl)ii,rar:r.
de
rrrultilui
desr:hise
esie
o
mrrllirne
tleschisir
qi
o
irierseclic liniti
de rliritinri
tleschisc
rstc
o
mullimc tlcschis5..
Irin
trccere
la
complenrerl,arir se obl,inc
cE, o
interseclic
arbitrarir dc
nullimi
-i-.1,i:
:i. , rl:ll'il;n rl.hl;i
i,
.:
r;rii,iiic fir,iii
ric
iiulii:iri iiir:liisi::sic
o
iiiui'iiiiii:
inchi-si.
IixEMPr,r,r.
1) lntervaleic dcschise clin lR sint niultimi cleschisc. Ia leJ
qi
rcuniunile arbitrare
dr:
ill.r-rvale
cir:schisc.
li
irr"rrai'
i'
,r,hrs"
,ii,,
n
-
nr nrriti'rr
rn
hi* \
rt:rmrio
i,"^
-."'
,::rritrnrr
inchise.
S{ul[irnilc N
qi
Z
sint
rlu]tinri inchise avild comDlo,nnnlarcle
deschist:.
i3)
0 irrtcrsectie arbil,rari
de rrrull,imi
deschisc
poatc
fi
o
rrrullirle
inchisd:
t1
n
(-:
-)
-
101.
D Dl'lNrf
IE.
O
subnnrll
ir)nlirlc
tr)t'0
gi
Pe.I
dolineEi
r)
(Fl)
Urmitoalele
dellrilii
irl
D]],FINITI[.
Fica€.t.
astfel
incit
d
€,
C
I'.
sc
r
pr-in
)',,
rrrullirllca
ve.lnirdli
O
gcleralizare
naturald
caracterizarea
convergcnlei
PRoPozrll\
1 3.
Lr'n
t
alura
oriuitci
wcinatd'Ii
a
I
DIif
lNI'f
lE
O
mullime
aslfcl
incit
'l
c
B,lal.
OusEn\nTIE.
-{
c
-1:
e
,lun
d(r",
r)
-
cr:'
DEFINITID.
Fie.,{c-X
a)
hfieriorul
multirni
t
=
, rg
".
"
(reuniunea
t
b)
Aderenla
(inchideret
(iritersectria
ilchiqilor
ce
con
t)) FlonLiera
rLultimii
A
d)
o€I
sc
rriimeite
Pl
astlei
incit
r"
I
a
Vn.
5i
lin
va ]lota -4].
e)
o €
I
se [ulne$tc
Pl,
Urrndtorul
rezultat
siII
PRoPoTlI
iiA
1
4.
Iie
.
n)
-i
cste
cea
mai
hta
onlinn
dat d. rle
incluztune).
b)
-'I
eule
caa
mui
nict
.\ i).t Ir i lir-i
lim
r',
-
lim
9'
=
r).
d)
o
e
.Y
cste
Punct
I)ecindto,te
Ir,, a
ht'i a
auerrt
Demonstralie.
SI
obse
corrlplencrttarei.
iar
c)
rczu
mrrllirrilor
indrisc,
resPr:ct
distan 6
a
notiunii
de
Punr
punctul b).
3ll
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 41/218
d
r),
inril.
incil.
o
a
alcgr:
a)
<
.f
,
nu
n,).
I
d).
1.1,
qi
o
DElrNl'ltE.
0
subrrnllirne
ciiti P(X)
trr
proprietilile
(1-2 i)
gi
(1
2
2)
5i
ca"-c
conlinc
pc
0
5i
pe
I
defileg1,c
o topoloq'ie
pc
,Y
(sau
o sttllctrta
drt spaliu
tapologic
pe
-r)
(t4l)
Urmdtoarele
deiidlii
irll')oduc
notiulli
des
tilizat€,
lcfltrl,c de
cele
anterioare'
DDFrNrTtli.
Fic a e
,{.
O
mullimc
l,'
<;ri
proPriel,atea il5 existf, un
deschis
D
r'
'\
a,stfel
incit
(r
€
D
C
I' se
numclte
ttecindtcle
a
lui o
Ca
li
in
cazul
rcali
vonl
nota
prin
V,,
nrul inrca
lec:ind.tirlilor
p\rnctiului .r.
O gcneralizare
naturald
a
cazrilui
rea.l
(inlocuirrcl
lr',
rl
crr
d(r,.' ii))
o
collstituie
caracterizarea
con\:ergcllei
iruri]or
irl
tcrneni de
veciniiSti.
PRoPozf{r^
1.3.
ltrt
9i".
(q,),,
tlin
X
cortuc:ry1r: Io, r e
X
dacii
si
rttttrt'o'i dacii trt'
tfara
oricdrei
uecind'tii{i
a
llh r. se
gdsesc
uIL
nundl
rtnft
tle
tenne'ni
oi
pintlui'
DEFINI
IiE.
C)
mulliure
-4
C
-Y
se numeqte
mdrginttd
dac[
existd
a
€
'\,
r
>
0
asifcl
inc'it
-'1
c
A"lo].
Oesrnr.tltr:.
-''l
C.Y
crste
ncniifginiti
dacdVz
€
Aexistduniil
(/,,),,
riin
I(rr
,Jin
d(r.,
r)
-
m.
DriFINtTln.
Fie I
c
X
c.r
sulrrrtultine
oarecare.
a)
Inter"iorul
mt
lirrtr,i
A,
notat
:i
(sau uneori
int'4)
este
(lcfirir'
plirl
;= [.J
D
(reuniunea
tutrrror nrultimilor
deschise
<rrrrlinute
in
l)'
,,"".:i,,"
ie,4
_
[]
F
b)
Ad,n enl,a
(tnchulerr:a
rnttllirnii)
A1
riotat[
'4
este,
prin
dcfinit
"
l;i.^
(interseclia inchiqilor
cc <xrnlin
,4).
c) F)ontiero,
m,ul[in
iil,
rlota.1d.
Fr'4
(uncori
d,4) estc'
prin
defini1ie,
Fr
'1
:'{
i.
.t
...^,^.",t.,"..
^t
1.,, a
A...
^-i.r.,
,'n
.ir
I
. \
'l:'
I
oJue
^
\r'liurL
f
irF
/,uri'
astfel
incit :r,,
I
aYn,.i
,,qt
t,
=
n Nlultirrrea
punctclor
de
acumularc
pentrrr
"l
sc
va
trota,4'.
c)
a
€
'1
sc
rntmeEtc
p?rnct
izolat
pentru,4
dacd. n e
.4
1'
UruEtorul
rczultal.
sirnplu e.xplici
irrtuitiv
accste
definilii
a')
i
e.ste cea
mai
rnare rnul[inte
tlcst:Ltisii con(inutri
in
A
(trt
sensul
relo'li
r"i tle
onl,ine datd. de inclu,ziun.e)
.
b\ A este
r:ea mai
micd
m,ullirne' trtchisd
ce
conlin'e A
(in
acelagi
tens)'
c) 0-4
-
{:r
|
-l
(t,,),,.1t,
(1,,),,.5,',,
e
A,
). /
A
perftru
orice
n €
t:t
$I
iirn
z"
=
|i1n
g,,
=
a] .
d) a
e
,{ este
pltnct
d'e acu'mulare
pentru A d'acri'
si
num'ai
dacd
pen'trtL
orica
ueci,nd,tate
1r'o
alui,u auen
(\',,
\
{a})
f
.+IO.
Demonstrutie. Si,
observdm
cb a)
qi h)
s-
obtin
rtua din
cealaita
prin
consrticrarca
complemcntarei.
iar c)
rezulti
dir d"firri1ia
lionti'
rci
iar'rnrl ap'l
ia a)
$i
b)
$i
definiiia
mullimilor
inchise,
respcctiv <leschise.
Punctui
d) cste
o
transcricre
in
termr:ni
dt:
distanld
a
Iroliunii
de
punct
t1e
acumularc
pe dreapta
reali.
Vom denionstra
a5adar
punctul
b).
39
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 42/218
Sli
arirtiin
nrai intii
ci
J esle inchisi.
Fie deci r,
€
,,1
cu
linr 2",
=
;r..
(.tum
,4
= fl
1'' rczulli
din dclinil,ia
rnui{imilor r-nchise
ci deoaiece .r,,
€
1f
Vn.
r
€
a
p,
nlllr
orl.' F
trr,
hr:j
,
u
t
)
.1
illi' ir
./
(
l
*i inirnaliLaLr:a
in
sensui
incluziunii a rnuir,rrrrr
-i
rsrl
rrrr"cjrari:
;rltici.
riaci ar
existzr
B
inchisi.
ct A
C
B
CA,
l)
+
/, mrrllinrea.
B ar
iace
parte
rlill
fa.rrilizL
rlc
ini:hiqi a cXror inl,crscclie
este A, absurd.
a
C.la
o
consecin i.
irncdiatb,
a
propozitiei
preccclcntc
avorrr
urrndtoarele
rczult,ate.
considerate
ca
excrcitiu
util
cit,itorului.
(loRor,AR
1.4.1. Penlru
AC X aue.nt
'{=
{r
E
X
|
3 (r',),,.*,
:t:,
('4
t:tt
lirnz.
=
r:}
(altfel
sTttts,
o.derenla rrTl(:x
mul ,uttt cslc.forntal,d
dtn
lirnilclc
StrtLrtlot-
cu. Lerncn.t
din
acea
m,ulltme).
{-loRoi,^
R
1.4.2.
jr)
.1 C \
,
,lt
tn, hts,J
<=
.1
-
t.
Ll
-l
L
l
''t'
Ll',rhtqn <>
|
-i
S-a
vizui ci
in
cazul
corpului
uumcrclor
re:rie
verjficarea
convergenlei
se
poaLt:
facc
fhri
a cunoaqte
apriori
posibila
lirnitd,,
loiosind
oiteriul
lui
Cauclry. in
lapt
cchiva
lerrl,
cu ir,xioma
Canlor.
Exeniplul
spaliului
nrc|rir:
aJ
nurnerelor
ralionale,
cu disian[a
naturali.,
ara.tE ci, accasti propriol,ate
nu este
valabilS. il
orice spa{iu
rrclric
(un
iiir
de
lumere
ralionalc convergent
la un
numir
ira{iont
cstr:
C)aricby, dar nu este
convergent
in
spa{,itrl
numerelor
ra[ionalc).
I,lstc naturalS.
urmEtoarea
dcfi nitric.
DErtNiTiu.
a)
l)n
$ir
(/"
),,
din
X
se nume5tc gr,r
Cawhg daci
penl.ru
or.ice
e
>
0 exisli l,
a:ti,
i
ir.rt ofl/ar^
ar
h n. tr,
,
u
iv,.m
r-t(.r,
.rnl
.
.
b)
lipaliul
(X.
d)
se
ntimcqto comltlet
<Iacd orice
qir
Oauchy cljl.
conv.rgelrl,.
Cla
qi
il
cazul
rcal
(Propozilia
1.1,1,
Cap.
T), se
arald
ulor
c5.
oric.
Srr
cinrvertenI
es1,e qir
Cauchy.
Ilstc
momentul
de
a
lacc
c'iteva
preciziiri
rclat.iv
la
spa(iile
metrlcc.
pcnlru
intr:lt'gerea
accstora
estc
util
a face apel
la str.ucturile
de
spaliu
mctrjc pe
e
qi
respcctiv
^^
tD
Dacn
(X,
t/) csie
un spaliu
rnctric
atunci,
pell,ru
orir:e
y
q
X,
perechea
(y,
d) esie
Lrn spaliu
n.retric, dar
siruciuriie
cie
convcrgenli
ciiieri.
istfel, riacd
y
nu estc inchisi,
in (X,d).
existi
giruri
(;r"),
convergente,
rn
ey
Vn
€
N
cu lim
r.,
=.r
€.{
_
y.
aqadar
nr:convergenl,c
in
stnrctura
(Y,
d).
Ca un exercitiu
sirnplu,
folosind
l,ropozilia
Ll
si
Propoziiia
1.2. sc
aral,i
cI
o mullirre
/J
a
y
este
deschisi
in
siruclura.
(l/.nl)
<iacd qr
rlurnar
ciacii Lz
-
Y
[^l.r)',
cu lir
descirisi
in (X,
ri), o
proprietale
alaioga lirncj
vaiabiiri
peniru
nrLrilimiie
inchise
ciin
('r',
rl).
in
condi\iiie
cie mai srrs,
o subnruiqrrnc
inchisX
sari dcschisii
in
(Y,
d)
se
va
nu:.:.ri
relet.n
inchisd,
(dt:sr:histi)
tn
y
.
i)EFTNI'frE.
Fie (.X,
D)
irn spa{iu
metric.
-4
C
X se nitnieqte
neconera-
dar:ir
qi
nu_
mai
daci exisi,i
Dl,
D2,
mult
A
c
Dtl)
I)2
qi
,,1n
D1
fl,
,4 se
nurncqtc ortctd
<la
EXEMeLU.
in
orir,c
spal
a
I
b,
ta,'O'1
este ncconexa.
l\'1e i n,,,1rn.",-,,1.
"'
urrnitor,
ij5.
l)uflNrTrn.
F ir: (X,d)
r.
(,4,
d)
estc
spaliu netric
corr
PRoPoztTtA
7
.lt.
Cu
nr
A esle
inchisd.
Dacd
(X,d)
A estc:
cornpleki.
Dorn<.rrslra{,ie.
l)ac5,
(r,
Cauchy
in
(,1,d),
deci
conve
dcfinil,ici.
Pentru
partea
a
doua, fi
metric
complel,.
cxistS"
limz,
I)DFrNrTrn.
Fic
(X,
d1),
a
€
,4/.
llearr:rtui
i
€
]" se n
ditt
.4 cu
,lirn
r",
-
a are
lor
Renrarcdrn
c5.
defilritria
cunoscuti
din
cazul
real.
i
cara.cterizarea
liniitci
in
lirnb
i
r
rrvr
r,/,r
{
11
Lri
pcntru
orrce
e
>
0 e:rzltii
6,
loc
d2(f(r),l)
< e.
Demonsftalie.
.,
=+
"
l)resupuncrn
c5.
exis
d2(i@t),
i)
)
e.
LnYan
6,
=
dar
d2( (x"),1)
)
e, iiqaclar
(
,,c"
-ie
(r,,)"
rrn
5 r
dir
I)eoarece
lim,z,
=
a
existi
dr(f(x"),l)
< e Vn
)
n.,
deci
Pentru
firnclii
cu valori
ir
de e...ist€r 5
a
limitei.
PRopc)zrTlA
1.7.
(Crite
rnclric
complet.
I'te
A
C
X,
a
maz
d,at:d
penlru
orzce
€
>
{J e,
d.2(JQ'),.f(x't))<e.
40
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 43/218
rl
,sr-
ali ii.;j
l
;
,
i
t t't' tt,i::,t,)
1.
1;1
1,,_.';
' ';,.
i.
,rr.
It,t
I
I,:
lr', i
,,:\
i
.
..:.]::
: ,
i
1ir
i,
;
rrL
ljl,,,rllr ii,i:il
lj r
.'I
l. i
.,, ,
r\1,
,,i,,.,,:.
l,i ::
i,it,t
,j
::
I'
i i r,,,,:j,t
: .-
I
.:..
r.,r, ,.
t,,r
i..,
.
,r
i
,l.r
tr
|r:
,r
ii.r.r
,r r
,
r
l,rL ,:
i
,1,.,iri,i I;..1,f,i,.
;i
;17
1
r;,i.iir,.,.r" , ,.l,.jjr
r,,i
L
lrlr
s
lllr,
irri i;..rii
:i
rtL
,.i
,i
r
,
,lrrlrii
'1
:,
,
t1r
:,:
ri':rutir. ... ,
rt
r,,
.
'rLrrrrLrII:II'
l
Lrl,
i
lr,l,,r.
,
.:
I
Itt
t,:ttt
t)tt:l.
I
r,1,'
It',
I
tit.r
t
.
r
';'Jll(41:
i
I.r
li
.
i't.,,.
i,|r'i
,ir,:t. ,.:
rl,r- :j
,l,
L
:,.:
l,L,r
r
,i,,-.
::
ir
.li
,/"lil.,
)
'
I
_
,. . . .
,
.-
i
,
r
I i
.i
,,
ir.
1,,
rli.,..fi;
l,t
r'
Ll
..)
tiir.,iir
ir,,
i I
ii.:.rf.:r l
::
i..tj.t
r
.:..r
,
I
)rrirtr.r_r,
l;rir r,
-
ri
r:-r\tii,,i
jr,,
r:i:11.,ll(it
i
i,
.ri.:
t-,Jn :
it
.\tt,,t
I
,l.iltr, ji:.' tji).:
t) ,1,'
:,rir;,t.-,
':-l
I'r
tItIri Itttr,
;I
a rll,, i
rir
:
ti.rrj
ir,
1,
',
i1,it
i,i,
l,
I
rtr,i.,I
Ii,;r iirtr i
,,i.rl
,
r:l, ti l
,1, ,
r:t:l,
rli1
,t i,,,1,,,
i]irr-ir,r,,i:r
\ i ;
1r r',r'
l.
r,
1,,ii't
It';ti :i ]{
ii .'.. ,..::.l.
,1.,
i,)
).ii "
.,
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 44/218
I)r'tnorrsl
ralie.
..=
'
l'resirfrune[t
ci]
exrsti : :'
{l
a:'jilil
rncr'u Vtr
,.t{ /:., )
<
i ,i:rr
,1:1./i,r',)../(r'ill
'-:
t\|l'grrIr
J',
-
-.'
il
',
.L',,t'i
e
,1. ri
'(r'i,
a)
.:
I
iioliiii
i .ir,
I
ii,,,ar','
,i
i.r,
'r
;
r,,
'
,
lezuila,iirt
rr;.
'
rr
1r
ia
lfl
-lir'r
'r;i
'=
o
raL
dt(.f
(.,,',,j.f(.r'|.|>.
,rliin
cI
qirrrriie
(.it,r'i,il,,
si
ii(;rli
i),
rrir
l'ri1
;tvei l'ee'r[r
lriril
ir
..3"
Iie.r.,'
g.1
n
€
l'J
"i
,,irtrr;'-,
=
a |ir':
>
il
;rt
>
{)
rl;rt rle
lrropozr{i<r
li-rist:i
rr.
a-c1Ii'l
irt(lL
r,, I -lfl
1i1.{rr).
Vrr
,: rr''
r1r'r'i
Vti'ttt
a tt''
,1r17tt,,
1
1f.,,,1t
<
,'
aladar
i.f(.r'")),'
"tii.
1rr
(lairlhr
i'r
)
sp
rirrr
ir'
rtir
'r'in-
1,i.,i.,i,,.i
existi
1-,,irrrr.i(r")
lttc
rt,
€
.'1,
Vrr
cLr
lrrl li'
-
r; lir':' > 0
ir
I
=
nl
].
;\r\iii
/rr
/r1{:)
altllrl
inr:it
r,'.rt',,
;
'\lt,til.fu)
V;t
''.
tt,
'2
;i
existi-i.
r1
-,
n1i.'.)
asllirl
rntrr
d2{/(;:,,)./)
<
'
'itt
); tt2
'\lrrtici
pr:nlrtt
rry rnirx(n ,rr2),
.{.rit(/,,). )'
t 2t,.l(
r:',
)../(
r,l)
i
l:i./i'r',,).1)
<.
-
1-
=
'l'
r
,,1rrrL
,t(.r',
)
-
I E
In
c;rzrrl
parlrcttlar
al
-"pl{irrllri
I{
cu disiall,a
d:rti ilc lrodlti
ptirt d
,'1
'
-ii'
A1
$.
o.
<,
.1.
J
.
.i )
cu
().d)
sfalilr
rrelric
se
l)i-rt
d'rlioi
ltt
o
lrtrriic
l;r1r'rale
plntru
f
l) :l.tlil
f-t)i
l
ic
.f
ca
;rar
srrs
l.
€
sc lrLrt t-ii.
lintlrt
l t trt i
t
t s inqt'
t ltLt
1
in
i
E
V{.r'',),,
qrI
rlin,1.
r,
1
rr
Vl.
riaeri,.111rr,
"
{r atrlilri
,rlrrtr
.l'l.r'))
-
/s
,\ccastii
lirritir
va
li rr'.;l,at;r
1.
=./(o
)
lne
)'s(
nrrrrlrlte
lnrttlc
ltt drrupl,;
t;
lu
itt
n'UV(
."1,,
lillirl
i
r',
>aVrr'
rlar:-r
iirr t',,
r
riutrr:i
lirrr
-l{.r',)
l, .\rr';r:lir
lil;ilii
i;
iri-'lr':rzii
l1-
i
(ri+)'
l)io|i;zi'qitle
f.ii
;i
i
7
rrlrtiiiira'Lr'({)rcipirilzirlor
citrr
i;r
crltlrii
rir
c-':isit'tt1a
a
lii,,ii,'i'i
i"i,:r
aic.
in cazttl
in c;rr.
irrnr'lra.f
ar.
vri.,r
*i1l'
"
1l'
lr
r')l'
i
11"i'lrrrlFir
4r'Lrlrriti
inliniti
iril
I
rlll
pLrll(
L
i)ur'{Ntltr...
i'ir'(,Y.r/)
urr
sfalirr
trrflilc,
/1
C
-t,
.'1'I
0.
o
+.
'\'
./
:
I
-
R
I
arc
[intrLatnli,nl'irta'HY(t,,),,;irclin-' .claci,lirrr
r:,,
--
a atirn(i
,1rrl
l(r'',)
-
x
\rorn
nolr
accsl
lapl
plirr
lrrll
i(r)
-
*-
ljinrjlat
r,rnr tL:lini
1r
linriir
(-ri') 1n o
irr cazrij
lir]ritci
.l:.
IrroPozilia
I il
t:apirlir Ltrr|it0a|r:a
lirrrla,
,1r:ll
onstrirlia
fiind
aae rrir1a1
1):l
1r
llr'I
i
dl1,'
11.
e
r,i
io;ll;'.ii
ilillil
ilil
c;r
rii'L
lli iitil
Pttorlrzllt,r
i l.
irt r:otttitlttit.
titn tlrjirtilrrt
ltrtrttitnlti.
lirn
f(r')
=
*-
doti
rt
tlutrat.
ltL(ii
ptnlra
nrtt:r l1
>
0
r:rrislri I'tt
---
\':
aslJil intil
orrtart
at
li
r:
a
\'
daci'
d(.r.
c)
<
i,11 ttl.tt;ti:t
f(r)
>
\1
.
,1),
{2.
SP-\TII
NOtl\l-{1E: C'
O
<
lasa
irnporiarlta
rlc
:
Dri.t\tlt[.
Fic
I urt
si
norvri
tIL\r,)
,
ilil)
lii,ii -0'+.r
-0i
iN2)
lio'r'll
= lo
il
v
(N3l
.r+vl(
i.r
-l'
Pelechea
(I',
ll
]l)
sr:
rlrr
EliuxlPlt
L
1.
(lR.
1)
5l
PIroPozlf
tA
2.1.
l.td
(
d,t:JinJ,l.a
prin
d(r.
l)
=
l;ir
DetroJrslra{ie.
\rlrifi
.liil
iiiil
iiile',,ii,
d(:r.1)
'-
|
t .(y.r)
=
x
.r
=
i( 1){
rl(z.s)
= llrf -
q
|
-
f,rl
Jinilcl
cotrt
rle
dr:fini(
rerile in
cazul
spaliiloi
nol
lsenrerlea.
(.i:,,),,
este
qit
C
llr"
r,,
il
<
.
DEI.I\rl'tit.
lin
spiitirr
spatiu
Rttn,a:h.
\iorn
plczcnta
irl
contir
E:i
j-t'1t'L'..
L
2.
Spaiiul
r(r'torial
:)c-q[c
]R.
Strtrcturil
c|lc
rrriil
irrroortartte
fiind:
{2 1)
ll;l
,
-
Jfil:
]:r
1-11t
a
lrLl-
=
nur
];
t(,(r
(r
-
(:r1......r,,)e
R").
\irnr
r.erifii
a
proplietli
fiirrC
propuse
ra exelcitill
Fie.,
-
(u1......r,,)
€
ll,ll,=0<+:i:_
t..L
lll;i
;
=.,,/c'1;l
*
*iri.
l.ri3il
:
=
\,ra;'+ ii'
-
tl, li:
+
i1.,rll.:.
rrlt
ima
inegalitat.e
fiind
ecl
(xi+.
+r,r,)(ri
r
"rrl
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 45/218
a)
<
d,
o
tut
iimitS.
da1.
cle
)
n,,
com-
2
rty
pcntru
C
Ii,
lal,erale
a
lui
-
/"
a
ilfinitS.
)
-
oo.
fiind
d.ac'i.
gi
A, dacd
$2.
SPATII
NOR\IATE;
CONVEN,GENTA
UNIFOR\,IA
O clrxl
importaniil
de
spalii
metrice
estc cea a
spaliilor
normate.
DEFINITIE.
Fie V un spatiu vectodal
pcste
lR
sau
C.
O aplir:alie
ll
.
I
se rrumegte
norrLii dac:dl
(_\ij
ii"rl
-
U
d.r
lj
(r
€
i
i,
(NZ)
llarll
=
lo
llzll
Vr
€
L/. Va
€
IR
sau
C;
(Ns)
llz
+
sil
<
il"ll
+
llsllvr,y
e
\'.
Perechea
(V,ll jl)
sc
numeqte
spatiu
rLorrnat.
ExEMILUL
t. (R,
I
l)
qi (C,
I
l)
sint spalii
normate.
PRopozITIA 2.L
Fie
(1,',ll
l))
spaliu
normat.
Atunci,
dacd, d :
y
x
y
-+
lR+
err€
d,efinitii
prin
dft,y)
= lp
yl1,
r,' )
€
V
,
perechea
(V,
d)
este
spatiu metric.
Demonstn\ie. Verificdm ci
tl
este o
distant[
pc
y.
i-,-
^:^-.:-
:,-
-.'
l^r'rl
init-a,ipviir-,
d(-r.Jj
=
i/
gl=0
<-,
t-
=
09i-g.
d(y,r)=lly,r)l=
ll(
r)('
-
y)ll
'Y',
l-
rl
ll,-yl=l)"-all=,](r,ti.
d(c,e)
=
Jlr-zll
=l(o-z)+(z-y)l(ll"-rll
+
l"-all=d(x,z)+d(z,a).
.
Jinind
cont
de definilia
convcrgenlei
qirurilor
intr-un
spatiu metric, a.cca,sta
revine
in
"azr:l
spaliilor
norrnare
la
echiralen(a,Jinr
-.n
+r
"111g
l;",
rl
-
0. Dp
asemenea,
(r")"
este
gir
Cauchy
in
V
<+
Ve
> 0ln. e
N astfel incit
Yn,m)nu,
llr"
*
c-ll <e.
DEFNTTIE.
Un
spatiu normat
complet in
metrica datd
de norml se
numeqre
spatiu Banach.
Vom
prezenta
in
coniinuarc
alic
cxcmple
importante
de
spalii
normate.
Ew.r,D,t"
q
C^^,i,,| lD,-l-- \,^ r lD ; - 1
-l
^.'^,^-'i"
rird\:ui u
-
i'
-
ul "
1n/
vectoda,l
pestc
lR.
Structura
dc spaliu normai
poatc
fi
definitd
prin
rnai
multe norme,
cele lnai importante fiind:
(2.t)
ilzll,
=
\RT :ie
(norma
euclidianS);
llul
I
=
l0rl
+....+lr,l;
llrll-
=
max
lr11
{norma
maximum).
r<i<n
(r
=
(ar,...,r,)
e
R").
Vom vedfica
proprieti
ile normei
pentnr
norma
eucJldianS.,
celelalte
verificiri
fiind
propuse
ca exerciliu.
pisT-
(r1,...,r^)
e
m',
u
=
(yr,...,y^)
€
lR"'.
a €
lR.
llrllr=0<+ri
+'.
+x'),
=0<+rr
=
-:rn=0<+:r=0.
rr^-r tli
-.t
,
=t^:
-
^t
/J--7-l--lI
-,
IJ
2:VdriT
.-r.i.r;
-.uivii- r;n-lG,r,.
ll,
'sl
,
=
'lF
l4
-rT;
r-il<
vti-
--;
',
ulF'
-
n
-
=
llellr
+
llyllz,
ultima iregalitate
fiind
echivalentl,
pril
ridica,re
la pdtrat,
cu incgalitatea
Cauc]ry:
(r'zL
+
.
.
+
r'z")(y?
+
. .
+
al)
)
@tu
i
.
.
*
t
na,)2
.
43
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 46/218
I.ri()r'o7Jlr\
:.1
lR".]
t
))
t:.\ ,.
sIxLtiu.
iJ4no.h
l)t.ut'.tt:r*i,tt'.
f-ie
ir1.
-
{rr.;...
.,r".1')
e
ll"'
(rllil
csri'llil
lir
C'irlrlilr''+
V:
>
l)
lri.
€
Iii
astfel
incit
V rr..i
)
l, e
N.
lluL
rr,ill
{
r'
-\
urri
.i:'.1
i;',']':
l?li
irr
i
,,t
.i.'n:
)
tt.
. dr:,i:i
qirurilc
i.r:,.l.Jr.eN
s[r1
lifui]
Cnucirl"
in
(l{.
)
.afi'
csli'
:rlitlirl
rlr'r:ii.
,,u,,,'l-r.
-tra.],,r
,-.:is,-.r.,,
-
iip
t;,r'
1{i{r
Fir'
't
i:ri
:t
")
i)eoallct
.tr1
1,,^
rr--ri.^
r,
r' +
r',,
l-r;r:ia.'ersiilslrrl;rlirl(ii'l;l
7'r'o
JJellir-ll
k )&
'ralrir'lll,.
l.t'
r1 l'.jt
I
I
l
-:{
faIirrl
cit pc-.ti"
sc
pot- lLciini
IIlai
II|111c
strucLtrli
dc spaliu
lroni al
ou
iIe
irll-,ortarqii
rilrr
liuttctt,l
cie'
votlere
iil
strncturilor
de
coll 'rP,enlii
\i)rYr ;ir-^ta
ili
C'air.
iil.
li-1.
ca
t,
crtltsecinl:i
a
critelt
ittiui cie
cnttlpacilatc
itl
R"
r:i uii
lil
conlcr-
gcrrr
iu
it'."
iltt
tttla
riitrtlc'llorlll('451.e
(r1l\1r1_il_c1ll
irr otitrrl
alta
cl'eci
coltlbru
rr'lor
,l,rrrottattute
irr
ptopozilia
pr
el:ecir:t
l
t
i't
a('asta
revlilc
la
(I)nvclBelltI
i'lr
Ir''lLPilt"irrl
ErLuPLL
L
il. Fie,1
o
ttruilittr:
oaie(rarc
Ei
{ie 6(-{l
-{./:
-1
-
i{.-\1 >
i)
astfi'l
ilrir
i/{.r)
{,11Yr
c
.1} lrluilim{ra
furrr:liiloi
rtt:'ilginitl
pe
-l
6i--{)
a,le
u
.t.,r.,,r.i.,
cle
spaiiLr
\ei.rolial
pcstc
11..
oper.a5iili,fiinrl
rltliritc
rL;rturai
irrir:
(./
|q)(,r:)
-.f(rtrq(.r):
io/)(r')'-a,l1:rl),
r
€.{
n''tr''
p,
..
,
rr
,,
li
lr
l..l-r.rrr
r, ..
,n.
12.2)
,fj
'
:
sut'
l/i'ri
De'lirrriiar'stet'oirsistt.]tti.l.rir'i/r'stcnarginir,ii'siiar.rtii]r]|.i](l,itsia(le1i]]l':li,
,,
',,, 'n;
r,,, Hi
rr
1,,rr.,,1"",,,.,1.r,,.
i/1
.
-
{)
-
sui)ll(r')
l-(:zult;i
/l:r)
tl)
Vr
€
-{
tlcci
f
-
{1.
Prrrtru
o
e
R.
c/i
--
-
supro"l(x)1
-i"::l
/1;r')
=
lrrl
l./
-
iar
pcrittrt
j.g
r.
6(-ll
il'errr
l./
+,
-
=
::l
l/(r')
+a(r)
{
sutr(l.l(e) +
rr{rli){
srlil
/(r)l+
+
sup
q{.r)
-1./i.
-
gi-
"
c.,,,,,pl,,i
it.riii,,,.i
hri
F.
iirii;lir.a
ii;ir[iioii|a
propril]tlte
irn|.ut:lrtir
i1
si]irlill|r
nonrar iij(-ii.
ii
it- ).
l
ttl)RPrlA
'2.2.
Spa{iul
rtonrtat
(E(''\1.1
l-)
c'rlr
sp't[Lu
BetLLu:lt'
Derirr.:lsrrzitio.
Fie
i/,'),,
rtn
iir
Cauchr-
clin
li(-
l).
Fic
:
>
l)'
I)ir
propriel'atca
dc
qir
f
irrclii
e\istarr
€
i\
astfcl
irit:lt
Ytt,
rrt
2n.. f',
"f-]-
<
:
\hrrrrri
deoart'ce
u,,,,irlu
rri,".r
€
J.
ll,,(r)
/-(..)l<ll/,
/,,'l-
rezulti
cii
pcrrrnr c.'ricc
r clin
'i
-i ,rir,
',;.
1
, ;r
i,,
;:r
P
,l,
"i
i:
\utiLl
f(l'J
=
litt
J',,(/),
'lcfil]intl
asrlel
o
firriclier
f
:
'l
-+
R
Ar:iiiirlt
cii
/
cste
'r'i,..llrlli
r
,.4:
J
-J
Fi.r
11
€
l\
;i,t
ri.
pr.)lrrielalea
iie.sii Cau.Sv
aslfel
i'clt
i/,'
-.1',,1
-
<
l
Yn
)rt1
-lLulrrr
/,i
,,..
a1-F
"r,,
i -
=
rr1. dcci
1.f,,(rr)
(-1Vr:
€-{
lllccinri
la
iirniii
pcrrtru
I-
,,
r1
1,/
t\
Fic. >
Ll
5i
rr. c
N asiiei
ilcii
'irt.rn'4rt,
i.i',
/',,1- ..:
il rrL'i
.t. J ., , - lii v/'./// , l'r'r r"ln '
'l
r"'l :t I'r
:
')
V.r
€ -1
ir
Vrr
)
ir..
rlcri
iji,,
I)F.r'tNtLll,
llrr
liI
rl,'
/
: .1
--
R
(laf
r lrrr
.rlf
.i,,
ir+r..r._1
r\qaJar'.
Lrri
1rr
Llirt
Ii1.11
(
a)livarg.ni,
Sir
lrtlrarciliir
ci
[r']
irrcrl
Vrr
':
rr,. srrP
t/,{r')
tre'1
r al,r iir:
./,,
(
r
)
r'ol
ii trr
ri r irt
rru est.
rilriiorntii.
r angrrl,i,'
,.,i
dr'
.r.
rrrtrrrdii
su
rl,
alilcl
l\L\l
P r-;..
l) ll,
./,,
: [t ii
./
[t
-
R,
.I(.r)
=.r
i ,'zi
i
2)
Iric
a
€
(0.
1)
ri
l,
convergerr a
cs1rr
ituiforrrrii
,
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 47/218
V.r
€,4
qi
Vn)n.
drci
ll/,,
/11
1-.
rVn
>r,.
'2'
DEFINITIE. Un
qir
de lunctii
/,
:
,J
-
R se nume{l,e
uniform
r:on.uergent
la
/
:,4
---
R
dacii hm
sup
jJ,(.,1
/1")l
(r
4a,:c
a
€,4
Aqadar, uu
qir din
6(,4)
eslc convergent
io
ll
ll-
dacl
Qi
nurnai
daci
esle
unilbrm
convergent.
SI
remarcim
ci
dcfinilia
precedcntd,
ecbivaleazi
cu Ve
>
0 I n6
€
N ast
fel
incitVn
>
nrJ sup
lk@)-
I@)l
<
e
decj
ace)agi rang
n.
a^sigurE
ciVn>
tu,,Iodl,c
,€A
valorile
/,(r)
vor
fi
in
vecinS.tatea (f@)
-
e.
.f@)
+
e).
in
cazul in
care conyergenta
nu este
uniformi,
rangul
de lar care
/"(r)
e
(/(r)
e,
/(r)
+
e) depinde
atit de
e
c'it
qi
de
r.
notrndu
'e
dc
altlcl i,(r.,r).
ExEMPLril
1)
[ie
/, :R .
R.
t(r) = r+
1.
girul
(/,)",
colvcrgc
unrlbrrr
pe
R
la
/:
R
*
R,
/(r)
=
r
(vezi
l'ig.
2).
I
Va
>
"il)",
neidc
-+
co,
are
in
celor
>
0
de
/
este
n1.
\
2
2)
Fie
a
E
(0,
1)
qi
f,
:
10,
ol
converge[la
este
uniformi
deoarece
Fig.2
,,
R,
/"(r)
=
rn
Arunci
j11/.(z)
=
o
oi
sup
:r"
=
a"
*
0
pentru
n'-,
oo (vezi
Fig.
3).
€[0,
d]
'+5
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 48/218
il)
glrul
/"
:
10,
i)
sup
zn
=
1.
,€lo,
1)
"
\l:'n
r.veiri
asupra
corrceptrlui
de
convergen{i,
u'iforrni
in r:ontexr,ur
stutiicriiIuncIrilor
continue
rn C,ap.
lll.
[3.
SPATII
CU
P&ODUS
SCALAR:
I,OI,INOA]\{E
ORTOC]ONAT,F,
Vbm
introcitcc
acum
o
ciasd
speciaii
cie
spatir
norurate
lrt
care
uorma
cstc
,_j,
itnit6
u
ajutorul
unui
produs
scalar.
.
l)rir^li,lrr,.
.Fic
H
un
spaliu
v.,.r,oriai
reai.
;ic
11xp11nsp
prorju,
sr\lar
in
il
o
L/ncfreP
Hxll
_
R.r
,ropri.ra(il,
(Pl)u
P(a,
r)
)
0Vx
e
II
qi
p(2,
r)
=
0
<+;z
=
0.
(P2)n
P(2,
y)
=
F(y,
r)
yr,s
€
ii.
(PJ)n
P(oa,
i/)
=
aP(a,
y)
Vr, y
€
r/,
V.y
€
R.
{P4ju
i,{r
I
:,
y)
-
I,(r,.\
+
?(z,a)ye,.J,z
q
lJ.
ln.,.ot:,.
tn ca.re
7
{:
lr
rpi(iu
- .e-lorial
cr6p .1
n.,.rrr
p
x
,g -
C.
i.)ro
3i[ ]ltl']l.ll,1l?"u1,'"n'"
se
rormureazi';l"iG;;;;
o
e
L
in
cazur
(e:)o),
Fig.
3
*
[t,
,f"
(r)
=
e"
tinde
la
zero
neunifbrm.
EXEMPLE.
1)
Dacdz=
(xr,..
.
,r,
defineqte
un
produs
scalar
r
2)
Dacit i
=
(2t,...,
zo'
defineqte
ua
produs
scalar
cr
3)
Fie
cp
([a,
b])
=
{/
:
b
<f,o>Y
lf@)o@)a,.s
Cp([a,
i]).
In
cele
ce
urmea
se va
nota
C([a,
b]).
1)
Fie
p
:
[a,b]
-+
tR
o
Pentru
f,9
e
C([a,
b])
definir
scalar pe
C([o,
b])
numit pror
PRopoziTlA
8.1.
(inega
compler
1
,
>. Atunci,
pent
(3.2)J<z,y>l(fE
Demonstraiie.
Pentru
<
Presupunem
< z,g
>10.
At
0(
<
r
-
.\y,c
-.\z
y=
=<
r,0
>
Fie
)
=
rL1
s,q
:_1.
.,,
<x,y>
ObservS.m
cd,
l,\1, =
p
61
<
r,x
>
_2i
prin
urmare
discriminantul
tr
rezult5'
I
Inegalitatea
este evident
stratria
simpiificindu-se:
0S
<
O
corsecinli
impoitanti
cu
ajutorul
unui
produs
scala,r
PRopozrTrA
3.2.
Fie
(H,
(8.3)
llu ll
ds
v<r,';
d.efineqte
o normd, pe
E
.
D
emonstr
atie. (Nl)
rezult
llarll
=
y'<
0.r,or
>
=
v
Pentiu
a verifica
(N3)
folc
V<
x
+ U,r
+y
>
(
i/<.r
+2^/1f
r
><
y4-y
<
y,y
adevdratd
conform (3.2)
deoar,
deoatece
(P2)o
P(r,
g)
-
F( iE
(.,,njugarc
complex{),
yx,
y
e
H .
Prodrrsul
scalar
P(r,
y)
va
mai
fi
lotat prin
p(2,
9)
=
< r,
y>
sau
l,(c,
y)
i.pri::rt"
sirnplu
de
observat
cd
ln
cazul
spaliilor
vcctoriale
complexe,
(p2)o
(3.i)
P(e,riy)
-
dp(r,y)
Va
€
C,
Vr,y
e
11.
=
{a,
y).
qi
(P:l).
46
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 49/218
ExEMPLE.
1) Dacd
z
:
(rt,..-,r")
Ei
=
(Ar...,y")
€
lRn,
<
t,t
)=
srgr
+
..+r,1 tn
defineqte
un
produs
scalar
real
pe
R".
o\n-^.< -'
,-
^\,^t
a- . c
tL(-a,';i.-,,r t...-,r
) u&d.
- l-1.
.,.D/
\\r''...5n,
\
\
:.\
/-
.i\l
|
-
, a
defineqte
un
produs
scalar
complex
pe
C'.
3) Fie C6([o,
b])
- {f
:
la,bl
-+
1R,
/
continui}. Pcntru
J
qi
e
in C6(la,
bl), fie
b
<
f,
s
>ej
I f
Q)n@Ar.
Se
veriticl
usor
cd
<
l,
g
>
este
un
produs
scalar real
pe
.t'
CR(la,
b]).
ir..lu..
urmeizX, cind
nu existi
posibilitatea
unor confuzii,
C6(lrl,b])
se va
nota C(lo, b]).
4)
Fie
p:
[a,b]
+
lR
o
funclie continuibcu
proprietatea
p(t)
>
0Vr
e
(a,b).
Penrru
f,9
e
C([a,b)) definin
<
f
,s
>
o'E:
I
l@ln,rrolior.
Se
obline
un
produs
scalar
pe
C([a, bl)
numit
produsul
scala,
.,t
ffnndere
p.
PRopoziTrA
3.1.
(inegalitatea
lui
Schwarz) Fi.e H un spatiu cu
protiusul
scalar
compler
<
,
>.
Atunci,
pentru
orice r,y
€
H
(3.2)
I
<
r,s
>
I<{<rirt{<yiu
>.
Demonstratie.
Pentru
<
r,g
>-
0,
(3.2)
estc
evident adevdratd conform
(P1).
Presupunem
<
r,g
>+
0.
Atunci, pentru
)
€
C arbitrar
are
loc
0(
<
:r-)y,:r
-
\y
>--<r,y
>
-\<y,r> -\<r,11
>
+l\12
<
a,y
>=
=<
ir,r
>
-2Re()
<
r,u
>)
+
l\1"
<
y,a
>
.
.--",.']
fiq
|= 1r-:-:jl-:-r. cu
t
C
[t
oarecare.
<r.u>
Obsen'dm
c:
1,I12
-
/2
iar
inegal.itat"a
pr"ece.lenla
.nnrlr:cp
Ia
<r,r>
2tl<r,y
>
4t2
<g,y>
>0Vt€R,
prin
urmare discriminantul
trinomului trebuie
sX fie
negaiiv
(< y,
g
>
>
0)
q; (3.2)
rezultd-
I
Inegalitatea
este
evident adcvdrate
qi
in
cazul produselor
scalare
reale,
demon-
stralia
simpiificindu-se:
0{
<
a-ty,r
iy
>
Vt
€
R
conduce direct
ia
rezultat.
O
consecin{d
impoitantd
a
inegalii5{ii
lui
Schwerrz este
posibilitatea
de a defini
cu
ajutorul
unui
produs
scalar
o normd
qi
deci o distantS.
PRopozITIA
3.2. Fie
(H,<,
>)
un
spaliu cu
prod,us
scalar. Pentra
x
€
H
(a.e)
llrll
dg
J<r,r>
d,efineqte o normd.
pe
H
.
Demonstratie.
(N1)
rezulti
direct
din
(P1).
,i_
lloJli
=
V<
al.u
>r
Viul
<
-f."i
>-.o
F
iii
i-\..;/
csie vtsirniraia.
Pentru a verifica
(N3)
folosim
(3.2)
'/<
tf
a:r
I
y>
<
/<
cl
>
+,r<t,i-
<+<
r
+
y,:t
+
I
>
<
<
r,
r
>
+
+2\R
r,r
><
aiu
>+
<
a,y
>c
Re
<
r,
g
>
<
\Fiit<t,n>,
inegalitate
adeviratd conform
(3.2)
deoa.rece
Re
<
e,y
>
(
|
<
",g
>
l.
I
17
0
pro-
c)
47
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 50/218
iar
lllll,
=
ftxDMPLE.
1)
llcl
,
=
\R-.
T7,provine
diu
produsul
scalar .
",
rt
=
f
trr,.
2)
l1/ll,
-
^
i 7
tft'lt'u*
esle norma
definiti
de
produsul
scalar
<,>
pe
C(la,
0l)
\;
I
v{')r'r\,)0,
d aci.
I
€
-'('-;)+j
d'cn"e
Fie
/
:
[0,1]
-+@
t
Deoa.rece
ll/,,
-
flli
<;
apa,rline
lui C(10,
1l).
Degi
nu sint
spa{ii Hi
subspalii
(neinchise)
ale
u
L2o(@,b))
vor
fi
definite int
O
noliune
importanti
DEFTNTTTE.
ru
(tl,
61
se
numesc ortogonak
dac\
oftogonal
dacla
(qi,po)
:
este
ortogonal
gi,
in
plus,
I
EXEMPLU.
Sistemul
(C[-r,
r]),
<, >).
(exercili
PRoPozITh
3.4. Do
a
ectori
liniar
independenli.
Demonstra$ie.
Fie a1y
"rllW,ll',
deci c1
=
I
qi
sir
Vom demonstra
acum
obline
un
qir
ortogonal.
TEoREMA
3.5.
(Proc
gir
d,e
uutori
liniar indepet
tn
H
astJel tnctt:
l)p"=anht..-+
l)
f.=baw+...+
II
spatii
vecto
ale
ier
pini
la un semn.
Deannstra$ie.
Fie
91
,
Fie
gz
= 7,
-
17r'*r1
independenti.
Definim
tp2
1) este
indeplinitS,.
De asemenea,
/2
=
ll9
este
norrna
definiii
de
produsul scalar
<,>,
pe C:([o, 6]).
DEFTNITIE.
Un
spatiu
vectorial cu
produs
scalar, cornplel
in
norma definiti de
produsul
scalar se numeqte s?atrxu
llilbert.
Confbrm
ProprietXtii
2.2
qi
exempluhri
I
precedent,
(R",
<,>)
cstc spaliu
Hilbert.
pRoprlzrrrA
3 :l /a/10 ll\
-
>\ n"
est,
'nnttn
llilhert
Demonstralrie. Este suficieoi si
gXsinr
un
qir
din C([0,1])
care si fie Cauchy dar
care si nu conveargl. in
ll
ll,
la
un
elenent din
C([0,
1]).
Acest
lir
este
n21.
daca J e
Fig. 4
L
Este usor
de
observat cd
ll/"+p
-
/,
13
<
,,"-
Vn
)
1,
Vp
)
1 deci
(/,)"
qir Cauchy
in
ll
llz.
/"(') -
{i
r I 1l
fo
,
t")
rl I I lr
lrl
lz z z'zl'
11 1 r
lr+r'tl
48
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 51/218
C'([a, i])
C(lo,
6l)
.
de
H
ilbert.
dar
Fie
/
:
f0,
1l
-+
R,
dacl
z
€
dacd r
=
dacl r
€
)
Dmarece
ll/, -
flli <
^*V,
>
r"
rczulrd
ca
tim
/^
=
/
rn
ll Lz
$i
evidcnt
/
nu
z"
aparline
lui
C(10,11). I
Degi
nu sint spalii Hilbert,
(C([a,b]),<,>) qi
in
general (C([o,b]),<,>r)
sint
subspa{ii
(neinchise)
ale unor spa{ii Hilbert.
Acestea,
notate tr2([a.b]),
respectiv
L]((a,b)) vor
fi
definite
intr-un
capitol
viiior.
O
noliune importantd, legatd de
produsul
scalar este cea de ortogonalitate.
DEFINITIE. Fie
(,lI, (,
))
un
spaliu
cu
produs
scalar.
Vectorii
renuii
/
qi
9
din
ll
se rumesc ortogonali
dacl
(/,9)
=
0. Sistemul de vectori
nenuli
(rp1);67
se numeqte
ortogonal dac6
(pi,pt)
:
0
Vk
+
j.
Sistemul
(9;);67
se
numeqte
ortononnal
dace
este
odogonal
qi,
in
plus,
l]91]l
=7Vi€L
EXEMPLU. Sistemul
1,sinc,cosr,...,sinnr,cosnc,...
este
ortogoDal
in
(Cl-r,
rl, <, >).
(exerciliu)
PRoPozITTA
3.4.
Dacd,
(pi)id
este un si,stem
ortogonal,
atunci el constd, din
uectori
liniar i.ndependenli.
Demonstratie. Fie o1,p;,
*.
.
,*n6p1o
=
0.
Atunci
0
=
(a1pi1+...+akg1*,pt)
=
arllpall',
deci o1
=Q
qi
similar rezultd oz:...=ok=0. I
Vom demonsiia acum
.a
din oiicc
iii
d|
vectori
liniirr
indcpcndcnli
5e
pcotc
obtine un
qfu
ortogonal-
TEoREMA
3.5.
(Procedeul
de ortogonaliza.re Gramm-Sctrmidt)
Fie
(1.\,,>t
un
gir
de aectori li.niar independ.enli. d,l.n
(H,(,)).
Atu.nci
eri.std.
(p").
""
€ir
ortonormal
in
II astfel tnctt:
1)
p.
:
a"rft
+'..
+
annfn,
Yn,
2
l,
cu
a^.
I
0;
?)
f"=o"trr+...+b..Lp.,Vn2I,
cu
b""
7
0.
Irr
spa{ii
vectoriale reale,
9,
in condiliile
precedente
este
definit, Vn
)
1, urric
pini
la un
semn.
'i
DeutttusLrat ie. Fie91
-
-1'.
(ll/,i
/0V,i
)
i
,Jin
conJilia
J.
indcpcndenl;i).
I
ltl ll
Fie
gz
=
7"-17r,r1)p1.
Atunci
(lz,pt)
=
0
qi
Sz I
0 deoarece
/i
gi
12
sint
Iiniar
I
.
1
tJz,p
\
independenii.
Definim
p2
=
,r^n,
.{tunci
.p2
=
;1,J,
-
,ffii,llf
t
5i
condilia
t) esLe
indepti ita.
De
asemenea,
fz= llszllqz
+
(fz,pt)q
dcci
qi
2)
este
satisfiruti.
[:
Ilr):
l;
I'
f 1\
I
t
/1
I
t-.1t
\2 I
este
49
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 52/218
Presupunem
corsiruili
9t,...,tP.
satisfdcind
1)
$i
2)
qi
{9r,"
,'/"}
sistem
ortonormal.
Fie
gn+1
=
f,.+t
-
l$.+r,vi)tp7.
Atunci
(s.+i,p*)
=
0,
1
<
,4
(
n,
9,+r I
0
din
coldilia
1)
qi
din
liniar
independcrrla
girului
(l',)'
Definim
i
9"11
=;j
uo"+r'
Atunci
llg'+rl
=
7'
(9"+t,9r')
-0,
1(
'b
(
nEi
llgn+r
I
1,,+r
=
llg'+'llp'+r
+
t(./"+r'pi)Pj,
deci
2) este satisfecut5"
j=\
,t
'
t
f---1
,t,f.-r.st\Lat,ir.
rezultind
I).
,,,
'-
lls,_,1,','-'
hl""
,,
,
,
Aqatlar,
girul
(rp,),
se construiestc
rccurent
cu
proprietSlile dorite
DemolstrS;n
unicitatea
pini
la
un
semn.
Fie
(1")" un
qir
ortonormal
llqr,,
|
=
t,
rezult5
all
=
*llril,
alegere.
Atunci
ql2
=
alth +
a ""f2
=
alxllflg1
a\2(b2191 *
bzzqz)
=
"'r'tllf,llPt+
I
al2rh2ytltl
*
at22b2292-
-b"nu."."
(,l,r,rii
-
0
si
llr/'tll
=
1
rezultS'
olrli/'il
+
a 22b21
-
0'
deci
rl:
-
=
aLzlnzgz
Ei
dnr 1
=
llN)21
=
lei2b22l11qrll
=
lat22hzzl
reniLd
n 22b22
=
*1,
dcci
R"aiionlnd
in
continuare
in
acelaqi
fcl oblinem
rczultatul
anunlat'
E
DEFTNITIE.
Polinoamclc
oblinute
prin
ortogonalizarea
qirului
1,r,n2,
-'r','''
fu
(C(la,b)\,
<.>
r)
se
nurnesc
polinoame ortlgonale'
Exsiv'tpru
Dacii
[4,
b]
=
[-1'
1]
qi p(t)
=
1
v:r
e
[
1'
11 se
obli]r
polinoame
ortogonale
numi'r'e
poii,noame Leg
enrJ
re
(i7
85)
PRoPozr'flA
3.6.
Polinoamele
Le"oendte
au
forma
P"1.r1
=
-i,
L:it"
-
',f'.
nn
Dernonstlatie.
Se
aratS
(excrci(iu)
ca
/.(r) =
:-l'-lt'"
-
1)"1
slnt
polinoame dc
. _
11
grao
r,
\r
ca
J-r
Jn\L)Jk\ttut
-
i)Yn
I
k'
r
"
oil
teoiJra 3.5
rczult5
uEor
urmitoiuelc
propriet'i{i
ale
polinoamelor
ortogo-
nale.
PRoPozITIA
3.7
Fie'
(Q;"
un
6ir
d'e
polinoame
oblinut
pri'n
ot
togonali'zarea
giruluii,r,r2,....:t:",...
i','o
(C([a,b]),<,>)
conform
Teore,mci
S
S
Aturt'ci:
t)
Q,Q) -
annr"
+
...
+
anrr +
ano,
a,,n
f
0 deci
gtNl
Q,,
=
n;
z;
r"
=
b,,sgs1r)
+
..
+
b".Q"Q).
b""
I
0' ri
e
N;
S.\<"j.Q,:
r=-O
V.i
=
0,1,.
.
.,
n-1,
d,ecitn
general<
P,Q->p=
0VP €
RlXl'
graci P
<
n.
Dcmonstra[ie.
1)
qi
2)
sint
sirnp]e
adaptS,ri
ale
proprietf,lilor
1)
qi
2) enunlate
in
cu
proprietdlile 1)
qi
2). Deoarece
ti1
-
a\1f1,
deci
/r
=
:l91.
Sd
ludm
4ir
-
V,l
peniru
a face o
Teorema
3.5
iar
3)
rezulti
fol<
$4,
MULTIMI
COMPACTE
in cazul
numerelor
reale,
este
lema Bolzano-Cesaro.
In
rezultai este
cea
de compacita
DEFINITIE.
Fie
(X,
d) un
din
orice
qir
(e")"
din,4
se
pc
O
consecinli
imediaii
a
<
PRoPoztTIA
4.7. Dacd A
Demonstra{.ie.
Daci,
prl
rn
e
A,
n
€
N
cu
"lim
d(c,r
cu limita a
€
,4 am
avea oo
=
Pentru a
demonsira
c5, .4
Dar
(a")"
a,te
un subqir conver
Lema
Bolzano-Cesaro
afi
t
din R
este compactd.
daci
gi
urmiiorul
rezultat
general-
TEoREMA
4.2.
(Bolzano
pacld,
dacd
gi
namai
dacd
es
Demonstratie.
,,+"
este demonstrati
in
,,+"
Fie
u;
=
(r1,s,..
-
,
incit
llurll,
<
M Vt
>
0. I
Vft
)
0
si
lema Bolzano-Cesz
convcrgPnt
Fie
rl1
=
1im
.r1,
J_OO
Extragem
apoi un
sirbq
pini
cind obiinem
un subQir
xr,r2,...
r,. In acela{i
fel
"lllg
"*-
=
(c1,
. .
.
r,,)
Bt
rl
Urmitoa,rea
teoremS,
pre
toate spaliile metrice.
-
TEoREMA
4.3.
(Hausd
cornpacli e
ljAe
e cornpleld
gi
2)Ve>03x1,...,xp.
50
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 53/218
o
i
g
It
\1U,
lllil
(
o\il'A(_ i
1.-
,a
ti':.t
lll
\'1i.'i ir
l(
l:
lrr
razrrl
lrrrr,
r'r'iol
rcal..
rinil
rlirrtrc
proqrriltiililc
deciirsl
rlin ariiorra ilri
(
iurt.ir'
cstc
lrrra
Ilo[zal]o Li-'sirto.
ll
(azlrls])aliil(Jr
lrretlicc
noliLrnt,a
catc
cotcspurrde
accsLur
r'/llllal
est.
rra
rl,:' lr,,irrlriicilaii'. iulrorlusa
irr
urrriitoarr..a dcfinilie.
l)LiilNiltL
fii,
(-Y.rl)
un
si)a ir
rrltricl;i .1
C,Y
-i
se nunrr)i1(' r-or;rl;arli rlar:i
riin
oricc
5ir
i;r',,
i,,
riin
-i
si
l)oa1e
e\iriU.
rrr
-suLr:{ir
(r)rlcrAcni.
cu
iiniiia
Lil
-i.
(,t.
r'-
.
r,
trLrrr
,., l
.tir
-,
1r,.
,..:r,.jfir,.vi.,l
l)lopo2tjft,\
1
|.
l)ui:ti
-1
a
,\, .r/.
tLtuLpLtr:li. nlun t.\
(:sl{
inrhrsi
1t
tnit'uir 1.i.
I)errorrslra1r'
l)ari prirr
al)sur(i,
tr
n r
ar li rr; Airriti. ar
o.isl;r
r
a
,1.
\r
r,,
€.'1.
r
€
N cLr,,lirl d{o..r,,)
-
:..
i,rtriiBird
dir
(.r,,.1,,
.iirLtl
r
on','r'rglrtl
(.r;,,1,,
crr
linrila,r
e,1
anr
avt:a,,:.
-,,11'].
(l(d.r'r.-)
-
dia..r). absLrrd
Penttrr a denrorrsira cir ,1 estr tnrhisri.
1ie
1.r',,),,
irrr
iir
(lin
-,1
cn,,]il-r,;r'"
.
.r'9,1
l)ar
(.1,,)n are
rrn
srrLlrl
convergt:iri
cr
lirrit;r;n
{.
deii
;r
€
.1
qi
-4
rezrrllii
rnclrisir
S
l,r'nr;r
l}rlz;rn,r
(
les;iro
aliltrrzi
cii rrr
R
r:'ste aale\:irall
si
lcciplora. dt:ct
,r
rtrLrlllrrr,'
riiri
[t
esr.e cornpactn
dacii
1i
nuririii
dac;i,:rslc irrchisl
qr
nrilrgiriti.
Arl
lL;r'clri;rl
rrrrrrAtoruI r',rzr
lL a t
qeneral
l
h.oRi.,v,\
i.2
ilirlzatrir
\\'t,I,rslr'rrss)
(,]
srrlr,rrlflrir
-i
d;n
iR''.,
j1;
rrlr r4l
pnriit
rlat
i
1r
auntut dat
ti
eslr inrltrri
1t
ntrir'(til).t i
I)rrrrorsl ra
Irl
..+
.str
(lonrcnstralir
ln Propozilia
'll
..+
, ii til
-
(.i,
,
"",,
,.)
e
-1.
i
i
ll
-l
liirrd
marginilr'i
,'xi,:li".
l'1 r: ll it:1fi
l
ru.it
rlLl
2 <
,i/ Vi
>
{l L}in
rlerrrorrst
r:r(ia
i'r'opozi(iei
2) trtulti
r:ri
.r,
^l
:-
.i/
V[
;
1)
1i
lrnra l],rlzauo
(
esa(r
ircInri1c
sii
{
xlrlAerrr
rlrr
(.r
1.)r.
tti
sttbqir
(,;1
r-,1.
.(,rvrrl1r,'r1 I. e.r:r
=
lirrr
r',.'-,.
t.r
Fi
tra4ein
api,i itit sribS'i
.{)ii (iiA(-Dl rlir (,r2;,)1 iit
liiiiila
;i:
:
r
,'rrt
iL,'l
prli
cild oblircrrr
un suir:iir
iut."),,,
al
(rir)ten
alc
cinri
corlrpi-rnr:r1e
cl)l11tg
.il,r1
irt..r'?,... .r),. ln
ar:r-le5i
fil
cu
r
rlertlorrsft:r(ia Progrozi{ici
2.2 ft:zult:i atrnci
.r
ri,y,
,,,
-
/r.
"
l'{l' ,,;,, I 1...i
I
li;.,t ,."1.;.i ,,.
.1
t
,,:ti,'^-
l,'rrrriroarea ter,renri
irrezillii
o
(ara(
L(:'rilall
a rrrLrllirnilol
con)i)act{r v:rlal;riir
rrr
loat. spatiilf i .1
ri(..
i-t
tr.t.tlt 1
.,
rii;.r,-
i
'r"7
i. ,'-
1tt
-,.t|.
ltt 1.t.
\,
I
r. 1
..
'i(1)r'erra:1
;
r;ri
;JJ
rpllrlti l"oioslrrJ
lJ
1i
ptolrricLatr
l iil r-'r'l
ogorrali'"alc
entpa(ii
t)
1)
,1, csLc
tttrrtyk: o
gt
2)
V. >
0
i r1..
..t,,.
€
.\
tulJci
incil
:\
C
B.
{
rr.)
(ia'
s
il
iir
|).
U
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 54/218
(Proprietatca dc
la
2) senumcqtclolalrndrginirc;rr,...rp"sespuneciforrneazi
o
e-re[ea).
Itt ItrLtbLt d\tc
,,+"
['ie
(r.).
ua
qir
C)auc]ry
in,,1. ,4
fiind
comt:act6, existi
(r:r.-).
subsir al
(.',,),,
.r
,JTr.
.tt,"
-
)'. A.
Ar5.ti.m cX, Lt"
=
r.
'ie
e
>
0
qi
n. astlel incil d(r,,r",) <
1Yn,m2
u,.
Fie
l; )
n.
astfel
irlcit d(r1,.2)
<
f.
etun.i,
dacd
n)
n,-,
d(.r",r) < d(r,,,x1,)+
2'',
*d(r;,,
r)
<
€
(se
tenarci
similitudinea
cu demonstraiia
criteriului
dc convergenlE,
al lui
(,'auchy
pentru
qiruri
din R). Prin
urmarc.
-4
rezulti compief,e.
l)euronslr6,m acum
proprielatea
2).
tie e
> 0
qi
r:1
€
A.
Daci
d(c1,r.)
<
e
Vr
€
,4,
proprietatea
este
dernonstrati.
Dac
nu. fre
rz
€
A
astfel
incit
d(x1,x2)
)
e.
Dac5,
Vr
€
A,
d(r,11)
<
e sau d(;r:,12)
<
E
proprietatea
este
demonstrat5.
I)ac[
nu, fie 13
€,4
astlel
incit d(r1,13)
)
e
qi
d(r:,ra)
)
e. Reluim
ra{ionarrrentrrl.
Deer
""^,..',1
,lrni,,n nrmrr 6nit,-1.
^""i ", ^l't;.. ',',.,r
ir \ ni^
,l
\i
\r
t/n
vrri ri
carc
nu
poate
contine
nici
utr subqir convergcnt, deoarece
d(r.,r-)
].
eVn,m) 7.
Aceasta
contrazice
fapiul
c5,1 este
compactS.
,,e"
l'ic (r"),,
un
qir
din
,4.
\rom
deduce c5,
are un
subqir convcrgcnt
con
struind
un
subqir
Cauchy
pe
baza
proprietd,lii
2).
subgir
convcrgcnt in ,,{
datoritit
proprietiliJ
1).
Fic
e
-
1. Acoperim
1ic
I cu un nurn;r
linit
dc bilc
de razl 1.
Una
dintre
elc,
Ut,
contiire o submul{irne
inlinitd
z1
de
termeni
ai
qirului.
Fie c",
€
,1i1. Fie
I'
.
-
Acol,crim
pe,4
cu
r)n nrrmir
lrnit
dc
bile de raza
I
Una
din
cle,
U2.
r'un(inc
2
2-
o
subrnultime infiliti i-lz de
trermcni
din
z-1. Fie
a^-,
€
Ez,
n2
)
a1.
Continuim
procedcrrl
oblinind
qirul
dc mullimi
Et
)
Ez
..
)
8,"
1
..
Ibrmate
din
ternreni
ai
sirulrrj
li
subqirul (o"*)1.*, o,,.
e
Er
C
Q,
unde
Lir
=
Il1(r:s)
Deoarece
.)
tt,,r*,
€
E4.,0
C
Et
1yu,
avem
d{u,,,*n,on.)<
d(xr,d,*)
<
i
<
e, V}
},t(e)qi
Yp)
1.
I
in
continuare
pre?ertirn
o
nouir, defini{ie
ir compaciti(ii
care,
clcqi coincide
cu
cca
dati anlerior
in
cazul
spaliilor metricc,
tr)ermite
puncrca
in
eviden 6 a
unor
noi
proprietili
legai,e
de compacitai,e.
I)EFINTTIE. 'a"miJia
(Gr),i6r
de
p5.r i
ale
mulqimii
S se
numcqte
aco?erire
a
lul.
nrcl{F..ttc.
ieI
O
acoperirc
se nulleqte
fi.nrtd,
d,acE"
famiiia
(G1);67
consti dintr
un
numir
finit
de
su
brnu
ltirni.
l)EFlNflrE.
Fie
(X.d)
un spaliu
rnei,ric.
.4
C
X se
numclte
cornpactd
prin
acopertre claci,
din
orice
acoperire cu mullimi
deschise
a
lui
,4 se
poate
cxtra.ge
o
suba.coperirc 6lit5,.
ExRMeLU.
Oricc
mullime linitE din
R este compactd
prin
acoperire.
Dr:oarece R
=
U
(i-1,
k+i)
qi
orice subacoporire
finitd
cste
mirgiliti.
deducern
ltaZ
,
i R nrt eSr,
,
ornpa(ls
I'rtn
a.op.flr(.
PRoPozITIA
4.4
A eele
Jarntle
d.e
mullimi
rc'lalia
inchi
n4,-o
Demonstlalie
,,+"nr'=0€c(nF,
i€i
iel
F1
este
mullime
rclativ
inchis
,,1
c U
C4. CE
este
o multime
ieI
acopcrirc,
rezultS,
existenta
4
P,P
=,4nnI{,=flFi,
,,e"
Fie
,4
c
U
G; <+
0
;eI
i€.,
relativ
inchisi
in
-4
Pentru
ori
atunci,4
C
G;,
U
UG;"
CoRoLAR
4.4.L.
Fie
A t
un
gir
d,escrescdlor
de
mulim
cu Fno
=
fl.
Demonstralie,
Dac6'
Fn
deci
I
F"10.
n>o
TEoREMA
4.5.
Fie
(X,'
acopertre
dacd.
gi
numai
dacd
Demonstra$ie
.
,,+"
Fie
(r")"
un
qir
dit
Atunci
F.11
C
F"
Vn
)
0
€
n(F"
n,{)
<+
o
€
F"
n,4
1
Lu5,me"=1qifiet")nas
n
,,€"
Fie A
c
U
Gi,
Gi
j€r
Vc
€
,4 I
i(r) astfel
incit
B.(
intr-adevlr,
daci
nu
ar
orice
i,
B:(an)
I
Gi.
Sirul
[J
G;,
deci
3
i6 astfel
incit
c
ieI
rezult;.
B- (ol")
C
B.(o)
C
B"(r)
c
Gi".'Dirr
Teorema
4.3
52
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 55/218
al
)t;
tt.
I
i
< :
):
i)
|
(,i
i]l
;.
1
1,n
i
iie
aLi
1lnit
1r
in
rr
rr
rr
r
i'tot,r)zl
il.r
Irtttl,
ii
rntrilt;i'r
ar /',
,il
I l.
-i
r';' tirliti.;() iti
t'tttt
,t,t,t',
r'tir lt'i
1i
,trtttt;tt rittr';
lt.l t,r1
t,lnltt it)ti)t-,
,;,
.\,
t',t',i
,\
i
til:
rt,ir , i,
a;ll,iitt,ti
I)i,lir,/jsr r,rIi
'r
|
'
I
-
i
J
l.,.
,,.r,1,1, rr',
i;ri'
lr
llirrrl iri .i lJ(olircf.
.tl
,(l
ti
a
/,
esrr llr r.ir,Ll
rpj;rlrl ri,iiri:i
i l.
r',tiiir,r' t;;r-tiir::
rrr
'
l:
-
1|- 1,. . 'trrrrrl
.1
a
l,.l
C/,
f,ti,,r:i,
'rr),,rlLir],
(|:schr:;r;i rirrrlrirri,:ir'rrr:r';riLri
.l,lr';,
,rr1
, i
t,r
rL
i
.,
).1'rli'.
,r
.,.;
rii
.i
ali
ij'illr'r
l
<
1,,'.i(
-l
(i,.)
ili-li-lC(,',) l),
,a.,t,
f
nia;..,
/,
i'srr o,rrrri',':r,'
,at
,t_i
r'rllllr
riJ(irisi
tii
.l
li,,i
Ll,r
lr
(t
r.
-\r.r
i
r
1
,1^1[',
'- 1^1Cf
,-.
,.
1l
.:
rl
,rr'
-,'
|
L\,,
'
i€
('oRoLAit
i I i
':r
1,
,,,t:ti't,iir
t,t;it
u(r't,,rlrr
ft
11.
)
I
I
-)
1,,
)
lnt
ti
ilt:;tri:,rii,t
,lt
,,
lti1,rtt
r,i,trt
ttt,ltt't
,irtr
-1
r r,
il
I
.,
lt.
'iu't,,
,.',:':,,
r',
,r)rrloirsirair'.
i)'rlll
/,
I
fl
lrrr:"zrr ,'r..i,,i1,(
lr
i{rsr' lir lrrlriii
el il
rtlrrrli.
,1,-L
l-1
1,,
*
i,
Si
'l
lloti.li,
i i a|
i\
rii ;r;
'r;irr;
rrr,i.lJ
fi
.-i
(
-\.
1
t'i.
tt),):r':tlti
:)iit)
tttuljtttr'(
tlttij
1t
nttttt ltrr,t
.1,
rslt
,t,nittati11.
ii, rrrrisrl,
i:i'
)
i
i(,
i.r.,
j.
11
i;r
ilr'
.i
l
-
--
L,,r
-
, ,,
ii
,i
ir,,trirl..rlrl
.\tLrLct
1,,11
C
L
it'
.
\1
,;:
i,
f'y
i
f
ti
Irr L:,rr
ilii
,
i-1.1i
;,
ii
ir,
,,
i:
e
nl
f,,fl-1r
;:
ii
t-
i
:,l'
1
,',r
.:. r
i:
r,: Y.
.,.r
ll,iali-]1,,,
r,,r, i;
r/V,,
[.rriirr.,,
]
..
li,
t',,
j:
r
,rsii,
ir.ii
r
:
li:1ol
'\,1
LLr
li.
r'virlr':ri
,rr
r
t.
...
lit
- a
tj
(;,.
l;
ir,1 r ,
-",
IiIjIitII-'rliaiI1r
iit r'\r-{l:r:
i
L-llrlr
l
i€
I
lrtlr arl,.lai
Ll;rrii rtrr
:Li
lr
:r.'1.
i'r.t
i|| r,iirr. r: I
'r,
i
.l
ii:t
I(l rlllrl
Irfrrlirr
ori|r' i. ils(o,.r
(
{i;
tlrLr:
i,r.,l, rir i
rL;r
,r'r
si
l,ri,i
(,ir\'rrA.rrl
rr',
-
i/
€
i
(
i:
u
J,.
('i.,
j
it
t,, I
rLrultji
lJ
|ldr
,,
H.1.r) t',.
.o]1lrariiil,f
. :\s:rirr'. :
-:'
l)
lsllei
]ll{t1
E-r
a.l
rl.i..rr
r;,.
1)iir
1.o||rl]ai:i
rrisrar.rr.
..r,3 rlrl
rir(,1
iaaii,i.r') iJai.,
e
'
,j-l
:r:l
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 56/218
'l'eoremele
4.2
qi
4.6 au drepl, consecin{5 urmitorul
rezultat,
care va
Ii
folosit in
r
iitor
'l'EoREM^
4.7.
(Heine-Borel)
O
submugim.e
-4
C
(R".
ll
llz)
este
compacld
pnn
acopertre dacd,:1i uumat.
datd
este tnchisd.
Si
md,rgintld.
$5.
nxEri.(xTrr
i l'ie X
=
{o,6,c}
qi
aplica{iad
XxX
-
R1
definiti
prin:
d(c,a)
=
d(D,r)
=
=
d(c, c)
=
0,
d(6, o)
=
d(o.
D)
=
t,
d(c,6)
=
d(b,4
=2,
d(a,c.)
=
rl(c,o)
=
3.
Ilste d o distan{5.
pe
X?
2.
Verificall
proprietLlile
distan(ei
pentru:
a.)
d1
:
Ri
x
Ri
-
[0,e),
d1(t,s)-
ilnc
*
insl.
l,),lz
t
Lcn)x
(
Loo)
.[0."o).
.ir1".e;
-
l,
'
,- - I
l1+.r
I
t
al
3.
(le
proprietate
trebuie si
aibl
o
functie
I
:
X
-
R
pentru
ca
d :
X x X
-R1,
Ll(t.u)
=
l/(r)
*
f(C)l
si delineasci o
distan{i
pe
X?
4.
r\ritati
cd
r;irul
r,
=
n.t
n
2
I
cst.c
qir Cauchy dar nu
are
limiti
in
((
t,
c,o).
dz),
dz
,l^A-ii i .., ..-.."-.ii i,,l t l-
5. l'ie
(X,
d)
spatiu
metric
Si
'4
C
X. Ar[tali
ci. multrimea
punctelor
care
sint
limite
de
qiruri
din
,4 coincide cu 7.
6.
Demonstrali ci B,(a)
este
rnullirnc
dcschis6
in
(X,
d)
pcntru
orice
o
€
X
gi
r
>
0.
7. Fie
(X,
d)
un spaliu metric
gi
(D;)161
o familie
de
mullimi
deschise
din
X.
Aritali
c5,:
a)
[J
D,
"sr.
nrrrit,rnr.
. r.s,
lri:;r:
i€l
b)
Dr,
n
.
flD1"
este
rrrull,inre deschisS.
Vzr
)
1.
8. Si
se
arate
cX
aplicalia
ll
llr
:
C([0,
1])
*
R+ definit5
prin
l/ll1
=
defiiieqie o
n.Jrrli:
p.
C([0,1])
iar
(C(iC,1]j.
ii
li,)
,tu
,
't"
spai,ii-i
Banach.
Inclica\ie:
lblosi{i
qirul
din
den:onstra{ia Propoziliei
3.3.
9. Verifical,i
proprietililc
normei
penlru
Jl
ll,
'
R"
*
R+
dc{iniii
llrl
1-lr1l+.
+lr",l,
z=(21,...,r")
€R".
i0.
Si se siuriieze
riaci
urmi.ioarelc
giruri
converg
unifotm:
a)
;.
:
i0,
ii
-
R,
r.(a)
=
ffi,
",
o,
b)
f":Io,;l--
R,
/,(c)
=,,o" ,
,)
\
c)
/,
:
[0,
1]
-
R,
/',(r)
-
x(1
-
x), n
)
0;
d)
J"
:
[0,1]
-]
R,
"f"(r
e)
/"
:
io,al
-+
lR,
.f"(r
11-
Verificati
propdeiitr
e
(
12. 'erifi cali oriogonalitate
.lt
gI
a s$temulru Srn
T0'...,s
cel din
C([a, b]).
1.3.
Folosind
procedeul
de or
ortonorma,le
Qo, Qr, Qr, Qa
a)
(c([-1,
1]),
<,
>);
b)
(c([-1,1]),
<, >,),
14. Verificati
ortogonalitat€
15.
FieX=Qcudistanla
,4 este
inchisb
qi
mXrginitX
r
16. Fie
(X,
d) utr spatiu m(
prin
d(c,,4)
=
infd(r,
g).
a)
Ar5tati
c5 dac6 ,4 eI
b) Arltali cL
dar
A e
17. Fie
(X,
d)
un spatiu met
A,B
c
x,d(.a,.a)d9
61 61
dpp,
numitl
distanla
Hausr
comparte
a,le
lui
X.
18.
Fie
(X,d)
un
spatiu n
6(,'4)
=
sup
(Poeibil
oo)'
r,9e
A
compacte
din
X
cu .4oa1
(
un
punct
(extirderea
ProPI
oaxecaxe).
jvatto"
0
plrn
54
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 57/218
1ll,):,ii
rIl
,l
I.
:
,'.
I
-
.
|
.
tl
,I..'
.l,.
..
Ll
11.
\Grificaii
proplri(.iiiiile
dc
prochr:
scaiar
ali
llnriiilor
delilrre
la
1raq.
i7.
12. \irriiicaqi
orrogoiraiilar.r'rrsisrerrLrhril.,irr;r.r:o,.,:r:...._:,irrrrr..rosrir,.....i,i.i
;.,,1
..;tln
:i
ir:i.r'rrrul
ri
'ir-,.r'.
..'ir,
l,.r....1rriil.ll.pri(1us11ls(itlrrrhirirl
in runlrrl.
cazrrr.r
cel
ilirr
Clla.lll.
13- Firlosirtrl
plrcr:<.leul
(io
lrrf
i)l)ornlit
lizar-.
C
ra
r
ulr-Schnt
iclt
g;r.\ili ptiI]ral(,
.l
tr.tijlii)il nc
ot1 ouor'r1lirl.
()
n.
Q.,.
Q 2. Q
j
in:
,.r
/a',f r rl, , .,.
.i
I
b)
(C(l
J. 1l).
<. >r),
.o(r
I
,-
1
r:)
J|\'ir,,ri,,,.,r
,1.r,.'.,,.:
r,ir.P
',:
t,
,,
.(
I
tl.ttt
'
15.
fic
-Y
- Q
r:u disr,ar{a d.(,t.1;1=
i.t:
yl
.si
.{
=
i;r
€
{Q2
<.?r:
<:l}.
.\1.iru i
l
.{ esr,c irrchisti
qi
rnirginir:i
clar rrccompao
i.
16. Fic
(-I,
d)
un
rpatiu
rrrer,rir:.
fic:r:
e
{
qi
.J
C
-I.
Dcfini
.listeurt:r
il1,
l.r .r'i;r
-l
prirr
d(.r,
--1)
-
nrfd(:r',
ri).
a)
,\rdiii{i
cd claci
-l
esll,'
ilchis
Si
,
f
,'1.
alu
ci
d(r. J) > 0.
b) Arltaqi
ci
riaci
-1
.)str.
corrpacr.ii erxisLi
17
€.1,
aslfr:l ca
d(r.-1)
.=
6li1;.u)
17.
Fic
(-I.
/)
rtn
spittiu
nctric.
Rtlosind
notatiiic
dirr
exr:rciliul
plccerlerrit.
fie.
l:liirr
.l
,B
a
\.
,11.1.8t '
iill
(11.r.6,
rj
clrr,(-1.B)d1rlar(d(-1.R),rl(n.-1]).
Ar.;iraii r.:r
:1
11g7.
rrLtmitii
disiarrla Ililusdorfl Ponipeiri.
cstc o
disl.arlti
pc
rrtrillinrce strlrutLl
r
it
rl
ilot
i orrpa.tc
ah lui
-{.
18.
Fii:
(-l.d)
un
spaliu
rn.'tric. Pentrrr
-.1 C
d(-,i)
=
-.1rp
iirosibil
r).
Aritati cit
ciacd ,.1,,
r )la1
'urlt,:,'i"lr
\'..-1
.
,
L rr'
.
ir.; I
=
"
r,..'.,
O.t
.,,
I
,i_'
riii
piincl
(c-rtild,-:fl
proi)rjcrartii
<lil
:rriua
Ca 1l}r
Der oltirll
i:r
rrr sDi;f
ili
rrr..r
I
.
oareaare).
l.
ri:,
lirilitr'
'l-iit a1i
lrlt
ir
I clefinirri clianrc,lru1
lrr
-1
ra
filtrl
-
T. r,,-
..
-r'
tr.
1,
.l
,
:
.
/1,r),1.r
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 58/218
CAPI'IOLI]T,
III
Continrritate
Conlznuxlate
in
spaJii
melnce;
cr,'nlinuilale
tnr'forrnd.
Teorema
conlracliet.
I'uncltonale
tx
operalorz
linzari in spalii
norrnate.
Spaltul
R" .
Concrtlale.
$iruri
de
functzi
continue
Noliunea
de continuitate
este una
dintre
no{iunile fundamentale
aic
matematicii
Avindu-qi
originile
in
speculaliile
filozofilor
artichitilii
privind
noliunea
de inlilil,
definilia
sa riguroa^si
este
relativ
recetrtS,
In mod
rntuitiv,
conlirruitatea
exprim5.,
in
acord cu scmnificalia
termenului
lingvistic,
lipsa
salturilor,
a
'intreruperilor
in
cadrul
unui
proccs.
Primele
Cefirrilii
ale ccnceptului
Inaiematic
de
continuitate
se
gisesc
in
lucX.rile
intemeietorilor
calculului diferenlial
qi
integral,
Newton
qi
Leibniz,
dar
defini ia
abstracti
s-a cristalizat abia
Ia sfirqitul secolului
trccut
qi
inceputul
acestuia,
odati,
cu dezvoltarea
topologiei
generalc.
Deqi
notiunile
ce
vor
fi
prezentate
pot
li definite
intr
un cadru
mai larg,
ne
vom
restringe
la
cazul
spatiilor metrice,
mai
^^-^^;^+
i-r.,iri^i
,rP,uyia, ,,,vq, ,\,.
$I.
CON'TINUNAI'E
IN
SPATII
MEI'RICE
Vom
descrie conceptul
de corttinuitale
a unei
functii
in topologia
dati
de distant5,
in
spa ii
mctrice
qi
proprieti. ile
fundamentale
ce decurg
din
continuitate.
Fie
(X,ti1),
(i',
ci2) <ioun spaiii
meiricc.
Reamintim
ca
ry,
ty
<ieserrineazl
multimile
deschiqilor
din
ccle
doui
spa{ii iar
pentru
r
€
X,
y
€
Y,
Vx(x),
W
(a)
rnullimile vecinil,dlibr lui
r,
respectiv
9,
in cele doui
spalii.
DDFTNTTTE.
1)
O funclie
f:X-Y
se rumeEie continud.
in
o€XdaciVWeyy(/(o)),
4-11a.r..\
-
)
-,1--
\
J
\rrl
L
'",(\ /.
o\ /\ r,.--ri^ a v v .^-ri.,.;
,.1"..;
I
-"{-.^.ri,,,,;
,,,
^"i.-
n'rn.r
dil
X.
Prczcnti.m
in
propozilia
urmitoa,re o
catactetjzare
a continuitetii
mai
ugor de
in{eles
intuitiv.
PRoPozrTrA
1.1. Fie
f
:
l)
Urmdtoarele afrmalii
t
(i)
f
esle conlinud
in
a,
(ii)
Penhu
orice
1ir
(x^),
(iii)
Ve
> 0,
ld=,
d2(f(c),
f(a))
<
e.
2)
f
esle conlinud pe
X d
3)
f
esle conlinad
pe
X
d,
esle
mullime
tnchicd
in X
.
Demonstrutie.
1) Demonstrim
mai iniii
(i
a lui
n.
Prin
detinilie,
existi
e
este
acela5i lucru
cu a
E
X, d1
deci
dr(/(o),
/(z))
<
6, ceea
ce
Aritim
ci
(iii)
implici
(ii
dat.
Alegem conform
(iii)
6"
Atunci
exist6
n.
=
n(6.)
6
N
dr(J@"),
f
(a))
<
e Yn
)
n,.
A
(it
Peutru
a demonstra
c5,
(ii)
;
presupun€m
ci
f
nu este
cont
f
'W)
4
Vy
(c).
Aceasta
in
3
r,
e
X
cu
d1(e,,o)
<
r
qi.1
Oblinem
un
gir
(2"),
din
X cr
Vn
)
1,
ceea ce
face ca
evident
ipoteza
(ii).
2)
Presupunem
I
continud
Atunci
/(c)
€
G, mullime d<
l-'(v)
=
t/
€
vx(o), deci
I
multime
deschisS.
Implicalia
inversi.
este
qi
mullime
deschisi.
in
Y asifel ir
deschisi
in
X
qi
o
e
/-1(G),
re
3)
rezulti
dia
2)
si
/-l(Cy
OBSERVATIE.
Se observi,
cr
deschiqilor
diu
cele doui
spalii,
de Propozilia
1.2
din
Cap.
II
de
la
punctul
l)
din Propozilir
indeplinite
in
cazul
puncielor
ir
Urmitoarea propoziiie
est
stratia
este
l6sat;.
ca
exerciliu.
PRopozrTrA
I.2.
Fie X,'
conlinue.
Atuncigo
f
esle
fun
56
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 59/218
.,]]]i..
'.
::i
,)
t,
t:rit,l,:1,.,
']
.:l
i,: ,
,
,.
.
ill::
,
:
,l i
i , i l
.:
)
.-i
,:,tit )
t:
:',
i
I
I
\,t.
:
,
,
''
,,,
i ,;,, t
)
,., ,.
.
i;.
,,t
,,,.
i
,,,
i
.J
l
,lr
i,
Iii
i
I
ttr,l:,;i
ii, r
,'
.irri
i,'-:i
I
I
i
(lr,
i',,r..,
I
.:i
I
'/r -tL,|r
I ,
.
::
]l
i)l,i
r,l,L
j
t,',;,2.r
1:r
t,
,.
il,,i,.
i
l,tr,ri1.iri.,.r
t,-r,ir,,/
:,r ..
.r,tL.r
,\l
i:iriri:r
I
.:
L I
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 60/218
Proprietalea
1)(ii)
din
Propozi{ia
11
serveqte
la demonstrarea
continuit'itii
t
rrr"liit,,.
,1"
,rrtu
"uu'rrtui
rnulte
variabile
rcale
definite
prin expresii
algebricc
(r'
1),/(r,y)
=
i
"iA
("''v)
I
(0'0)
este
continul
pc
R:
Continuiialea
este
I
u
ir' Pl
-
(u
ri)
banali,
conform
iservaliei
unt"rlour"
rn
(o,6)
I(00)
Daci'
lim(r"'v")
=
(0'0)'
rritl
a""r".*
l;{71
<
lrl
t'
,"
-
0
iezuiii
limf(x"'v")
=
0'
deci
.f
este
continui'
r;i
in
(0,0).
(
: -,
(r,v)I(u,o)
2)
Funci,ia
l:
R2
-
R,
/(e,v)
-
\I'*n .
,..
^.
"tt"
continui
pc
t;
(r'Y)
-
(o'ot
R2
-
t(0,0)].
ir
timp
ce
coniiuiitatea
in
punctele'^
diieritc
de
origine
se
verificS'
uqor'
.,nrr',
uieio
"a
ftrnclia
I
nu
are
iirtriti
in
(il,il)
intr
adevdr'
<iaca
'r*
--
U
atunci
(2",0)
*
(0,0)
ri
/(r",0) =
0
'
[]
iar
f(r^'x")
=
1' ,
3)
lunclia
iI,C
-.
[0,4:)
liind
continui"
rezu]ti
ci
dacS
f:X
*
C
este
contrnuA.
tr-rnci
qr
l/l
: X
-
[0.
\J
Fslp
'onlinuX
O
consccirr i
importanta
a
proprietS'{ii
i)
(ii)
este
rtrtni't'oarea
propozi{ie'
PRoPozITll
1.3. l"ie
X
un spatrxu
melric,
a
(
X
l)
Daci
J:
X
+C
esle
t:ontinud
tna
9i (a)10
alunct
erisld
6>Q
aslfcl
inttl
pcnhu
orict:
z
€
85(a),
f(x) I
tl.
2) Dacd
f:X
*R
csle
conlinud
itt
o
9if(o)
>
0
alunci
existd6>D
asltt:l
incil
penk'u
ari.e
r
€
B5(o),
,t(t)
>
0-
Demanstra(ie.
1)
Presrrpurem
ci Vf >
0
I
r,i
€
I],r(a)
astfcl
inclt
('o). =
rl
Eie
d"
-'
0
qr
rn'-
15.
L
nr^(o)
=+
linr
e",
=
o
qi
J(r") =
0
Vt
=+
limf(c")
=
a
=
/(o)'
o
contradic ie.
2)
in acelaqi
mod
ca
mai
sus,
daci
am
piesupiile
cd
VJ
>
0
I
r'r
'
Bo(c)
aslfcl
incit
i(r5)
-(
0,
rczulti
o <rcntradiclie
cu
/(a)
>
0
l
O nc'ilure
-,:lili
per'"lu
caiac'uerizalea
coatinillt'i'iii
uaei
fuac ii
inire
Ccui
spalil
rrreirice
esle
aceea
dc osciial,ic
a func{iei
in
jurul
unui
pulci
Pentru
a descric
aceirsti
Inirimc'
Iie
(X,
d1),
(Y,
d2)
spalii
metric'c,
J
X
'
Y
'
o€XEip>0.
Clonsiderbm
rndrirnea
o1(o,p)
=
sup{d:(f(e)'
"f(v))
lz've
Bo(o)}
(poate
fi
evenl,ual
qi
m).
Estc
iiiior
iie
obscilat
c[
daci,
p
-i
p/,
al,unci
-,r(rr,p)
<
nt(o,p')'
deci
fiinciia
.rj(o.
)
are
llrruta
Pe[lru
P
-
u
DEFINTIIE.
Valoarea
r.r(a)
=
limu:;(a,p)
t''0
ftnclier
f
in
a.
=
)9fo"t(o,p)
se nunreEte
osciloiin
Faptul
ci
c,r(c)
m5soar6.
,,
de urmitoarea
propozi{ie.
PRoPozrTlA
1-4.
f:'
i.,(o)
=
A.
Demonstra$ie.
,,+"
Fie
/
contiuui
in
dz(/(o),
/(c))
<
t.
ltun"i,
ra(o)
=
l.
,,+"
r.r(o)
=
0
imPlic6:
\
cu d1(c,
o)
<
p.
satisface d2(,
Reamintim
urm5,toarea
<
DEFINTTIE.
Fie X
un
s1
ftn
,4
numirul
real
pozitiv
6(
Pentru
funclii mirginite
PRoPozITIA
1.5.
Fie
X
ede mallime
mdrginild
tn
Y'
o(,
DemonstraJie.
Notlm
1
o,(c)
=
inf{6[/(,B,(c))]
lp>
Fie
,4
€
Y(a).
Atunci
l
a4adar
r.r(a)
<
6[/(A)]
VA
€
'
PRoPozITIA
L6. Docd
o(a)
=
lim(
suP
J(c)
-
pio
'€Be(d)
'e
Demonstragie-
Fie
M(p
este
clescitoare.
lJ(t)
-,
Ji
Dacie>0esteastfeliu
f
(ay)>
M(p)-e,
az
E
Bp(a),
>
m(p)+t
>
/(or),
deci
l/(r
,,),(a, p)
>
M
(p)
-
n(p)
-
2'
Vom
folosi
formula
(1.1
capitolul
urmitor.
Pnolozrltl
1.7.
Fie )
lui
f
. Atunci,
Yrt
>
0,
multr
Demonstrafie.
Ar[iEm
,(o) <
n,
deci
3
p
>
0
58
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 61/218
|or
L,
ii
iti
;jj
ri
I
I
r,
t
,_;,
,.sr
,
tr,
r,::
lr
t
l
rr)r,i,ir:,.
r,
toirl
tr.
|,j
i,'
li
rt,r.
.
r..//i
Irr
r, i
:.i
it i
|.)
|
j1
r
.li,rl.
rir:i:.lji
l,r;r
,.;.:,lrj
\ 1"
irrrr''
-
i
;liriLrl,l
-irli
lr:l:(,:,1,r
.{iit,lltl.l,,,,lrllrl,rtr,.
iti
,1,.
rrrr,it,rl,.ri
Ir'.,1r',zi11r
l)rri)r'ijTilr
I
: i
_\
-
\' t. r
tr;tlilltj
tit
I
),'
n
n
1 1,.
i 1'
1'',,i,
.
lirrir' iel
i
rri r
estr
r.r;ricllirt
.-)
I.rp
j
ci)|Li'lili
rtr
I
lir.
:
t:
it
:r
li.
''.1
-
1,,
'
\r.,,
-
,..I
'I
-(rr) =
(l
,.+
"
-(d)
=
(l
lrrrplrci:
V:.
-'-.
i.t
1,.
,:
i) asl1il
l]r(.rr
,;i7l.r.
)
-
.
rlrL.L
trr.g
,\
rLr
rlil-".rrl.--.
ir.
s:rlrsilrr,rlt{./(.r1.
/{ rl
<
:
ij
(r,l11r,rir;,.ji,i
lLr
.r,'
..7r
t,r
gg
licrririrrt
rrrr trlruitoarr.tr
rir'1ilr,1tr
l)i:t.t\l\J[.
1.i,.
'i
rl:;p;rqrLr
rrre]r'ii.
_1
(
_\.
rnirginjri
S,.nlilr.,.le
ltrttt,
i::ti
lur
,-l lrrrrrilLrl
ie,ti pozr1i.,
i)i.1)
-
sul)1ri(r.
4)
il.
f
a
-ll
ii:ntrtr
lrtnr'1ri
rUirgrrritr
oscilalta
s{,
l,i]tle
rjrl)
riril
1i
srrlr
IrIrr it
lr,;a;rL,-jilti
Pltopo:ttlt,\
Ii
/.rr
-\'.
\'
syaltt nLrlttrr
/:i
,)
JInt
tttirpnilrt
t,il',
t
tsl(
itu trlnir
nti1Qt .tl(i
irr
)
).
a
f
X. .1lun.ct
,{r/l
I rilf(./i-i)r
1
.,
t(,ri}
il
l)
I)r.r r;|-.1ia(rr.
\ol:i|r
i)r'1)\'izoriir;(rl
-
ini{,ti/i_1ji
.i
a
i,.ir)}.
llr.,,ir,r,
*(a)
r
ilJl(\:J(lir(a)\))
|
|
t.
t)|
rlzlirri
-(n)
;
_lo)
I.'jr'.1
e
lu
(at
,\rulti
I
p
_,0lstlil
rr|j1
lJ.,1ui
t
.1.,jeri tf.fi
t,,(i,ll]
..
,ri.i{
i)
.
aqa,iar;(u)
{
lil{,1)l
vl
€
v(o)1r
r;bi,l]rcrlr
r{nl
.-:;i.,1
F
iltirrozrlt.r
i i)
i)tti
i
: .\'
-
ft
r::ir
rttirqtnriit
i.,i
\i,,i,,,,
/,/, i
7ii,l
rr
,,
ir
,i
i'r"'
..
,t
t ,
,'
r
r'.tt
.,
eil,lr
I
t€tr,'l'rr'
/)rrrolslla1ir,.
ir,,l1(1) srrl'.lt )
i)\.,,t
= rr /Lr) -
n
t)=
11{rrl
_ rrrilt
.s1..
.r,,s(itoare
l./i.r'j
.it,li)1
.a..\lit,\
|1il)\\t,t.rj
€
6,.{rrl
=.,i(ri
ti ,/i.
trl
I)acir:
-:.
{) este
as1lii
lr.it :).
<.
tl(l)
ut(p).
{te r.1
i
lJ.,(rzr
rr1i,,i
r.,i
j
i
.;
1
1
>
,li
ii:,)
-
: .
.,
r
i
ijr,ii'iii-riLi
iij,ii
j'i,t.2i-;t;i
1;)
.
,,rturLj
ji.,,;.
.i,'1,,,
.
>
trtlp)1;
>
l(r1,).
rllli
l(.,t),
J\.tr'))
=
j(t1)
l(t.)>
IIt.p')-n(/\
2:..
Rezirli:r
-
l,r
/
ll't
u.
1.1
-
,r
t).
€
\btn
lol,si
Irr'nirlu (i
l)
lrr.q;11
;1
rl,.rrrorrsl.ra
(r
l),')l)rir.i.(1
1.ti
t.i
l1rl,(,ri,Lr
I
,l
eaprloiul
urtrr:itor..
l'nor,q)71
q]1
]
i
Frr
I,\.
:,pnltr
nttrtLt,l:,\
_
f _ ..i
0
.t,,s,r,,./,.,
lLtt.f
,ilunr.t'./t1
>
r,)
ttullintrrt
I--I.ra,y
j-(..1
'>rl
r:lt
irlht,tt
/)r'rIolrtrairr
,\r;itirrrr
ril l'
.
_l:
Itr,:srr1r,rIerl
rii
r:xist;r
rr
(
I I
_\rir .,
-(a\
< ti
(l(rr
l
t
t:
{,)
i'.stli'i
r::( ,
allill,
(/rJji
.<
1.
f
ir ,,,t
=
Bt.io)fll
i
l,
o.
._' ,,
rir/l
i-
11
,.
-\,
,lrr
a;
rt
t)rtitti
titr.tl
.,.sli;ri
r(
1
rl
1.r
rrl
.:
f.
.r
-.
: tijr(l
;Lrl;r1r'ar.
<L.;lrrlnL
,11
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 62/218
Atunci
l3p(a)
-.
V(rO)
Ei
din dl/(Bo(o))] <
4
rczult6,
contbrm
(i.1),
r"'(16)
<
4,
iu
cortraliclie
cu rs €
l.
Noliunea dc^
continuitate
anirerreaz;
proprictdli
remarcabile
in legatur[
cu r:ca
de
c,ompacitatc.
il acelaqi
contcxt,
al spaliilor
metrice, acestca
si}.It date
in reztt]tatele
iirruitoai-c.
'lEoRFrN.I^
1.8.
I'te
(X,
dr
),
(y,
d2)
spalii
metrice,
K
C
X corn'pact
5i .f
: X
*
Y
o
fiLnc{ie
t:ontinuit.
Atunci
f
(KJ
este conqtoct
(o
lunclic
continui
duce compac{ii
in
compacti).
Detnot:tstra\ie'.
tblosinr
definilia
cornpaciidlii
prin
acoperiri
dcschise.
Fie
(Dr).el
o
acoperire
tleschisd
pentru
/(1(),
i.r:.
f
(K)
C
U.Di.
Din coni,inuitatea
iui
/
rezulti
J'
1(rr)
esi,e
rnulliD.re deschisd
in
-{.
Vi e
1.
Ei
l(
c
U,f
-t
(Dl)- X
ti-
ind corrpact,
existri
./
r(D1,),..
..1
t(Dr-)
o
subacoperirc
finiti
a
hii
K
Ei
aturci
.f(Ii).Di1U"
UD,,,.
I
-
TlroRElut^
1.9.
(\\iciersi,ra^ss)
lie
(X,rJ)
un sytaliu metric
Ai
f
: X
-"
R. o
Junclie
conlinud,.
Fie
A
a
X t:ompactii.
Atunci
f
este
mdrginitd
pe
A
6i
eristd.tM'r.,
e
A
'
'"',tt.
/rr-.)
-
min
i
{r)
n"l
m.
tt.JLl
ttt,tl
J(-.r/)-
r'rr.lJl.rl
Jc,r.
Detr)onstra\ie.
/(,1)
este
r:ompacti iu
lR,
dcci
este
rrtdrginitd
(Cap.
Il'
I'rop.
4.1).
Fro 11/:
srp/(..).
,rr
:
int
.f(r).
t' )
rerr
Din
clefinilia
suprernumtrlui,
existi
(z')'
qir
din,4
cu
lim/(r")
:
M. A fr-
ind
cornpacti.,
exl.ragem
un
subgir
(rr.)"
diri
(r',),,
cu lirrr,rr-
:
r,v
€,4
$i
din
conti
rjtatea
lLri
f
vom
obtnre,lin
/(zl,)
=
f(rv):
II.
[Jn
raliorrament
analog
se l'acc
peDtru
m.
I
C
aplicalie
siinpl;
a acestui
reziiital,
este aiiirgeiea
distaniej
dc
Ja un
pur'ct
li'
o
muiiirrre
compaci,i.
Re:uliniirtr
c[
pcniru
A
C
X
li
z
€
X s-a
deiinil
d(r.,4)
:
=
irf
d(r,
r)
(Cap.
tl.
Exercitii).
t,.€
A
pRopozrlll 1.10.
Fte
(X.d)
un
spofin
metric,
A C
X
comytactd
t;
:L
€
X.
Eristd
atunci.
y
€
A
ast.fel
'incil
d(x,
A)
:
d(r.A).
Dcnlonstralic.
Peniru
r
€
,4
afirmairia este
evidentS: r1(r,.a)
:
0
:
d(:.
r).
Prcsupunen
r
(
Aqi fre
lunclia
I:
X'-
l0,co),
/(z)
:
d(,2,2). Deoarcce
id(r,;)
-
ri(r,y)
{d(:.u)
Vr, J,z
e
,{,
/
rezuii;,
coniinul
qi
aiunci,
din
Propozilia
Lb.
-pTllla
dr.r.Al
-
i'rl
/1:l
este
nlins inlr-rtn
prrncr
?i
c
A.
I
za
4
Tot
ca o
corsecin 5
a
'Ieoremr:i
1.8. C([o,
b])
c
6(lo,
bl).
Von demonstra
in
6
cd
(C(ia,
rl).
ii"-.)estc
spaliu
Banacb.
Dar:5,
j:.rtuitir',
cortiotrit.atea
irttr-ulr
Punct
.l
illsearrirri. c5'
peutr':
valori a1e
ar-
gurnentului
apropiale
de
a valorile fun<:liei
sint
apropiate
de
/(o).
este
firesc sd con-
sidcrdrn
qi
sit,ualia
in care,
pentru
orice
valori
apropiate ale
argunlentului
vaiorile
funcliei
sint
apropiate.
DorrNrlm.
Fie (X,
dl),
(Y, ,
conlinud
pe
.A
c
X
dacd. Ve
>
0
are loc dr(f(r'),
/(r/'))
<
e.
Evident, o
funclie uniform
o
ExEMPLE.
1) Funclia sin este uniform
deci este suficient s6 luim J"
=
e
2)
Funcliile
pr1
: R"
-*
R
(n",
ll llr),
deoarece
lct
-
rfl
(
nou
luim
6"
=
e.
3)
Funclia
/(r)
=
c2
nu
r,"
=-ln+1,
xi
=
Jn,
]yL@'"
OBSERVATTE.
Esie evident
este uniform continui
pe
B,
deci
uniform
continui,
atutrci
/
nu es
Pentru caracterizarea contin
lalie.
Pentru caracterizarea conti
DErrNrTrE. Fie
(X,
d1),
(Y,
r
conlintilate
al
funcliei f
pe
X
tt
d1({,r")
(
6}
(posibil sd.
aibi
q
deci
existi
lim
r,,,16)
=
inf ur(6).
0-0
"
6>0
'
PRoPozITIA 1.11. h condi
pe
X dacd.
gi
ntmai
d,acd
limu(,
rlo
Demonstralie,
,,+"
Fie I
=
h-mo(6) Din
r
iao
astlel
incit
d1(r',c")
<
6s
=)
d
rezulti
o contradictie cu I
=
inf
'
6>0
,,
e"
I
=
0
inseamni
c5,
Ve
d1(r',x't)
<
d
<
6e
+
dz(f(o'),
J
OBSERvATIE.
in
caaul fun,
normate
este util sd
observim
ci
uniform
contimri
pe
X daci
qi
lim
c..'(d)
=
0 astfet incit
ll/(a')
-
rio
Proprietatea de
continuitat,
care
ulmeazd,.
TDoRDMA
1.72.
Fie
(X,<
J
: A
-Y
este conlinud atunci
Demonstmtie.
Presupuner
60
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 63/218
il. riir
lrr
I
/.),
r,.
;
lr: i
./
I h-
ariL:rr i
.l111,t1,tr
r;1,.
l.I
i.
I
.'i
rlir
I)t.ti I\tl:t..
fir
i\'.ri.r.1i.(l:l
sl,'rljlr,
rrl,,
/
-\'
.l
l
sc
jtilrir,:si.
lrrlj.,riil
rtnlinuii
l,r
.l
a
-Y
rlrr|ii
Va
>
il
I
f
:
1l
r:ii"i
l rili V.r'..r/ra I
,r
(lr1r/..rrll
.:.
f.
ar, lor rllili.r't.
l(.r.")l
..
.
Iivirlctrl.
r, frrrrciir rr:tilorrir
arirl,rrrrir
ir
I rrLillri,r'iri,1,
.() iirrui
[,
rL'ir
rr,r\tr
L
L\1,\lPt,l,
IIILrrrciiasirr
cslr
Lrrrilirlr
i r'(,irlinui
i
[1
r]r.rla:r.r',r
I.liri.r'i
sirr.r"
{
i,r.'
,",
drcr r.st.
sLrliriIft
::r
irriirrr
ur,
,
rr,
rli,finiltc
2) FurcliL[:
prl :li"
-
[i
l';t"f, ,r,) - ,,
srll
ulilLlrrr
urlTrr
r-
re
lR".l
:,).
rlcoart(
1rl.
-
ril
:-tr'1
r , r
J--,-1,;-
,'
=,.r'-
,:"
l1
;irLin
ilorl lrriirn
lr
-
i
ill
frrrr'1i;;
.it
r't
-
t:
'rr:
rsr,
rrili,rrrr
ror,t rr:i r1, I1l.
-\
I {1, );tr(.,,
r,i r1r,r
.r',,
1|
+ L
t',1,
=.77
.,1irrr
i.r'1,
,,ll=tl
,ln'
lt.rl.)-
ii.r1l),-
I
Oi st.,t{\.\
itt..
Lstr-
erirlert
,
r
rlrrr';i
J
r.ilc rrrrrlorrrr {r)
rrilLii
l).
.l
li
/,
a
i
l-
rste
lirrli) l
.{)uliJlu;
l)i'
ll dr'ii
ilar,l
r'-rjsLii
o sLrhrrrrrlt,jrrrr. /l
C
1
trc
rr'.
./
si)'i|
1l(
ufi[;r
r
r)r]riJlua.
rlLlnci
.i
rttr csre irrliortl
c, Lii rli
tricr
fr:
-i.
l)r:ntru caiactlrizlr'l.a.r)liinril;i\ii intr'-rrrr prrnct ant
inti,rdLrs noqirttrr'e
ile
irsr:i
lrllir' l'cntrtt
catact.rjriuea
aotrliniritiilrir rrili)nrr(.r,orrirlclii,i
rrrorlLrlrl rlc
ronturriia'.c
Dt.tLrr\r'l1ti. I.'ir
(,r. .(lrl.il-.(i:l
spa\rL
11ri,uic.../
:
\
-
S, rirrrrcil., rrrllrl
iir
.ont1ntt1lal( nl
Jrntlrtt
l2r.-\trrr
lr
r-
fr.r-R -'r)
.r1
i
i
r
(
1
(
.r
r
)
.
l
i
r
"
)
)
(lr(..'..r'")
:.1
l|
(;rosilri
s;i rrilre
;r
vai.,rfi
l \
l.
[).rci
,\1
1
t,
rr:zrltii
*lfr)
:
,ril,].
l
\.r
,l: ,-,r,
'1
-
,t,
t
>tl
I)ltot,oztftr
f .i1 ln ttnltlirlt
dtt
lriittit,t
lrtrrdtnii
.[
t:lt: uniji:trut
rattltrt'ii
vL
X
lutt
t1
nlLnat
,let.i
iinr-'(.\l
-
ll
r-1
,
I)errrorrsr ra
1ie
l
>
Iie
/
-
lurr*(,i)
Dir
c{rrliruitalr.ir lrrilornr:i
(l)r.}r111l
,'
=
i
.,i,r
)
i
irslli,l
r1rcr1 d1(.r'
.r"')
.:
4,
=
11"iJi.;'').
/i;r"))
..
.
.
(1,'(i
-lfrj
a:
''iJ
rrrlll
o
corlfrdi,rlrr
(u
1 irl rlnl. .i( r
/
-
0
..f. 1-
i)
rrrstirrrrrr:r
cir
Vt
>
l) I l. .'
l)
lsil,rl
llll
,)
..r
.r;
:t.*i,\ ,ir
r
rll(r''..r'"1
< d
-<,1.
;
rl.:{11.r'1.
l(.1"\)
<
.1i
rolLtrrrrrtalla
rrirlirillti
t(ztiltit.
E
OBSER\,,\
llt,t
Ir
cazrrl
lunctiilor rlrlirrii,r'
irr.
-.lirLii
ltonnate
(Li
al()ri
rt
sl):t.lti
roflnlllersll. lrlil
sri
r,l)s.r\iirlr
{ii
lr.J)r)zi] i;i
i
llse
l)oitle
lla.ns{rri.:l]lt lornta:
f
,stI
rrniforrr
rorrtirrri
lrc
I rlrcii
l
ltllltiri
,.1; {;'l
r,,r
ltl
rl
-
ltl
\
I
',/.r,;i,i:,;rr,..
, ,
lirr *itr)
-
it asrlel irrt r1
i]./l.r/) .f(
r,"r
1.
{
*(
l.r''
.r"l
x
).
V.r'.
r"
e
.Y
,r
l-
rr
I'toptictalr'a
rjr
r:oltinLLrtat:
ullili)r raL
.sL.
lcp,eta dc rorrpacrlal
l,rLr
i',,ii rr
'If,otii.\{,\
112. ltt
{J,,i
).(i'.ritl
\j)r(ti
iiltlt'ut. .\
a
,\
(oinlr.tii.
l)ti.i
./..1
-
l'
Ltl(
an ltll ii
0iintt
.
ttlt.
tirtjnttt ...tlitrtiti.
Dttnotstralfu. Prc-sLlpurL,rr:r a;i.
.I
rjr
ar
ir
r;i
rl,rrr;r
ri)rlrlrLll.
\1.liri.i
"xisii
iii
r,
l1r
lrii
(
il
,,
i,,
,l
rrirrrile
erist
i,
Ilr ..
ii
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 64/218
s
)
0
asilirl inr:it
Vo->
0-
/o,x'i
g
.'1
cu d1(;r. ,.rf)
<
b
qi
d:(/(rl)..f(,t:'i))
)
e.
L
Alegcnr
6,,
=
'
ti
rol,irri
x',,
-
r't,,
:r',i
=
11,,", cleci
cl(r:j,,"'il)
a
IVr,>
t,i
'
n
'
lI
dlf(/,,),l(xil,))
>
€,Vn
>
l.
A
{iild compacli,
qinti
(r,,)'
are
ttn subqir convergeri,
(e'1.),,,
lirra,i.,,
=
tr
€ -4.
Deoarece
d1txl.,.. J'i
)
.
"
Vn. rpzultii 1iyr.t'1.
=
a.
l)coarece
/
cslc coutinui,
Iiml(2f,,.)
=
/(a) fi
lim/(ri,,)=
f(o)
in cc,ltradiclir: cu
d2r,f
(r'0..),
f
(r'i,,)'1
)
e
,vn
I
O
altE
proprictale
a
f\rncliilor
continuo
cstc corlseLvarcii
conexitilil.
TrioRErvrA
1.13.
.Fie
X,Y spalii
m.clrice.
f
:
X
-
'
corLlinud.
Daci
A
a
X
tsle conetii,
al:unct
f(.A)
es[.e c:anerii
tn.\'.
-Demonrlra{ic.
Presupuncrn
ci
f(,4)
este
necortcxd.
Atunci
I
I'it,Uz
€
rv,
r'rnLin/(l)
1
0.
rr1nJ(-'l)
+
(i'
{-tr^tf(A)
+
$.
f(A)
c
UtUUz
b'ie
D1
=
-./-r(aI1),
D.r=I-t(.t.i2).
Dt,
D:
€
rx co:rforn
Propoziliei
1.12)
qi .4
c
l-t(/(A))c
c
j-'(L:,
fJt,':)
=
/-r(ur)U
f-t(uz)
=
DtuD2, A)Dt)D.,
=
a,
A)t)\
+
0,
A)D,
*
0,
a$acial
ar
rezuila
ti
neconexi)
in
conlraciiclie
cu ipoteza.
-
incheiem
paragraful cu doui. noliuni
implicind continuitatea:
prclungil:a
prin
"onr,r,Liial^
1i
lun"lrt
cortinu"
pe
lucliuni.
Drr.txtlrr.
Fie
(x,d1).(Y.dr)
spalii
mctrice. A
C
X, At
10,
f
:
A
'
v
continuS.
Presupunem
r:i
Va
€,4/
I
/.
= iir:/(r)
€
l'.
Atunci
funcgia/:
'4
-Y
,.l
lrn
ir a
prin
,, { 1t1
,eA
'-
Ii,
t€.4-Al
jr
rlrLmctr,
pr,lunqtteu
prl4,anltartlule
o
lut
I
l6
7.
()hserrrm
i
/
e'r'"
fun"i,e
contintrii.
FxLMp-r'.
/
R'
-
R.
J,.,
l
=
"it'
.L
lr,
lurrgFnl.
l
nr,'
onrinuirar- l,,
J::
R
-
R
L)DrtluTio.
Fie
){, Y
spalii
melricc
5i,-{
=
,1a
-y.
p1u,
lra /
: ,l
-
}'
se
rurlreqte
conttnud
pe
potjiunt
tlacia
extsli
/)i'
.
,
/),,
muiiinri dcschise
tn i
it,1^1DP
-
til
Yj
I
k,
asl,l'r) incit
I
=DrU
.
UD,'9i
existd
gl,
..,
1,:X
-
l' lunclii
contirue
ast{el
incit
f(r'1
=
glQ:)Yr
e
D1,1(i
(
".
Dac5.
s;(r)
=
t:i
Yr
€.{,
1
(
j
(n,
'ur.,
ria
J
s,
Ltlt^'
\lc
[un
JtP
in s
,r]
d.
llxnMPLE.
1)
Daci
G
C
X
estc
o mullime
deschisX,
x6
:
X
-
-t
estc contrtu
pe porlruni
(chiar
in scari).
Lui.ni 1)1
=
G,
Dz
=
CG,
g1(c)
=
r
Vr
€
-{,
gz(r)
-
u
vi
e
'\
2)
Ftnclia
parte
intrcagi
ciefinitX
pc
irrtervaie
compacte
dil R este o
lirnctie
iti
scari.
-
fl
.r-0
f
-
,,, sLn.f
J-l_.,
10
$2.
TlrORll\,tA
CONTr
IlEFrNrTrE.
'ie
(X,
conlracTrc
(iaca
cxtsli q
(
Estc
inrctliat
cii o co
I)EFINlf
,l.
Sc
sp
r
f(x)
=
r.
l)cmonst
r;ilr
in
urnr
lal privird
conlrac{iile in
'I'roe.r:,rl,r.
2.
1.
(Bar
/:X
*X
(onlra.trx(
lx
I)euolsl,ra{ie. l
ie r:
Presupunen-r:r1
=
/l
ciutat.
Observlrrr
la inccpu
*d(x"a1,r,,)
(
q"(1
+q
Vp) L
Deoarccc
,lin
o"
. .
=j--J
.,
'1.ci
d
o(x
|
,
l"{'.)
Cauchy. X fiind
coniplc
deci
r
este
punct
fix
al lr
Urricitatea
rez
u lLi. c
=
d(/(',).
/(c"))
<
d(r,,
OBSERVAJTE. 1.';cin
-
d(r1, r1)
qix,,r)\u
*o.a
sare
aproxirnirii
punctulr
Rernarcirn ci
qirpl
(
APLICATII
2.1.1.
'l'eorerna
2.1
Urrur
l,uIrrudrLrF.
n:- D/-\ ,3 , E,
Ic
,
la./
r,
-r
,r.r.
-
Considerind
pe
10,11
disl
Ecuatia
13+5r
-
1=
0
e
62
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 65/218
-:
:
_:.
I
sl
ir
l:r.r'rri
I
-\
€
-J.
t' l.)
::
ti
/'t
ttja
i;
;
[1.
rr
irir
rr
1r2
Iil(rililIl,\
(
{)\'i
i.i,\(
iii.l
)f.ir\rirr,r
fr. i.\.,1,t
il
ii.. .,:,rr,i
:.r r.i,.
i.rir:1i, ;i
./
.\
.
)
s|
lIrrrr.;,1,:
'' .t.t.
i
,J
.11
-,.
;1
llsi,'rrtr,iir:ti
(iil,
t(Jittlr1ti,,
,.r,
o
il tL.ii,,,:'
rr r
r
I
r r
,
I
,
r r
I I
r
I
i r
ir
1rr,.\'(rIriii,irlili
l)l.il
l\Lll Sr
rlil,
i
r
a .\
,,:1,
ittt:trl .ji,
t:,\
rirll.iili
l
\ _\ rirr,;:
I)crrri,Lt:ir;;irr
tI
r:r'Ilteioi:i.,r
t,, r'r'r:ri.
i,.,rr,.ri,;L
rr]|lr;,. ir,j.
r.tLtlle
il lL
I
i
r
,
I
.
r
r
r
r ,
.
i
i
1;ri
Irririrrri
rirrrirIiliii|,
IIi
:.i,IiijI
iIL IIi(1'
,.{)Iji|)I,
ii.
lit(tii'.tt."
i
tillr:r_1.(l r.
,,,,.,,1,rlr,
i\-.111
lt:), ,trt\ )
l t .1
,r:t:L,l ..
t,
/
,\
-,1
r,tiitrtitt
.tii
t)lrlullti,or(,i)ttt.tiit,ti t
I u,t,.t
i
a;r
utr
Lt:;tr
ttttttllii
L)twutn-i
rtilit
ir
.r'.,
i -\
l)tL.,r
lir:,rj
.r(,
tr.,)rriltrt
rr1r.(ji,|11)
sL|it .ir
l'rtsrilrrl'.rrL.i
:11.,.,)/.r,
I1,..r.1,
-
l{r'1)..
..r,.+j
-.1,.r,
I l)r,rrlrr
sii;riii
ii
i.,,i,,
'iit
\'ir
l', j.irr
.1,iiii(i \n
r;
. )I\rti,tri.
liiiti.r ra
"ri:,,1
j)i
j.,ril
. :
(itulat
Olrscniurr
la
rrLlr.lrrii
r:r1
Lll;r',.
ir.
r.,,)
-
i(fi.r',,),
i
1.t,. r))
l,
((ii.r,,.;.,
,i
.:.
:.
i
./''ii1
.r..ril
V/r
,t
i
.r-trr,rr',,1i.r.,,1r,..r',,)
:.
,li.r,,-.,r.,,,.,
I
I
r..t ...
,
,tt , L ,
/..,
V1t
,-:
I
Dloarr'"r'
,,iinr
tr''
-
i)
1.
-'
Li
,,-.i.r,,
1,.
.:'*
,r.,,t,
,r,"rr'Vr,
lr.,
'1,.
il
,t
.,,_
'
. T.'r
'lq,
/,
)
.-
. V??
,.:
a.
li
Vr.,
)
l.
ii;a,lrLr
q.;.,,
1,,
,,.,1,,
;ir
(
iLu,h1 .\
iiilri
iorrlrl,:i.
Lr
-
lrrrr.t,,.
,\liir.r
.ll.rl
=
iirrr/(.r.,,
t=
lrrrt.,-
-.r-
rler
r
.r
c-.rr'
1,l,rrci
ir.r
iii iri
I
Lrriiitirr|a
r.urrlrrl
'r[rsr.r rirri
c:, rirri
li.r';
:
)t
fl.r:tj
:
.r,1
,:i.i.
.r.,,
-,lt,ll.tJ).
lt..t")){
r
I
(
.
.
'
.
.
.
/ /
)
I
r
1i
ii).
il
+
Liir, .r
,,l
t)
ir,:t
.rt
:...i,
E
()usl,it\f
iit;.
iacrrr<i
r,
,
\ lr
(siultarr',
r1ir.,,.....r',
=
,f.
,l
|
,..,, .,,.
I
,1i.,,
l
-,r
I
r.
lr'
.11
1i;,,siLt trrrtr.as:iislitr;jrrrnlttitLLl
rLr.rii,;r1r
iirr.
:||
salr'apr',,rirnirii
llrrriltlrrr
lir
ru
r
irr,r;:lr
rlt;iit
ll.lrrrrc:lrrr
<e;irrrl
(.i,,1,,
,:or,rllgr
ori,-;tr.r'rrr
i
.r'r
i
f
(rJir:iLl,rx,
rr:,i,-r.
APLJf.\'til
2 i i. lc,rrinr;r
2.1
sr.poltt,
liili,ra
r),
nlrri
ailil
,rlrli
i,l,nl\jni;liri
ll
ra,lar:lriirrr
ir;'
,"i.i
j-
.,r
,
l.r
j
(
,ir:
l,iit)
-
i
i
i, il
:i
l',rr,.(,
j.tri.lrii:.r
rrr
iil
i
l,orsi<lclrrrrj
1:r'
ill,1i
distarrla
rllttr
r|,
inoLlLrl
rc;.si:t
ik., irrr. sl)irliLt
lle l.i(
i:o nj)li.i
l,rualie.r'ir
l
iir
I =
ll
csre.-.r'itiral,rrrii,',
r
.
-,
1-
rlr.L.i
o
rirlalirra
r
si,.
riil
10.
l]
t:
+
.)
ai:J
1-t'
't -\'
i r-p
xulli
ttll
-
ilj
:,.iui
irr
rii.
i
:.- n,
i)r,r liLrn
i
r,,-,.i.
iu
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 66/218
1
ar'fi
l)unct
fir
1>cntrrt
litnclia
/(:r)
=
.",
+i
si:rrirti1m
cii
.l
estc
o ccurtraclk.
-Foiosim
Tcorcma
lui
Lag'ange:
ll(r) -
/
(r)l
=
2
,
.,
q"
.
_
.n
rt .ioarr"rn.
trr.
l. _l-;.,lr,r
,
1/'r(111r
r''
,q.i
t
l<
2air
Jt
tJ
:t
'
-
a..
^l
l.i /' ,,
n 1l
esrr
d
Li'ii;ll'
l'|i.rr'
'r.\
i
/ 2 \.,
:t
Pornirltl
cti
es
=
0,
cjeci
rr
-
l.
''b ilt'nt
tir'r'''
t r{
(att)
*t
ii
dcci:r3
apror:-
irrreazi.
riirliicina
lui
P dnr
i0,1]
cu
4 zetitnzrlc
exacte'
2.1.2
Rczolvar-ea
unol
sistcmc dc
eoralii
liniare
p1",1
- lo1;]
€
.\,1(R).
b.t
€
1R"
qi considcrirn
sisterrnul
.\i.
-
h.
DacE
u,1
l
0
Yj
=
\,
rt1(2
1)
se rescrie
sub
forma:
(2.1)
-r"
*
otr
t"
l
alz
A, t
br
.tr11
Observim
c[
pentru
(2.i
S3.
FUNCTIONALE
SJ
OPI
ln
cazul
tun.ilrlor
tlma
urS.rginire.
in
celc
ce
urmeazi
a face o
alegere.
DEFTNTTTE.
rie
(r,ll
ll)
81
- {r€x
lllrJl
Et}
r
Si-{zexlllzll
=ti
DEFINITIE.
1) Fie
(X,
ll
l
)
rrn soali
tiniardg\
J@+ri=f@)
2)
J
@r)
=
c 71Y1
2) Fie
(x,
ll
ll'),
(Y.ll
ll'
operator
liniar E
l)
A(r
+
g
2)
A(ar)
.
DEFTNTTIE.
i)
Fie
(-t,
ll ll)
un
spalir
fM>0astfclincit
2)
Opcratorul
lili;l'
,4
numeqte
rndrgi.ni.t I
1M
>
(
EXEMPLE.
t)
rie
(c(la,ll),
ll
ll-),
evident liniar[
qi
este
i
m5r
9t Fia
'
. /'(tn h1\
<i
It
.
propriet5lile integralei
qi
liull
'.,
''
'
l,
lf
iui
l v
lri("i;l
j
e-\lltur
\
3)
In cazul spaliilor
fin
trici prin
considerarea
unor
b
Orrl
(l
rn
I
-
-.t
l
ttttn
aon
Fir:
.--
a12
.. -
d\n.
all
all
"
O,.
-
0
.
-1
422
otP
.t
": k
+tt
Atunci
(2.1)
capif
ii
forna
rieci
o
problcnLi
dt:
prrnct lix
penlru
/
: lR"
-+ LR"'
JG)
-
ll
+
t''
Cl,rl,"ide.:irn
pe
1R'distarrtri
clefinitri
de
norma
cu(rlidiirnS
-{m
tlemonst'rat
irt
Cap.
ii
cii
(R",li
l.r)
este
spaiiu
rnetri(:
complet'
observim
cti
d(/(:)'/(s))
-
.ll ,.,.1
= iIF)
./
(y)
i:
<
I
L
a;
)
"
lr
t112.
Yr,v
t
rr(
i
oe(1
utrci,
i'i'=t
+b"
r*\
,=l
,
I
I
,,,
I
\"-
/
0
_.,21
.t22
:
_
{rnl
i.;-1
\,2
.3
)
/
uslc
connuctic
i
(2.21
ilre ttri
utric
punct
fix'
ilQadar
(2 1) are o
unic[
solulie
oblinutd
lrin
ol,rox'rrcrii
srr(.r':iip
ltr
f2 21.
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 67/218
t,:
fj
.i'\(
jii)'i.1,1.i.:jiiit'l.l ..Li)jiILjl.i_.,r-lj
i
i.r.r
al..,
ii\ ii.ilil
'.i]ir \ir'i i.
i
lL;liiltitr
ir,
r'r,ir,rr.
t
lr-rir
:rz:r
ri,;,i.rrli
',i
i
rii'rri
.,Lr
r
ir,ri:irii'riiLr,rr,rlr
rtrrr,rirl
l.r:r
lr
,. irrtr,
,r
ir-elr
t,,.
: i.
ilr
l.r
:
.l
.r
--.
i
I
:ir
,r
iiii.
ir
l,'trt
'
t'ltt;t
ri.,ir
\i.
li i
,
.
.;'
.=
i]
:ll'
I lllre:lli :jt ti irtit.t.:.
iiit
1r.
iii.t
L.:
i
rrt.
I ir i\.
r rlr,
sl)ilrr:
rrlr'lrlr
I'r:lr:',.;r
i
I
\
)
:
sl'lrrilrli':lr'
j
t
'
t
t
i
,
'
,
:
,
; t
i
,
2i
.irrr.r'i
....ii.r iri
.:
F.
r
a
'.
'll
t'i,
i\.
l'1.
il.
'r
rii,rt,,
:rrri,ir
rroirtr;rr{'.
i'ur,r'l;:r
i
:
.-'
,
I
-ii
rril
,' ::Lii
lr.
''t"
'1
:
ll
-1i/l.rr
-.i
it
| ;| : rl
.i a .\.
l)r.i \llit
ir lril
l-
lilirt
iJ)ai,iiL
i 'ttlt;rr.
ftLa.fi.iil
,I:
-
t
I
j,' iliMts:
I1/
:-.il
risrl,'l
rri
rr
-srLi.,
i.r
1ii.
2l
Ol.,,rrrLorLri
ii:,i,rr
-1
.1:
-
]-.
,ri
r\.
,
rl.
I
,
J
r,i;:r'r,
l-'//1'''
irLi)
-l.r'lir
:: lr
'
.;
:.1
l-\l
\
iP,.l.
iri"i.,il/r.i, l.
.1.,,
i-
i'.,'
r,
i:
l-i:,r.I,'
-"
.ii',,:
r.1.r
r l'i'
'r'irlrrrr
ljniiriir
si
erli'ri Jrilrgirrilii
(li ,:rii'i"
tr
'.-:i
I
,ri/i
r',1
:.
I
-;'
lt t:"
:
,,ii,,,,.
r't1,,
it
.,,
i
i'itt,
lt't
t
.
:
lir'Il
-
|
,,it ,:,.
tii.t.I -.1r
litriui:
rir.r
l,rLrlrrrr'1;r:.i1t
i,ri,'qratei
.'i
it
,
::
1..- i ., l
:.
i r.'
:
1,.1r
,i(,
i
,i
i
'
jl
itt
rirz,rl
:lritiiiiill
iirlir
rlillttll'li'rr,, i. i)i1:l:.iirilir)i
l'li.rli .i :r :
r'.
rl .
r: i
it)rirr
(,)r,:r]lit-1rrl1':l
rrtl,)
t).i:,rr"
,l
,,.r Lt
i.
/r. ..l i
r':i'-'
|:]
'l
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 68/218
bazi
in
Y
si
,4
:
X
-
Y este
opcrator
liniar,
'4ei
=L"oift'
I
(
j
(
"
conduce
la
i=1
nrat
ri,
ea
lo;r]
.
.,
-
€
.ll^
,'
(R)
Proroztltr
3.1
ltie
A
|
(R",ll
llr)
*
(y.
l] ll)
an' operator
liniar'
Atunci
A
*te
rnd,rginit.
Demolstra\ie
Fie
{e1,
,en}
baza
canonicbl
a lui
R"
si
fic
r
€
R"'
c- r;e;.
Atulci,4r
=lrtAet
qi,
folosind
inegaliiatea
Caudry-Schwarz'
rezuliS
t=t
n
i-1
,,J-
-.
j
"
1l,4rll
<
il',lll.
elll
=
<(lr;l),=r.',(ll1",ll),=,,">
<
(It''t')
'(Elt'.ntt';'=
i=t
,J
='
=
Mllellz;
<leci,
tlacs
ll"l1,
{
1,
rezults
ll.4rll
g
M
=
(Ill/",11')'
t
i=l
Mireinirea
este
caracterizati.
prin
urmdtoarea
proprietate'
e*J"ort1,n
3.2.
Iie
(X,
ll
llx),
(V,
ll
llv)
spalit
normate
A
:
X
'Y
'
operaror
litnar,
esle
mirgtnit
dacd
st
nunmi
tlucd
ettsld
M
>
0
aslfel
incit
existd6>0astlel
llrll;
(
1
deoarecc
DEFTNITTE.
Spatiul
\
numeqte spoJiul dual al
lui
NorATlE.
Spaliul
v
noteaai .C(X, Y). In cazul
Demonstralia urmdto
PRoPozrTrA 3.4.
1)
este o normd
pe
X/.
2)
este
o norm5.
pe
,C(X,
Y).
$4.
CiTEVA
PROPRIETJ
Demonstri,m in acest
I
demonstr5.m cd spaliile
f,(i
in
cele
ce
urmeaai,
e1
=
(1,0,...,0),
...,r"
Dorrrrgre.
Fie X
u
Normele
p1 gi p2
se numes,
(4.1)
p1(c) (
Crp:(s)
@.2)
a@)
(
Czpr(')
Noulto.
p1
-
pr.
Este
u5or
de
aritat
ci
Observdm
ci
in
cazul
definiti
de
p1
daci
qi
num
TEoREMA 4.1. Pe R"
Demonstra.\ie. Fie
p
:
Pentru
inceput
demor
intr-adev6.r, fle
r
=
(cr,..
=
p( 1rr
-
c,)",) <
)
;=1
i:
unde
am
folosit
inegalitate
ll,4cllv
(
Mllrll;1,
vc
€
x.
in
particrrlar,
o
funclionald
lintard
.f
:
X
+
R
csle
mdrginitd
dacd St nurnai
extstdM)0aslfelinctl
lf(r)l
(
Mllrll,
vr
e
x
Dcmonstra$ie.
,,
+
'
(3.3)
este
evidenti
pentru
r
=
0
Fie
r
l0
qi
g
=
(3
3)
dacd.
(3
4)
1
ll'11"
Atunci
ll3.,ll=
r
qi
din
(:r.z)
ll.as [.
(
M
adici
llr(#,)ll"
=
11fi6"'lt.
-
-
|
rl,4."ll"
< M
sr 13.3)
razulrh.
ll'llx'
..e
Llaca
llrllx
(
r
rnzrrlrA
,iri"rli
t
ii.
ci"ci
ii
2)
.
Demonstrim
acum
rezultatul
care,
in
cazul aplica{iilor
liniare,
leagS'
continuitatea
de
mirginire.
'IEoREMA
3.3
eie
(X,ll
llx),
(v'
ll llv
)
spalii
normate,
A
:
X
'^Y,
operator
lzniar.
A
esle
mdrgmit
dacd
si
numai
dacd esle
uniform
conttnuu'
In
parltcular'
o
lunclionald
[tnzard
f
:,
+
R esle
margtniid
dacd
Si
numai
dlcd
LiL"
untiut'til
conlinud.
Dentonstra[ie.
Se
va folosi
criteriul
de
mirginire
din
Propoziqia
3.2'
,,=+"l-iee>0.
llAx'
-
Al'llv
=
llA(xt-
c')llv
(
Mlla'-
c"llx <
e
daci
i."'-
""li'-
.
j..
i",i
I
rsiP
urtrlurr"
ci'i'iinriii
''
,,+;'a
""'tY
in
particular
continuu
in
0.
deci
pentlu
e
I
ill,rr
llxllr
tr
o
>
ltlrllv
(
15i atrrnci
ll
4r'llv
s
-
Vr
E
ll6rily
(
6 in
acest
caz.
I
X,
66
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 69/218
1
rr
clrrrlrrrr:
ia
Al
tt
t
t
.\
r
:lt
ilc .r
e
[i".
rrz
ril
t
ii.
I
,.
\-
,-
",
)
r
-\'.
alttrolot
(;r.it)
;i
nurnat
,laca
(ij
i)
,-]r.
r,.t'l
=
it
r
,\
t;.
r o]ttinurt
;rt,r:a
.
apr:r,tlot
IrL ptLt
I
ic
u.lti
r
,
t.sit
rtn
tjui.iit
I
>
il
as1{el
1
rlc .rrrr
,
a"il'-:
o
lrotirlri
l)e
.\''.
'2)
e-rlP
o
iro|rri
Ir:
{ii-\'.
}
l
lJ,,r1\r1rL.
slrer,rirl
r',.cir,rial
r'..a1
;rl
i
iircliorrrl.jor
Lirirrrr.
;]
,.or,uriLrc
1,,.
,
,.
rL
]lJrrslc
Jlrdl?ul
luLtl
tl
tLi_\-
:i
se
tirir,tit
t-t
r.lr
Ii
-r'9'-t. i,t.
Si-raltrli
rrcior.ir,i
irl
..i...rrL ,t
l.ri
ltrrirr
rrr:[.gturlt
rl.-
la
_\,
]a
i_s,,
,rj.
4..
r
I
r..
..,.
,
..
l,
',
.
-
,
Ii,
r.j
.....
..r
....
i,it0toztlr,\
ij..l
1i
ll./
l=
'r:r,
ti;,
t
l
li,Ili
=
.Lrir
li,]r,
lr
l.I r
S
i.l
.r
l
i:i
i.i
l
1
(rl
i
l-\'A
P
ROi,n
IE
i,\J
i
.{
L
it
Sp,\.1.T
i.
Lii
i
r-
Oil.\.t...ii
R,,
.
lJentonslr.iii
il1;tc-.st
p:,rr.l,,r;rl
cclriva]rrrLa
iur,Ltror
[.]rrljelai
Ir.
Fi,,.
L)r: asot,:,:,.,.r,
dinronsrr:rr)r
':i
sirrtjilr
a(icl.l-{;)
rj
{lll,,.[{jsrri
c;rni:ric
izorr]r,"i:,
"
-l
"
'
ltt
cclr.
,:,.
ullteazii.
rrr R''
ra
ft
colst,Lrr.ritti
l,az;L
carL<,itici-l
]i1
.
i
r-il.(1..
0),
..
r...
=ift.0....il
t).
f)[.ir\1f]L
]ic
,1 uu
spa\iir
r(lor;al
\\
t)1,j|.:
:
-\
.
ill. \t
,l.ir:i
jr.rr.Jil
\oirrr.iel,
;i
7r,
r.
riirrler,:
r.int)rit)Li.
S: i,,,
,i,,,_ ir,rtii.i
,,r,,i
I
lt
.
\r.'llltt
,'
',,.
l-sle
usor
rle lrririat
la
..-. cs{e
o
icl:i.li..
rir:
erhi.,a|:rLlii
(cxr:r.,:r r,,r
Ohs,:rvilt
ci
rn
cirzLrl
ii al.jlti
tlofmc
t,citi.alenrc
lr
::i
/:.
lirnr:,
_:r
lt
Cjsrarr;r
I
i..r
i
,
,t
.
:. ..t:
L,
.,
,t...
,.1.t
.(
r
l.t
:.
.
'l't;olu.\1.\
4.1.
,,,.R"
1 )nlt
itotntle
;tt r,tkit:rilrdtr.
Dct)lorb.tlttt,r:
Lie
2:p,'
-
lll.
r)o rr,.ltli.
Irirr
fri.arii.;i
tr_i
.l
l)crrrLrL
irLrelrrrr
d,..rrr |,iiiir
cri
p
.
fR,,,
il
,.r)
-_
:Lt
:_-t,_1.
,niii,rr,,
r.,,,i,t
tii:r:i.
irrlr-ad.'v;ir
1t.
.r
-
,l
r
r
.
.,,.
.
r
,
)
,
u
=
ilr
.
.r,,)t
li',,..1i:,:l
,,iri
a.,
r,.,,
lii
-
lL
.u,.r
I
:.t
.\-,
i:l
i=
'=
/
rnrl,:
alr
folosil
inegallirii:a
lrri
Cu.u,:ir1,.ia.r,11
-
i
Ir(i,,
t:
)
:
D
.r,
v.
>
(r,
dr,ri
\* )
li;
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 70/218
itr
ll*-yll:<.
+
ip("t
-
pla)l
<
e
qi
continuitatea
uniformd estc
dcmonstratd
ObservXin
ci, 51,
sfera
unitate
din
(m",1]
llr),
este
comptrcti.. fiind
inchisl
9i
mdrginiti.
p
fiind
continrrS,
din
'l'eorema,
1.1|.
-
m,M
>
0 astfel
incii rrr
-(
p(r)
<
M
Vc
€
51. Dar
daci;u
€
R"
-
{0}, *
,,
€
Sr.
dcci
m
lll:
( p(r) (
ltr'llLcll:,
ll'li:
inrgelit{lile
fiind
e ident
vcrifiLitre
qi
pertru
z
=
0.
Atadar,
se oblin (4.1) cu
C1
=
M
l
r1i
(4.2) cu
C2
=
-
qi
teorema
cste
denionsttati.
I
Un
corolar inredia{
al
acestei
tcorcrle qi
al
dcrnoLrstraliei
Propoziliei
2
2
din
Cap.
II este cel
prezental
il continuare.
Conot,,tn
I.I.L
Contergenla
nui
$r
dtnR
tn otice norrnd rer.tine
la
conaer-
qe.n[a
cornpon
cn l,elor.
TEoRDM.a.
4.?.
4(R,
R")
esle izomorf
cu
R
prin
I
:
4(R,
R")
*
R",
eQ)=L(r)-(1y,
..,
,L") si
le(r.)li,
=
lLz
I
(4.3)
unrte
llLll =
sup
llI(r)ll:.
l'l<1
Dcmon.sir:r.{ie.
eU'
+
T)
-
(1,
+
7)(1)
=
r(1)
+"(l) =
'p(1,)
+
e(7')
qi
9@L)
=
aL(\)
--
o9(L)
ataLva ci
9
cste liriar'5.
rp
este injectivd:
intr-adevtr.
v(L\
=
0
e
r(1)
=
0
<+
I(r)
=
tL(I)
=
A
Va€R<+l=0.
g
estc
surjectivS.
fie
g
=
(3,r'...
,g")
(y",...,y,,*).
Atunci
-L
€
,(R,
R")
qi
I(1)
=
y'
Demonslrim
acum
(4.3).
Fie
9(,1)
=
I(1)
=
=
($t/1,...
.ry.)
si
pentru
ll"li
<
t,
llL(r)ll,
=
<
llyll:
=
llr(1)11,,
deci
llrll
=
llvll,
=
llp(r)l
z
e
R".
Definim
tr
prin
1,(r)
=
deci
9(1.)
-
y.
A
=
l. t,...
,
y,,).
Aturrci
I(r)
'.F4
+
+
t\,:'"
=
l'lllvll:
I
=
sup
llr.lQ
+.
+
h":f"l
llnll, <
I
1
h
=
lPryryS(tL'
'4')
atu
=
llt(r)ll:
<
ll"ll,
deci
ll"ll
=
Aceste
doui
tcoreme pe
l(R",R) cu
R"
Ei
iqi vor
dovt
multe
variabile
reale.
$5.
CONEXITATE
Vom incepe
acesl
paragral
{iilor
continue
de
o
variabili
re
UrmEioarea propozilie
est,
PRopozrTrA
5.1.
(Bolza
I@)
f(tt)
<O
o.iunci
edsrd
c(
Demonstratie.
Dac.e
f
(- "\
r(".\.r("*ll\. n
".,,
+la*t
""'\
2 /
--"-*,\
r
I("rl
fftr)
<
0
qi
reluim
ral(rc
vale
inchise
incluse
unul
intr-all
implic;
ffI, l
0
qi
deoarec
n>r
uoi".
e
fr
In,
c=limo"=li
^=L
=
limf(6")
qi
din
f(o")
./(0,
propozitia
este
detrorstrati.
TEoREMA
5.2.
(Darboux
af
b. Atunci,
penlru
oricc xr,
eoistd,
rs
q
[a,b]
cu
i(xl)
=
)
Demonstralie.
Fie
g:
A-
c(tr)
c(az)
< 0, dcoarece
.,\
estt
existi
c1 intre
ri
qi
12, deci
in
O aplicalie
interesanth.
a
ac
unei
funclii
continue
strict
mon
PRopozrTrA
5.11.
Fie I
ut
conlinud gi
slrict
monotonii,
ft
monolond).
Dbmonsttalie.
Existenla
qi
strlm
continuitatea
lui
f-r
folos
'1'EoRDMA
4.:J. 1;(R",R)
esle
izornorf ut
F&"
prin t : I(R",R)
-
l,(T)=('t'e1,..
, ,"e,,)91r',..
,r,) ti
ll{,(")ll, = ll"ll
und.e
ll;t'll =
sup
l"(z)1.
ll"ll:(t
Dcmonstra\re.
Se
aratd,
uqor ci
r2 este
iiniari,
iy' este
injectivi:
dacn
l(7')
=
0 <+
?er
=
"
=Ten
=
0,
deci
I(hr'
=
r/ t
h'',)
=5--
r5;7";=0Vir€R"adicb
I={J.
'\22
"j z2
(4 4)
t=1
i=i
"l'este
suriectivd:
fie
(r1,...
,r,)
€
Rn
qi
lI'
I
R"
*
R definii
prin
fi'(h)
=
=lr;h;,h=(.U,...
,h").
Aiuuci'1'este
liniar
qi
7'e1
=:ri,...
,'1e,,=xn'
l)emonslrim
(a.a).
Fie
"
€,(R",R),
il(r')
=
(ft,.
.,7")
+
0.
Folosind
inega'
litatca
lui
Cauchy-bchwarz
oblinem
]l?l
=
sup
l?'Al=
su;'
li1?e1
+
+h.Te"l=
l/,
,<1
llhll"
<
1
N
I
68
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 71/218
ir
-',r
i
,i
1,
tl
.i.
1
r
..r
.,
it
/
i
r
: Lir'l
iil
'
i
,l
-
srrl,
/r
/
;
rrr
<
i
'.li
l,r
ll
.
,
ri'i1lr..:-
r r1,,.
/
-
,ii) ':i
1,.,,i.,,,,..r,,,:lrl,,i,.rl;,1i
ffi
,\ir,:t,,
rlr,ti
litjrl
r1r iri.l.ltll
Llr';ririir:ri"tr
r.l:';;rii,r
tL ;1,;r1iiJ,rr.
{iLrl.hi'
;
:,r
liR'.R) cr
iX"
1t
tit
,"irr
Llr,rr.li rt,jiilri,;t
ja,j,,.ir.;,'r.a,lrrirarl
irritiitrlr;i
ilt
lr::t
rrrrllr,rlIiltl,rlr:
r'r'lr l,
.
t.)
(Ol\il{ii,\ii,
Vottt lirr:r'1r. aresi
l)iriligiiii
|li
,r,'rirairsl|iirrl
rtll.t
liJ{ri)lierii i
irrrprrl,lItL' ;i
iiilL
llilor
(1)II'LiILLlr',Ir.
l rarralilii
rrirl.t.
:\i
tiiltjtil(
't,:r',
I .lI
a rltir.c
ini,.rval.
r,\ t 11 L .1.r.
irrn;Llo,rti,a
lri,1.,,zri,ir
r.'r,
(.s(j1tr.rir
i)1.rLtrLr
lirlrrrtr.,a
lrcsir:r
Ir,r1,rie;,,.j.
l)RoPoz ft.r
.-)
i
i.ll''tr.,,,',,, '
.
,
l,'l,l
[i o
jutL[t;
tt,rtit;t;:rl
i),,tLt
./L,r)
I(r)
<l
alriirt
trniti
,
i .Lt.l:r,
ri.:llti
inril
jl,tt
-t)
..
.
i
ll
1l,. rJ
,rr'r' I'" t -.
i
, .t,
t
, .r. .,. ,,. ,. L l,
,
. /tL-
/)\ /rl
/(,,1./l
_
]
lr.r
,./
{
,,
J.i(rl{(l
l\ior;'ir ill1,/r
]a,rcil
jrrrrrilr;rti,rl.rrrrr.rrri
Lrr
.''
llrt) llt,).:11 \r
l,,jriuli
;a ior11n',
rtrrl Olr{rrrrltiicri
rn
ir./,,
,r,,.1,,] ,1,
irrl,,t.-
val.rr.lls(
irLlItr:;r'LrriLII
irtr alir {r,.1
Iir,,)
/i4,,)<.
t) Vrr
A_";ionra
i
iLtrlor l},-ri':kriri}
ll;'..
/
-.
t,i
I
.r'r..t::r
r
'
,.i
)'
rrtrtc
r
6
il
l,.i
.iri
i./,,
r
iitJ r,.
ijc,latr.rr'.l
cstr' crrlrrnli.
tirt-
irrrrr
',
:
irrl'1f..
11i
,lrr..fi,i
) .l\l' )
,
li Vr,
-: I r.rzirlrjr
,/r"t:
,:
rl ,je.i
li,.r
|.,
l,i,rpl/i'tir
lsi',
ri"-rrroLrri-lr
i.;i
6
lr'.oitIli,\
i2
iiirrri,r,l:i]
f;, i
i
Fi.
.l:
i--
1{
ro 1tt.ntt;
tt
ii.,
ir.i,
L:.
rtlh .\lrn,t
li
itltii oit .rr rr a
io.r].
ltliittt ,t/tt \
r.llrtl
utltL
/li r/ i,..,
t)t;iti
)\
1..
irr.0j
rri
l1.r'11=)
i,'t
Iiit rrli,a'r.
llir.rl)
,tti
tiii rr,,ti).
,.rlrorrsi rr
l;r,.
.ir'4'.
-1
-i:l ,Ji.Ll
i{il i.
,\t.r nrj{
{,-sre
r)
iirrr(t
ir.,.orjrir,ij;.
j
: :i
'-
j
,. i
i
rr-\isti-r
rr
rtir'f .r'1
1i
.r'.3.i]rri
rir
lrr.
/
,1tL,L/-t
,lr i
it.r^1= \ 6
OalrliIa1t'
iltt(r.silli.t r
il(.sl,.1
t1-)ri.ijie
lrrii..qtr,i,riti
rIiintt,il
jul,\\lr
L .,.. t..
rtrrlr
lrrrLriir
rorililtri. sl'i1i
rj () t\i1 |ji.
l)[()r,()Zit,l\
il\ it,
t
,tt
1lttttl
ji
/j/,]
F................
i i
-
I.
,i
=
.li t
l)rti
i
.\ .
(rttltrt|
:it
tltL(l1t).rt,loni.
iL|t.iltit t;tt;i,,i
i ,j
--
I t: t
tt,ititnr;ti
i;t;i;tti
[)t'ttrntslr:tltt
i.rislr,it'",t
si
rit.' .i1,] ir i,tll':.j
itL.,errr.:r
rr'.iiiii tr:r,r'
J)i: rr,I
slriirlr.orllllL]iii 1i,ii111,/llorL,:,r
itrir,liitit,,r
\',Ilt
lrt.s it)|ir.
I
siItrr
"r'rsr',Lr,,a
r-
i,.r
litl
ii:.,
:-
:.1
,
il,
't:.
l,
::
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 72/218
iru afa.e
o
alegerc.
Fie
gs
=
/(cq)
€./,
dcci:rs
-f
l(yo)
Fie
U
=
('r,B)
€y('to)
Conform
Tcoleinei
5
2
/({,r)
estc
int'erval
gi,
linird
cottt
dc ipoleza
ci
/
este mono-
..'"t"".;,,...",
.fV)
=if ),f(t))
e
V(vu),
deci V {'r e
v(/-t(vo)),
(/'
1)
1('/)
€
€
V(g6),
ceoa
ce
piob,:azd conijnuitalea
lui
"I-'
in
yu
l
Reamintim
ci
am
dcfinil
mullimile
conexc
'4
dintr-un
spaliu
metnt
X ta
firnd
aceie
nrui{irrLi
periiru
care
nu
cxistS
doiii
mul{imi
ileschise
ir X,
Dr
Qt
l)2,
carc
si
ina"plin"*"e
en'O
t
*
0,
An
Dz
+
A,
A
C
Dl
ull2
qi'4
nD1 n'Dz
=
0
Prin
trecere
la
complementari
putem inlocui
il cele
de
mai sus
mullimilc
deschise
cu
mullinri
inchise
Accasta
perrnite
urmdtoarea caracterizale
a
mullirnilor
conexe,
valabilX pcnl'ru
orice
spa iu
lopologic.
PRoPozIfIA
5.4.
Fie
X
tn
spalitr'
melric
A
C
X
este
conexd
dacd
ii
numai
d.acd
A
9i
0
sint
singurele
sttbmullimi
ale
lut
A
simdlon
(relatn)
deschise
St
inchise
i.n
A.
Demonstra\ie.
DacI
B
c
A'
R
+
A,
B
16
ar fi
deschisi
in
'4
ar exisia
D1
mul'rimc
dcschisi
in,Y
a^stfel
incii
B
=.4nDl
DaciB
ar
fi inchisi
itr A,
A-
B at
ii
dcschisi,
deci ar exista
D2
mullime
deschisi
in
X
astfel
incii
'4
-
B
=
AA
Dz
Ar
A
rezulti
neconexi-
I
Cel
mai
sirnplu
exernplu
de mullime
neconexS
este
{o,
b}
C
X, cr
a
f
6,
pentru
X
spa{iu
metric
cu
mai
mult
de un element.
Teorema
urmitoare
srrbliniazl
valoarea
acestui
exentplu
pentru
studiul
conexiiStii.
I'DoREMA
i>.5.
Fie
X
un
spaliu
melric
A
C
X
este
netonerd
dacd
Si
tunai
ducd.
exi.std
/
:,4
t
R continud,
astfel
incit
f(A)
=
{0'l}'
Demonstralie.
,,+"
Fie
Di
qi
D2
mulliui
deschiseh
X
,
AtLDl
+
0.
AnD2
+
0'
AnDfiD2
--
A,
A
c
DtuD2.
t)cfinim.
penrru r
€
t.l(t1=
il
iru
"2ii3i,
Arunci
/
esre
bine
deflrit[
pe
4
9r
rdmine
sL
ar
tim
cI este
continui"
Fie
c
€
'4oDi,
deci
/(s) =
0
Fie
(r' '
un
gir
din
A'
lirr'e"
=
a Deoarece
D1 este
o
mullime
deschisi,
existd.
r
)
0
astlel
incii'
B,(a)
C
Dr
qi
cum lim
c'
=
o,
existii
no
€
N
astfel
incit
r'
€
E,(a)
Yn
>
n0.
Atunci
t:-€ Dtf'A
Vn
)
ns,
deci
i@.)
=}Yr,)
rls
1i
iezuliE,
lim
f(r') =O=i(")
Sirailar
se
aratd
cd'
',r
este
conr'tnua
in
Punctel"
din
/
n
D2
,
€
Ll-i.
si;fi,i"i,i
;i
cbstiii.m
re
Di
-
'((
I i))
,,
",
=
,t-'((;
;))
siot mullimi
deschise,
satisfS,cind
proprietilile
cerute
de
neconexitatea
iui
'4
I
Slnicm
acum.in
mXsuri
si
precizirn
mullimile
conexe
din
R'
PRoPozITIA
5.6.
I
C
R
esle
cone-xd
dacd
9i
numai
'lacd
A este
tnlerual
(po'sibil
re,ltts
Ia up
puncl).
Demolstratic.
,,+"
Presupunind
c5,
A
nu
ar
fi
interval,
ar exista
o,b
€
,,€"
Dac5. A,
interval,
ar fi
contrinui,
cu
/(,4)
=
{0,
i}, ccca
c,
Piopozilia
uim5,toaie
cxtinde
Po^D^?r.nI^ \7 Fip A eont
existd
a,b
€
A
cu
f(a) f(6)
<
0,
Demonstra\ie.
I)in'I'eorema
care,
conlinind
doud.
numere
de se
Utilitatea
l'eoremei
5.5
est'e
p:
rea
proprietS.[ii de conexitate
in
u
PRoPozTTIA
5.8.
Fte
X un t
(1)
DacdACX
esle
coner:d,,
(Z) Fie
(A.)"
un
qir
de subm
Alunci
A
=
l)
A^ eslc
o
mullim
n-o
Demonstra(ie.
(1)
Presupunind
c5,4
nu
ar
{0.1}.
Atunci
/(,a)
c
{0,
1}
si
ct
rezultind
/
constantS,
pe toate
qir
coniradic ie.
(2)
Presupunern
din
rou
cd.
i
este
conexi,
dec.i
/(-40) =
{0}
s
/(0)
=
0 Vr
€
46
[1.41
qi
cum
J
obtinem
/(.4')
=
{0}
Vn
)
0,
det
OnsoRv,r.1tt.
1) 7
poate
fi conex5,
fir5.
,4
=
[0,
1]nA.
2)
,4
poaie
fi
conexi f5.rd
ca
3)
Dacn
A
qi
B srnt conexe,
,4
qi
c
e
(a,6)
-,4.
Definind
llr
=
(-co,
c),
D2=(c,a)
oblinem doui'
rnullimi
deschise
c'r
a€
DtnA+0'
b
€
D2)A
+
A,
A
C
DtU
Dz, deci
I
este neconexd'
70
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 73/218
)ri.r,
)
l,iir.ti
ir cirisr:.
.)t
i
(i.
/)1
?.r
1i
.1
;rcnt;-u
t t rntt
=
0.
7
estt.
,.
-
11,
rieci
;i
+$,
.
<._ l)rrlr .i utr'rr:rl.
-,r
i,
r ,r1,,rr.i;il.
,.lt,i
i.,,iirrr;t
._r
r
tii
,,.i:t:r
I
1
'
R
r,riiLirllii..
rr,
lt.1i-
;il.
i1.
r,,rr
r..,ir I'r'1,',r,
ir'.,irii;: ;;
B
I'r,'1,,,ii1i;r
(irillii
ir:i
.
tiiiir,l. i,
r'i
iit.:
:,
:l
,tfopo:,llt\
:'l
'
.::
.,t,,,tr
ltt
-',
r,ritit
::j.irt ]..]
-
ii .r1i
'ttt
i)4.ii
rtrli
tt,l,i
-1
rrr.iirri
jli)'t:
t).
tllti)|,
)rrr'/rii:
I
Irr
lr|r
rii
l)rttutt:it:tly l'rrir
'lrr,r',':rrlt
I1r. lr-il
i'si1
a1ril1
r:.i
rlr
|tr.,i,ri.ili
L, irli r
'
.nr..
rillirrrrr,ll
tio'r,-i itirtrt"i,'
,ir
s.iilrr,
riti,
rlii. rr',rlirrr
I,e
.)
*
i Lilit:t,,r
j.,;lrnr,r:
;f ii r)ii)i,;ir:,:.i
,i:
r
r
r
'
r
ir
1
r
,
i
rI
l
lr
ro1r,r:
ii i"
irr(il.illri
i.'isi,-r
',1"1
,
'
ii
t,"",'.
l,
lt'
l.lrlrri
1.. I, tti,
ttl
ii ::iilrtillut it)1t,.1t
.ltt
\
t,l[r ittt ij.1.
il
1,,i
'r
11
r'-i'
tt.,,,
-l
. r"r"'
l)ut1t)jitli iltj,
.l
lr
....
r'
:
'
I
,'
?
,r',
1"
{0
l}
,rtrrrrri
li.lla
i{r.
1}\i cunr
/i-il
,'.t,'r',rrrerri,
1.i,11
iil
js;ur
lill
lri
r'z.r,,l/ I. ' I ir 'r"'i rlr "ir'rJ' - Ir: l,
l
a
I
)
I I
1
I
il
d
I
a
'\
r
c
.
l?]
f'r,,sLtl'rlu,,'
r{iir rrr,rr
rr ir r.\r:rl./ i l{ rirrriLlu:r.
ii
I:-..1f].
Li
lr
i
l
eslr'
r'r,i,r'-ri.
rlr',i
71-t,1
ir)l
sar
/i.l
t
{1i
lrrl':nprrirLrrr
Ii
i',)
-.
rrjl
r1.,,
l1/]-
l)
/.r
€
LrTl-lj
.:i
irrirr
-li.11i
:,rr-..n, 1-.. Lczirlri./{-lr).-
irll
ii:,i:rrrl
rirlirrlrr
/1.i.
)
,
{llVr];
(i
rtel
l(
ii-
lLl}.,r,rrtradir'li,r
g
OB:ri. R\,
lll
l)
-i
p,'lrr'
1i
(orie\i
iii.i
.
a 1
.eir
li. ..rrre,\ii.
(lliiri'l
ilrrir ai.rri
i''.,
rrrl)l
i
.l
-
lir
rlnq
l) .1
pr';r',r
1i
lonlr;i
lirii
lri
.,1
s;i lie.rtir
j'.ai
lFrA
j
ll
.f
|
I
\ l
2/,
E
:Ji
I)l(
i-r
'l
ti
/i.lrrrt.
cor:,,-'.t.
Fir
-,
.
riir.t/r:lrr-
if
11,
irIili
'lil
i;;,olie-';{
iii:ll
ri
-
-1
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 74/218
Fig. 5.2
lmportan{a
no{iunii
de
conexilale legatd,
de exenlplu,
de
proprictatca
din
['ropo-
zi ia
l'1.7
carc
nermito
demonslra.rea
existcntei
solrrliilor
lrnor
ccrralrii
implir:ind
func{ii
continur:,
face
ncccsari.
cxisten a
unor
critctii
nrai
simple de
stabilire
a colexitilii
DIFINITIE.
'ie
X
un
sp.rtiu tnetric. Se
numegte
drurn
tn X o
funclie
,p:
la.bl
*
X
continu5,
o
<
D.
cu
proprietatea
g
(o,,)
este
injectiv5.
DacSg(a)
=
9(l),
drunrul
sc numegte
fnr:ies.
Daci
9(a)
=
z
qi
9(0)
=
?
vollr
spunc
ci drumui
g
une;le
purLclele
t
9z
y
Dr tNrTIE. Fie .{
un spa{iu
tnctric.
,4
C
X se nurneqlr:
/ilrar
cclrgd daci
oricc
douir
puncte
din,4
sc
pot
uli
printr-utr
drum
conlinut
tn.'1.
PRoPozlTtA
5.9.
O
mu[lim.e
A
C
X linrar
conerd
esle conexd.
Demonstntie.
Presupuncrn -4
ncconexS.. dcci
cxisi,i 1lr,
D:
multimi
deschise in
v
^- 4..r
,-,,,
ra-\
tt
r ]i
tan J a
1r_\ n n ,-l
rl I /l ll,l
.i
;i5liji
ir:jii
-t,it't
i
a.
.'itu
I
t.
.tiiu
ii":
-
v
t
,
uiwu2
tt-
.r
e
,4flD1.
€
A)D2
Ei
,p:
la,6]
---X
drumcu,p(o)
=
x,9(b)
-
y
Atunci
,'
=
p([ri.
r])
C
.l cs'Le
core;i
qi
,'fl,D1
li]z
c
AlrDr)D"
=
0,
:t
€
i
11D1,
lt
€
,i
il
I)2,
,i
C
A
a
D1i.-j Dr,
deci ar
rezuiia
"/
neconr:x,
conlrariii:iie i
il
cr:Lzui
spaliilor
normate,
caracterizarca
couexit;iii
sc
poate
face considerilrd
drumuri
de
o
Ibrmi. particulari,.
l)ElrrNt'ltE.
Fie
l"
un spa{iu
norrrial,
is,
I
€
V. Se
numeqte
segrierl
de cupele t
9r
y
mullimea
[e,g]
=
{u
€
l/
lu
=
ly+
(i
-l)r,
i
€
10,1]}.
Se tLutrreqie
[Lntc
poiiut'nuii
1v
rap,ir
te
gr
r, ,
truiiirttc
;
=
irr,ztjij
ij
Ulr"--r,""1,
x6.lr1,...,xn
€
V.
C)usltRv.r1tt.
1)
Un
segment
este imaginea
unui drunr
p :
10,
l]
*
V,
9(l) -
ly
+
(1
-
l)r,
deci
esl,c
o
mul{ime
conexi. O
linie
poJigonali
est'e de asetnenea
imaginea
unui drum.
2) Dar:i;,
t.1q
e
S'(u),
aiurrci
ir',
r7j
C
6.ir).
j".arere
lli;i
(1
-
i)r ti]
=
-
rr/(ir
r')
{l
l){""
:
)l
.
ttlr'
'1,
t
rt
t)l'r
i
|
:
r
Tsonrnr.
5.10.
r''ie
(y. ll
ll)
zn
spaliu tuormal,
A
C
V
m.tllime
deschisd,
neaidd.
A este couerd
dacd,
st.
ntLmai dacii,
oricare ar
fi.
r,y
€
A, extsld
o linie
polzgonald
continutd
in
A
cu capele
t:
y
y
(u:11
Dcmonslla[ic.
Deoarecc
,,
€,,
r
Fie
r
€
,4
qi
fic
D
nrul{imea
pur
poligonali
con{inuti
in
,,1.
lbrn
<jer
inchisi
in
,4 deci,
conli-,nli
cii
prop
y
€
D.
Atunci
g
€
l. care
este
o
B,
(v)
C
A.
Fic z
€
B.(y)
Daci
Z
cu
y,
L1
=
ir,
r,lU.
.
U['*,
y]U[v,
aqadar
6"(y)
C
D
qi
,I)
rezulti
desch
Fie
acum
a
eD||A. Existi
r:
z
t
B,(g)llD
qr
L
linic
porrgolald
.
esle
o
linie
poligonalri.orrlinulA
rn
DnA
c
n
c
Dn,1.
dp,i
D
=
Dl
este
demonstratE.
I
Intuitiv,
este
clar
ci
intre
mulli
intre
mullimile
conexe
din
l.ig.
b.3;
gi
M2
au
un
numir
diferit
de
elerle
dintr-un
element
sint
conexe.
in
c
considerarea
complementarelor
celor
a)
DEFTNTTTE.
Fie
X un
spa{iu
m
dacd
exist5,
A
C
X, A
conexi qi
r,9
t
PRopozlTr,t
5.71.
Itelaiia
t cot
Demonst
ralie.
Reflexivrtatea qi
i
folosind
Propozrlia
5.2(2):
-r
con y
(>
At)Az
*
0
icorriirre
?t
-;,
ij{ ,
DEFINITTE.
Cio""l"
,1,':
".hiuut",
conponenle
conere.
PRopozrTrA
b.12.
Fie
X spali
72
./...::./..:'/:\
:.t'/..:.,.'\
'/.'.'t/:',//t :':r'.
./,/,/,./,/,
.,,)/,
',./:'.,
: :..t".,:./
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 75/218
clntrinutd
in A cu.
capeLc:r:
St
u
(a6adu
A estt
Immr
conctd).
DemonstrtL{i<:.
Deoarccc
.,€"
rezult;
din
propozi ia
5.g
rirnile
si derrionstrim
l'ie
r
6,4
qi
fie 1) nrullimea
punci,olor
din
.,1 care
pol
fi
unite cLr
r
printr_o
linie
poligonali
conlilulii
in
,,1.
Vom dernorrstr.a
cai 1f esi,.
sirnultan (reiativ)
deschisd qi
inchisi
in
,4
deii.
conf(:rrlr
cii
F.-oirozi,qia
1,.:i, D
-
ri (r
f
D,
deci
i
I
0).
t.ie
y€
D.
Atunci
9
€,4,
care
este
o
mrltirnc
dcschisi..
<leci
cxisti,
r
>
0
astfel
incit
B,(y)
c
A
F)e
z e
B,(u)
Daci
L
-
[,r,21]
1r1,-rrllJ
.
Ulrr.,ql
c I
unc$i,e
r
cu
v_,
L1
=
l",trlU
Ulrr,l]U[v,r]
c
,4
qi
uncqte y.u
,. d"ii
z
e
Dyz
€
E,( ),
a4adar
6"(9)
C
D
ii
D
rcl,\ILi,
dcschisl (<1eci
qi
reiativ
cleschisii
in ,,1).
.li:l.llno€tn,4.
Existd r)
0
asttet
ircir
6.(r)
c
t
9i
6.(e)fl D+$.
tn.
z
€
B,(y)llD qi
/,
Iinic
poiigonali
clin,1
caro
uresto
i: cu
,.
Aturr.i.l,,
--
l.l)[r.9]
este
o
linie poJfuonald
conlinut.i
il
,4 carc
rrneQt(,
r
cu
u,
deci
y
€
l).
Rezull,d.
DllA
c
D
c
tn,4,
deci
D
=D^lA,
D
fiind
deci
relaiiv
inchis,lr
in
A
'i.eor<rnia
e-ste
clemonsl,rati.
I
Intuitiv,
este
ciar
ci irtrc
mullirnile
neconexe
M1
-
{a,6}
qi
i.12
- {o,6.c}
sau
intre
mul{imile
conexe
din
}'ig.
5.1} a
qi
b r:xistd
o d)lerenli
structurali.
Asilel,
Mi
qi
M2 au
un
numir
diferit
dc elemerite
iar
irrlr
un
spatiu rnetric
mullimile
forrriate
dintr-un
element
sint conexe.
in cazul
din
l.ig.
5.3
diferenqa
este evidcnliati
do
considerarea
complementareior
cclor
doui
rrrul{imi.
ropo
func ii
,r(D),
oricc
in
I
lu1,
t
U
deci
b)
Fig.5.3
DEIINITIE.
liie X un
spatiu
metric.
IJlemenl,cle
r
Qi
?
se
vor
nrrri
@net: ul.
ciac;.
existi,,4
C
X,
,4
conexi.
Ei
r.
g
€
,{. _Arcst
l;rl,t
." ,.,,
,,otu prirr
r con
v.
DD^D^-.-
iiiijr'orr
t,.i
o.i
i.
ii,i,titu
|,tttg t\it
u
IiLt(.
j,
,rhtroienia
le
\
Demonsl,ra$ie.
Ileflexivitatea
qJ
sirrrr:lria
sirtt evidcnte
iar
t,ranzitivitatoa
rezuiti
lolosind
Propozilia
5.7(2): .r con g
<)
,r,.q
€
,4t conexlJ
V.on
z
e
g,
z
€
12
concxi
li
A,ltAt
l0
(."1 iue
-u\
.>
itti-)
At conexi iar
:
.
,-
a
A1i
j
A,.
DELr^-tTit.
Ciirseje
de ecirivaien{E
tiin
X reiaiiv
ia
reiagia rcony
se
numesc
compo.nenle
ene,re-
PRopoztTl,t
5.12.
Ftt:
X
spaltu
n.cLric.
Dati
r
€
X,
t:omponcnla
conct:d
a
7l
B
/':..:
:
/.. .. .,"'
:/,.a.a;/
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 76/218
lut, X
eslt
cea
,mai
m'are
trnljlme
ulncxd
care
unJine
pe :r; cotttpotenlele
un€f
e
sil
mullimi
trch.ise
itt X
.
DelrlonsftaLie
Fie
C"
=
{v€X
iy
con
t}
qi
fle
-A
c
X'
'4
conexi
t
€
4 Atuur
Vll
e
A,
g.on
t.
d".i
I
€
C'",
rezuhind
A
c
C'
Se
arati
l1 or
ci
C.
cste
corexi
Uii.iiro
airt,alie'rezulti
dir
plima
5i
'Jil
faplul
ci
'4
conexi
iniptici
'4
colexi
l
DliFINiTit.
Irie
X
spaliii
ir.ie"ric
O
miillime
roirrgini'ui'
ri
C
X
se
trurrreqie
srrlli
r:r.nret;ti d,ac6.
[,4
nre o
singurI
componenti
couexi"
in
Fig. 5.3
mullimea,4
esl,e
simplu
conexe
iar
rnulliimea
IJ
nu
este
simplu
conexi
Pentrit
rnullimile
a
ciror
complertrcntare
are
un
uuur5t
lirtit
de
componen
concxe
se loloseqte
<lelumirca
de
mullimi
nrultiplu
conexe
iturtr;-
in
Fig
5.4.a)
o
ptuptiet'ate
rem:rrcabill
a
nullirli1or
simplu
corexe
di
R':
orice
drum
inclris
se
poate delorma
continuu
pini'
laun
punci in
l-ig'
5
4'b)l
,,"au
"X
u
rnullime
czrre
nu
esie
sinrplu
cone-{6
tru
poserli
aceasti
proprietaie
u)
b)
Fig.
5.4
DEFINITIE.
I'ie
-{,
Y
spalii
metrice
Funclia
: X "+
Y
se numeqte
ioac''?no
1,r,n
aJ
1i.t"
br;cctivi
gi
aiit'
,,t
cil
qi
"f-1
sint
cottiiiue
Spa'qiile
me'"iice
iirtie
ta
,:risti
un
homeomo.fism
se
rlulnesc
homeomorfe'
Existenla
urrui
}romeorrrorl]sn.r
semnifici,
echiva,}errla
spaliilor din
prnct
dc
veder
Pe
baza
ProPrietililor
legate
de conexitate
se
demonstrearzi
urmll'oarele
rezl
tate.
TEoRitMA
5.13.
1)
R
nn
esie
honeomori
ct
R2
'
2)
tlrt
irieruuL
la
6]
c
R,
a <
b
nu
r
>
0.
esle
homeo'morf
cu
utu ceTL
tlin
FX2
de
ttt
zp
dirr
R2).
I
$6.
STRURI
DE
FriNOTn Col
Reamintim
cd
un
qir
de
fu
dacd.
este
colvcrgent
in raport
sup
l/(c)l
- ll/ll-
cstefinit].
seA
uniform
pe,4
<)
oricare
ar fi
e
ll/, -
/ll-
-
s,rp
lf,,(r)
-
/(u
)l
xEA
Nornra
ll
jl-
sc
mai
numeqt
S-a
demonstrat in Capitolul
1.4
asiguri
ci
pentru
A
cornpact
^^,^.,,,l.-..-r,,.
;- t?/ .1\ n^-^-"r
Tnonor'rr.
6.1.
Iie
A
C
X
lim
fn
uniform
pe
A. Dacd
f"
alunci
f
eslc
conltnud
in rs.
Demonstra\ie.
Argumentu
de aruurnent
.
":t
Fies>06ilicns=n(el
Vn
)
n6,
V;r
€
,4. Deoarece
Vr
e
,4, d(r,
16)
<
6.
+
lt"(
+
l"f(r)
-
f(ro)l
<
l.f
(r)
-
"f,,,,
rezulti continu5
in
z. I
Trottrme. 6.2.
lrie
(X,
<i)
spalilt Banach.
Cu
aile
cuainie,
orice e
> 0
erisld
a(e)
e
N
as{
Yn,nt
)
aluncx
erisld
f
e
C(A)
astfe.t
tn
Demonstra\ie.
Am
demon
A;-
I R(
A\ [ \
""-
lim*i
,in,
ll ll /
___
""_r
-
conform Teoremei 6.1,
este
in
(
in
particular,
(C(ir,6l),ll
ll
n}..-.-;-
";
,.
""",,1
f,,.
rSmine
neschimbati
(se schirnb^i
spaliu
Banach
qi
in acest caz. It
se
arat5
ci
spa{iul
funcliilor
co
spaliu metric,
cu
llJll-
=
suP
I
xeA
D"mnn,trttie
it
r:i"
tro,gol
€
R:.
lrr
tiruP
ce R-{r."}
este
o
mullime
neconexS"
R-{(16'g1l
esr,e
lliniar
)
c.rnexi",
fapt
inc,ornpaiibil
cu
existenla
itnui
llorrreoflrodisnl
'"- ;j ;;:;
;;-u,ncnt
folosii
mai sus: claci
a0
€ (a b)'
io'
bl
-
{zni
este
necore
a,r.
C]l'"t
-
t]
""i,"
.no"r,,
V:
e
C'(zo)
(s-a
notat
cu C'
(26) cercul
de razi
r
1i
certt
i4
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 77/218
tr
t
l)e
sinl
.l.
.\t rci
ront,ti
---;
52?/r1fu
l
orexi
",,,,..
,ii,
5.
1.ir)
se
zn
dirr R )
$it.
$iRlrlli
r
aiii\i(li;i
(,Oi'i
Li\irt
Rearriirrlirn
ci.
rrn qir
tle lrrrrc ii
se nurrcqle
ulifi)rrn.qll\lrrgenl
pr:
o lnullirrrr:
-'1
daci
csle couv,.:r{orrt
il
raporl
cLt
nrclrica
ctati dr
|
1i...
pt)
Il(-4)
- {/
:
/1
-
R
i
sup
/(r)]
- ./]*
cstc finil
|
,\qacLar,
d;rlir
(.1,')" cstc un
'.ir
din
6(,{). lnn.l,
=
.l
J
€,4
uniform
pc
..1
<+
oricarc
ar
fi
.-
>
0
oristi
ri.
€
N astfcl
irrcit
peirlr'r-i
oticc
rt
)
n.-.
l
t- f .r.r, li ,.r
'
/ rl
t(
4
\orrna
|
],..
sc rnai nrrnrt'qir'
\i
nattnu'un.tfotntii
S
a dcnrolstral iu
(lalritolul
ll c;
(fi('1),
I
l-,)
""t,,
urr
spaliu
ilanach. l)ropozilia
1.4 a.siguri.i
pentnr
/l
(onll)act
C('1),
spatlrrl
lun(liilrlt
contiluo
1-'c
-4
cu
valori realt.
^"r^.,,1,,..."1,,.,.
t?/.i
r r\,-,-^,,..r.,,,,
":l
/r/1\ 1
I \ a.i.c,\ilii, ll""".h
14
romnrci\
'f
Eolirixlr
6.'L
ltir:
.\
a
,\.
(.f
.
(l)
sValit
mtlric
tl .fn
f,,
.,4
.
R.
n
c
N.
/
=
)trn
f,,
unilinn
pc
A
Dot:i
J,,
t:s t:
r:anhnud
i2
r0
€
A Yrt
(tL:c:nlual
Vn
)
n(.rn),)
nhLnci
J
r;lc
&nlin
i
i
..t:t.
DenonsLnlle. Argunrcrrtul
lirlosil
lrcnlru
i1
(ierlronstrit toort-lna
poattll
rlrtnlelc
dr: argurlent
].
Ilic:
) 0
5i
fir'rr1
=
n(:)
e
N
(n1
>
r(tx)) aslfel
rncit
iJ',(.,)-l(,)
.r
Vn
)
nq.
Y.t
€
'1.
l)r'oar','rc
./,n
eslc i:ontinui
irt r0
exisli i.
>
0
astfel inr:11.
Ve
€.4,
d(.r:.t6) <
t.
+
lt"(;)
J""(rn)
.
I
.,\tuncr.
Vr
E
1.
rl(:r,.tr)
<
1..+
.i
+
./(:r)
-
/('r,tl
<
l/(') .1,,,
(i)
+
./,,,,(.,.) 1,.(;16)l+
J""(",,;-./(r:1)
-<
r
1i J
rezulti
rcnlilu?i
il
r'.
Turtttrna
6.2.
I'rr'('i,ci)
un syujtu rtteirir', .r\
C
X
tuittperi.
(C(.a).
j
i,-)
rstc
spnfit
Banarh.
(;u
tLi7e, t:ntttttr.
ritL:ri un.
ii.r(i,,)"
tin
C('i)
suiist'ac,: condii)t:
Txniru
orite>0 erisld
rr(:)
€
N
asl/r/
iarll
V?r,
rr
t r(:).
sup
jl,{,r)
.f.,
(r)i
<
c
uluno
ettslti.l
€C{..1)
asiJel iirrfl
lirrr
sup
l],,(.r'l
-.
.f(r)
=0.
'_',
l
l)errorsl,ra{re.
Anr dr:rrolsl,rat
in
(lapilolul
ll.
'fcoretlia
2.2, i:ir rrrr
5ir
()aui:iry
A;n
(R(
A\
I
ll \ ,ra
limif;
.1,'.i ,,n
cir
al,,r.hw
din
/r,lf
4\
I 1l--)
rro
o
lirniti f
c;ro
conlonn
Teorenrei
i).I,
cs1r. rrr
C(-l). I
in
particrrl;rr. (l(k.l,
). lil-)r:s1c
spaliu
f:ianach.
nh."..;,-,.; r .A"rl
lrlrrl iiid.r^nrirrrrr
f I
-
d-
ir.rrrm<rrriia rrrrrr.tlenri
1;1
111,1
11,5
\.r1r\;1,a,s
-,lrrrr'L-a
I'Iirr;,r. rrrrr.li
r\ta
irrndrrlr,lr,rt.
o.'r
rCt
.f
i
I
.
r
sr
spa\iu Banach,si
in
acesl
qaz.
Irlocuind
rrodul{l cit o
noruri,
cu accr:a$i
,iLrlrunstratir
se arati ci
spa(irrl lurctiilor
coniirirc
/
',l.-
1., )'spa{iu tsanach
/i
coinpaci
irr
X.
spa(iu
rnetri(.
crr
ll/Jl-
=
sup
l]l
(r)
]r
.
cste
spalirr i}urach.
I€,1
i2
l,.,.^., ,,,-"
d.
vridere
i
ezul
(ri
L
)
if-
,t.
)tt2t
r'
;i
iertru
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 78/218
Prczcnllm
in
continuare
o teoremd io
carc
conLinuitatca
limilei antreneaz5,
convergentra
unifouni.
DEFINI{IL.
$irul
/",
: I
-
R,
n
€
N
se numeqie
mtnolon
ttcsciilor
(dcs'
crescd.Lor')
ci.rcii
1"(r) S
"r,+r(r)
Vn
€
Nj
qi
Vz
€
ri
(rcspcctiv
i"(r) ) f"+'fr)
Vn
€
N
:i
V/
e
d).
t.lrr
qir
de
funclii
cu
va.lori reale se ntrrrleQl,e
nanolon
daci asle
monotol crescltor
sau monotor descrescilor.
T[oRr]\l.a 6.3
(Dini)
Fic
A
compacl tnclus
in X
spuliu
m
clric
1r lc /'
: .4
*
R
conlinud,
rt
€
N.
Dacri
ginil
(f,')"
csle motuolon,
extsld
,Iim
f"(x)
=
J'(r)
V;r
e
'4
ii
f
esle conhnud
pe
A,
aluncz
lrn
f"
=
f
untfrtrm
pc
A.
Detnonstra[ie. Este
suficicnl s , cousiderinr
qirul (/.)', rrronoton
crescdtor
(dacd
(fi)"
e"t"
descrescftot,
(-/')"
cstc cresci,ior).
Fjee>{).VreA
1t4
=
n(x,e)
asllel
incit
0
<
/(r)
-/,(.r)
<'rV">,,,.
Deoarccc
/
-
t.
cste
continui
in
z.
I
d"
=
6(a,r,) astfel
incil,
Vl
€
6r"(r),
lr/
-L
)(rr
-
(/-.1".)(1r
I.
d""i
g.
.1,,' [",1t
1<
ir.rt
-/..r'.t
+
I
.
e
,'2
Vl
e
60,(r).
Atuuci
0 <
l(l) /',(l)
<
€,
Yn
)
rt,,
Vl
e
{i1.(r).
Dvicierit,
,4
C
Aa.(r)
qi
deoarecc
,4
esie compactir.
putem
exlrage,
confornr
Cap.
ll,
$4,
r€A
o
subacoperire
finit5..
'ie
deci 11,...
,er
€
I
astfel
incit
t
C
rU,6r,,{ti)
si
n"
.rv
=
nax{n,,,
..
,n,"}
Iien),\
qi
ficl6A.
tlxistd
j€
{1,...
.}}
astlel
toctt
I
(
Bt,, ,r;l
r
alunci
{l-
/{/r-
f,
(/)
.
.-..l.oap.o
rr)
\ )rr,..\;ad:r.
Ve
> 0
3 n(e)
e
N
aslfol
incit
Vn
),'V(e)
supl/(t)-
f"(t)l
<
.
qi
convcrgr:nla
uniformir este
demonstrati.
I
(
br
f :R-R lrrt
-
I
arclq
[0.
c)
f
:R-R,
f(r)
=
sgn (r)
=
4.
SE
se calcuieze
modulul
de conti
a)
.f(r)
-
t:
b)
f
g1=
,ti.
5.
Si
se
studieze
continuilalea
uni
a)
/(r)
=
sin2 r; b)
/(z)
=
s
6.
Si
se arate
ci {unclia
/
:
(-1,
r
dar
fl1e,-1
este
uniform continu[.
7.
Fie,4
C
X
spa{iu meiric,
/
: A
-
/
este
uniform continui
pe
,4, atur
8. Si
se
calculeze
aproximativ o
ra
u)"3+4.-I
-0.
b)
,,/t-
e. Fie X
=
{/
€
6([-1.1])
l/(c)
in
distanla dale de
ll
ll-.
Folosrr
unic5,
funclie
/
€
X
asifel
incit
/t
10.
Fie X un
spatiu metric.
g
,4
compactd.]. Fie
Q
:
K(X)
-
Kl
in
(,((X),
dTrp)
(vezi
ex.
17,
Cap.
11. Folosind demonstralia
tcoren
qiruri:
.7f-
a) r"
=
-
s1n
4"-,.
n> I,
ro
12.
Veritica{i
ci
expresiile (J.5) i
13.
Ard.tali c5 dacd ,4
€
L(X,Y)
<
llEllll.4ll
14.
Fie
A
:
R"
-
R'opcraror
linia
din R'
qi
R-.
Si
se arate cn
ll,4ll
15. Pie
qirul p"
:
[-1,
1]
---+
R
c
I
=
1ll"lr)2
+tl
-.'211.
n
;0.
sa,
convergenta
uniformi
a
qirului (p,
Indicalie.
Aritali
cd (p,,),,
est
qi
aplicati
Teorema
lui Dini.
y'.
i .^
r,rr,L,r
{
rr
l.
StrrJralr.unrriuratp,l
0rn,
1i"i
/
R
-R.
J{rr
{t, ::3,."
"
-'"
Q'
2.
Studiali
conl,inuitatea
func{iilor
/
:R?
-
R:
(rJ
.,
r,
"
,,j ) *, lr.x)
I
(o.rt\
-
\
r''
-
I
t
0.
(r.
s)
=
(0.0j
(
,"
"
I
=--:-.
{i.
y)
/
({r
0)
6)
I\,, )
=
{
1"+v"
l l
{r
s)
-
(o.ol
\
.,
3. Si
se calculeze r.,,,(0)
pentru
{irnc[iile:
(1
aiJ it-R.
/("")=
{
cos:
rl0
1.0,
r
-
0
/t)
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 79/218
or
(dt:s-
7,,,'11r:)
dar:ii
csl,e
-R
6
-,1
qa
(daci
)
nx.
BtQ),
<
livirlcnt.
Il,
{4.
si
fin
astfel
.
,10;
r:=0
( 1,
..
> 0
ct
/:ft-
R.
/rJ)-,.*nr",
-
I
o
,
/
-:
4.
Sl
sc caiculeze
nrociuiui
cie corlinuiiatc
pr:ni,ru
iuncliiic
/
i
[0.
jj
*
R:
a)
/(r)
=
r; b)
l(x)
=
rE
5.
St.
se
studicze
continuitatrea
unilbrrnii
pentru
func[iilc
/
:
R
-
R:
a)
/(c)
=
5i1 a; lr)
./'(r)
-
rl,nt:2;
c),f(r)
-
1.iu
",.
6.
Si
se aratc cii
funclia
/
: (-l,oo)
*
R,
/(z)
= i+
lu
estc
unilorrn
cortinu|.
cJar
/j16,-1
csle
uniform
continuii.
r
J-rl
7. Fie,4
CXspatiumelric,
f:
A
-.Y,
y
spatiu
metric
complct.
Sd. se arate cX
d
aci,
J
este uniforrl
continui
pc
,,1.
atunci
peltru
orice a
€
-r:l/
exisli lrrn
/(r)
8.
S5
sc calcuieze
aproximativ
o
riidicinX
a ecualiilor:
a1
t3+4r
-
l-
0.
l,r
,/-u-r-.t. r
LIl.2..
9. Fie
X
=
{/
€
6([-1.
i])
|
/(r)
€
[-
1, i]
Vr
€
l-1,11].
Verif
cali
c
X
esie
comptet
in
distanta datd
de
ll
ll-.
fblosind
reorema
contracliei.
ardtal,i
c;
V,L
)
2
cxisti.
o
unic;. func{ie
/
e
X
astfel
incit
/'
-
(A
+
1)/
-
id.
10.
Fie X
un spatiu
metric.
q,
:
X
-
X
o
contraciie qi
/L(X)
=
{ut
q
X
1
,{ compactd.}.
Fle
9:
lf(X)
-
[(X),
p@)
=
pU)
Aritali
ci
rp
este o
contraclie
in
(f(X),d;rp)
(vezi
ex.
17,
Cap.
ll).
11. Folosind
demonstra, ia
l,coremci
conlrac{ici
studiali
convergenta
urmdtoarclor
qiru
ri:
a)
.rn
=
15117,,,.
n)l,.ts=I;
b) r",=
l
ar.'tg,r,,
-1,
n)1,
rn=
\.
47
12.
Verilica{i ci
expresiile
(3.5)
qi
(3.6)
dcfincs<:
norrrre.
13
Aritali
ci,
dac5"
.4
€
a(x,
y)
qi
B
e
L(Y.
Z), ai,unci
Bl
€
L(X,
Z)
ri
l[r/ll
<
<
llBllll'4ll
14.
Iie,4
:
R"
-
R-
opcre.r"or
iiuiar
qJ
fclr],;
Lralri-,
i.;taqati
lui,1
in bazt:lc
canonice
din
R"
5i
R""
Si sn
ararF
^
|
,rl
.1
(t,;):
i5..
Fie
qirul
p.
:
l-1,1l
*
R
delinjt
prin
po(z)
=
i
Vr
€
[-1,1],
p,+r(z)
=
I
=
ih"{rt'?+tt
.r21).
n
2rt
S[
sn
arate ci
pn
este
un
polilorn
qi
se se dcnonstreze
convergenla
urilbrmi
a
girului
(p")"
pc
l-1,1].
lnrlir:al,ie.
A-ril-:r i
c{
(p,,
),,
es1.r: r
r
lrr
Lcr.
ot
rl
g;1
j
(.s,J
itor
Qi
c
d lirn}i,r,,
..ta este
coul,ilu;,
qi
aplica{i
'feorema
lui Dini.
b)
f:
R
-.
R,
rt,r
=
{;'"*
}
77
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 80/218
-
AI,l'i'o1,tll,
iv
Integraia
Ricmann
lnlcgrala
Riernu'nn
pc tnlerttale
compur:le
din
W.
Cnlenul
Le-
besgtrc
dc
tkl.eqralxlaL. R.icmartn.
lnteqrala
pe inlerualt:
n-iLtmen-
szonale
contpacle
d'tn
R".
Proprtetdlt,
ale
i.nteqralet
Rzt:mann;
teoremo.
luz Fuhint.
trIdrint
deliuite
pnn
integralc
]ltenann.
InIe-
graie cu
parumetru.
integraie
pe
ntlet-uale
nerndrgintte
inTeqraie
penlrtL
unele
funclit
netndrginzle.
ConttergenJa
tnzformd a
unor
inlegrule
cu
paranletru.
Nor"iunee,
tle intcglali
Ricmann
l"lc
la
criginr:
ciularca
ulei
rneiod{r
perltru Cetcr
rninarea
ariilor,
vohunclor,
certtrului
dc
greutate
lncepind
chiar
cu
primele
lucriri in
aceasi,ii
direclie,
rlatorate
lrri
Arhimede,
s-a, degajat ideea
aproximirii
crl ceea ce
a'i
lumim
,,suntc
R.icniann".
f)eqi
convergcnla
acestora
in
cazuri
parficulare era cunos-
cutl
inc5.
din
secolul
al
XVII-lea
(l'ermat,
Pascal. Barrow. Gregory),
conccptul de
inicgraiS,
R.iemann
in
iorma
in
r:are va
fi
prezenial
in
ceie
cc
utttteazi
s-a'
crisralizal
in
secolul
al XIX-lea
prin
lui:riri
lundir'trtcntalo
ah lui Cauchy,
R.iemann.
Darbortx
icieiic
cart:
stau ia iiaza
unei
aite
constrtlc{ii
a lntegralei,
rr:aiizallr
dc li Lcbesguc
ia
incellrtul
secolttlui
al XX
1cll, constrttc{ie
ce
va
fi
prezentald inir-un
capilnl
viitor'
vor fi
prezente
prin
intcrrnediul
critcriului
ltri
Lebesgue de
irrtegrabililate
Ricrnarin
O
corecti
inlelegere
a
conceptului
larg
{blosit
de
integralS Riemann
qi a
critcriilor
pe
care
',.re'oiiie
si
lc saiisfaci
fulcliile
peritru
a fi
inicgral'ile
ilier"a'rr'
este t:u i'riii
rrai
importantS.
in condjtiilc
universalizXrii
utiliz .rii
calculatoarelor.
a
unor
prcgrame
din
ce
in
cc rnai
performanie
penlru
calculrtl
integralclor'
Ii.
'UN(]'llt INTEGRABILE
R.lt'l\l
ANN
Pli
INTERT'ALE
CON'IPACITE
l)lN
R
l'ie
[o.6]
c
R.
o
<
0
qi
fie
-i
:
[o.6]
-
R. lliegrala Riemann
a lui
f
pe
lc.D]
se
colstrruieqte
pornind
de
Ja <rii,cva noliuni
preliminare
a cdror
extindere
in cazul
mai
multor
,ljmensiuni
constituie premisa
rnnstrucliei
integralei Riemann
pentru
func{ii
dc
mai
rlultc
varinbile.
Aceste
no{iuni
sint
daic
in urntitoarca
definr(ln
l)EFtNt'l
lE.
Se
nunrcqrr
= {r0.rr,....r,,,}
C'
fa,l]
lldll
=
rrrax lr, r, ) sc lruri
Sc
nrrt:,tr'1t.c alcger..:
lt:
pt
sLri-.muilinie
{
=
iio,tr.
,{,
;.iFr,ni At.,,.", .^ ,,,
11,t,,",
.,
Se riuincqLc sutn.i
lltenun
lurnirul
o
1l.
l:',,,1
-,,
-*,-ri
',..'.
^l
,l-
"^'
iljerrraln.
Obsurvirrn
,:I
a1(d,
{ )
are
pesl,e
R.
I^C'.::-r..--
DEllNl rE.
Fie
/
:
la.b]
-
h
T
f
pe
lo.bl,
noiats
/
=
i ./
=
i
J.l
orica.re
ar
ti
.
>
tt
"tlit;
,1.
i
]dll
<
6.
qi
orice
alegere
{
de
p
lienarcirrri
cir
l
cstc uriic
t
>
0.
pcritru
o
diviziunc
si
r
<
lr
-
,(d,
{)J
-
l//
-
i,(d,€)l
.
b
I
i)-.-i,.-i-,i I r
ti,,,,,1,,
/'
'""''"
Von
prLnc
prin
dclini(ie
/
,
IJxr'tMpi.rl
|ic
/
:
[a.
]]
-
t
t
divtztune.
.c alesere. dr.r:i
/ ,:d.
in cazul
funclii1or.f cu va
l- Al ,l^-i
satisfacc
r-n
1oc
de
(l.l):
Direct
Llin rk:lini1ie rezulti
mann
qi
anunre ririrginlrea.
78
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 81/218
-
.
D .tl-\l
ttu
St
rlrlrr.srr
:ln
i.iti t
,
il,rr:r.r.alrlLiL
lir.l,
i, srilrrniil,tjrrrl
rl
=
1:'r,,r
L,
..r,,i
a
f,r,/r]
,r,.,
-
,
i
\lrrlrri-rj
r'l
.,.,
lt
.r
:
,.J,
So
rurir'\1.
tltlltt
tit
i;Lt,tr:lL
t::t,.irii.:
r.ii
Ljtrj,ri:l.ar
r1
.
].r.11
.r.,
,t,.io
srrirrrruilinre
i
-
if,l.;,
.
,(,,]r
i"
i,;.
i;ri,j,.i,
i:
i.r.
,11 ;=1
i)
,,.,.tiLi
ir
ri*ertre
aie".rr
sr, r':r
i,riosi
ij
rj,rir l :r
i 1t, i:._
5.
rrrrirrr:i1r
,:',nt:,t
li.t,rtto:tt
I
llrrrcitrr
f
r,
l::ii.,r:
il illi.iziLltr:a
rl
1i
l:r
air.qrrca
{
,.ir(i
ii-Iiil,ti r:.
.t.
I
,)
(lrtid
rLr eri,.ill-
perirol
rlc
a.liti ir.r.
\r)rr
r..irLjirj_ir
lit
r:r,litr,l,,,
.;,
iI]
tr,tr:rr.rl
:,irr r-1,.r.
il icrna
rr n
Obsr:rv;lnr.r
all<1.{)
aJri
scils
i)ertILl
lrtnclti
rir
i.alr)n
iillr
Ui1
sl; ,rlLr
\i,(l.rii.ii
l)eslr
ii
,\ii;tit
iJiii.ii:
.lifiiii
i:rt;.gi;ilit
ii,
iitiir;l
ii irr
./
ir,.
il.l]
Dt-tltilflt
'r'te
|
:ic.i;l
r
rr{ f.rirnirrrri
r.ciij
/:(,,ruJrjciLi.
i:tlt,Jtt t
Rrt:tnrot
u it;t
,.
t
fy'
tl
r.^i
r./-
Jt
i,..,:,..,.,.
r.,.i,r,..., ,r
r.,,.1,
,,,.t
.
I]
.;
r)ri(itr(
ar fj
.-
>
(l
erjsii I.
:,
{_t
rsilri
iitcn
iJcirtrLi
orilr
rlirrz:Lrrre
rl :
ili
fa
ll
rit
l{i]l
.i
,1.
{i
orire ;rlegcrr,{
do
1;rtrcic
,rs()crit1.
cir ,i,
air
loc:
rill
li.crrri:r'rii.lrr
irii
l
rstc
ri]lia
ti,'ii 1li
rlrcr
1/sirr.rsl:rli
rtc.hrrlra.
rirr:r,r.
r){.rLriir
,Jr.'(.
:
>
0.
1)('rltrrl:r
ciiirziutrr. i
o;t|:tc1r,,rorL..r,rr1irilr,
il\e't
roril(rrnt
/i
,1.
r'
i,
.::
<
l/
-
..r(d,{lr-
l/' -
a(rl,€t -i
:. dcr
r
I
-
i/
l
t,
tt111111
i1
l,',5'',
a1]]ii
a-i
e;r::riii
rliJ] rll
ririi
,,risr
):
,\tLirrr:i
oirl
1)
,
rqr
,,;iri
,
ltr cazrrl
iurtr rilor.l
lrr
laioli
ir s1,a{ii
norniaie.li.
irre rala
Iirc:riirirrr
,r
lrri
/-pr.
fr;.11.
rlar;-t
r:xiSiii.
i.ir,,{j
itil
.jciijarji
I rrl
lrrr
,}.i ai.,r.r.tii
i:i;ti:1j. i 1.
iliilir.t;,.t
i;ir.r.r
i:r ;ii,.
satisfacc
ir
ioc
rJe
ILl):
laid.r,t
/rr.:
illf,
l)iLr:r'l
rlin
rk
liriltc
rr.zujiz:,,r
1rfol.ll.:..rr
itrt,Lrrcliriil
a:u1,,
r,l,Jr
irtcgt..riril.
ll:t
rr rillr
tr
qi
arruitr.r:t;trgrnir:.a
rjifI
alt'l.ir
lucriri
rn
reoa
ce
:rzi
cLlros-
tir.:
oislaiizar
Darboltx.
ia
iitor.
crit,r:riiior
l)fl)J1f;|tle
l)lN
[t
ic lrl
s,,
caz
rr
I rlai
Lj
ii|j.trii
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 82/218
PltoPozrflA
1.1 Drd
/
:
lo.6l
-
E\ esie
tnlegrabtld
llttnann' oluntt
f
esLt
nr,rirgi.ntl.d
1te
la
,
b). ,4cua5i
propri.lll(
o.rc
loc
{
in cazul
uuet
funclti
r:u
t'aloti
inlr'-utt
,f'ul'u
nnrtt,tl.
i)
I
n-,.,,.--,.",;. Ii-
/ I
I
L.
l,
'
1,"
, A'" 1.1
,'
Ja i;.rIt::t
li.j
i
t".
alegere de
putLcte
asociatc'cu
tl.
]o(d,O
1l
<
I Atrrnci
i,?(,1
{)l
<
l1l
+
I
pentm
orice
alegel:
{
rclat ivf la
ci
Presupunern
cii
/
nu cslc nirgiriti
pe
io,l']
Atunci
i:xisti
l;r';,,,er"1r]
in
tervai
delinit
<.r<lai.i
r:u
ri
pe
i:ale
/
ru
estc
rrrirrgirrit,i.
fi,,
ii
=
I.i(Q)(,r,
-
-r;-r),
dcci
o(d.{)
-
$
-p
/((;")(rr"*,
:rro).
Alcrgonr
er"
a
tr,",trii,i
asifel incil
i,5
+
l/l
+2
/t1,,;
'
l,
qr
atulri
o(d,{)l
>
l/((i")l(';"+r
-
ti")-
iSl
>
iSl
+ l1l
+
+2
-
l5l
=
l/l
+
2,
in
conLradiclic
crr
(1.2).
in
cazul lunc{iilor
crt
vaiori irir-ur spa iu
norrnal,
este
suficient
ca
in
relaliilc
antr:rioarc
sii
inlocuun
rnodulul
t:u
nortra.
I
lirr
prirrr
cril,eriu
de
integrabiiitatc
care
va
pettrrite, via
coll,inuilalca
ullilornli
pe
corrlpac{i, d{]rnonsirarca
inlcgrabilitetii
frtncliilor
contiriue,
esl,tr
critcriul lui
(
iauch]
'l'LoR.F,Nl,\
i.2.
(Crileriul
dc
integrabilitale
ai
lui
Clarrchv) F'uncfua
f
:
[o'
6l
*
R
este,
inlegrabild
lltttnann
pc
[a,b)
dacd
nr.n.rt
datd
penlru
oriu:
t
>
0
c.ri.s/ti
6.
>
0
aslJc
int:it.
t,r'rcare
o.r
Ji
,.1'.r1"
dntiziuni ale
lui
[a,b]
cr
lld'll
<
.,
]l,l"li
< t
gt
orir.ure
ar
fr
t',{"
alcgert de
punc\t: asoctalr:
relaltttt
la d'. respertttt
d",
att:
lor,
l"(a',{')
-'(d",6/')l
<
€
(1
3)
Fic.
pentru
n
)
1.
A"
=
ll-iemanr
rel:rrivii la
di
r:Lr
t..,,,
r/5\
\')
/
lo"
t:
l
--
-.
'')
ded
lol,
Il
(1
4)
,l
-. ,l-
/ r
'r\
",
A,
Deoarcrr:
iino,
.
aa
<;F
=:Pcn
OBsnRV-{
frt.
Tcorema
1.2
nach.
I)crnc;ristra' ia
se',ransari(
surnek:
R.iomann.
Pe
baza
cril,criului
lLri
Ltau,
continuo,
rczultat
ce
v;r
fi
exi,ilr
iuiit:iii.
TEoRouA
1.3.
I'te
f
:
la,b
pe
[a,
b].
Dernonstr
a\ie.
Fiind
collinL
$-[,
'Ieorcma
1
12).
\rerific5.m
inc
Eie
e
) 0.
Din
continuit
Yr', r."
q
fa,l,]
cu
lr'
-
/'l
<
6, t
f(.
F ie
d,
=
{.16.
. . .
,r;,},
d,
ll,l"ll
<
6.
qi
Iie
{/.{//
alcgeri
d
d
=
di
U
d//
qi
iie
i
o aiegcrr:
de
p;
cu
m.'
{
n, rnl/
1
n.
dcci unel
(r'1-1,xj)
rezuJtind
jidil
<
a.
qi
deci
/({;)(ri
-,'i-) =
f['i)(
n,
t,
lo(d,,{,)
o(d,{)l <
f f
trtc
€j
li {;
aparlin
accluiaqi
iuterval
are
loc (1.5) perrtru
I
{
j
(
m/.
ln
aceiagi
rnod sr:
arati
c
l"tG',t')
o;(d.",(11)l<t
L
1
l1
(l
2)
l)c;iiorstia{ic.
t
I
..J
Fr"
I
-
II
idl,t',.')
-
a(d",{")l <
i"(d',{')
-11
+lo(d".i")
I
<
.t
a^"; rlt'rr . al"I
i
,1tt
z,;( \
.,,
i
i
'
i
,
r
'rr
.t,
cahnir;'
i"r,,,retn'
I
Z
'
"
i
\)
j i'
'
\2'
t'21
"
..e'
fie
(d,,)" un
qir
dc divizirrui
,
Lr
lJ,,l
<
:
Vn
)
I
5J
lie
4,,
o
slLnti lticrnann
Ir,.
1,,i
d.
Irr
'lrrl.;{)ti
lrc,ryr,) asrlil
',,,'1
-|-
n.
,\,(i
)
1o,,.
-
o,,'l
<
e
j
o.
-l
.
a
,i.,;
lJ"
.
r.
1
Prin urrnare
(dn)i
cstc
qir
Clauchy
b
Arildar
cii, I
=
lt.
I)resupunem
ci nu ar fi
aqa. Atunciexistirg>0astfelincit
.)
Vd
>
0
I
d diviziune
a lui
fo.D]
cu
lld
l<
6
Ei
{
alcgere de
pittict,e
asociate
relativi
la d :rstfcl
incit
lo(d,{)
IJ)
t.
rclal,ivi la
cl,
.
Yn.rn
)
N
(e'1.
Atunci,
irrrplici
1imo,.
<
6., iar ( 1.3)
deci existi
1=
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 83/218
'2)
irr
-
+
pe
t)
3)
<
fic,
pentru
n
)
i, 6,
-
llienrarrr
relativi
ia
di,
cu
l'. dtrr.r.r
,'
,r
..ri
Iu.ri
.,r
l,ll,
i
.
t1a.
1,,
r(;)
l'.'
,1,
(l
.tr
:r
\'(-)
as,.t.,l
,',.;,.
- <
':(U).
1".,
, in
(i
r)
r,,,,,tti
o.-o'
it
l,'oo,
irrrrr
/.
"xr:-{a
\ r )
,Lrr'r
rr,rt
ic,,
lj
.
'v,,
\
1
,
tj
dc,rld;,
-ll .2 Ft =:
p*rrtrrr
orice
n )
]liax(N1(:),N(e)).
in
coltradic(ic
crr
(14)
OBSERv,\'flE.
'I'r:orerna
1.2
cste
\.i lill)il;
qt pr:nlru
furt:1ii
cu
vaiori
in spalii
13a
nach.
Dctrrolsfralia
sr
i"t;
lscrie
illor:rrirlri
Inorlr:l,.rl
cu
norna
il
csttr]r:irile
lrivinrl
sunrr:lc
Rienr:rnl
Pc Laza r:ritr:riului
lrri
Oauchl
vorrr
denrotrslra
acurn
integrabilitar
<ra
conl,inu..
rczuliat
cc va
fi extins
in
capitolul
urrnltor
la o rlasi,
mLr]t
Irai
l
urcllL
TEoRET'IA
1.:1.
l"ie
.f
:
la,6l
-
FX
rorttirtud.
pe
[a,hl.
Alunt:i
f
r:sle
ittlcqrabtlii.
RrcmarLn.
Denonstragie.
t'iinrJ
coritilui pc
un
conlpact,
/
estc
uriilorm
contilLri.
((iap.
Ill.
$1,'1eon:rrra
1.12)
Verifici.m
indcplirrirea
corrdiiiei
din
.I.corena
1.2.
l'ie
s > ti. i)in
continuiratcir
unilorrrii pe
la,t]
existi
6.
)
0
astlel
irrr:rr,
\t' i'
p.l,',
;
t,,
t
"
,,.
,\
',i,
ii.
l
(.,'
) J(r")
1.-
z\a
a)
(r
5)
...
frc d/=
{r'0,.
.nii",},
tl,,
=
l:..t,...
.rjl,,}
rtiviziuni
ale
lo
6]
crr
l]rl,i]
<
6,,
i]d//i
<
6.
qi
Iie
{'.{"
alcgeri
de punctc
asociate
rr,:lativc
la
d,.
tcspectiv
ti,i.
Fiir
d
=
cl'Uri".ii
iie
q
o aicgcr,-
<je prncr,c
asot:iar,e
reia.r,iv
ia ri.
Arunci
ci
= i.16,
,
rn
j.
cu m'(
n. nl'l
{
n.
dcci
unele
intcrvalc
(r;_.1,.r1)
sint
incluse
in
at:lari
interr,al
Gj-r,ti.)
'"zuitinct
li,iii
<
,t.
5i
e;
-
:ri_r
-
(r,,
-
:r1,_1)
+
...
+
i.rr.,
Lt,
t)
deci
/({j)(;rj
-
r'1
1)
-
J({j)("r,
-
r,,
r)*
:
+
fl{;)\*1,
-
r:1,-1j qr
atu'cr
",,
L'
'dl'l,€,lrr''l{l|'I,J.{{,,./lt.,|l'rlJl
ltu 4l
{j li
{,
aparlln
acr:luiaqi
ilt,-,rval
al rliliziurij
ci,
pertnr
ril
(
/
(
t,
(vezi
F.ig. i).
ricci
are
loc
(1.5)
penl,ru
I
{
j
-(
rrrl.
ln
aceiali
rlotl
sc aratzi
ci
lot(.t,,,€,,)
-
a/(J ()l
:
-,
rrzrrltirrrj
in
iinai
.:,)'. 't_..t.t1'ctt
-
f I
)
Fig.
I
8t
I
t1,
qi
a], surn
ir.
(1
.,1)
lirrclii)or
largi
de
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 84/218
I)emonstrEm
in continuare
inci un criteriu
Ce inl,egrabilit
ate R.iertrann
pentru
furrclii
reale
mS,rginile
pe
lo,
]]. Acesta
se bazeazt
pe
surnelc Darboux
DE 'lNtTirl.
Iie
/
:
[a.5]
-
R
mirei itS.
si
lie
d
=
{7,,..
,r.}
o divizirrne a
lui
[o,6].
I)cltru
i
6
{
1, . . .
,
n}
{ie
- -
'rL)i
ntllr,
t.r,lf
i
r,,,
=
inl{/1.r)
lr
r
Ir,-1..r''j]rr
,t/1[r,-1..r,1;
"-' M,
-
sut{/rr)
lr
e
ir,-
..r'j}
Atunci
",=f
rn,
(r,
-,rl
r)senurrreQle
suma
Darbour
infe.rtttard
alui.f
relativiad
]ar
Sd
=
L
lvf,
V"
rr
i)se
numeltc
suma Datboux superzoard
a lui
f
reiativ
ia ci.
llvident,
,d
<
5i.
Propozilia
urmitoarcr
prczidti
citeva
propricteti
ale sumelor
I)arboux
pentru
o
-, -,:--r-_
--
I- rl
l|1Ilr
r{rE udLil, llr. 'allllLd
tjc tu,
ut
PRoPozTTIA
1.4.
a) Pcntru ortce d
dixzziune
a luz
fa,bl
qi
orice
(
alege.re.
d.e
purLcle
asociale,
s3(o(d,{)(56.
b)
sd
-
inf{o(d,{)
l{
alegere
de
punctc
r:^sociate
cu
d};
53
=,sup{o(d,
()
| {
alegcrc de
puncte
asocial,e
cu d}.
c)
d
c
d
=+
sa
(
s;
(,9; (
5,r.
cI)
1te,nl.nL
orice dztizzunz d1,d2,
s6,
(
,93,.
I)emonstra[ie.
a)
ltezult[
din
m1
(
/({;)(
M;, V€r
€
lr;
1,
rl, Vi= 1,...,1..
h1 Frn420. Al.g,.rrr
{,6
r.
1..r';l
asl
fel rncrt
f(t,t-n,a
U'' o,--l..
.n.
Atuncr
ald.f )
-
",
=
)_1"({,i
-nLi)(ri-
x:i
r)
<
4,
deci
"(d,t)
-n
< sa
-<
o(d,4).
i.'- l
Similar
putem gisi
o alegere
4
pcntru
care
5i <
r(d,4)
+
t.
c)
Fie
fz;
r,r;]--
[Co,yr]
U.
Ulyo-',yo]
cu
ri-r
=
ao<Ar<
,7yp=
rr,
|uo,ut,
.
,yp\
C
d.
Atunci
m([r;-1,2;])
<
ra(ly;-L,v;l)
Vj =
1,
..
,p,
deci
m(lx;,1.t11)(ri
r;-1)
-
|
rn([e;-1,
rr]Xyj
-9j-r)
(
I
-([3/;-r,
yi])
(ai
-yi-t)
j=1
j-i
'vr
:
l. .. . n. cie"r
sa
<
s;.
5irniiar
se
<i"lnutrsireaza
qi
a treia irr.gaitiare.
d) l'ie d
=
d1
[J
d2.
Atunci ra,
(
sa
(
&
(
Sa,, confortn c).
Conoren
7.4.1.
j'entru
orice
funclie
|
:
la,b]
-
R mdrginild. existd numetele
reale:
1=
sup{s6
ld
diviziune a
lui
lo,6l}
pr
-
t... f- rl
,
-,,,'i.
i
4 ru'
Lu.tji.
Acum
putem prezenla
criteriul
de
integrabilitate
anunlat.
TEoREMA
1.5.
(criteriul
lui
l)arboux
de
integrabilitate
Rienrann)
l'ie
[u.n
clia
J
:
la,bl
-
R
m.drginild..
f
este inl.egrabilii Rie.otann tlqcd
qt
numar dacd
penlru
orxce
e
>
0 etzsld
,J,
dzuiziune
a t
Denorstral,ie.
,
€'Fie/= /
t,qi
D,r
I
;
diviziurre
cii
i]dji
<
.i.
q;
Vi
r1.
o asticl
de
diviziune.
D
inf
qi
sup
qi
obtinem, corrfo
.-a
)d" s;.(l*i
/+i.
,,+"
['ic
lJ(z)]
g
1i
vr
0<7-I<54"-s3.<e.
Dcmonstrirl
ci
V;
>
0
['ie
d1
diviziurc
a
lui
lo
punctelor
din d1
qi
fie 6,
=
Fiedocliviziunealui
5a
-
,5 ,
(
2ii
I
(r,
-
k'-'
r'lnd,r(,
56
qi
511,
au lelnreni
diferili
Atunci
S,r
< 5^^+1
<
-""
2
qi
ci 1- .sd
<
6i
dac5, 6dt
>I
€
-l-1-
t4uro
-')2-
Ioc
(1
6)
r.:u
r lnlocrrit,
,le
2
l"(d,{)
-
/l
4
5,1
-
s3
<
e.
O
aplica{ie
dirccii
a ac
I'niiPozi
llr'
1.6.
0
t'it
[o,
b]-
Denonstra\ie.
Fia
f
integrabilitatca
este
irnc<liar
m;
=
.,f(r;_1),
L{;
=
l(r;)
-/(a)lsup
{(e;
-c;.-,
)
l1(
oblinem
5'6
-
sd
<
E,
prin
rezult,5.
integrabili
corlbrm
82
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 85/218
la
d
la
d.
o
r(d,
f).
.
P.
deci
-
v;-')
fun.clia
orice
e >
0
etrstd
d,
dniziune
a lut
io.b]
asLlel
incil 56"
sd.
<
t'
Demortrtra{ie.
n
.='Fie
i
=
/'1ql
p",,tru
'
>
C
lic 6.
<lat de
tiofirrilia
iltegralei,
astfel
incit Vcl
'I
;
.,.
...^-i..,,
,.,,
^
l- ^ Ft ll . Ii,
dlvlZlUlle
.ii
iiur
<
t)€
ir
d,
o astiel de
diviziunc.
I)coarer-c
l-
i
<
"(..1.,{)
< i
+;
V{
alegere,
trecetrt
ia
,i-,,
infgisup
qi
oblincin,
conlorm
Propozitiei
1.4
b).
f- l {
"0.
<
5i.
( 1*
sa..
deci
a._
S;.
16.:/11
/i1',
,,+"
Fie
l/(r)l
<
1i
Vu
€
lo,6l.
l)eoarece
6d
<
1<
J
<
'5;
v'i
drvrzrune,
tezulta
0
<7-l<
5'a.
-
",r.
<
€. Ounr
6
>
0 este
arbilrar,
rczulti
{
=
7
Er
1'
DemonstrirriciVe>016,>0ast,lel
incit Vd
diviziuneaIui
fa,6]
cu
]idll
<6.,
5a
l<e
qi?-s6<e.
lr.0/
Fie cl1
diviziune
alui[o,6]
cu 5';,
-/
<
|
(exista. /
fiind
sup5 1
Fiem1
numi'rul
")
a
punctelor din
dr
qi
lie
6.
-
4f{*,
Fie
d o cliviziune
a
lui la,i;l
it
11,111
<
l.
\i
fie-d2
-
dUdr'
Atunci
ldrl]
<
a.
qi
Sa-5 "
(
2Ii
I
(rr-ri-r)<
h
'2nn
--
=
1,
und"
s a folosit
faptul
ci'
l'-'''l0a'ru
Sa
qi
5'a"
au lernreni
diferili
numai
cvcntual
p-e
inlervale
din
d2 cu
capi't
itl
tl1'
Atunci S.r <,5i-+1
<
sn.
+1
<
l+1+l
=
1+€
Ascminarorse
clemonstteazi
) 2
',2 '2
-zt,-ta
qi
c5, I-sa <e:
daci.sa,
)
1-
t,"0,
-
"o
(
r,,lect
*a
)
'sa.
-
t'
"o,.
^
r'
s1- -'--
t-
'.iarir
lldlr
'Z
r.
s;l ,1,
-
d[-Jdl Alu'rci.
dLrc;,ldl<
o( .)
"t'
"
t 2
-
\2r
loc
(1.6)
cu . tnlocttit
de
;
qr
;rtunci,
pentru
orice
{
alcgere
dc
puncte asociatc
cu d,
lb
la(d.€)-
/l
.5J-s,r
-".d"rit-
Jf.
I
O
aplicalie dirccti
a accstui
criteriu
cste intcgrabiiita+.ca
functiilor
morotone'
'
r
l^ 1 Ln .-. .-...--*.:
-. -
,at. t'r:t
l'ROtOZili^
ii, i;jr,l,irr.i
i..r'_
r;rr
rrr;rrru'rru
itlt
t:'tttt
i .
lo,
Dl.
Demonstra(ie.
Fie
/
cicscStoare
cu
J(c)
<
/(6)
(altlel,
f
este
constanti'
qi
iniegrabilitatea
este
imediai,[).
Atunr:i
/(r1-1)
(
/(r)
(
/(r;)Vz
e
[r;-1,11],
de':i
i=l
-/(c)lsup{(r;-c;.-')11(t(ni=t/(i')-/(o)llldll,decidac6lldll<'
=h'
f(b)-
f(")
obqinem
5a
s6
<
s,
prin ttrrnare
oticc
astlel de
divizirrne
se
poate
lua
ta d.
9i
/
rezultd, iutegrabilir
conlbrm
Teoremei
1.5. I
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 86/218
utilii.alea
cdteriuiui
iui
Darboux
in
forma
eriunlatS
va
fi evidcnliata
atunci
cirrtl
pe
baza
lui
r,orn
demonstra
critcriul
deosebit
dc
putcrnic
de
integr:
)ilitat'c
Riernann
al
hii
Lebesgue.
liopiiei[lilc
iniegialci
Riemann
per
intcrvalul
la']]
vor
fi
prczc"rlr-'r
in
lJ
ir
cadrul
general
al
iltegralei
pe
intervale
n-dintensicnale'
52,
CRITERIUL
DE
INTEGR,{BILITATE
NDMANN AL LUI
LEBOSGUE
Cour:ept.ul
esen{ial
in
dcterninarea
unei
clasc
foarie
largi
dc
funclii
iritcgrabile
Riemann
este
ccl
de
mtlltine
de
miisuri'
zero'
DnFINI
fltr-
E
C
R
se
Ilumelle
multinLe
de tniisurd'
zero
(riul'i)'
nurnitd
9i
rnzftirze
tLeatijabi,ld,,
daci
pcntru
odcc
6->
0 existe
U,
I
i
)
t]
inullime
cel
rnult
numarabili
de
irircrvale
deschise
qi
mdrginite
astlel
irrcit
E
c
[J
/i
ii
t
i/tl
<.eYrt]7
(ill
notcazd
J=r
j=1
lungirnea
lrri
I),
\-
'
lini 5-
i/,1,
ol'se-vLnd
ca
oxi:ler(;r iirnitci
e'te
ln
u.r'ir
cilr vi'ul
nolc
L
lr,
j=r
i=1
a-iBrrata.
fiirrd
vnrba
de
i.n
tir
clPsralor
5i
mrrgirrir'
P
lroPozrllA
2.1.
a)
Orir:c
ut'btnullime
a unei
multrimi
tle
mdsurd'
zero
este de
ndntrd
zero'
b\
Ortce
mullinte
cel
rmtlt
nurnarabild
tlin
R
cste de
m'asurd
ntrld
'
c)
Beurtturtea
ttrt ui
6ir
rle rtul[imi
rrcglijabile
este
tt
mul{irnc'
neghl'tbila
Dcnton"-tra{ie.
a)
Evirlcnt
b)
Fic E
-
{tr,
. .
.
.
t,,
.
}
C
R
o
rrullime
mrm[rabilf,
(este srrficieni'
si dcrnon-
strim'ci
il u""ri
*,
E estc
Ireglija'bili,
cazul
E
finiti
rezultind
dirr
a))'
| ( . \ .., ,.ii,ri
f:taJl,"i
Fie.>ri
;i
fir'i,
(.,
-
,
.
,-
.
",
-
J
-
2,
.
t
)
J
z
t
'ttt
r
r
VI
(vezi
Ei
121,
CaP.
V,
$2.51).
I
DTiFINI'IIE.
Vom
spune
ci,
o
proprietatc
ate
loc
aproape
peste
tot
(a
p
t
)
rclat \
la
o
mulli"rc
A
c
R
dacl
mullirnea
punctclor
din
-4
pcntru
care
proprietatca
u este
indepiiniri
esie
negiijabiii
TEoRJIMA
2.2.
(criteriul
cle
integralrilitaie
Ricmaan
al hri
Lebesgue)
'Pic
/:
fa.
0l
-+
R
matyrnita.
I
este
irltegrabild
Riemann
qte
la,b]
dacd
9i
uunai
rktcd
J
este
,,,ntirrn
oP,uo\"
PPIIP
lot
P'
o.bl'
L
t.-izt:
i I
-
:i,.,
..
-:
-
<
F
'rt
-,:\'l
l-:\.2j
3
j=1
c)
Dcnronstratia
va
fi data
in
CaP
Denonstra(ic
,,
+
"
Con
fornr
cu Prol
discont
inuitate
ale
unei firn
Atunci
O
=
(J
Q;,
undc
o
k>1
neglijabili pcntru
orice
t
)
['icA)lfixat.Fiee
$l)
astfel
ircir
5'd
-
,d
<
deschise
corcspu
rizitoare lri
intervalele
cleschise
din
d'
Observim
ci
5i
-s6
=
Pentru
r;
e
dt
,
Mi
-
rnt
)
<
\)(.M-m,.\(x,
ci-l
acopcrS.
i)p es1,e mai
mici
rit
fl
acoJrerite
de
rculiunea
ut
e
5,
deci
Or se
acopcri
cu
o
mai
mic5,
decii e.
Aqadar
Q
..+"
I'ie
l/(r)l
(
/i
Vr
va
fi
demonstratd, pe
haza'l
Fiee)0rii
lic O,
=
odatL
cu rnullimea
punctelc
pacti.
(Cap.
II I, Propozilia
Vj
=
1,.
..
,
nr
asllcl incit
Q
'iedodiviziurreah
j
=
1,...
,m,
aflate
in
[o,
lx;-1,x;l
C
1;],
.Jeci
daci r,
I,
-'
r....--
*
--
'4iJI
Deoarece
M([r;_1,
r,])
84
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 87/218
- -
circl
ti.1 i,.
mt.ltirlt
de
rotcazi
eslrel
clcrnon
relativ
mi esle
Du
onsftaltc
.,+"
Clonforni crr
Propozilia
J.2
din
Cap
ITI
$1,
rnul{irnea
f} a
punct,clor
clt:
discontinrilatc
aie unei
functii
rndigirritc
cste
(aracLcrizat:r
prin
condiliu..,,7(e)
> 0.
Atrrnci Q-
[J
O6,
urdc
O;
- {r
€
lo.ll l-r(r)
,-
ll.
O,> 1. Vom
ariita c5.
Os
eslc
I
reglijabili
pcatru
oricr: I
)
1.
fic,f
)
1
[ixir,t. Fie
s
>
0
qi
d
=
d,
dat
clc crii,uriul
]ui l)arboux
(Tcorcma
1.5.
lil)
astl.1 Lrrcrt,{1 ,;
<
i
l,r. tl
= {16.r1
,
.
,r,}
=
d'lJd//unde
irrtervalele
/L
deschise
rcresprrrrzitoarc lu:
d'
coJtlilr
puncie
din 01
iar
cele
din d/' nu.
I)rin
ulrnare,
intervalele cleschisc
din d'
acopcrii
r,
1r,Lrt,,
ip a 1ui
Q1
Q1
C
Q*
C
Qr
U
rt.
()n-r\
j,r,,
j,..
-{.-
\-'
rr,
-,,,
rl.-r..1,
r
f
rrf,
pr.\x.
.t
,t/.:t.
r:,
€d,
r.edtl
ll-
P4'ru.r
t
d'. .\1,
-
,n,
I'l,rr
,1,'inrria
os"rlal'. i,
Jeq
r.:zulra;
5- r.r'--.,,-r).
A
k
"",
.
L
(,i/,
/r,,llr'
.r,
)
<
5lr sl
(
*.
dcci suma
lunsirnilor
ilLervalelor
care
a, op"r,'.
Q1
esle
mar
nrrc clccrr
^.
Punclr:lc dirr cl'. forminrl o mullime neglijabili, pot
2
fi aropcritc dc
rcuriunea
unor intervale
cleschisc
ctr
srrna
lrrngimilor rtriri
mici
rlccil
" ,
a"cr
Q;
sc
a(oprr:r
ru
o
rnulltnre
liniti de inter',ale
rleschise
cu sunra
lulgirrrilor
')
mai
mici. rlecit
e.
Aqadar
Q1.
r'czrilti
n<:glijabilii,
dcci
O estc
ncglijabili.
..+" l ie
iI(r)l
<
/i Vr
€
[0,
]1,
/
continui a.p.t.
pe
[o.
D].
Inteqrabilitatea
1ui
J
va fi
demonstratd
pc
bazir
'leoremei
1.5.
I'ie
e
>
0si
tje
Q.
=
{r
e
f,r
i,l
l
rr\,)
Z
}
1}.
este
neglijabili
z\n-o)
odalX
cu rnultrinrea
punctelor
clc disr:oniirrrit,ate qi
cstc
inchisi
1r r:ornpacl,, dcci co:rr-
-,,^r:
/a^- r.r\
r,.,.-.:
--.:-.:
t
,.,7.
.,tuiir:i
cxisti
J1,...
,
-1o,,
iiitei'vale diii
R.
i:ii
,'rf
0
vr
=
1....
,,D
asrtct incir tt,
c
ijl;
o;
f 1r,1
.
j
1-l,. ',"'4li
Fie
d o dirjziunr: a
lui
lo.6]
corrl,inind
acele exlrcmitlli
alc intervalelor
/y.
j=
1,.
,/r.
aflate
]n
fa,bl.
Fio d'
- {ri
e
d
I
j
e
{1.... ,nrJ,
asl
fcl incit
', , t't t,,ra.i ,,,,i ", d A, r
,
rnt
i
r
?
r
-
n
,
,
,
.,,
r
;"
./
,
_
L_
-
ll\r\J. tl
-"
-
-
:
cu
.
sirf mffcaie
1z
PUnCTA
Orn
lle
i
-+-,.
Fi,
)
IA-L
Deoarecc
,il.f
(l:r;
-
1,
r;])
-
rn([r;,1
z;])
{
2/i
pcnf,ru
orice
ri-ij:rt
€
d, rczulti
.F?e
/
:
f
este
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 88/218
t
(M(l:t;-1,r11)
rn([r;-
1 ,
r1))(r;
-
ri,r)
-(
2liL
Ijl
<
i.
I),:oarece,1(r) <
j=l
,
t
Vre
[a.
bl-Q..
daca.r;€d-ci/are ]oc.rr(r)
<
-i
.,
Vz€f.ri
r,
r;l
C
'2\h-n)
"
2lb o'
Cto..hl-Q,5i
din
Oap.III.
$l.
Propozrlia
l.6, rezrriti
cirVr
€ k,,
r,ti.l
C
lo,
t]-
Q.
I6"
>
0
ast{cl
incit
sup{/(r)
lt
e
lz-6".
r+f,l}-inl{l(t)
ll
e
lr-f",
"
+
6,1}
<
-
2(6
-
a)
lnicrvalcle(r-6'.r+6').,N
€
[r;-1,r1]
realizeazi
o acoperire
deschisl
acornpac-
tului
[r;-1,rJ,deci
l,rr:r:ittdlaosubacoperirefiniiioblinemdiviziuni:a{ge,..,up,}a
t,
lui
[r1
1..r;]
astfcl
incir
lt
wt
(luo
r,vrl)-rn(1r76-r,srj))(yr-lr
')
<
o,i;(',-
r;-r)
Adrugrrid
la
d
prrn"t,
ic
ustlr lrez rlt;.r"..,,Lt,irredtltztunno
i
, rui
..r.b]
cud
i
i.
Propozilia
1.4c) implicS.
S;
-so-=
(,lz(lrt-r,
rrJ)
rn([e;-
1,
rl))(z.i
-
ri-r)
+
+
I
t(,\,1(13/r
r,yfrl)
n.(lyr-t,yi))@r
-
ro-i
.
|.+
,1,14.,I,,,1''
-rr-
r
)
<
€. I
Conor-rn
2.2.1.
O
funclie
.f
:
lo..
bl
-
FI
diferild
de zero
narnai
inlt-Ln
rLumdr
linil
de
punch
d.zn
la,b)
esle
integrabtld
Rtemann
pe
la,b),
znlcgrala
tz
f.tnd
erid,ent
2,ero.
lltilii
atca
dcoscbiti a criteriului
lui
Lebesgue
va
fi
cvidenliai5
in
$4,
cind
vor
{i studiate
proprietitrle
integralei
Riemanr
qi
alc
rnul irnii functiilor
integrabiie R,ie'
man
n.
|j3.
INTII(;RALA
R.TEN'IANN PE
INTER\ALE
n-Dl[.lI]N
SIONALI
CON{PACjTE
DIN R"
Constructiile
qi
criteriile din
$1
qi
2
se extind
la
funclii
de mai
multe
variabile.
DEFINITIE.
'ie
a.7,6i
€
R,
j=
1,...
,n.
Multimea
/) l^- A-l-
-l^
Al-[rn
sc numeste inl.ertal n.-d,imenszonal
compacT.
irr ceie ce irrrrreazi,
priit
iiitervai
n'-tiiirit
risioii ai sc
va
inieieAe un
iiiiervai
l-dirueir-
5LvIdr
(uruPd('
.EXEN{PLE. ).) n
=
2. Inl,crv;rlele
bidirnerrsiolak: conlpad,e
lot.6,l
x
krz.6:]
.int
drepturghiurile
cu
laluri
paraleb cu
axclc
(irig.
3, (a)).
/a\
2)
n
-
.1.
lntervalcle
i
paralelipipcdc
clrepl
unghice
(Fis.
:j, (u))
DEFINI'I'IE.
I'ic D",
=
|
al
lui
D" nurnirul
vol(-iJ"
)
=
OasEnvlltn.
in
cazul
cazul
n=3
dcfinilia
volumulL
Introduccn
acum
lolil
n-dimensional.
DEFINT'qID.
Ifie
D,
=
l
fie
d;
o diviziune
a
lui
lor.d,
t(
j-<-,
1(i(mr.
I
n-dimensionaie
ri
=
/i,r,
x
.
Pentruoparti{iePdcfi
(=
max
6{l))
Convclirrr
ca
pentnt
D,
VA
EP.
'ie
7z
o
parti(ic
a
lui _i
€={(AlA€p}.
Acum
putem
defini
sum
DEFrNrTrn.
Fie
D,,
un i
Fie
2 o
part,ilic
a
lui D"
qi
{
a
lui
f
relatiud
la
P
Si
ta
(
n
in
caziii
in
care
nu
esic
sumclor
Rieilann.
FhEMpLo.
1)Fien=2qifie1)2
86
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 89/218
l
<
c
).
<
a
c
il.
)
-F
.".
vor
Ric-
ta,'
ft)
Fig. 3
2)
n
-
i
lutr:rvait:lc
trrrlimcnsir.,niile
compa(le
p
,61]
x
fo2,brj
x
ftr3,D;1]
srrrt
paraielipipr:dc dreplunghicc
drepte
cu
lr:{ele
paraiclt:
cu
plarlr:lc
cleternrirrate.lt:ixt:
I)EFINlfrti
lit'D,,
- lc1.b1]
x.
x
io,,.1,,].
Sr
nLrnr.Et{r lolan
(sau
zrri'rtrrri)
al
lui D,
lLrrriirui
vol(I).)
-
(|1 ar)
(b''
-
o'.)
OIIsERV-L
lFt.
in
cazul
n
=
2 sc rcgise,sl,r'
r1r:lini1ia zrrici clreptrrnghiLrlLii
iar
in
cazul
n=il dr:linilia voluinului
prisrnei
drcplulghiularc
clrcpte
Introduqrrr
[(:Llnr
noiillnil{]
pretnergitoarr:
clelinirii
srinlclor
R,ilrrnillL11
rn
(i11rri
n dinrcnsional.
t)trlrNr'frt,.
l"ie
D,
=
lol,br]
x
x
la,,,b"),
vol(D")
>
0.
I'entnr l{i{n
fie d;
odiviziune
a 1ui
lor.6r],
d,
=
{,r'r.0.;r7,r.
.,r1.,,}
qilie
-Ir;
-
l;r,
".-r.,r'1
r]
l{
j(nr,
1{ l{
m,
Sc
rrLLnre5tc
Tn.rltlt(
a lui
l)n mrrliirrrr:a
2
a inlr:rvaLt'ior
n,dinrclsiolaic'.1
-
/r
l,
x
x
in.h,,,
iil',
l
rrr;..i-
i. ..,r.
PenlrrropartilicPdcllnirrrnottnLrl,t)n]ll-n,;trlLrrrx{lr,-r'il,.Jrrie,{f)
l=
rnax il,,1J
)
'
n€t
' "
si nt
(irnverrirrr
aa
pentrlr
/lr,
cir
V,]
€P
I
ie
P
o
partrl
ic
a
lui
D.,
.
{=
{€,1
.1
e
"}
Acurrr
Irulenr
rlellni
sunrr'lc ll.ir:rriarrrt il
(razrtl
tr-dimonsional.
DEFiNITttt
[ic
/)",
rrrr irterral n-dimensional
r:u
vol(l)',)
>
0.
ie
/:/),,
-'R
[ie?
o
par1,i1ic a
lrri /),,
5i
{
o illr:gere
de
puDclc
asor:ia1c.
Sc trumeqle sut}d l
ctllii]?r
u
Iu,
I
r,lot,,,t
lr
P
.>, lu
r
rr..,rr;n..
r;tP
{r
J,t+''.'
t'
A€P
vol(D")
>
0
si
formirnr
parti{ii
?
crr
vc'l(,'l)
>
0
Se
rrurrrcrqtt'
altatre
dt
purt.t'.|.e osctctal.r:
()
rlrliltime
sriiri:loi
ltieliar,ii.
[,]xr,\rPr,E.
l)
Fie
n
-:2
1i
lit
|'.
i
'.
-l
l,',.],.
ri-\ri
P1
"LLr
r\11r11'\drrr
J
rtr
rruL.rr .r
I),
-
la,b1
xft',d1.a=r'r<.rr
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 90/218
c-Ao<lJr1
1 h,=rl..\1r-
lr;-1.rr]
x
lvr-r.tlt]'
1-(
j(rru'
I
(l(p'
(€,u,'li*)
i-.arr.
v
-
{11r.
I
I
(
j
.{
zn. I
{
I
{
p},
11
a; - {({,r,
air) |
1
1
j
(
m'
l:
t pJ l"
1'
/r,-R
frP
o1(P,([,r11=
f
f
f(€;r,'rrr)(';
r;
r)(itr vi-r)
t-r
f
=1
))Irir:n=3,
D:=
lnr,6r]
x
f4'.621
x
lor,6:1,
ar
-
ino <;tr
(
{
r;1
-61'
a2=
o<
91
<
< uo,=bz.
at=zo<zr{
1zr=h3
-
Ilri"ru"l"
Ai11"
=
lt:i-1.x)t
x
[y,-r,.qr]
t
[-*
,,.t]
d"lrncs.
r'
l"Irtilie2
Puncrele
(€iir,r);it,(ti*)
6.4;i6
d,,nn"",t
o a1,'g*r,
dl
puncli
asociale
cu
P,((,11,()
l)ac '
este
datir/:I)3-R,
lnl
o
t
(. (t.,1,
()\
=
)-
f
l(';r,
rttrr,
ctj*)(r'
-
cr-r)(v-;
-
)1
-
t\l
zt ?
r-1)
i=1
j=t
k=I
Pentru
o
lunclie
miirgiriLi
pr:
un
interval
n-dirncnsionai
pulr:m
rJcfini sumele
I)irrboux
lclativt:
la o
partilic
T-altll,
D,,-
R iiiirgiriiii
pe
uIi
iilierval
,i-ditlrrrrsi,,rtai
2
dcfinim
ml(A)
=
inf{/(e)
|
ar
e
,4},
-
R,
/(r)
=
c Ve
€
/),,,
atunci
/
este integrabild
pc
un
ilicrvei
lu,
i] qi pc
r:n
i
alil
cnutr{arca
r:ritcriilor
dc
aserrlerrea
ci
itlotrrild
rrrodr,
i
:
D,,
-
ji.
uncle
_\
esre
un
,\ ri.t.i.rn
acurn
ci
;i
in
Iliernann
atr;rgc
rrrii.rgin
irea.
PRopozr. r-,\
B.l _
Fie
.i
pe
l)",.
Aceeagi
pnprrtl.olc
a
I)errionstra{ie.
l,,ir:
i >
0
lrr(P.{)-
Il
<
.
,Jeri
lo(p.
An
C
I irslI,
l rrL,
rt
/
rrrr
este
rric
^9
-
|
16ry""r1,,
A
+'A.
Atunci
lo('/:,
{)l
>
I.f({o)lvol(
in
caie
{_a"
=
(6)
E
Tcontlr,r
3.2.
(Criteriu
esle
znlegrabtld
llrcnann
d ac
inril
ortrare
or
fi
p,. p"
pa.
{',
{"
okqcrt
relatte
,t
p'
r
I
inlocuind
in
(3
2)
rno<iulL
mann
pentru
funclii
cu
valori
DentottsLtaiic.
,..*"
La fcl
r:a
in
cazul
urr
,.c"
OolsiderEnr
un qir
(
mann
(a,)"
asociate
acostora
Banach
X,
deci
existi.
/
-
Ii
und
inrerrsi,..,ira
l,
,i
I
=
f
.l
DN
Peiii,ru
apiicarea
accsi,iii
I
boux,
introducern
noliunea
dc
DeFIrul,1rc.
pie
p
o
oari,
lui
D,
se rrulrreQte
o
,ofin.or."
^
n-dimensiolale
care
compurt
P
ctli
= {r',,r,,
,r).r,},1{i
TEoRDMA
3.i1.
Dacd
f
:
mann pe
Dn.
Acelast
rezultal.
r
Demonstralie.
Aplicim
.li
i)EFiNiTiE
Fie
'iulc(ia
i
D"
-
5i
2
o
partilic a
lui D',
Pentru
I
€
MrG)=
sup{/(e)
|
.r
e
,4}.
"i(2)
=
t
rnf(,l)voJ('1)
se
numcEle
suma Durboux:
inlctioarii
rclalivl la
2
,teP
5i(2)
= t
,l'ly(,1)vol(,4)
se
numeslc
suma
l)arbour sLperioati rr:lalivir
la
?
AeP
Au lost
aqadar
introduse
toate
noliulile
prclitrrinarc nccesatc
delinirii
collceptu-
lut
de irLtegrals Riernatrn
pe
un
intcfva]
n-dirnensional
qi
domorrst,ririi
cliteriilor
de
rnr,
Bral'rlrr,rt,
(
archl
Et
Darbc,u.r.
Dtl 'lNt'f]D.
Iie
D,,
un
iirtervai
zl-dirnertsiona]
cu
vol(D.) >
0
qi
tie
/
: D,r'R
Se nrrrneqte
irtlegrala
llicmann
a
lui
/
pe
.D'
nuniiruJ
real
,l
noiat
'
-
.l
I
=
Lt,.
'
i l',.r,,... ,.r,)tl.rr"
4.r,.
.rl
lrnfrrelal-a:
V.
U
JD
allt r
rrr'll
V/'1'arlt\te
D"
u
lrii
D,.o
liPll
<6.qi
V(
alegere
de
puricte asocialc
(,
?
are
loc
lo(?,{)-
Il<e
llarii
rul(
/),,
I
o,
.l^nnrm
/r /
-
0
.l
D,.
Se
zrrati
la
lel
ca il cazu
a
-
1
c .
tlacX
existi,
1 estr:
unic.
I
IJacd
.xrsta
/
"f,
ft,n.\,o
/
sc nrtnreqte
xntegtll)xld Riernaun
pe
D,'
;"
ExrirMPr,u.
DacE
f
:
D,,
Riemann
pc
1),,
qi
(3 r)
Analogia
cvidcnti
dintre
forrnulrlrilc dtn
definilia
noliunii
dc
intcgralS.
R.iemanr
i
f
=c
t,tlll),,\.
t"
D.
ti ii
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 91/218
=lt,
Punctcle
este
rr-.).
surnele
,,1),
la
2.
Ia
?.
de
D,,
partitic
-
rl<
t
(3
1)
R.icnranl
pe
un irl.erval
[a.
t]
qi
pc
un
inlcrval
n-dimensional D,
va
colriinua
ir
ceca ce
privcqtc
aiit
enuntarca
criteriilol
dr:
irtr:grabilital
c cit
gi
dcmonstrarea
lor. Observim
de
asemenea ci
inlocuild
rrtodulul
cu norrt:a
oblincrn
definil,ia
intcgra|:i
pentru
lulctii
i
. D, -
\ rrnc' ,\
,.rp
irl
.fauu
nnflr,al
Ariti.rn
acurn t:i.
Ei
in
t:;rzul
frrrrc iilor
dr: rnai
mrrltc
va.riallilc
irriegra.bilitatca
Rieriann
atrage
rrtirginirea.
PRoPozt'ftA
3.\.
Fie
.i:
D"
-
R
tnlcgrabtlil
llternann.
Alunct
f
cstc
rniirgtnild
pe
Dn.
Ateeali
pxtltrtctale
urc
loc
Ez
pr:nlru
funcliz
c:n r:alorz
intr-un
spaltu
norrnal.
Denonstua\ie.
l'ie;
>
0
gi lic
l.
astle| inc'it VP
pariilie
ctt
llPll
<
6.
qi
V{
aiegere,
o(P.il
Il
<
e, deci
l"(P
{)l
<l1l*e.
t)acn
/
nu
esto
mirginit5.
pc
/)", existi
,40
C
p
asl,fel
incit
I
rru
este
mirginiri
pe
.,10.
tn r
qt
-
,).
ln:.9
=
I
/(4,r)\'ol(,{).
Aiegerrr
{6
€
,4r; astfcl incit
i/((u)i
t
tffi,
Ala.
Alunci
la(2.{)l
>
1/((0)lvol(,10)
-
lSl
>
1i} 2e, o
coltradiclic
(aici
{
cste alegcrca
rLr
Ldrr
(4n
-
i,0i
TIToREMA 3.2.
(Critcriul
dc
iutegrabilitate
Riemann
al
lti
C'auchy)
/:
D,'
'.
6
esle
tnlegrabtld
lTtemann
dacd
gt
numai
dacd,
penlru
orir:e e'> 0,
cnski
5,
>
0
asl'fd
tncit oricare
o.r
fi
?'
,
T"
partilii
ale D" u
llP'll
<
,5.,
]l2"ll
<
6,
st
oriure
ar
li
t'
, t"
alcqeri
relalzue lu
Pt
,
respectit
P't
,
are
loc:
o(P',("')
o{P".e".)l
<..
(.3.2.\
inlocurnd
in
(IJ.2) rnodulul cu norma,
oblincrn
un r:ril.criu de
integrabilitatc
Rir:
mann
pcntru
funclii
cu
valori
illr
un
spaliu
Banach.
Denunstt.L[le.
,.+"
La
fi:l
r:a
in
r:azul unidirnensional.
,.+"
Considerinr
un
qir
(2"),,
de
partitii
cu
ll2'll
*
0
qi
un
qir
de sume Rie-
marrrr
(a,),,
asociate acestora.
Din
(3.2). (o,,)",
rezulti
Cauchy,
irr
R sau
in
spa{iul
Banach
X. deci exislii
I
=
Iimo,,
qi
foioslnd
din
nou (3.2)
aritdm.
ca
qi
in
cazrrl
.
t"
inoiLni'rrsioilt1i,
r" t
=
.l
t
r
D"
Pcii'i,iu a;;iicaiea
accsiiii ciiieriu,
i:a
;i
peniru
cirtrl.,lsita.Lea c,iiir,tiiiiui
iui Dar--
boux,
introducem
lolrunea
dc tafinare a
ulei
partilii.
DtrFtNllnr.
Fie
2
o
partilie
a unuj lnterval
rr dimcnsional
Dn.
Parli\ia
Pt
a
lui D,, se
lurnelitc
o raJinare
a
lui
?
daci
P'
esle formal5,
prirt
divizarea
intervalelor
n-dimensionalc
care coltpun 2.
Observirn
cd.
in
accst caz,
d,
= {e,i,o,
...
'r1,,,t}
C
C,'tr
-)t 'r,
,r,rl
r
'.
i
.
t'
'I
lonov,q
'.l.il.
Dacd
f
: D,.
-'
Fl esle continrLd,
alwm
f
este inlegrabild Rte-
nann
pe
D,,.
Acelast rezuHal
cstc xalabzl
gi
dar:ii
I
are naLori
inlr'un
spaliu Banach
De.monstra{ic.
Aplicdm Teorr:ma 3.2.
fie
e
>
0
qi
fie
du
dat
de
propric'tatea
de
it9
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 92/218
conlrnLrilatc
unilorrllii
a
llli
J
p{r
/)n
astlll
rnclt
Vu't
e
D"'
a
i1,,,,i.,\
=
/idl ft,ll<-
z'
-I
(r
3)
ttj,:..
'P'
. T"
partilii
irir:
lui
/),,
cu
112'li
<
6.,
li""il
<
6.
Ei
lic
{'
{//
alegcri
relativc
la ?',
r'cspecliv
ll"
(lonstruiin
o
ralinarc
?
a
parli{iilor
7'
1i
?r'
prtn
,",,r,i.*r
Jrrli"irr,ior
intcrvalr:lor
lcr.bri,
I{i-:irn
folosir
la
fornrarca
l'rii
P"
si
fic
i
o
irlegcrc
relalivi
la
2
ln
srrr-na
I'i.icnranrt
t(?'
,{')
apar
lermeni
lclal,iv
la
int'ervalc
rt-dinrerrsion:rltr
cait:
se
tl".,,nru
1r,rrt
in
reurtitttti
cie
rltervale
ri-tlilttettsion
ale clirl 2'
decri
lo(P'
€')-
"(2
€)l
<
<
;
iilel
,l
f((-1)ivoi(r)
untlc
'1
c
;1'
rler:i
(3
3)
i''plici
-ll€1")
-
/(i'r)l
<
,
i
-
r,
rr'lr
r'r'i
rorf'
t't
-
"
/'
€
;
2
',1(
/
'
)
Cu
acclaqi
ra ic-,;r
anrcnt,
VO"
'e")-
"(P
i)l
<
i'
deci
(:i
2)
esle
rclilicttd
si
/
rezrrlt
s.
integraLili
R.ietlilnlt.
a
PRoPOZIfl.\
'.\'4ltit:Pt
o
patlxlij,
a
ltn l),",P"
o
raJin'Irc
o
sa
gi
jit(
u
ohqere
,claltuii
[a?".
Pt:nInt
J
:
D,"
*Fi
nuirgtntli
art
lot:
s(t')
(.-(2")
5
a(2".{)
<
s("")
<
'5(7t)
(3
4)
l)ett;torrstra(ie.
l)acd
l"
e
?/'
existi
A'
€
Pt
cu
'1"
C
'4'
gi atunci
ir;(,4')
(,,r.r(,1")
{
J({.r")
(
n'/j('1")
<
'1i,'('1')
l
rr.\
\q,l
Iiic
|r
o
parti(ie
(ir
inci1, VP
parti(ie
a
lui
1)
B
n}A
+
0},
arc 1,.:.
f
LJE
Fie
2
cu
llPl
<
,.
tt
e
P
(rA.
4(b))
,\t
.9(P)
-
s("r)
<
21i
)
<.S(n,) +
-
..
1+
-
1
'2)
I
-
slP)
.
i
vl
.,
Lll
'2
10(,
€)
-
1l< s(P)
-s
Fentnr
crunt,ui
qi
d
rnilc
rle masur6
zcro
din
DErINl
Iru.
l'ie
-.1
(
r
>
0
cxistd
(ai').>o tnL
o
--:
in, rl
,-1
C
[Jr'^
;r
I
v,
k>n
r:o
l,lstc
erident
ci rrir
arali:
e,*-act
ca ir
";rzul
L
este negli.jabili.
cii
rnu
nurrrirabilc
dc
mullirni
'l'd^DDr{
^
1ri /(:r
tnlcruo I n -
d.rrncnston ul
I
dacd
5i
rtt.rnai dacd
rrtu
I)lrnol,stralie.
Dcr
de
o
variabilir
rcal ..
'['tottlil,l,l
:].5
(Cnterirrl
tle illegrabililate
al
lui
Darbou-<)
t"it
I
D"
rrtirgmzla.
J'
cslt:
tn*:orabtla
jlttmunn
dttcd
st
ttuntat
dtcd'
ttrtcare
ut
lie
>
l)
P,
pattrlit:
tt
lttt
D,,
tu
'5'(P.
)
s{2.)
<
e
'
90
l).
itrL,rr
s/
ra
irt
..+
ltr,-
)
U1r
l.
-o(t]
t
0
clat de
condilia
(:t
2)
|ic?opartiliealui
D"
cu
li2l
.-
r .
i)r:ntru
/.
€'P
fi.-{'a €
I
asl'[')]
incit
f({i)
<
mr("1)-
a;/l
ai
{,1
€
-'1
asilel
illcit
f
lt';)
<
ltrl.])
:*,,
.rr
,\t,'n'r
o(f
,{')
<
s(P)+f
li
orl.{'1>-'f
r
-:,
r'
/,rlr''',1
'r,l-r-.rll
otl
t"t
;
-'
It''-
-'
J"
(3 5)
Iir:
J,f(r)l
<
l: Vr e
i),,
;i
tie
f
sLr2{s(lD)
|
?
prrtilie
a
lui
1)"}'
I
=
ntlt,SQJ
I
?
partilic
a lrri D,
I.
a
ciror
cxistt:trlii
rezull6
clin
lll
4)'
l)in
(3
il
avcrn
0
(7-I< S'(2,)
s(P.)
<
EV; >
0,
ctcci
{=7'4'l
At,,".i.V"
>
0
lb"
>
0
asr'lii
lnr:it
V"
cti
]l"ll
<
b.
't(P)*I
<;lii
1-s{?) <t'
\io]}]
(l(xilollstra
prima
relalit:.
tlcrrronsiralia
ce]ei de.a
rloua
fiintl
irnalogir.
-R,
cusld
(3t
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 93/218
t__
lli:i..rl..i-l1l
i
I
t--i--i--l
-t
+-j
_l
I
r
I
t_t
I
I I
I
(3
3)
{//
alegeri
Prt
prin
qi
P"
si
care
se
<
/(€o)l
<
qi
f
o
alegere
(3
4)
i
atunci
extstd
(3
5)
(a)
B€P
(b)
Fig.
4
Fie
P1 o
partilie
cu
S(p1)
-
I.
f.
D"ou,"."
vol(
U
A,4)=
0,
16"
>
0 asifet
':i,^ol
oi:r't"
a
lui
D,,
cu
|z|lt.
,,notrnd
i
= $2,
l
r.n€
?i a^strel
incir
B]AA*0j,
are
toc
5_-
vo(B)
<
n}
(vezi
Fig.
a(a)).
BEP
Fie
?
cu
llPll
<
re'P
ct
llPll
4
6,
9i
?2
rafinarea
oblinutd.
Iolosind
d,4,
0B
penLru
A
€
?y,
B
€ P
(fil.4(b)).
Atunci
llp,ll <
b.
"i.
a,u a"-"""
"-l-;^i,^
,,
,
tunci
llPrll
("6.
9i,
tlac6
i2
are
semnificaii.
d" ,rrui
"u",
(P)
-
s(p,)
< 2/i
t
vol(B)
<
f,,
deci
conf<,rm
(2.4),
s(;).
lt",f
_
:"i
',
a
lui
'
.3r
ol(-4)
+
si
6, decl
D,,),
(3.5)
<
e.
<
s(21)
+'U.
t
+
",
+
|
=
t
1-
u.
Dac5,
6.
cste
ales
asifel
incii
.9(p)
-
I
<
I
ci
€
-
rtrl
.
':
r,
*1rnl
lll
<
6,,
atunci,
Vp
cu
llpli
<
6.
qi
V{
ategere
retativi
la
?.
2
91
lo(P,il-
tl<
s(p)
-
s(p)
<€.
d*i
t
-
[I
t
i"
Pentru
enultuj
Qi
ciemonsrratia
criieriuiui
iui
Lebcsgue
tiefiniin
rnai
iniij
inu]ti_
mile
de
m5suri
zero
din
R"
DEFINTTTE.
Fie,4
C
R".
A are
mdsnrd
zero
(este
negtrjab
d)
daci, pentru
orice
e
>
0 existi
(U")";e
mul{ime
cel
mult numdrabili
de
intervale
n-dimensronale astfel
incit
Ac
.l)Ur
1i
f
vot1ul)<
r.
Vn
)
0.
l>o
-
k=lj
Este
evident
c5
un
interval
n_djmeusional
cu
volum
zero
are
misurX
zero qi
se
arati
exact
ca
il
cazul
unidirnensional
ci.
.,r;""
",rf,rnui1irn" ^
,rJ"m,rltrimi
,regliialite
este.neglijabili,
ci
multrimile
cel
niult
numirabrf"
"irt
""giij"'ili;
qi
cd
reuniunile
numdrabile
de
multimi
neglijabile
au
mdsura
zero.
..
Tlop"lM^
3.6, (Criteriul
lui
Lebesgue
de
integrabiliiaie
Riemann).
Fie-D,,cR,
T]:?:"'::. ::'"""at
61.[te
f
D,
-
w,
^d,s,nai.
t
""i"'t"i"g*'tlia
nremann
pe
t')n
tttq
tt
numat
dacd
mullimea
punctelor
de
thscontmuitale
ale
lut,
f
este
neqti.labiid.
Dimonstra,lie.
Demonstratia.
o
urmeazd,
indeaproape
pe
cea
din
cazul
func{iilor
de
o
varrabrla rcal ,.
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 94/218
,,+"
Q
= {xeD^l/nu
este
continuS'
in t1
=
|
ero,
rrnde
f}1
=
{t
e
l"
I
,,r@)>I), k>
r
'ie
ngadar
,b
)
1-
€
Pr
qi
rezulra
] |
'.11,11
s
t
LMI(A)-
rrrr(l)lvol('4)
(
k,u
'
lEPr
Ae?t
€t
<
S{Pl
stP)
<
l=.
de
und.
rezulti
)
vol(A)
<
.
-'"
-
2k
F",
z
S
ar
mai
pulea gdsi
puncte din Q1
pe
frontiera
anumitot
interval'?
n
dimcnsionale'
Acea.sta
este
o
mullime
negliiabi)5.,
deci considerind
pe
lingi
,41
,
At
e
Pt,
tn-
I
tervalele
n-dimensionale
deschise
A,*r,
'A,
care
acoperd
[J
d'47
qi peltru
care
j=l
Aritim
ci
O1
este
neglijabili
Vfr
)
1.
16xat.
Fie e
>
0qi
?
=?"
dat|
de Teorema
35
astfel
incit
Fie?
=PtlJP2,
unde
AePl<+
AllArl0.
Atunci
Mj(A)-
$4.
PROPRIETATIE
IN
GRABILE
RIEMANN
Foiosind criteriile dem(
prinr:ipalele
proprietiti lega
pacte.
Observim
cd
dar:X
/
folosind
un
qir
particular
dt
PRoPozrTrA
4.1.
1)
Fie
f
:
D,
-+
R
in,
compact.
Atuncd
J
este intt
2)
Fie. 4", Bn interua
D.
:
A.U
8,, interual
n'
Riernann
pe
An
6i
pe
B"
at
Caz
particular:
n=1t
Demonstratje.
1)
Se
aplicd
Teorcma
3
mul{imi
neglijabiie
este neg
2)
Integrabilitatea
pc
.l
fu nc{ie
integrabilS Riernanr
(4.1)
se obline
conside
Pl
este o
partilie
a
lui
y'",
la
partiliile
21,
respectiv F
PfuoPozrTrl'
4.2.
Dac
ar
f,
cr,
A
€
R,
e/
+
B9
estr
I
Demonsf.ratie-
Integr€
o"J+Be(P,
t)
=
aot(?,0
t
CoRoLAR 4.2.I.
Fie
f
(x)
:
s(r)j.
Dacd.
existd
k€N
gz
orice
A€Pk
?. ti'sl
sQ)-s(r)<
*.
,mt(h
> +
vA
\-
L-
P
vol{-/.;)
<
€
rczul'"I no
c
,1,
cu
Irol(
1r)< r'
L
t-t
i=l
,,e"Fiel/(r)|
(IiVs€D"
Aplicim
criteriul
de
integrabilitate
al lui Darboux'
Fie e >
0qia"
=
{r
€
D^
| -r(.r)
,
*("J}
Q"
este
neglijabilS
odat5,
cu
mul{imea
punctelor de discontimritate
qi este
compactS',
couform
Cap
III,
$1,
Propozilia
1.6.
Prin
urmare,
existi
Ar,.
.
,A^
intervale
n-dimensionale,
cu
3.,
f).c
U/j
qi
)-vol(,4j)<; ,.'
J_] j=\
Fie
P
=
Ptl)Pz
o
partilie a, lui
D",
cu P1
= {Ai
I
i
=
1'
,m}
qi
Pz=
IA
€"
|
/no.
=
fl].
Alunci,
Mt@)
-
",r(.4)
<
2K
YA
e
P,
dec;L
liutt;l
-
mr(.'1)1voii.4)
<
i
.€
lleoatece
arr{r}
(
::-----::=
--r
Vr
€
D"
-
Q.'
daci
,'{
€ 2z
existi
o
partilie
a Iui
'2voll
I
)^l
A,
A
=
l)
&
ast'fel
incit
Mt(Bo)
-
m1(B;\ <
ilifu;
(un
argoment
care loloseqte
compacitatea
lui.4,
intrutotul
asemini,ior celui
din
cazul
unei
singure variabile)
Atunci
t[Mr(Br)
-
rny(B;)]vol(Br)
<
ffivor(a)
F-eunind
in'uervalele
a'dimensicrnale
Cin
?1
cu
iiitervaiele
ir-<iitieisioriale
in
care
se
partilioneaz5. elernentele
lui
?z
se
obline
o
partilie
P',
rafiiare
a
lui
?,
cu
s(p'j-s(P'1=
i)lu1{a)-^r(A)lvol('4)+
f
tultrt
*m.f(B)lvol(B)
<
A€PT
A€Pz
BEP]
.
1+
\-
i
uol(/)
... f
2
-
)' voli,D")
Ca
gi
in
cazul
undimensional,
o
funclie
diferiti
de zero
numai intr-un
numXr
finit
de
puncte
dintr-un
interval
n-dimensional
este
integrabili Riemann,
cu iniegrala
evident
zero.
ot
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 95/218
I
incit
-
(
$4.
PROPR,IET.{TII,E
INTEGRAI,EI
RIEI,{ANN
SI
.{LE
FTINCTIILOR
INTE-
GRABILE
N]ET,TANN
PE
INTEN\ALE
n OTITONSIONAiN'iOI,IPACrg
Foiosjn<i
r:riteriile
ciemolstrate
antcrior
qi
cielinilia,
\,or[
dr]inorsll'a
it
c(Jittiiirtare
prilcipalelo
ploDr eriti
ie.sa.tr:
tle
integrala
Rj.rriann
,"
i"a".,ri"'"_al_crsionaie
ctirn_
pacte.
".
OLrservarn
ra
tl;i,.ir
/
est,,
integi.abili
Rieuraua.
intcgrala
sa
se
poatc
calcrria
folo.ind
ur'
\ir
p;rrir
rrJar
d,
.,.rrp
Ilinr,.ann.
PRopozrTrA.i.l.
I)
Fie
.f
:
D"
-+
R,
integraltild
Rir:rnant.t
Si.
B^
C
Dn,
8,,
i.nterual
n_dimensional
compa,ct.
Atu.nci
f
e.gte
intt:orubild,
Ri"rrrann
pe
8,,
.
2'1
Fie
.1,,
.
8,,
rnientuie
rt
-riirnerr:
-
A t
t t2
;iorto.le
colt-par:ic.
11e
t)(.A-
ll8,,)
=
0
ai
rte
i:":"*9","
x:t::I,:tn
limc:L:ionnt
Fte
f
,
b"
-
fi ;;;;;,i,:il^rinilui,,E
Riemann
pe.1.
6i
pe
8,,
atltru.,i
f
este
**orit
A
il*"*rr"
i-ii
i,
(4.1)
Caz
parricuiar:
r,
=
1
i
la:
c]
=
kj,b]ulb,c]
in-
care
III,
cu
si
dec:i
a lui
care
cu
<
DernoLstntrie.
_.,,_ll.^lL*,1"]fil,'.
B;g
(,criteriut
tui
Lebesgrre).
Deoarece
o
subrnuilime
a unci
rnur\lml
r,eBlUabrl'
esre
r,,glijalrjl".
/
-ezrilra
lnrngrrbit:,
Ricrrr;urn
r,c 1J,..
.
2'lnngrabilirarca
1'o
,,
prTulla3plirrlirrir_erirri
iui
Lnh^,qlf.'
11,,
,nci conr rL.,
func1ie
inrcgrabila
Ri,ruann
r,sre
mdrAinila.
(4.i)
se ob{ine
r:orrsidcrilld
un
qir
dr:
partilii
pt
=
piUp,i
cu
llpali
-+
l_1,
urrde
{
cste o.1r31iqin
a hi
.{,,.
11
estF
o
partilie
alrri
.B,,,
qi
cite
un
girde
alegeri
rclativ
la
partiliile
Pi. respottiv
pi'.
I
"Pn1n_o3rf
r..r"
+
Z,
Dari.
f
.
u,
?ll
-
R
s;int
intelrabile
Iliernann,
atun,c,i,
ot.i.:are
ar
Jt
a.
)
t
R.
o,f
.
tg
t
rtp
intuurabilo
Rt,
ma11a
O1
f
r=[r'
Ir
,
.r"
E,
.b
Ir=
lr.lr
/'^f-',ri-"
fr-t
[,
,,
D,,
D"
(4:)
Denonstralie.
In1;egrabilitatca
rezuiti,
t]in
Teorcma
J.6
iar
(,1.2)
observind
cb
o"t+s'(P,€)
=
ao
t(P.
€J
+
Boy(p,
{).
,.
.ar1nl.)t
4.2.1.
Fie
J.q
:
D,,
-
t tnteqrnhtic
iti,,1,t)nr.
Fit"
L
=
lr. I
L). i
Jtr')=atxtl.
uotacr'tstd
rrn
5,r
(p1r,
1
dp
pot.ttlti
ul"
D.
ustlci
int
ii,
p"r;,u
o)r,
A€N,y;nrire
.)
t
Pr.1,510
tl
€
En;,
ot,,n";
I t= [o.
LI
"
D.
D"
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 96/218
Demonstralie.
l'unclia
(/
-
9)
esle integrabild.
Riemann
qr
din
conditria datd
exisi5
un
qir
de sume
Riemann
oy-r(?7.,€r)
=
0
Vf
>
O. I
PRoPozJllA 4.3.
a) I'ic
f
: D"
-
R inlegrahild.
Rie.mann.
Dacd
l@)
>-
0
V?.
e
D,., atunci
lt>o
;"
b)
Fie
f, s,
h
Aluncz
:
D,.
+
ft
tnte,grabile
Riemann
Ez,f(r)
( g(r) ( A(r)
Vr
g
D,.
l
r<
l'<
lo
(4r)
l)- D,,
D-
Demonstra.tie.
a) o1(P,O
)
0 V7'
partitie,
V{
alegere.
b) Din a)
gi
din
Propozi(ia-4.2.
I
PRoPozITIA
4.4. Fie
|
:
D"
-
R-
Dacd.
f
esle inlegrabild
Riemann
pe
Dn
aluncz
lfl
esle
integrabild. Riernartn
pe
D,,
9i
tlrt<
lvt
D"
D"
Demonstra[ie.
Integrabilitai,ea
lui
l/l
rezult[
din l.eorema
3.6
iar
(4.4)
din
l/(")l
<
/(r)
1
lf(z)lva
6
D",
qi
din
(4.3).
t
TEoREMA
15.
a) l'ie
f:
D"
-
R
integro,hili,
Riemo.n.n..
Docd. m
{ (*)
(
M
penl.ra
orice
t
e
Dn,
atunc;
rnvot(D,1<
/
I <,u'"rta").
(a
5l
;"
b) Dacd
f
:
D"
-
R
este conlinud., exisld
(
6
Dn
astfel
incit
t.
.l
I= IG)vottD")
(4
6)
D-
c) Dacd
f:
D,
-
R eslecontinudgig:D,*[0,co)
este intcgrabtld
ru
[
010,
.t"'
alunci
f
.g
este inlegrabild. pe
Dn
qi
eristd
(
e
D. cu
D"
I
-.
. t
.l
t s=I\c)
l
c
D-
Dernonstra\ie.
a)
Rezuli5
din
(3.1) qi
(z
b)
/
fiind
continui
pe
<
.f(z-)
(
"f(")
E /(riy1)
Vr
6
(4.:i),
iar (4.6)
se
obline
din I
c)
lntegrabilitaiea
lui
.
ll
.f("-)
(
, lJ s{fl
t.l
.l
n
n"
D-
f(r")
in
R.
TEORDMA 4.6. (Fubini
m
+
p
=
n,
D* inlerual
m-
Fie
f
: D"
-
R
inlegrabild.
V
*
f@, )
esle iniegrabiid
inlegrabild
pe
D^.
Alunci
funclra f1(z)
=
I)
funclia f2(y)
=
,
I
=l
D.
Dernonstralie.
ViePt o
y
=
t
r'({A)'"r(/)=
t(
D.
I
r,oto,
=
AeP'
t
Nord,m
cu
/
=
lf
qi
fi(
.J
D^
n"
cu
llPll
<
6.
qi
v(€,4)
ak
Fiep={AxBlAel
=
vol(-4)vol(B)
vA
€Pt,
B t
Fie rna(B)
=
inft/(€a,l
M^(B\
=
supl
"i
(€,r,
definiie pentru
B
e
?t'
qi
fie
*r""(DJ'fLo"t'il>MA
AeP'
94
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 97/218
dati
alunci,
e
D^.
(4
3)
pe
Dn
din
(4
6)
Demonstratie.
a)
Rezulti din
(3.1) qi (a.3).
b)
/
fiind continuS. pe
compactul
D,",
existi
x^,€
Dn:
rM
€
Dn
astfel
incit
l(,,,) </(")
(
"f(cv)vr
€
Dn.
Atunci
/(,,,)
<
#D/
f
{ f(xv)din
(8.1)
qi
(a.3),
iar
(4.6)
se obline
din
faptul
cd,
f(D,)este
conexi.
in
ft,
deci intervai.
c)
lntegrabilitatea
lui
/ 9
rezult5
din
Teorema
3.6
qi,
la
fel ca mai
sus,
1t
/k-) <
-1
I
f
n
<
f(xM).
(4.7)
se
obline
folosincl
din
nou
conexitatea
lui
Jo
d"
D"
/(r'
)
in
R.
TEoREMA
4.6.
(Pubini)
Fie
Dn interual
n-dimensional,
D^
=
D* x
Do,
cu
mI
p
=
n,
D^ interaal
m-d.imensional
iar
Do inleraal
p-d,imensional
(compacle).
Fie
f
: D"
*
R inlegrabild,
Riemann,
Presupuncm
cd,
pentru
orice
p
e
D^
funclia
y4
f(a,y')
este inieqrabiid, pe
Dp
pentru
ortce,
e
Do
iunclia
r
i-
i(c.y)
esie
integrabild.
pe
D^.
f
ALuncr
luntlta
JtG\
= I
llt. a),la
este ntcarabild
pe
D^.
J
D,
I
lune[to
l2(y)
= .l
[(t,U)d.r
e,te
integrobild
pe
Do gi
D^
tttt
J
l,v)a,
=
J
(J
I\,.a\aa)d.r
-
/
/r.r.,u)drdr
=
D^
D^ DI
D.
=
l{.1
x,,o;*.)dy=
|
ho)da.
Do
D-
(4
8)
DP
t
I
o,
Demonltratie.
Fie
P/
o
parti(ie
a
lui D-
9i
{
o alegere
reiativE la
?,
.
o1,(p'
,f)
=
I
=
\
I{ee)vot(A)
=
Lf
I
lGA.
a)da)vot(At.
AeP,
aeP'
f
Nordmcu
I--
iltifiee
>0
Exjsr,d
6.
=
6i':)
asrf,.l
incir, Vp
parti{ie
a tui
.t
-
\2)
D-
D" cu
llzll
<
6.
qi
V((,a) alegere,
{
e
D^,
ne
Do,lot(,(t,\))-
/l
.
;
FreP
=
{Ax
R
I
A
€
?t,
B
e?",
?t/
partilie
a Dr}.
Evident,
"oii.a
x f)
=
=
vol(,4)vol(B)
YA
. ?'
,
B
e
P"
.
Fie
rn1(B)
=
inr{/({a,s)
|
y
€
B},
MA(B)
=
sup{"f({e,
y)
iy
e
ai
definite
pentru
B
e
?"
Eifie
r7'"
e
B,
\'LeB
cu
proprieiilile
f(t*rt
ama(B)+
+J*X,J.
flte,q'b\>
Me\B)-
tfo
(4
7)
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 98/218
Atunci
ma(B)vol(B)vot(,zt)
<
(/
rte
,
,
uiav)vol('1)
( Ma
(B)vol(a)vol('4)
BC
pentru
orice
A
eP''
B
€
?tt
ftenirrl"
l,l,
tt't^''k)vo1(B)vol(A)
-
=
<
-\-
{ t / r(t,,u)as)vot(l,="r,iz',CltI
t
/(€A'4';)vol(B)vol('+)+
'
-
/-\
t_a
.l
"
/
AQr-'
BtP,t
-
Vj
=
1,...,m,
deci dacn
lloy(l
?,
acelirsi
lucm
rezultS.
Peniru
T
Riemann
p.
D,,
$
|
[;
=
Ii
J
D"
,,€"
Fie,I-(/r,...,1n),
AAP'BCP"h
Drr
B
t
2t
I)eci: oy
(P'€)
-
I
<
otlP'((
n"\)
-
Ir
i
<
,-\l
2€
or,("',t)
-
t
>
ot(P,(t,ttt)l
-'
-
Z'
-?'
D
emotstra\ic
,,+"
Fic
I
=
(/r,
'/-)
reiativi
la
P
llc;\"
'r-)
-
lllz
=
-1r,
.
.
,I
/-(co)'o(,q)
-
t-)li,
=
,li(",''n't' -
t')'
'
\o1'Q'1'1-
t)
-Iil
<
"
V2
parti{ic
cu
ll?l
6r
-
mrrr
A;(a)
,,nd.,
p"
1<j<m
"
\m/
llell
.6t(*)
atunci
i'r,(2,r
Cottolr'n
4.7.1.
l'ie
I
Riemunn,
pe
Dn d,acd
Ei,
numa
2e
de
unde
loy,(?'.€l-
/l
'
T
<
t
D"toon"truliu
celuilalt
"caz
fiind
analogi''
t'eorema
rezuitS"
I
,1
-
l(l
rc'o
'v'1ooo"
"'"or.o"^o
4.6.1
Fie,
itL
conditriile
'feo.remei
46
f
: D^
-
R
conttnu,"
Arunci
lr^"lri"-i,
E,
f2
sinl
i'nlegrabile
9i'
are
loc
(4
8)'
'
"
n
-*il"
it
qi
/,
t"
mai
numesc
9i
inlerale
cu
paranlelru
Vom
revenr
asupra
accstui
cortccPt
tn
$6
Relativ
la
luncliile
cu
valori
in
R-
avem
urmS'toarea
teorema:
TEoRDMA4'T.FieDnuninjertlaln-dirnensional,.fp"--n-'"f(r)=
=
(.fr(r),
"'
,
f^(x))'
J
""t"
'nt,.g'.,oi;ft
Ale,r"ann
pe
Dn
dad
v
,numai
dacd
fi
esle
intesrabitd
Riemann
pe'^,"";:;:';';
=1'
"m'
t
=
tl
f'''
I
f^)
n,,
D,"
D"
Pentru funclii
de o
varial
Pnoeozr1r,r.4.8.
Fie
t
F :la,bl
*
R,
r'(r)-
/ l(1),
J
Demonstra\ie.
f
iitA
*t,
pe
fo,
cl, Vr
€
[a,
d],
,ieci
F
M
> 0
asl,fel
incit
l/(1)l
(
M
rt
lr.(.E)
-
r(ro)l
=
l/
f(
1J
l"-"ol
<5=r,
*r'i,u
UNELE
M;.RIMI DEFI
in
acest
paragraf
vor fi
p
din
spaiiui
inconjur
bi
gr
triciimensior
EEte de
retinut
urmf,toar
are
ca
definilie
o
in
ACP
-
/ I Pentru
orice
parrilie
2
a
D'
ii
(
alcgere
I'
D^
lli lis^i',ot(a)
ril.
li(tir((,r)';cr('l)-
aep
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 99/218
<
+
;.
b]x
=
}i:^],, ,1"',
dcci
fa-ci
ll'/(P,{)
Ill2<e
ypcullpll
<
6.
qi
V{
alegere
rerarivd,
la
/,
acerasr
rucru
rezulti
pentru
lot,Q,€)-
lilvj
=
i,..
,m,
deci
l
este
integrabili
Riemann p.
D"
i
I
fj
-
IJ
D^
,,+"
rie,I=(11,.
..,
r^),
tj
=
r,
j
=
t, .
n".
ii.lr(",{)-ril,
<i
lot,(,
t)*
D-
j=I
.'-1,
<
e VP prartiiie
cu
lllt
<
il,
V{
alegere
relativi
la
?,
6.
fiin<i
definit
prin
n =
,S,_{=
4
(:)
unde,
pentru
j
=
1,.
.
^,
6r(:)
este
ates
asrfet
incit
daci
ttpll
.
,,
(*)
aLunct
lo1,(? ,
{)
-
Ll
.
*p",,t.u
ori."
.t"s",e
{
re}arivi
la
p.
r
Conor,.sR
4.7.\.
Fie.
f
:,D.
-
(:,
J(r)
-
u(x)
+
ia(r),
f
este
znte.srabitd.
iemann
pe
D^
dacd,
qi
numai
d.acd,
u
9r
u sinl
tntesrabrle
Iliemann
e,
O^
q,
I
y
=
--
l"
rt
| ,
o'
D"
D"
Pentru
func{ii
de
o
variabild.
reald,
cu valori
reale
are
loc
urmbtoarea
propozltie.
Pnoroztlt,r
4.8.
,Fie
f
:
la,bl
-
R
integrabild.
Riemann
pe
la,bl 9i Jie
P:
fa,0l
*
R,
a(r)
=
|
fAn,
Atunci
F
este
conttnud
pe
la,bf.
Demonsrrali".
Fiind
inresrabild
pe.[o-.6].
propozilia
4.1.1
irnplicd
/
integrabil6
pe
[0..r].
Vr
€
[o.61.
deci
F
."r"
trno
d"finnn.
cum
f
.";;;;;;;;r,,
pe
fa.6].
iie
M
>
0 asr
rel
rncir t/{/)1
<
.M
V/
(
lo,6l.
Fre
,.
€
i;;l
ii
n.,
,
0""
lr("r)
-
f{rn}l
=
lIr,r,a,.l
,'f
,J"
'
<
l.l
l/(t)ldll
(
Mr-
)l
< e
vr6
ia,bl
qu
lt-
rol
<
#
=d..
Rezulti
f'
conrinud,
in
a0. f
$5.
UNELE
Mi.RIMI
DEFINITE
PRIN
IN
EGRALE
R,IEMANN
In,acest
paragraf
vor
fi
prezentate
citeva
exemple
<.le
mirimi
care
c.arac1erizeazf
;tele
din.
spatriui.
inconjurltor
si
in
a cd.ror
defi;ilie
int;;;i;;
inr"g,'fu
rf*'ouno
=
este
-
ril
intervale
bi
qi
triciimensionale.
Dsie
de
retinut
urmitoarea
resrrl6:
orice
tnirime
descrisd
aproximativ
prin
sume
Riemann
are ca
definilie
o
rnieg.aia Ilremann.
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 100/218
5.1.
Volurn
intermediare-
Suma
Riemann
Fie
D2
= fu.t]
x
lc,r
ur
interval
bidimensional,
f
:
D2
-+ lR+ integ
Riemann.
ilc 2o
pa.tlii"
u
lui
'o,5i
€
-
{€,r
I
e
A'A €2}
oalegqre
dep
p({a)vol(,a), acesta
ate cootdona
Atunci,
cenl,rul dc
greutate
i
t:G.
AG:
zG
ot(P,€)
=
I
/({.4)aria(,4)
A.?
mdsoari volumul unui
corp
format
din
paralelipipede
dreptunghice
drepte
de bazi
'rit
i"ertirt"
l(€-e).
Deoaiece
acest
cori
apro"imea'5'
cotptl
i1.
--
{'(z-"1'
z)
1
m3
(r,'y)
e
i2,
z"e
lOi,7@,fi1j
<lentmit'
subgrafiat'l
luf
/,
este
natural
si
definim
lai
fy
prin
,,tln=
|
I
f
D2
Obqirr"r'r
asllel
o d'
finiiip
i'niJi'a8'
cplei
a
arici
rubgrrficului
unei
functii
'lefitite
p"
un
int,".,rol.
Definilia
se
extinde
pentru
funclii
definite
pe
intenale
n-dimensionale
/ /
rnurulnd
rolumul
subgraficul'ri
lui
/
r'a
rrtullime
din
Rn
I
D,,
5.2.
Masd
Fie D3
un
interval
iridimensional
descriind
un
corp
neomogen
de
densil
p :
D3 |
1Ra,
integrabilS
Riemann
(de exernplu
continu5')'
-
Fie 2
o
partilie a
'Dz,
A e
P,
€
A.
Aproxirnlm
masa
lui
,4
considerind
densitatea
coilstar
"galii.
cu
lr.louioa
plffi, rn(A)
-
p(6'1)voi(-4), deci
urasa
iui
D3
se
aprr'xirneazd'
o"(,€)
=
t
p(€,{)vol(A).
A€1>
Definim
masa
corpului
neomogcn
de
forna
unui
paralelipiped dreptunghic
,
u dFnsilalpa
irrregrabild
Ricnrann.
pr'tn
5.3.
Centru
de
greutate
Fie t3
un
iniervai
fidirnensionai
ciescriin<i
un
corp
neornogeii ile
p
:
.D11
--t
R1 iuiegra'uiia
Riemarln.
Fie
2
o
parti{ie
a
lui
D3,
A
€
P'
tll
(a
=
(r,1,
y.a,
zn). Consiclerind
sistemul
de
puncte materiale
(,a,
A
e P
de
\-
.rc
=
S
/-
Ae
\-
12
.
AEP
Yc= \-
,1_
AE
\-
zo=-t
/
AE
f
Masa(D3)
=
/
p.
D3
$5.4.
Mourentul
de
iaertie
in
Reaminiim
ci
rnomentul
d,
definit
ca
piodusul
dintre
a-,a^sa
la
ax5,.
Momentul
de
inerlie
al
momentelor
de
inerlie ale
punct
Fie
D3
un interval
tridim
p :
D3
---+
R
integrabild
RieI
98
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 101/218
irtegrabil5
de
puncte
de bazd
e
m3
|
uolumul
(5.1)
densitate
cor$tant5,
cu
drept,
ii0:1si'r,ate
-
/
p({1)vol(,4),
acesta
are
coordonatele
centrului
de greutate:
T
x
a
p({
a)vol(
A)
,,(1a)"ot(,,r)
AEP
D
A€P
u
e
tG..+)vol(A)
lJG
=
I
r({,r
)""1(A)
A(P
-
on
,\P
't)
.
"o(P
't)
'
.l
r
p(r,
y,
z)drdyd
z
D3
JG = --_7+;
Jo
luo@,u,")d,da,t"
D\
j
"p1,,y,,;a,aya.
zt:
=D
t
I
lt
DX
[5.4.
Momentul
de
iner{ie
in
raport
cu
o
a:rX
Reamintim
ci
momentul
de
inerlic
al
unui
punct
material
relafiv
la o
axi
este
definit
ca
piodusul
dintre
ma^sa
corrceirirat5
irr
punci,
qi
odi,raiul
disiantei
cie ia.
punci
la
axi.
Momentul
dc
iner{ie
al
unui
sistem
de
puncte
materiale
este
cleflnit
ca
suma
momentelor
de iner{ie
ale
punctelor
componelte.
Fie
D3
un
inl,erval
tridimensional
descriind
un
corp
neomogen
de
dcnsitate
p:
D3
-
R
integrabili
Riemann,
p
o
partilie
a lui D3,
A"€ ?,
t.,t e
A.
99
I
z
a
p((a)vot(A)
:-
_
^(P
o,
r(P,()
f
n{(a
)volt'4
)
d/'l?
t')
AEP
Atunci,
centrul
dc greutate
al
corpului
descris
de
Dr
are
coordonatele:
(5
3)
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 102/218
(4
=
@a,y,1,
z1).
Considerim
sistemul
de
puncte
materiale
t,r,
,4
€
P
de ntase
(avol(,
).
Acest
sistem
are momentele
de
inerlie
relative la axe:
ia"
=
Lripiiq
ivol(l)
-
o,'p(P.{).
AlP
1r,
-
t
p?op\ q\vol(
Al
-
oo,o(T',(i.
AEP
t,
=
I
z2op((lJvolr
A)
= o",o\P.t).
A(P
deci momentrele de iner{ie
ale corpului de densiiate
p
descris dc D3 se vor defini
prin:
ro,
=
|
x2
p(x,y,
z)tudyd",
-
D.
h'
--
|
y2p(x,y,z)d'xdydz,
D3
In,
=
|
z2
p(x,s,
z)d.xdyd.z.
D3
$6.
INTEGRALE
CU
PARAMETRII
DEFINITIE. Fie
D,,
un interval
n-dimensiota.I,
Dn
-
D^ x Do cu
D^, Do
intervale
m
$i
respectiv
p
dirnensionale. Fie
f
: D"
"
R continuS.
l\ncliile
I
ft:
D^
-
R,
/r(x)
=
I IQ,v)dv.
J
DP
T
Iz
:
Do
-
R,
"/z(s)
-
|
lQ,
s\d.t
J
D-
se numesc inle-orale cu
parametru.
in cazul
lui
-f1
Darametrul
ssls ,r
=
(o1.
. . .
,
r,n)
iar in
cazul lui
fi
este
a
=
(h,...
, lp).
Rernarcd.m
c5., datoritS,
continuitilii lui
/,
funcliile
y
*
f@,y)
qi
r
F-'
J(r,g)
sint
continue, deci integralele
din
(6.1)
existi.
ExEMPLU. in
cazul n
=
2. daci
1:
la.b]
x
l",a]
-
n este continuS,,
/1(o)
=
db
tt
= /
/(r,
y)dy
Er
h@
= I
/(r,
y)dc
sint integralele cu
parametru
definit'e
prin
(6.1).
t.t
(5
4)
(6
1)
Observdm
ci
pentru
definirea
presupunern
cd,
pentru
orice
ri
€
nuitS(ilor
negli.labrlS
rn
rp.
respe,
mullirnea rjiscontiiruiiililor
neglijai
Demolshem
in
ccrltinuare
un
urmind
sd rFvellitn
asupra
a(cstor.
TEoR|..MA
6.1
.
Fie
I:D^xl
prtn
(6.1)
sinl
funclri
untform
cont
Demonst
ra\i".
\'om
demonstr;
Deoarece
/
este continui pe
cor
6.'-
b(--.
-
)
>
0
astfel
rlcirVr
\
vol(re
J
/
llu'
-
u"t1,
<
a. >
1/(u')
-
/(u,')l
.
lie
i/
=
yt'
Pe
g
€
Do. Atiinci
llx'
-
tr'llz <
b,
-+
,Jyt'
.
y)
-
1.r"
t
Aiunci
lfi(r/)
-
Jl(r")l
<
/
.t
D,
uniform
continuitatea
hii
fi
este
dr
Demonst
ralia
p^nl
ru
/2
este ;i
$7.
INTEGRALD
PE
INTERVAL
7^
tn accsl.
paragral
llo tunaa
de
definite
pe
iutervale
nemdrginite.
A
geneTalitate
lrr caprlolul consacral
r
DEFINITIE,
l)
Fie
o
e
R.
/.
[o.oo)
*
I
t.
exlsta
lrm
i l,
aceasia se
noieazd
numeqte
conrrergealri.
Vom
vorbi
d
limita precedentS.
fie
ru
existi,
fie
r
2)Fie6e
R,
.f
:
(-co,
bl
*R
I
T
este finiti
tim
/
f,
acea.sta
s(
"--@
J
100
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 103/218
de rnase
prin:
Observim
cX
penlru
definirea
integralelor
cu
parametru
(6.1)
este
suficient
s;
presupunen
c5,
pentru
orice
r
€
D-,
fuuclia
y
*
f(x,y)
are
mullimea
disconti-
nuititilor
negliiabilS
in
Do,
respectiv,
oricare
ar
fi
y
€
Dr,
funclia r
+
(x,y)
arc
multimea
,liscoirtinuit
i. iior
lcgiijabili
in
D-.
Denolstrim
in continuare
un rezultat
bazat pe
ipoteza de
corrtinuitate a
lui
/,
urmind
s5.
revenim
asupra acestor
integrale
in capitolul
urmitor.
TE0REMA
6.7.
Fie
f
:
D^xDo
-R
conlinud.
Atunci,
funcliile
fi
Si fz
d.ef,nite
pnn
(6.1\
sint
l
nclii
uniJorn
continue.
Demonstratie.
lbm demonstra
continuitatea uniformd
in
cazul
lui
f1.
Deoarece
.f
cste
continu;
pe
compactul
D,,
ea este
uniforrn continu5.
Eie
e
>
0
qi
f,
=
6(---'
)
>
0
astfel incrt
Vu/=
(r',y')
e
D^
x
Do= Dn,11t'
=
(ttt
,ytt)
€
Dn,
r
vol(l)p)
i
llu'
-
u"llz
<
6,
.+
ll(u')
-
J@")1
.
€
'
vol(Do)'
lieljt=ytt
'et3,e
Dp. Atunci
ll(r',3i)-
(*",dllz
-li*'-
l'lizin R-,
deci,lac5.
llr'-,"11,
<
6"
,+
l (c',y)
-
f
(,",il].
-=j=-.
ol(Do)
I
Atunci
1/1(.r')-,r,(,")l
.
I
ltt,'.v\
Ilt".dlda.
.r;-
.votlDr)
=
r
ei
J
Tot\up)
DP
uniform
continuitatea
lui
fi
este
demonstratrd.
Demonstralia
pentru
fi
este similard.
acesteia.
07,
INTDGRALE
PE
IN'TERVALE
NEMARGINITD
1
in
acest
paragrai
noliunea
de iniegraid,
va
fi extinsS,
in
mod
natural la funclii
definite
pe
irltervaie nemd,rginite.
Acest
subiect, va fi
reluat
intr-un
grad
mai mare de
generalitate
in
capitolul
consacrat
integralei
Lebesgue.
Df,pINITIE.
1)
Fie
o
e
R,
/:
[a,
co)
-
R integrabili
Riemann
pe
[o.6]
V6
>
a.
Daci
Dor@
l. t t
t
xrsta lrm
i
j.
aceasla
se norcazd
i
i.
Dace.iim
f
1'esre
tinlta. rnlegraia
f J
se
t.-J-
J"
t,_*J"
.1
"
t
numeqte coauergeztri.
Vom
vorbi
despre o
integralX
I f
d,iuerqentd
in c.azul in care
.t
limita
precedenti
fie
nu
exist ,
fie nu
es+,e finiti.
2)
Fie66R,
/:(
oo,0l
-
R
integrabili
Riemann
pe
[o,
D]
Vo<6, Daci existS.
b6
-ff
qi este"
finitd lim / f.
aceasla
sF
rroteazi
cu / /,
intograla
rrumindu-se
conoer-
"--@
J .l
-
(5
4)
D^,
D,
(6
1)
f(x,y)
l(c)
=
n
(b.1).
101
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 104/218
gentd,. Al|Jrci cind
nu este convergert5,
vorbim
despre
o irtegrald
/
I
divergentt
3)
Fie
/
:
R
-+
R,
/
integrabili
Riemann
pe
fo,
b]
V[rz,
A]
c
R
Dac[
exisid
qi
boo
ft
esrc
finita
l',m
I i,
acFcs',a.5.
rroleazd
/
/,
ilrl,'6rala numindu
rr'
rcnt'ergenla.
h
".---
.l
J
?
cazul
in carc limita
precedenti
nu
exlsti
sau
nu
este
finiti. se spune ca
/ /
este
.t
diuergentd.
in
conformitate
cu caractedzarpa
limitei
datd
inCap.
II,I
=
I
cV(a,),,(
b-*
siruri
din
R, limn,
=
-oo,
Iinrh,
oo. Lim
/ /
- 1-
".t'
Aplicind
criteriul
lui
Cau,
de convergcnlS,
a inlegralelor
r
Tnonou.q
7.1. (Criteriul
convergc
daci
gt
numci
dacd,,
orice
(a,
B)
C
(M.,
m)
l/(,)l
ttp
tt
Demonstrutie.
lJ=
I
I
J.J
^
Daci,
I
""t"
ir,'t"gruu,le
Intr-adevir,
fa,
6l
=
lJ
lo,
o
n>r
neglijabili
de
puncte
de discor
bild.
pe [o,
D]
VD
>
a
qi are
sens
DEFrNrrrE.
/,
""
n,,-,
'.t"
Similar
se
d"fir,"qt'"
.onu"rguotr
Apiicind
Teorema
7.i
rezu
PnoPozr.lr,r
7.2.
O
inte
esle
contergentd,.
BB
Demonshatie.ll
4"
I
I lft
r
Propozi{ia
urmitoare
indi,
convergenta
absolutX
a unor
in
FRopozrTrA
7.J.
I)Fie
f,
g:
la,
oo)
*R
ia
Sintetizind,
s-au
definit
urmd.toaxele
integrale
pe
intervale nemdrgiuite,
numite
Ei
i.mproprii,
d,e
tip
L,
€6bbcl.b
Ir
-;,^
lr
I
t=
"y-lt
I
r
"li:/t
Reamintim
c5, am demonstrat
in
$4
c5. dacX
J
:
fa,b]
-+
lR
este integrabilS.
rnann,
func1ia
F :
fa,bl
-+
R, f,(r)
=
/,t(t)Ot.rr"
conlinud..
in
aceste condilii,
intcgraiele
definite
in
(7.1)
se
mai scriu:
o
/
/=
Iim
F(c),
.t
r+6
,
/
f
:
lim
Flr).
.t
t
/
/
=
.\qL
rrr,
Yt,
F(r)=
lf'
b
f(
r.
r\
-
[ f.
t"
;
ExEMPru.
..rtl
it , lt,- Ji.;
(,1i11-D'
'
l,
u""=,'jl/
F"'=ijt*;;:
^
\
-t),
alt
J_j,.
ort
/
) a-l
a=7
t
oo,
a(l
702
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 105/218
existE
qi
in
f
/
este
(u.
numite
7.7\
Rie-
conditii,
o)1
c(1.
Aplicind
criteriul
lui
Cauchy
de existen d
a
limitelor
ob{inem
urmi,torrrl
criteriu
de convergenlE
a integralelor
de{inite
in
(2.1).
T
TEoREMA
?.1.
(Criteriul
lui
Cauchy)
I'ie
f
:la,
a) integrah,ild.
Riemann.
I f
J'
conaergc
dacd.
6i
tumci
d,aci,,
cricare
ar
fi
e
>
A,
czistd,
M"
>
A
astfe. tnc
peLtlryt
orice
(a,
B)
c
(M,,
cn)
_tfl
Demonsrragre.
lf= lf
-
/,f
o,
""
aplicd
propoziqia
1.7.
(ap.
TI.
gl
I
JJ.I
^
Daci
/
""t"
irr't"gr.ui;i
o"
p,
11
OU
>
a
/
este continui
a.p.t.
pe
ia,
oo).
Intr-adevir,
lr,6] -
U
1",
"+
nl
qi
in fiecare
interval
fo,
a
*
n]
i
are o mul{ime
tu>r
neglijabili
de
puncte
de discontinurtal,e.
In
aceste
condi[ii.
rezultd
cE
/
este
integra_
bili
pe
[0,
6]
Vb
>
a
qi
ur.
sen"
.on"i.l"rureu
/
l1l.
t"
09@
DEFt\lTr -.
//
."
nu-.1r"
absolut
rcnvergent,i
dace
Il/l
es[e
convergenrd.
.t
'
.l
'"'
Si^ilu,
""
d"fin"gtl
convergenta
absoluti
a
i ,, i ,
_,-
j*
Apiicind
Teorema
7. i rezujid
imeciiat
urmi,toarea propozigie.
PRoPozITIA
7.2.
O
integrald,
pc
urL
i,nterual
nerndrginil,
absolul
conaergenld,
esle conrergenTd,.
,u,
,
i
Demonstra[ie.
l/
/l <
/
lJl<e
V(a,B)c(M",,x)
cu
M" datde(?.2) pentru
IJ
I
J
Propozitia
ulmftoarc
indic5
modul
in
care,
bazali
pe
Teorema
2.1, demonstri.m
convergenta
absolut5,
a unor
integrale
folosind
integrale
mai
uqor de
studiat.
PRopozrTrA
7.3.
I)Fie
f,
g:
[a,oo)
*
W, integrabile
Riemann
pe
[o,
b]
Vb
>
a.
pt.esupunem
I lfl. I
p
lIr1.,
t.l
'l
l/(r)l
(
s(r)
Vr
e
[a1,
oo)
c
lc,
co)
103
(7
2)
(7
3)
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 106/218
no"a I
s
(sie
conuerqcntd,
oLu"'
|
1
esle
obsolul
cotuuerg(nll'
"""".t
"
J"
2)
Presupunem
9(o)
>
0
Ye
€
fc,
oc)
;a
lil.r)i
^
.
Iim
$l{
=
l,
finitlL.
(7 4)
I
-6
c(xl
ir
Alunrt.
daco
|9
esle
connergentd,
tczullti
ra
JI
este
ab"olul
tonutqenld
Docd
J
conaergentd
tn
sensul ualorii
ptir
T
Aceasti
linriia se notcazE
v.p
/ ;
.t
Observim
ci. orice
iniegrali
p
tt
principa)e
ci
v.p./
f = /
/,
dar
JJ
considerind
f(r)
=
r
pentru
car
impari
J(r)
-
r fiind integratl
p
t€(0.
",ot.
/
o
,, [ 1s1
,o,"urro
sou
diwrg
stmullan'
'.t
-'J'
Demonstragie.
Observim
lir.
lnceput
ta
/
/
"st"
convergenti
(absolui)
daci'
Ei
t
numai
dacd
/ /
esl,e
conv"rgenti
(absolut)
pettlru
orice
o1 )
o
,'T
1) Fie
e
>
0 qi
M"
dat
de
(?
2) pentru
/ I
convers"ntS
Atunci' din
(7.3)'
pp
fl
V(o,
f)
c
(M,. oo),
/
111'11a,
(
/
o(r)dr
<
e'
JJ
2)
Fie
6
>
0ui;
>,
*tra
i*rt
l+#-'l
.6Yx)x5'deci
1-r.
i'f(i)
<l+6vr>'r''
(?
5)
s(r)
qi
aiunci
l/(c) |
<
(l+6)9(r)
Vo >
16, demonstralia
reducindu-se
la cea
de
Ia cazul
1)
r
Observim
c5.
din
(7.3)
rcntlt'F"cL
jlll
divergentS'
im
plici
;l
c
diversentS
Acelali
rezrritat
se obtine
1i
tlacX
in
(7 4)
presup'uem
I
>
0:
este
suficieot
-ci
luEm
f
>
0
cu
l-6>0in(7.5).
I
1
in
aplicarea
Propoziliei
?.3
sint
des
folosrte
fun
c
{ii
le
g
(
r
)
=
I
,
studiate
anterior'
in
incheierea
ircestui
paragraf introducem
o
noliune
utile
atit
pentru
calculul
unor
intdgrale
col'/elgente
cit
gi
pentru
operar€a
cu
funclii
penl"nI
care acestea
sint
diverAente.
DEFINITIE-
Fie
/
:
R
'-+
R integrabild.
pe
[o,
b],V[o,
b]
CR
/
/
se
numeqte
J
$8.
INTEGRALE
PENTRU
UN
in acest
paragraf
vor
fi
cons
respeciiv
funclii
/:
(o,6]
*
R
n
nemirginite
spre e.
DEFTNTTTE.
Fie
o,
b
€
R,
V7
e
(0, 6
--
o),
nemirginitb
spre
L-,
b-
IT
Daci
lim
/
/
este
finitri,
/Jsr
nao
J
J
daci
limita
precedentS,
nu
existI
Fie
/
: (a,6]
*
R integrabild
spre
o. I)ac;
existi.
qi
este
I'initl
I
t'
genld,-
in
caz
contrar. vorbim
de
In
sintezS, au fost
definite
b-
T
I f
=li
I
"a1
Pentnr
/:
fo,il
-{c}
*
tc
+
ry;,
bl,
V?ir
e
(0,
c
-
a),
\z
i04
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 107/218
.
(7 4)
Dacd
9i
(7.3),
(7
5)
R
conu(rgpntd in scnsul
t'olorit prnc'pole
o lut
Cou,h
Jaci
nxisrS.
J1x
/
l.
n"ltt
_,R
T
Aceastl
lrrniii
se
noteazi
v.p
/ I
.l
Observi,ur
ci orice integralS
pe
R convergentS, este
convergcntX
qi
in
sensul
valorii
ll
principale
qi
v
p.l f = / /,
dar reciproca nu
este
a.deviratS,
dupd
cum
se
observd.
JJ
considerind
i(x)
-
x
pentru
care
/
r,ir
n,,
exisi,5,
dar
u.p.[ ,,i,
=
0,
furclia
.t
,t
imparS.
/(c)
=
r
liind integratl
pe
intervale sirnelrice
[-.1i,
.l?].
$8.
INTEGRALE
PENTRTT
UNELE
FUNCTII NEM.IRGINITE
in
acest
paragra{
vor
fi
considerate
{unclii
f
:
[a,
6)
--
R
nemirginite
spre 6,
respectiv
funclii
f :(a,bl*
R
nemS.rginite spre
a
sau
funclii
/:
la,
D]
-{c} *R,
nemi.rginite spre c.
DEFINITIE. Fie c,6
€
R,
/:
[o,6)
-
R iniegrabilE
Ridmann
pe
[a,D-4]
I'-rt
b
tt
Vl
€
(0,
D
-
n),
nemdrginith spre
6.
Dard
c\isla
lrm
/ /
aceasta
se
nolea?e
I I
oZo
J"
I
i,,,
b
b_
Itt
Dacb
lim
/
/
csl."
finit5.
/
/
"e
nurneite tonuetgenld.
/
/
""
nu."qr" diuergentri
,t'.0
r J J
daci
limita
precedentd,
nu existX
sau nu
este
finiti.
Fie
/:
(a,6]
-
R int'egrabil5,
Riemann
pe
la+\,b]vn
e
(0,6
a), nemdrgirriti
bbb
spre a.
l)aci
cxrsti
Ei
este linit5 finr
/
1
E
/;,
;nt.g.ulu
/ 1
""
n,rn''"q''.
.o,rrr"-
n
lo.{n
, ,
genld.
in caz
contrar. vorbim
de o integralS, d,iuergenld,.
In
sintezi,
au
fosi
definite
b-b-qbb
[,=uy lt,It-t'^ [r
n1o
r J
n+o
r
u+
a+\
Penl.rr
f:1,, h1
-
{rI
-R
r:r ta 6l
inr.cnrahrli
Rienrann
ne
1".-",1
,
.t
lcl\2,b1,
Yry
€
(0,c-o),
4z
e
(0,6-c)
ncm5,rginiti
spre c,
/
f
se numeqte
t"
(8 1)
105
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 108/218
,;b
conaergetltd.
dacd
9i
numai
dac5
|
t
t,
I
f
sini
convergente,
deci
daci
qi
numai
dac[
c-rtr
D
l(l
,.
l,t
+n.
existS,
qi
cstc
firril,i'
Integralele
definile
prin
(8.i)
9i
(8.2)
se
mai
numesc
qi
inlegrale
improprii
de
lip
2.
Si
observim
ci. in
cazul
funcliilor
mirginite
pe
[o,
b], integrabile Riemann,
ar-
t
gumentele care
au
probal
continuitatea
funclrei F(.r)
=
J
f,
ta
e
[4,6],
fac limiiele
din
(8.1) sl. existe
qi
si fie
finite.
ExblMPLU.
oo,
a2L
1
o<
1
1
-
o'
situalia
prezentindu-se
invers
din
punctul
de
vedere
al
convergenlei
decit
in
cazul
integralei
pe
11,
oo).
Convergen a
integralelor
fiind
echivalenti
cu existen a
unor
limite
laterale
finite,
aplicarea
criteriului lui
Cauchy
de
existen 5, a limitelor
laterale
conduce la urmitoarea
teorem5,,
'IEoREMA
8.1.
(Criteriul lui Cauchy)
Fie
f
:la,b)
-+R
inlegrabtld
Riemann
pe
b-
I
[",b-n ,
Va
€
(0,b-")
I
f
este
conuergenld
dacd
gi
numai
dacd, oricare arf
-.t
e
>
0,
exisld
6"
>
0
astfel
inl"
,
p"otru
orice
(a,
B)
c
(b
-
6",
t),
IJ
l/.
lll <e-
I
tj
"
I
Demonstralie. Se
aplic6
Propozrlia
1.7, Cap.
II,
$1,
funcliei
fAl
=
i
f,
pp
ttl
servLnd
cd
lf
--lI-lf
=F(0)
FG)
I
JJ.)
Ca
qi
in
paragraful
precedent,
observim
c5, daci.
-l
este
integrabili.
pe
[4,
b
-
i-
ar,unci
l/l
este
integrabrld pe
[c.6-el.
de.i
are sens
cons]derarea
/
l/l
J
,
(
I 1
It
i
r-n,-_li-l
l-^
;;='n'
o/ I
-
J
x"
,:o
[tn,lj.
o
-
I
DEFINTTTE.
Fie
f
:
L-
t
con,-lPrgenli
clacn
)fl
et
.t
UrmH,touel"
iopori
aseminS,toare.
PRopozrTrA
g.2.
O
conuergenld
este
conterge
PRopozlTrA
g.
J.
fr
€(0,6-4).
1)
Dacd
If
b-
gi
I
g
esle
comerqenld,.
a
.t"
2)
Dacd.
s(t)
>
0 Vt
,
6-
I
atunct,
d,acd,
I
g
esle
cou
.t
D-
t
tlacdte(A,c<),
llJ
.J
Afirmalii
similare
sin
DemoasfraJie.
Singuir
Propozi[iei
7.3 este
cazul
l
Din
(8.4),
Ve
>0ld
.
<
(I
+
e)s(c)
qi
se
aplicS.
1
APLICA?IE,
I
,l
cr-r
11
_
s.;r-
r4s
.,
o
(8
2)
Intr-adevir,
pentru
str
106
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 109/218
-
2)
2.
aI-
pe
ar
fi
2)
DEFINITIE. Fie
f
:
[o,6)
-
R
nemirginitl
spre b.
i-
r^n
.raPntn
^^.,
I
r
r,F{rF .n,,rFru,'nr;
-"-.t'"
Urmitoarele
p'r,rpozilii
"ilt
analoge Propoziliilor 7.2
qi
7.3, avind
o demonstralie
as"rnandtoare.
PRoPozr'{rA
8.2.
O inlegrald, improprie d.ef.nttd.
przn (8.1)
sau
prin
(8.2)
absolut
conu ergent'd, esTe conuergenTd,"
PRoPozITIA
8.3.
Fie
[,g:ia,b)
-
W
inlegrabile
Riemannpeia,b-r
Vq
e
€(0,d-d).
1)
Dacd
,J
se
numeqte
obsolul
(8
3)
l/(r)l
(
c(c)
Vr
€
[or,
6), a
(
or
<
6
,,
D-
TI
y
lg
csle
ronuergenld,
alun,i
I f
esle absolul rcnDerg?nld.
.t .t
2)
Docd
glt;r
>
0
V{
e
lo.
6)
fi
b-
nt
tnti.
,la,:i I n
'.t"
,,,n
l"f(etl
/
<
oo r8.4)
"5t
9(t)
b-
I
eslp
ront)prg"nLi.
rezullo
.l
I
abr'olul
t
ontergenl(i.
"b-
bb-
Da, ri t
€
(0,
oo),
I lIl ii I
E
rcniffg sau diuerg simultun.
'It
t
Afrnnlti
similare sinl
odLutirole
penln
I f.
,
Demonstralie. Singurul
loc
in
care
iniervin
mici modificiri fa 5. rie
demonstra{ia
Propoziliei
7..1
este cazul 2).
Din(8.4),Ve
>0
f6"
>
0
astfel
incit
Vr
€
(6
-
6., b),
(l-e)e(r)
<
l/(')l
<
<
(i
-
e)g(r)
Ei
sc
aplicd.
l),
ca
rn dcmonctraqra Propozi{ici
8.3.
APLICATID.
I
/
rp-r(1
-.r;e-ldr
es+"e con..,ergenti
daci
qi
nurnai
Cac[
p
> 0
qi q
>
0.
n,
iirtr-adevi"r, pentru
studierea
convergculei
in
0
a
integralei
[ ,c- 11.
710
r4,
,J
0
107
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 110/218
-p-l
11
-\q
I
i
considerS.m
g(;r)
:
rp-r
Ei
atunci lim
a__}=-:
r,
a""i
/re
r(1
-r)s-rdr
t+n
OT
./.
rtre d((casi rrardre clr i ,r-, ,i.,,
)'rll,
o
/
o
u^.,
^^-,.-.,
.t
-1,'
+
^
deci convergepentrup>0qi
I th'
^_n
["'"
o,
''-"
diverge
pentru p(0.
1
Un
r&liorament
analog
se aplicd
pentru
[
,o-'|t
,y
rdr,
considerlnd
fuurc{ia
tt
9(r)
:(1
-z)q-1.
$i
in
cazul integralelor
definite
prin
(8.2)
introducem
noliunea
de convergenli in
sensul valorii
principale
Cauc[y.
DEFINITIE.
Fie
/:
la,bl
-
{c}
-
R, cela,b],
f
nemdrginitd
spre
c, integrabild
Riemann
pe
[o,r-nt], [c
+
r:72,b],
Vrlr
e
(0,c-
o), Yq2
e
(0,b-
c).
b
/
/
se nunreqte
conuergentd,
in,
sensul ualorii,
principale
a lui, Coucby dacd existd
b
rl /r
Qi
esre
finitd
llm
(
/
"f
I
/
/).
Aceasta
se noleazd.
v.p.
.:-o
J
,
Integrala deliniti
prin
(8.2) coincide
cu
u.p.
/
,f
atuncj cind existS,
dar
v.p.
-t
poate
exirjta
qi
cind
integrala definitd
prin (8.2)
rL existd..
t1-41l
EKEMeLT
.
u.p.
/1a.
:o,du,
[1dr:
tim
(
[
ar-
/10,)
nu
"'irte.
J
r
J
r
"..,^,
J
r
J
r
/
-l -l
"-t"
-t
t12
Se
defineqte,
continuind definiliite
precedente, qi
convergenla integralelor
unor
Iuc{ii
cu domeniul de
defnilie nem[rginit
qi
nemdrginite
spre unul din
capete.
DEFTNTTTE.
Fie
/:(a,,oo)
-+IR,
integrabil6
pe +q,b],
Vb>
o
EiV?
e
(0,b-a),
nemd;ginit5, spre a.
Fie6> aoarecare. Definim
/
t:
lt+ /
/,
prima
integratd
.l .l .l
iiir<i
<iefiniid
prin
(8.1)
iar
a,
rioua
prin
(7.1).
d+
a+
b
ApLrcATIt.
I
p-te-tdLconverge
penrru
orice.
> u.
J
o+
b
I f .
Intr adevir.
[
,"-to-r4,
-
.t
0+
Siudiem
separat
r:ele
doui
luind
q(l)
=
i.-r,4q6i
1;-L
rfot"
1
J
t"-
I&,
care converge
daci
qi
0+
Pentru
cea
de-a
doua
intr
,t*
e'
>
,
Vt
>
0,
Vn
f
N.
Aiunc:
n-a47
)
2, rezulti
l"-re*t
1
t
convergenta
/
e-rlo
rdl.
Va >
.l
1
Rema"rclm
in
incheiere
ci,
nemirginitS.
intr-un
numir finit
b-
",-
b
Jt=
Ir+
|
r+
+
f
CONVERGENTA
UNIFOF
in
cazul
in care
ir
defirilie
la
existen i
a
integralelor
(c
propriei,Sli
cum
ar
fi
cea
verificate
in
cazul
convergen
:.
DEFINITIE.
1)
Fie
7"
:
[c,
l]
x
fc,
ar)
*
|
pe
[a,
6]
dac5, pentr
4,
F)
c
(M(e),
<n),
t)
)[',
l.r'
'
t
)
ni.
I
'
;",
6l
x
[c,
d)
cont
b
t"
IJ
Z
108
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 111/218
dc
^7tt
intr-adeuAr.
I
I''1e-'dL'
I
to'te-'dt+
/
t"-'e'dt.
JJJ
0+0+1
Siudiem
separat ceie
doui
iniegraie.
Pentru
prima
aplicim
Fropozilia
8.3
2),
,n
l- I
i
luinds(f)- l"-r,
dcci
lim-.-i,
-
I
qi
atuncj
I
to
1c-tdt
arp accea{i naturd cu
tZn
t."-'
J*
I
I
/
to-
'dl,
care convcrge
daci
qi nurrrai
daci
o
)
0.
J
0+
Pentru cea de-a doua
integrali
folosirn
fapiul
demonstrat
in
Cap.
I,
$4,
ci
.
ln
n
nt.
e'>
.Vt>l),Vn<
N.
Atunri
e'(
--Vl
)
0,
deci
0<
/o-
re-'
<
---;.
DacS
n
Jn
tn-otl
n-o+l
>2,
rezr-rlti
/d-rc-l
<
i'"1
u,
/ |ar:
I
arragc,
conlorm Propoziliei 7.3.
1).
Lz-J tz
I
convergenta
/
e-'1"
'dl,
V@
>
0.
I
Remarc5.m
in
incbeiere
ce
putem
extinde definilia
(8.2)
la
cazul
in care
/
este
nemi.rginit6
intr-un
numir
flnit
de
puncte
cr,c2,...
1cn
€ [o,6],
c1
<c2<... <ci:
bcr-,
Ir= |
r*
lr*
*
|
r.
.'
+
.-+
$9.
CONVERGENTA UNIFORMX
A I]NON,
INTEGRALE CU PARAMETRU
in cazul in care in
defini{ia
(6.1)
Comeniul de integrare
nu mai
este compact,
simpla
existenld, a integralelor (convergentd.) in sensul
defini{iilor
din
$7
qi
$8
nu mai
asigurl
proprieti,li
cum ar fi cea de continuitate
pentru
f1
sau
/2.
Aceste
proprietili
sint
verificate
in
cazul
convergen[ei
uniforme.
DDIrNrTro.
l) Fic
/
.
[a,
l] x
lr".
x-) S
irru,
i,ie
.,rrriirru[.
/
/(r.
y)dy
sL
i,u,'r'iie
ii,J'?iir.
'.t""'"
pe
[o,
6]
dac[,
pentru
orice s
> 0
existi M(e)
>
c a.stiel
incir,
oricare ar
(o,
P)
c
(M(e),
oo),
p
t I
t".,1ayl< e,
Vx
€
[o,6].
r/
"-
'
2)
Fie
/
:
[o,6]
x
[c,
d)
continud,,
nem[rginiti
spre fc,
b]
x
{di.
in
(e
1)
d-
I
/
/(r,
y)dy
se
109
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 112/218
nume$le rrndorrn
conuergenld
pe
[o,
,] dacd,
pentru
orice
e
)
0
existd
6.
> 0
aslfel
incit
oricare ar
fi
(a,
B)
c
(d
-
6,
,
d),
Un
criteriu
simplu de
co
Pnorozrlrt
9.2.
l)
Fie
:
[a,6]
x
[c,
Dacd.
il@,y)i
(
fr(v) v(r,y'
I
f
G,il,lU
esle uniform
rct
2)
Fie
J
:
[o,b]
x
[c,
h:
fc,
d)
-R
continud,
nem
d-
gi
I
h(y)dy
esle
conuergenli
Demonstra\ie.
l)
I
h(u)dy
es[e conv
Ve
>0 f
M.
l
c astfel
incit'
PB
tt
^"i,ll
f@,u)drl<
/t,
demonstri.tS.
Cazul 2) se demonstreaz
r/om
rel'eli
asupia
iateg
$10.
EXERCITII
1.
Si
se studieze
integrabilii:
a)
f
:
la,
bl
--'
R,
/k)
=
b)J:[0,
1]
-R,
/(r)=
")
r,
fo,
h],
,or=
2.
Si
se
studieze
integrabiliit
'j
1';0,
11
xfo,
tl
*R,
I
I
I tt,
,'ta,'l <
r
Vr
€
ln
h1
t.J
"
"
"l
Remarcim
cn
in
(9.1), (9.2)
coldiliile
de colvergerrti din
'I'eoremele
7.1
gi
8.1
trebuie indeplinite uniform
pc
[o,
i].
TEoREMA 9.1.
t
l)
Fic
f
:
fa,
b] x
[c,
oc,)
-
R
cozfinuri. Datd
J
fk,g)dA
esle uniforrn con-
uergentd
pe
la,bl,
funcliafi
:-[a,
D]
-
R
d.efinitd
Or*
frrrl
=
j
71r,r10,
**
(*ntifNo"*;t*:"u,fi"J"i:tr
-
R
continuii,
nemdrsinitd
"0,"1o,",u1
x
{d}.
Dacd
I
fG
,
a)dU
esle untt'orm conaergenld
pe
la,
bl,
funcli,a fi
:
la,
hl
-
R
d.efinild.
pnn
,fr(rl
.
/
Ilr.C)dy
esle
(ant[orn)
continud
pe
lo.
b).
D"lnun"trutri".
Vom da demonstralia
in
cazul
1), in cazul
2)
procedindu-se
ascmdndtor.
Fie
(3y")"
qir
din
fc.
oo), monoton
crescltor,
lim
gr,.
=
co. Fie
9"
:
[a,
b]
--+
R
|
.,
g"Q)
=
i
,f(r,
y)dy.
n
€
N. Arunci, conforrn Teoremei
6.1,
funcliile
g,
sini
coniinue
pe
[a,
6]
Vn
e
Nl
qi
lim
g^(x)
=
f1(x)
Vz
e
[o,
6]. Vom
demonstra
ci
aceasti
{9.2 )
convcrgen[X. este
uniform5
qi
atunci,
conform
cu Cap.
IlI,
$6,
Teorema 6.1,
fi
rezulti
Pentru
a
demonstra convergenla uniformi
a
girului
(9")" pe
la,
D]
la
fi
este
suficient si aritdm
ci
(g")" este
qir
Cauchy
ln
(C([o,
b]),
ll
ll-),
d"tpt"
care
qtim
ci
estc
spaliu
Banach.
Fie e
>
0
gi
M"
dat
de
(9.1).
Fie
N(e) astfei incit
Vn
)
N(e),
y"
>
M,.
,q
L
tl
Ar,un,-i, Vn
)
N{r1,
"up
I i /tr,.u),.lyl
. .,
Vp
>
0.
Areasta echivaleazi
cu
,ei..all
|
' " 'l
'
a^
sup
i9"10(c)
-
r"(r)1
< e
Yn
)
in
(.6),
Vp
)
0,
rieci (g.)"
".r"
gir
Cauchy ir
(c(i',6l),1l
il-
)
I
Func{iile
fi
definite
in
cazurile 1)
qi
2)
ale teoremei
se
mai
numesc
improprti cu
parametri.
110
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 113/218
0
asifel
(e 2)
7.1
qi
8.1
con'
este
uaca
Prtn
coniinue
c5, aceastS,
fl
rezultS.
la
fi
este
qtim
cx
s"
>
M..
cu
CauchY
in
inlegrale
Un
criteriu simplu
de
convergenli
uniformi este
cel
aI
majordrii
PRoPozrTlA
9.2.
)
Fie
:
fa,
b]
x
[c,
cn)
-
R
cttntimLd-
Dacd
il@,y)l
(
h(s)
v(r,y)
e
[o,
6] x
[c,
oo)
e,
Fieh:
I
h\a)d,J
fc,
co)
*
R conlinud.
esle conuergenld, alunci
I
I
IU,ilrlc
este
un{orm
conrergenld.
pe
la.
bf.
2)
Fie
f
:
la,b]xfc,d)
"+
R
conlinud,
nemdrginitd
sprela,blx
{c}
-
Fie
n:
[c,
d)'*R continud,
nemdrsinild
spre d. Dacd'
lf(x,g)l
g
h(y)
V(r,y)
e
fo,6]
d-d
tt
9i
I
h61ay
esle conDergenla.
atunu
I
I(r,u)du
esle
uniform conuergentd
pelo.b].
.tJ
"
D"
on"tr^tri".
I)
I
h(a)d
este
convergentS, daci
gi
numai dac5,
conform
Teoremei
7.1,
PB
,t
'
t.,,,^,^
Ye>0
3 M,
>caslfel
incirV(o.F)
c
(M.,oo).
"<A.llh(y)dvl
=
Jh(g\dy
<t.
,t"
ppp
tl t r I
Atunci,
l/.1'(r,.u)d.ul
< / l-f(r.y)ldv
(
/
/t(v)dc
<
6
Ei
convergenla
uniformd
est"
t.l
" "'
"'
'J
''
J
-
"
demonst ri,td..
Cazul
2) se demonstreazd,
la
fel. I
Vom
reveni asupia
iategralelor
impropiii
cu
paiainetru
in capitolul
uimi.tor.
$10,
EXERCITII
1. S5,
se studieze
integrabilitatea
Riemann
pentru
urmltoa.rele funclii:
rr
r(
[a,6]
n(R-q)
a)/:[o,6]
-R,
/(r)=
i:
iz
r
€
[4.
blflQ
b)f:lo.rl
-R.
i(r)
={'"
'
€[o'l]nQ
'1
.r'? oe
L0
iln(R-Q)
r r 1 fl.i.
I r I t
.)/,10,,-1./(r)={
""
"'e(o'51
\/41t'
[r
r-u
Sd se s+,uCieze
in+"egrabilitatea Riemann
pentru functiile:
(
0
daci
(.r,
v)
c
([0,
t] x
[0,
t])
fl(Q
x
Q)
uj 1
,
10,
q
x
r0,
rl
__
R,
r(,,
y)
=
{
r
a*a
;
E
13:
llllH
_
3l
.,"
111
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 114/218
br
/
:
[0.1]
x
[o.I]
-R
f{c's)
=\f#
l*,
;::
9. S5,
se
studicze convergen
L
a)
/
c-'d.r,
0
I
T
d)
/
in(sin r
)d.r;
0
10.
Si
se
arate
c5.
urnritoar
cate:
a)
/
e-1"
srn
.rdr,
t
6 |
.t
0
b) /e
rzo-ldr
ocl"
0
3.
S[
se
arate
ci'
dacl
f
'
g :
la'b]
--+
R
sini
integrabiie
Riemann'
b)r"=
T
arcte{nr)dr, Y"
=
/
nrcsin(nr)dr'
"J
1-
tr+1
f
5.
Sise
calculeze
/ fr]dr'
.t
6.
Verificind
t
,*ttOU
existenla
iniegralei'
s5'
se
a)
Dz
=
10,o1
x
fo,ol,
l(r,Y)
=
z2
+ 2''
b)
D2
=
[0.
i]
x
[0'
2],
f(a'
Y)
=
rs;
c)
D,
= 11.21
x
[1'a]
'f(r,Y)
=
i.;
?.
Fi.rX.
a calcula
lntegralele'
verificati:
a
llf
,) / e-""""dr(
-:
'J
z
0
0
t ..
-
l,
4
b)
0(
/rln(l-
r')dr(;tn5'
.l
-+
8.
S[
se
calculeze
pornind
de
ia
tieiinilie:
ai /
e-'d.c;
'J
0
/1
b)
/ ltFd';
--
't,
b
, t \2
(/t
0.1
1
bb
a
( i t'\( /
q'),
u"rln.tna in
prealabil existenla integralelor
din
cei doi
membri'
-
\./
'
/
\J
r^
4.
Folosjnd
torema
4
5
calcuLali
'l
i
unde:
t
ti-
f
sinr
'
^r'.=
/
eAr'n"dr.s"=
J;d':'
_.r-
"h
;
I
c\ I
ln
rd.r'
'.1
0+
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 115/218
9.
Si
se studieze convergenla:
L
a)
/
e-' dc;
0
ur
/
-La',
J
tr/1
1.
az
1
a
t1
c)
/
-do;
J
Vsr
n r
0+
,
eJ
<
membri.
1r
d) / ln(sinr)dr:
",
/
t'ntdr.
'J
i
r
01
10. Si se arate
ci
urmitoarele
integrale
sint uniform
convergente
pe
domeniile
indi
cate:
a)
/
e-t'sin
rd-c.
I
€
[/q.
tr]
C
(0. oo)i
.t-
0
I
b)
/
.-'l"
rdt,
o
c
[a.6]
c
(0.
oo).
0
113
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 116/218
CAPITOLUL
V
Derivate
gi
primitive
Deriuabililale
pe.ntru
functti
de
o
uariabild
reald.
sau
complerd.
D ert
u
ale
parliale.
;
d.eriu area i,ntegralelor cu
p
aramelru.
Primitiae
ule
fwcliilor
de
o uariabild reald
gi
calculul inlegralelor Riemann.
Funclii
euleriene.
Fofunula Taylor
penlru
futuclii
de
o
wriabild
tlput L ut
(Lu4ttt
urlft.
'rttut..
Avind
la
origine
studii
de mecanici
Ei
geometrie,
noliunile
fundamentale
ale cal-
culului diferen{ial
s-au
cristalizat
pe parcursul secolului
al
XVII-lea,
gdsindu-qi
con-
sacarea
in
luod.rile
lui
Newton
qi
Leibniz.
Unitatea
dintre operatiile de derivare
qi
de
primitivare,
ca
operatii
inverse una alteia, e clar
evidenliati
inci de
Leibniz.
Calculul
integralelor
functiilor
care
admit
primitivX
cu
vestita
formuld.
Leibniz-Newton rS,mine
o
sursi
de rezultate
impodanie chiar daci
utilizarea sa s-a
diminuat
in conditiile
in
care
calculul
numeric
aproximativ
al integralelor l,inde
iot
mai mult
sd,-l inlocuiascS
pe
cel bazat
pe
formule exacte.
Odat;,
cu dezvoltarea
calculului diferential
qi
inte-
gral,
s-a dezvoltat studiul ecuatiilor diferenliale, acest domeniu ajungind in
prezent
unul dinire cele mai importante
puncte
de contact, mutual benefic, dintre cerc€tarea
matematici,
qi
cercetarea experimentalS,.
$1.
DERIVABILITATE PENTRU FUNCTN
DE
O
VARIABILA
REALA SAU
COMPLEX,4.
incepem
prin
a reaminti
defini{ia derivabilitilii
in
cazul
funcliilor
de o
variabili
real5,.
Unele rezultate
cunoscute
din manualul de AnalizS, MatematicS, utilizat, in
liceu
in clasa a XI-a
[13]
vor
fi
apoi
enun{ate
qi
demonstrate
in
cazul variabilei complexe.
DErtNtTlE. Fie 1 un interval
deschis
din
R,
/
:
1
-*
R, co
€
1.
Functia
/
se
-..-.....-+.,
;--:-- .,1:
;-,
--
).-i
//(re)
se numeqte
deriur
existi.
Daci,
in
(1.1)
se consid
deriaaieie io sliaga,
respectir
Prin
(
1.1)
se definette
pe
d.-riaata lrt
f.
Oese
nv,r1it.
1)
(
1.1)
este echivalenti.
f('o
VheRcuro+lr€lunde
,
^( ".,
h\
f( r,
Intr-adevir,
-';'
'=
"
2)
//(ee)
este
panta
tar
secantelor
prin
puncie
apro;
)l Je
(ullsl,.Ll,il
.i
f t'ij{
linia.r5.
in
h a
varialiei func
Tot
prin (1.1)
se define
plexX.
DEFTNITIo.
Fie ,4 o
ml
uumegte
C-deri?alili in
zs
Piin
aceasti limit[
se
r
/'
numitS. derivaia
lui
/.
I
I
/erl,*-
l
,.
.f(,)
-
/(*6)
'.t
.,,
,
rlln-=Ilrnj (1
l)
existd
gi este
lirriti,.
lt4
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 117/218
//(r:6)
sc nunieqtc
d.tttual.a
lui
J
in
xnin
toaLe
situiiliile in
care limil,a
din
(1.1)
exist5,.
Dacd, in
(1.1)
se
corrsideri
lirnila
Ia
stirrga
sau
lirlila Ia
drcapta
se
vor
defini
dertuaieie
Ia slia4a,
rcspcciiv
iu irtupia.
Prin
(1.1)
se
defineQte
pe
llruliimea
punctelor
de
derivabilitate
o funclie
/'
numiti
derwala
hi
f
.
Onsol|,rltt.
l)
(i.l)
cste
echivalenti
ur
/'(;r1)
-
lim
(1
2)
(l
3)
f(ro
+
l,)
-
"f(ro)
=
l'(rq)i
+
a(26, A)
V[€Rcurq-fi.€1unde
i,,.n
^('o
l')
=
o
iLr
n
.l(ro
+
A)
l(',0)
ceea
u:
revinc ia
cal-
con-
qi
de
in
inie-
liceu
/
se
(1
1)
. ,'(... h\ f(.^ t- h\
-
f(.r^\
Inir-adevXr',
"-''
i
''-"'-l'(ro).
2)
/'(.rn)
este
l)anta
tangentci la
G-i
in
(r0,
/(26))
obtinuti
ca
limlt[
a
pantelor
secanlelor
prin puncte
apropiate
(vezi lig. 1).
Fig. 1
^
----n
-:,1
-,,
J) J.
cuirsi,itt;r Ld
j
(,r.rlii
cd tut.ili
u. ar- a
PoiLt-
liniar5
in
/r
a
variatici functiei
in
jurul
lui
16.
'lbt
prin
(1.1)
se delineqtc
dcrivabilitatea
in
cazui
funcliilor
de o
variahilri com-
plex5.
DEFTNI'III.
trie
A o multime
deschisi
din C.
-f
:
I
--C
i
zo
€
,4.
Functia
f
se
numc$lc
C tiettu'tbtlo
rn z0
dala
Fxisld
il
cslc
[nrt
lim
ir:
j
i(:0'
?'-l'(,0)
';'"
z
-
za
Prin
accastX.
liniti
se
definegte
pe
rnul{imea
pulctelor
dc
dr:rivabilitatc,
lunclia
//
numiti
derivata
lui
/.
115
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 118/218
Relaliile
(1.2) qi (1.3)
devin
f(za
+
h)
-
l(,0)
=
f'("0)h+
u(ze,
h)
Yh
€
c
cu zo
+
lz
€
A (1
4)
(1
5)
derivaia
VreC,
Yn
)-
1.
Asupra
acestei
derivate vom
reveni
in
capitolul
consacrat
derivatei Fr6chet,
studierea
sa
amEnuulit6 constiluind
obiectul tcoriei
funcliilor
de o variabil5,
com-
plexi.
Valabile
atit
pentru
funclii
de variabilS
realE cit
qi
pertru
functii
de
variabiii
complex5,
urmitoarele propozifii
vor
fi
demonstrate
pentru
cazul
complex
pentru
a
eviia
repeiarea
unor ltcruri
deja curroscute.
Aqadar .4 va
fi o mullirne deschisi
din A.,
A
+
0,
dacl
nu
se
menlioneazi
altceva.
PRopozrTrA
l.I.
Dacd.f
:A-C.
este d,eriaabild. in
zo
€
A atunci
J
esfu
conlznr,d
tn
zrJ.
Demonstrajie.
Fiee
>0.
Conform (1.5) 36.
>
0
astfel
incit
V[
€
C.
cu
zo
+h
€
A
gilhl
<
15.
avemla(2p,ft)l
<eli.j
qi
atunci
din
(1.4)cufr
=
z
zo,z
e
A,lz-zsl<
6e)
+
lf(.")
-
f(zs)l
<
lf'(zo)llz
-
z0l+
€lz
-
z6l
<
e dacd
,
cr(zo, h)
l'5
n
="
Aplicind
direct defini(ia
deducem
ci
gi
in cazul
variabilei
complexe
funcliei
constante
este
func(ia
identic
zero
(G)'
=
O) i.a.r
(2")t
=
nz"-r,
R
soz
fa C
gi
f
:A-
B,
g:B
--C.
Dacd
f
e deriaabild
tnto
€
A
pis
e
in
zo
=
f(tx)
alunci g o
f
e d,erirabild,
tnts
gi
(g
"
/)'(ro)
=
s'
lf(to)1.
f'
(to)
116
Demonstralie.
Fie
G," : B
G'"(r)
Atunci
G,"
e coniinu5
in
z6
6i
da
de unde
pentru
I
---+
t{r oblinem
(
PRopozrTtA
1.4.
(derivare
sau
inC
Si f
:
A
--+
B
o
funclie
derioabild
tn
zo
Ei
ft(zo)
*
0
atl
(f
Dernonslralie.
Din ipctezl
din
B,
limur,
=
ua\
un
f
uo'
li'm
zn
=
zo, zn
f
zs
Yn.
Re.,
..
1
1
= llltt
-
n lQ t-IQo)
f,Qo\
zn-zo
Ne
ocupim
in contiaua,re
de
DEFTNTTTE.
Fie
X
un spalir
Jo€DseBumeqte:
puncl
de
marim
local
al
l:u
(
/(so)
Vc
e
-/.
puncl
d,e
minim
local
al
Lu
>-
f
(cs)
Va
€
V.
Punctele
de maxim
sau mint
Rezultatul
principal
privind
Teorema
lui
Fermat.
TEoREMA
1.5.
(Fermat)
Fi
un
puncl
de extrem
local
penlru
.
Demonsfualie.
Vom
da
o
d
f'(*o)
*
0. Fier>0asifelin,
f'(xn)ho
s
0.
Pentru
lll
suficient
-"f(co) =
tft(Eo)ho
+
d(ao,tho)
Fie
6
>
0
astfel
incit
pentru
aqadar"
-1''/'('ro)l
"t
4
l"
-
"ol
<-in
{u.,
=.-l
--
}
.
(
"l/'(.0)l+eJ
PRopozITrA
L2.
Ilie
f,g
:
A
-
C
d,eriuabile
in
zs.
Atunci
1)Vcr,,0
e
C, ai+9s
e deriitabiid
in
z0
;i
(af
r
Bs)t(ro)
=
af,("a)+
Bc,("0).
2)
f
.g
e derioabild,
in
zo
pi
(f
.g),("0)
=
f'(za)s(zo)
+
I(zo)s,(zo).
t
t\'
\
Docd
g(zo)
10.'
etistti
in uprtn(ilaLel
lui
zo, c denaab
dt
g
,,
rut
zo. c ocrtaaDtro
ln
z0
11
\- )
\za)
=
_
ft(zo)s(zo)
-
f(zo)s (zo)
g("0)2
Dcn"iai;€traiic.
Derrro*siralia
esie
ideatici,
eelei din
razul
friiicliilor
de, variabili
reali.
Vom exemplifica
demonstrind
2).
(i
s\('\
-
\i
.s)(,0)
=
/(.)
it,o)
^,-,
.
,,. ,g(z)-
g(.,0)
z
*
zo
"
-'f
01")
+
Jko)"t
,t1
qi
daci
z
*
26,
folosind
5i
Propoziqia
l.l
se obl,ine
r"ezulratul
anunlat.
I
'
PRoPoziTiA
1.3.
(cierivarea
iunc{iilor
compuse)
Fie
A, ts mullimi
de.schise.
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 119/218
(1.4)
Dertonsba\ie. Fic
G,"
:
B
-
C definii,i.
prin
(
sG\
e(:,' )
G,"r.r_{*;
"
,,l,,oo
^r__";
.t
-..^-1r,...:
,._
=
-:
r^-x
, ,. ,
slf(t))
-
glf(to)l
,,
,,,,u
f(t)
-
I(to)
r, .0
a,
udld
"
t-,o,
-
t
_
tf,-
-
iJzoi.l\r.,j
-
deunde
pentru
t-lp
obtincm
(1.6).
I
I
PRopozlTr^
1.4.
(derivarea
functiei
irrverse) lic A,
B
nullimi deschise
tnR
sorfnCqrf:A-Bofunclicconlrnud,bijeclfud,,cuinuersacontinud.Dacd.feste
dernabild in
z6
9i ft(zs)
f
0
atunci
f-|
este d.eriuabild
in
us
=
f(211)
gi
tr-')'t,o)=
iTi+a,
(1
7)
Demcllsli'll{ p.
)in ipor"zi
/-r
pxi"ti
1i
t
cr.;nrinud
pr
B
l-re
(u,.), un
tir
din
-8,
lrmLu,,
=
u)at utn
f
u,oYn.
Atunci
32,
e
,4
astlel
incit ur,
=
/(2")
Vn
qi
lim.zn
=
zo
zn
/
z6yn.
o"ru,r^ ,r-"/-'("t-
"I-
('ol
un_ug
"
f(,")
JQ")
(1
5)
derivata
I,
Yz
€
C.,
com-
dc
variabild
pentru
a
altceva.
I
esie
znl
<
5"
+
.._:
-r.:r:
z
*
26,
desr:hise.
in
(1
6)
-r.^.
I
-
1
',l"lG;-/(,0) *
/'(,0)
,"- t,
Ne ocupbm
in
continuare de
func{ii
derivabile cu valori
reaie.
DEFTNTTTE.
Fie X un spaliu
metric,
D
C
X,
b
lA.
Fie
f
:
D
*
R.
punctul
xo€Dsenumeqte:
puncl
d,c manm
local
al
Inri
f
dacd
lV
€
)/(ro),
lz
C
D,
astfel incit
/(a)
(
\
J(foJ
v.r
e
Y
.
puncl
d.e rninin
local
al
lui
/
daci
lL'
€
V(ro),I,z
C
D, astfel
incit
f(x) )
2
f(xe)
Yx
€
V.
Punctele de
maxim sau
minim
local
se numesc
pilncie
de extrem local.
Rezultatul
principal privind
punctele
de extrern
local
ale
funcliilor
derivabile
este
Teorema
lui
Fermat.
TEoREMA
1.5.
(Fermai)
Fie
A
o mulJime ,finF",
),
+
0.
Fie
f
:,4rfficiao
e
-i
un
puncl
de
erlrem. local
pentru
[.
Dacd,J
e deriuabild,
tn us
atunct
/,(cr)
=
0.
Demorslra{ie.
Vom
da
o demonstratie
diferitd de
cea din
113].
Presupunem
J'("0)
l0
F,e
r >
tt
astlpl
rnrrt
1-{r0)
=
(r'e
y..rs*
r)
C
I
qi
fie
hu; R crr
J'(co)/ro
> 0.
Pentru
lll
suficient
de rlic, eo
*
ti.o
e
1,(16)
qi
din
(1.a)
/(c6
-1-
ih6)-
-Jbr1)=tf'(xs)hs*a(r0,1h6)
cu
a(r0,
th0)
€
R
qi
lim
a(x.o
'
1fi0)
-
0.
tha
Fie 6
>
0
asifcl
incil
pentru
lll
<
6,
agadar
-rtf'
ft:)no
<
a(re,
rh6)
.
v{-(+ e.
(l
8)
1
=
("f-t)'(?ro).
I
f
/,y
\-0
./
\s./
117
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 120/218
qi
aiunci,
pentru
I
> 0,
lll
<
,, are loc conform
(1.8)
f
(ro
+tho)-
"f("0)
-
t
ft(zo)ho
a(ts,tho
)
>
1/J'{r'0}h0>.0
iar
pentru
,
<
0,
ltl
<
6, (1.8) conduce
la
f(ca
+tho)-
/('o)
=
tf'(q\ha+ a(r0,zA0)
<
lll'1rs)fto
<
0
rezultind
c5.
in
vecind.tatea
lui re
/
are a.tit valori
mai mari
cit
qi
mai
mici decit
/(c6),
deci
rp
nu
ar
fi
extrem local, o contradiclie. I
Aceasli
demonstralic func ioneaz5.9i
in
cazul
funcliilor
dcfinitc
pe
o submullime
dintr-un spaliu normat
cind derivata
este definiti
in
sensul
lui
Fr6chet.
O
primi
aplicatie
a Teoremei lui
Fermat este demonstrarea
proprietitii
lui
Darboux
pentru
derivatele
func{iilor
de o variabdE realX.
TEoREMA
i.6. Fie n
-
bcR,
f
:
D
-
R deriuabiid,.
Aiunci lia,bl
C
C
D,
f'(la,bl)
este
inlerual.
Demonstragie.
Fie
[o,b]
C
D. Presupunem
f'(")
*
f'(t)
qi
fie
I intre
//(o)
gi
//(b).
Ar5tdm
c5, )
e
valoare
a
lui
/'
qi
atunci, cum
ia,6]
e arbitrar, teorema
e
demonsirati.
Fie
f':
D
*
R,
le(r)
- f(r) - )r. Fe
derivabilS
pe
[o,6],
in
particular
e
continu5.
Ciutim c
€
fa,6]
cu ,F'(c)
-
0.
Conform
Teoremei
lui
Fermat, un
punct
de
extrem
local satisface
aceasti condi{ie.
Fie
r*, c14
punctele
in care se ating extremele
absolute ale
lui
F
pe
[o,
D] (existi
conform Teoremei
lui
Weierstrass:
Cap.
III
$1,
Teorema
1.9) deci
1r(c-)
=
inf{.F(r)
lr
e
ia.6l},F(zw)
=
sup{F(r)
le
e
[a,b]]
Dar:[ r-
-
ry
rezultd. .F constantS.
pe
[a,
i],
deci 1/(r)
=
0
Vc
E
[a,
b]
qi
deci
ft(t)
-
^
Vr
e
[o,6]
situalie exclusi
de ipcteza
f'(")* f'Q)
AEadar
r-
f
ry
gi
ar5.t5,m ci r-
qi
c1e1 nu
pot
fi simultan capeie ale
lui
fa,
D].
Daci
presupunem
rn
=
o
$i
rM
-
b
obtinem
ry
2
0vr
e[o,6]
de unde
rezultS,
F/(a)
)
0 deci
/'(a)
t
^
"
AJ#
)
0
Vc
e
[o,0]
de unde
rezutti
f'(b)
>-
^.
e
obline
o contradiclie
cu
ipoteza.\ intre
/'(o)
qi
//(b),
deci cel
pulin
unul
din
c-
qi
e1.4
se aflE
in
(a.6)
deci
e
exirem
local
qi
atunci
c
=
rm
sdu c
=
ov
satisface
ft(c)
-
),.
I
TEoREMA
1.7.
(Rolle)
Fie a,b
6
R
9i /
:
fo,
d]
--+
R conlinui.,
deriaabtld.
pe
(a,b),
cu
f(a)
=
"f(b).
Atunci 1c
a
(a,b)
asrfel
inctt,f/(c)
=
0.
Demonstralic.
Daci
/
e consianti
derivata
e identic nul5.
qi puiem
lua
orice
c
e
(4,
b).
Presupuuem
/
neconstanti..
Fie
z-,ry
€
[a,0]
cu
f(c-)
=
inf{f(r)
lr
e
[a,b]]
ei f(ey)
=
sup{/(r)
lr
e
€
[a,
D]]. Unul dintre
ele
nu
coincide
nici
cu a
nici
cu
6
deoarece
/(o)
= f(b)
qi
/
nu
e
118
constant5,, deci r,' sau rg
sau
/'(2r,1)
=
0. t
TEoREMA
1.8.
(Cau,
a
I
b.
Exisld
c
e
(a,b) astJ
Demonstralie. Aplici,n
h(r)
=
Conor,rn 1.8.1.
[Te
conhnud., deriaabild.
pe
(a,
=
ft(c)(b
-
a).
Demonstralie.
Lud,m
g
Conoun
1.8.2. Fie
f'(r) 2
0 V:r
e
lo,
bl,
alun,
alunci
f
e dcscrescdloare
O alii aplicatie impori
lor de o
variabilS
realE, de
Paorozrlr-r. 1.9.
(Re1
1.)
I'ie
|,
s
:
fo,
Dl
--
fi,
a64;
f
si
g
sint
driuabilc
tn
(a
rt /-\
Atunu
dacd.I
lim
*,
2)
Fie
J,s:
la,re)
-
R, d
d,acd 1r
=
1i*
).
,,,,
'?"
e'(r
)
3)
Fie
j,s
:
ia,
oo)
*
R,
I
,tgl
o(t)
=
0.
At'unci daci
Demonstra\ie.
1)
Aplic5.rn Teorema.
lim
cn
=
rs
2) Fie la inceput
I finit
deci
g
e
rnoloion
qi
tieoar
>
0
Vr
€
la,cs).
Fie
e
>
<
I
+
,,
dccl,
deoarece
+
f(y)- (t-i)o't'i.
[-(t+i)o]
(r)<ov't
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 121/218
-
decit
/(rls),
ubmul{ime
O
primi
pentru
lia,'n]
C
intre
//(a)
teorema,
e
e
punct
de
extremele
III
91,
oJ
+
dec
lui
[o,6].
D]
de
unde
rezultd
unul
din
sal,isface
pe
(a
,
b)
,
lua
orice
lr
e
constanti, deci e- sau
rM
e exl,rem local
qi
Teorema
lui
Fermat
implicb
//(c*)
=
Q
sau//(r1a)=Q
I
TDoRoMA
1.8. (Cauchv)
lie
f,q
:
ld,6l
,-+
R
continue,
d,erilabile
pe
(a,b),
aIb. E
stdc€\a,b)
aslfet
inctt
lf(b)
-
f
(u)l.qt(c)
=
[s(b)
-
s(c)]l/(c).
Demonstra\ie.
Aplicdm
Tcorema
lui
ll,ollc
Iunclici
h(n)
-
s(4lf
(b)
-
/(,)l,
/(r)le(b)
_
e(o)l
CoRoLAR
1.8.1.
[Teorema
lui
Lagrange
(oegteri
finite)]
Fie
/
:
[a,lr]
-
R
conlinud, d.crirabild
pe
(a,b), a
I
b. Eristd
c
€
(a,b)
astfel tncit
f(b)
-
f(a)
-
=
l(c)(b
o).
Demonstralie.
Luim
9(e)
=
a
in
Teorema 1.8.
ConouR
1.8.2.
Fie
[d,b]
C
R,
alb
Ei
fie f
:
la,b).-
R
d.eriaabrld..
Dacd,
/'(a))0Ve€l,a,bl,atuncifemescd .oare?el.o.,b],iardacdft(,x)50Vzelo,0].
atunci
f
e desc:rescdtoare pe
la,b].
O
alti
aplicalie
irnportanti.
a Teorernei 1.8
priveqte posibilitatea,
in
cazul
func i
lor
de
o variabilS,
reali, de
a calcula anumite
limite
folosind derivatele.
PRopozITIA
1.9.
(Regulile
lui l'Il6spital)
Fie
a,b,xo e
EX.
l) I'ie
l,g:
[o,b]
-R,
continue-
Fie
rs
(
[a,6].
Presupunem
cd:
f(x6)
=g(r0)=0i
J
Ai
g
stnt dcriuabilc
tn
(a,b)
-
{ro};
s(r}
I
0
+i
g'{x)
f
0
in
uecindtate.a lui
xs.
Atuncr,
d.ato I
Iirn
/'("]
.
rezu|d
td, tr-
"f(t)
=
li-
/'(")
',-,"
s'lt)
"-""
o(.r)
,-..
s'O\
2) Fie
f,g
:
la,x6)
-
FR, deriuabile,
c'@)
I
0 Ve
e
[a,rg),
.Lry"
g(')
=
<n.
Atunci
doedTt:
trm
I'9).
uru116ra:
ti^
j(*l
-
t,.,'
/'{*)
'-.'"
9'(f)
"
<,.
slx)
,:'"
g,(/)
3) Fie
i,
g
:
[4,
oo)
-
R,
deriaabiie,
S'@)
*
0 ir
)
A
2
a.
Presupunem
a
>
A
si
lrm
s(x)=
0. A-rttnrr darri
T
lim
'1.').
nrulro,d:
li-
/ 'l
=
l,n,
l1ti.
,
.-
9.(r)
r_a
g(r) ,
._
S,(r)
Denronsl
ra(ie.
1)
Aplicim
lborerna
1.8.
Fie
rn
-6s.
lim c,
=
re.
I
9'(c"
l
2)
'ie
la
inceput I finii.
g/(co)
I
0
Vr
E
[o,
so)
=+
g,
are semn
constant
pe
[a,
r0)
deci g
e rm.rnoiooi, gi
deoarece
Ji+t"
V(r)
=
q)
+
9
ctesciioare pe
lt.r,
rq) deci
g,(z)
>
>0Vr€
fa,rs).
Fie
e
>
0qi6.
astfel
incit
Vr
€
[r{i-6.,oe),
l-;.
Hr.
t
< i+
i.a".i,
tieoarece
s'ir;
t 0,
(t- )o',',
.
J'(ri
<
(j+l)nr-l
=
+
l(9*(-i)rc
=
k-(,-i)rl',',
>
0V-r
6
[16-d.,rp)
si
simirar
[t
-
(,
.
i)
o]'
t')
<
o
vz e
[16
-
6.,
eo).
119
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 122/218
eru'cr
[/-
(,-i)ol
("r=/t.rt-(r-'1)
n,,t,1,'6
a.
I
(i-
)o'.
-r.'
V.rE[r1-5...rn)-/(-r)
-(i
-.re(r)
>
-f(ro-a.)--(r-
i)0r.,
a.
l
v(r)
--
da.i.r-ro
Srmriar, V.r
€
ixo-b,.xn).
fix)-
(,
*i)dr't-€rotrl
/ir)-itr
/\
-Fe)g(r)
</(.0
-6.)-
(*;)
s{,0-6")-iuk)-
-codacd.r-co.
ASadar
361(e)
>
0 astfel incit
Vr
e
(16
-
61(e),
zs),
J(r\
- (t
e)o(r)
>
0
ei
./(e)
-
(l
+
e)s({) <
0.
Deoarece
th
9(c)
-
oo trebuie
si
avem
9(z)
>
0
in
vccinitatea
lui
ze
qi
atunci,
din cele de
rnai sus
rezulti
1_.
a
I"\
g(u.t
t
I-t vr
e
fro
-
r'(r)'rn)
pcnrru
un
t?(s)
>
0suficrenr
d.
mrc.
de"j
-116
/(r)
-
1.
"
...
o(r)
Dac5, /
=
oo demonstratia se
simplifici,
fblosindu-se
numai estimS,rile care
au
condus la
f(t)
-
(l
-
e)g(.r)
> 0,
uude in
loc de
(l
-
e)
vorn
pune
M, cr
M
> D
3)
Folosim
I). I'ie
a"
*
co. Atunci
u,
=
,-'(;)
"
['(j)]'
_,'(j)
(-;)
_
,,
r,,r,
tT
a,T
l:;-i
,,,i;
-
i,];r
l
=
rt'L y'(r)
' ll\;)
.
L,(.;/]
"\ut\
u2/
Dac.X
dcrivatele rrnei
frrnclii
sili la. rindd
lor
clerivabile se
defilesc
dcriva-tele
de
ordin
superior
ale
funcliei.
DITINITIo.
Fie,4 multrime
deschisS
in
R
sau
in
C,
/:,4,--+
C derivabili
deci
ft - L,f- n..i f/
^-r-
r^.i,,^Lll; r,,^^t.^, rt n9t rtt
n
i
.-r
' .
udLd
J
r's'c
,u,,
\,u
rJ
)
J
^
--
".
nuinr{i.
,1, i;rrla
a doua
a
lui
/.
Recurent se
pot
delini derivatele
de
ordin
n, Vn
)
2.
/
"e
r,',-^"r"
l"
"1"-;
('n
n6
4 d'.;
r i16 h-
4 l-ri\.r-,1-
^..t;-
\
-
-^-r,-,,^
r:Jl
ii,
.r
Notalic.
J
e
C"
(A).
/
se
numeqte de clasd.
C*
pe
,4
dar:[
I
e
C"(A) Vn
2
t.
In
incheierea
acestui
paragraf
demonstrlrn
o
proprietate
care, pcntru
func{ii
corr-
tinue
de
variabili
real5,,
leagi
integrala
Riernann
Qi
derivarca.
,TEoREMA
1.10.
Fie
f
:
la,b.l
-R
funclte
continud.
Fte tr' :
l-a,bl
-
R,
I(r)
=
=
/
f(l)dt.
Alunct
F
este denuuhild pc
la,bl
Ei
F,(r)
=
/(r),
Vc
€
la,
bl.
I
--t)
'
slx")
/
rr)
/tfr
'"'
Demonstralie.
l'ie ro
€
[4,
g4,
oblinem
r(';)
-
#")
=
qi
atunci
"f(€')
*
/(so)
rezult
stinga, fie
r,
*"0.
Atunci
ry
Ir(r-\
-
F(
€
lr.,
.rol
dcci
si
lin*-
r
.ln
-x0
=
/(ro).
I
$2,
DERIVA'TE
PARTIALE
Fie
G
o
mullime
deschisi
d
DETTNITIE.
/
are
derivati
exisiS.
qi
este
finiti
lim
f(a1,a2,...,ap
1
Alte
notalii intilnite
pentrL
Caz
Ttarttcular.
Fie
n
=
2,
(
(ro,
yo)
e
G.
Atunci
ol
J(.r,yo,-Jt
-l7^
?r.
I
J-.rn
af
, f?o,il-
f(
-(r0,.t/0,
-
llfil
-
OA e*YD
Y-Yo
tll
Se
obs"rvd.
cd derrval,a
5i
ft
: It
-
fl,
/1(r)
=
/(r,
yq
variabilX
/z
: 1,
t
R,
/r(c)
=,1
conform
reguliior
,ie
derivare
a
ExDMPLU. Fie
f:
R
x
R
A'
9(r,.v)
=
2rcos(12
+
y3),
+l
"'
o
Deqi
au
o stiinsE
legituri.
de ma multe
variabile,
existent
de
derivabilitate
care
sd,
asigure
de
o singuri
variabilX.
Acest
120
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 123/218
)
o"
(i+
ral
Demonstratie.
Fie
ro
e
[o,6],
t"
i
co.
Aplicind
Teorema
4.5,
b) din
Cap.
IV,
F(r"
)
F(ro)
I
?.
$4.
obt inem
qi
aiunci
/({")
*
J(cq)
Dt
"\
-
F(
-^\
rezultind
lim
T"
it-xn
Pentru
limita
la
=
f
(tt^) dt
rt"
e
=
f(co).
(-li
de
eci
=
121
..
F(r";
-
F(re)
i
slrnga.
hc
ra
-iro
A[uncl
a"
_.r,
-
",
_
",
.
F(.r.\
-
F(tt,t
, ,,-
F{r)-
F('o)
.
e
l"r.,.rql
deci
q;
t,;t*v;
_;;v=
hm/(1.)
=
/(rq),
a"Qadar
,$ff
-
=
f(co).
I
$2.
DERIVATE
PARTIALE
Fie Go
mullime
deschis5
din R'si
/:G*R
Fie o'--(at,...,a")eG'
DEFINITIE-
f
are
derivaii.
par{ial5,
in raport
cu argumentul
t in
punctul
o
daci
exisl,6
qi cste
finiti
,. Ilot,az,...,or
r.rr.drFr,..
.o")*-f(or,. ,o')
19r
af
,-,
xh ak
uf,h
Alte
noialii
intilnite
pentru
derivate
par{iale
sint
(Dsl)(c) sau
/i*(a)
Caz
ltariicular.
Fie
n
=
2, G
=
I
r
x
Iz
cu
{,
12
(
R inieivale
deschise,
/
:
G
-
R'
(ao, go)
€
G'
Atunci
0l
.f(r.yo)
-
.f('0,
co)
-tro,
?,/o )
dr
r-r0
dJ
,
"f(ro.
s)
-
/(.o
go)
-(ro,
ro)
0A Y-Yo
Y-Ao
af
.
Se
observS.
c5.
dertvata
'f;lro'
Uo)
este derivata
in
cs
a
funcliei
de
o
variabil5'
variabili
/z
: 12
*
R,
/r(o)
=
f(ro,y).
Prin
urmare,
derivaiele
parliale
se calculeazE'
conform regulilor
de derivare
a
funcliiloi
de o variabilS,.
ExEMpLU.
l'ief
:
RxR
-R,
l(c,g) =sin(r'+g3).
AtunciV(r,g) eR
x R,
-
Af
{h, a)
=
2r
cos(.r2
+
y3
),
il(r,
y)
=
3y2
cos1"r'2
+
y3.1.
ol
Deqi
au
o stiinsi"
leg[turi,
cu lo+liunea
de derivati
intr-un
punct
a
unei
functii
de ma multe
variabiie, existenla
derivatelor
parliale
nu este
echivalenti
cu
o condilie
de
derivabiliiate
care sd
asigure
funcliei
proprietS.lile
pe
care le
au
funcliile
derivabile
de o singurd
variabili.
Acesi
aspect
va
fi
detaliat
in
Capitolul
VII.
Ne
mirginim
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 124/218
deocamdati
si
prezentdm
un
exernplu
de
funclie
care
are
derivate
parliale
,intr_un
anurne
punct
flri
sd
fie
continui in
acel
puncL.
ExLMpLU.
Fie./:R
x
m
-
R.
/(.r'.
j,)
=
{;+
{r'v)
/r0
0).
s.^o.,.^
aic
ir
zeio
lirnite
diGrire
<ie-a lung,rt
unor
Ji.pi:
llif.,ir.,
7
lt,
"'l;r(,0;"0J
,n
,"".
(ju,
s.
.,cJ"
urui *
$10.
o1
-
$ri;,
o;
rr.
ut
oa
Prin
iterarca
derivatelor
parliale
de
ordin
unu
se definesc
dcrivatele partriale
de
ordin
superior.
DEFINITIE.
Fie
G mullime
deschisS,
in
R",
/:
G
-,-+
R.
Daci. derivatcle parliale
exrsl,d rn
once
punct
riin
C
se
de^
At
af
al
€
{r.
.nr eu.,
l
.,..".,:;,;r,,,
l'"*nk-"",1,,-,ilj:
rt
d
€
C
aceasta
se
numcite
deriiatd, porpold
de
orfun
2gi sF noleaz6
a
/0f\.
a2
a
(.a*
J
tu)
-
u*",(o)
=
Ii"'to)
Dacd
derivatele
par{iale
existi
in orice
punct
din
G
ele
definesc
functriile
^{
.
OxidJ:k
:C
.-R.
l(r.f
(n
Sd observdm
cd se definesc
ur,,t
=
1o1
,,r";
,o,
qi
o
problemii
nar.urati
e
r' c"
condi(ii
a{.esrc
derivare
illfl:;,"";';.31:3;1""
parqiale
mixr.e)
corncid
daca
j
f
,i.
Se
aratd
imediat,
ci
pentru
f(r,ll)
=
sin(ir2
+
y3)
=
:?':''
,n R
* R
ouot
comideratd
unr".io"
31L
=
dx09
0f
.^
A2
t ;(U,
/l
-
il
to,
ot
=
tim
:.
OIJOI
y-n
A
I)emonsirim
acum
o ieot
derivatele
parliale
dc ordin
2 r
TEoRDMA
2.1.
(Schrvar
a
e
G
ei
j,k
€
{1,.
.., n}.
il
sint
d,cf.nile pe
V
gi
continuc
Dem crrtsl,ra{,ic.
Vom den
stra{ia il
cazul gereral
sd fic
bazati
pe
accea4i
idee
se
g5s,
Cap. ll,
$3j.
fie
o
=
(ze,ys)
E
Y
=
l
=
if
k,y)
-
j(',
yo)l
-
ff(,p,
Fie
2,,
-
16,
r,n
f
ro, x
Definirn
p,
:
11
*
R,
rp,
r "
:
12
-
R.,
{"
E('"'a")
l)eoarece
/
are
derivaic par
dt 0f
=
;
(..'v')-
;1(r,y6),
vr
ut
Ltu
Teorema
lui
Lagrange
(Coroli
qi
4",
intre y, qi
96
astfel
incit
e"@")-e"Ga)=r'"G")l
t"Q")
-,1,"fu0)
=,1,"01")(
Dcoarece
x.,
+
sq
9i
y-
+
y6
lui
Lagrange
in
raport
cu.\'ari
lntre
y.
qi
96,
deci
1l
-
ys
qi
0t.-
^
{t".u")-
ot
af
^
{r",
n")-
0?t
,Jtn
\
z. |
)
1
\2,
z
)
\
\2,J )
|
\z
gi
din
ipoteza
de continuitate
egaiitatea
doritS.
I
Cd, iucrurile
nu stau
intotdcauna
a5a
o dovedeqte
urmEtorul
exemplu.
(
,srt
Exrvplu.
Fie
/
:
R2
-
R.
.f(*.
y)
=
| 7;7
(r'
v)
/
(0,0)
Arunci
I
o,
(r,
s)
=
(o,
o)
^
(
12
t1,,2
-2\
di
i
"-
'
,
'
"
'
a,
=
1"
@2
'YYz1z
'
(
,"(r'
-
v')
t,r-rt
iiezuiii
UI dT
Az t ;(r.0)
-
f(0.0)
{*to,
ot
=
tim
d
d
-
r
OxdU' i-0 ,
af
0a
(",
e)
I
(0,0)
(-,
s)
=
(0,
0)
(c,
v)
I
(0,
o).
(r, y)
=
(0,0)
122
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 125/218
jntr-un
ero
oal
de
partialc
r
e
punclul
,)t
,rt
Ai t ;{0
y)
i
l0
t,)
#tU,,,,
-
li^
o'
os
oUOx ,t-r
A
Dernonsi.ritn
acurl
o icoreurd
irr carc csio
cnunlatS
o condi ie sitficienta
penrru
ca
derivatele
par{iale
dt:
ordirr 2 si
ait;5 aceeagi
valoaic.
indiferent de
ordinca de derivare.
TEoF,gt'1A
2.1.
{Schwar:u)
'
(;
"
u l nL
Jrsr/rr:,r
:r R',
;r
j
:
G
-
R_
/rrr
o€
a;
ti
j.i€
11,...,??).
Dacdllt
€V(a),
I
C
C
ustlrl
inctt
#^
t,
#r,
sint
dcfnzle
pe
lr
6i
conltt"rue.
ttt. n,
alunci
-*t.,
=
- l-
"Al,
Ox.nxt
O"rk,J
t
Dettonstralic.
Vorri dcrnonst,ra teorenta
Dcntru cazul I
-
2
urmind
ca dorrron-
stralia
in
cazul
general
sii
Iic
dal,ir" iotr,un
capit,ol
ulterior.
O
denronsi,ralie
complcti
bazat6 pe
accca.qi
irlee sc
gi.seq1,e
in
130.
Cap. lV,
$5] Ei,
intr-o
1brrn6.
gcncrali,
in
12
Cap. Il.
$31.
irir:
o
=
(r6,y6)
€
l'
=
/r x
1z
C
G. ,-
dai,
in e1u1 ul
teoremei
Si
tic
_D(z,u)
=
= ilt
"
ljt
-
.ll
r gatl
-
llx'
.
u) ,f
tr,,.
s,
jl
Fie
e,
-
xt),
,r:n
+
Lo. t.,
€
ltVn.
lln
+
/o:
ln
L,ln, lln
€
I.r.
Vr.
Definirn
p,
:
/1
+
R,
p/,(r)
=
f(x,a")
f(r,aa)
ti,,,:
Iz
*
m,
d'.(s)
-
f('",v)
-"f(ro,y)ciseobsr:rvi,cE
E{r",s.)
=
eQ,,'1
-,p(.rn)
=
t"(y")
-,/,,,(vo)
(2
i)
Deoa-rece
1l
ate
rlerivatc
parliak:
i;i
t'
iez-.ilii
g"
ai
il"
derir.abile
iar
g,n(.:t)
-
i't ,)t
,.
dl
J/
- -,^("
,
)-
.'-(r
r,') Vr(/;.c,,ttJ)=;
\.r,
j/.t
-;
(/,
)
iltC./7
,\plicirrti
olt
O
at
u
Teorema luj
Lagraoge
(Clorolarul
1.8.1)
funcliilor p,
Ei
dJ,,
ob{inem
{,,
intre
r"
qi
;16
qi
4,
iltre y,
qi ge
astfcl
llcit
p^(,^)
-
p,,(ro)
=
p'.G^)@.,"r
=
fflic,
r,,r
-
olc,,.*l@,,
-
ra)
(2.2't
rt'"( t^)
-
\,,(yo)
-,l,iJ.q^)fu^ v"l
-
f$1.",,7";
-
3,'..
r,,']
@^
-
ua)
12
3)
LU
oa
I
f)eoarece 1,,
+ r
qi
'l/r
+
uo
rezulta ,,tr
-
xir
r
r1,,
-
gr9
Aplrrlls]
,lin
1,,-,:'l.corema
lui
Lagrangc
in
raport
cu variabila
a
2-a in (2.2) qi
cu
prirna
in
(2.J) qi
rezultd ci
3ry1
intre yn
5i
ys,
de.i
\l
-
y6 qi
l{| intrc r,
qi
re,
deci
{1.
-
r0
astfel incrt
;)f At A2t
|
(t,.
.
a"\
-
.'
(t"
.
tt"l
--
-L(
.
n: tt
u-
-
u. I
o,t J.t
,l xtJ.r
(
2.4\
dI
;tl
it) f
6",,(''
n'\
l'rtxt"1,,1--
fi,rte" 'l"
rl
r'
-
""
'l
{2
5)
DirL
(2.i),
(2.2),
(2.;i),
(z
a)
qi
'-
-'
02
f i)2 t
qi
din
rpotcza
de continui,.ar
e
^
."] i
jlJ:'::l,.:R::
ff
]
;"m
tl
J
fi
":)
galit
atea
doritS.
E
a,
f
,
dt
p
I
la,
tOl
l
derivaie
a2f
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 126/218
n
continue
Pe
G.
/
se numeqte
de
b)
Dacd
J
are
primrtiad
inleraale
pe
inleruale).
Demonstratie.
a)
Rezulti
direct din
defir
b)
Rezulti
dirr
Teorema
1
Remarcim
ci
opera iile
d,
,f€Pd
Aceasta
permite
sE
oblin
mulelor
folosite
la calcularea
d
PRopoztTrA
3.2.
(1)Fief,s:1*R
Atunci
Prim(af
4
l3g)
=
{al
t
-rPPrrm(s1
(
lbf
+{rsl=a
J
(2)
Fie
f
:1..+R
contina
(3\
Fie
f ,o:1--+
R de
clr
Pim(fts)
=
{Js
Demonstralie.
(1)
flr
e
Prim(o/
+
+BPrim(r,)
++
Hz
=
qF
*
l3G
:
fBg
aqadar
H2
e
Primltf
+B
€
aPrirn(/)
*
BPrim(s)
deoar
€
Prim(/),
iar
daci
B
I
0
qi
o
(2)
Am
<iemonstrat
in
Tec
alui/pe1.
(3)
I'
e
Prim(/'e)
<+ F,
€xistenta
primitivelor
fiind
esil
EXEMPLU.
Prim(lnc)
=
I
A3r*dar,
Teorema
1.10
aral
lul
unei
primitive
a
acesteia
pe
pe
care am
dat-o
integralei,
de
tinu5.,-este
derivata
funcliei
de
de la a.
124
de
ordin
n.
DEFINITTE.
f
se
numegte
d'e
clasd'
C"
pe
G
daci
f
are
derivate
parliale
de
ordin
clasd
C*
pe
G
daci
f
este
de
clas5
C"
pe
G,Yn2l'
/
de
clas5.
Cn
pe
G
se
va
nota
prin
f
€
Cn(G)
iar
/
de
clasS'
C*
pe
G
prirr
f
€
c-{G).
'
'i,""JJ""""t
asupra
funcltilor
de
clasi
C'
in
capitolul
consacrat
derivabilitS'tii
func6iilor
de mai
multe
variabile
reale'
$3.
PRIMI:IIVE
$I
CALCULUL
INTEGRALELOR
RIEMANN
DEFTNITIE.
Fie
/
interval'
1c
R,
I
l0
Fr9
/,1-;.R
l)t:tit
F:1'-+
R
se
*'.ril"-inl*tttro
lui
/
pe
1
dacX'?
este
'lerivabili'
5r
F'(r)
=
/(r)
Yr
€
I
'
in
cazul
in
care
I
nu
este
deschis,
derivata
in
capete
se
va
considera
derivata
lateralS
coreePunzltoare
-"-^Oi"""tOi"
a"nnilie
se
obseivS'
ci
primitiva
unei
func ii
nu
e
unici:
dou6'
primitive
di[er
printr-o
constant6
'
{olaJie.
Mullimea
primitrvelor func[iei
I
va
fi
notatd'
"t^tf)
= j f
=
=
|
ilr4r.
Dacd.
se
cunoa5te
o
primitivi
'F
a
lui
/
vom
nota
Prim(f)
=
fl*C'
EXEMPLE,
1)
Prirn(c)
=
C
este
nultimea
primiiivelor
fur'c'liei
1'(r)
=
c'
Vr €
R
'd+1
2)
Prim(r")
-
:-
'= 1a,
o
I
-l'
(t+
r
/r\
i) PLimii
j-
in;+C,.r'e
(0's:)
'
\r/
PRoPozlTlA
3.1.
a)
Dacd
f
:I
-'+
R
e
derittabild alunci Prim(f
')=
f
*C'
(/
lt,lo,=rt,l
*
t)
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 127/218
-
ilri.'
qi
ordin
prin
b)
Dacd.
f
o.re prirnittud.
pe
I atunci
f
are
proprietale.a
lui
Darboux
pe
I
(d,uce
inleruale
pe
inleraale).
Demonstralie
.
a)
RezultX
direct din
definilie.
b)
Rezultd
din'I'eorema
1.6. I
Remarcim
cE
opcra iile
de derivare qi
primitivare
sint
inverse
una alteia
in
sensul
,f
€
Prim(/')
{i
F e
Prim(//
e
f'
-_
I
(3
1)
Aceasta
permite
si, obtrinem
forrnule
pentru
calculul
primitivelor
pe
baza
for_
rnulelor
folosite
la
calcuiarea
derivatelor.
PRoPozlTrA
3.2.
(1)
ltre
f
,g
:
I
-
R
admiltnd primztiue
qi
fie
a,lj
€
R,
a2
+
132
> 0.
Atunct
Pnm(af
-
0S\
=
loF
+
pC
I
F
€
primlf).
C
e
prxzltg)|"
ahmII)I
-dPnm\s)
r
Jbt
+att="
j
t
+
i
j
tt.
(2)
Fie
f
: I
+ffi
6n1inu6.
Atunci
f
are.
prinitiue
pe
I.
(3)
Fie
f,
g
: 1
*
R
de clas6.
Cr.
Atunci
Prim(/'e)
=
1 g
-
H
ln
€
prim(/e,)] B'
f
s
-
prim(f
s')
(
,'-n-
|
n,)
(3
2)
Demonstralie
.
-(1)
Ilr
€
Prim(a/
+
0c)
<+
HI
=
af
*
ljs
iar
f1z
e
aprim(/)*
+,4Prim(g) 1JH2=a1I'a66.+
Hi=
af
+/]g
deci
IJ1
qi
]I2
au a.ceeaqi
rlerivati
n,i"a
*B9
aqadar
H2€Ptim(df
+13g).
Atunci
3c
e
Rastfelincitfll=f12+c=aF+0c+ce
e
aPrirn(/)
+
l3Prnn(s)
deoarece
daci
a
10,
aF
"
=.(f
+
)
,
-,
i1
1e
€Prim(/).
iar daci
B
I
0
si
a
=
0,
gG
+
c
-
O
(c
+
fi),
^,
c
+f e
r,i-1e;.
+
c).
(2)
Am
demonstrat
rn Teorema
1.10
c6 dac5
a
e
1.
alui/pe1.
hlr)
= I
/
estc o
prinritivd
(3)
1
€
Prim(/'s)
++ F'
=
f,s
e
(fs
-
F)'
=
fs'
e
fs
_
F
eprim(/s,),
existenla primiti.relor
fiind
a"sigurati
de ipoteza
clasei
Cr.
ExEMpLU.
Prim(tnr)
=
Prim((r)/tn"r)
-
rlnr
-
f.,-
("1)
-
t:tnt:
*
x
I
C.
\
",/
A'eadar,
Te.:lema
1.10 aratE
cum integrala
unei furclii
continue
ser.",eqte
la calcu_
lul
r.rnei
prirrritive
a accsteia
pe
ul ilterval
Jinind
seama
de interpretarea
geometrici
pe
care am
dal-o
integralci,
de
rnisurd
a ariei,
rezulti,
cE
o
funclie
/
:
ia,
b]
---+
ft,
s6n_
tinui,'este
derivata
func{iei
definite
de
aria subgraluiui
lui
/
m6suraii,
je
exernplu,
de
la
a.
125
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 128/218
Integrabilitatea
Riemann
nu antreneazd
in
general existen a
primitivei:
de exem-
plu,
lunclia
sgn
nu
are
proprieiatea lui
l)arboux,
deci
nu are
primitivl,
pe
intervale
[-o,
a],
dar
e
iniegrabil6
Riemann
De asemenea,
existd
func{ii
care au
primilive
pe
anumiie
intervale
Id'rd' a
fr inle-
-."
hil- R i.-,. n
De exemplu
f
:
[-1,1]
---'
R,
/(u
)
=
tive, fiind
derivata
funcliei
,F :
[-1,1]
-*
R
F(r)
=
,+0
x-0
dar nu
esie md.rginiti
in
r
=
0
d9ci nu este
iniegrabild
pe
[-1,1].
in cazul
in care
o funclie
integrabili
Riemann
pe
[a,b]
are
primitive
pe
[4,6]
b
aceslea
pot
fi folosit"
la
calculul integralei
;l
/
TEoREMA
3.3.
(Formula
t"ibnl,
w"iuton)
Fie
J
:
la,bl
"+
R
inregrabild Rie'
munn.
Dacd)F:la,b)-R,
continud,
cu
F'(x)
--
f(r)
Vr e
(4.b),
(3
3)
Demonsiralie,
pis
l=
{2s,11,...,r*}
o diviziune
a
lui
[a,D],
(rp
=a,
x"=b)'
Apliclm li:orema
lui
Lagrange
(Corolar 1.8.1)
funcliei
I
pe
inter"'alele
[r;
1,:,],
d
=
=
1, . . .
,
n
qi
oblinem
(1
€
(r;,1,;1)
astfel
incit,a(r;)-lr(e;-1)
=
F'({;)(r;
r;-1)
=
=
/(€;Xr;
-
r;-1). Atunci
ot@,C)
=
r(D)
-
-r'(o).
Alegind
un
qir
de diviziuni
(d.)", cu
lld"ll
-
0
qi
construind
alegeri
ca mai
I
inainte,
girul
sumelor Riemann
va converse
la;l
f 5i
va avea aceeaqi
valoare constanti
I
t''tb)- F(a). Rezulri
/
|
=
F(b)-
F(a).
I
I
Un
corolar
care
rezulti
imediat
din
(3.1)
Ei
(3.3) este
a'^D^r
^D
'r
Q I
a) Fie
f
:
[o,
t]
---
R
deriuabild.
cu d'ermala
inlegrabild Riemann-
Atunci
=
f(b)
-
f(a).
(121
{
2r sin
;, ,
.o"
,,
t
I
U
ar"
primi-
|.0,
r-0
b) Fre
f
:
[a,6]
x
[c,
d]
-
b
ta
I-
.l
tr
oo
la
la
I
"'"r.r
1,
\0,
rt
I
t
=
tol-
r(o)'rsl r'(r)l:
Folosind (3.2)
qi
(3.3)
ob
Conornn
3.3.2.
Fie
J,1
tr
T
It'G)g(
.t
lformula
integrdrii
prin
pd,rl,i
Folosind
regula
de deriv
lbrmule
pentru
calculul
primi
TEoRcM^
3.4.
I'ie
I,J
/
:
-I
*
R
admilind,
primiti
Sinlelic
Ptirn((/
c
Dacd.
9
e
bijeclie
de
clusd. Cr
peI
atunci
G
o g-t
e o
prim
Demonstnlie.
(F
o
g)t
=
=
(f
aoo,tI)
lr'o r-I l.
-
"L
Ccnor,ap"
3.4.7.
Fie.p :
Alunci
b
I
I
.t
Dacd,
9
e
ttlrclle
cu
p:(a
B
T
lt
.t
Demonstralie.
Fie
ir
o
p
Atunci
-F
o
p
esie o
piiiniiivX
l
lr=
i
I
il'p(t)l'ptlt)dt
=
t26
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 129/218
---
exem
inte-
primi
b)
Fie
f
:
fo,6l
x
[c,d]
*'[X
d.e
clasdC\.
Fie (ro,ys)
ela,b]x[c,d].
Alunci
I Af
| ;(t. "\dt
=
l(b.v.)
-
/{a.ir,)
a
t0f
'-
""
i
*(r0.,)il
- f
(rn.rl)
-
-f{ru.
ci
Folosind
13.2)
5;
1f.fl
oU1in",n
urm;it.orul
corolar.
Conor,ea
3.3.2.
I'ie
Lg:fa,b)-R
d.e clasd
Cr.
Atunct
bb
TT
I
I't,tttr)a"
--
[(r)gtt
t,2
-
I
I(,Js'k)a.,
(J
s)
J".t
-
I
Jormul
a
integr driiirin
p
artl
)
Folosind
regula de
derivare
a funcliilor
compuse
(propozilia
1.8) ob{inem
noi
formule
pentru
calculul
primitivelor
gi
al integralelor
Riemann.
TEoREMA
3.4. I'ie
I,J interaale
din
R
girp:1
-
J
o
functie
deriuubild..
Fie
/:"I *
R adniltnd
prirni.liaa
F
pe
J.
Alunci
(f
o
g)gt
are
primitiua
F
o9
pe
I.
Sinlelic
Prim((/o9)e/)
=
F
o
e
+
C\e:(ptim(/))
o rp
(3
6)
(.3.4)
[o,
6]
Rie-
(3
3)
=
b).
;-
mai
Dacd,p
e
bijeclie
d,e clasd
Ct
cu
9,@)
l0Yx
e
I
AiG
e o
primitiod.
a
lui(J
o9).9t
pe
I
atunci
Gog-) e o
primitiud
a
lui
f
pe
J.
Demonstra\ie.
(F
o'p)'
=
(F',.
p). p,
=
(f
"
p). p'
;
(G"
9-r)
-
(G, o
9-
t
)@-
1
1'
-
-(,ropor-r)
(r-'".r-l)
-]_-
--f
a
p ov
ConcL.sR
3.4.1.
I'ie
p
:
[c,
]l
*
fa,Bl
de
clasd
C
9i fie
f
:la,Bl
..+
R cantinud.
Alur"ci
o
v(b)
It
IfIe@lp'@&-
/;1.1,r,
JJ
Dacd
s
e
hijeclie
cu
,i(r)
+
O
V,
,1o,Oi(
)
p
e-'(B)
TI
J
Ieta,
_
1
flpU)le'\t)dt
a
e_1la)
Demonstrartie.
Fie
I'
o
primitivi
a
lui
/
pe
[n,
B]
(existi
datoriti
contiluit
d, ii).
Atunci
-I
o
g
esie
o
prin:ii-iv5.
a
lui (/
c
')9/
pe
[o,
]]
qi
D
I
ILe\tJlp'0)dt
=
(Fo
pXl)l:
=
Fl,p(h)l-
rtp(')l
=
J
(3
7)
(3
8)
e(b)
I
(o)
f
(r)dc
1,27
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 130/218
DacS.Ge
o
primitivb
alu
(f
o g)pt
pe
la,bl,
G
o
9-1
e definiti
qi
continui
pe
fcr,
dl
si
(G
o,p-r)'(n)
=
f(r)'
Vr
€
(a,
B),
deci
of
[fl"rl,=
ic.;-r11.r)ll
-
Gh-ri6)'
-
ci;-'{c)1
-
j
Ltttl]c'r
l'
t
" ;_,(o)
Toonnur
3.5.
Fie
I
:
lo, B]
-
la,bl
bijeclie
de
clasd
Cr
cu
9'@)
I
0
Yx
e
(u,B). Fic
J:la'Bl-*R
continud'
Atunci
B
at \
.[
ilcvt]d"-
./
/t,ttr-'t't,,0,
"
e(")
(3
e)
128
=
(
-1\n
It
t
---
2\I= I t/a2
-
t2dr-
'
t'
6
Folosim (3.8)
cu
^z
/r ,
";nzr115
\2'
4
)1,
2
3)1= /
2sinc-coss*
q(t)
=
a'
-^2
4
Dentonstra\ie.
Fie G
€
Prim(/op)
Atutrci Go
g-t
"
tontinui
pe
[c'b]'
(Go
"e-;i,"=14;
"
;-i;
.
1r'-r;i =
(f
o
e
o Lp
\)
(p-'
)'
=
f
\e-')'
pe
(o,6)
qi
diD
(3'3)
rezulti
t)
/11
"ey1"1a"
=
G(P)
-c(o)
=
(Go
e-1)[e@\
-
(G o
e-t)le@\
-
,?@)
=(c"e-')(t)l;:i7"\=
lrclrr-'l'av'
I
ExEMPLE.
t
'
'
v"
11'1
{'
11."2
-
l)-ldr
=
o'
l)
Fie
n
>
rrr.
A.ri.rlrn
.,
.l
ar".,
,
.
dr_.
-1
1
i
a"
..
" _
11n1
a1,,,
_
1-jdr
=
d^-'
l(r,
-
1)'1.
A1licarn
(3.5).
./
a""
1,.' -
,'
,
dr-
Li" ')
t^-
-
d;rr
Ltr
-
,i
j'
-1
An
'r
| ,1"-'
.r'rlr
#tt"'
-
1)'ll_,
-
/
*"-,
t,
"'-
1)"1;^+,
t("'-
I)-ldr
I
Observim
c5. deoarece
-1
5i
1
sint
rid5.cini
multiple
de
ordin
n ale
(f,2
-
1)n,
l-r[(r'-
l)"]
se anuleazd.
Pentru
r
=
1qi
pentru
r
-
1,Vl€{0,i,.
,n-1}'
L{un.i,
,i,,pa
trr
apliriiri
ale
13
5)'
obtinem
11
j#u*-ul#("-l)*lde
=eY
I#ra'
1)"1
(2m)rda=
_1
-1
Folosim
(3.9).
Fie
p(r)
=
t
2
-
l+12
"'
lt
I= I
_
.l
4tl
'I+12
1
=
arctg(2t
1
i)ll
Formula
(3.3) poate
fi apli
sau
in
cazul
in
care
functia
nu
,
limitl
finiti in
acel
capit.
in ar
-(lim
F(r)1.
EXEMPLE.
t1
1)
J
1+ rrtu
=
arctgcli"
0
'"
11 I
nr /'-.r---'^-l
I
I
JlJ
.
o
lo
o
Cu
convenlia
precedent5,
I
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 131/218
Pe
I
€
(3
e)
b],
(Go
dnr
(3.3)
-
I
i"l.
-
1)",
-
1)
=
d'-n
I
rI
{
-
1
r-
i2m) :_l{,"'?
-
l)"ll
-
0.
d{n,ft-r
'
,1.
,
2tI= I
Jaz
-i2d,r.
't'
6
Folosim
(3.8)
cu
e(l)
=
osinl
(=
c),
,
.
[0,;]
^/1.
sin2t\li
ta2
=,'(r+
n
)1"=
n
a
t
RezultS.
1= I
a2
cosztdl
=
J
0
fttt
JtI=
I :,
'
:;ox=
|
--'
,
-----
---;7-
J
2tn,t
-cosr
lJ
J
At.p: I
Lpzl
_
-^"
_
___
^x
tJ
1+tpz-
1+ts"^
"2
"Z
tlx
Folosim
(3.9).
Fie
9(r)
=
tC:
(=
,) Atunci
(c
=)
p-1(t)
=
2arctgt
'
(9-')'(,)
=
-2
2
-
1+t2
"'
11
rr2fd/
I- I
-.-Al-
I
-
-
'-l
41 1-12
.
L t2"'
l2t2
t2t+1
-t
I+t2
l+T-"
-r
=
arcrg(zt
+
1)llr
=
arctgS
-
arctg(-i)
=
ar.tg3
*
1.
Formuta
(3.3)
poate
fi
aplicati
qi
in
cazul
unor integrale
pe
interval
nemdrginit
sau
in
cazul
in
care
funclia-nu
este definiti intr-un
caplt
al
intervalului,
dar exist5
o
Iimiti
finitd.
in
acel
capit. in
aceste
cazuri,
.F'(o)ll
va avea
semnilicatia (lim
I'(r))-
-(lmr1';1
EXEMPLE.
?,
l)
/ .
^dr
=
arctgrli
=
lim
arctgr-
..
.l
l+r'
"
2
0
r
11
i
n, /,--,r"-.'-.1 [^"
-'-/"rhrr-l--l
"-
_
,":.;
\"
.,,
-
/
t,
l.i
Cu
conventia
precedentS., putem
aplica
qi
formulele
(f.Z),
(f.a)
6i
(3.9).
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 132/218
-
Deoarece
g
este
descrer
e
[0,
oo).
Atunci
rq L
tt
I
l//sl
<li'(
tj
I
p
I
<1ie(B)
+/ie(o){
/
|
.l
-
onft
Fie
a
>
C. Deoarccc
ol
>
M.
si
alunci
V[o,
B]
c
(,[
ur=
115ftfid,
Fie
(r
=)
9(i)
=
o cos2
t+6
s*'i'
r
e
[o' ]l'
e/(t) =
2(b-o)
sin
t
cos
t'
e(t)
-o
=
-
rA-
4tsin2
l.
b-plt)'-
(6-o)cos"i
''i
Aplicem
(3
8)
qi
oblinem
t
:
J
2dl
=
tr'
0
Teorerrrele
precedente
permrt
deducerea
a
noi
criterii
de
coavergen{i
a
integralelor
,"
'"iil:i:"i:#;'";til"
-i'"i
au*
'""stea
va
fi
demonstrat
in
continuare'
PRoPoZITIA3'6.(Abel-Dirich|et).Fief,g:[o,co)tE4.Presttpunemcd.
(r)
f
e
C([o,
oo))
9i
3K >
0
aslfel
inctt
rb
I
l/rl<^
o'>'
ilt
(2)
s
e
cr([o,
co)),
s'(')
(
0
vr
e
[o'
oo)
et
"l]lg
c(')
=
o-
Aron"i
I
@)g(L)dx
este
conaergenrd'
Demonstra\ie.AplicX,mcriteriuldeconvergcnlS,aintegralelorimpropriidatde
Teorema
?
1,
CaP'
lV,
$7'
f
Fie.ir(r)
=
|J.
Atunct'
J
0
>
a
2
a.
Confoim
(3
5)
f
fiind
continuS.,
F'(x)
=
f
(t)
Vr e
[o'oo).
Fie
(
K
Va
€
[4,
oo),
deci
lr(B)l'll'(o)l
( fi'
Vc'/
€
(3.10)
ExEMPLU.
In1;egralele
convergente.
Aplicirn
(3.9)
cu
,p(t)
1 7 cos I
h=
_
I
-dt
-
2J
'/t
Punind
/(l)
=
sin
I
(re
ipotezele Teorcmei
3.6.
intr
It
l/sin
lt
t;
l'-l
(3
10)+
lF(r)l
=
l/
irtF'l
l:'
I
e
[o,
oo).
c'
Incheiem
acest
paragrr
maiS
cie uneie
apiicagii
ia
c
IEoREMA
3.7.
Fie
I
:
:
la,bl
x
fc,
d)
-
R
conlinui
dertaqbild,
pe
ia,
bl
9i
fI
130
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 133/218
Deoarece
g
este desmescStoare
pe
lo,
oo)
oi
, g
c(r)
=
0
rezulti,
g(z)
)
0 Vr
€
e
10,
oo). Atunci
lr i rB I
|
[
1nl
<
pwllntar
I
l/'{o}ls{o)-i
|
/.r',n't.r',.1
<
l1 I ij
r
PB
tl
<
Kqla) +
^ t\"ta
.l
lt1""rlle't.,.')1d""
s
Ke{ri)
|
lr.g(ot
I
A
/
[-a'(rtl.l*
-
=
xs(0
+
xs1o1
iisW)
+
Iis(o)
-
2Ks@):
=
de
Fie
B
€
Pie
e
>
C.
Deoarccc
oling
g(o)
=
0
exisri
M.
>
c
astfel
incit
9(a)
<
tq I
>
M.
qi
ar.unci V[o. A]
c
(M..co)
.J
I
f
n\
.,
I
Hl
*r",
ExEMILU. Integralele lui Fresnel 1r
convergenie.
t^t..
-
/
sin(r')dr
q
lz
-
lcos(.r')dr
srnt
.lJ
ll
d,,
in
t
\/t
1t
-t
1
Aplicam
(3.9) cu
r(l)
=
y4
-
r.p'\t)'|A
u,
rezulti 11
=
r,=l
/"""ta,
'
2J
,h
1
Punind
/(l)
=
sint (respectiv
/(/)
=
cost)
si 91t)
=
.-1.,
funcliile
/
qi
9
satislac
\/l
ipotezele Teorcnr, i
3.tj.
intr-adcvar,
ii {
lf
l/
sin/l<
2.
l/
cos/l<
2.
Vn.ge
il.oo)
t lr" I
n,o-, ..n5i
rim
j=n.
2,h
'
t_*
lr
incheiem acest
paragraf
cu teorema de derivare a integralelor cu
paramettu,
ttt
mala
rie
uneie
apiicaiii
ia
caicuiul
unor
irrl"graie
friernarrn.
'|EoREMA
3.7. i'ie
f:
[o,
D]
x
[c,
ci]
*R
coniinud
cI1
proprieieiea
cd.
erisid.
A]:
:
[a,6]
x
[c,{
...+
W,
continud,.
Atunci
funclialr
:
[o,b]
-
R,
l(r)
=
|
f@,ilas
,"t"
;
deriuahild
pe
ia,
bl
pi
€
[a,
6].
d
. f
Af
/i(.) =
/
;:(r,g)dy,
Vr
.J
Ar
i31
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 134/218
Asemdndlor,
d.ord
ff
est"
continud
pe
la'b]x
fc,{1,
are
ioc
, /
u,
\
'.
""
a
f/
lt.,oia'j
--
I
6f",Oa,'
Yvelc'dl
Demonstralie.
Iie
rg
6
[c,
d],
h
€
R
-
{0}
astfel
incit
r0
+,1
€
[o,
b]
l.f
("n
+
t't
/,t,0)
-
i {r,,.rool
-
l-------
l'"'""'"'""1-
_
lf flt,,+r,.vl
rr,.,yl_
flr,,,r,lorl,,:,
l/t
h ox
=
I l
L
'i
q,",
,^ , , ,,,n,
-
g ,,^,J
o,l
=
ll lo I
a,'
,"'
"'"'.J
"l
-li
(l
iluJ,,"
+
t,u\
-
ko,s)
u,\
o,]
.
l/1rt14."
"'
d'""'l
)"l
i
'
litor
ro
r,s)
-flr,o,yr
a,lav
<
/
InrU
la,(
ox
|
|
Fiind continui
pe
compactul
[o,6]
x
fc,
d],
ff
""t"
,lniform
coniinu6,
rieci
VE
>
/F\
> 016.
=
,
(t-)
>
0
ast{el incit V(o',
e'),
(r/',
v")
e
la,blx
Lc'dl'
ll(x',a')-
-(,",v")ll,
.
o,
*lffo',0')
-
ale',0"t
.
ti
.*
lhl
<
d.
Atunci
ll(16+
+t,
s)
-
(zs,
s)ll,
=
ll(/,0)ll,
=
Itl
<hl
<
6.
pentru
orice
I
irrtre 0
qi
h
qi
Vs
€
[c,d].
tt"rutta
l1('o
t
r,at
-}Jka,yl]
.
,'
vs
e
lc,A,v/
tntre
0
Ei
h
qi
se obline
l.rx
ox
I
a-c
I
r,(ro +
A)
-
-f,
{rn)
i
uf
.
I
-/
,';t"'ulav1
<FVhe
R-iui
ii,l
<dE'
r0+he
[.'
6]'
d
Dacx.h
+0ob{inem
flf,,f
=
j6}@o,u)aa.
I
ExsMpLs.
t
1) Caiciiiiir.r
,fr{r)
=
/
1o1.o"z
y
1
e2 sin2
-,r).iv,
r
>
0.
Verilici.rl
proprietiiiie
.i
0
cerute de
Teorema
3.?
pentru
funclia
/(r,
g)
=
ln(cos2
9
*
a2 sin2
y)
pe
,4
=
[o,6]
x
[0,
]1,
u"a"
fo, bl
c
(0,
oo),
Evident,
f
este
continui
pe.4,
^,
O]
=
;ffffi
este
qi
ea
coniinud. pe
,4.
Deoar
=
2*
|
--2 -3=:
=
z,
J
cos.
v
+
r" sln'y
i
I
7r\
e
,
L0,t)
-
10,
oo),
deci
,p-r(l)
7i
=
zJ
164'111*,1dr=
I r'\ f
-;t
)
=
;'
+l'
rezultind
i(r
valabil
qi
pentru
c
-
1.
t
2\
frlr)
=
/
arctg('r
sin
v),
J
srn.q
0
y
=
0
prin
f(r,01
-
1i-
arctS(s
v-o sin
f
arcrg(s
sinv)
fG,v)
- i-
"ir,"
'Ye
(..
"
,=
Af
r
"
D;
=
1;zP;
este continui
5
J1@)--
I
0
1+
dy
c2s
utilizind
forrnula
(3.9),
ca
in
exe
Deoarece
./r
(0)
=
0,
oblinen
$4.
FORMULA
TAYLOR
DEFTNTTTE.
Fie f
un intervi
Taylor
<ieflnil,
de
/,
de
graii
n
qi
T^(x;c1
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 135/218
este
Ei
ea
continua
pe,4.
Deoarece
fi(1)
=
0, are
loc
l(r)
=
|
tlAVr,
iat
fi@)
=
+21
'
rp2,
=
2,
|
___)). - __
=
2, I
J
cos-v
+x-srn-u
J
l;;{'
gd
Folosim(39)
lurndo(g;
=leu=/'
l-
7r\
I
pt
L0.
r)-
10.o").deci
p-'(/)
-arcrg/.
(,,
)'(/)_
-
f
+rz
qi
dara
"r
I
t.
t,t.r\
"i i . 2r lT r , T , \
2r,jt
=
2"1
6*,zp41q1zrd'-
,i-
\/
utt.,-l
,.Fo*)=
fr(;
lr\ , i ? ,ar
-rr)
=
-.
rezttltind
LGi=
.l
,1,at
=
'rlrr:f
. rczulrarut
fiind
evidcnr
valabil
qi
pentru
c
=
1.
t
tl arctEfc
sin rr)
z)
/i
(r)
-
J
ft;3dr,
unde
funclia
de sub
iutegrali
este
definit5 pentru
0
J
=
0
prin
/(x.0)
=
lim
I13q'ini4dy
-
.r.
Arunci
y-.
o
srn
J/
[o,i],0p,,1.*u'
Y
=
#;R
,esre
continuh
pe
lo,bl
x
[o
1
n*"rr,a
utilizind
formula
(3.9),
ca
in
exemplul precedent.
Deoarece
/1(0)
.
0,
oblinem
t,t,t
-.i
fiUWt=
I
tnr"
r
rtt ,rl.
JZ
0
$4,
FORMULA
TAYLOR
DEFINITTE.
Fie
I
un interval
deschis,
/
e
C"(I), xn
€
1.
Se
numeqte polinom
Taylor
iiefinit
de
.7t,
de
gra<i
n
qi
ceniiai
in r0,
polinoij=ruj
r,(r;rs)
=I
t"|t"li,
-
',,*
_0
4..
IdyId tr
ttr"t-
J
r
rrfi
J
tTPfi;\=
/l=t
"-n
133
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 136/218
TEoREMA
4.1. Fie
f
eC"+t(I),
n)0, l=I irtlerual,
lEo
Q
I.
Arunci
IT
.f(x)
7"(r."rq)-
i
JQ
-
t)n/i"ir:(/)d/
(4.11
(formula
Taylor
cu
resl sub
formi.
inlegrald)
Denonstrutie
Vom
demonstra
(4.1)
prin
induclie
dupi n.
Dac[
n
=
0,
Ts(r;xn)
=/(rs)
qi
(4.1) devine
/(r)
-
-f(ro)
=
[
7p]at,
rezultat
oblinut
ir
Coro-
.t
larul
3.3.1,
a).
Presupunem
(4.1)
adevS,ratE.
pentru
n
qi
o
demonstrd.m
pentru (n
+
1), deci
ariremci
IG)-'l^r
r('.ro)
-;:- [1r
-
,1"r',.'"
"'(1]dt
dacd
f
eC"+2U)
'
(n
+
l)
J
'
Aplicind Corolarul
3.3.2
qi
(4.1)
p"nil'.
n
,"roltd
).,, IO
-
r)n+r/{n+2)(/)dr
-
-]-,-
[("-,,'*, ,t^*tt1r
t"
(n1r),
J
(4+r)
L
)1""+(ll+1)
ft
/{,
-,,"y'"*,,,r),rr
l
-
+
/1"
,
,;"1,""1,.10,
(",-
1']',*
r'|'+'|}(ru)
-
.
'l
''y'"'
{n*r):
r--
"
\n+l
--
f(t)
-T,\r:to)
-
t':::.. -y'"t
')(ro)
-
_f(r)-In+r(.r:16;
I
(t'
t
l
'':
CoRoLAR
4.1.1.
in
condiliile
Teoremei
1.1,
dacdx
>
rs existd
c,
€lxt),xl
aslfel
tncil
r{i r,
),
-
\
f(c)-'t-.(x;rs)
-
l;f(,
-
'o)'+'
(4.2)
(formula
Taylor
cu rest sub
formd
Lagrange)
Demonstragie
Aplicim
Teorema
4-5c),
Cap.
IV,
$4
qi
ob{inem
din (4.1)
f(n
+1.)/.
) ;
/(.r)
-
?,
(.r:
.ro)
J
k
-
t)"
dt
-
-
-/1"+11(c,)
(r
-r)l*'l'
=
1*,;1"-,i.
-.0i**'
t
ut. nf 1
1,.
.'
(n*t\r
Vom
reveni
asupra formulelor
(4.1)-(4.2)
cu
preciziri
asupra
condiliilor
in
care
polinoamele
Taylor
pot
fi
folosite
pentru
aproximarea
funcliilor
pe
iniervale.
ExoMPLE.
I
1)
Fie
/(.r)-
-r,r€(-
T.(r;0)
=
i+r+. .
.+c"
ais
2)
in
exemplul urmitor
prer
grad, relative la
un anumit
punc
in vecini.tatea acelui
punct.
(
_.
Fie
/
R-R,
l(r)={:'
t
u,
(
1
-L
-e
'.
.rl
ft(tJ
-
|
rt
l.o
xi
qi
se oblin recurent derivate de c
T"(r;0)
=
0, Yr
e
R,
Yr
)
0.
$5. FUNCTT]
EULERIEND
DEFINITIE.
Se
numesc fur
prin
t
l(o)
=
/
e-'1
.l
0
t
T
Blp,q)
=
I
f-rl
.l
0
Am
demonstrat
in Cap. IV
dacia
>
0,
deci
l: (0,oo)-R
p
>
0
Si
C
>
0, deci
I
: (0,oo)
x
Pnorozrqr,l
5.1.
FuncJiile
1) r(1)
=
t
2) I(a
+
1)
=
ol(a),
V0
)
o)
t
\n) -
(?r
-
r./rr
v
r
r\
4
B(p,q)
=
B(q.p),
p>a
.
^t
,"_.
Dl
I'D.01=
7 r
sln-. rr
.t
c
7 ..p-r
6)
Btp,c)=
J
o+run,
0
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 137/218
DxEMPLD.
I
l) Fie
/t"r')
-
l-..
e
(-L
l)
Ei
fie
re
-
0.
2)
in
exemplul
urmdtor
prezent[m o
funclie
ale cSrei
poiinoarnc'fulor
de orice
grad,
rclative
Ia
un anumit
punct,
sitt
ideutic nule iiri ca
lunctia
sa tre Irientic nuiiL
in
vecini.l,atea
acelui
punct.
IL
Fie/
R-R./(rr=t;,'
;i
nr,",i
f l"-i *>o Ii-],'\"-+.
/'("r;=
{
rr
./"(r)-(
\
x' r'/
[o .r
<.0
[u,
qi
se
oblin
recurcnt derivate
de orice
ordin
pentru
/
cu
/(")(0)
=
0,
?-/- fi\-n V-.lEl V-\fl
$5.
FUNCTII
EULERINN}'
DEFINITIE.
Se
numesc func(ii
euleriene
(inlegrale
euleriene)
funcliile
definiie
prin
T
I'(o)
=
/
.
'1"-1dt
(funclia
gamrna
a
lui
Euler)
(5
1)
.t
0
I
f
Bqp,q)
-
|
tr-rg
J)q-1di
(functia
beta.
a
lui Eulcr)
(5
2)
J
0
Am
demonstrrat
in
Ca.p.
IV,
$8,
ci iniegrala
din
(5.1)
converge dacb.
qi
numai
daci
a
)
0, deci
I
:
(0,
oo)
*
R,
iar
integrala
din
(5.2)
convergc
daci
9i
numai
daci
p>
0
ci
q
>
0,
deci
8:
(0,oo) x(0,oo)-R.
PRorozIltl 5-7.
Funcliile
I
EiB
au
urmd.Toarele
proprield;li:
1) r(1)
=
I
2) I'(a
+
1)
=
ol(o),
Vo
>
0
)l
I
(7rl
=
l/r
-
t./:r
v?t
tr
\
a)
B(p,s)= B(q,p),
p>0, q>0
^
t
.,"-
i) -fr{t.0)= /
srn-r
-
x.os-
ror.p>v.q2|
.t
c
L,P
1
6t
Blp.tr)
=
|
Ui
r*oo.
p>0.
q
:
0
0
t
2)
z)0
r(0
Vn
)
0. Agadar,
t
cate
135
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 138/218
t)
B(p,q)=HH
P>
o'
q
>
o
Denonstr
a\ie
'
T
1)
fi1)
=
l
'-'dl
=
I'
0
l0) Se
demonstreazi,
folosir
(vezi
[6,
Cap.
III,
$6]
sau
119,
C
Propozi{ia
ir.I
permite
calcr
euleriene-
EXEMPLE.
L
l) I
=
/
e-'
da,
cu
,p(l)
0
1 /1\
,G
-_t.t
l-]:
2-
\2.l
2
t
2) L= /sin2"+rrds.
c
.t
0
1
ob{inemp=nf1,q=;,iar
-'dt
=
0f(tt),
conforrn
(3
5)
-
[0,1],
9(r)
=sin2r=r'9t(x)--
2sinrcosr'
2)
l(a+r)
=
.f
'""-'u'=
-1'"-'lf
+o
0-
a
. [
-,-zp-2
"r
t
-
"in2
r
)q-
I
Hlr dl
=
I
u
0
11."-te
0
ta
ii
''1g
J
-
i'i.
vu
c
r
'--rir,''
r
l1-.nl'[n)--
n(tr
-
])t(ll-l)--
nrftl)
--
rrl
i
a)
B(p,q)
--
j
tn-tqt-t1t-10'
=
-
/r'-'to-'"'-'d'=
/(1-s)r-15r-1d5=
0
=
BlS.p\
unde
am
aPlicat
(3
E)
o,
5)
APlrcdm
(3 8)
cu
r:
[t)
11
R.ezuli5.
11
-t
'^1r,,\=
--1--
APli"ina
6)
Fic
p
[0.'-o)
I0
1l
2(v]
=
ilr
-''
.*
'''
.
. 1,1.,]
cu
convenlia
anterioari pentru
int"g"l"gpl
int"'nale
nem6rginite'
ob{inem
a
^"F-1
7
Yo-t
--ar.
atv,
t' =
|
-,
..u-lit;W'n;,l.rv
=
J
r---.--.-ivr*
"'
o
f0
fl
2n
'2n
h=;"("*r,;)
=
.+1
.i
ll"
J'
0
Daci
not
irn
2
4'
precedent
se
scric
1'
=
t
I
"-
i2c-l
rdl
.
2
sin
.r
cos
.rd.r
=
2
./
stn"
-
r
co
0
t,
z
t_
3)1=
I r/tsrd.x
=
J
0
obtin"-p-l,e=
I u'
nr^
.^/-.'
'"
-
I
t*rn
"""'
0
':ii
n*=1"()
Utilizind
Teorcma
de cont
pe
intervale
nemirginite
sau ca
putem
arita
ci
functiile
euleri
PRoPozTTIA
5.2.
t)
Funclia
I este conlinu
2) Funclia B
csle conlim
t1
irir=:
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 139/218
l0)
Se
demonstreazi folosind metode ale ieoriei
func{iilor
de o
variabil5
complexl
(vezi
[6,
Cap.
III,
$6]
sau
[19,
Cap.
VII,
$89]).
Propozrlia 5.1
permite
calculul rapid a numeroase integrale
reductibile la
funcliile
euleriene.
ExEMPLE,
ir-
l)l-
/
e ' dr'.
cu
p(,J
=
1/t
1=
11.p'tt)--
t-
devtne
/
=
/]"
":at=
"
2\/t
J2
00
1 /r\
,G
2
\21
2
i
21
h
=
[si\2"+r
rdr. Observdm
ci
punind
2p-1= 2n+1tr
2q-1=
0
.t
0
1
oblinenr
p
=
n
*
1,
q
=
t,
iar
(3.5)
xdx.
(3.8)
rr"
-
nf
11\
,"=t,r("'',1)-l
,
ti{=
z
\
Ll
't("+trU)
nl^/i Z"
_
2"
.nl
1.3..(2n+I)\ft-
1.3.
(2t+
1)
l)ac5. noilrn
2.4...(2n)
=
(2n)
qi
1
3...(2n+I)
=
(2n
11) ,
rezultatul
.
(2n\ll
orecedenl, se scrre
l-
'
(2n
11)ll
at
f
-
t , , I I
3)1=
/
y/igrdr
=
/
(sin
r)
i
(cos
r)
-
:'dr
.
Din2p-t=
nli
2C-1=
;
t .)
00
3 r
-
/3
r\
'(;) '(;)
btrnFmp-_
r.
q
-_
rst
1
=
rB
[z
z]
_
r
_nD
-
=
4'
./d,rL
n),
=
j-u*o
Fie
e:(e')
-yi (-r).
?'(a\
=
-u-i.
Alrnci
0
t- [a
i
a,,= nr],__ \llrrl\r(r_1)
)t
r
-r\/2
tJ
I
r
""
-
1"
\a
'-
4)- 4'
\a/' \'-
4)
-
4:--
4
4
Utilizind
Teorema
de
continuitate
in
raport
cu
parametrii
o iniegralelor definite
pe
inter.,'ale
nemlrginite
sa':
care conlin funclii
nemirginite
pe
domeniul de inteErare,
putern
aril,a
c5.
Iuncliile
euleriene
sint
continue
pe
tot domeniui cie
definiiie.
PRoPozrTrA 5.2.
l)
Funclia
I este conlinud
pe (0,oo).
2)
FuncJia
B
este conlinud
pe (0,
oo) x (0, oo).
13?
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 140/218
Demonstrat\ie.
Conform
7) din
Propozilia
5.1,
2)
rezulti
din l).
Demonstrlm
continuitatea
lui I-
in
a
€
(0, oo). Pentru
aceasta, fie
rr
€
[rl,
b]
C
(0,
oo).
Vom
arita
I
cd
integrala
care
defineqte
pe
I converge
uniform
pe
Ja,dl.
f(a)
-
Je-'t4-'dt+
0
+
I
"-t
t'
rdl
=
1r1o1
+
,Iz(o)
iii
dernonstr6m
cn 11(cr)
li
,/2(a)
converg
uniforrn
pe
,J
l
la,D]
construind
majorante
cu integrale
convergenNe.
a
€
[d,6]
<+
o- 1€
[o-
1,b*
1
-.1]
+0<e-ilo-l
<
1,"-1
,Vt
€
fo,r]
qi
/r'-ror
converge
penttu
a
>
0.
DacX
(
?
I
)
1, atunci
1a-r
1
1a-1,
deci
e
rt"-r
(
e
llo-r
li
;l
e
1tD-1dl
converge.
I
OBSDRVATTD.
Dacd,
itr
o ecuatie vectodal5
de ord
ExEMPT-E.
1)
Dezilte$area radi(
n^^:
-/,\
dLd L\r
I
t,
iar r'
(t)
este viteza de
dr
datd
de ecuaiia
Este uEor
de obsenat
Dacd se consider[
t6
=
._
.To
r0
a lamas
tr
ceea ce IaC
2)
Modele
pentru
dini
Dacd
p(r)
este
popula
diversele
modele ale dinan
neglijd.rii
interacliunii
cu a
Astfel modelul
Malihr:
la ecuatia
care
irnplicd.
o
lege de cret
model esie
cel
propus
de
b
Compararea
soluliilor
marea
parametrilor
r,
resp
evolulia
populaliei respect
3)
Model
epidemiolo$
Fie,
intr-o
populatie
d
nellllecLallr
ri, rrrurrreluur
L
+
(-r:'),
vileza
de infectare,
q^
^L+i-6
.i.r^-,,t J
?
-'-"-----
lg
Evolu{ia este
descrisS.
(desigur
r(t6)
+
y(to)
=
n
$6.1.
Ecua{ii
cu
rar
Tie
fy
lz:
(a,
b) -+
IR
91,92
: (c,
d) -+
R
1
$6.
CITEVA
TIPURI DE
ECUATII DI}'ERENTIALE
DDTINITID.
[ie
I,I1,I2
intervale
din
R qi
F1
:,I
x
L
x
12'-
R
de ciasi.
Cr'
Se
numegte
solulie a
ecualiei
diferentiale
F
(1,
x,
xt)
=
0
(6
1)
o
funclie
rp :
J
-
L,
./
C
/,,/
interval,
astfel
incit
9'
:
J
*
I2qi
,F(t,9(t),9'(l))
=
=0Vte"/.
in cele ce urmeaaE
vor
fi
siudiate
ecua{ii
de
tip
(6.1)
de o
formi
particulari.
DEFINITIE.
Fie D o
muliime
deschisi
din
RxRqi
/:
D
-+R
o
funclie
continud.
Se
numegte
soiulie
a ccuaJiei riiferenliale scalare
rie ordinul inlii sub forma
normali
,t
-
f(t,
x)
,
cu
1
interval
din
R, astfel
incit
(t,
ro\))
€
D'
vt
e
I
(6 2)
o
funclie
g
: I
*
R de
clasi Cr
(1)
qi
(2)
e'(t)=f(t,e(\,vr€r
tr'i- //J-
,^\
c D
r)^-.lit;"
r(ls)
=
sr
(6
3)
se
nurneEte cond.ilie
initiald..
O
ecua{ie
difererliali.
(6.2)
qi
o
condilie
initiali
(6.3)
formeazd o
problemd
Cauchg.
138
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 141/218
Se
1)
=
3)
OnsoRvalro.
DacI
in
(6.2)
D
c
IRx lR',
I
:
D
-+
JR" se
obline
ceea ce se
nume$te
o ecuatie
vectorialS
de
ordin
1 sau
un sistem
de
n
ecua{ii
diferenliale
de ordin
1.
EXEMPLE.
1)
Dezintegraxea
radioactiv5-
DacX
r(l)
este cantitatea
dintr-',in element
fisicnabil
nedezintegrat5
la
rnomentr:l
t,
iar
r'(t)
este viteza
de dezintegrare,
o aproximare
a
procesului
de dezintegrare
este
datX de
ecualia
r'=-q
rcttcl>0
(6.4)
Este
uqor
de
observat
ci
din
(6.4)
rezultla
n(t\
=
soe-alt-ta).
Dacd
se
consideri
to
=
0, atunci
dupi
urr
timp
f
=
lrtno,din
ca,ntitatea
inilialb,
-
Jlo
cu a rd.mas
;i,
ceea ce tace
ca
7
sd se numeasci
timp
de injumxtdtire.
2)
Modele
pentru
dina.rnica
populaliei
unei
specii.
Dacd
p(t)
este
populatia
unei specii,
adic5. numd,rul
de
indivizi
Ia un
moment
t,
diversele
modele
ale
dinamicii
lui
p(t)
conduc
la ecualii
diferenliale
care,
in
ipoteza
neglij6xii
interactiunii
cu
alte specii,
Ieagl
p'
de
p.
Astfel modelul
Malthus,
presupunind
o rati
de
creqtere
constantd
r
) 0, conduce
la ecua{ia
r'=rr
(0.5)
care implici
o
lege
de
cre$tere
exponenlialX
a
populaliei
n(i)
=
roe'(l-ro).
Un alt
model
este cel
propus
de biologul
Verhulst
in
1837, conforrn
cS,ruia
z'=rr-br2,
r,b>0
(6
6)
Comparar:ea
soluliilor ecualiilor
(6.5), (6.6)
cu dateie
experimentaie
permiie
esti,
maxea
pararnetrilor
r, respectiv
r, b
pentru
specia consideratl qi
astfel se
poate prezice
evolulia
poprrla(iei
respecr,ivei
specii.
3)
Model epidemiologic.
Fie,
intr-o
popula{ie
de rl
persoane
atinsi
de o epidernie,
r(l)
numlrul
indivizilor
neiliecta{i
ia momeniui
t
qi
9,(t)
nunXrul
indivizilor infectali
care
circulS
liber.
Atunci
(-r'),
itcza
de
infectarc, este
proporlional5.
cu
a
.
g,
uumirul
contactelor
posibile.
(
-,
-
-/?,
e
obtine
sistcnul
{
r,=-Pry
6.r
>
0.
l
=ptv-'y
y
Erolutia
este descris5
pornind
de
la un moment
t0 cind
z(ts),
y(16)
sint cunoscute
(desigur
:r(16)
+
a(to)
-
n
-
no cu
n0 numSrul
indivizilor
infectati izolali).
$6.1.
Ecua{ii cu variabile
separabile
Tie
Jt,
fz
:
(a,b)
-+
R
funclii
continue.
q,
92:
(r,d)
-+
R
functii
continue.
139
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 142/218
DEFINITIE. Se
numeqte
solulie a
ecualiei cu
variabile separabile
hft\ h(x)a'
-
f2ft)92(x)
=
o
o
funclie
rp
:
(a,
p)
-
(c,ri),
(a,0)
C
(o,
b), asliel
incit
g
esie
rierivabil5
qi
h Q) s
rl,p
(t)le' (t)
-
f
z
(t)
s
zlp
(t)l
=
0
vt
e
(c,
B)
(6
7)
arc loc
(6
8)
Rezolvarea
ecualiilor
cu variabile
separabile se face
in
condiliile
/r(t) I
0
qj
s2(r)
+
0
prin
aducerea
(6.8)
la
forma echivalentS.
ffiaat-t
)
PRoPozITIA
6.7.
Solaliile
unde 11 este solutie a ecua{iei
ecualie
liniari, numitd.
gi
ecualr
particulari
a ecua iei
(6.11).
Detnonstratie.
Se
verifici
r
peniru
(6.11).
Daci i(l) esie
+P(t)li(t)
*
rp(r)l
=
0,
deci
(6
AIgortlm
pen
ln rezoharea
I
Se
rezolvi
ecuatia
(6.13)
ca
a(l)l0soluliaedatide
ts
dat
de conditria
Cauchy,
daci
II
Se
determinE o funclie c(t)
solu{ie a ecualiei (6.11)
.'(r)
-
"0)
III c(l)
=
rn(l)+cp(t), iar c di
r(ls)
=
e6
L-vFniDr ti n;- hi^lil.-,
I
tt9
Itct-2t
=0+ =:+ln
rr
re(r)
=
c(t)12,
tlct(t)t2
+2
+
tp(t)
=
2t3
.
Fie
lunc iei
gr
g2
,io
P)-
R,'
prirrrii,ivd
a f,inclrei
i;iC:
(r.d)
R o
prirnili"i
e
lI
Atunci
(6.9)
implicd
(6
e)
(6
11)
(G
o
$(t)
=
F(t)
+
c,
t
e
(a,
B)
(6.10)
DacL
gJ
10,
rezulti
G
strict
monoioni,
deci inversabild.
pe
imaginea sa
qi
din
g2
(6.10)
se
obline
p(t)
=
G-|lF(t)
+
c].
Se spune
c6
(6.10)
definegte
in
mod
implicit
solulia
generali
a ecualiei
(6.6).
Aqadar, rezolva"rea
unei
ecualii
diferenliale
cu variabile separabile revine
la
de-
terminarea
a doud
pimitive
qi
la rezolvarea
unei ecuatii de
naturt
,,algebrici,".
EXEMPLU.
T(1
+
r'?)
+
(1+
t'?)ac'
-
0.
.rt"c
I
r
*,
"'
=
-
|
1
1:
. d".i
t+x(/)'=.1
r,
t2
c>
0'
de un<ie se
pot
dcletmina
explicit solulii
ale ecua iei
in funclie
de
conditiile iniliale
date.
$6.2.
Ecuatii
diferen{iale
afflre de
ordin
unu
DEFINITTE. Fie
a,8,1
:
(a,
b)
-*
R funclii continue. Ecualiile
a(t)rt+B(t)r+7(t)=r)
se
nuryresc
ecrolii
diferenliaie afne.
de, ordtn unu.
Soiuliiic
ecualiei
(6.ii)
vor
ii
ciutate
pe
intervale
pe
care
rr(i)
I
0.
situa{ie
(6.11)
are forma
echivalentl
rt+p(t)r=q(1).
740
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 143/218
(6.r2)
(6
13)
PRoPozITIA
6.1.
SoluJiile ecualrei
(6.11)
au
forma
x(t)=r1(t)+ro(t)
a(t)r' B(t)x=t
unde rr
este
solulie
a ecualiei
ecualie liniari,
numiii
qi
ecualia
omogeni,.ataqati ecualiei (6.1
1), iar
ro
este o solulie
particulari
a
ecuatiei
(6.11).
Demonstralie.
Se
verificl
uqor cX orice
func{ie dati
prin
(6.12), (6.13)
este
solulie
pentru
(6.11).
Daci
d(1)
este o
solulie a
(6.11), z
-
co
verific;.
ot(t)li,(tJ
-
si(t)l+
+P(t)lb(t)
-
sp(t)l
=
0, deci
(6.13).
Rezult6, i
-
ao
=
ch
qi
i are forma
(6.12).
I
Algorilm
peutru
rezolaarea
ecualiei
(6.I1):
metoda va,rialiei
constantei.
I
Se
rezolvi ecua{ia
(6.i3)
cale
este
cu
variabile
separabile.
Pe
intervale
pe
care
a(l)
l0
solulia
e
dati
de
(6.14)
ts
dat
de
condilia
Cauchy, daci,
exist5,,
sau
arbitrar intr-un
interval
pe care
a(l)
10.
-
/4(ila"
J
"(s)
r
h(t)
=
ss
t"
I
l('\
""
/
"14o"
C1, astfel
incit
ro(l)
-
c(t)e
r"
este
I
+
l3(L)c(t)e
+
7(t)
--
0
I
PG)4,
[
4:)
d"
1rrr
J
o(sl
)",r-r J
o(s)
deci
c'(r)
=
-+/e'"
,
de unde
r(r)
=
/
"6O"
dr.
l.
III
r(t)
=
rr(r)+rp(r),
iar
c
din 11 se
determini
cind
este a^sociat6 o condilie
Cauchy
c(/6)
=
os.
EXEMPLU.
Fie
prcblema
Cau
chy trt
-
2x
-
2t3
-
0, r(1)
-
1.
tt9
lLr'-2r
=0-+-
=
:
+ ln
lr(/)1
=
ln
lctt2.
deci
"ri,{t)=
c/2.
II
tre(l)
=
c(t)t2
,
tlc'(t)t2
+
2tc(t)l
-
2c(t)t2
=
2r3,
deci c/(t)
=
2
+
c(t)
=
2t
=>
+
xp(t)
=
2t3
.
-
[420,
./
o( 5l
r3(4
,
-OS
a(f)
clasX
4e
t'
dec
l:
(i(i
)
1I
Se determini
o
funclie
c(i)
solu{ie
a ecualiei (6.1I
)
i
/ffi."
a(t)
lc'(t)e
to
-
c(t
I
r41
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 144/218
III r(f)
=
cl2
+2t3,
z(i)
=
c+ 2= L +
c
=
-1
9i
solutia
problemei
Cauchy
este
t(t)=-t2+2t3.
Algoritmul
prezentat
mai
sus este sintetizat
in
urrnil-oarea
teorernd
TDoREMA
6.2.
(exis',en i
qi
unicitatc) l'ie
p, q
:
la,b\
"'+
R
lunciii
cttnlinue
;i
fie
to
e
(a,b.).
Oricare
ar
f
ro
e
R,
problemu
CauchlJ
r'
+
p(t)r
=
e(1),
r(t6)
=
ro
(6
15)
are
solulia
unicd,
(6
16)
-/n,,ru,
|
,
/rr'ra"
.r{r)
-
e
to
l"o
*
/
o,
.)u'"
dr
1'1.
se numes[e
ecuatrie caracteristic
polinour
caracteristic.
PRoPoztTlA
6.3.
a)
Dacd. ecualia
(6.19\
are
au
fot
ma
c(t)
=
c1'
b) Dacd. ecualra
(6.19)
are
(6.L7)
au
forma
r(t)
=
cr
c)
Dacd.
ecuaJia
(6.19)
are
ecualiei
(6.17) at
forma
c(1)
=
sts"l
g'
Demonstralie.
Observim
(6.17).
Fie
c
o solulie a
(6.1'
necunoscutS.
Atunci
z/'(l)
=
+a:EU'+bry+e-0+ay't
t
y'
()dt
a
J
"0111*64tn,=-'+
Totul
revine la
a calcula
o
a)
ay2
tby
a
c
=
a(y
-
r1)(g
-t
ai
{:i"1
-
tr"(r:-'r)r
",r
17
Y12
_
rte"'i
-
rzAe"r
=
lln 1e.,1
ettt
_
Aer
21
Se
obtine
r(1)
=
c1e"'r -
b)
ag2
+by4c=
a(a
-
ro)2
de
r'I
-
=
ro
* _
decr ln
lr(l)l
r t-1\
c(i)
=
(
I
nG)a'
lnroa"
Demonstra(ie.
Fie
p(l)
=
er"
.
Atunci
p(r6)
=
1
$i
p/(l)=p(t)eio
=
=
p(t)p(t).
Deoarece
p(l)
I
0
Vl,
prin
inmul{irea
(6.15)
cu
p(t)
se
obtine
ecuatia
dl
echivalenth
fi(l
"t
-
p. q.
dnci
/(t)xl1)
-
J
ul"ltl"l
I
.r(fo).
Tinrtrd
cont
ci
to
f
-
/
p(s
)ds
1J
---;--
-
e
,o
qi
ci.r(ts)
=.rs.
oblilcm
16.t6).
I
p$)
$6.3.
Ecuatii diferen{iale
de
ordin doi cu coeficienti constan{i,
omogene
DEF:i.iiTiii.
Fi':
o,
i.
'
€ R.
c
I
0.
Se
numcqt. soluii+
a
Fcua(iii
,lifricnliale
axt'+br'+cr-0
(6.17)
o
funclie
g:
R
*
R de clasi. C2 cu
proprietatea
aq"(t)
+
bq'(t)
+
ca(l)
=
0 Vt
€
R.
Ecuatiei
(6.17)
i
se asociazX
condiliile
iniliale
l(to)
=
00, a'(lo)
=
3t, 1o
6
q
(6.17)
qi
(6.18)
forrneazi o
problemS.
Cauchy.
Der tr
t1r
r. Ecualia
algebrici
(6
18)
ar2
+br+c=0
742
(6
re)
c) as2
+
by
r"
=
'
[(,
*
"^1'
\
"-
)
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 145/218
c5,
17)
R.
e)
se
numeqte ecualie
caracteristicS, a ecualiei
(6.i7), iar
polinomul
P(r)
-
a7z
I
6,
*
".
polinorl]
caracteristic.
DD^n^?,6rr A e
a) Dacd
ecualr.a
(.6.19)
are
rdd.dcinilc reale
rr1r2,'t'
f
12,
soluliile
ecualiei
(6.17)
au
forma
r(t)
=
c1e"'
+
cze"t,
Yt
€R,
cr,cz€R
(6.20)
b)
Dacd, ecualia
(6.19)
are rdd.d.cinile reale egale
rt
=
12
=
r's,
soluliile
ecualie'i
(6.17)
au
forma
c(i)
=
s,s""1
+
c2te'ot,
cl,c?
€
R,
t€R
(6.21)
c) Dacd, ecualia
(6.19) are
rdddcini
compleze
11
=a rp,
rz= <t-i13,
soluliiie
ecuo.liei
(6.17) au
forma
x(I)
=
c1e't
cos
{ti
c2e't
sin
pt,
I
€
R,
cr, cz
€
R
(6.22)
Demonstralie. Observlm
ci funcliile
din
(6.20),
(6.21)
qi
(6.22)
sint solu{ii
ale
(6.17).
Fie
r
o
solulie
a
(6.17)
neidentic nul5,. Fie
{(t)
=
t(t)y(l.)
cu
y
func{ie
necunoscutl. Atunci
r//(i)
=
{ (t)a(t)
+
r(t)srl(t)
=
x(t)u2
(t)
a
ry'(t),
deci
acy2+
lary'lbrglcc
=0
+
ag'+ay2
lbalc-0,
uqudu,
--+4=-
=
-1,
<le
unde
o\z
+bY
I
r
t
ta\il
'1affiffi;"-
t+/(.l,'eR
Totrrl
revine la
a
calcula
o
primilird pentru
funclia
"-+
aa'
+
bv
+.
a)
u112
t
by+c=
a(y-r)ly-12) Aiun.,
/--j+ .
=1
t
'"ll'rl+c
aAz+b )+
c
eri rz
-rzl
qi
q-
r
=
/e(rr-r,)i cu
l,4l
-
eKi
-r2\,I{
€
R.
y
=
*
(lnlci)'
=
_rtP'
r2de'
_
(lnle.,,
.,4e".rl),.
eftt
-
Aer2r
Se
ob{ine
r(t)
=
c&'n
-
clAs'zt
=
cte',r
+
c2e'.t
,
cr,
cz
€
R.
b\oyz+bv
rc=
a(u
ro\zd..i
i
----=-
I
-li-t.
/icR. Rezultar
J
lC
ro)r
-
a(t)
- ro
|
=
^*j7
a""i
lnlr(r)l
=
r0,+,4+lnll
-ff|,
A
€
R
qi
aiunci
-t1\
-
t+ ,r'l-4+.or
-
-,-rol
) .^t^rol
lr
b\2
qac-b2f
()
oa"
+b
+
c
=
ollv+
u)
|
--tfl
qi
ca mai irrairle. ri
-
r=
143
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 146/218
.arctg
de unde
.t
$6.4
Ecuatii
reductribile
la
ecua{ii
de
ordin
doi
cu
coeffcienli
constan{i:
ecualii
Euler
gi
ecuatii
Cebigev
Anumite
ecualii
diferenliale
de ordin
doi
cu coeficienli
variabili
se
pot
aduce
prin
schimbiri
de
va.ririilA
la
forma
discutatd
in
paragraful
anterior.
Doud.
astfel de
cazuri
vor
fi
discutate
in
acest
paragraf: ecualiile
b
Y+;-
:@'
Y 4o2
al
'ax2y"
(x)
*
br/
(x)
+
cv(x)
=
0
cu a,
b, c
€
R
numite
ecuatii
de tip Euler
qi
ecualiile
g(t)
=
c1 cos
nt
+
c2
sinnt,
c7, c2
e
R'
Deoarece
t
=
arccosr
rezultS,
g(r)
=
c1(narccosr) +
cz
sin(tarccosr).
'
PRoPozITIA
6.4
cos(narccosr)
este
un
polinom
de
grad
n
tn
t
(6.23)
(6.24)
Dent
onst
nli e.
Folosind
fr
[cos(a.rccosc)
+
isin(
Si
notim
provizoriu
n
=
egalitdtii precedente
qi
separir
t3l
cos(narccosc)
= Cli
(-
I
);
(,
&=0
Notalie.
T"(r)
=
cos(nar<
DEFTNTTTE.
Polinoamele
Cebiqev.
PRcpozrTrA
6.5.
r) T"(c)
=
ZcT,,_lx)
-
1
I
D I
r;t,v^t,t
-L:
,
\/l
-
t2
Demonstr
alie.
1) cos(narccoso)+cos((n-
=
2z
cos((n
-
i)arccosc)
=
lzj
2)Prinl=arccosr=p(c
$7.
CCNI\,/FTF"GENTA
UNIF(
DERIVAR,E
in
acest
paragrafvom
demr
caaul
unui
qir
uniform
colrverger
apoi
condiliile
care permit
deri
TnOR-EMA Z
.I.
Fie
f^
:
I
}g/"
=
f
uniform
pela,bl.
(r
-
x2)v''
@)
-
xa'
@)
+
n2a@)
=
o
numite
ecualii
Cebiqev.
Dac5.,
in
ipot"za
c
>
0, efectudm
in
(6.23) schimbarea
de
variabili
c
=
e', functia
(r)
=
y(ei)
verificb
o ecua{ie
cu
coeficienli
consianqi'
i/
(
t
\
..,",
1.",
_
l1(l)"'
:_411)d
4""i,,1",,
-
/'(t)
-
e'(t)
intr-adevr4r
y'(er
) =
:-11
gi
9",
,
e2t
tl=ff
,qi
deoa.rece
(6.23) deuio""a"2'
vtt
(et)
+
bet
(et)
+
ca(e')
-
0
se obline
a/'(t)
+(b-
-r .\i'lt\
+
cift\
=
0
ecrratie
ale c .rei
solulii
sint
desoise
de
Propozilia
6
3
La sfirqii,
'.J
'
\'1
|
-J\-]
-";l-"r
-
t.
"
"^
^x.;""
,,I r\
-
illn
r:)
solutie a ecuatiei
(6.23).
vt
LLt
t
-
tLLq
in
cazul
t
<
0
schimbarea
de
variabild,
c
=
-e'
conduce
la
o ecualie
cu coefi
consIantri.
io
""uu."
priveqte
ecualia
(6.24) presupunem
a
€
(-1,1)
qi efectuim
scl
U-"r
a"
-o*irUiU
a
=
co"t,
E(*i=
gGl"tt Aiunci
(6.24) <ievine
(sin2l)g/'(cos
tl
,
coslnf
)
cosiml
l{il
=
-
J2
0
-{
cos
t
)u/{
cos,
)+n'rlt)
=
O.
Observind
c5.
f'(t)
=
-(sin;)g'(cos
i)
rezulti
g'(cost)
'
;/i1\
il'tt)sinl
-
i'(/)cosl
=-#9iy',(cosl)-_ffi.rIln.uIil'ale5coUl[ic9l'
+"'g1tj
-
0 a
c5.rei
solulie,
conform
Propoziliei
6.3
este de
forma
144
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 147/218
prin
cazuri
(6
23)
(6.24)
s'(t)
+
(.b-
sfirqit,
schim-
1r-
l)
=
v"(t)+
Dcnonsftatie. fblosind
fornrula lui Moivre oblinem
lcos(arccosr)
+
isin(arccose)]"
=
cos(narccosr)
-l isin(narccosc).
S . notirn
provizoriu
.
=
arccosr clcci
cos
rr
=
r.
I)ezvoltind
in
membrul stinA al
egalitSlii
precedente
qi
separind
partea
rea"li
rezulti
l+l
t+l
cos(narccosc)
-|Cfl*(-t)#(cos
o)"'?t(sirt
o;2i
=)}lt (t)k
r"-2k
11
- *zlzt t
k=O &=n
Nolalie.
J'"(r)
=
cos(narccosz).
DEFIN-ITIE.
Poljrroamele de forma
cTn cu
c
e
R,
n
€
N,
se
nuuresc
polinoamc
Cebigev-
r rauruar
{
rrr u.t
1) at"(x)
=
2rT"-
1(r)
'I"-2(r)
Vn
)
2.
1
T1
2)
I
l',,tr11^(x)-i:--..6d.r
-0Vn
/
m.
J
yr
;f"
-l
Detnonstralie.
I
l
ros{narc"osr)+c^b((a
,2)arccosxJ
2 cos(arccns.r)
cos
(t2n
-
2tarccosr
)
=
2.rcos((a
-
l)ar.cos.r;
=
2r7',
r(r)
\
2
)
2)
Prin
i
-
arccosr
=
p(x),
p'(.r)
=
-#=
integrala
devin<:
t .
..
,
cos(nr.I tos(tri
j"r
-
"o
$?.
coN\,/ERCElt'l'A
UNIFOR I..,IA
SI
OPERATIILE
DD
pR..rN.,JIT'lv,
4 F-E
-qI
DERIVARE
in
acest
paragraf
vom
demonstra
convergen{a
uniformi, a
qirului
unor
primitive
in
cazul unui qir
uniforrn
convergelt
de funclii
continue pe
un
interval compact,
deducind
apoi
coadiliilc
ca.re
permit
deriva.rea
tcrmen
cu
termen-
TFoREMA
7 . .
t'ip-
"
:
[o.,
6]
-
F4.
funclte
conlinud.,n
€
N. Preszpunem
cri
lim
f,= |
unifotm
pt
lo.bl.
Fr re6lo.b]
ft
F,,(r)
= [ i,,,pr, n€N, f(x) -
.t'
tf 1f
; I
curirr
-
riiiit
,
; /
c,_rs(n
-
m)r.ii
=
0.
00
-
145
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 148/218
=
[ ttl
Ar,
primitiuele
funcliitor
f^,
r'
€
N,
respeciiv
/,
date
de
Teorema
1'10
(qtim
c[']
".t"
continu5
din
Teoreura
6'1,
Cap'
III,
$6)'
Atunci
li;Lr
^fi'
=
F uniform
pe
l"'b).
Demonstragie.
Fie
r
>
0
ir
n"
=
n
(rJ
^)
'tt
u-
\D
-
o/
Yn)n,.
Atunci,
Yn)
n,
,slpbrii(r)
-
PY.
t'-,
(7.1)
Prin
urmare lirn/.(c)
=
r
Deoarece
g
es're con,uiaui
1
deci
(7.2)
este
verilicatd,.
I
Oesonvllre.
girul
f,
:
vergent
la zero
pe
[0,
1], dar
convergenta
nu
este
uniformi
verificirii
condiliei
2) din
Teor
$8.
EXERCITN
1.
Si. se
demonstreze
relalia (l
(c2e'\@),
n,
t.
2.
Si
se demonstreze
inegalitdl
a)x"-ax*a-12}Yt
ra-ac*a-1(0V;
2r
b)
-.r
(
sine
(
c Vr
e
[(
3.
Si
se
determine
extremele
l<
a) F :
l0,2rj
'
R, i.(r)
=
li I t{
I
lF,(r)-
F{r)r
-l
I
V"rr-
/{rtlarl
.
If
I'tt'-
/(tilrlil
(
lj-
I l/"
I
<
=al,
-
r"l<
{:o)
'
r,
Vr e
lo'bl
-
b-a
o-&
deci
sup
l-F''(c)
-f(r)l
<
eVn)n,<+limF'
=
Funiform
pe
io'bl'
I
c€[4,6]
Demonstratia
precedeni5
serveEte
qi
la oblinerea
urmitorului
rezultat'
PRoPozITIA
7.2.
Fie
f^: [a,b]
-+
lR
integrabile.
Rie.mann
Vn €N
Presupunem
;^
i^:"i""ii"r
pe
la'bl'.-Atunci
este integrabild'
Riemann
pe
la'bl
gi'
Demonstratie.
Integrabilitatea
Riemann
a
lui
I
rezultS'
folosind
Cap
III'
$6'
TeorLra
6.f
qi
criteriuide
integrabilitate
al
lui
Lcbesgue'
(7'1)
se
obline
ca
in
demonstraliaPrecedente.
I
TEoREMA
7.5.
(derivarea
iermen
cu
rermen)
Fie
i*:
la,li1+'
IR'
J'"
€
Cr
(ia'
b])'
n
€
N.
Presuqunem
cd':
7)
eristi
ts
ela,bl
astfel
inci'
liry,
'f"(ro)
=
c
€
R;
2)
lim
l'^
= g
unilorm
Pe
la'bl'
Atulci
exislti
f
e
Cr([a.b't
u<tJel
incit
hnrl,
=
/
unilorm
pe
la'bi
si
ft
=
Q
4ec1
riml;:
(1rr1,)'
peia,bl
b)r':R-R,
F(r)=
/(
.t
0
c)
.lr :
[0,
oo)
-
ffi,
l'(r)
=
4.
Fie
l(r,
y)
=
{
u'linl"
+
r'
I
u,
Demonstratie.
S-a
observat
in
Corola'rul
331c5'Vn
e
N'
/"(z)
-
l"@o)
=
=
[
,:,,,n,
deci
/,(r)
=
/-rJ,n)
-
/,il.lrtat
vn
e
u
.t
-'
.t
.0,
-l
I
Din
Teorema
7.I,
lim
/
/
'i.)'\t
=
/ 9{l)dt
uni{orm
pe'a'b]'
'
4-':.J"' J"
^2
Sd se arate .;
j*(0.
O)
OrOlJ
(Teorema
2.1)
nu
este
satisfdo
t
/ d.r
C.
ba se calculeze
,
-
.l
1-2atos
-0
6.
Si
se
calculeze integralele
dr
t46
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 149/218
a'
pe
l\
deci
I
:
Prirr
rtrnrar,
lrm./n1r1-
"+
I
a(l)/'l
-
/(r1.
rrnirbrm
p"
[o,61.
,I
;,
D,,,i-,,
e
,
siF iuitii
u;
p.
l.r
lj
r'
zuli,a
/
c
r'r1lc 6];
ii ,t'1"'1
-
g1r1 V.r
,.
lc.6r
deci
(7.2)
este vcrificatX.
I
"n+l
(JBSERVA|TD.
lirui J":10,
l]
-
R,
f,tr]
=
i-,
n
€
N
esic
uniforrn
con-
n+1
vergcnt la
zero
pe
10,11,
<lar <leoarccc
ft^k) -
r'
qi
lixr/i(z)
=
{1,
lllt
t'
convergenla
nu
tste
uniformi
qi
lrm/i I
(lrrn/n)'.
r\ceasta
arat5.
irnportan{a
verificErii condi{iei 2)
din
Teorenra 7.3.
$6,
in
$8.
EXERC|IU
1.
Si
se dentonstreze
relalia
11
,1{")
-
{r2c'){")
,
,,
t.
2.
S5.
se dcnronstreze
inegaliti{ile
a)
r"
-
<re*o
-
1
)
0
Vr
>
0,
Va
e
(-oo,0]u[1,m)
xia-(\?+Lt-1(0Vu
>0,
Vce
(0,i)
Lrr
l.l)
at
"tn
t
<
J Vr'€
0,:
l
n
L
2)
3. Sir
se determine extrerncle iocale ale
functiilor
I
4
T
.i\).2r1
R.
f(r1
=
/.-""iniii
.l
0
t^
b)
F:R-R. l'(r)
l,"tL'-
I ,lt
'.t
0
.'rn,
r)
I:10.o-)-l.{.
i'1r)
. /
^
.,1t
lt./tl
l
4 Fie t(.r,/r
-
lv'Llr'(/
ly)
tnu'J
u/\)
[o
slo
A2t A2 l
Si
.e
aralr.
.a
----l(0.0)
-
+(0,0)
d"p1
rrit,
riul
din
Teorema
Iui
S, lrwarz
tJxlg
OgOt
('Ieorema
2.1) nu este
satisficut.
t
if
d'r
b 5a
ce
.atcltlFzc
t
-
",
o
e
(U,
l).
I
| 2arosr
r
a2
-0
6.
SX
se
calculeze
integralele
dublc
r47
I
LI/,r'9rr-l)
Qj
sA
se,alrulezn
{r.'1l',1
1i
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 150/218
"
//
-#*drrrs'
r
=
it
;]
"
lt';]
A
,)
[
6+ip
rxdy,
A
=[8,4]
x
[1,2]
A
c1
| ltloEdrd.y.D=[0,4]
r[l.e]
D
II fr1 r 7r'l
d)
./
./
(co#
r
+
sin's)
dr ds.
D
=
10.
Aj
x
|'0.
al
D
. f t lr .,
"t
| | ,;f
*
,,'1''
dt dY'
D
'
ro'
1l
x
[o
Il'
D
7.
Sase
calculeze:
a)
/sinn-csin,t"rdr.
b1
/"osnr"oskrdr.
c;
/cosh.zsinnrd.r.
J
'J 'J
l>)
xzy"
+
ry'
9y
=
0,
x
c)r2y''+ry'+y=0,c:
15. Si,
se arate
ci
penl,ru
/,
:
converge
uniform
la zero
qi
lin
8, S[
se studieze
convergent]a
integralelor
.
lr
sin c
ai ,
-dr".
a
>
{J:
.l
r"
I
b)
/
c-sinr;dr,o>0.
'.1
r'+a'
0
I
9.
S5 se calculeze
/
ln(sinr)dc.
.t
0
10. S5
se calculeze
reducind
Ia I
. I _ t
^,.
a)
I
r"e--"
dx,o>U:b)
/
P'
dr,P>U.
.tJ
0o
11. SX
se calculeze
reducind
la
B
rZ
tfa-
4l'l
.r21n d"c;
b)
/
sinTrcos'r
rdt:
c)
l-',d",
.t r
J
r*t"
-1 0
0
I
/d.rfI11
d)/
(rft,e)
/
I I
16dx:
t)
J
lT-Fdx
000
12.
Si
se arate c5, urmStoarele
integrale sint
uniform
convergente
pe
intervalele indi-
cate
L"
a)
le
t"
dr,t2to>0;b)
|e
t'x'cost'dr.t)to
>0.cuc>0.
J
J
00
15.
Sii
se rezolve
problemele
Cauchy
a)
x'+ r
=t3,
t(0)
:0'
b) trt
+
u=
ia,
o
€
IR,
c(1)
=
i.
14. Sd,
se rezolve ecuatiile diferen{iale de tip
Euler
a) n2y"
-
ry'
+
y:
0,
r:
>
0
148
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 151/218
b)
"'y"
+
ry'
9y-0,
z>0
c1.r2g"
r
rg'+q
-tt
r
>0.
j5.
S5.
se arate
cL
Dentm
f,
:
10.
L1
-
R,
_fn(r)
=
rc(i ,.)",
I
.- t
.onv,
rAA untiorr:r
ta
z"r._'
ri
lim
/
/,.
rl
0
149
n
€
N-
qinrl
(/u),,
dr.
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 152/218
CAPITOLUL
VI
Serii
se
mlmeEte
lir
dzblz
qi
se nt
.r", r rx \-
-
Proprietatea
tundamenr
Seriile
urindtoarc
sint consid
DEFIN]TIL.
a) Serla
L
r,,
sc
nume
n=0
Drln )
Jr,
=s.
b) Seria
f
z,,
se num
n=n
I
llr"ll
o.t"
convergenta
ir
n=O
c)
S€na
L
J,.
se num(
n=O
qirul mediilor
Cesa.ro-
d) Seria
dubl6
f
r-
m,n=0
astfel
incit
Vrn
)
nr.,
Va
)
n
OBsER\A' n.
1)
O
serie
convergent'f
lr
u este
a.devSratx
2)Prirro c'+Bf
n=0
duce
in
mod
natural
o siru(
seriilor
cu elemente
dintr-ul
gente formeaze
un
subspalir
Este
ciar
cd riefiniliile
neaperat
complete.
ComPle
aI
lui
Cauchv
cu
impofiant(
TEoRE\4A.
J.,1,
(Crite:
cowrergentd,
d,acd
gi
numai
lle"+t
Demonstlra{ie.
Teoreml
pentiu
girul
sumelor
Pa.rlial
cX
X
este
spaliu
Banach.
Seria
I
r,
$1.
SERII
iN
STAITI BANACII: DEFINITII
SI
PROPRIET'I'TI
GENERALD
cadrul
in
care
vor
fi
definite
noliunile
principale
este
acela
al
spatiilor
normate
c"rrrol"J
1.-o4ii
nanuch).
i,t
parogrtfele
rrrmitoare
vor
fi
prezenlate
proprietS' i
speci-
n""
it
""j*i
ptrti.ula""
importante:
serii
numerice
(reale
sau
complexe)
qi
serii
de
funclii
cu
un
rol
important
rezervat
siudierii
seriilor
de
pu1'eri
Qi
a seriilor
'ourier
trigonometfice.
DEFINITIE.
Fre
(-X,
il ii)
un
spaliu
Banach
Fie
(r")"
un
qir
tiin
X Se
numeqte
asocigl,d
tirului
(r,)"
qirul
(e")' ceflnit'
prin
s'
=
f
zr
(sau
""
=
|
ti
l=0
;=no
daci
r,,
este
defiuit pentru n
>
n0)
Seria
asociat5'
lui
(r')"
se
va
nota
prin
I
rn'
rn
se numeqte
lermen
generalti
s"'iei
i'"
5n
se numeQte
sumd
parNiald
'a'
setiei
De,fi.nitrii
Si
proprietdli
generale
relatiue
la serii
in spalti
Banach'
;;;;;;"r;";""'.
Serii
ie
funclii
Teorema
de
existenld
5i
unici-
i"i,
t",
rta
a
solultei
problcmei
(ouchg
pentu ecualt
dtferenlia.k
'
Sertt
de
pulert
seru
Fourier
lrigonomelrtce
Melodo
sPparartt
rariabilelor.
Remarca,m
ci
prin
definilia
prer^edentS
asocierrl
unui
qir
(r')" un
ali'
qir
(s"1,
"pr'."t,u-
i",j,,
'-
(s')'
fiini
liniard
qi
bij('ciivb
(r"
-
(""
-
r'-1)
r
(r''-t--
;;-rJ;.1 ;i''
-
"oi
+
'o).
r'ui
(r"L
i
se
pot
asocia
qi
alte
qiruri.
De
exernplu'
,r-
--
s0
+
J
s",
numild
rnedrc
Ce"nro
a
'eriei
|
"r''
n+l
'
o=o
DEFINITIE.
Un
Eir
din
X
indexat
dupX
N
x N
(sau
rtupi
o
pa"rte
infinitd
a
sa)
150
t
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 153/218
-/.,
/./^ \-
-
Proprictatea
c^-r:r^,.-,..^r^-..^
se rrirlelte
liir
dublrl
Ei
se
roteazb
(-l-.").,".
)rrrrl
sr,
,r
=
2,
".j
ft
dphnrste
j=o'-
l=c-
llnciarnentaiA
iegatd
rie
sruciiui
scriiior csie
cca
<ie
(urvergel' ;.
sint
considerate
intr-ul spa{iu Baracb
,{.
DEI.']|irTrri.
^
\-
,l^r
al S.ria
L
-r,.
sn
rumclr{-
ronuergrnli
lo."
€)
lilnrs,,
s
c
X.
\om
n(,ra
tre,rbLa
n=O
prirr
)-
.c,,
:
s.
Spria
)-
r"
sc nrrmcqte
dfuergentd
dar.E
nu este
convelgenL.i,.
D=o
-
"=o
b)
Seria
I
z, se r)umcste
absolut
r:onuergentd,
(sau
normal
conue,rgentri)
d.lci'
*
to
f
11",,ll
.rt" convergentd ln
(R,
|
.
l).
=o
c)
Seria 2,. sc rumclte
surnabi.lii Cesara
lo o S limo,,
=
o
€
-{,
(o,),
fiinrl
'::l)
qilul
mcdiilor
Ccsaro.
d)Seriatluhla
f
.-
,
sc rLumelte
conrerg entd Ia s
€
X
dS
Ve
>0 ziu,l.€N
nL.n:o
astfei ircit
Vrn.)
m..
Yn)
n,.
lls^,"
-
sll
<
€.
0BSER\,,{Tr.
1)
O
selie
convergenti
la
s este
qi
sumabill
Cesaro la s dar vom vedca
cI
reciproczr
orr
qste
ade '5.raJii.
2)
Prirr
af
z,
+|Ly"= ("r,,
+i3y^),c,,9
€
R
(sau
rr.
B
€
C),
se infro
n=0 n=l)
n=0
duce
in
moci laiurai o
stru(i,uri
de spa{iu
vccioriai
real
(sau
coinpl;r)
i-re
ntuliinLea
seriilor cu elenente
dintr-un
spaliu
Banach real
(respectiv
complex). Seriile
conver-
gentc
formeazi un
;ubspaqiu vectorial al
spatiului definit
atrt,erior.
Este
ciar
cd <icfini{iiic
preccdenie
iurrc{ioreazi
6i
il cazul
spaiiilor noritiaie
rru
ncapd,rat complete.
Cornplctitudinca
permite
insi si
demonstrdn urmltorul r:riterin
al
hri
Cauchr*
cu
importante
consecinle.
TEoF-E\,IA 1.1.
(Criterirrl
lui
Cauchv)
S"r;oir-
tli.n
spaliul Banar:h X esle
cnnl)ergentd rlacd.
Ei
numai
dacii
pentru
orlr"
, > tillrtd ,,
e
N
astlel
incft
lle,,+r
* *
r'+p)l
<
sYn>..n,,
Vp>-|.
(1
l)
De,nonstratie.
Teorema rezultd. din simpla
rescriere a
proprietelii
de
gir
Cauchv
pentiu
linrl
sunelor
pa.rtiale
(r")".
linind
cont
cd
s,1o
.$n
=
rn+1
*
-'
*
r11p
qi
cl
-Y
este spaliu
Barrach.
t
\- ,,u
I
r*.
speci-
de
a
scriei
(s')",
-
a
sa)
151
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 154/218
Cocolnn
7.7.I.
Dacdlr^
este
conttergenld,,
atunci
lrm:tn=0.
n=0
Demonstratie.
xtt"
=
8n
-
s'-r,
Vn
)
15i dacip
=
1in(1
1)
oblinem
llc"ll
<e
Vn>n,+1.
I
Conor,en
7.1.2.
O serie
absolul
conrtergenld
inlr-un
spaliu Baaach
esle conuer'
genl'd.
Demonstragie.
t
llt"ll ".t"
convergent5
daci
gi numai
dacS'
5irul
sumelor
sale
'
n=O
parliale
satisface
(
1.1).
Fie
deci
e >
0
qi
n"
€
Nl astfel
incit
I
ttt"tt
<
€ vn
>
n",
vP
>
1.
Aiunci
(1
2)
Ynln,, nlns,
Vp)
1qi
te
EXEMPLE.
i)
In
C. seria
I
aq", r
n=0
I
q'+1
-
n
=
a-.
l1ste
Oecl
(
r-q
_1
s
= )
/ta"
= o-
ql
dlvl
zJ' l-o'
n=0
2)
in
spaliul Banach
(B
f2"
+r+1
Jn
(r)
=
--;;-. Atun(
z'"
exemplului
f;
rerultd,
i,f,
n=0
3)
Fie
r^
=
(-1)".
Atr
deci
t(-1)"
este diverger
.b
Intr-adev5.r,
a21
=
;;:-
gi
zK+ I
4\ \-
'
-r.in
z-,,n(n*I)
5t Scria
J-
I
este dir
un,
n=l
""-
,
Vr>0
tinductiel)
-2
afirmaliei
ciin Corolarui
i.i.
O
noliune
legati de
uti
nr6,rNr'r.rF Eian>I
C
PRoPozrTrA 1.4. s'er
n+F
n+p
i=a+l
ll t
"-ll
<
I ll'ull
<
€vn>
n.,Yp)
7, deci
(1.1)
esie
satisflcutd.6i
f
c"
"l-r*t
"
t-^|r
L=n
rezultd convergenti.
I
DEFINITIE.
Doui
serii
in
spaliul
Banach
(X,
ll ll),
i
t'
ai
f
a.
o,
o"""osi
nalurd
dacvasint
simultan
convergente
sau divergente.
n=0
d=0
O
consecinli
imediati
a
definiliei
este
urmitoarea
leir[
LEMA
1.2.
Seriile
la^
ei
la.
din X
pentru
care exisld
no aslfcl
incit
d=0 n=0
rn
=
ynYn):
ns
au
aceeagi
nalurd
(modificind
un
numdr
finil
de lermcni,
naiura
senet
nu
sP
schimbh).
Demonstraiie.
Fie
si
=
16
qi
sf
=
f
uu,
""
=
f('*
-
gr).
Atunci
*-0
r=0
l=0
5n
=
sno Vn
)
nq
qi
s/"
=
s.+51i
Vn, deci
cirurile
(sl)"
qi
(sf)'
au aceeaqi naturi
l
TEoREMA 1.3.
(Weierstrass
)
O*
2t^
o serie
in
spallul
Banach
X.
Pre-
sapunem
cd,
erisld.
o
serie
diz R,
I
a",
an
)
0
Yn,
conuergenld,
fr'
no
€
l\ ostlel
tnct
lir,ll
(
o' Vz
2
nq.
Alunci
seria
I
xn
este absolul conuergenld,.
t=0
\-
Z2
s1
Demonstralie. Coniorm Lemei
i.2,
I
a"
are aceea,sl
natura
cu ) o-. decr
a=0
r.+p
tu+p
zp+n
stnt
conUergente
pt
2P+n
'
aiunri
Demonstra(.ie. Fie
s,,
lim
-R-
-
este
convergenti,
qi
din
(1.1),
Ve
>
0
l
nu
€ N
astfel
incit
llroll
(
o6<e
i=n+1
t=n+r
1.52
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 155/218
uer'
sale
incil
nalura
I
.
Pre-
asfel
(1 2)
decr
o,
<
e
Ytt
2n,,
rt)ns,
Vp)
1
9i
teorema rezultd..
1-gn*t
-
n
-
o
-L
.
hstc
deci
con.,,ergenti,
pettrlr
q
€
C
cu
lgl
<
l
cu suma
1q
s=
>
.aq'' o, I
ti
,livorgcnra
l,enrrurgl
)
l.t--o
n-0
2)
in
spa{ul Banach
(6([0,
ij).ll
ll-)
(Cap
II,
g2)
r:onsideri.m
,u.iu
i
/,,
unao
"2n.tac'o'U
f.t.t)
-
---l
-
'
Arrrnci
'llll.
1 I
Vn
qirrrm
|
-1
nrto
",r,uo,gnrrl;,.
conlorrrr
'" "
-
-
24
z-^
2.
rxcmi.;lului
lr
rozulti
f,f,
ulrotu,
.'Jn,,er3.n e.
n':0
3) Fie 2,,
=
(-1)2.
Atunci sn
=
1
daci ?r estc
par
ii
sp
=
0
daci
n
este impar,
deci
t(-1)"
este divergcnti ca serie din
lR.
Ea este
insi
sutraL,ili
C"so.o
lo
].
,':
l
2
kkl
Intr
ader irr,
^z*
-
^.:-
ii
azr-r
.
.i
.
au anrbelp linrrra.
=.
2k, t
-"
2k\2 2
: r
-l-/r
r \ 1
4))
'-_
l. Trrrradcvdr.s.
=
) {--- I I
-*1.
,n(n
-
1)
'
*.,"\fr
k+l,l
n.1
5r
5)
Snria
)
:
esfe
dilelgentS,:
qirul
(s"),,
este
evident
crescd,tor
r;i, deoarece
-n
,r" t
I
Vn>O
(induclie ),
rezulti
nemdxginit.
Acest exemplu
arate ci
reciproca
'2
afirmalier ciin
Coroiarui
i.1.i nu este
in
generai
a<ievararS.
O
noliurre legatbi de
utilizarea
seriilc-,r convergente este accea de rest,.
DsFII':tlts.
Fn
p)1.
S.ria
:,*o
se
nrlme,ste
restul
d.a
ord.i,n
1t
a.l seriei
f
zn
J-
n=0
PRoPozITII 7.4.
Seria
lz.
este
conuergentd.
dacii
6i,
numai
tiacii
seriiLe
-
t=o
lzo',n
stnt conuptqente
pentru
orice
yt)7.
Dacd notd,m,'ln a,ce&std, situatie,
Re
=
';'
)
:
^ r
nt1|It.fl
llm
ftn
=
rr,
r=0
Demonstralie.
Fie
s",
= |
27".
/.:0
Atunci
20..6
=
sn+p
s,
Vn)1.
<leci
153
Ex
r,tN4PT.F,.
I
I
in
C. scria ag' .
nrrnriri
sprtp
gp()lt,rlrLCo.
arr-
pcntru
q
I
l.
sumcio
l,artraie
rl={l
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 156/218
j.,-,
5r.
(otrlprg.nrr
'=
tt,
cr'
r'urrv'rA'trt;1
1'i'
'
t'
\trrtri
: n:0
;-.
[,
.
lrnr\t',.p-
ip)-
'
ne
ir
'ulrr
,ltnr
o'
-
'
r'zulr;r
olirrr
/?'
-0
1
Vom
stabili
in
corrtillta're
o
propiictut'
import'anli
a scriilor
absolrtt
'onv''rqcntc
in
spalii
llanach.
T)r,r'lNr
ro
Scria
|
.r"
n=0
din
X,
spa{,iLi
l}anach,
se
numqte
lecondiflonal
tort'
1)Dacdle(0.:r:),
strnulLarL).
')\
Don
l= 0 s, \- o-
''L.
n=A
l\\ Doci l
=
o.
.,,
f
n
' 'Z)'
l=0
I)r:rnorsrlra ie.
1)Fiee>0ast{el
incil
de<:i o"(i
e)
<
llr",ii
<
(l
+
2)Pentrul=0putenr
3)DacLl=oo.VM>(
OBSERVA'lrr,. I)cmonsj
la
urmd.torul
rezultal dc con
i:
gent6
atunci
I
r,,
cstc
abs
n=0
PRoPozrrrA
18 Frr
I
1)
Dor,d
li,r,"up
iflj
2)
.Dac,i lim sup
i;ffi
Dncri
limsup
i,4ii"
|
=
Detrolsl,ralre.
Fie /
=
I
l)
Daci/
<
1,fiee
>(6-l-t1
^
-
Nl
^-rf^l
,--,r
"/
)
fl +
€)" fiilld conVcrueni)
a scrir:i
\-
r^.
2) Daci I
)
1, Teorema
cu
'/l]r1"1
>
/+s
Vn, de
nu
trnde
la
{J sr }
J., rezul
a=0
Atit in cazul seriei divt
din
exemplul
4)
j1g
i,4t
)
N
-
N.
I'r.ip.\re.
se'ra
I
r'"',
,
"""
'onrcrgP'1ta
n=0
qi
are
aceee"qi
srtrni"
s
Altlel
spus,
o
sene
este
ncconclilionat
convergentl
daci
este
convelgen[i
5i
oricurn
arn
schimba
ordinea
tcrmcnilor
seriei.
nattlra
qi
suma
acesteia
ou
se
schimbi
-A
rr:
loc urm6,toarea
Leorcnle
S
IEoREMA
I'5.
L)
sclrc
2-x.
ahstlltlt
conuergeuld'
in
spa|iul
Banach
l'X,|]
|])
esle
n cca
n
d
itri
on al
cont
erg
enl d
Derttnstratie
Con{orm
(lorolamlui
112,
seria
"=t,"
lel
ini:iL
I
Fiea>0.
ll,rll
.
i
5- r-
este
exisii
nu
-
Alegcnr
p.
convergcnti,.
'ic
ull) e
N
art-
\'2 /
€
N
astfel
incit
k>^.+l
{0,1,.
,n.}c {o(0)
.
.
*xo6)=;ro*
"
*
r:".
*
+.
.
Conform
ProPozi{ici
1.4,
Fieo:N-Nbijeclie
,
"(p.)]
9
1..
Observirrr
\-
'.+
\- rr. Atunct
1-"lJ
r€
?rc
reia( t,
.
,4(')i
kc A.,
L>nc
cA
dacA
r'.
>
1t,
,
r
oixi
*
*
llfr"lpy
+
.
*'"i")l
-('o*
t
>n.+
ll', Ll
<
<
e Yn.
)
p,
Ei
tcorema
rezullS
l
Vom
vedea
in
paragraful unlritor
cf,
in cazul
convergcnlei
neabsolttie
proprietatca
pr"."a.,n|a n,,
t'oi
,rr""lo"
(lritctirri
cel
r'ai
imuortan1
dc
stabilire
a
conrergenlej
absolute
cstc
cel allui
Weierstrass,
dai'
inl'eorctra13
Pe baza
lui
deducerr
noi criterii
utile
cind
estc necesari
testarea.
convergenlei
absolule
in
cazltti
concrcte
llrtiitorul
rezulta,t
poa,rli
nurrtelc
de
criteriul
comparatiei'
PF,oPozrTIA
7
7
Fit:1r,,
o
stie
in
epali"t
Ilanach
X
f
ie
(a")" an
9ir
dtn
t=0
(o,c<)
cr
I
- ,'-
ll""ll
ft-\
o,r
154
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 157/218
cort.-
gi,
ll
ll)
-ie
a.st-
incil
.
+
('o
+
1)
Dacd
I
e
(0.
cx,),
sirnullan).
uu
aceeaqi
nalurd
(conuerg
satt
diterq
il,"irr
f
""
=0
n=0
2\Dacdt=01,J-o,
7,:0
3)
Dacd
I
=
co.rt
lor
=
h-a
Denonstratie.
e
st
e r:o
nxerq
entd..
ot""
"l
l)
l r.ll,
n=O
Jirn
Ia1
=
d),
alun(t
cslc
conlergenld,.
, Lf
ll,oli=
*.
1)Fiee>0astfel
incit
/-e
> 0
qi
fie
n.
a^stfel
incit
Vn
),.
lll*"ll ),^
deci
o.(
e)
<
ll",-il
<
(t
+
e)o^
vr,)
n.
Ei
afirmalia
rezutri
din
*lr.1l*;;i
'
'
2)
Pentru
l
=
0
purem
irc[
scrie
l@,1]
<
ea,V;
>
i,
"
"
3)Daci/-@,vM)0
)n7,1€Na;rfel
incit
ll;,il
> M.anVn):
n11
.
r
(JgsDtavlTtE.
Dr:morstralia
preccdentl
gi
T.eorema
4.20
din
Cap.
l,
{4
conduc
la
urnrdlorul
rezulrat
rle
..,.,nverA.n i
du,i
ti,-..
bdr
esre
lirririi
si
i
tt
oh
zr
o'
eslP
'
onvcr
gent5,
atunci
I
r,
estc
absolut
convergentd.
n=0
PR.opozrTlA
1.8.
Fie\x,
o
serie
in
spaliul
Banac:h
X.
I
eorema
4
20 cilar,a
mai
sus
implicf, nrisren(a
unur
subsir
t/,
i-
€
vn.
dpct'l/r,ll
>
lVn.
aqadar
(.ca"),
rru
tindc
la
0.
a".i
1,i,j"
x,,
rc.zulla
divergentd,.
155
1) Dacri
lim"sup
firil
a I,
seria
lx,
esre
a.bsohrt
conuergenld,.
2\
Dacii
lirrtsup
{,
,\kd
>
t. r".,o
ir.
este
dioergentd.
Docri
lim,sup
ifritr, -
t
""t"
o"""iolt
studierea
conuergenlei
cu
alte
metode.
Demonstralie.
pie
I
=
limsup
i/4lr;1.
1)
Dac5.
I
<
1,
fie
e
>
O
ultf'ot
incit
/+€
<
1. Din
Teorema
4.20.2),
Cap.
1,
g4.
exrsr;?2.cNas*"felincit
iq.*,ll
. t
e
yr,>
".,aJ'[,"1i='i,*l),,v,2,,,.
s"r;u
I(r*r)"
fiind
convergentd
(exemplul
1), l.eorema
1.8
asigurd
convogenla
absoluti
a
seriei
)-
a,,.
2)Dac5/>1,
cu
^X/ljc6.ll
>
/+
nu tincie
ia
0
qi
i
n=I)
Atrt
rn
cazul
siFrici
diverscniF
dirr
cx,mplul
3)
crr
5r
in,-azul
seriei
convergente
din
exenrplul
al.
"r,-
ilr,|"=
l,
deci
calculul
.L","i
ii",;iJ,-
'concluce
la
nici
o
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 158/218
concluzie
Privind
convergenta
l
CoRoLAR
1.8.1
('I'estul radica'lului)
F*L'^
o
serie
in
spaliul
Banach
X'
n=rJ
Dacd
lim
\,ry;Jl
<|
seria
esle
absolul
conuerqentd
iar
d'acd
lim
{//ilr"ll
>
I
seria
esle
diaergentd'.
PRoPozTTIA
7.9-
Fielt^
o
serie
in
spaliul
Banach
X'
cu a:n
f
0
peniru
n=0
orice
n.
ll'"+,ll
-
1)
zaca
rrm,suP
li?,ll-
\
t'
serialx^
este
absolul
conaerge'nld'
r- t,
-
2)
Do''i
lim
inf
ll,-a{
>
l'
sena
r" e'ie
diuergenti'
llr"
ll
n=o
in
celelalle
situalii,
pentru'a
decide
asupra
naturii
seriez
esle
neceslr
un
studiu
supitmenl
ar
'
Demonstuatie
l)
Fie
I
=
ti^rup
]]*ltll
<
1.
Fie e >
0
astfel
incit
l*e <
1qi
fie
n'
a^stfel
incii
llxn ll
llr"+rll
.
t+evn>
n..
Atunci
llo,+rll
<
(l+€)llr"ll
Yn).
n,.
Iterirrd,
oblinem
1lr" ll
tlr
ll
ll".ll
<
tf
+6)'4,
cu
o
=
t] Jl[,
rf*
Vn
)
n'
5i
coovergenla
absoluri
rezultd
din
\..r
aplicareareoremei
1
3,linindconihe
*1"":r*ni':,"t,:::"::'ii,;ii-':f;lr:;
2)
Din
Teorema
4.20,
Cap.
I.
$4.
existd
nq
€
N
astfel
'ntt'
'llr"ll
qi
atunci
(r.),"
nu
conYerge
tu' O,
d""i
i
r"
este
divergenti
f
Din
nou
exemplele
3)
9i
4)
aratd
c;
lim
q-+
-
1 sc
rntilne$te
atit
in
cazul
"
lls"
ll
seriilor
divergente
cit
qi
al
celor
convergente
CoRoLAR
1.9.1.
(Testul
raportului)
fl"
it'
o
serie
in
spalzul
Banach
X'
"-ollr-,,ll
..
x,,
f
0
pentru oricen€N.
,ocd-
errstti
t
=
Jfj1
l;il
Eii
<
|
alunci
seria
csle
absolu
canuergenld
iar
d'acd
I
>
(sau I
=
a)
seria
esle
ditetgen"'d
'
'
-
\-
z
rverge
absolut
pentru orice
z
€
(:
deoarcce
EXEMPLUL
6.
Sena
L;
"ot
,=0
I,n+rl t
....
I
,lfiLffi
,,;
=
l'l"r*[7nr
i
din
Corolarul
1.9.1.
Suma
seriei
este
e'
Cap..
1,
$7.
0
Vz
e
C*,
deci
sint
indeplinite
conditiile
/ z
\n
=
Jl*(t
P
''
)
.
duPa
cum
s-a
aritat
in
Are
loc
un rezultat genera
PRoPozrTr.4,
1.70. Fie
X
conaerge
absoluT,
suma ei
fiind
Demonstra\ie.
l(X)
esie
r
$1.2)
qi
lblosind
ExerciliuJ
13
aplicind testul raportului
serie
eenta absolut6 6
ss1;6; I
a
Z-t
nl
n=0
$2.
SDitri
DE
NUI,{ERE
RDI
in
acest
paragraf
vor
fi
st
de
corp
din
R
qi
din
C
qi
de
st
qi
de
Propozi{ia
1.7 acestea
pol
spalii
Banach.
Incepem
cu urmitoarea
pr
PRoPozrTrA
2.1.
Fie
(c
Seria
I
r, este
crtnuergenld
J=o
s:t',=sup{,",
11€N}.
Demonsira\ie.
i)eoarece
r,
qi
mlrginii,
rezultA convergetrt,
Reciproc,
orice
gir
converg
Itn
rezultat
similar
are loc
PRoPozrTtA
2.2.
Fib n^,,
esle
conaergenTd
d,acd
gi
numai
Demonstralie.
Fie
s-,,
:
m,
n)
€
N x
N)
care existi.,
co
4.9):
Fie
e > 0.
Exis
>
ma,
n
)
no.
Deoarece
*
sm,^
{ eYn)ms,n)nn,
Faptul
c5.
din
convergen 5,
dupi
N. I
156
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 159/218
x
.
incit
<
1.
rur
X
,
Are
loc
un
rezultat
general,
concretizat
in
plopozilia
urmS,toare.
PRoPozTTIA
1.10.
Fie X un
spaliu
Banach
9i
A
e
L(X). Atunci
seria
I
;O"
conuerge absoluT, suma ei
liind,
prin
dcf,ntlie eA.
Demonstualie. 4(X) este
suatiu
Banach
(pentru
demonstralie
vezi
i9],
Cap.
IV,
$1.2)
qi
lblosind
Exerciliul
13
din
Cap.
III,
ll,4"ll
(
fl,all"
Vn
€
N. Pentru,4
10,
aplicind testul
raportului
""ri"i
f
114-ll1
oblrnem
convergenta sa
qi
atunci
conver-
-nl
a=0
aenLa
absoluta a seriei
5-
a
lczultii din'leorema
1.3.
I
4J
nl
n=0
$2.
S[1'II
DE I{UMERE
REALE
$I
SERII DE
}JU}IERE
COMPLEXE
in
acest
paragraf
vor fi
studiate
proprietili
de convergen 5 legate de
structura
de corp
din
R
qi
din
C
qi
de
structura
de
ordine
din
R.
linind
cont de Teorema 1.3
qi
de
Propozitia
1.7 acestea
pot
conduce la rezultate
privind
convergenta
absolutt in
spalii
Banach,
Incepem cu urmS,toarea
propozi{ie.
PRopozITrA 2.1.
Fie
(x")"
un
qir
d.in R,
cu
xn
)
0
penlru
orice n
)
ns.
^
\_-
Sena
\
r,
esle conuergenld. dacd,
9i
numai dacd,
girul
(s^)^ eslc
rndrginil,
9i
alunci
"-\-"
-
"..I.
r.cNl
1J""
Demonstnlie.
Deoarece r.
),
0 Vn
).
n6
qirul (s"
),2,"
es'ue ctesci.tor.
Daci
esie
qi
mirginit,
rezuiti
convergefli,
coniorm Teoremei 4.10 riil
Cap.
i,$4.
Reciproc,
orice
gir
convergent
este mirginii. I
LIn
rezultat
simila,r are
loc
gi
in
cazul
seriilor
duble.
PRopozrTIA
2.2.
Fie
r^,,
)
0
perrlru
orice
(rt,
n)
€
N
x
N. S"rlo
j
,^.^
esle
conl)ergenld, d,acd
qi,
numai dacd (s^.")-,"
esle md,rginil.
Demonstratie. Fie
s-,"
(
M
Y(m,n)
€
N
x
N
Qi
fie atunci
s
=
sup{s-,"
j
(m,
n)
e
N
x
N) care existd,, conform cu
proprieiatea
marginii
superioare
(Cap.
I,
$4,
Teorema 4.9): Fiee
>0.
ExistS.
(rns,ns)
€
l\
x
N astfel incit s-o,,o
>
s-
e.
Fie
m> rqc
)
n
)
ns. Deoarece
r^,"
>
0,
s-,,
)
s*0,*o
>
s-e,
deci
ls-,"
-
sl
=
r
-
sm,n
< cYm)
mt).
n
)
nn.
agadar t
-
I
"-.".
m,f,=a
Fl.ptul cX din convergenli
rezultd
mirginirea
se ara.tri. exact ca
in
cazul
qirurilor
indexate
dupX.
N. I
157
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 160/218
Aceasta
propozilie
perrnite
sd, demonstrErn
urmitoarea
teorema
privitoare
la
corn''ergcnla
seriillor
duble.
TEoREMA
2.3. Fie
(a^,")*,,'
un
gir
dublu di'n
R,
cu
r*,
)
0
pentru
orice
(?,l?,n)
€
N
x
N.
1) Seria
dubld,
L
,^," e6te car"uergentd'
Qi'
are suma
s daci,
ii
numai
dacd este
m,n=O
, / 6 \ 6 /@ \
-
1i
r","1,
)- lf
'-"1,
('uind
Lut su'mas.
conuergpnld
tla
d,inlre
senxle
L
|
_
rr_0
\m=0 ,/
nr=o
\n-o /
*2.
Fie
gs,g1,...,yr,... terrnenii'
ai,rului
(r^,.)*,"
ind,erati, dupd
N.
Seria dubld
L
,^."
conuerge
6i
are
sutna
s
d,aci
11
nunot
da.a
ser?a
LlJp
conuerge
€t
are
m,n:o
P:o
'tlfiLA
S,
Demonsftafie.
1.
Evident, s-,',
(
s Vpn,n)
e
Nx
N
Ei
totodati
z;,'
(
s"','
(
s
Vm
e
\
*
'=o
*
Vn€
N,
deci
seria.
I
c-,,"
converge,
Vn
e
N.
Fie
"",
=
t
rn,n, n€
N'
Atunci,
m:O
n:o
6
/d. \
Ito
Lior
f
s-.r
(
s.
a5arlar,eI
(
t'-.,,
)
<'
n-0
\n-o
/
Similar
se
probeazl
qi
convergenta
celeilalte
serii.
Fi" ,
=
i (E*
")
o**n,"u
conversentx.
"^,"
-
2(*,,-)
,
a
1*
a
t
V(m,n)
€
N
x
N
gi
atunci
convergenp
f
,-,'
=
s
rezultSdin
*=0
n,n=a
Propozitria
2.2
qi
de asemenea
s
<
,.
Priii
urmare,
s
=
I
qi
aceiagi
lucru se
demonstrea'z5
peniiu
a doua
serie
iteratS"
2.
,,
+
',
Fie
p
e
N. Alegem
rz
qi
n
astfel
incit
s-,' si
con{ind
Duury}"'r'
t=O
Atunci si
{
s-,,
(
s
Vp,
deci
seria
lvr
converge
gi
t'
=
lu,
(
s Cum
p:o
P=o
pentru
m,t,
€
N clali
putem
alege
p
€
N
astfel
incit
o1.1 si
figureze
in
s
peniru
b
<
j
<
-
qi
0
(
ft
(
n,
rcntll'ds-,,
(
si
(
s'
(conform
Propoziliei
2.1), deci
s
.
srp
{s,..nl{m..
n) € N
x NJ
(s'.
rezuhipd
in
fnal
s=s'
,,
*
"
Se demonstreazi
schimbind
ordinea
raliouamentelor
precedente'
I
Acum
putem
dernonstra
afumatia
fr,cutd,
irr
Cap.
IV
relativ la
rerrnirinile
numdrabile
de
mullimi
de rndstrr5
nuld.-
PRoPozITtA
2.4.
O reurfiune
numd'rabi'ld
tie muiir'mi
de mdsurii
zero
dtnR
este
o mufti,me,
de
mdsurd'
zero.
Dentonstrafie.
Fie,4
=
U
A-,
cu
An
de
m5sur6 zero
pentru
orice
rl
€
N.
Fie
n:o
e
>
0
si
ft,,"
interval
n-dime
vol(11,')
<
,,fo
v"
e
Y'
un
gir
cu aceia,€i
termcni
ca
r'o1(1r)
<
e. I
Prezentim
in
continua're
zitivi,
descrescitori,
care
redr
interval
lemdrginit
Pnoeoztlt,l
2-5.
(CriteI
o
funcli
e
mon'oton
d
escrescd'l
I
x^ este
conaergentd
dac'
cd
aceasta
echiualeazd'
ctt
con
Demonstra{ie.
Funclia
f
Yr€lj,j
+il
c
[ru6,co)
De
dup5.
i
€
{tie,.
-'n}
ob{in'
(a,"(s,
Vn>no.
Au
loc
md.rginii
<+
(o,")"
este
mdrgi
Exo\,{PLtrL
1
Fie
seri
Considerdm
in
ProPozigia
P
rezultd
c[
seria
armonicl
ge:
este
convergent6,
adic6
Pent
Definilia
urm5toare
a
nt
c€ Ya;fi
Pus
mai
clar
in evidr
DDFINITIE.
Fie
(o")"
qi
158
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 161/218
-
la
orice
s.
d,ubld
$i
are
I
<
din
Cum
pentru
deci
I
iR este
Fie
e
>
t1 si
16.,.,
interval
n-rlimensional,
(&,n)
€
N
x
N,
astfel
incit
't'
c
l-J
4,'
si
f
"ol(16,';
.
iu
r, €
N.
Atunci
I^
(E""rf
l-
'
f)
<
e
qi,
dacs'
(ro)".ry este
[=0
n=0 &=0
un
qir
cu
aceia€i
termeri
ca
(4,')*,', avem
,{
C
[-J
1,
qi,
conform
Teoremei
2'3,
P=O
I
rol(/r)
<
r. I
PrezentSm
in
continuare
un criteriu
de
convergen [
a
unei
serii cn
termeni
po-
zitivi,
descresc[tori,
ca,re
reduce
convergenla
seriei
la
convergenla
unei
integrale
pe
irterval
nenSrginit.
Pnoeozrqrl
2.5.
(Criteriul
iniegral)
Fie
/:
[26,
oo)
-+,10,
m),
cu
rl0
€
N
f'o',
t
o
funcli,e
monoton
tlesffescdtoare,
fie
r*
=
J(n\
$i
"^
=
J
f
\x\dr,
n)-no
Seri'a
i
"-
""t"
conuertentd
d'acd'
ai
num&i
d,acd
$rul
1",7^
")'"
mdrgini't
(se
uede
u6or
12'
ca aceosla
echiaaleoza
,u
ronu"rg"ntro
[
1)
1"
Demonstragie.
Funclia
/
fiind
descrescdtoa.re,
putem
scrie
J(j
*
t)
<
l(z)
<
l(j)
jI;
Vr
e
lj,j
+
1l
c
[n6,m).
Deci
/(j
+
1)
<
/
/{t)dr</(j)
pentru
j)ri6
Sumind
^
t"
dupd.
j
e
irq,...,r:j
oblinem
t;<
/.f(t)at<
f,
r,, adici
s,"
-
r'o(
i
no
)
{"
;-no
I
1--
-
^L:-/alentele:
I
z.
este
conl€rgentd
<+
(s,,,),,
este
<04<Si
VnrflO.
Au Ior
e(llrr
miirginit
<+
(dn),,
este
marginit
(<+
/
/
esLe
convergentd).
I
ExEMPLITL
1 Fie
seriile
:
*
"
>
0.
numite serii
armonice
generalizate'
1
Consider6m
in
propoziiia
precedentS,
/(r)
=
F,
a >
C;
I
este
descrescitoare
qi
rezultd cd
seria
armonici
generalizat[
este convergent5.
dacS'
qi
"o*ui
aate
i]
a"
Jr"
este
convergent5,
a.dic5
pentru
o
>
1.
Definilia
urmitoare
a
noliunii
de
produs
a
doui
serii numerice
este
naturai5,
fapt
ce va-fi
pus
mai
clar
in
evlden 5
in
paragraful consacrat
seriilor de
puteri-
DETTNITTD.
Fie
(a")'
gi
(b,)'
qiruri
din
C
Se
numeqte conuolulie
a
aceslor
dotsd
159
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 162/218
160
qiruri
qirul
(c")"
din
C
deinit
prirr
c^
=lo*b^-x
=
ol"oobn'
n
€
N'
Serio
c'=f (
L
t"lr)
se
rui-nei'ue
serie
vtrodus
a
se.;lrcr
a"'
9i
b"
lu"tid""*".
dJ"="o-$It;;
""'iu
produs
este
dai6
cle
ProPozilra
urm6'toare'
PRoeozIlt,r
2 6
Dacd
serttle
i
t'
u'
f
t'
ttnt
obsolul
conuergenle
in
3,
'
c,
aiunct
9t.
seria
produs
E
(rP"*u')
esre
absolut
cctnuergenid
in
plus'
dacd
"=i,.
sib=l.t',
alunci\ll
ootn)
="t
-
?-
7^
n=o
Plq=n
Dernonstr
a\ie
Converge-n a
absolutS'
rezultS'
dil
inegalitatea
ellidenii
t I t
*6,1
<
(i
r"-t)
(i
lu-t)v^
'
w
f,-^toif,-r
I
'r=o
*-o
Pentru
a
demonstra cea de-a
doua
afirmalie'
fie
Observ6m
ci.
rSr r
",b,)
-(t.*)(iu)i.
t--)
\
u
,
.t=a
k=O
'k=a
P+c=n
<o'(t'
ito,l)*'"("'-Lr'''l)
-n
pentru
n--c(
'
*-o
J-u
Treoarece
tim
io,,
=
o,
-,*it,,
=
6'
rezults'
i,t1i
(
E
a'bn)
=
ab
r
n-oo
i-^ ?a^
"
*
t=o P+s=n
e
de
scrii
care convetg
neabsolut
Ne
vom
ocuPa
in
continuar'
PRoPozllrA
2
7
(Crileriui
lrri
Dirichlei)
Fir
(o")'
un
git
de
n'tmere
reale'
ctt
dnr
r
<
an
petulru
ottcet
g
rt'
l)
'uJ.,'
--
-o
r'"
i"r"
un
sir
de
numcre
complcte
-l**rio*"i"""
cd
etistd
M
>
o
XiJfr
nat
lus*
*u'l
(MVn€N'
(2 1)
-
'o
ergentd
(otn
general
neabsolul)'
Alunci,
serialanun
e"l"
cot'
n=o
Demonstra\ie.
Fi"
""
=
f
o-uo
qi r"
=
t,,;.
.a.tun"i'
contbrm
(2
1)'
lt"l
<
M
r-"
t=o
ergenla
girului
(sn)n
V?, €
N
qi,
evidcut,
u.
-
t^
-
t,-i-'
Vn
)
L
Vom demonsl'ra
conv
'.ettnO
i:t
esle
gir CarrchY
Ln
C
o,=
f
lo,l,6'= tl6"l
n=0
n=u
['iee>0qip)1.
1""+o-""1
= ld'+run+r
-t"+r)*
..
+
an+p(tn+p
-t,,
-a^+3)+...
{l'1p-1(oo1p-1
*lt^+zl(a-+z-
a,,+3)
+ +ll
-rrr+2
+
&n+2
4n+:]
*
*
Deoarece
a'11
*
0,
Yn
)
n",
Vp
)-
\,
1s"7,
-
s"
convergent,
in
C. I
EXFIMPLU
L 2.
Seria
f'
n-1
^1
Inir-adev[r,an=-l
n
,1
lz+22+ r
z"l
=
lz'-
3r
)
1,
conrergenla
este
neabr
Conor-ln
2.7.1.
(Crite
lim
o,
=
0.
Atunci
sena\
Demotstralie.
Se
ia
z.
,
Seriile
de formu
l(-1)
n=0
o estimare
a rest"ului,
ulili.
at
PRoPozrTrA
2.8.
fie
(t
3
s
=
L(-1)"o,.
Rn=
s st
Demonsl;alie.
sn,,2y
=
*(a.+zr-t
-
en+zt
)1,
deci
ls"
-atu+2k
=
an4
-
(a^12-an|
Similar,
ls,.'26-11-s"l
=
deci
js"1,"
-s"
j
(
o"11 Vm
)
O
teoremi
important5
paragra{ul
anterior,
este
cea
la
colvergerila
absoluiE
rezt
^'
--
^l
-l
,'.m i+nr
FIxEMPLUL
3.
Fie s
=
\-
Lr
lo;
llbil
(
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 163/218
-
Fiee>0qip>1.
lsn+e
-
s,l
- la,41un1t
1'
+
an+Fun+pl
=
lo"+r(t"+r
-
tn)
4
a^.,2(ta2
-
-1"+
t)
*
. . .
+
a/r+p(th+p
-
lr,+p-r
)l
=
I
-
d"+r
rn
*1,11
(a,11
a^*2)
1
t^',2(ana2
-
-a,+B)+.
.
ltn+p-r(an+p-
-
an+p)+tn+pa^+oi
{
a"..111"
j1i;"1r
l(a"+r
a"+z)+
*11"12l(4";2
-
a',1:.r)
+ +lt"*o-t;1o^4
;
-
an:,)
+ll,+p
lo,+p
{
M(a.4}an'1
-atu+z+
an+2 an+3*
"
*an+p
r
-
atu+p
+
{ln+p)
-
2M
a,+t.
Deoarece a'11
*
0, I n.
€
N
astfel
incit,
Vn
)
net o.n
<
,fr;
Si
atunci,
Yn
)
n.", Yp
)
l,
ls^',,
s",l
<
e,
ceea
ce inseamnd c5.
(s")"
este
qir
Cauchy,
deci
convergent, in
C. I
dacd
I
clL
(2.1)
<
r\4
(s.)"
ExEMpI-ul
2.
Seria
)
'
:
converge
pentru
orice z
€
C,
lzl
-
1,
-
It.
a=1
^l
Intr-adevir,
an
=
:-
cste
descrescitor
gi
are
limita
0,
iar
n
, r rl,l
t
'
2' nr l'
'
l<
--:11
Vn>1 Deoarece scria
.'f
.
1
-r-.
t-
l. t': l.-
lr_,1
'.,2
'
u,vc,,L' r,'
S.r
)
,
convergenta
este ncabsoluld.
d.acla z
I
l,
rnodulelor
este
CoRoLAR
2.7.1.
(Criteriul
lui
Leibniz) Fie
a,
)
dn+1
penlru
o?-ice
n
€
Nl
Oi
Irm
o,
-
0.
Alunc,."",o
)-{
l\"an
esle rcnuprgcnld.
1r'
a=0
Demonstralie.
Se
ia
u,
-
(
1)n
in Propozilia 2.7. I
Seriile de
torma
(-1)"o,
se
numesc
senz
alTernale.
in
cazul
lor
funclioneaz5.
n=0
o
est"imare a
restului,
util5 a+"unci
cind
tlebuie
calculati suna
seriei cu
o eloare daii.
PnonozrlLl
2.8.
Fie
(a.\"
un
gir
d.in
(O,co)
cu
an.)
an+t,
limon=0.
Fie
:
s
=
)_{-t
I'o,.
R,
-
s
-
"n.
Alunci
lRnl1
o.a, Vn
)
t.
Demonstratie.
str+2/.
=
sz
+
(-1)"+1(o.1r
-
an+2.)
+
(o,+e
-
a.*+)
*
..
+
(an
a21,
-
1
-
an421")],
deci.
ls",.2p
-
s,
l
=
an11
-
a^y2
I
an+3
-
a
+4
+.
.
*
an
+zx
-
r
-
-an+zk
=
a^11
-
(an12
-
an1r)
-
(o"+a
-o"+s)
-
. . .
(on+zt"-z
-
on+zt-r)
*a,*2.
tr
(
o"+i.
Similar,
1s,a2141-
s^l
=
.t^+1,
-
(a.+2
-
a"+s)
-
. . .
-
(an+2h
-
an+2k+r
)
(
c"+r,
<ieci
js.1-*s"i
( a,,..1
Vrn
)
I,
Vn.
Pentru
rn
*
oo
oblinem
|s-s"j
g
a"11
Vn. t
O
teoremi
irnportantS,
relatrivi
la
seriile
absolutr convergente,
demonslratS,
in
paragraful
anterior,
este cea
privind
convergerrlra
necondi{ionat5,.
Prin
renun{area
la
ccn.,'er5enta
a,bsoiuti
lezuliatul ince'leaz5
si, mai fie valabil,
dupi
cum araii
qi
exemplul
urmEtor.
ExEMpLUt
3.
Fie
s
=
it-tl"-t ]
(convergentS.
conform
Corolarului
2.?.1).
n=l
16i
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 164/218
Vn,
'ezurti
">
|.
eu"','
%:1'z-J:{:
-2-
t
+?-'i,_?-
3*
?-
3-
2
2
-2
-2
t .
Daci
schimbi.n
crdinea
*"^melilcr'
Cil
s'tma
prrrceclcnf i
st:
q
r{r
'
11
12
'
rul
"r\'-l.)
t\
1
12
lt,
,
_,
1,1..1
|
,,b1ine(r-;)r(.
,,) i
(;
;J
a'
='-r'i
i'.r-o'
="
"'
'l;
laiilecgii
N
-rN
ar
rczulra
2s=
"
tleci
s-0
qi
drca
suma
ar
rdmilc
Ircsclrlrnb
fal",,lupri
cum
aln
()hser\ai
anl{liul'
Cornportarea
seriilor
de
muncrc
rcalc
convergcntc
neabsolut
la schimbarea
ordittii
de
srrmarc
este
desc
si
de
o
te()remi
a
lui Riemanu
Vorr
introduce
in
prealabil
urrlliitoareie
n{)ta ii.
Fie
|z,'
o serie
din
R
Not;rn
,
r'
+
iir,,l
,'
-
l{rrl-ja
xn---
^-\
Lr-
,
12
2)
t.viCenr. r'n
>0.
ri'>UV,,
ii
,'n
-.r'n
rlaca
t,,20
Ji,
=
rn
daca
r' t
0
Ohsen
i'r'
t
s-
rrterg''
rtlrrnri
l
'i'
=
.c
ri
I
ri
=
r
'
ca,laca
\
lr,,l
=
.o
lr
LIn
co
r,_n
n_x
n-0
n=D
Ac.r-
pute-
tlerqorlstra
teorcma
anunlai5-
TEoRElvlA
2.9
(Ricrnamr)
l'"
i'"
o
serie
d'in
R'
conttr:rgttntd
neo'bsolut
Afuuri:
__
1.
Erist6'
o
bijerlie'
o:
N
-+
N
astlrl
incit
\r'ot
eslP
(LilrcrQPnld'
t=0
2.
Oricarcor
f
o
e
R
eristd'
o
bi'jec[ieo:
N
-+ N astJel'
inctt
i
'"'''
=
o'
^
,:"
Denonstrat'ie
Fie
r'n,
r'ndali
pdn
(2 2), tl=ItL'
"i=l''i'
Dirr
ipoteza
/t=0
k=
de convergella
neabsolut'd,
sl
-+
co,
s'L
-+
cr:''
Totodati'
deoarccc
convergentd.
avem
lim
r'n
=
0,
lim
zi
=
0
l.Construinro:N_+Nastfelincitunsubqiralqiruluisumelorpa,{ialealo
i
t-,.,
.e
iinrlii
Ia
oo
llie
l'{'
€
R'
liiir
,'{"
=
cc
Aduiriiii
ieitn€iiii
a::
=
rn
liii''
";"a
s- >
-/iL
si
acirina.ur
apoi
termenii
negar'ivi
orniqi
AriunEm
in
cont'irluare
iJii'"l"ti*,1,i,tt'.i I'r"j.1'J
ob1i"""'
"',
>
M2;
adunirn
iermenii
'egativi
oriqi'
;;;i;;"';.rf"l
. t"'rr".o
t,"
'
t'to
vn>t''
deci
Iims"u
=
co
Ei
seria
este
divergcntd'
2.
Fie
rz1, ftr
€
N
t
.lF
I
I2
=
x't+-
+r;,
-ri
-'
^-r.^r
,-.,+ ,-d ,^
,
,,
I
r
_
,2
|
"mt+r
tinuind
in acest
mod,
obtiner
iar
din
conditria
de minimali
r|+
.
+x;^,
iSo(f;'L
lim
t"
=
11.
'ie
s,
sumcie parliale
+
+r'^"-
t'|,+t-
-
din
seria
dati
prin
schimba
o
:
N
-
l\l
bijcclie.
Daci
m1
t27
(
.s.
(
12i-.1 iar
daci
m1
atunci
121;111
<
5n
<
l2j+1
(
$3.
SERII
DE FUNCTTI
Seriiie
de functii
consi
(6(,4),ll
ll-),
cu A
c
R,
,
uniformi
a
Eirurilor
sumel
convergcntei
un iforme
a un
Weierstrass).
tln
exemplu a
Rezultaiele
obtinute in
uniforrne
qi
iq
cazul seriilor
ExEN,TPLUL
i. Seria
'
cos
rlr
,
o >
1.
Deoarccrs2,
-
r,rr+..
*,)-,
*=;.(i
-
i)-
.
(":
-
-L)
1
,t
ria
I
r,
este
r i sin zri
sup
l/"(r)l(=
sup
-
t
\
x€R
Il.-
"^" ".,"-r
E?
Fvcmnirrl 1
in cazul
seriilor convet
in
capiroleie
iii, IV, V
pen
urmitoarele
proprietSli
ale
PRoPozrTrA
ll.l.
a)
Dacd
.1"
:
[4,6]
-
fr
con.teroenld.
aluttct
I
=
t
t62
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 165/218
t-
I
,
?-
8'
2.
Fie
m1,
fr1
€
N
minime
astfel
incit
t1
9r
c
+
+
r'-.
>
o
qi
tr
9r
r'r+..
.+x;,-t\'-"
r'1,
< o.Fiem2>.
m1,
k2)
k1curn2,
&2
€
N minime
astfel
inci+,
13
9rtz+el,+r
+
+t'^.
> <r
qi
la'4t3-rf
,+t-
-r'1,'1:
C"l-
tinuind
in
acest mod,
obiinem
m',
l"
€
N
qi
sumele
I'
cut2p-1
)
a,
t2o
l
aVp
)
I'
iar
din condilia
de
minimalitate
ltzo-t
-
ol
4
rk,,
ltro
-
al
<
til, (de
exemplu,
a'r+..+cl,-rSo
lrl-1
"
+
t;t=h,
<ieci o
<
i1
<
o*c'-'
eic) Al'unci
liml"
=
o.
l'ie
s.
sumele
parliale
ale
seriei
.r',
*
+
t;, - {i - -
x'1,
+
t'^,*r
t
+-
.
+
xi,-
r'1,+r-
'-ri"*
Serra
cu sumele
parlra'te
(s,.)"
este
oblinuiE
din
seria
dati
prin
schimbarea
ordinii
de
sumare,
deci
este
de
forma
f
t,1";
"u
o:N*l\l
bijeclie.
DacS
mt]
ktl "
*rQ*1(n(rn1
{fr1
{
+il';+t
atuoti
12i
(
s2
(
l2-i
41iat
dacd
mllkla
lmiallk5+1
<
n
<
rzr*&r*
{mi11}'Lilr
ut,,,r"i
f4iarj
(
s'
( t:j+r deci
lims'
=
d
qi
teorema
este demonstrat5
l
$3.
SERII
DE FUNCTII
Seriile
de
funclii
considerate
ir
acest
paragraf
sint
serii
din
spaliul
Banach
(6(,4),ll
ll-),
cu
A
c
R,
.4
f
0.
Convergenla
lor
va insemna
aqadar
conYergenla
urrifoi^;
u
qirurilor sumelor
parliale (s')'.
Un
oiteriu
practic
de
constatare
a
convergenlei
uniforme
a unei
serii
de
funclii
este
furnizat
de Teorema
13
(criterirrl
Weierstrass).
Un
exemplu
a fost
dat
in
$1,
Exemplul
2.
Rezultatele
oblinute
in
paragraful
precedeni
permit
demonsl'rarea
convergentei
uniforme
qi
in
cazul
serlilor
din
enernpl':l
urmitor.
EXEMPLUL
1- Seria
>
i,
convetge
uniiorm
Pe
R
La
fei
se-
-
2-
, d > 1.
Este
suficient
si,
observ5m
ci
pentru
amindouX
seriile
se
t)
este
a.le
cos
nr
sln
n,'
"io
sup
tr(c)t(=
::B
+9
.*
::g
qP)
=
*
,' p
{
.o.,n",g"
pentru a
>
1,
corforn
$?,
Exeeplul
1.
in
cazul
seriilor
convergente
ain
(C([o,O]),ll
ll-),
pe
baza
rezultaielor
oblinute
in capitolcie
IlI,
IV, V
pentru
Eiruri
uniform
convergente
de
funclii
continue,
avem
u
rmbtoarele
proprierdti
ale sumei
PRoPozITIA
3.1.
a)
Dacd
f^:
[a,
b]
-'
R
sint
conlinue
penlru
orice
n
e
N
9i
I
I'
esle
uniform
conteigenld, alanci
f
=L r.
*r"
conlinud,
pc
la,b .
n=0
n=D
163
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 166/218
b)
Dacl"
J.;
[o,
b]
-+
[0,
oc)
sint
continue
pentru
orice n
e
N si
/(z) =
I
f"ftl
este
definite
qi
continud
pe
[a,
b],
atunci
i
/,
.onunrr"
uniform
la
f
pe
[tt,b].
Demonstra{ie.
a) P"ezultd
din
Teorema 6.1, Cap.
III,
96.
b) RezuItX din
lborema
6.3,
Cap.
III,
$6'
linind
cont c5
in
ipoteza
fd,cutd
qirul
(s,,)" este crescS,tor. I
PRoPozITIA 3.2.
Fie
J =
lfn
cono"re"ntii
tn
(c(la,bl,ll
ll-), [a,
b]
c
R,
i64
Din condilia
2), Ve
>
atunci
Vn
)
n., Vp
)
1 sup
'€I
ExoMPLUL
2.
Seria
f
de
forma
l2kr
+
p,2(k
+
1)
uniform la
zero
Ei
este mo.
1
(n*1)r:
nrl
isln
-
srn
-l
2
',z
1
$4.
TEOREMA
DE
EXIS
BLEMEI
CA1ICHY
P]
O
primi
aplicalie
impc
stitui
demonstrarea
existen
tru
ecualii
di{erenlia}e
ordi
incepem
cu definiliile
definitie
a fost dai6, sub
o
DEFTNTTTE.
FieDcR
Funcliag:1*R"declasi
diferen iale
dact
(i)
(t,
e(t))
e
D
Yr
€
l
Fie
(ls,rs)
€
D.
Se
n
determinirii
unei
solulii
d
ini iali
NorATrE.
Problema C
Corrforiii
riefini{iei din
I)FErNr.rrF {e <nnnp
r
soluliilor in
(ro,
ro)
e
D
dr:
Cauchy
(/,
ts,
xs),
9:
Io
-
in
'rederea
stabilirii
p
urmS,toare-
PRoPoztTlA
4.1.
9:
i
hh
f
a*b. Atunci
f I
f"=
I t.
-t
.t
Delrrcnstratie.
Se
aplici
Propozitria7.2,
Cap.
V,
7
qirului
(s')'.
I
PR.opozrTIA
3.3.
Fie
f-:
la,
b]
-+
R,
n €
N,
/'
de clasd' Ct
trtentru
orice n
€ld.
Dacd,
---
l;;rl-
2i
\r r,
1
Exi,std
xs
€
la,bl
astfel
tncft
L
f*@o)
conuerge
6i
n:o
L
t":
s,
corutergenla
fiind
urfit'orznd
pe
fa,bl,
atunci
":o
:
f
unit'onn
pc
la,bl
qi
J'
=
s.
Demonstragie.
Se
aplici
qirului (s,.,),"
Teorema
7.3, Cap.
V,
$7.
I
DemonstrS,m acum
incd
un criteriu
de convergenld
uniform[.
TEoRDvA
3.4.
(Abel-Dirichle+-)
Fie I
C
R
4i funeliile
a,,
: I -+
[0,co),
/^
: /
-
R.
n
2
i
tu
propnctd.lilc:
1)
a"(r)
)
a."+r(r)
Yr
e
I
;
2) lim o,,
=
0 uniform
Pe
I;
3,) ecistd,
M
> 0
astfel
tnctt
swlh@)
+
..-+
,"(r)l{M
Yn>7.
Atunci. seri.a a"(lr)/,(r)
conuerge unit'orm
pe
I.
n=1
DenansEatie. Aplici.m criteriul
de convergenlX
uniform5
al
lui
Cauchy.
Fie
s"@)
=Lfk@),n>1.
a'11(r)/'11(r)
+"
+
a,aoQ)f"+p(t)
:
r'.+t(r)lS"+r
(")
-
S"(r)l
+ '+
+a"ar@)lS6r@)
-
^9"10-r(r)l
=
-a"+rS"(r)
+
S"
4@)1a41(r)
-
a"+r(r)j+
..+
+5"+e
r(r)lan+e
1(r)
-
a6o@)]
+
a"ao@)S"ar@).
Atunci
1o"11
(r)/"*r (r)
+'..+
a"ar@)J6r@)l
(Ma"11(z)
+
Ila"n@)-
-
o"+r@)l
*
. . .
*
M
[an1,,*
1(n)
-
a,,p(x)]
*
M
a4,@)
-
2
M
a"+t(r).
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 167/218
Din condilia
2),
Ve
>
0I"r"
€
N
astfel
incit
yn)
n", supaoll(r)
.
hUt
atunci
Vn
)
n",
Yp21
sup
Ja,,11(r)l,ar(z)+
..
+
o^*o1r1y'^llo1r11
<
r. I
,EI
-
3
"in,
xEMrLUL
2.
Seria
)
-
""'?"
"u
0
<
o
(
i conveige
unifoim
pe
orice
interval
"'"
de
forma
l2kr
9,2(k
+
1)r
-
p\,
k
€t,
I€(0,r)
deoarece
a,(")-
]
coouerge
uniform
la
zero
Qi
este
monoton
descresci,tor
iar
lsinz+sin2o+... 'isinnel
=
$4.
TEOREMA
DE
EXIS'T'EN'I',{
gI
UNIC]TATE
LOCALi
A
SOLUTIEI
PRO.
BLEMEi
CAUCHY
PEN'fRU
ECUATII
DIFERENTIALE
O
primd
aplicalie
importanti
a
propriet5 ilor
din
paragraful
precedent
o va con_
stitui
demonstrarea
existenlei
qi
unicitllii
soluliilor
locale
ai"
protlem"i
Cauchy
pen-
tru
e^cualii
diferenliale
ordinare
folosind
metoda
lui
picard.
Incepem
cu definiliile
necesare
qi
cu
unele
rezultate preliminare.
Urmdtoarea
definitie
a
fosi,
datd.,
sub o formi. particularl,
in
Cap.
V,
g6.
DEFTNITTE.
Fie
D
C
RxR"
o
mullime
deschisE. qi
/:
D
*
R"
o funclie
continui.
Fu-nc ia.g-:
1
-
R"
de
clasi
Ci
(1
interval
deschis
din
R) se numegte
solztrie
a
ecualiei
diferen iale
(4
1)
dacs (i) (r,e(i))
€
Dvt
€
r
5i
(ii)
e,(r)
=
f(r,elDvt
e
r.
_
Fie (f6.oe)
€
D.
Se numeqte problemd
Cauchy
atapti
ecua{iei
(4.1) problema
determindrii
unei
solulii
definite pe
1
6
i{o
astfel
incii
si fie
indepiiniij
conAilia
ini{ial6
I
\n+
r)x
nx
lsln-
srn
-
')t
(n*l\r
nxt
2
"tn
rl
l"i"
I
I
I
2t
I Jl--
--6
lsrn
-l
srn:-
t
2t 2
I
Vn
>-
1.
p(to)
=
xo.
(4
2)
No'r'ATrE.
Problema
Cauchy
(4.1),
(4.2)
se
va
nota
(f,
ta,
co).
Corrf<rrm
deffniliei
dirr
Cap. ViI,
peniru
A : i
*
R*,
n/(t)
=
(h'Ji),..
.
h',(t)).
-
DTFINITIE.
Se spune ci
f
ad,mil.e proprtetutea
d,e edslenld.
,i
ttnicilate
locald.
a
soluliilor.
in
(ro,.oo)
e
D
daci
exist;,
1o
e
B"
si
existi
o unicj
soiulie
g
a
problemei
Cauchy
(/,
to,
co),
p:
1q
-+
R"
in.rederea
stabilirii proprietX{ii
de existenli
local5
esie
foarte
utili
propozitia
urmitoare.
PRopozrTrA
4.1_
9
:
I
*
R"
este
solulie
a
problemei
Cauchg
(f,
ts,
us)
dacd gi
165
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 168/218
vlu
Lai d.aed.
tp
este
contimfi,
(t,9(r))
e
D Vt
€
I
ii
llf
(t,,)
-
/(t,v)ll
<
Lll"
-ul)
,
se numeEte
constantd
de
li,pschitzianitate-
fli,r)
-
ii(i,s)
=
unde
(1(i)
e
(a,
y)
c
B.[re].
Din
inegaiitatca
CauchY-Schwa,rz
Urmitorul
rcz uiial,
irltere
PRoPozITIA
4.3.
(Lcma
l
Fte In
€
i-a,
bl
:,
M
€
R.
Dacd
u (r')
(
atuncr
ult
in
parhcular,
rlacd in
(4.1
l)ema
stra|lc.
Vom
detn<
I
(
[n
fiind
similari.
Pertru
t
>
i6
(4.5) dcvin
dcci
s/(f)
-
u(l)1r(l).
Deoare(
se
obline
s'(t)
<
M ,(1)
+
{0
inmullim
aceasti
rr:lalie
|'r'ta-
,l
<
I/r/'(r)c
'"
,
adr.;
frll{t,
colt cL
y(ls)
=
0,
obiincm
y(l
ceea,
ce revine
la
(4.6)
peltru
Putem dcrrtottstra
acul
locali.
'I
EOREMA 4.4.
Fte
D
r
continrd,,
local hp schrl
zianit
c sli6>09ietisldotntc
("f, t
r,,
to).
Dernonstra$ie.
lbnrder
aproxirlaiiiior
succesive
a iut
-.
-..not.
t le /oLrnl
- llo
4,
ro
xB.[c6]
cD.
lieM=
sut:
(t,,)(
A.
tt
gltt
=
Ls
I
/
,f
ls.
r(s)ld'
Vi
c,1.
(.1
3)
(4 4)
Dcmonstraq;e.
it ,.t
,,
=
Dirr
(4.'l).
p(r)
-
pttor
I
p'lttd,
=
/
flt.t.,r*r'a".
Ju
Jt,
,,
€
',
p
coutinul
qi
/
continui.
implici
p
dai'
de
(4.3)
cste de clasS
Cr,
iar
din
(4.3)
oblinem
direct
(4.2) r;i
(4.1),
prin
derivare.
I
DDFINITTE.
Fie
1
o multrilre
deschisi
din
lR,
G
o
mullime
dcschis5.
din
lRn'
Elementele
lui
I
vor
fi
nolate
cu
i
qi
cele
aie
lrri
G
cu
(r1,. .,.r') Funclia
/
:
I
x
G
-+
lRn se mrmcEte
local
lipschitziand
in
uari'abi'la
a
doua
daci
oricare
ar
{i
'4
compact,
-4
C
I,
gi
oricare
ar
fi
x6 €
G,
dat'
r
>
0 este
astfel
incif
B'ko] c
G'
atunci
exisil
-L
>
0
astfel
incit
oricare
ar
h x,u
c
B,Wol
-
f
q
1,1a.
--
MI.'"
ll=11
-
\./
t.rt(t,t\
*
rt(t,a\t.
1l(3r',.,0)
]l
11,-rlt,.
ll
\u:,.j
t
i=T:;llz
166
PRopozITIA
4.2.
Fie
I
gi
C
ca
in
de.frfilia
precedentd"
I
:
IxG
-+W
continuii,
at.
cu Dt-olrxeteteu, :
sa651;
ti
s'int
corttirlue
pe
I
x
G,
ori'care
ar
fr
O,x
i
i,j
e
{1,...,n}.
Atu;ci
f
este local
li,pschi'tziand
tn
uariahila
a
d'oua
pe
I
x
G'
Demonstralie.
Fic
,4 compact
inclus in
1,
:xo
€
G,
r
>
0
asifel
irrcit
B'[re]
c
G
Fie
,
e
-,1
qi
r,
?
€
8'
[co].
Aplicind
Teorcrna
cregierilor
fiuite, teorcm5'
ce ra
fi
demon-
stratd
in
iapitohrl
consicrat
derivabilitS.lii
Fr6chet,
firncliilor
h(t''),"',f,'(t'
)
pe
intervalul
in,9l(=
{(1
-
s)z
+
ss
I
o
€
[0,
1]])
obtinent
2-
t
(,,.;in"
.",1,(#.,
''),-,'ll,)".
''''
deci,
<iaci
i
--
y'ri
sup
sup
li{p,,
a,)
|
1.,<n
ri.('c
a'a
,'s.
ll
\o/r
/
'-t.,,112
rezulti
lll(t,a)
"f(t,y)lb
(
Llir-vllt,Yte
A.Yt:'v
e
B,lrn)
l
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 169/218
-
Urmiiorul
rczuiial,.
iriteresaDt irr sine, va
lblosi
peniru
dcmonstrarea
unlcit6lii.
PI.oPozifIA
4.3.
(Leuaiui
Gronwall)
rc
u,
{
.la.
l,]
*
l0,co)
faz
r:lii
conlin.ue.
ltre tn
e
ia,
b)
5i
&1
€
R.
Dacd
(4
5)
atunax
[".,,i
u(i)
<
Me''"
'vt
e
1o.11
(4
6)
:
uti)
<
\4
1
,i
u/.)t
t.)J.l:Vr
i
in.6]
t.t
I
to
.
I
In
parttr,u,lar',
do.cd
in
(4.5)
M
{
0,
atttnci
u(t)
=
0
V,
€
[d,
r]
L)emonstra\ic.
Vom ricmonstra
propozilia.'irr
ta
tl
t
)
10,
demonsira{ia
in
cazul
I
(
16
fiin<j
sirnilarX.
Pentnr
I
>
ti (4.5)
dcvine
a(r)
(M+
/
u(s)r/(s),ts.
Fie
y{r)
=
/z(s)q)(s)ds.
J.t
ricci y'(l)
=
u(t)q,(t).
Deoarcce
v,(r)
>
0 vr
:
k,rl,
ctil
(a.5), prin
;oJlt1irc,,u
,2(l).
sc
obtrine
. t
(r)
<
M
1t(t)
+
d(t)u(t)
Vr
€
[r0,
6].
inrnrrl{irn
aceasri,
relalie
..
"-'l'i''i'irr,,,,
,,1r1"-
;['(
lot1,1r(t)"-;{
'(')o'
<
f.,,,r
,1
_1,.,..
J,,,
(
M1i,(r)c
"'
,
adLca
; ly(t).
,"
]
1
,,rf+1t;"
'"
Integri[cl
de la t0
ia
I
gl
inin(]
l'
,onr(iy,/0,.
n
oL(in,
,n
r,,r--
J
''a
't
/r,,,.
,'
",-,1"'
-tt
It"] la.
-
i"
,
_-/.".r-
1..,0.
t _l
..,r.
.
-.1/{c
.
l)=
11
- ,4/"
"
.
aqadar yltt -.
juplt-,l.,1,tr<
i1",
-
li.
I
ceea.
cc
rt:vine
la
(4.6)
pcntru
I
) ls. I
t"
Putem
dcrrrolstra
acum tcorema
Cauchy Lipschit,z
de
existenli
qi
unicitate
localS.
'l'noRcMA
4.4.
lize
D o
muilntc
deschisii
in
RxR".1i
i:
D
--+ti;i',
o
juncitc
conhnud,,
Iocal
ltptchttziand
in
aar"icbila
a
dou.a.
Atu,ntt,
penlrll
o,-ice
(t6. r:s)
e
l)
cltstd.
b
>
0
9i
crzsld
o
:nLir:d
solulze,p:
(16
-
d,
lo+6)
-
R, a
problernei
Cauchy
(/, to,'c).
DernonsLra{ie.
\bnr
denonstra
la inceput
existenla
solu{iilor
{blosjnd
metor.la
aproxiiitaiiiior
s[cc.rsive
a iui
lii:arri.
-
-.
, ol, .
lre_idiigj
=
iiu
-,.,
/0
+
/rj.
rliegen
o
>
0
qi
r
>
0
asiiei
irrcit
A
=i
i"it6]
x
x8'[zs]
6
D. l'ie
iuI
=
sup
ll.f(t,r)ll
qi
L
constanta,
dc
lipschitzianitate
relativi la
(r,,
)€
a
A,
167
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 170/218
Daci
li
-
0.
plobierna
L-a
uch.v
are solulia
constan
td
gfti
:
4
77
=-
[h' -
ti
'
/
s+ri
'
Plcsrrllr:rorn
{,/
>
0
l:i fie'd
:
rrrirr
(".
f)
C'"ururrl
;
: 16ilpl
t
Rn'
r:orttjnud'
,
ar'
ji,ri-li
'
"
/l.;t).
Fie
.po(t)
:
;r:oVl
€
lrlrol,
tt
'i:,
oLr,rvcr'
,^
;,,-..t'
.,,,1
=
l,
I
I
'.,',r.),d"ll
,1tt,r.
r,is)
,t,1.
Di,,,
io
io
presupuDem c:i
]Ilp,,(/)
.rol]
(r
Vl
e
.I5[le],
ipotozd verificatd
pcntru
rr:
0, rozuil.i
iip,+r(t)
;roil
-<
'\.Ili
-
lol{ x1d(r Vt €
15lf6l, aqadar arn
denonstrat
prirr
irduclie
cir
ll,p,,(/)-16ll
<,
Vl
€
l,rlt6l
sivn
)0.
Atunci,
jLp,+,
(i)-p,(t)l
a
1/
ift"'o"f"ll-
t
/i".,;,,
'(")lli
,r.l.rl
/
",f.)
-
p,,
r(s)ll
<lsVte
4[ro],
Vz)1.
obscrvilm
ca
'J
0
I
p2rt)
s,rr.
t
Ior"t
r',,11
,].<l
I
f
t,,.,""1u,'*1'.
.t ,t
J
la
t0 t0
I
.,r,1 t- ttA.l- trrrt
lnr-
''"l'l "
'u"-l
2
La
Atunci
1p,,
.
1(t)
-
.p,(t)l
<n12"]l:
t'1'{
vf
€
/d[/n].
v,r
)0.
liliu
urmare
\n
+
i.)
,.,, ,.\l
L"+15"+t
, ,.
,;)"Ifi",
""*''t'
r"i//
i
..;i,j1)r
'
rieci'
ci
r
Tcorema
4
3'
-"cria
l(p'+r
p')
<rori-;r'rBc
al:;olrrt
iii (C(16ils]),
l] i-)
".ir.l
.u
s.,iL
,iiii,j.r-nlitu
,
f,y
t"'']::
,
t,
-,^.---+'i.^-l^"'-{'r'.n1r.,,1,'iIol
ir:l
Fie
rp
:
9,r
+
(rr'+r
-
q:,,)
definiti
pe
15[t6].
Atunci
ir
:
l11n
9"
irr
,l:0
,a,t-t ,ll ,.'^.i ,
^
-.
,
-
^
^
-
, i
-
, .
,
.
-
/.
+
n.-"",,,. l /l-
-,
,l r"
.,,-
ir l,or
t,,r
rl
r
z'
ur'
<
Lllq,,.(")
-
9(s)llvs
e
-1;[le]
rc'zulti lim/is,9"(s)l
:
f[",p(.")l
uniibrtr
pe
15it0]
gi
alunci.
f6cind
rz
-
n
oo iri
(a.7),
oblinem(4.3);
deci
g
este solutie
peni.ru
(/,
ro,
ro).
S5.
dcnronstrim
unicitatea.
Fie
r,
:
4lt0l
+
lRa
sohr{ic
a
(/,ix,16).
Atunci
?l
satislace
(3.3).
t
p,,
tlt,
.,0
-
/
/b.
p,,{s7lJs.
n
0.
(r.;r
.t
to
Fie
0
<
d'
tr
ri
asrlel
incir
:
il
/
Il{-.u,t,t]
/ls.
L'(,
,,,,
-ii(s)ll
drl.
Apiii:ircl
Propi
,r"1
-
0 oblinr:m
e(t):
ri(t)
irrchisd,
dmarece
rp
d,
este
dinairte
arati
ci
esr-e
5i
rela
rezulti
cd
]l
: 4[to]. I
Aceastd
teorelnd,
pcrmit
(lauchy
penl,rti
mrlte
ccualiJ
diriul
1 unidimcnsionale.
Sist
cortinui,
b:1+ Ift"
6q1fi1
zolvarea
ccualiilor
de ordil
(
[1j),
teorerna
Cauchy-Lipsch
i.5.
SERII
DD PUTERI
DlFt^-t1tu.
Se
mrrneEte
=
a"(.2
-
zo)",
cu
an € C
Qi i
A$adar,
o serie
de
putcri
Seriiie de
l)ui,eri
ir
care
a" (r
-
ir3)''.
Nurnerele
&n se ltumcsc
r
'l'eorerna
runri,toarc,
cot
studiul
convergenlei
seriilor
d
IEORDT\,rA
5.1.
(Cauc.h,
prirt,:
,A.t,Jnii
1 11.,.; 12 A
".,"..,
.,.,-
2.
Dacti,
R
>
0.
se
riia
(5.1
r
e
RJ
cu
lz
-
41
<
R.
(x
z
-
211
)
R
(sau
pentru
oric
\-
1)
l1
{
''
t_
t
ti,t'-.
168
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 171/218
(4
7)
Dacd,
ci
9^)
in
qi
q/
Fie
0
<
d/(d astfel
incit
l(1',{t6l)
c
B,bs|
Atunci,
V,
€
Id,ft01,
lle(r)_?l,(r)li
:
ttt
f
, rt
-
l/i
LfL"..,,"rt
-
lfs.ursrllasll.l/
r1".u,",1
-
,r[s,,,,(s)l,tdsl
<tl
llct",
ro
to
io
-dG)ii
drl.
Apliciircl
Propozilia
4.il
cu
u(t)
:
lle(ti
-
\t,(t)ii,
,l)
intoci.iii
cu
tr
si
,if{:0
obtincm
p(t):
{(t)
V,
e
Ir[h]. FicE:
{,
€
rdlr0l
l(,,(r)
: y'(r)}.
E
este
inchisl
deoarece
p
I
este
continud,,
nevid5,,
iar un
rationament
asemin[lor
celui
dinainte
arate ci
este
Ei
relativ
deschisd,
in
/5ltsl.
Din
propozi{ia
5.4, Cap.
III,
Qb,
rez-tlta
ta
E
.-
Ialtol. I
Aceastd
teoremS,
permite
s5. afirrn5m
existenla
qi
unicitatea
soluliei
problemei
Cauchy
perrtru
multe ccualii
diferenliale
des
intilnite,
incepind
de
la ecualii
de or-
dinul 1
unidimensionale.
Sistemele
de
ordin
1afine
z/
:
A(t)r+b(t),,4
: I
--+
Mn(R)
continue,
b
:
I
-
R"
corltinu5,
se incadreazS,
in
condiliile
teoremei.
Deoarece
re-
zolvarea
ecualiilor
de
ordin
superior
se
reduce Ia rezolvarea
unor sisteme
de
ordin 1
([1]),
teorema
Cauchy-Lipschitz
este a.plicabilS.
qi
pentru
asemenea
ecualii.
iJ5.
SERII DE PUTERI
DolrNtqIe.
Se numeqte serie
d,e
puterio
serie
de funclii
i,f,
unde
/,(z)
=
:
an(z
-
zo),
c\
o.n
e
C
qi
z,z6
e
C.
Aqadar,
o serie de
puteri
a'e
forma
i,iJlr
la.(z
-
zo)"
(5
1)
(5
2)
_
Seriile de
iruteri
il
ca.r'e
ao
e
iR
Vz,
z
=
r
€
lRr
z0:
ro
€ IR se vor
nota
\-" r.-.^r"
l)
-"
''
Numerele az
se numesc
coefici,enli
ai seriei de
puteri.
'l'eorema
urmdtoare,
consecinld
a
Propoziliei
1.8,
este
fundamentali,
pentru
studiul
convergenlei
seriilor
de
puteri-
TEoREMA
5.1.
(Cauchy-Hadamard)
lCe
seria
de
puteri
(b.1)
qz
7te
R
definit
prin:
d.acd. Ei*i,Ql:
o<>
dacd,
Lim."/EJ-o
dacd.
lim^i/E.l:trO.
Attt.n.ei
l.
Dqcn
R
-0.
seria
rcnuerg
nunal
pentnt:
-
20.
2. Dacd,
R
>
0,
seria
(5.1)
este
absolut
conaergentd,
pentru
orice z
€ C
(respectil)
u
€ R)
cu
)Z-
"ol
<
R
(lr-rol ,'-R)
gi.
este
d.i,uergentd
pentru
orice
z
e
(:
cu
l"
-
"ol>
R
(sau
pentru
ori.ce x
€ R cu
lx
-
rsl
> R).
169
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 172/218
3.
Dacd. R)
0, seria
(5.1\
este uni,forrn
conuergentd
in
d,iscurile
D,lzol,
pentru
orice
r
<
R
(respectiu
pe
interaalele
[16
-
r,
;r;6
+
r]
pentru
orir:e' r < R
).
Delaonstratie.
Dcoarecre
VE6-;J\
=
P
-
z,)
\Ia.),Yn2 ,
dacn
(
iftJ)"
rrlr
osrc
rna-rginir.
rezr
ra
lim
:
-'-,JlJ
o"l
>
lv:
/
20.
cipci.
corf.rm
crt
Propozitia
1.8,
scria
este
divcrgentl
Vz
f
zo
gi
esle
evidert
convergentd
pentru
a
-
ex.
Daci
I
daii
il
(5-2)
este
fiiiii;
qi
nenrrii,,
a'r,r.trrci iirtr
X
t"CG
-;,fi
=
liz
-
zo .
$i
corrform
acciciasi
Propozilii
1-8,
seria convergn dacd
lz
-.
|
.
i -
R
5i
diverge rlacd
l
l? -
z0r
>
j.
tn carul
I=0avemryl/6,.,-r"L=0VzFC.der-i"criaconrp"Sc
Vz e
C
qi
pentru
l?
-
oo 2) este
satisfacutd.
Agadar, 1)
qi
2) sint demonstrate.
Pertru
puuctul
3)
observxm
ci, dacd
iz
-
zol
<
r, atunci
ia"(z
zo)"1(
la"lr'
qi
r
<
-r?
irlplicd.
a,r' con.'erge.
Teorema
1.3 asigurd
atunci
convergcnta
uniformi
n=0
a sa.riei
-rn:-nI-r
un\.z
.n) tr ufI.ol.
DoFINrfrFr.
fi, definit
in
Teorema
5.1, se nume$te
razd d'e conl)ergentd
a seriei
de
puteri
(5.1).
Conot,eR
5.1.1. Fic
seria
d.e
puteri
(5.I)
cu
R
> 0.
Atunc'o
f
(7\
=
l
a,^(z-
211)' este
definitd
qi.
continud tn
D
E(zs)
(respectiu tn
(rt)-
R. rs+RJ,
7-u
d.ucd.
z
=
r
e
lR, a"
e
IR Vn).
Demonstratie. Convergenla
uniform'a
in D,lzn] asiguri
continuitatea
lui
f
in 21,
izt
C
Da\zo|. t
-^
-,.^,..
^^t^,,1"
'...i
,,....
ir|ui i i a;d uc
{
uiii
i
i
B(
ii\o 5r
PUar
(q'\
ura @r uier
.
. ..
lo,_,
I
^
Roi'oziTir
i.2.
Fie
u^
lA
peniru
utie t)
t4
qi
i
=
liirr
l-;:i.
,nca i
i
t.
n
tl
1
ntunei,
R
-
1.,
iar daca
/
0,
R=oo.
L
Demonstntie.
Rezultd
uqor,
pe
baza
Propoziliei
4.18
din
Cap.
I,
$4,
cd,
dacd
t^i
o,
llr i
cxi:.la iin,l""
rl=/.atunci
exisrS
8i
lim
d6"
=t
I
r
lan
ExENTPLE.
r
q^"i"
\-
ar
^
^..1n
rro
R
=
x.
unt
z=0
:
2.
Seria
I
n"(2
-
zD\" are
F
=
0.
r,-0
3.
S'tiiie
)-
'
.",,
€
t dii
razd,lr
r.rri'crgerria
li
i.
z--2
n,o
n=0
Dirr
Tcorema 5.1
rczultd
cd
mullimea
pe care seda
(5.1)
convcrge
poate
conliner
in afara
discuhri Dp(26),
qi
puncte
din
fiontiera acestuia.
In
exornphrl 3) de
rnai
/-
sus. tla,ci
a
>
1,
01Jr
(0)
cs
convr:rgen 6
este
D1l0]-
{.
esl.c /)r
f
0).
(-tpcraliiie
cu serii abr
PRoPozrlr,\
5.:1.
I'i(
l) - Ll',,(
:,r)"
cu
??-mirr(R1.Br),
af
(z)
+
iJ
f(z')
e(:
.llaLlar
ruza rle unuerllen
Denrorstralie.
(5.3)
rr
\_
t".t,
-
-"t"
ocrrnr : €
dacd :
e
/)6,(zo),
seriile
)
i,rr
\--
a,.l:
-:nr^-b.,
r.l:-
z-
,-.r,1^i
^h
=
c 1 /1
()
propdetate
ilnporta
lcgatd de comportarea
seri
PRoPozrTr,\
5.4.
Fr.
11.
>
0.
Atunci, saia
deri.u
Dernonstratrie-
f)eoare
Ei
(
i,/iC)'
ar,ind aceleaqi
TnoREr,r^
5.5.
Fie
\
7t
€
N.
?:,
zo
€
lR. Dac
170
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 173/218
pentru
-
zol,
qi
dacd
la"lr'
si
seriei de
in
21,
cd,
daca
contine,
de
mai
sus,
dacX. a
>
1, Art
(0)
este
in
mullimea
de
convergenld,
dacl a
e
(0,
1] mul{imea
de
convergenti
este
,r
tOl
-
{
1}
($2,
o<emp}ul
2),
iar
dace
a
<
0
mullimea de convergenli
esle
Dr(0).
Operaliiie
cu serii
absolui
convergenie
se regS,sesc
iu
cazul
seriilor
de
Duiui'
PRoPozITI^
5.3.
Fie
f
(z)
=
i,".tt -
zs)n
cu raza
d,e
conaergenlri
'Rr
>
0
si
gQ)
:
Lb,,(z
-
z1)n
cu raza
de
conaergentrii
n2
> 0.
Atunci"
dacd
lz
-
zol
<
R,
ft
=
mh(Rr,Itz),
af
(z)
+
1oQ)
-
l{a""
+
Ib.)(z
-
zo)"
Ya,0
e
c
(5.3)
(5.4)
AEadar,
raza
d'e conuergenld'
&
seriilor
(5.3)
Ed
(5.a)
este
mai
mare
sau egald
cu
R'
Demonsttagie.
(5.3) rezult5
linind
cont
de
convergenla
seriilor
i
a'(z
zs)'
qi
lA,("
-
z6)"
pentru
z
€
D
s1(zs)
iax
(5.4)
rezulii
dln
Propozilia
2'6,
linind
cont
c5',
7r=0
dacd,
z
€
tn(20),
seriile
a"(z
-
zs)"'qilb,(z
-
z6)" stut
absolut
convergente,
n:0
n=0
iarf n1(:
-
znJkb.- .lz
-
zq\"-k
=(z-z$"laeb.-h.=cn'G-zo)n'
t
ii=0
*=0
/-^D^,\L
i?I
/1
-
\ \-
-
'
-
1
v- .
D /n\
t-
t
- c
r
l"l
<
llj
llJt1(Jr.chuu
'
\r
-'1,-'
n=0
O
proprietate importanti
a
ieriilor de
puteri
cu
raza de convergent[
nenuli
este
legatd
de comportarea
seriilor
dedvate.
PRopozITLA.
5.4.
Fie
la.(z
-
z(J)n
o
serie
de
puteri
cu
raza
de
conaergentd'
'=o-
R
>
0.
Atunci,
seria
deriuatd'
lna.(z
-
zs)"
I
are aceeagi'
razd
de contergenld'
fu:l
Demonstratric.
ps6alsqe
linr
m -
l,ffiVFiA:
$
ilil,
oit"'lte
(
(lni"l)"
n=O
f
(.2)
.
s(z)
=lc,1z
-
zs)n cu cn
=l
a1,b-
1,.
r=0
r=0
Fe \-
Dacd.
171
$
(
t"Ila"D
"
avind
aceleaqi
prrncte limiti. I
TEoREMA
5.5.
n €
N,
r,c6 €
1R.
an(x
-
rd"
o serie
de
puteri
cu
dn e
R.
pentru
orice
seria
are
raza de
conuergenld
R
>
0,
atunci
functia
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 174/218
JQ)
-
la"@
-
r0)" estc
de
clasi
C-
irr
(re
-
-R,
ao
l
Ii)
gi'
pcntru
orice
&
)
0'
a*-
H
(5.5
)
Dentctnsttaqie.
Conform
Propoziliei
5.4,
scria derivatelor
de
ordin
ft arc raza
<le
corrvergen6i -E
pentru
oricc
fr
)
0,
deci
cotrverge
uniform
pe
lz6-r,zs+r]
V0
<
r. <
E
Ei
atuniri,
conform
Propozilici
3'3,
/
este
derivabili
de
l; ori
pe
(16
-
r',211
+
r) In
phrs.
/{r)(r'1
=
"1"-r1
."(a-&+1)4,(r
rr0
)"-},
deci
/(r)(ro)
=
Alnl
qi (55)
n=*
rczrrltii. I
6.
f
(r)
/?^ l
DEIIN]
lE.
Seria
)
---;-:-
(r
-
to)"
se
nume$te serxa
l alJlor
a
Jun(:IxeL
I
{:u
ul
D=O
rcnh
ul in
z6
(dcsigur,
f
t""buie
si fie
tierivabil{
de
n ori
in
zo
pentru
orice
n
€
N)'
Aqadar,
Teorctrra
5.5
afirrli
c5.
daci o funciie
I
este
defirriti
de o
seric de
puteri
.u
,uri
,.1"
con
ergr:n [
nenuli,
seria
respcctivi
este scria
Taylor a
lui
l
Se
naqte
fircsc:
intrebarea
dacl
pcntru
/
e
C-
(r:6
-
l?, :16
+
i?), R
>
0,
seria
sa
Taylor
defineqtc
pc
.1.
Ci
luclurile
nu
stau irlioxdcauna
aqa o
dovedeqte
cxemplrrl
dat
in
Cap
V'
$4,
(^
-p1i3
filvlor
a
iun,gici
,lrrr ={o
''
t'^u
in rs
=
Q
funrl
iderrtic
nttl
--\ceast
a
-
t0.
r{u
iust
ificir
dcliniqia
urrrltoare.
DIFINITIE-
Fic I
un
interval
cleschis
din lR
qi
I
: /
-+
R
o
frinclie
de clasd
C-
/
sn numcqtc
lltol-tanahl:ra
in
rq
€
I
dar.a:
1.
Seria
Taylor
a
funcliei
1
in
ra are
raza
de convergen 5
-R
>
0
qi
2. ftt\- \-
J
'o/(,
ro)"
pentru
orice
z
€
(16
-
Ii.zo
+fi)111.
1'
nl.
n=0
Frrnclia ./
se
numeqte analitici'
pe
I
rlaci,
este
arralitici
in
z'
odcate ar
fi
t
e
I'
Din
Teorema
5.5
r'ezrritl
ci
o
funclie
defirritd
printr-o
snrie
de
puteri
f ., f'
-
j:^\n
ct raza de
con\.e.rqentd
pozitivi
este
analitici
ln
re-
DDFINITIE.
Fic
I) o
mullimc
deschtsa
dtn C
gi
7:
D J
(C
f
se
nuneEte
analiti.cri
in z0
€
,
dac6
existir
rq
>
0
astfcl
inclt
/(z)
=
|
a,(z
-
zfi"
'
pcniru
orire
n=O
;
e
l)n(iu)
ll
r)
,::
^:-r
r..,: ,^ {^"-,,1.
/-, <1
rv6,i
i6ll
ULIDa
(
Liltl
alll
lliell(1 rrrdr
uFJd.
t
("
"
Prirmrl
rezultat
pe
care-l
vom
demonstra
este
Teorema
lui
Taylor,
care
arati
ca
furrcliile
clclinite
prin
serii
de
puteri sint
analilice pe discul
(respectiv interva]ul)
dcschis
de
convergen 5.
TtroitEM-{
5.6. (Taylor)
pulerr.
l(,)
=
conrerq
uin,d
razo
de
r
T.c^1,-"1",
?enIt1,
/)ernonstra[ic.
I@-L,
n=0
iri.,,
-
"r
-
Z-
12-
(;dn(rr-ro)
^](2
t=0
n=l
Pentru
a
arita
ci
inlr_ar
ar5,tirn
cii
seria
dubld
f Dl
n=0
i_0
revirre
la convergenla
seriei
'
lz-ol+lzo-ol <
1i.
a
O
proprictatc
importalti
prin
cipiul
idertitdtii
analitice.
'Ioor.r.M^
b.7.
I,ie
f(z)
.
sctit
.o
uprgcnl(
in
Dp(zn),
,
A'llDplzs)
10,
otunrt
flz).
Demonsth\ie.
Fie
i(z)
=
'ie
B
=
Do(7u)
4,.
Atunci
'.inui
puiict
b
e
B
s-ar
afla
un
p
esie
riiui{in.ie,leschisi.
0ic
zr
e
,4/0
Dn(ao).
Dir
l"-rrl<
R-l'.,
-
zrl,
-..
e
L
Atunci
i(z)
=
(z-z1)
u(z)yz
Aqadar
z
este
continui
in
zr
{
u(z)
I
AYz
e
.D.(;1),
dc
unde
al
lui
A,
in
contradic{ie
cu
z1
6
Atunci
6,
=
0
Vn
€
N,
(le
si
rezrrlti
{z
€
Dn.(zo\
I
k
-
uriria.c
.,
irriiiiitiie
rieschisi.
At
conex5.
D6(;6),
ije,.i
B
=
0, deo,
Rezult;
,4/
-
1)4(ze).
Deoarece
Oasr:nvelrr.
Din
(5.5).
va
172
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 175/218
_
TEoREMA
5.6.
(Taylor)
Fie
f(z)
-
Lr"Q
-
zn)" defnild
printr-o
serie
de
putcrt,
attnd
raza rle r:onte.rgettrd
R>
0.
Alunci,
oricare
ar
fia
€
Dp(zn),
are
loc
lk)
=rC"Q
-o.)n.2te.n,tru
orice z culz-a
<
R-lzo
ol.
I)emonstratrc.
f(4=La"Q
-
a+ a za)"
=Lo"rC::("
-
ru)"-k('
a)k
-
=)
l)'Cj,r"(o-:o)"-ft1{z-o)},dac5,schir,rbarcaordiniidesurnareestepermisi.
zr
L/- "
"
-
l'
Pentru a
arlta
c
inlr-adevir aqa este folosim
Teorema
2.3. Flstc suficient
s5,
arS.tEm
c[
seria club]f
ttla"C.j(a-2,))"
k(z*a)rleste
convergenti. Dar aceasta
n-0
t=0
_
revine
la converllenia
seriei
I
la^l(la
*
zsl
+
z
-
al)",
care
converge,
deoarccc
n=0
lz-ol+lzs-al<R.
I
O
proprictatc
importantS,
a functiilor
alalilicc cstc cca cunoscutS, sub numele de
principiul
identitSlii aralilice.
I FoREMA
5.7.
fit
lle)
=
la"Q
-
zs,)
sr
g(z)
=1t
"1"
-
z())- d.elinite de
n=0 n=ar
serir
conuerqe.nlc.
tn Dp(zn).
R
> 0.
Fie
A
=
{z
e
Da('o)
|
f(")
=
g(z)}.
Dacd
A'l1DR(zo)
f
0,
alunci
f
(z)
-
l(z)
penlru
orice. z
e
Dp(26).
Demonltra\ie.
Fieh(z)=
f
(")-g(,)
=lc^Q-zo)".
Atunci, i.(z)
=0Vz€A.
'ie
B
-
Dn(zo)
-
,,1'.
Atunci
B esie
deschisS
in DR(zs)
(dac5,
in
orice
vecin;tate
a
uaui
punci
l
C
B s-ar afla un
purict
diii
,4' ar rezulia
D
6
,4').
AritS,m cb A')Dn(zo)
I
rr,
||tu|{ll
e
uFs(
,t
t(a
Fie zr
e
,4'lDn(ze).
Din
teorcma
precedentS..
h\z)
=
r,i"(,
z1)"
pentru
t,
".1
.-
R-1,.
-,^t
,.:
n,-t"..\
.i^
-
""r
-",
-r"
-.,iii-"r.,..r "..;
+n
Atrrnci
A(z)
=(z
z)"'u(z)Yz
,.;ulz-41
IR
z1 zol,crru(z)=lt^*r1z-2.)P
a=
Aqadar u cste continuS.
ia z1
gi
u(21)
=a^
+0,
rezultind
cX f
a >
0
astfel incit
,,/'\ J lrv,
-
t\
(,.\
A-,,-l--i a,,\ / rrv.. /) /, \ I. l-i ,
^"
a
-^"^,.
i-^,^t
t.lf t,
rl
al
lui
i,
Ln cont radic{ie
cu
:1
(
,4'
Atunci
f,
=
0Vn
€
l\, deci h(z)=0Vz€D6(20)cul"-"rl<R-lz1
-
znl
qi
rezultS,
{t
e
DnOo)
I
l"-
"tl
<
R-lrr-
zol)
C
A'nDR(ze)
carer
este
prin
ur||r.1rl
r)
fi|ll|lt,
e
uPs( t\d. 11ru
rt
/r
{srP
Stjlluttall ]
(
t\a
lt
uesi lba t rllut(tI
La
AJ
(urc^d
,Irtz0t. u'1r D
j
v.r.
u(ud.rcL(
pr
,
rpoLrz.r
n
I lrp(_0, f
v,
[ FZr
\
dP.
rrr.
3 r./.
Rezult.I A'
=
Dn(zo).
Deoarece
I
este
continui,
A'
c
A
gi
at:ur'ci
A
=
Dp(zt)). I
C)nsrwllrl.
Dnr (5.5).
valabili dupi
cum am
nrenlionat
qi
in
cazul complex,
se
)
irr
cu
$4,
ca
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 176/218
obtire
si
o,
=
b,,Yrt
e
N dacd
are
loc ipoteza
Teoremei
5 7
In
particular'
truilirnea
rildcrinilor
unei
fitlclii
aualitice
ncidentic
nulc nu
poale
avca
prrncte
de acumulare
in
dorr.nrriul
Jn
anrlit icit
at
r'.
Propi-ic'ui'i;le
iruporiairtt'pe
care
ie au
iurlcliilc
anaiitice
fac
rrtiiS
cxisienta
unor
criterii
t::rre sd
asigure
itceasta
proprietate
lrontru
lirnc{ii1e
de
variabili
rcalii'
ulul
dirllle
a.cesl,ea
este
dat
in
propozilia urmitoare'
PRoPozITI^
5.8.
Fie
I
:
@,b)
-
R,
de
ct'asd C-
pe (a'h)'
;i he
t:o
e
(.a'b)'
Prtsupu,nr:nL
id'
eri.stri
r
>
0
9i.44
>0
ostlel
inciL
aricare
ar
f'x
€(rn
r,:r0*r) C
(o.b),
l/(")(,r)l
{LIn
1tentru'
or?:ce'n
€
N.
Ahtnci
J
este
Qnaliticd
in
h'
Demonstratie.
Vom
ardta
ci
seria
'Ihylor
a
funcliei
.f
crr
cent'rul
in
jrg
este
corivcrgenti
la
J
pe
(16
-r.r0+r)
r/(,,)lrn)(z
ro\n
| ,
L,Inr,,
Fic'i'Fl'ra/.r"Ul/'l.dc(i'rr6,.lliiatunci|tr|.<,,r
3 t,tl.t^
Vn e
N.
Din Coroiarul
1 8.1
rezulia
I
#
este
convergerta
qi
al'unci'
couform
Tcor, rrrci
'.3.5e115 Jsvlol
i
/'j,t"',,
Jnr'
eslc
ab.'-'lut
)i
unilorm
cr'nvcrqpnta
n:0
pe
[r0
1.ro+r),
aqadar
raza sa
de convergenld
este
>r'
rr
rik) i
-
,
Fie
S"(r) - | J 11 11;6 zo)l
suna
parlialf a
seriei
Taylor.
Deoarece
' z-
/'l
l:0
5,.(r)
-
7,,1r',
,'n1
:lolinomul
T'aylor
a1
lui
/
in
16.
conform
Teorcmei
4
1'
Cap
V'
4
pentrlr
:r
e
(rs
-
r, a9
-1-
r).
1
L
i
-,-
,,. ..
.,",
..t
-
.11n+rr"+1
lltlt
S,t,
r1
--
;,)
J
I''-
'Utt.r
-
i
)''
dllt
-;
'
tr:
I i\ /rV
Crm
,tim
+
:
0.
rcznlti
,lI -
S"
=
/
uniform
pe
lrs
r,16
*rl
qi propozitia
este
dcmolrstratd.
I
ExTjMPLUL
I.
Funclia
eixporlentialo
de
bazic
f
:
R
-
IR
/(r).=
e''
/
e
C*(R);
aacd
"o:0.
/(")(0)
-l',Vn.eN
-si
dara
r >
0
iar
lrl
<,r
av'm
l,rr')(r)J
:er(e'-
Taylor
a
lui
"
t";
.
cunvirge
a
o'
unil'rrm
pp
I-r,
rl
Vr
>
0
deci.
unde
dedui:etn
aproximativ
e'.
Perltru
calculul
lui
c
I
iiinrr\:a
c t .t-
<
-1
2
1;\
11
tL
lL=0
-aq
R-tnl
<. -
-iri'+'(-
'
''-(/,+l)l (i
ExFr\lPLtrl
2. hntcltile
sin:lR
+lRgi
cos:R
I
cost'lQ)i
(
I
Vr
€
R,
Vn
(
i
a
luncliei
cos.
are
riua
d'
cos0
-
l
c}.r{incm:
Calculul
aProxintativ
Cap.
\i.
(4.
deci
Pentru
sir
iar
pclltru
co-q
.1-
(/ir,-i(.r)
-.,irLr
)
(-
t=0
Aceste
estim;ri
Pcrmi
este
recesar
ca
Prin
fornu
sin r
$i
ccs
r:
la calct
ul un<
f\rnr:1iilc
sin
qi
cos
sin"
Pcr
=
si
r.,
cos(zr
- r)
=
-
Desigur,
la
lci
ca
ir toate
rr
prirntrtii
in radiani,
aceasta
sul I
lim
-
=
1.
calc
amlcl
.r l0 .,
precedente.
ExEMPl,uL
3.
Funt:{i'
"f(z)
=
iri(1
+
z)
este
r,r,r-
1
=\-
\_/
-
,i
-\
/,
\rrrl
n_(
Aiuiici,
i:riiifoiil
ProPozili
Lrlr+r)=f(-t)"
n=0
+r"
-
/-.
,'\
Pcntnt
a
calcula
aproximativ
valorilc
lui
e"' folosirtd
seria
Tavlor,
evahiarea
restu-
iui
ciin
aproxitnarca
cu
polinomtrl
Taykrl
datd
in
Cap.
V,
$a'
n,(:r)
:
,.-.r"
t'
r >
0,
nu
cste
convenabili
cind
:r
este
mare
Dace
considtrrdrn
'r
:
m
+
q
.u l,
<
l
(aladiir
rn
: frl
s.rrun
=
lz
]'
11)
qi catcul[m
aproximativ
pe e
(de
''
2
T7J
(5
6)
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 177/218
_l
multimea
in
unor
rur-rl
e
(o.,
b).
C
ee
este
,
AI"
r',',
z
conform
Cap.
V,
c-(lR):
pe
(5
6)
rcstu-
-.,.,
-
e
(<1e
t,,i
",r
=
\-
L
+
R-
lo)
folosim
Lr
k\
unde
deducera
aprrlximativ
pe
en)
qi po
cq,
e"-
Pcrrtru
calculul
lrri
e
s-a
dcnolstrat
in
iar
pe
tru co-.
pute
] deduce
o aProximarc
Pentru
Cap.
I.
$4.
Propozi{ia
4.t1(d),
cs-
ExEttPLUL
2.
Frut
r:liile
trigornmetrice
sin
:
R
+
1l{
gi
cos:
R
-r
lR
satisfar:
ipotczele
Propozilici
S8:
lsin(')(r)
11,
jcos("](.r;)i(
I
V:r
€
R, Vn e
N.
Atunci,
seria
Taylor
in r
-
0,
atit a
funcliei
sin
cit
qi
a
lurcliei
cos. arc
raza
r1e convcrgenli
l?
=
co
qi,
avind
in
vcrlere c5
sil0
-
0
Ei
^--n-
I
^i.ri.,.nn
,;,,
=
f1-r)t'
rosr=fr-lrt
Caicrrlul
aproximaf,iv
al
valorilor
se
face
Cap.
\'.
.1.
deci
pentru
sin avern
t-
2n+3
.R2,111r)1.
d;t
i- L2
rril
lirr,,(r)l
(
&.fr
_ - r'2t.
t
,:
L
r.:L
{/i:.,-r{rl
=,lr'r-
Ir-Ilr#
--respccliv
r?zn{.rr=
cosr
-
ll-i)";-\'
-r_,
'r^
l)l
I-o
t'^
t'
Accste
,:stimdri
pcimit
aproximhri
bu'e
cinci
vaioriie
irii ,'
Si't
siit'iiiii'raie,
(lc.i
cste
[ecesar
ca
prirr
formulclc
culroscute
din
irigonometric
s5, reducem
ca]culul
Iui
sin
z
qi
cos
r. la t:alcuhtl
unorvalori
pentnr
"
a
10,
;l
Rearnintim
irr
acest
context
ca
funr:liilc
sin
li
cos sin'L
pcrioriice
cle
pcrioadi
2r' ch sin(a
-
r)
=
sine.
sin(r +
r)
-
- -sinr,
<ls(r
--
r) - -tosl',
cos(?i+r)
:
-cosu
ai
c; sil(|
-.) = "o"
n^-;d,,- r f^l .., ,1, +^qro rnlalrlio mnilnie alo
enalizei matemaii(:e.
r
arc
1.?loarea
ex_
prirrutll
in
radiani,
ar:easia
permilind
cleducerea
din considerenl,e
geometrico a
valorii
lin,
ttn"
-
1.
care anircleazd,
sit'
=
cos'
cos'
=
-sin
qi
nai departe
dezvo]tdrik:
preccdentc.
ExE\,tPt,uL 3.
finr:lia logaritm
rttthtral
(in
baza e).
/(e)
-
ln(1
+
ir)
este
definiti
pentru
;l
€
f-1,
cQ)
r'l'\
-
r
=
Vt-l)"r" conversenld
uniforrn
Dentru
r
€
f-r,rl
c
(-1,1).
,r ,
-\
/,
\r
r.ri
D-_o
D-^^-.-:.i^l'l I
11|LrrrL|.'( r ]IrLr
€
-r+l
il(t
+.r)
-
5-(-r)"
''
,
,
Vr e
(
1,1),
uniform
pe
l-r.rl
c
(-1,1).
t-z r+1
n=0
775
r-"'
Ah,
+
1)l
(5
7)
(5
8)
dr:dusi in
12k
lz,kI
folosind
formLrla
restuiui
(5
e)
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 178/218
&
-,
+
Rrmar'
hrn
ca
s, rid
t(
-
11'I-
,
"unu"rg"
ii
p^nt
ru
'r
-
I
fapr'ul
cd'
surtta
sa
n-O
pertru
z
=
i est'"
ln'il
cd seria
couverge
ttriform
pe
[0'
1]
la
ln(l
-F
r)
va
reieqi
din
urrnltorul
rezultat,
ai
lui
Abc]
TEcRnl''lA
5.9
(-^-bel)
r''"
J'(t)
-
i
o'("
so)''
o"
€
R Va
e
N'
:r'
r:e
Q
R'
seria
autnd raza
rle
conuergr:nJit
ll
>
0
Dacdla^R"
esle
tonuergclLld
Ei
are
suma
l'
n=0
,""rolo^p
-
xn)'"
conurgc
unzforrn
pe
116,,
eq
*
El
:i.tim
J(r)
=
l'
.=
€-
I)emonstralie
Fic
s",,0
=
I
uoRn
Convergenla
serrei
f
o"fr"
implicl'
pe
baza
crir,eriuiui
iui
Cauchy,.eV"'.>
O
3
n.
€
ii
asci'l
tlrri
Yn
)
tt" Yp)
i'
l"''.0I
<
u
Fie
r:
€
fto,
:ro
*
R),
n
)- rt,
P )
I'
lr,,+,(r-ra)'rr.r'
+
on-p{''
"ro)'+Pl
-
ln"
"n^t'({:jt)'1-i
'
. /r-.1.^\',-pt |
/.r-
,r,'\"+
/x
J0\"
:'
-o.,.pt"+e(1-
jr')
'l-1""
(-"
)
-(s,,,-"".,11.
-
I
+
'{I'p
./r'-,r0\'+'l
,^
',."
-',.i'*'-
/'-',\'-'l
-,,
r111-:';'*'-
-'.'-,)\
n,)
l=l"'i\
n
/
-\
11
t
l'
rr
-.r'r,
rn+31 l';
-
i',
rino- 1'
-
16
1"'r' .
/*
-
il\"oi
.
-("-"
) l-
',"0-
r( F
)
-l
r
.l
.l*"P\
n
/
:
'-;1T
-',,
,':- i
r
r0\'
j:
1r1
'"u1
"
/1:jo\"-1
-
(l-1'1"-o-1
.'l{,
ft.
1
\
n
i
i-l-TI
\
A'/
-
_t
it
)
/r-r0\n'f /r-'r0\"''
-.1":-gl''
<
e
.
aiadar
seria
f
o.(r-
rurn
con-
(
,'
J
'\
H
)
l- |
n
i
i-u
verge
uniforrn
pe
lca,
rq
4
E]
qirul
sumeior
par{iale
liind
Eir
Cauchy
in
spa(iul
tsanach
(c(ir6.
craltl),ll
ll-).
Rezulti
cE'
Iunclia
f
: 116'
so*'?l
*
R'
/(r)
=
a"(c-to)"
estc
corrtittul
qi
atunci
lir.
f(t)
=,f(r1
+
n)
=
io"f
=
l
t
"=o
r...olB
n-0
lrxltlt't.ur
;t
{conllnrlarc)
Dtn
Lpor{nra
pr,cedcntb
rerulla
irr2
-
It-tt'';
n-\
lbrnrula
(5.9)
pernitc
calc-ulul
valorilor
lny
pentru
I
=
t
+"'
"
e
1-,1,i1)
folosindu
se
pentru
estimarea
eiorii
najorarea
restului
datS'
ac
ln"(c)l
<
"
,.,
2
Pentru
lrl
=
1.
aceasta
irnplicX
un nurnS'r
foa'rte
mare
de calcule
pentru
a
se obtine
.pt"""tt"tii
care
sint relafiv
cleparte
de
vaioarea
adevi'raf
i"
Este
preferabili
o
alti
rnetodd.
l
)cr )jr rPr
c
ll t
(
I
1
.t):
L
l.
lrr-
i,
llrf
-
:
'2
Pclltru
J
=
l-:r
.,
\-
'
'
-_
-'
1-
3)k+r
2A+1
-
ln
lnrrle exacle trebuie
lual n
=
/1 I 1 \
ln
2,l 2l
+
-
+
-
l.
\d
o
'
r
/
i,,
-.--,"t
.-r,,.;,,
-,
o
(r
gi
aturci 1n
y
-
nzln2
*
lnQ,
Pentru
culculul
lui lnq
rl r I
q€
-.11
-.,,,€ L-' t2 )
t
x
t_
2l+1
^
\- 1r,r
h al1-
_
k=n+l
Observin
cd
prin
a"
:
calcrrlul
aproxirrativ
al
putel
ExeATPLUL
,1.
Funclia
I
Dexrart:ce
/(e)
:
s"l"(
:ala Il l,,-,+I\asi
Fblosind Clorolaml
1.9.1 dcd
Restul,
coulorm Cap.
V,
$,1.
ala
It"
(rJ
:
--].
f itr-\,,
I
n.
l - l- r-\
lr
dr
Atrurci
(1
+
t)"
I
(
h"
(e)Vt
r76
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 179/218
l,
tl
5
-ntl
Deoarece
lr,(I.t..)
-ft
tf
"
,,lnr]-r)-
-\-
{"''
-
It]-l
z-n+l
r'=u
n=0
-
-t +
"r
.]
rz"+r
lnl
-: 2)
:_
V;e (
1.1).
:-O
rI
-r
L
r x
r.
de"i
ln2
_
,i_:=
iar rn2
_
s"
_
l_a:2oentru-f
_
_
z_t32ntt2n
t
1
"S
I 1 2
r I
I
:'
rk.,Ft+r
r1r*1<
,r+33-+i-:4t+O3,,rr'
deci
pentru
3 zeci
male
exacte trebuie luar
n
:
2 (in
comparaqi&u
n
:
1000
in varianta
seriei
altemate):
lr 1 r \
tnz'=2(j*y*l+/
in
general,
dacd
y
>
0, scriem
9,
:
2-
.q,
unde nr
e
Z.
|
<
U
<
1
(zn
:
[log,
g/]+
1)
qi
atunci ln
y
:
mIn2
+Inq,ln
2
calculindu-se
ca mai inainte.
lenrrrr
calculul
lui lnq
folo"im
rol
(5.t0).
S-:-',
<.a.ro
-
1
-2
,i
I
r.s
I+q
rl I r l l I
"2"-t
.
Lt
1l
">
t, .
|
- ;.01
Atunci
Inq
,L,
"f*,
iar
llnq
-
s,r(
.,
q1
ltr''o-'
.o $
,
1
l
"
r?,,
2A
I
I
*'
oL-,,}2tt,
zk
--l
-
tt;+B)it*l
Observdm cd,
prin
oo
:
eol"a
metodele
prezentate
mai sus
se
pot
folosi
pentru
calculul
aproximativ
al
puterilor.
ExENipLUL 4.
Funclia
"f(")
:(i+u)d.a€lR,ze
{-1,oo).
Deoarece
/(c)
:
s't"1t+"1,
/
este de
clasd C6
pe
(-1,oo)
qi
/(n)(0)
:
:
cr(c 1)
..(a
-
z
+
I) aqadar
seria Ta.vlor
a
irri
/
in
0 esie
(5.11)
Folosind
Corolarul
1.9.1.deducem
convergenla
absolut5
a
acesteia
pentru
ul
< 1.
Restul, conform
Cap. V,
$4,
este
-
o{o
11...t,r-nr i
Ii'(/r
:
-
(n
-
t)
j
it
-
L)"
(i
-
/)o-r- 7.
0
1.i."
A
/-\
1{l
+r)"-t
daca
z
e
10,1)
cind o)1qi
dacir
e
(-1,0]
cindc<
1
l1
dac5.
r
e
[0,
1)
cind o <
1qi darcd.
c
e
(-f,b]
cind
a2t
Atunci
(1
+r)"
r(h.(u)Vt
e
[0,r],
Vr
€
(
1,1),
Va
e
lR.
t77
(5.10)
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 180/218
Oblinem
lli"(r)l
E
tle
variabiid
t
=
rp(s)
=
sr
ob[inem
la(a-1)..(n-l)l
ilr-"""
1n"r"r'
.
ffiho(t:,tl+'
/(,-)
o'"
o(,r
-
loio-1)
(a
n)1
,
(n
{
1)l
(z)
lr 1"+t
*
O
Prin
schimbarea
(5
12)
(5.13)
(5.14)
c'
-
e-"
prin
shz
=
--
2
qt
z
€
C'.
(5.15)
Din
Propozitia
2.6
e'
.e'-
=
e-
'-'
Er
oe(I
I
Au ioc
qi
urmii,toare
PRoPoziTl^
5.10.
i
Pentnroricez€C:
dcti,:
cc
A
s
em dn
d,t o
r,
pentru
oric
l)cnonstralie.
Dcdr
schimbdrii
ordinii
de
sur
care de roeficien{i.
Forrr
Deoarecc
pentru
z
(resper:tiv sh
qi
ch) toat
rdmin
valabile
pentru
or
asemerrea deduse din
(5.1
cosz
z
+
sirrz
z
-
1,
ch2:
Observd.rn
totodatd
ci
d
Funcliile siri
qi
cos i
pe
care
lc
au cind
varial
a areia
acei$ta
sint
nec
propunem
ca excrciliu.
PRoPozrlr^
5.11.
a)
sh
iz
-
i sin
z; sirt
b)
chiz
=
cosz;
cos
PRoPozrTrA 5.12.
Dcrronsrratie.
Fie
+
sinig
mszl
=
lsinrch,
".
;-^"".,.. li'n
('r,
-
''
'""
';;'"r
Jinind
coni de
(5.i'
explimS,
prin:
pentru
ori
Un
rezultat
general
€ste
pentru
t
+
@.
-o{a-lt
.
1o-nF1).r",,c€(
t.
l)
Aqatlar.
{l+
r)"
=
l-rL
n
n=I
-
Seria
(5.11) se
rumeqte
serie
binomiald
deoarece
in
cazul
a
=
m
€
N se
obtine
lormula
binornului
lui
Nelr'ton.
Seriile
Taylor
servcsc
qi pentru calcularea
primitivelor
unor
funclii
real-analitice'
IIxEMPLUL
5.
Fie
/
:
R
t
R,
f(t)
=
e-]
/
esle
dc
clasS'
C-
qi
nu
are
o prirnitivi
exprimate
prin funclii elementare
Deoarece
seria
i
iT4
:=o
converge
uniform
la
/
pe orice interval
compact,
pentru F(r)
=
/l[r)ar
uo"'n
0
r(,)=i##v,€R
Observi.m
cd. scriile
(5.6),
(5
?),
(5.8) avind
raza
de
convcrgenti
R
=
oo
sint
convergente
absolut,
gi pentru z
inlocuit
cu
z
€
C.
deci este
natural
si definim'
pcntru
z
c-
C:
"'
=
5-
1=;
unl
n=U
sm?
-
L(-r)"
(,2e
+
1)l;
rc
-2i
.o"'
-
I(-t)**^
--^
\zE t:
in
ptus,
daci
pentru
r
€
R
definirn
sinusul
hiperbolic
t'
t o-t
cosinusul
hiperbolic
prin
ch r
-
+
vom defini
pentru
f
^2*+l
sr:= ,r^.*";
178
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 181/218
_
obline
6i
nu
1irrzn
avem
pentru
(5.12)
(5
13)
(5.14)
2'
,.h,
=\.-
"
k:z1n
lzk)l
Din
Propozi{ia
2.6
qi
Propozilia
5.3,
relalia
(5.4),
rezultS
uqor
ez1
.ez
-
":r+:r
qi
deci
ez
.
e-z
-
€0
=
1,
a$adar ez
l0y
z€C,.
Au ior
Ei
urmat.rrareie
egaliraqi.
PRopozlTr^
5.10.
(Formulele
lui
Euler)
Pcnl.ntorirezCT:
oi-'=
gg52
1
jsin2,
deci:
(5.16)
(exerciliu )
ci
(5.17)
(5.18)
(5.1e)
erz
+
e-'z
cos .
--
-l-
ll
Sln
2
=
Asemd,ndtor,
perr,tru
orice
z
€
C:
2,t
.
er e-z
-
e'+e-'
sh:
-
--
$Lchz=-
Dunonsftagie.
Deducerea
formulelor
(5.17) qi
(5.19)
este
bazatd
pe
posibilitatea
schimbirii ordinii
<le
sumare
datoriti
convergentei absolute
Ei
apoi
o simplX
idcrtifi-
care d€ coeficienti. Formulele
(5.18)
se
deduc
din
(5.17).
I
Deoarece
penlxu
;
-
r
€
lR se
regdsesc seriil€ Taylor ale
iuncliiior
sin
qi
cos
(respectiv
sh
qi
ch)
toate
forrnulele
care leagd aceste funclii
intre
cle
pentru
r
€
lR
rbrnin
valabile
pentru
orice
z
€
C
pe
baza Teoremei 5.7. Aceste formule
pot
fi
de
asemenca
deduse din
(5.18),
(5.19)
{inind
cont
de
propriet[lile
exponentialei. Aqadar,
cos2;+sin2z
=l,ch2z-sb2z=
1,
cos(21
*
zz)
=
coszrcoszz
-sinzrsinz2
etc.
Observ5m
totodat5 cX din
(5.17)
rezultl
ez"i= 1qi ez+ht
=ez
V z€q:,V
k
e
L.
Funcliile
sin
qi
cos au,
pentru
Imz
10,
qi
proprietflli
siructural diferite
de
cele
p'c
care le
au
ciird
variabila aparline
lui
J?.
De
exemplu,
nu
sint
md.lginite.
Pentru
a
ar;ia
aceasta sint necesarc
urmdtoarele egalit[li a
cbror
demonstratrie,
sinple,
o
propunem
ca exercitiu.
PRoPozrfi^
5.11.
a)
sh
iz
=
i sin
z;
siq
iz
-
ish z,
pentnt,
orice
z € C.
b)
chiz
=
cosz;
cosi"
=
chz,
pentru
orice z
€(:.
ilui,cin
iieirioiis'ura
acuil
uriiiitoai-ea
piopozii;e.
PRoFozrTrA
5.12.
,-lim_
lsinzl =
m.
Dcr
onstatie.
Fie
z
=
r*iy.z
=Rez,y
=
Imz,
jsinz]
=
lsinccosig*
*
sin
iy
cos
rl
=
|
sin rch
g*ish
g
"o"r1
=
,/sT
uh2y
+
"h\ "os\
= $&;iiirfr
qi,
decat-e.:e
iirn
shu
:
co.
propozir-,ia
rezllrS-
i
' t-+@
Tinind
coni, <ie
(5.17),
rezdiiai',il
,iin
Cap.
I,
95,
Propozilia
5.2,
relalia
(5.?),
se
exprimS,
priu:
pentru
orice
z
e
C,
]zl
=
1,
existi
un unic t
€
[0,27r)
astfel
incit
eit
-
z.
(5.15)
Un rezultat
general este
propozilia
caxe
urmeaza.
t79
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 182/218
l)RoPOZTfIA:r.13.
1.
lrerttru
orict.
11
a
C'
eaistd
z
e
C
astfel
irtcil'
'Lu
:
e"
'
2.
Dacde':c'.
atlr'nci
c
sttike
Z
astfel
inr:'it z'-::2ktri'
Derrrorisir'at-ie.
t1)
1.
Fir
r':
j"',.
-\trtnil
,
]
-
i
ci,
pe
baza
reziiliatului
ciiiit
an"eiioi
exist5.
'rr
ur'i,
i-iU.7-
rir
l,iir',rr
|--crr1t-artlu
'ttci
't
tc''
'i
'l
rqatlar
:
-
lnr
*
il.
2.
I''ie;
-
t:irlt,
zt:.r1l'l
igi
clre::e''
At'unci
e'i
: le''lo"r -"t'
'"+L::;r''
l'\e
k €-
|1'
astfel
incit
2kr
{
v t'<2(k+1)tt,d'cciyt:g 2kr 0,0e10'2r)
qi
atur.i
eir'
:
e2Lnieia
-
oiv
irrlticii
ci'
:
1,
Ei
cun
d
e
10,2r)
r-ezulti
0:
l)
'si
yt-y 2kir.
I
Aceasta
jrrslifici qi
rrlrlil,oarea
definilie'
llEFlNITlLl.
Fic
rir e
C..
-Un
iltrmdr
.z
c
C
cu
proprict'alea
e:
:
1, se
rlumesto
logaritnr
nahtral
rnm.ltle:t:
aI
lru-miilrrlrri
rl
Prin ul'tnare
orit:e
numiir
de forrna
Lr
uj
:
ln
lul
I
\ atg'u
'l
2ktri'
A:
e
Z
(5.2o)
cslrc
logiuitn
nrt|ttral
ccrttiple;i
al
lui ir'. Sc
sptrnc
uneori
c5
astfel
cstc
deliniti'
o
nruLl,ifu,Tt
clit
.
Do.i-."r",r,
ca Im
?,
€ kr.
a
l
2rr)
peritru
url
o
€
lR
flxa't,
deterrnirti'm
o unicli
va-
loa.re a
l,n
ur.
\'alorile
unjce
asttel
cictiniir:
fo|mcazir
o ro'nraz
ri
a
logarittnului
complex'
I'iecarc
rauur[
tste
o
lirnclie
Jt(u')
cu
proprietatea
cJf(u)
:
r'
Unor
va'lori
dileritr'
ak'lui
,{
ic corespnrr.l
astfel
funclii
diferilc'
A
clt'ternrira
o
ratnttri
ii
logaritmului
rcvino
la
a
fixa
A
in
(5
20) Rarlura
lo-
gar-itnrrrlui
irt
care
ft
:
0
se
ttunegte
rurrtura
principttld
a
logaritmului
complex
5i
se
l-rotea.zi
hr t/r.
Pentr-rl
u €
C"
(5.21)
za
cdln
z
de.i:,,
_
e,,(LirL:
)tr s:
2L.i)
perriru ficcare
i:
nurnalabilzi
dc
ratnuri
aie
pltterii.
ExE\'ll'Ll,l.
(5
22)
€
Z
Ei
a,vern
<iil
nou
o
rrruiqirrrc'
(5.23)
Daci
a1(t)
qi
02(l)
se
dezvolt
punct ordinar
al ecualiei
(5.
ExEMPLD.
l Dacd
ecualia
(5.23)
r
..
sin
) flcual.ra x" +
-
t
t
,2k
sII - \-t-rrt '
"
t
- /-'
''
l2k+l)
'
t=0
1r
3.
Ecuatia.r"+-r'*ll
't\
punctc
{iild
ordinare.
in
vecinilatea
punctelo
Seria
se substituie
in
(5.23)
ExEMPLU. Fie
ecualia
Cum
r"(t)
=
"i"
-
i
n-2
lleindcx .m
termenii
din
p
n
=
k+:t, *
)
0. Oblin
Renotam
I
prin n
Ei
rezulti
Aleqind
oo
+
0,
or
=
0
qi
a
,1r;="0(r-fr+
ln
u,
:
ln
l'u]
*
i arg ur'
(-lu
aiul;orui
logalitmuhri
complcx
dclinim
pttterlea
coraplexii'
I)I*rNr;,trr.
Fie
:
e
C'.
o'€
C.
Delluim
2o.
l. Ln(
I
)
:
ir
'2k:r), kt:
€
Z
It\-7)
-i1t'
i. I':
"'i,1,'
.:.ei(iir2i-.i)
"
i
it",'7,
€2.
Ramlua
principal[
cste
dcci
e
i.
\t;:i
i-lilieia
paragr;rlul
cu
iil
e:i.iniilli
pii.'iiid litiiizaii:i
seiiilcl
ile
puteii
peiitrll
glsilen
sohr{iilor
u']ol
ecr-lartii'Jiferelliale'
Fie ccualia
'at'
I-
a1('l)xt
+
d2(t)r:0
I)-eoarece
o2
=
0,
toa
marcS.m
cX
din
(5.24) serii
1b0
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 183/218
o
Daci o1(l)
qi
a2(l) se
dezvolti
in serie
Taylor in
jurul
unui
punct
t0,
acesta se numeqte
punct
ordinar
al ecuatiei
(5.23), in
caz contrar
lp
frind
numit
punct
singular.
ExnMPLE.
1. Daci
ecualia (5.23)
are
coeficienli constanli, orice
,
e
R este
punct
ordinar.
2.
Ecualia
,"
+
"illr'+
rr
=
0 are
toate
punctele
ordinare
deoarece
t
sin
t *a. ,
tzk
. - ) (
l)"
-.
est,. conver8cntd pentru
orice
I
€
R.
t
u-'
(2[
+
1)l
1 r ,,?t
3.
Ecualia
r"
r;{'+(l-
,r),
-O
a^repunctult
=
0ca
punct
singular,
celetalte
puncte
liind
ordinare.
in
veciuS,latea punctelor
ordinare se
cauti solulii
de forma
r(r)
=
i
.-(,
-
rr)".
Seria se substituie
in
(5.23)
9i
se
incearcl
determinarea
coefi"i"n1ilor.
'=o
ExEMPLU.
Fie
ecua{ia
xtt
+
tc
=
0.
Ci.utim solulii
de
forma
c(t)
=
i",*
Cum
r"(t)
=
f
"1"
*
I)a.t"-2,
rezult5.
f
n(n
-
t)a^t"-2
*
f
o"r"+1
n-2
n=2
n=0
ReindexEm
termenii
din
prima
sumiastfel
incit n
2
=
k+ 1,_Vi
>
0,
n
=
kl.J,
k
>
0. oblinem 2a2+I(&+
g)(k
+2)aklath+1
+la^t'+1
;-0 a=0
L
[(n
+
2)(n
+
3)4"1s
+
a^Jt"+t
=
0, de unde se
=
0.
deci
=
0.
Renot5m &
prin
n
qi
rczulLi"
2az
-l
2a2
=
0
qi
o,
n3
=
---j'
(n
I
2)(4
-
3)
(5.24)
Aleaind
ao
I
0,
ol
-
0.
at
10.
oblinem
forma
generali
a solur.rei:
r(')=oo(1-*.j}-
)*o,('-rra*
#*- I
l)'eoarece
a2
=
0,
toate puterile
de forma
t3'*2
vor
avea
coeficienli
nuli.
Re-
marc5m
c5, din
(5.24)
seriile din
paranteze
au raza de convergenld
infinitd.
=
0
qi
apoi
oo
181
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 184/218
1j6.
SERII
f'oliRIDR
TnIGONONIIII
RICE
$6.l.
Considerente
generale
LlEllNlTlE.
Fie
/
:
l-;r,
n]
-
R
intcilairili
Hienarrn
Definirn,
peni
rtr
rr
6
N,
Prima
observatie
Pe
aale
converg.
suma
lor
e
context
si
introducem
u
DDFiNITIE.
Fie
f
:
1trin
ptrtodzciIaLc
a
-fu:rc
-/(r,)
VeeR)ri/1",
in
cele
r:e
urnreazi.
inie6rabilitalea
inscnlnir
tatea
pe intervaleie
corr
pe R
vor
1i
inlocuite
ctl
ExE\tPLE
L
t'relungirea
Prir
din
{igura
1
-3it
2
Prelurgirea
Pr
din
fiArrra
2.
linind
cont
ci
considerale
Pe
orit
,t^='
l
J(,r)cosrrrdr
n.l
It
b.=-
I
f(r)srnnrrlr
(6
1)
Numcrelc
a'
qi b",
n
€
N
""
ttu"u-"t
coeficieu[ti
I'ourier
lrigonomelrici
ai
funcliei
f,
notali
uncori
qi
prin o',(/)'
i'"(J')
R'cmarc5,m
cX in
conlbrmrl;r,tc
cu criteriu]
lui
l,ebesgue
de
inteSlabilitatc
R,ic
,r^"^,'iO.il
qi (0.2)
sinl
dctinjte
ca integrale
Riemarn
Forniulele
(6 1)
qi (6
2)
v:
"r-"a.'t-"rf")"
Euler-Fourter'
Se
nurieqte
serte
Fortrier
lrigonomclrzctd
scria
'Je
[unc ii
9t
+ 5-(o,,
cor
rrr
*
b.
sin
nr
).
O
serie
de
lbrma
(6.3)
cu o,,
qi 6.
arbjlra'ri
sc
nurncqtr:
serie
Lrigonorrretrici'
dar
studiul
acestor
serii
ca
atare
nu
face
obiectul
acestui
capitol-
in
c"lc
.e
urrneazi
vom
folosi
<lenutnirile
de
serie
fourier
qi
coe{icienli
lrourier
penlru
seriiie
Iburir:r
trigonomctrice
qi
coeiicien ii
Fourier
trigonometrici
NorATIr.
Faptul
r:
seria
(ri
3)
cste
rclafi'''i
Ia
funcr'i:r
/
('Jeci
au
lcc
(6
1)
qi
(6.2))
se
"a
n<;ta
f
-:9-) (r,,o.,,r
I-
L'.-rrr
ar').
J
,)
182
Seriiie
Fourier
(6
3)
au
inceput
s5'
fie
sludjatc
la inceputul
secoluhti
al
XVIIl-k:a'
liind
dcscoperiti
leqitura
lor
cu
problcma
corzii
vibranle
ir
lucriri
daiorate
lui
,i;,tl""rr"r,',
Daniel
Bernorrlli,
Euler'
Lucririle
lui
Fourier'
incepind
din
1807'
ex-
nr,""'
i;-,,;t.iu;tt,,
analytiqrte
de
lzr
':hal':qt"
(1822)
a'-r
imp'-rs
dorrcrir
aienliei
lumii
rnal,emalice.
teoria
seriilor
fourier
beneficiind
<le
contribu iilc
a numeroqi
rrlaterlraii-
",""t't.""i"t"i;.
'i;i;l";"t".
dezvolti'rilor
'in
serie
l'ourier
trigonorr:etrici
a
pcrmis
;;.;;;;;;;
qi
u
alt.,,
s"isl
erne rle
funclii
cu
proprietili
asemS'nitoare
qi
degajarea
..i1,'fui
t"r.rt.,
il
taie
(6.'1) .tpt"'inii
pe
ls
liiiiizarea
iii-toi
t'ipr'j7'inliii
de
iiP
(6.+)
cu
fun4iilc
6in
nr, cos
iirir
itlocui"e
ct
elene
ritc
din
al"e
sisi'eme
de
fuiiclii
i'e
i""-ptu
ltuu"t"t",
continui
si
conslituie
un
subiect
<ie
cetcetare
aiit
perllru rnate nati
:;;'l
;Jn;
;";il'specialiqti
din <lonreniul
tchnic
avind
in
vcdere numeroasele
aplicalii
practicc
alc
acesl,ora
(6 2)
(6 3)
(6 4)
I
\
-3n
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 185/218
.
€
Nl,
(6.1)
(6.2)
funcliei
Rie
(6.2)
se
(6
3)
dar
(6
4)
lui
ex-
lurnir
permis
de
iip
de
aplicalii
2.
Prelungirea
din
fieura
2.
Prima
observalie
pe
care o facem
relativ
la seriile (6.3) este aceea ci,
in
cazul
ln
care convergJ suma
lor
este
o funclie
periodici
de
perioad5
2n.
Dste
natural in
acesl,
context,
se introducem
urmitoarea noliune.
DEFINTTIo.
Fie
/
:
l-r,
a]
_-
R.
_Funclia
1
m
-*
m
se numeqte
7relragirea
prin period.icilate
a-funcliei
/
ia R
daci
/
este
periodici
de
perioadi
hr
(f(r
12tr)
=
=
J\xlu,L
t
u$,$r
Jl(_4,r1
=./
in
cele
c.
urrneazi.,
funcliile vot
fi
considerate preluugite prin periodicitate
la
R,
iniegrabilitatea
insemnind
integrabilitatea
pe
o
perioadd.,
rezultind
deci
integrabili,
tatea
pe
intervalele
compacte
din
R.
De exemplu,
funcliile
elementare
deja definite
pe
R vor
fi
inlocuite
cu
prelungirea
prin
periodicitate
a
restricliilor lor
la
(-n,
r].
EXEMPr,n.
1.
Prelungirea
prin periodicitate
a
funclici
f(r)
=
a, r
e
(-T,
z]
are
graficul
din figura l
Fig.
1
prin
periodicitate
a
funcliei
f(r)
=
s2,
x
e
(-n,
rl are
graficul
Fig.2
Jinind
cont ci.
vom Iucra cu
prelungirile
prin
periodicitate,
funcliile
vor
putea
fi
considerate pe
orice
interval
de lungime egald, cu
perioada,
de exemplu
pe
[0,22r],
183
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 186/218
avaotajul
intervalului
imparitaie
a
funcliei.
PRoPoziTrA
6.1.
I
r,
a] fiind
acela dc
a valorifica
proprietitile
de
paritate
sau
Fie
f
:
l-r.
rl
-
R
inleorabild.
Riemann.
Dad
f
esle
pard,
2 | 2r
sinnr
7 t t
-
1
/
rc,.rsrrrdr
-
-(r"''"'"
L
-
'
/
sin n.rcdLr)
-
.l ?\ n
lo nJ
/
00
1l
o,,
:
_
/
9(r)cosn
lTJ
.
rt
Dn
:
-
rl
9(r)
srD n
1T
.l
in
cazul
particular
a:
-1,
b
=
b
qi
"ao
l-t1
Forma
(6.6)
cu ipoteza
d
utiiizati pearru
descrierea
soh
propagarea
cildurii
in
fire
(ve
Folosild
formulele
lui
Eulr
atunci bn
=
0,
oricare
ar
t'i
n.
si
an
=
?
|
iit)
ro"
nrcia
Vn
€
N. Dacd
i
esie nnpard,
;
)l
o-
'
0
orrarr.
ar
Jt
n
gi
bn
.-
'
/
/1"r;
sin
rrrdl Va
€
N.
ltJ
0
Denonsirulie.
Fie
/
par5,.
I'ie
diviziuriile
lui
[-z',
z'] do
=
{ro,
. . .
,
x2r},
xa=r, Ek=
-lt2p-kt
k)0, tp,1
,x=L,
p
)
I
qi
fie
4r
=
tt
e
[tr,tt+t],
p
k=0....,2p-L
Aiunci,
/({1)sinnlo
=
-f(Qr-y)srr'nf2p.-p
Yk
=
0,...,2p
-
i.
Vp
)
1, deci
sumele Riernann ale
funcliei
/(r)
sin
ne,
o(d.p,{)
-
0
Vp
)
1,
agadar
b"
=
0
Vn
2
0.
Similar,
prin
exa[rinarea
surnelor
Riemann
cotespunzitoare,
rezulti
{i
ce]elalte
afirmalii.
I
ExEMPLE.
1.
Fie
f
:[-zr,
r]---r
R,
/(r)
=
r.
Atunci
an=|Yn)
0 qi
6"
=
(-l]'*t
vn
>
-
R,
f(r)
= lrl.
Atunci,
pentru
n
>
I,
b"
=
0
1.
qi
. Fie
/:
l-r,r)
a"
=
'
l/(r)cosn.rd;r:
ltJ
0
-
?(-l)'
-
I
rrcci
a,,
=
ovrt
)
1
tr
n2
-
I' azt+:
-;EFTIF
Ei
os
=
7r'
Propozilia 6.1
justifici,
introducerea
unor serii
(0.3)
de forma speciali
f
+
3 9
*f
a,cosnr
"ro
lb,"innr,
numite
serii
de
cosinusurt, respectiv serii de
sf-
nzsari
qi reprezentind seriile
lburier
ale
prelungirilor
pare qi
respeciiv impare
ale
lui
"f
de la
[0.
rl
Ia
f-r,
z'1.
Cele
prezentate
mai
sus
pentru
funclii
definitc
pc
intervale
l-r,r]
sc
forrnula
penl,ru
func{ii
definite
pe
intervale
[a,
6].
Astfel, daci
/
:
lo,
Dl
*
R
tegrabild,,
fie
p'.1-,,o)*la,bl,eltl='#,*'#
Fie
s
=
f
oe:l-r,
-rlt-a
a*ir I
r
l
c(4 I\;,
*
i)
fitunci
/(y)
=
olu
o(2u
,
")l
a
-
+
iA^.os
nr
{
b^ sin nr), rezultS.:
/
-
?
I
1""
-'
ff;eo
-
6
-
o1
+
a^sir,
{212v
-
o
-
o)].
slnz0:
-
pot
re-
este
in
rl
-R,
qi
dacX
c",ei"",
unde
"q:
f
,
(r1.1),
(6.2)
oblinem
c.
184
si
atunci
f
+ (o,, cosnr*6,
4sr
\-
L'
n<0.
Din
il
Cap. iV.
$4.
in
ceic
ce urmet
$6.2.
ProprietSgi
legate
,
incepem
prin
a
observa
ci
- t
+
L
(oD
cos
nx
+
[Jn
silLn
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 187/218
7b
I l .
) t .a
o,,
-
:
I s(rlcosn.rdt
--
,'
I
llg\cos:
t2g b-
o)dyr
'
r.l
"
b
o,l
"
b a'
1 I
t
f
ttn
b.:-
I
grrlsinnrd.r
=
,
^
I
flgtqir.;^l2s-
b- o\<Jv.
tT
J
'-ui
in
cazul
particnlar
a-
-1,
b:
l, I
>
0
obliuem:
I
I
I
",
nry
.
an
:;
I /(y)cos ,
oY
t.l
t
-l
?
1 t rLTu
b":;
/
l(y)sirr-;j
dy
L.J
,t
t
-
T
,f
1',..,
i'
+
b".,'
?)
(6
5)
(6
6)
Forma
(6.6)
cu ipoteza
d"ir"totgl."
impa.r5.
a
lui
I
de
la
[0,
l]
Ia
[-l,l]
este
utilizatd
pentru
descrierea
soluliilor
problei'aelor
privind
oscilaliile
corzii
vibrante
qi
propagarea
cS.ldurii
in fire
(vezi
$7).
Folosind formulele
lui Euler
(5.18),
seria
(6.3)
se
poaie
scrie
in
formX
complexS..
.
eina_e
jnr
SLnTLat:
----
-,
COSr}Z
:
z1
qi
arunci
f
rlro,,,.o'nr+b"si'n.)
- * i,"-"t.,"
-t'')
1-"
i"(c'
I
ib't1
a-r
2
t-,
L' 2
2
|
nr 3 - ao a^-lb-
a-. ib-.
' L
.,,C"'.
unde.0:;
^-
- 2-
pontrun
>0Sr
rn ---
penrru
n,<0.
D;n
(6.1), (6.2)
oblinem
,--
i. .f(r)e
'""de,
n
€2,
integrala
fiind
definitd
2"
^"
'
iu
Cap-
iV,
,tr.
in ceie ce urmeazd.
va fi folosii; fol'nra
(6.3)
a
seiiilor
Four.ier.
6.2.
Proprietiti
legate de coeffcienti
incepem
prin
a observa cd.
daca
/
-
f;
+
t"".osnr
+
b,"sinnr)
qi
9
-
'
n-l
-
f;-,
f
to,
"o"
nr
-
B'
sin
nr)
atunci.
pe
baza
proprietdlilor
inregralei
,f
-'+-
185
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 188/218
+ii.o."o"nr
.r
c6,,sinn;r:)
si .f
+
I
-
tjg
*
it,"'
*
o.)cosnr
+
(b"
+
t,
-]
-
J' i.,n
,
"l
PRoPozTTIA
62.
I'ie
l:
[-n.
r]
-'-'[l
pertodtc:d
nL
[':i-t'r)-ENtnlegrabtld
Riemann.
Atuncr''
penlru
arice
n
)
I
a,(f')
-
nb,,(f).
b^(.f')--
-na"(f
).
(67)
Demonsfta\ie.
1T
a"\f'l=
-
/ /'(z).osrr'rdt=
,, I
r
--
.'
l1in1",,.nt-
I(-r'i.osnr-
r'
/
/(
"r"in
urdtl
-
nb'([\'
n'"
1
r
deoarecc
/(zr)
=
J(-t),
Ei
t"(f')
=
r,
|
'
-
f
l/,o).,n,'+J{-n)sin
ntJ
n
J
I\xt.rtn,'drl
-
no'
(f)
penr.ru
a <ied,:ce
alre
proprietltri
u,"
,,n"t,""1 iro.
.[ourier
incepen
pr n a obscr.ra
urori,,.rur"u
proprietate
a sistcmului
trigonornctric
{1,
slnnc,
coszr
|
ru
€
Fd'}'
LEMA
6.3.
Sisternul
de
fimclii
1,
sitr
nr'", cosnr
I
n
€
N-]
esle ortogonal
in
C:(l
r,
rl)
in
raporl
cn
protlusul
scalar
('tezi
Cap
lI,
$a)
i;r
acrasla consl iirrie
Drrnrrlrn.
Se
nr
Ast{el,
r
t
.,.
- ,
J'(r) srr,'xdr
=
ltJ
, /
cos
n'rdr
-
u
surna
Jrar ial:i
a scrici
PROPOZIIIA 6 4
caefictenitz 'ourier
ct
'n
de
fctrrna
(6.11)
are
lll-t"1t,= llttt
.t
'
-,
,'
*,ri.
L
Dcmorslra{ic.
ll
=
/
sirr'irrrl.t
=
rV
:"
(6.10) rezuiti
llf
r,,ll'
=i1fl'-2
deci scdzind
qi
adunir
CoRoLAi
6.4.1
ll/-",,i13=nin{ll/
<.f, t>
=
f{,)nt,}o,
Dertons,1a\ie.
Avem
de
arltai
c5,
pentru
orice
n
f
k'
^1 r
/
srn nr'i'krdr
u
/
"o'nr.""slrd'
0
l.l
(6 8)
si
(.1,
pontru
orice
n,
tt
€
Nt
/
'in
,,r
cos
[r,lr'
- 0, /
sir,
rrrl"r
tr
.l
J
(6 e)
(6
10)
186
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 189/218
(bn
+
(6
7)
i,n
(6.8)
(6
e)
(6.10)
iar
aceasta constituie
un exerci'liu uqor.
t
DEFINTTIE.
Se numeqte
polinom.
trigonometric
d,e ord,in n o funclie de
forma
.}^
,nrr
r:
-'f
,
\(tttt)nJr
-f
u1 :rtttJr'),
ui.
/J,
t:
[n.
(6.11)
Astfel,
suma
partialX
a
seriei
llourier
(6.3),
esie
un
polinom
trigonomeiric.
PRoPozITtA
6.4.
Fie
f
:
l-r,
rl
-
R
inlegrabild.
Ricmann.
j?ie
o,,
b,,
rr
€
N
coeficienlii Fourier ai lui
f.
Alunci,
pteniru
orice
tn
polinom
tngonomelric
d,e
ord,in
n
de
forma
(6.11)
are loc
tf
-1"|i
(6
r3)
On
s^(.r)
-
;
r
l(ut
cos
jt
1
b; sin
jr).
j=r
deci scdzind
si
ra,rnina
,,
it'
+
CoROLAR 6.4.1.
in
t
r,2 IoB,$., ,r.l
tlJ
Jrll2
=
ll./ 12
-
"lT
n
/_,\4t*tttt1.
ll/ -
""i13
=
min{ll/
-
t"ll3
|
i"
polinom
trigonometric
de
ordin
n}.
=
lvo
t^(r)t2dx=
J
la'o'-"1$*it";+a;i]+
(6.12)
(o.
r+,
I
_,
-1(ao
-
oo)2
-
-..
^
".)
,-t
2
Llt"o-ok)'
|
(h
bn')J
Demonstralie.ll
ll2
esie
dat6. de
produsul
scalar
(6.8).
Obr"ruern
.afo.2 trdr
=
=
/
sin'zftrdr
=
r
V,t
€
N*. Foiosind
(6.1), (6.?) qi
relaliile
de
ortogonaliiate
(6.9),
J
(6.10)
rezulti
llf
t"ll"
=<f
-t",,
f
-t,>
=llfll'-2
<f
,t">
+llt.12 =
h
-2
n
=
Vll'
-2ln(oaa6
r
a1,b1\ ,asbs
+
r\
+
"lt"?
+
hi).
1"1
+
til'1oblinem (6.13).
I
187
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 190/218
Defttotlltra\je
Daci in
(6.i3)
crl
=
o1
V&
=
0,
,n'
Pt'
=
bkVk
=
0'
11
oblinelr
(6.14)
iar
a doua
afirmalie
estc
evidenti
l
PRoPozrTiA
6.5.
(lnegalitateir
lui
Bessel)
'te
f
:
l-r,tl
*
R'
n
egrabild
lhe'
nlanl-
ti
(In.bttr
n
€l\
coet'it:iettlii
l'ourier
at
sdi
Alunct
uniform
pe
[-2,
r],
cu
,s,
de
,.
i
/
rln-I
iA
++L(a;+b;)<
-
|
-
\r
)dx.
(6.15)
Delronsl'rz\ie.
Observi,m,
ca
mai inainte,
c5'
din
criieriul
lui Lebesgue'
/?
esie
inlcgrabilir.
Rrcnrann
Pe
[-n,
n].
t6tt
Drr
{b.lli.
f
li"i
+
6?)
-:.
r
J
Itt,ft"
Vn
)
I
1i
{6 151
rezr'lta
I
"
*=
Coaol,en
6.5.1.
Dacit
frtncJia
f
:
l-r,r]
*
R
esle
tttlcgrub
i
lltcnnun
5i
an,b,,,
n.
€
N
sirl
coeTSciealzr
ei
[ourier,
alunci
iir:tan
=
lirnD"
=
0'
$5.3.
Teoreme
de
convergen{i
Problema
lundarneltzlld
in
leoria
seriilor
Fourier
estc rnodul
in
care
acestea
."1ra*,uri'
lunclia
din c.rre
provilli saiu,
cu
irlLe
cuvinle^,
modul
in care
cltnoscind
""riu
Fouai".
a.
unei
{unclii
se
poaic
recoustitui
funclia
in acesi
sens
vom
menliona
urmdtoarele
rezultate
negaLive
(conform
l:li]
)
:
1' t]xisii
ftrnctii
contintte
cu
seria
i.burier
divergentd
pe
o
mulgime
dc
putero:r,
con Lirruumr
lu
i.
2.
Er:isti
lurt ii
coutinuc
cu seria
Fourier
convergetrtS'
peste
tot
dar convergen a
,ii- niuir;f-:tri
e
ii(.a1"
inre:val
lStcinLarts)
13.
lristi
funclii
integrab
ile
in sens
ul
lui
Lebesgue
(tr
oliunr:a
r a
fi defi niti
intr-
un
capitol
ulterior)
o.i.ot
""ri"
Fouriet
diverge
pestrr
tot
(Kohnogorov)
Ca
prinr
rezultat
poziliv,
observim
ci
pe baza
Teorcrnei
13
din
$1
are
loc
uLrnEtoarea
ProPozilie.
PRoPozlTlA
6.6.-
I're
.f
:
l-r,r)
*
R
continud
$
an,b",
rt
€
N
coeirieliii
Fourier
ar siii.
Dac(t
)]{lt"l+
la"l)
csle
cottuergenld'
serza
Foutzer
(b
31
esTe
absoh'I
i=l
st
uniform
.ontterlerLld
la
f
pe
l-t'r)'
'feorema
-[.3,
seria
An
At,uutr
u(r
7
=;t
+T-
(,..r",
cos
nr
+
l,'
sn
n.r
)
esle o
funclie
coniinu5' pe
l-
zr,
r]
deoarece
lilr
s"
(r)
=
s(r)
'
/2'
(6.3
)
Derra,nstra\ie.
Convergen a
absolul[
qi
uniformS'
rezultI
dir
tl_::
. Ji
\
avrni
5"ria
malorantd
-;
-
L(lo"l
r
rb.l)
otri"rg"tt'a'
tt=1
1l
6r.
=
lim
-
/
n*N r
J
deci
s
qi
/
au aceia,qi
coelicie
o
consecin 5
imediati
a Teor
Pe baza acestei
propozi
de converger d a seriilor For
TEoREMA
6.7.
Fie
f
:
bild
Rtentann
pe
l-r,rl.
A1
Demonsi.ralie.
$tim
dir
qi
atunci, Vn
)
I
l'"(f)
lr"(/)
qi,
cum
) I
converge
($l
conform
(6.15), rezultd c5
Propozitia
6.6.
Aplicati derivalelor
ur
Propoziliei
3.3
un
criteriu
ci
fiind
asifel utili. cind seriile
I
cu
derivate
paririale.
Sd,
reli
preiungirca
aceasta trebuie
f(t)
=
e.
O
formi
generali
a Te<
pentru
funciii
periodice
de
Von demonstra
in
cont:
a seriei Fouricr iu cazul
un
st,udiLrl coovcrgcn ei
seriilot
Pcntru aceasta
sint ne(
I
-
D.EFINITIB.
D"(r)
=
-
dc
ordin
ri, n
)
1. Prin defi
188
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 191/218
n
gi
SI
uniform
pe
l-r,
r],
cu
s,,
delinit
1n (6.12)
qi
atunci,
conforrn
(6 9),
(6 10)'
"
|
|
r
co"
{.,
,'li
=
I
,/
r1";
..'
t* dt
lI'
;
g
,*
-
n,'%
;
.l
""rr,
n
J
deci s
qi
J
au aceia.gi
cocficien(i
liburier.
'aptul
ci
iII
accste
r:onditrii
r
9i
I
coincid
esie
o corsecinlS.
imediatS.
a Teoremei
lui Fejer,
cat"
va
fi
demoristrati
in
continuare.
Pc
baza
acestei
propozilii
qi
a Propoziliei
6
2
putem
demr:nstra
primul critcriu
de
convergerli
a
seriilol
Fouriet
TEoRDMA
6.7.
Itre
J':l-r,fl*R'
o
func:Jie
periodicd,
d
erit'abil'd,
cu
ft
'tnlegra-
hild
Rientann
pe
l-r,r).
Alunci
ieria
sa
I'ourier
conuerge
uniiorm
ia
i
pe
I-t't)'
Demonsrratre
gtim
din
i6.7)
ri.
Vrr
)
L
u,',11
-
- tt,ll'I
b
111
-
, ,""r'l
1
qi
atunci,
Vn
)
I
1".(f )t
=
1t,,rr,;
<
j
[1*
iu,,lr;r,],
p"01
=
:1""()i
.
;
l;.r
i"'(r')l']
$r.
cum
)
-;
convergc
conform
(6.15),
rezulte
c[
ltt""tflt
+
lD"(l)l)
converge
qi
ieor'ma
rezulta
ciin
n=1
Propozilia
6.6.
I
Aplicat6
derivatelor
unei
funclii
de
clasi
Ci,
l'eoretna
6'7
furrtizeazi
pe baza
Propozili"i
3.3
un
critcriu
care
permite derjvarca
termen
cu telmen
a
seriilor
Foruicr'
fiind
astiel
utili
cind
seriiie
Fourier
sint
folosite
peltru
descrierea
soluliilor
Lrnor
ecua(ii
cu derivate
parliale.
S5.
re inem
ins5,
cd'
pentru
funcliile
prelungite
prin
perioriicitate'
prelungirca
acelta
trebuie
si
fie
derivabild,
ceea
ce
exciude
lunclii
cum
ar
fi chir:'r
O
formi
generald a Teoremei
6.7
afirm5'
convergenla
uniformS'
a
seriilor
Fourier
pentru
fun"r.ii
porir.ii". cle
p.rici.d6 2;
;nlit
ue
1i
ri:
"arie-1i"
n:irginitir
(\ezr
lSll)
Vont demonsirir.
in continuare
Teoreura
lui Fcjer,
care
afirmI
sumabilitatea
Cesaro
a
scriei
Fourier
itr
caztrl
unei
funclii
continue
pe
por{iuni, irrmind
a rcveni
apoi
Ia
.rr,lili .nrvncgcntni
s"riilor
rl
uli,
r'
Pcntru a.ceasta
sini
necesare
rezulLa'r,e
preiiiriiiiare
1
DoFtNITlu.
D.(r)
=
-
+
cos
c
+
-
+
cos
??'t,'
€
R se
numeste
nucleu
Dtrichlel
2,
o,
orJin
r,.
n
2
L Prin
d,
finir.ic
Dnrrl=
I'ent'Iu
o|ice
r'€
R'
( 2,
Propozilia
2.5)
iar
t(]d"(l')l:
+
lb'(/')|'?)
converge
n=l
lnl
-'
189
b1
=
lim
I
/
""1";"i,,Ara'
=
I
f
"1*,"inr,a
tV|
20
n_^ r J 1
J
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 192/218
Lrul.6.8.
Demonstratje.
(1),
obtine
direct
din
definiti
Pentru
a demonstra
0<d-<lcl
(n.
I
Nucleele Dirichlet
st
scrierea
mediilor
Cesaro
PRoPozrTrA
6.11.
ao
3,
s"(rl
=
t
+
L\o,tcos,
-
j=t
pentru
orice nlA:
qr
Demonstratie.
Est(
din
(6.19).
Pentru
(6.19)
+(/
rrtl,*itar),i.i
'\
=
I tolt=+5-cosr
1t
.l
-
12
-
LEMA
6.12.
Fie
I
interuale
compacte.
Atun
I
I
I
:,r
f
J
n^*,^--+--+;- n;-
,l
uttt lutrouL 49t.. D ttt r
stra
(6.21), obselv;m
d
p
"i"('+
])"
D"(r)-
#
rI2kn.
kLI
n>i
2sn,
t: / l\ r It
f)emonstralie.
Ilezultd
uqor.
folosind
2sin:cos
j.r=sin(j*
7)t
stn\j
-
,).'
j
= 1,...
,n. I
-t
."
DEFINITTE.
,lr"(x)
=
=t
D1@) a
eR,
n
e
N se
rumeqte
nucleu
ltejer
de
n+ r:
j=o
ordin
n.
LEMA 6.9.
11,(r)=#D
Vr
(
R,
o
l2kr;k
e
Z,
Vz
e
Nl.
(6.17)
(=#)
4 sin'
'2
(b.
-t
b)
(6 18)
Demonstr
a(ie. Din
(6.
16),
'
-1)'"rnl
bin
(.j
+
2/ 2
/);(r')
=
--
r
'=7
=
4stn.
2
deci
5-D,,(t)-
i
'os(nl
i'r'
I
fi
"'
4sin2".
2
Concentrirn
in
propozilia
urmdtoare
proprietilile
esenliale ale
nucleelor Dirichlet
qi
Feier.
PRoFoziTrA
6.i0.
(l)
o"(-r)
=
D^(c), Kn(
x)=
I{"(o)Vr
e
R,
Vn
e
N.
(2) D,,(x
+2kr)
=
D,,(r),
Pi,,@
+2kr)
=
'Fj"(a)
Ve
€
R, Yn
€
N.
(3)
r<"(r)
)
0
Vr
e
R,
Vn
e
f{.
t4):-
lD"
=1Vn€N.
,r,\i,r,.=rvn€N
r.J
(Al
Va>0,
tim
sup
4"1.r)
-0.
nr@
d<trt<
r
190
cos
jr
-
cos(j
*
1)r
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 193/218
16)
l.r
de
T
(6.1e)
(6.20)
(6.21)
(6.22)
Demonstratie.
(1),
(2),
(3)
sinr evidenre
din
definitrie,
(6.16) qi
(6.17). (4)
se
obline direct
din
defini{ie
iar
(5)
rezultl din
(4).
Pentru
a demonstra
(6)
folosirn
r',1r1
=
-,
l-
(;;
.f;;
daci
Lttt l ttstrt
t
z{,l
-1-
t,.illr
.2
0<d(lrl
(zr.
I
Nucleele
Dirichlct
servesc
la
descrierea sumelor
parliale
iar
nuclecle Fejer
la
de-
scrierea
mediilor
Cesaro
pentru
seriile Fouricr.
PRopozrTIA 6.77.
Fie
f
:
I
r,rl + R integrabihi
Bietnann,.
Fie
ss1t1
:
? .
ao
. 3,
so{.rl
+
...
-
s"{/)
sn(-r)
=
-
)-
l(o1co:;1r
r-
bJ
sinJ"r).
n>1, o"lr)
Afunri.
pentru
orice
n>0:
qr
1r
7tJ
1t
on@)=:
I f
(t)K^(r
*t)dt
tT
.l
Demonstratie.
Este
evident
ci
(620) rezulti,Otl
.U:Ultt*
nucleului
Fejer
Ei
din
(6.1e).
Penrru
(6.te),
-"1';
=
I [
11rSar
+f
lf(
[
rc,*sjrdt),r,s
jr+
,,
J,
;-i
r
L\J"
I
/'i \
"l
ri
rr
-a
I
-(
/
.fttt'iniiar
)sin
jrl
-
=
|
tttll:
-
l(cosjrcosjr
r
sirrj/sinjrlldr
=
\J /
)
7tJ
Lz
-
I
.t'i,,,,11
,
)--.;r.-,rla,=
i
n,to,t,-r)dr.
r
1t.l
12
-
I
ltJ
LEMA
6.12, Fi.e
f
:
R
--+
R
period,icd
de
peri,odd
hr.
i,ntegrabild Ri.emo.nn
pe
i,nten)ale
umeacte, Atunci,
pentru
orice
r
€R
Ei
ori,ce
n)0,
tt
I
f(t)D.tr-r\ctr =
I
I\x-ttDntt)dt
,JJ
ft
I I(t)K"Q
f) d/
I
Ik
t)K.(t)dt
.t .l
n^-.
.--+--+.^ rr:-
r^4-:r:^
rui
K,,
(6.22)
ue obline
<1in (6.21).
Pentru I den.on_r'uL'trllror
^
r+lt
,t..
(6.21;,
obruruim c[
pentru
s
=
z-.i
ontinem
ft(t)p,
(
r+)
dt=
[ f
@-s)D.(s)
ds
=
JJ
191
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 194/218
rttr
i
=
/ f
(r-s
tD.
(s
)ds-
ftit-"
1o"
1" 1a"
-
//ir-s
)o'
rs
lds
Dar'
ctt
s=
rl2r'
li
folosind
J'
J
J"
+n
periodiciiai"alr-ri
1'qi
a
lui
D".
;l
,ff
r-srD"istas
=
.j
lt"-'
'2rlDalar2r'\dr
=
= [
n,
- rlD^lr\dr.
f
.t-
Acum
putem
demonstra
Teorema
lui
Fejer'
TEoREMA
6.13
(Fejer,
1904)
Ire
funclta
I
conTinud.
pe
porJruni
(vezi
Cap
lll'
$1) e;i-;,
rl,
prelunsii'd
prin
pinodtcitate
la
R
9r
're
el-r'
r) Arunci:
1f
)
',no.t"o)=&| @
,
deei
da,dl
esle
rcnlinud
iD.r0.
limo'('r0)=
=
i(ro).
(2) Dacd
J
esle
coniinud
pe[o,
D]
c
l-r',
rl'
lirr.o'(c)
=
f(t)'
uniform
pe
la'
bl'
Demonstra\ie.
Folosind
(6
18),
(6'20)
qi
(6 22)
/{ro+)+/(ro-)
-t}
I lllx^+)-
/('o-)6"11;41
=
o^(,i-'Y
=
-,J
Iko
r)x"0)d1
-
;J
--t
tl
- '
lIrt,^-
t)-
f(rn-)l/i"i,)d/
+
^
/ [ft'o -
r)-
/("r0+)]^"(t)d/
-
Zo1v'""
21t
J
-
in urrima
inregrali.
efectus.m
schimbarea
ae
valafitl
,
=lt;J;iT".rtt#_j
tl
t
6i,
linind
cont
cd.
funclia
K
este
pari,
oblinem
o'(cs)
"
,x
=
|
/
iii',
+tl +
f
(co
-
r)
-
/(ro-)
-
f
('o+)lli"(t)dt
=
)
J
ttt-'
*'1
-
f(so+)
+
0
''
de
arn
folosii
din
nou
periodicitatea'
+/(ro
-
t)
-
/(c6-)l/i"
(l)dl,
un
Fie M
=
ltlf(*o+r)
-
f(ro+)l+
l/(c6
-r)
-f(co-)l)dr>0(dac5M=0
.t'
0
ieorerna
rezul'r,5,
riin
foinruia
precedcnti)
E
Fiee>0.Exist ,6.>0ast{elincit,dacat€(0,6.),
l/(tu
+
t)
-
'f
(ro+)l
<-
a
ei
l/(ro
-
l)
-
l("0
)l
<
z
5.
r
.,,
/(rc
r)*
f(.ro-)
.IIif
r,"^+ri_l_,.+
ji+
riiilnti'folosiiiiji6'l8),i"'tr")_#i\:liti',i,0-r,/_jLJr|r'|
'
u'
2
|
-rLJ'"
n
i
.t
+l,f(.ro-r)-/(ro-)l)ri"(r)dt+
f
(l/(o0
Fl)-ftr0+)l+lf(ro-t)-/(co-)l)1i"(i)drl<
6,
<
lr
/
n.(r)ar*[sup
1t
J
6.<r<tr
0
Din
Propozilia
6.10
(6
tf
drci,
Vn
)
n.,
lr'"(rs)
-
:-
Daci
J
esle
continui
1
1
avem
lo"(.r)
-
l(r)l
<;J
Fiee>0qiO">0""-t
r-t€fo,6l.
t
p1",11
=
sup
/
lf(
1€ta'bl
J
Art
+1
sup
h"(l)
<
e
Vn
.,r
d.<lrl<"
Conolln
6.13.1
fz
i
tonuergenii,
tn
xs
e
l-r,t
Demonstralie.
Am
ob
Prezeniim
acum
un
.
TEOREMA
6.14.
(Di
porJiuni
arind
deriauld
Pt
Fourier
a
fui
J
conaerge
i
^
--
-- -r
--
i^ D^-+,-
r,c'rIrurDo
aPc r
culr
valoarea
sumei
rezuliind
c
Fie
c
e
(-2,
r].
Conl
sn+e
({)
-
.F
slnl
NotEm
o(l)
=
-:
I
cu derivata
mirginite:
=
lim
t-o
(1
-
o2)sin
ot
sint
2sini cos
I
t92
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 195/218
Dl
sin
?
I aJ
l\oiam
gtr]
=
----
\
L
f
slrl
"
2
Lt
'n.l
0
llin
t(.{/)dt-lsu1
n,1r;llv
*
n*lut
sup
i("rt;l
't.<,k"itrid.<r<r
Propozilia
6.10
(6),
existi
n.
€N
asifel
'rncit
,max
K'(t) <ffiv">""'
n^^i
vo
> .-
l,_t,^l_
/(ro+)
1/(to-) I
< e
si
(1)
este
de'onsrrai6.
-
-
luoi1
"rJ"
"."i*"u
o"
la,b] ,
J
este
'tltiforrrt
continu5'
pe
[a'
b]
9i'
ca
rrai
inainie'
1l
avem
,oni.r') -
/(rt
1
;
.l
ltt"
-
tr
-
/i'r)lli'(t)dt
lie
e >
0
qi
6"
>
0
asifel
incil
l/(c
-
t)
-
/(t)i
<
€
14,01,
Vl
cu
lll
<
6.
cu
-
/(c)idt
>
0.
Atunci
,;;r,,
1""(,)
-
l(')l
qi
teoroma
este demonstrat5'.
I
coRoLAR
6.13.i
fn.
zpotezele
Teoremei
6. f,,
dacd
serza^Fourier
a
funcliei
f
esle
towcrgenLi
n
uD
l_l-r'rl
alunrt
,unIa'o
"'"
/(to+)
I l('o-)
Demonstra\ie.
Am
observat
in
1
ci
dac6
s
=
lims'
atunci
s
=
limon
l
PrezentX,m
acum
un
criteriu
ciasic
de
convergeuli"
TEoREMA
6.14.
(Dirichlet,
1829)
Fie
f
:
l-r,ttl
*
R
o
funclie
continud'
pe
ponfu";. ort"i
deriuati
pe porliltni,
mlegrabi,li
Rtema"nn
in
acesie
cond'ili't'
seria
Fouricr
6lur
f
ronacrqe
m
f(tutr
trunt' '
Ii:o+)'+
I\to-l
n---^^'--'j D^"r'"
'.iam^nctr:1ro^
rnnteroentei vom aolica
..ritcriul
luiCauchy'
t/- ltutttttay(.
vaioarea
sumei
rezuiiil,i
din
' 'eoieraa
5
13'
Fie
r
e
(-r,
rl.
Conform
(6.i9)
9i
(6 2i)
Vr
2
e-r€[a,6].
t
FieM=
t"p
i 111'-11
*
el.,bl
J
+-
sup
l\nlt)
< i
\n
a
n.
,r
r"<lil<tr
€
tt+
(6.23)
0,
g(0)
=
p
qi
observim
ci
g
este
derivabild
9i
/ sin oi \/
si li.m l
-.-
I
=
' ?*0 \ slnt
/
r sin cvi r'
crr derivata
mi,rginilS
l
--,--;
I
=
,
-
\
srnT
/
sIl1"
1
o
cos
ai sin
I
-
cos
I
sin
ct
t1-
(}2
)
sin
dl
sin
f
;-o 7 srn I cos i
193
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 196/218
Fic
h(t)
=
f(r'-tjg(t).
Atunci i
este
derivabili
pe por{iuni
5i
cu
derivata
nrirginiti..
l'ie re
-
-11
<
rt
<
1t^=
r;:r.stfcl
incit
A este
derivabili
pc (r7-1.
r;),
I
(
j
(
n.
Notind
pentru
corrorlitate
d
=
n+
ijf
qi
lbtosind inl.egrart:ir
prin
pirli,
,
lO.z,t,
ua)vlIre:
5n+r(r.l
_
5n\ll
-
I
[,.
l5-,.-inni'
-
,
/r('
J
.os
olor
=
)
n\t
)
I,l t4 o
t,
J-)
i:''i
A/(t)sinoldr,
deci cxisi,E ar
=
(,;
>
0
asifcl incit
ls,,1o(r)
-.s"(r)l
(
(;
cc
<-
-ia-<'tln)
\
Iti
r
n
tt+-
2
qi
tcorcrna
este
demonstra(;.
I
n,
,
Vp
2
1
,
aEadar
Sirui
(s"
(r))"
cstc
qir
Clauchy
[6.,1.
Consecin[e ale Teorernei lui Fejer
O
prirrri
consecintS., enuo{al5 deja
in
demonstratia
I'ropozitiei
6.6,
priveqte
uni
.itat.a
seriilor
I-r,rrrir.r
pentrr
{irn.qri
continuo
I)rtopozl'frA
6.15.
Fie
IuncJia f
:l-r, rl
+Fl
conltnrd.
l)acd
a,"(f)--b,,(f)
=
0
pentru
ot'icc r,
€
r\- dftrzci
f(x)
=
a
penira
orice
x
€
l-r,
r11.
Demonstta\ie.
Daci.
/(-;r')
-
/(z),
Teorcma 6.1Ij
afirrni
c[ linr
o",
=
/
uniform
pe
I
r, r].
Dar
o",('t)
=
0Vr
€
l-n,
rl,
deci
/(;r)
=
0Vr
e
l-;r,
rl.
il ca.z,rl
gencra.l,6c
F
o
prinrtivii
a lrri
f
a-.tlel ,,,.,t
/
i.lr),1.
-
n
/d.
cvA'nl,)
l'
r( j/1\f)' f' o
priririiivi
oarecare a
irii
y").
A'r,unci. F(n)
-
-Fl-7rl-
I ftrfit
-
U,
dcoarp,p
oi(
IJ
-0rrrn
rporezj
si
.t'
t t /i i i
/
F(.t
)cos
rr.r',1.r
-
[-F(r).irr
nr]l
--
/
f(r)srnn""d.r'-
1l
J
\D]I
tl
a
n?r.l
/.,,
rli:ci.
corrfornt
prirnei
V,-
e
f-r.
rl.
r
COROLAH
ti. t5.
a,,(
f
)
-
a,,(.e).
b,(f)
Propozilia
6.15
s
ia proprieta.tca
de
cor
Pentru
urrliitozrr
rezultal
elemoltar.
LE\-IA
6.16. ,,i./c/i
Deno6tmlie.
o.
1.\--- = ) (,?_i+l
DcDtonstr;.nl
acul
Doatne
a
lui
Weielstrat
'I'EORr\'rA
6.1i.
o
funl:lie
continud,.
(
sup.
lA("r)
P(r)l
<
DernoErt'ra(ie.
F(
reduce
la
cazul
o
-
-
defirritb
prin
./(l)
:
[1
furic{io
par ,.
cleci
,/
-
Conforrn
cu (6.24),
qi,
conforrn
Tcoremei
I
orice
s
>
ii
oxis,Lii
n.
€
ceea
ce
dcr'_ile
sup
,.1
I tl
cos(,i
arccos:r')
-
f(;r)
Clap.,
V.
\6.4).
Rezuttd
demorstr-ild
tcoreura.
1l
-
i
.[(.i
)d.t
..i
'2r
.J
ii
-
I
/'/r)
sin
nrd
r
=
rJ
l
=--b,(I)-0VncN',
n
'".
(-1n(,'),,or,")1"
+l
I
f(r)cosnu:t
=
\
riz
"
)1
. wr.l
"'
=
l-.,,tn=
0
Vn
€
N',
n
194
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 197/218
x
1),
(
uui-
-
0
-
cieci.
corfolln
prirnci
pdrli
a demonstra,lici.
I(r)
=
g
y2
€
[
r, n]
qi
atunci
/(r)
:
0
Vr
el
r.n).
I
CoRor,,\n 6.15.1.
Dut:d
J.g:
I
r,rl
s,int.
func[i:i
conti,nuel;i,, perLtru.
orice
n
€\1.
a".(f)
-
a"(. J),
b"(.f)
-
b"(s\ atunci
f
(r)
:
s(x)
oricnre
ar
fi
r
e
l*n.n).
Propozi{ia
6.15
se
va
gcneraliza
cind va
fi
definit
spa\iLrl
12(,r.
r)
qi
va
conduce
la
proprietatea
de cornpletitucirne
a
qirului
trigonomctric
in
12(--r,
r).
Pentru
rrmitoarclc
aplicaqii
ale Teorcraei
lui
Fejer
dcmonstrd,m
mai
intii
urmitorril
rnzrrlt
r
r
elemerrter.
LE,tA 6.16.
MerJi.ile
Cesaro ale
aerfel,
i
a^ au erpresia
",,-tlr--a-)uu.
-\
n+l/
(6.24)
Demonstra[ie.
o,,
-
|
.l-
.1
/ t
\
: , ) (r,.1, l),r^ ) ll-
lcr,..
I
|t+t-
ntlJ
I-=0
A:tr
Demonstr[rn aorm
rln rezu]1,a,t
fundamental,
teorema
de
aproxiroarc
cu
poli-
noame a
lui
\\icierstrass.
TEoR0\{A
6.17.
(Teorerna
de aproximare a lui
\^reierstrass)
Fie
h
:
la,b]
-
R.
o
fun,r:l,ie
continu,d.
Oricare ar
t',
e
>
0,
eri.std.
un
polinom
P
€ R[X]
astfel in,cil
sup
lh(z)-P(r)l
<e.
De,monstra\ie.
Folosirrd
o translormare
afind
r,:(t)
:
mt
*
n
demonshalia se
reducr: la
ce"zul a:
-1.
b: 1.
Fie
a5ada.r
, :
[-1,1]
*
lR continu5 qi
/
: IR
-
R
definiti
pril
,f(l)
:
h.(t,tist).
Aturrci
,/
este
continui
pc
lR, are
perioada
27r
Ei
es1e
Irrnclin oar .. Jr.ci
/ - - lni
rcs1t.
'
j=l
o0.+/.
i \
..
Cr,rrformcrr
(6.14).
nr,diileCcsaroau
lbrmaon{/r
t*L
(,
-
-a=)",
.,,.r,
qi,
conlorm
Teoremei lui
Fcjer.
converg
uniform Ia
/
pe
l0,rl.
Rezultii c6
perrtrrr
oricee
) 0
cxisi;r
r?6
€
N asilel
incit,
perri,ru
once nln,, sup
i/(l)-a"(i)]
<
e,
l€10'tr]
| .,1
J-1, .l \
eea ,r'rlprirre
.up
lh{r)
-a-
-t
tr--to..oj{
/arcc
.,,t,t
2
=\
n'r/-
-
o'x)]
'
Dcr
txx(j
arccose)
:
l(r)
este
un
polinom
de
grad
j
(mrnrit
polinomul
Ccbiqcv, vezi
,'/
{
jrp.
V. gc
1,.
Rczulra
'up
ilrr)
-
99-
f
(t
J.
,\o;7,g1
<
., ai-ei,srl
,. -t.tlt , 7\ nllt
demonstriud
teorerna.
'.t',:'-ii"--
Lr-/r",t
=
n I4
J
n_lz-z- tt_lz_\z-'l
J
0
J=01
.0
'
,:o
/=A
195
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 198/218
Si,
mai
observiur
ci
ai
=
"tI
I
I
n1t1t'i1r1-)==d'.
t
lt.l
\/
l,-
r"
-1
lbrmula
(ti.24) facc
imediatd.
qi
urmEtoarea
consecinlir
a Teoremei
lui
Fejcr, nu-
miii,
uneori
qi
a doua
teorerrld,
cie aProxirnare
a lui W-cicrsirass
PRoPozITIA
6.18.
lie
f:
R
-
R
o
funclie
conlinud
de
perioadd 2n Alunci,
oricare
ar
fi
e > 0.
e:tisld
un
poliuotrt lrigonometric
t(x)
as{cl incil
srrp
l/(r)
-
r€l
tr,rl
-t(r)l
<
e.
-
uo
I)emonslra{te.
Fre/-
}
*f(oi.o"
jr+
6isin
jz)
Conlbrm
(ti
24),
o'(r)
-
--
1q-)-(t- 1
)1or.osjr+6;srnir)srnl
pohnoam" trtgonomerrice
carc
'on\'rA
)
/J\
n+ll
"
j-t
uniforrr
la
f
pe
I-4,
zl. I
Obscrvirn
c5 in
cazul
funcliilor
de clasi C1,
daci
in
Teorema 6
17
alcgem
un
gir
de
polinoame
care
converg uniform
la
f'
pe
la,
bl,
se
poate
ob{itre
un
qir
de
polinoame
(P,).
cu lim P"
=
/
qi
hmPi
=
/'
uniform
pe
fa,
b].
$6.5.
Exemplul
lui
Weierstrass
de
funclie
continui
nederivabili
in
orice
prrnct
in
acest
paragraf
prezentim dupn
133]
o
funclie
construiti
de
Weiersirass
in
1861,
iucrarea
fiind
publicatX in
1{372, care
est'e continuX'
in
c'rice
z
€
R
qi
care nu
-"^,1-.i-.r;
a"."r
evar,rnlrr A
nr<.^nir rnor
rcnlalivF nrFllt,telle mai mult
<1.50
<je ani
de
a
demonstta
dcrivabilitatea
luncliilor
continue
(cu
exceplia
unci multimi
.r.
6,,h..^
;"^1.'. na
14ma.4r'
.:
^.i-,,,1
."^-nl',
,1"
""".r
fpl
a losl COnsrrr rt
dr-
ri;
ij,ii,,(
tzt't,tt. j
u-
roe4
J^.
-.,
-
r^.r
^., r:-.r
/..r'
r.rrl\
tilr.r ^r,," {Otl
cOnslTUil.
mai
iJoizaiiu
iii ioJu
trdr
r'u d
rusr
Puurr\4'
multc
alte
exemple de
functii
firi
derivatS
Arn
ales insi.
exemplul
dat de Weierstrass
cleoarece
furrclia
construiti
dc cl este
dati
printr-o
serie de
tip
,,
trigonometric
"
tr"66(U.
l).
oe
N.
a
impar
qi
ori>
i
I
"i.
n.finim
r,-r
-
\- An
^^-/^n-,\
i'\i
t
r6.25)
Deoarecc
b
t
(0, i),
seria
<iin
(6.25) esie urriltrrtn
coltvcrgel'r,i
pe orice
intervzr'i
c':'m-
pacl,, deci
f
esle
continuS,
pe
R.
Rimine
si
ariti.m
cii, Vr
e
R,
/
uu
este derivabilX
in r'
tl.r+ht- f(tt
$,
,
"sJ.a"'r(.r
'
h)'-,u;{u
nr)
".
:
_
\
h
?n"
h
Fien)1.
m-1
.s-.
-
5_
/,ncoslonnlx+
h)]
*"osfonTrr)
-"'
,/-r
"
h
=A
I
I
y1t1c"'
1,tr
=
0
n^
Observim cL, ciin Teorer
incit
icoslo"r(ri
*
h)l
-
t
l5_
I
Fre
anx
=
k^4q,,,
qi,
Vn
)
m,
a"r(x+h)
=
contcSo€Nesteimpar
cos[o"r
De
asemcnea,
Vn
)
r
cos(a"
rz)
=
cos(o"_-
Prin urnrare,
n-
qi
atunci
t,
seria
avind
terrncni pozi
(n
=
m)
qi
{inind
cont
dt
qi
atunci
J/-, L \
|\&
-rtln)
h-
Evident,
lim
A-
=
aqadar
f
nu are
derivatd
196
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 199/218
D \
.
,,
"oslo"
r(a
+
/r)]
-
cos(a" rr)
''--l-'h
Observim
.x,
aio i..,'.r,ru"tllru*rorl*"
(Cap.
v,
g1),
exisii.
gr,
€
(c, r
+
h)
astlel
incit
lcoslanzr(n
{
n)j
-
cos(a"rh)l
=
a" rlhll
si(a'" r07,
)
|
(
o"zlhl,
deci
ls-l <'i''
bnon
-
tra^b-'
-
t
<
o{b-
/r
ob-l ab
-I
=
Fi.e
a^ x
=
h^
+
\^
c\\
k^
e
v
)i
r^,
I
;,
|]
ui
n"
r,*
=
6
=
1
-J-.
41uo";
g.63-3
nu-
-
6ir
in
nu
50
de
25)
(6
26)
(6
27)
9i,Vn):
m,
a"
r(x
I
h)
=
a"-^ a"'r(x
*
h)
=
a"-^r(k^
+
t),
de unde
rezulti,
{inind
conr
cd
a
€
N
cste
impar
Ei
cosna
=
(-l)'Vn.
cos[o"r(r
*
h)]
=1
1;{*-+tt"
=
(-l)t-+t
De
asemenea,
Vn
)
m
cos(a"ra)
=
cos(a"-^
r
a-
r)
=
cosla"-^ r(-k^
+
n^)l
=
=
cos(an-^rk^) cos(a"-^
m1^)
=
(-1)n-
cos(a"-^
rq^).
Prin
urmare,
'
. 1--L e
u
-'
";
I
a'1r
+
cos(o"-^rr1^11
gi
atunci
lR^1=,
f
A"1t
tcos{o"--n4-11.
l'u=^
seria
avind terrneni
poziiivi.
Rezultl, neglijind
toli terrnenii cu
exceplia
primului
("
=
m)
ci
linind
cont
de
(6.27),
tn*i'frr-
,tr"^r
qi
atunci
.'J
-
,mlz
n
\
r'
tttnt-
trm)
>
u 0
\5
-.6
.ll
Evident.
lim
i*
=
0Ei,
deoarece a6
>
I
+
T,
-li*"-r-(3-;:)
=."
aqadar
J
nu
a.re derivatS,
finit5
in r.
tf(r+h^\t-fG)
I
/,-
t97
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 200/218
7.
Ir{E't'OD.,\
s
tjPAR.i
RlI
VA
R
IABILIILOR'
Vorn
ilusl,ra
in
acesi
paragraf utilizarea
sr:riilor
bli:me
rnixte
pentru
ccuatia
corzii
vibrarite
qi
pent'rtt
rneiorici
separirii
varizrbiieior'
lr:urier
la
tezolvarca
llnor
P o-
ecuaita
cildurii
prin inlermtxliul
Din
(7.3),
T(t)-Y(o)
-
Jf(l)
=
O,
s4u4*
-{
,t"O
Este clar
cd numai
solrrlii
nenule.
inlr-adc
=
Cre'f
r
C2e-"6
4
.l
=
0,
-{(r)
-
Cr
*
Czt
Rd,rnirre
cazul ,\
<
0
+C2
sio r\/:1.
Din
(7.(
OsinlrA-=0$iXn
n2 rn
a4adar
)
=
^"--
p
D^-r-,, \ /t
(\
,li
qi
ohlinem
u"(lt
solulii
ale
(7.i)
penrru
r
u(t,
x)
-
LIh,\
n=l
i,,
-,.-,]:Iii
/.n,^ n^rmi+
r,' LUxul\Li
astfel oblinutc-
In
acesl
rerifice
(7.2) trcbuie
sd
ql
du'
-10.
r
A,'
Aqadar,
linind
cont
trcbuie
s5, avem,
peltrl
t
2t
l= I
1I
j
0
in
conciuzie,
z dat
in
m6sura irr
ca"re
(7.7)
obtioem
urmdtoarea co
7.1.
Problerna
micilor
oscila{ii libtrre
1>entru
ecualia
corzii
vibrante
fixate
fie
o coardi
vibralli
rle
luogime
l'
{ixati
la
capete
Micile
oscilalii
liberc
ale
u"r*"iri
,
i
10.
11
tu rrlot
t"ntui
I
iint
tlate
dc
solulia
u(l'
r) a
urm6ioarei
prt'blcme:
I al'1t
U'u
-=ll
2 Al2
kr2
(7
1)
o
fiind
o
constant
Pozitivi
Pentlu
r
€
[0,
l],
sc
cunosc:
u(0.
r)
=
/(r),
pozilia
1a
momcnlul
inilial
'i,tn.tl
-
9{.r).
\rlcza
la
t'ntr*ntul
ttti{i'l
(7
2)
cu
.f,
9
:
f0.
l]
-
R
coniintte,
neiclentic
lrrle,
iar'
<icoatece
c-oarda
esie
fixate
la
capete'
?r(1,0)=u(l,l)=0Vl>0
(7 3)
(vezi
'ig.
l).
u(t,x)
u(0
Fig.
I
i)rczeri a
aLii
a
ui',,r
c,.,ii.iilii
ili i'aie
((? 2))
cii
;i
;"
'iiior
cordilii
la iroriieri
((?
3lt
f;;";"
problenra
(7.1)+(?
2)+(?
3)
s6'
se ;iuneasc5'
Trrtble.md
mixtii
(P
M
)
'
"
vo*
giisi
soirrlii
rtenuie
peniru
P ivf.
(?
i)+(7
2)+(7,ii)
ric.
ibrma
u(i'z)
=
=
7'(l)X(;)
cu
?
ie clasl
C2
pe
l0,
co)
qi
X
dc.r:las[
C2
pc
[0,
i] Deoarccc
I
nu
""ii
id",tti.
nrrlX..
nici
7'nici
X
nu
sinf
idcntic
nule
injorrrin,i
',
ri ir
,,hr.inFl'
1.,"',,t'",
-
i-ili
\'"irr
-
0
rieri
I#,
-
-
1-ll
E
,\
peniru
/
.'{,r.
r
<=
10.
1]
crr
Trt)Xtr)
/
0
Atun,
r
\
lrJ
x't
lX=0
198
(7
4)
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 201/218
pro-
i e
(7
i)
(7
2)
(
/
JJ
M.).
x)
:
u
(t)
=
(t)
(7
4)
T"
-
tt2^T
=B.
(7
5)
Din
(7.3),
T(t)X(0)
-
f
OX(l\ =
0,
Vt)0
qi,
deoarece
"(t)
*
0
rezult[
x(0)
-
X(l)
=
0, a4adar
X
trebuie
sA
fie solulic
neidentic nuli
a ecuaiiei
(7
4) cu
conditiile
(7.6)
qi
oblinem
x(0)=-{o=0.
Este
clar
cd
numai
pentru
anumite
valori
)
e
lR
problema
(7.4)+(7.6)
admite
solulii
nenule.
inlr-adev5r,
conform
cu
Cap.
V,
$6.3,
dacd,
).
>
0
aven
X(r)
=
=
Cre"6
't
Cze
'5
qi
(7.6)
implicS, C1
=
Q2
=
0,
X(z)
-
0
Vz
e
[0,1]
iar
daci
,f
=
0,
X(z)
=
Ct
*
Czr
qi
dil nou
(7.6)
imp
cn Cv
=
Q2
=
Q'
R6roin".urrl
l < 0,
;ind
solutiile
ecuatiei
(7.4)
au forma
X(r)
=
ft
cos rr,A+
-lC2
sin
nt/J. Din
(7.6)
rcl.;ltltd Ct:
0
Atunci X(r)
=
6"
"in,rr-l,
deci
X(l)
=
C,riint./
X=0qif
nu este identic
zero
numai
darc|'Cz
*
0.
Rezrrlti
sinly'l)
=
0,
n2tn
n
[J'
a5arlar
.\
-
^,
-
-;,
n
€
N*
pentru
car:e
vom avea
soluliile
X"(r)
=
sin
,
'
T)^-*-.. \ /t <\ li
T,(t)
=
A^ cosY
+
e.
sin
/ onrt anrl\
nrx
ir,(r)
=
(,4"cos
j- B,sin
,
)"tn
t
solu[ii
ale
(7.i)
peniru
n]1.
C:um
ecualia
(7
1) este
liliare,
va
putea
avea ca
soliilie
(7
8)
,f r."r
=
i
un\t.x)
=i
(r,
-.
on
1s"sin9',oi)
.in
no{
=
'
\
(7
7)
i.,
^^-.li+il
rc.a
navmii
ripr;r:rraa
tel.me4
cu
termen
qi
evident
COnvergentra
seriilol
iI
LUrrur9]r
astfel
oblinute.
in acest
caz, evident
ci
u dat
de
(7.7)
verificn
(7'3)
Pentru
ca
u si
rr"r(s
I
r
.-/
,{0.") -
i
A,sinlr
=
/tr)
vr
e
lo,ll
n=\
gi
il
't
AnI\
n
T
i:(0.r)
=
)
8.--.
sin
.-r
=
glr)
v"r
€
lu.rl.
i]TIT
lL:1
Aqadar,
tinind
cout
de
(6.5)
qi
de
observa{iile
anterioa,re
privind
seriile de
sinusuri,
irebuie
sX avem,
PeIrtru
n
>
1,
II
A
=2
[Itr]sinLird-c. B-=
2
[
,i@)si,,'+tfu.
'"-
j
nnrJ".
oO
in
conciuzie,
u dat de
(7.7)
cu
A'
gi
B' dali de
(7.8)
va fi solulia
(7'1)+(7'2)+(7 3)
in
mbsura
iu
care (7.7)
clefirreqte
o
funclie
de
clasi C2.
Tinind
cont
de Teorema 6
7
obtinem
urmd.toarea
condilie
sufi
cient5..
199
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 202/218
PRopozrTr^
7.7.
Fie
f,g:[0,1]
-+
R,
satisldctnd
(i)
f
€
c3(f0,4);
l(0)
=
/(l) =0,
/'(0) =
f'(I)'
f"(.0)
=
t'
(t);
(2)
g
e
Cr([0,r]);
s(0)
:
{t(t)
=
0.
e'(0)
=
q'(t)
'
, .
'17t
t7 2t
pip
'nlttun
P \l
{7
l\ I
l;.2r-1;.1)
in
lermirologia
utilizate
in aplicalii,
vibratiiie
nrt t anT \
.Y"r-r)I,,ft)
=
t'-,,sin
,
sin('1i
-o",)
PRoPozTTIA
7.2.
orice r
€[0,1].
Atunci
t
u
=
un.I up,
unde ub
e
Demon.5tratie.
Es1
Reciproc,
daci u
este
r
satisface
(7.10),
(7.11),
Cautim
din
nou sol
I
(IJ.\ttr)
cul
tL
([u,
sirt
identic
nule.
se
numesc
unde
sta[ionare
sau u'ibra[ii
armonice
(Cn
=
J4
+4,,
titto"
=
f
,
c(rirl"
:
2"
, e
,,5;n
lII
..
nllruetrte
omplilulin"o
li
ff
lrorucnlo
proprit
;t
'
t"
L
vibraliei
arincnicc.
XiTl se
u)me1tc
ton
Jund&me'ntal
O
solulie
(?'7),
(7
8) formatd
prin
suprapunerea
tomrlui
furrdamental
i
a armonicelor
forrneaz5
timbrul sunctu\ii
emis
de coard5-
lbm
reverri
intr-u
capitol
ulr'erior
asupra
acestei
probieme
mixte,
considerind
qi
r:azul
in
carc
oscilaliile
sunt
fo4atc,
aceasta
inserrnind
c[
in
loc
dc
(7
1)
avem
I Dru }ru
-'"
-
-
=
Flr.rl.
r-u
F:
l0.m)
r
10./
i R.
continui.
tt-
(lt-
O.t-
$7.2-
Problema
propagdrii
cildurii
in
ffre
Fic un
fir
metalic
omogen
de
lungime
I cu
capet'ele
la
tempcratura
de 0o
C
Problema,
studial5,
chiar
de
Fourier,
este
de a
determirla
distribulia
de
temperatur?i
irr
{ir
la
momentul
/.
>
0,
cunoscind
distribtrlia
de
temperaiuri
Ia
monentul
i
-
0
in
prczenla iruci
surse
exterioare
de
cSldurS-
Se
prcsupune
r:i firul
este destul
de sublirc
asifei
incii
ioaic
lluriciele
cu airecagi
abscisi
aii
aceea'qi
temperaiuri
Fie
rr,(1, r) temperatura
la momentul
t
a
punctului
r de
pe
fir'
Aceasta satisface
ecualiur
ciiiriurii:
(7.12)
devine
+?/
Ca
nai
inainte,
X
X0)
=
0.
Rczuit{
.\
=
o'4,
?.(t)
=
c,e
,2
'
q
(7.12) fiind linia,rd,,
avea
qi
solulia
Pentru
a
avea
(7.1
PRoPozTTIA
7.3.
i,n,t
egr
ab il d, Ri,
en ann.
(0,oo)
x
[0,1],
core
est
Delnonstra{je.
Fi€
irr
(7.11) nr
raport
cu
cu
c" dat de
(7.15). Atr
i
lLlT
1:
I
$t
i ,ur
I i<i
vr
I0u E2u
o'ai
-
at1
-',"
"',
-...
r .l^
^
\
-
ln il-lP,l."lrte fl
'J
'
.tw.*/
-
Lv.
l'emperatura
la
momentu]
initial
este
datd,
prin
//-\
{,i,\t,t1l
I\it
... r.
^
/l
rD
-.,- in
i .r
qp r acrar
mnctplor a 0'C relinc la
i
u
J
:
u.,l
,,,
,,r1
ii,1 4 14 r v
(7.e)
(7.11)
u(r, 0)
=
?(t.l)
-
0.
-^.. ^ ^-^l-l^,-^
6ivr^
\'^m
^a',ci'l-"n
-i
o., ali:'.ald rii rn
al'\enta
ii'e;n iilil iiuu u iJiuui,
sursclor
exteri0u['e
|
't:
ou
-n
t7
t2l
o Dt dr2
-
''
i,,""pn,n,'t
urmatuilrca
ohs|rralir'
generali.
200
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 203/218
PRoPoztTIA
7.2.
Fie.
uo o
soluti.e a
P.N'L
(7.9)+(7.11)
cu
u(O,x)
=
0
pentru
orice
r
e
[0,1].
Atunci
u
este solulie aP.M.
(7.9)+(7.10)+
(7.11)
d.ocd.
Si
numai
d.acd,
tr.= uh*upt u'nd,e u6 este
o solulie
a P.M.
(7.12)+(7.10)+(7.11).
Demonstratie.
Este
clar
cia u,y,
+
uo
cste solutie a
P.M.
(7.9)+(7.10)+(7.11).
Iteciproc,
daci.
?,
esie
solulie a
(7.9).
atunci
?,
-
?i.p este
solulie
a
(7.12)
gi
dacd u
satisface
(7.10),
(7.1I\,tt,-uo
satisfacc
(7.10), (7.11).
a
Cautirrr din
nou
sohrlii
nemrle
pentru
P.M.
(7.9)+(7.10)+(7.11)
dc forma u(1,
r)
=
"(t)r(r)
cu
I
e
Cl(iC, co))
9i
X
e
C'?(i0,
il),
u
neideniic nuli,
deci
nii:i
I, nici
-Y
iiu
a,
e)
sin+"
identic
nule.
1
(7.12)
devine
-T'(t)YIx)
-
f
(ll,\
"(-"1
=
0.
(leci
19
=
'Ii1(1)
e'
^,
i
2
0,
r
e
10
11.
z(r)xtr)
1
0.
a2T(t) x(")
Ca mai inairte,
X
este
solulie neidentic nul5 a
problemei
X"
-
I,\
=
0,
X(0)
=
(7.13)
(7.15)
X(Z)
=O
Rezultl )
a2 n2 12
_1
T^lt)
=
c^e
12
'
n2n2 ,,-t
-
l"=-
-,n)lri
X,(r)
:
sin---, n)1.
(7.13)
r15
"tz'l
a"n"T'
--;; I
rt
tr
E
ob(lnem
u
4U
.
x)
-
cnc
,'
rln
-fl.
(7.12)
fiind
liniari, dar:X seriile converg
Ei
se
poate
deriva termen cu termen, vom
avea
qi
solutia
*
u2n2t2,
u(r,z;
-
f
c"e-
P
"sinffr
(7,i4)
Fentru
a a'/ea
(7.10)
indepliniti
trcbrde
ca
f
",
rin
$
= /(:r)
gi
atunci
i-'
I
PRoPozITTA 7.3. Fi.e
J
:
10,
ll
-+
R r:u
J
({t)
=
/(l)
=
0, deri.uabild,
cu
deriuata
iriegrab'ild.
Ri.emann.
Formulele,
(7.14),
(7.15)
dn,finesc
o
funclie
de.
clasd,
C-
pe
(0,
cc)
x
[0,l],
care este
solulie oP.M.
(7.12)+
(7.10)+(7.11).
Denrcnstratie.
Fie
[a,B]
c
(0,co).
Considerdm seria
obtinute
derivirrd
de
& ori
in
(7.1,1)
in raport
cu
t
r I
"t
I
o2n2r2
'
?^
(- -n'"'
\
---,o
t
nzr
:,"-
t--i )
"
,'
5in
-i-'
(7.16)
I
a2 n2
n2
a2n2 12
cu c,. dat de
(7.15).
Atunci,vn>1,
WS<21
lVAllarY
c,e-Tt
<
<u--lro
0
-
ttttt
I
.nr
f
j {
i i-", ,-
[C.l'.
iieci
(i.io;
?ij. tu
bFii., ,nrjurdnii
pr
I
2l nrr
; /
J(x)sin
,
dr.
tJ
l
0
201
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 204/218
.22-td
a2n2r2
^
"(+)-
t
n2te-
12
*,
convergent5. conform
Corolarului
1.8.1. Rezult5
c5,
rt/Z
V,t
)
1, seria
(7.16),
(7.i5)
defilegie o funclie
de clase Ci
in rapoii
cu
j.
,Dentru
derivatele in
raport
cu,"
Qi
pentru
cele
mixie
au
loc major6ri
asemEnitoare, iar
in
condi\iilc
pur".
i
rin
T*
=
,r*runilorm
pe
[0.
1].
I
=l
Pentru
a
gdsi o solu{ie a P.M.
(7.9), (7.11)
cr
"$,t) =
0
Vc
e
f0,
/l
qi
F
€
C1((0,
oo)
x
[0,
l])
considerd.m dezvoltarea F
(1, r)
=
|
""p;.i"
f
,
x
€
[0.4,
a=l
I
)lntr
I
Z
0.
cu
cnll)
=
;
/
F(r.
r)sin
;dr,
convergcn\a
fiind
asigurald in ipoteza fdcuti
0
asupra lui
F.
Cdutdnr
solulii
de forrna u1r.r1
=
f
u"1l)sin
n,trr.
'=t
9,r
,2
t2 I
n,
Din
(7.9)
obtrnem
I
I
iri,tr)
-
-
u,(/)
-
c"(1)l srn
jr
-
0.
a-qadar
4taz"JI
n=l
d2 n2 T2
ut"(t)
+
-+u"(t)
=
a'z
c"(r).
Conditia
z(0,
c)
=
0 antreneaz6
u"(0)
=
0,
n
>
1,
qi
aiunci.
conform cu
Cap.
V,
$6.2,
t
a2n2 i2
-t
u,lt\
.
a?
/
c"(s)e
12
"
''d,,n21.
.t
oblinindu-se solulia
o
a2 n2 12
,rr.
-)
=
"'i
(/
c,(s)e--?:('
-
")a")
.,^
1n"
n=
1
0
8.
EXERCTTTT
1. Si,
se
studieze
convergenla
seriilor
.s-u
a)
) .-^,
ocL. o>u;
rl=1
c)
\- ---i--.
o
c
R:
/2
n( In n\o
n.=2
e)
i)
o"1, oe
n
.1
sln
-.
n'
1
t/2n
+
I'
2.
Si
se
calculeze
suma
serie
3. S5,
se
demonstreze
converl
.S.
1
a)
)
---------':-.
"-{n*r)ln'n'
h\ \-
slntnn.,l
-.
'l)
it
u=1
.3 2x
c)
LNctE-
i--:---,
4.
S5. se arate
.5,
."riu
f..
5. Fie seria
i
"-",
'
a
*.
tl= I
a)
55.
se
determine
mu(
b)
Si se
arate
c5. pe
clasX
C-.
3r
c)
Si
se calculeze
)
i1
--
lt
Ind.icaJie.
La
punctul
c)
r
6. Calculali
irei aproximalii
r
a)
st=t
-
x2,
x(0)=0
b)
st=t2
+12,40)=t
c)
z/
-
12
+
sinl,
s(0)
.
7. Deduceti
solu{ia
exacti
c
r(0)
=
i.
8.
Sd. se
afle
raza
de convergr
a)
J-
('z
+-1)"
n:I
-
4
i'*'
=1
r
\'
L
c)
/7
17\
O
demonstralie asemd.nd.toare celei
din Propozilia
7.3
asigur5.
ci
(7.17)
este de
clas6
C-
pe
(0, oo) x
10,
/1, solu{ie a
(7.9), (2.11)
qi
u(0,
r)
-
0
Vc
€
l0.ll.
2u2
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 205/218
c5,
qi
l],
. 7)
e)
c)
i)
an -i-.
a
6
fl
.1
stn
-,
4
1
,/2n
+
I'
f) )
-.
o€R:
.--t
hr \
-
-
Jn' +
il
.r \.-,
',rln
n
.t) ) \-L)
-
=2
2.
Si
se calculeze
suma seriei dubl"
i I
o" bnru Teoremei 2.3.
^u,k=,
^*
'
3. S5.
se demonstreze convergentra
uniformi.
pe
muliimile
indicate
.=. l
a))
---.
.".--.-_.re
[0.oo):
'
z-J^
(n
+ r\lf n'
-'
or
i4 P,,.o,
ft=l
cl
5-
arcts
,"-.
.
s 6
Y1.
"
*
+n4
4.
Si
se
aratc
c,i
s.rla
i
urctg
{
defineqte o
funclie
de clasii
Cr
pe
R.
*-t
n
5. Fie seria
i"-"',
,
e
m.
n-I
a)
SX
se
determine multimea
din
R
pe
care
seria
converge.
b)
SX
se
arate c5
pe
multimea
de convergenli seria
defineqte
o func{ie
de
clas5.
C-.
:l
c)
S5.
se calculeze
)
':1e-"
-
e-2";.
n=l
Indica\ie. La
punctul
c) se
poate
folosi dezvoltarea
in serie Taylor
pentru
ln(
I
*
e
).
6 Calcula.lri
l,rei
aproximalii
srrccesive pentru
soluliile urm5,toarelor
probleme
Cauchy
a)xt=t-s2,r(0)=0;
b) xt
=
12
*
r'?,
r(0)
=
0;
c) r'
=
x2
*
sint,
o(0)
=
z'.
7.
Deduce{i solutia
exacti ca limitS.
a
aproximaliitor
succesive
pentru
xt
=
t
{
x,
r(0)
=
1.
8. Si
se
afle raza de
convergenli
a
seriilor
de
puteri
.s-(z*I)"
a,
)
--__'---
i
nr
E'
c)lnz";
61
r-f$1,+ir"r
o)i*,"
\-
12
\-
/r
2.-
203
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 206/218
9.
Si
str
aflr'rnult,ilttcrit
rlin
f'
pc
cart'crlnl'erg
'st't-iiltl
,,\., r,
:.
,
r'r
)
L-
",1,,,,
li.1'
'
,
,rt'
,rf.r'tII':
"'L't'
.t,
7,
:z"
iU.
S;,.'
;:8,
i:rrrlii:::';r
'1in
11""r'
r"n1"1a'scri:'
|
;
'
I L.
S',
'
,,'1,
',1,
2"
{,,1"-in'l
I r'r(
.i;'n
rl
r'rr
nrrr.
,.Jr,:r
",
t'-t
rr,..,1
,,:
b
L
-,,:
'
r=r
'
=(l
12. Si.
sc
dczvoitc
itr
neritt
i
a,,t"
n
'\l
,t
'"-.,.,'
3:
h
,
,:
':
I:
- -,61l-3
\-'
3"
(21
+
1)
c.\
f(r)
=
r'?.
18.
iblosind
seria Fourit
deduca
valoarea su mer \
L
l 1.
Si
se
dcz.,'olte
r^r seri
a)
/(.r)
=
r;
20.
Si
sc dezvr.:lte
in
seri
21.
Si
se
rezolve problen
. I dt
[)2
u
rt
__
__t
a'
(1t
ox.
.
1
du
02u
'
a2 0l
dr:
: .,,
13.
Sf,
se
4r,z'riltc
in
serie
o,,r",
p.ccizilciu-se
ciunerriui
cle
cr.'
erg"ii-',zr
n=0
f
rirr/
ar
ft.r't
lttr
I'r::
b).tlx)'
J
;
dl:
0
I
tt I L: I
,'
"lt,
d)
/t:)
nrcre i:
'1
ir
e, /r., r /
1't':''',
i;
,/1r,
fi
t'
It
0
11. Sii
.'se
rilr:rrk:zc
aproxilnativ
cu
trei
zecimalc
exactc
a)
1nI.L
ir)
hr8:
c)
lrr3
15.
Sd sc
tlalr:rLlcze
a)
Ln(1
-
j);
b)
(1 i)';
c)
r5'
16.
Si
se
giiseast:ii
solulii
sub
forrna
seriilor
i
a'"r"
n-0
a)
tl'
-
Ix'
i
2r'=
0;
b)
,r."
+
rtu
-
0;
c)
:r"
l-
lr
=
0l
rl\:r"'+tu=0.
17.
Si
sc calculcze
coeficitrrilii
Foririer
Ei
s6
se
studieze
convergr:l1a
seriilor
Fouricr
t)errtru
./
:
I
r, r]
+
R
fo.
r(r(o
r l:.f
l
. [.r. u'.rs.
bl
./
(:r')
=
sgnr:
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 207/218
c)
f(c)
=
x2.
18. -olosind
seria
Fourier
a funcliei
de
la
punctul
a)
din exerciliul
precedent
si se
deducd
valoarea
sumei
)
---
*_L-"
Qr
r
t1z
'
19.
Si
se
dezvolte
in
serie Fcurier
funclia
I
:
[*1,
4
--+
R
a)
/(r)
=
0;
b)
/(0)
=
lrl.
20.
Sd.
se
dezvolte
in
serie
de
sinusuri pe
[0,
f]
functia
J(r)
=
o(l
-
r)_
21.
S5.
se
rezolve
problemele
mixte
.10u 32u
^l
ot a- a-rr-0
u(0'r)=
2(l-r),
u(i,0)
=
u(t,[)
-
0;
..
1
du
02u
5r
b)
-;
-
-o
"
-
sio:, r.
a(0,r).
0,
u(t,0)
=
u(l,l)
-
0.
a'
ot ot. I
205
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 208/218
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 209/218
pro-
Am
l8l.
[2:].
J,
Pro-
Rie-
in
parte
dintr-un
minim
de elemenie
de analizE lunc{ionalE
necesar
exprinrdrii
unor rezultate
privind
calculul diferential
htr-un
lirnbaj
modern.
Pentru
o tralare
mai
ampl5, vezi
de exemplu
[18].
Conceptul
de
conexitate esl,e
prezentat pe
larg in
[4].
Proprietilile
legate de
mullimile conexe
din
spalii
normate in
cazul
partrcular
al
spa,liiior
R"
se
pot
glsi
in
[14]
qr
[30].
'leorema
6.3 este
prcluat6
<trip5
131]
unde este ur.ilizati. pentnr
deducerea unei demonstralii
a Teoremei de
aproximare a
lui
Weierstrass.
CAPITOLUL
IV
Criteriul
de
integrabilitate
al
lui Lebesgue
este demonstrat
in
[2]
qi
[21].
Definilia
integralei
pe
intervale n
dimensionale
generalizeazi
defini{ii ca.re
in
cazurile n
=
2
qi
n
=
3
se
gisesc
in
[11]
9i
[14].
Aici
qi
de
asemenca in
[25]
qi
[30]
se
gisesc
ai
diverse
aplicalii
ale integralelor
la definirea
qi
calculul
unor mXrimi
utilizate
in tehnic5..
Integralele
pe
intervale necompacte
prezentate
in
cadrul integrabilitilii
in
scnsul
lui
Lebesgue se glsesc
in
[18], [21],
[30], [31], [33].
O
abordare a corceptului
de integra.li.
bazatX
pe
noliunca
de
primitivi
generalizati
este
prezentat5,
in
[5].
CAPITOLUL
V
Partea legatX de
derivabilitatea funcl
iilor
de o
variabili
este
realizatS. din
perspec,
tiva derivabiliti{ii
in
sensul
lui
Fr6chei. Demonstralia
Teoremei
1.5 se
reia inlocuind
modulul cu
norma in cazul
func{iilor
definite
pe
spalii normate.
Demonstralia dali
'feoremei
lui
Schwarz este din
[14].
Pentru
o variantd.
pulin
dileriti vezi
130]
iar
o
formi
generali
se
gdseqte
in
[2].
Exemple
privitoare
la
calculul
integralelor cu
parametru
qi
a numeroase
prirnitive
qi
integrale
se afl5 in
[11].
Un
capitol
amplu
consacral
in-
tegralelor
euleriene
din
perspectiva
analizei complexe
esie
conlinut
in
i191.
Penlru
detalii
privind
ecualiile
diferenliale reconrandim
l1],
[1?], 128].
CAPITOLUL
VI
Seriile
in
spa{ii
normate au
o
prezentare
amplS
irr
[28].
O
tratare aminunlit5,
a
seriilor
duble
se afla
in
[11]
qi
in
123].
Demonstralia
'I'eoremei
Cauchy-Lipschitz
este
adaptai;
dupi
[1].
Teoria
seiiiloi
de
puteii
din C
este
dezvcltat5
in
cadrul aralisci
complexe
in
16],
[19],
133].
Numeroa"se
aplicalii
ale formu]ei
Taylor
se
pot
gXsi
in
[1i].
Seriile
Fourier
trigonomettice
sini
prezefli,aie
intr-o
rnanier5,
apropiatd
cle cea
din
acest
manual in
[18], [2?]
qi
[31].
in
t3i]
qi
in
[14]
se
pot
g5si
demonstra{ii
ale
Teoremei
lui
Dirichlet
care
nu
folosesc
teorema
lui
Fejer.
tatarea
seriiior
Fourier
trigonometrice
in
cadrul teoriei sistemelor
ortonormale
complete
in spalii Hilbcrt se
giseEie
in
[18],
130],
[31].
O
ciemonstralie
a Teoremei
<ie
aproximare
a iui
-'vVeierstrass
care
nu
utilizeazi
Teorema
iui
Fejer
se
gS,seqte
in
[27].
Exempiul de funclie continuS.
care nu este dcrivabil5,
in nici
un
punct
este
preluat
dup5,
[33].
Prezentarea metodei
separ5rii variabilelor
este
adaptatS dupn
132],
207
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 210/218
Bibliografie
1.
V. BARBU, Ecualii d.iferenliale, Dd.
Junimea, Iaqi, 1985
2. N.
BoBoc, Analizd
malemalicd,
Univ. Bucureqti, 1988
3.
N. BoBoc,
I.
CoLoJoAR;,
Elemenle d.e
Analizd
matentaticd.,
(Manual
pcntru
clasa a
XIi-a),
Ed. DidaciicS,
qi
Pedagogici
R.A.,
Bucureqti, 1997
4. N.
BoIJRBAXI, Topologie
generalc,Iletmann,
Paris, 1961
5. N. BoURBAKI,
Fonclions d.'une variahlc rl.ele
(Th6.orie
il6.mentaire),
I{ermann,
Paris,
1949
6. H.
CARTAN, Th4orte 6ldmenlaire d,es
fonclions
analyliques
d'une
ou
plusieurs
rariables complexe.s,
Hermann, Paris,
1961
7.
G.
Cnrr,ov, Analgse
mathdmalique.
I'onclions d'une
uariablc
d
Mir,
Moscou,
i973
8.
I.
CoLoJoARX,
Analizd
rnaiematicd,
Dd.
Didactici
qi
Pedagogici, Bucureqti,
r oa.l
9.
R.
Crusrescu,
Anali.z6.
funclionald.,
Ed. Didaciici
qi
Pedagogic5,
Bucuresti,
1979
10. C.
DR;cUqIN, L.
DR;cuqrN,
C.
R-Lou, Calcul
integral
Ei
ecualii diferenliale;
erercilii
gi probleme,
Dd.
DuStyle, Bucureqti,
1997
1I.
G.
M.
'tHTENcoLT,
Calcul
d.iferenJial
gi
integral,
Ed.
TehnicS,
Bucureqti, 1963
12. P.
FLoNDoR,
O.
Sritviqrl,i, Leclii d,e
analizd matematicd,
Ed.
All, Bucureqti,
l1 .lu C'rcct A Cmirricrr;
'r
qT^r^^
EI-^-^t^ )^
,t
0
t.Lu
I
tu-
nual
pentra
clasa a
XI-a),
Ed. Didactici
qi
PedagogicS.
R.A.,
Bucureqti,
19g7
14. ARTSTTDE
HALANAv,
V.
Or,,rmu, S. TuRBATU,
Analizd. maternalicd,
Ed.
Di-
uorLr d
t|
cudxuts'Ld,t
rruculeiLl.
Lyo.J
ru
(tlrt
uL
o
uu|tuouu,
tontptelu,
u.r.D.r
lyvo
16.
P.
HALMos,
lnlrod.uclion
d,
la
lh{orie
des ensembles (Nai.ue
sel
theorfl,
Ga
hi-
ers-Villars,
Paris, 1967
18.
19.
20.
21.
22.
17.
M.
HuMr,
W.
MTLLER,
enlisls and
engineers,
S
A. KolMocoRov.
S.
I' analg se
fonclionnelle,
M.
A.
Llvnoxrrrv,
B
nepeueaxozo,
Gos. Izd.
G.
MARrNEscu,
,{r}aliz
C.
Mtefirl,
Bazele ar,
cureqii,
1977
C. Ntcur,cscu,
.Fandcr
1996
M.
NrcolDscu,
lroliz
1958
M.
NrcolBscu,
C.
DI}
ool.
1,
11, Ed.
Didaciici
V.
Or,entu, Analizd
rn
O.
Or,ro,qlru,
,
aalizd
I
W.
RuDtN,
Principlcs
<
L.
Scuwtnrz,
Analysc
Gn.
Srnolcnr,
Calcul
24.
26.
27.
28.
?o
Bucureqti,
1985
30.
O. SrixiEri,
,4noliz,
1981
31. B. Sz.-Nlcv,
ialroa'zci
miai
Kiad6,
Budapesta,
32. A.
N.
TrHoNov,
A. A
Bucuregti,
1956
33.
E.
C.
TrrcHMARsH,
fl
208
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 211/218
penlru
1963
(ma-
1997
Di-
17.
M.
HIIMI,
W.
MILLUR, Seconil cor.r'se
xn ordxnar dtfferenliaL equations
for
sci-
enlisls
and, enginccrs,
Springcr,
Berlin, 1988
18.
A.
Kol-ivtocoRov. S. FoMrNo,
illenenls
d,c
la
lhiorie
tl.es
fonclt,ons
eI d,e
I'analuse
foncti,onnelle,
Mir,
Moscou, 1974
i9. M. A. LAvRITN'uEv, B.
V.
$la,lr,
Memolu
meopuil,
$ynn4ui
xoun,tcxcnozo
nepeMeNNo?o,
(los.
Izd. Fiz.
Mat.,
Moscova,
1958
20.
G.
MARINESCU, Analizd mal.m.atxcd., uol. II,Ed. Academiei, Bucureqti, 1984
21. C. MEGHEA,
Bazele anahzei malemalice, Ed.
$tiintifici
qi
Enciclopedici,
Bu-
cureEti,
197?
22.
C.
NICULnscu,
Fundamcnlele Analizei
matemalicc, Ed. Academiei,
Bucureqti,
1996
23 M. Nrcol,oscu,
Analizd.
malemalicd,
uol. I, II,
Ed. l'ehuic5., Bucureqti, 1957;
1958
24.
M. NTCoLESCU,
C.
DINCUTEANU,
S.
N{Ancus, Manual
de Analizd
matemalicd,
aol. I,
II,
Ed. Didacticl
qi
PedagogicS, Bucuregti, 1962;1964
25.
V. OLARIU, Analizd matemo.ticri,
Ed. Didaciici
qi
Pedagogic5, Bucureqti, 1981
26,
O.
OLTEANU,
Analizd. malernqlicd,
parte.a
I,
U.P.B.,
1991
27. W.
R.uDIN,
Principles
of malhemal.ical analgsis, McGraw-Hill, New York, 1964
28.
L. ScJ{wARTz
,
Analyse rnalhdrnatique,
IIermann,
Paris, 1967
?9. GH. SIRETCHT,
Calcul diferenlial
9i
inlegral, Ed.
$tiinlificd
qi
llnciclopedicd,
Bucureqli, 1985
lJO.
O.
Sr,{NiqILX,
Analizd
matematicd,
Ed.
Didactici
qi
PedagogicX, Bucure$ti,
1981
3i. B. Sz. iitcu, inlrotiuciion
io iieai Funclions and,
Arihoqonai
Ezpansions,
i.^ka<i6-
miai
KiadrS, Buriapesta,
i964
32.
A. N. TrHoNov,
A. A. SAMARSKI,
Ecualiile
fizicii
matemalice, Ed.
Tehnici,
Bucureql,i,
1956
33.
E.
C.
TITCHMARsH,
I'he
lheory
of
funclions,
Oxford:
Clarendon
Prcss, 1932
209
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 212/218
A-
Abel
V
93,
VI
93,
VI
gI
acoperire
II
$4
aderen 5.
II
g1
alcgere
IV
1,IV
3
aproape
peste
tot
IV
$2
argument
I
$5
Arhimede,
axioma
lui
I
$4
axioma
alegerii
I
$1
Cantor-Dedekind
I
g4
de
extensionalitate
I
$1
mullimii
pirlilor
I
g1
mul{imii
vide
I
gl
B
6(.4)
rr
$2
Banach,
spaliu
II
g2
teorema
Banach
Caccioppoli
rrr
$2
bil;,
II
$1,
rII
g3
Bessel
VI
$6
Boizano
i
g,i,
ii
94,
iil
g5
c
C,
I$5
c",
c- v
$1,
V
$2
c([a.6])
rr
g3
Caccioppoli
III
g2
Cantor
I
g4
cardinal
I
g3
Cauchy,
criteriu
I
94,
n
91,
IV
91,
rv
13,
rv
97,
rv
98,
vr
g1
problerni
V
96,
Vt
g4
qir
I
94,
I95,
Ir
gl
teorema
V
91,
VI
g4
valoare principald.
IV
$Z
C-derivabilitate
V
gl
Cebiqev
V
g6
centru
de greutaie
IV
$5
cercinCl$5
Cesaro,
criteriu
I
$4
medie
VI
gl
coeficienti
fourier
VI
$6
compaci
Il
4
complet
II
g1
complementarl
I
$
1
componenti
conexi
III
$5
condilie
ini{ial6
V
g6
corexi
ii
1
conjugat
I
g5
contractie
iII
g2
centru
de greutate
IV
[5
convergentS,
absolutd
a
integralelor
IV
$7,
rv
$8
seriilor
VI
gl
uniformi
lI
g2
a integrajelor
rv
$9
convolu[ie
a
qirurilor
VI
$2
corp
ordonat
I
$4
criteriul
Abel-Dirichlet
Cesaro-Stolz
I
$4
inte_gral
VI
g2
D
Darboux,
critmiu
IV
$1,
proprietate
III
J,
sume
IV
$i,
IV
g3
teorema
III
g3
derivatX
V
$1
partiald
V
92
dianetru
unei
mullimi
I
Dini
III
gO
Dirichlet
V
93,
VI
92,
Vl
nucleu
VI
$6
discinClg5
distan 5
II
g1
inlRig4
diviziune
IV
g1
drum
III
g5
dual,
spaqiu
III
g3
E
eIg4
ecua{ia
cd,ldurii
VI
$7
ecua{ie
ca.racteristicd
V
I
Euler
V
g6
eiement
ma-rimal
i
$2
cjemFrrre
conectate
Iii
[S
Eulcr,
{61-u1"
Y1
qt
funcliile
V
g5
Euler-Fourier,
formule
VI
Exemplul
lui
Weierstrass
F
familic
I
g1
Fejer,
nucleu
VI
$6
teorerna
'I
$6
Fertllai,'ueoierrra
\'
$i
formula
Leibniz-Newton
\
Taylor
V
g4
Indice
210
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 213/218
criteriul
Abel-Dirichlei V
$3
Cesaro-Stolz
I
$4
integra.l
1rI
$2
D
Darborrx,
criteriu
IV
$1,
IV
$3
proprietate
nI
3,
V
$1
sume
IV
$1,
IV
$3
tcorema III
$3
derivati
V
$1
parliali
V
S2
diametru
unei
mullimi III
$1
Dini III
6
Dirichlet
V
$3,
VI
$2,
VI
53
-.
.
^r
^-.
rn
c4
,ruLruu
r
3u
rliscinCl$5
distanld II
$i
inRI$4
diviziune
IV
$1
drum
III
$5
dual,
spaqiu
III
$3
D
eI$4
ecualia
ci.ldurii
VI
$7
ecuatic caxacteristic.i V
$6
Euler
V
$6
eiernent ma-ximal I
2
eiemenie coneci.ate iii
$3
Euler, formule VI
5
functiilc
V
$5
Euler-Fourier, formule
VI
$6
Exemplul
lui
Weierstrass
VI
$6
F
familie I
$1
Fejer, nucleu VI
$6
teorema
VI
$6
Fermat, ieoiema V
q1
formula Leibniz-Newton
V
$3
Tavlor
V
Q4
formulele Euler-Fourier VI
$6
Fresnel V
$3
front ier5" II
$1
Fourier, coeficienli VI,
$6
serie VI,
$6
Flbini, teorema
iV
$4
functie
analiiic[
VI
$5
bcra
V
$5
bijectivii
I
$1
caracleristicd
I
$1
continuS. III
$1
pe
portiuni
III
$1
de tlasi
C',
C-
V
$i,
V
$2
derivabili
V
$1
gamma V
5
identicd I
$1
injectivd
I
1
integrabild. Rierrann
IV
$
1, IV
$3
in
scarl
III
$1
local
lipschitzianl
in variabi]a
a doua VI
94
real-analitica VI
$5
surjeclivi
I
$1
uniform
continui
III
1
func{ionald
liniard
md,rgirritd
III
83
Grarnm-Schmidt
Il
$3
r.]rnnwqll
lpmr
\/T
td
H
Hadamard
VI
$5
Hausdorff, teorema II
$4
Hilbert,
spaliu
II
$3
homeornorfism Iii
5
I'H6spital
V
Q1
211
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 214/218
I
incluziune
I
1
incgalitatca lui
Bcsscl
VI
fj6
Lr;
q.hsi.i,
rr li?
integrala
Ricrnann
po
[a,
]]
IV
$1
pe
inlervaln-dimcn-
sional IV
gil
pe
intervale
nemir,
ginite
lV
$7
pentru
func{ii
ne-
mirginite
IV
git
intcgrale r:u parametru
lV
$6
itttegralele
lui Fresnel
V
$3
interior
1I
$1
interscc[ie
I
$l
intervaldinRl$4
n
dinrensional
IV
$3
L
La1;range,
teorelra
V
$1
rest
V
g4
l,ebesgue,
criteriu I\r
[2,
lV
$3
Lcgcndre,
polinoame
II
$3
Lr:ibniz
V, criteriu
Vl
$2
-Ncwton,
formula
V
$3
lema
lui
Gronwall VI
g4
1.n," l"i 7^.- I It
ll-,,r,,
i^a^-:^^
-:
T
c/
supcrioari.
I
$4
unr:i
lunctii
Il
$1
iinie
poligonalS
I
II
5
Lipschil.z
VI
$4
logaritm
nalural
complex
VI
$5
rrl Y
Y\
TTT
tc
M
ir{aliirus,
rrc,dci
V
g6
nargine
inferioari
I
$2
supcrioari
I
$2
ma.sir
IV
$5
medie
Cesaro
Vl
$1
nrodul
al
unui num5,r
real
I
$4
corriplex [
$5
de continuit,al,c
III
$l
lnetri'r
r
r
\,r
rnullirnc a numerelor
na,turirlc
I
$3
a
numerelor reale
I
$4
cornpact
d, ii
34
complctd il
$
I
conexd
II
$1
de mS,suri
zero
(ncglijabiln)
din
R IV
[2
din
R"
IV
g3
deschisi
I
$4,
ll
$1
factor I
$
1
finit n I
g3
inchisi
II
gl
rnajoiat; I
$2
mdrginiiS
I
$2,
I
$5,
II
jl
Iiniar concx5. lII
$5
numS,rabilE I
$3
ordonatd
I
g2
relativ
deschisi
II
$1
inchisi II
$
I
. .1-
-
t,,
-^-^.,:
r1 rE
orrrryru rurrl^d 1,r
I,,
total
ordonaiS I
$2
m.rl[im"a nx6plel,rr
complex"
I
\5
N
Ncwton
V
formrrla
Leibniz-Newton
V
$ll
norrni
II
$2
a
unei
diviziuni
IV
gi
a unci
partilii
IV
g3
uliformi
III
g6
norme
echivalenle
III
$4
nucleu
Dirichlet
VI
$6
Fcjer
VI
g6
numiru)
e
I
$4
operator
liniar
mirginit
III
$3
oscilalie
III
$1
P
pa"rte
I
$1
inireagl
I
g4
parritie
IV
E3
Picard,
metoda
'I
$4
polinom
caracteristic
V
$(
Cebigev
V
g6
Legendre
II
$3
prelungire
I
$1
prin
cortinuitate
III
pdn periodicitatc
Vl
prinitivi
V
3
problcnril
mixtii, \rl
$5
pror:edeui
de ortogonalizal
produs
cartezian
I
$1
scalar.r
II
$3
proiectie
stereograficd
I
$5
proprietatea de
cxistentl
tate
locald
VI
g4
prilrct
de
acumulare
II
$1
dc extrem
local
V
$1
de
maxim
V
g1
de
minim
V
g1
lix
III
g2
izolat
Il
{1
linit[
I
$4
ordinax
VI
E5
sinsular
VI
85
puterea
complexS,
VI
5
p
rafinare
IV
$3
raniiira priiicipaii
\,ri
5
raza
de
convergenli
\rI
$5
rr:guiile
iui
i'H6spiial
V
$1
relatie
I
$1
de ordine
I
1
reprezcntarea
zecirrrald
a n
re:.io
I 14
lest
VI
81
restlic{ie
i
$1
reuniune
I
$1
212
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 215/218
$5
$3
$3
intreagd
I
$4
pa"rtilie I\'.
$3
Picard, metoda
VI
$4
polinom
caracteristic
V
$6
Cebiqev
V
$6
Legendre
II
13
prehrngire
I
1
prin
continuitate
III
$1
prin
periodicitatc
VI
$6
primitivi
V
$3
problemii mixti
VI
E5
pro<:edeul
de ortogonalizare
II
|j3
produs
cartezian
I
1
scalar
II
$3
proieclie
stereograficd
I
$5
proprietatea
de
existentii
qi
urici
tate
locali
VI
$,1
punct
de
acunulare
II
$1
de extrem
loca,l V
$1
de
maxim
V
$1
de
minim
V
$i
fix III
$2
izolat
II
1
limiti
I
$4
ordinar
VI
{5
singular
VI
$5
puterea
complexl
VI
$5
p
rafinarc
IV
$3
. :. -
r'r
a
rar uLd
prlrLrydro
vr
Yo
raza de convergen 5.
VI
$5
lcBurllc
rltl
L nusPrLdr
I jr
relalie
I
$1
de ordine
i
$1
reprezc[tarea
zecimal5 a
numerelor
reaie
I
4
rest
Vt
81
restriclie
I
$1
reunirrrre
I
$1
Riemann.
integra.la
IV
$1.
IV
53
^,-_-i
Trr c1 T\r
(a
teorcma
VI
2
Rollc, teorema
V
$1
$1
$5
S
Schmidi
II
$3
Schwarz,
irregalitatea
II
3
teorema
V
$2
segment
III
$4
seria absolut
convergenti
VI
g1
altemate
VI
2
armonicd
VI
$2
binomiali
VI
$5
convergentl
VI
$
l
necondilionat
VI
$1
de cosinusuri
YI
{j6
de sinusrrri
VI
$6
Fourier
lrigonometrica
Yl
{0
geometrici
VI
$1
sumabilS
Cesalo
VI
$1
Taylor
VI
$5
sferar
urritate
III
$3
sgn
IiI
$7
sisten
ortogonal
II
$3
ortonormai
ii
$3
solulie
a
r:cualiei ciiicrenliaie
v
$6,
vr
$1
spaliu
Banac.h
II
92
dual
III
$3
Hilbert II
$3
metric
II
$1
complet
II
$1
normat
lI
$2
subqir
I
$.3
sumi
Darboux
lV
$1,
IV
$3
parliald. VI
$2
Riemann
IV
$1,
IV
$3
srf
r
r
CauchYinRI$'l
inCI$5
in
spatiu
mehic
II
$l
V
$3
112
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 216/218
cu
limita
oo
din
R
I
$4
crg5
monoton
1$4
do frr
lrfi i
TIT 66
T
Taylor
V
$4,
VI
g4
tcorema
Abel
VI
$5
Abel Dirichlet
VI
[3
Banach
Caccioppoli
III
$2
Bolzano-Weierstrass
lI
$4
Cantor
T
$4
Cauchy V
g1
.
Caurhy-Hadamard
Vl
$5
Cauchy-Lipschitz
VI
g4
Darboux
III
g5
Dini
III
$6
Dirichlet
VI
$6
de aproximare
a
lui
Weier-
strass
VI
$6
Fejer
VI
g6
Fermat
V
g1
t'ubini
IV
$4
Hausdorff II
g4
Lagrauge
V
g1
Rolle V
$1
Riernann Vl
g2
Schwarz
V
$2
Taylor Vi
$5
Weierstrass
lI
$4,
III
$1,
VI
$1
testul
radicalului
VI
$1
raportului
VI
$1
r
^^ ^l ^.,;
-
rr f1
v
valoare principali
Cauchy IV
$7
varialia
constantei
V
$6
vecinS,tate
Ii
$
1
lrt
r,{
r
s+
aiuiooinRig4
crg5
vectori ortogonali
II
3
Verhulst, model
V
$6
volum IV
$3,
lV
5
w
Weierstrass,
exemplul
VI
$6
teorema
II
$4,
In
$1,
Vl
gi
z
Zorn,
lema
I
$2
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 217/218
7/23/2019 Analiza Mate
http://slidepdf.com/reader/full/analiza-mate 218/218
Acest
manual
de
analizd
matematicd
este
rezultatul
experienlei
dobAndite
de
autcri
prin
activitatea
desf5guratd
in
cadrul
U
niversiHtii
Pol
iteh
nica
Br"lcureqti.