Analisis Vektor

Kelompok Qurotu ayunina 140210102003Nurlia Fitasari 140210102023Wawan Juliyanto 140210102097

Besaran Vektor memegang peranan penting dalam ilmu fisika

Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah

Besaran sekalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (nilai)

• Vektor = kecepatan , gaya yang beraksi pada benda, percepatan, impuls dll

• Skalar = Massa, panjag, waktu, suhu, dll.

Aljabar Vektor Devinisi penting dalam aljabar vektor

Dua vektordan dikatakan sama, jika keduanya memiliki besar dan arah yang sama

Sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor tapi arahnya berbeda maka dinyatakan sebagai

+ =

Perkalian vektor A dengan skalar m menghasilkan Vektor

A⃑

B⃑

A⃑

B⃑C⃑

C⃑ C⃑

• Jika vektor – vektor A, B, dan C dikalikan dengan besaran skalar m dan n bisa berlaku aljabar vektor sebagai berikut• . + = + (hukum komutatif)• . + ( + ) = ( + ) + (hukum asosiatif)• . m(n ) = (mn) = n(m ) (hukum asosiatif)• . m( + ) = m + m (hukum distributif)

Perkalian Vektor

• Perkalian Titik (dot) adalah perkalian dua buah vektor yang menghasilkan besaran sekalar

• Perkalian silang (cross) adalah perkalian dua buah vektor yang tetap menghasilkan vektor

*Perkalian titik

*. = ABcosθ (menghasilkan besaran sekalar)

. = (Ax + Ay + Az). (Bx + By + Bz . = AxBx + AyBy + AzBz

PERKALIAN SILANG

• x = A.Bsinθ , adalah suatu vektor yang tegak lurus bidang yang dibentuk oleh vektor A dan Bjika vektor • = Ax+ Ay+ Az• = Bx+ By+ Bz maka

• x = (Ax + Ay + Az) x (Bx + By + Bz) = AxBy - AxBz - AyBx + AyBz + AzBx - AzBy = (AyBz – AzBy) + (AzBx – AxBz) + (AxBy – AyBx)

Diketahui P = 2i – 4j + 3k dan R = 6i + 2j – k Ditanya :• P . R• P x RPenyelesaian :• P . R = (2i – 4j + 3k ) . ( 6i + 2j – k ) = ( 2i . 6i ) + ( 2i . 2j ) + ( 2i . (-k) ) + (-4j . i ) + ( -4 . 2j )+ (-4j . –k ) + (3k . 6i ) + ( 3k . 2j ) + (3k . (-k)) = 12ii + 4ij – 2ik – 4ji – 8jj + 4jk + 18ki + 6kj – 3kk = 12 + 0 – 0 – 0 – 8 + 0 + 0 + 0 – 3 = 1• P x R = ( 2i – 4j + 3k ) x (6i + 2j – k ) = ( 2i x 6i ) + ( 2i x 2j ) + ( 2i x (-k) ) + ( -4j x 6i ) + ( -4j x 2j ) + ( -4j x (-k)) + ( 3k x 6i ) + ( 3k x 2j ) + ( 3k x (-k)) = 12 ( i x i ) + 4 ( i x j ) – 2 ( i x k ) – 24 ( j x i ) – 8 ( j x j ) + 4 ( j x k )+ 18 ( k x i ) + 6 ( k x j ) – 3 ( k x k ) = -2i + 20j + 28k

VEKTOR DIFERENSIAL

• Misal vektor bergantung pada waktu t, diferensial vektor pada vektor , ditulis• = • = + +

Diferensial dan perkalian dua vektor = . + . = x + x

Operasi Del ( terhadap vektor Operasi titik operator del pada vektor

adalah sebagai berikut . =( + + ) . (Ax + Ay + Az)

= +

Operasi curel (rotasi)

• =

• ( - ) + ( - ) + ( - )

Ax Ay Az

Gradien, Divergensi,curl dan arti fisisnya

1. Gradien

2. Divergensi

3. Curl

Contoh soalDiket:Medan listrik = 4xyi + 2cos yzj – 4y sin 2zkTentukan Curl dari dengan x= 1 , y=2, z=15Jawab: == (-4ysin 2z +2ysin yz) i + ( 0-0) j + (0-4x) k=(2y sin yz – 4sin 2z) – 4x = (2.2 sin 2.15 – 4 sin 2.15) – 4.1= ( 4 sin 30 – 4 sin 30 ) – 4= ( 2- 2) – 4

Soal latihan1. jika = 5 + 2 + 10 = 5 + 2 + 5maka.=2. diketahui vektor – vektor = 3 + 4 + 5 dan = -4 + 3 + 6tentukan :a. . b. A, B, A2 + B2

3. diketahui vektor – vektor = 3 + 4 + 5 dan = -4 + 3 + 6tentukan sudut antara dan 4. jika = 3 + 2 + 6 = 5 + 2+ 6maka x =

• 5. jika = 5t + 6+ 7tCarilahkecepatannya (v)

• 6.

Buktikanhukumasosiatif + ( + ) = + +

O

R

P

A

DC

Q

6. diket:

Tentukan gradien dari medan skalar?

Penyelesaian

1. .= ( 5i + 2j + 10k ) . ( 5i + 2j + 5k ) = ( 5i. 5i ) + ( 5i . 2j ) + ( 5i . 5k ) + ( 2j . 5i ) + ( 2j . 2j ) + ( 2j . 5k ) + ( 10k . 5i ) + ( 10k . 2j ) + ( 10k . 5k ) = 25 ii + 10 ij + 25 ik + 10 ji + 4 jj + 10 jk + 50 ki + 20 kj + 50 k = 25 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0 + 0 + 50 = 79

2. a.= 3 + 4 + 5 dan = -4 + 3 + 6= 4 (3 + 4 + 5)+ 2 (-4 + 3 + 6)= (12 + 16 + 20) + (-8 + 6 + 12)= 4 32 32

b.

3.

4. = 3 + 4 + 5 dan = -4 + 3 + 6Penyelesaian :• = ( Ay.Bz – Az.By ) + ( Az.Bx – Ax.Bz ) + ( AxBy

– AyBx ) = ( 2. 6– 6.2) + ( 6.5– 3.6 ) + ( 3.2 – 2.5 ) = ( 12 – 12) + ( 30 – 18 ) + ( 6 – 10 ) = 0 + 12– 4

5. 5t + 6t2 + 7tJawab:

= + + = 5 + 12t + 7

5. Hukum asosiatifA + (B+C) = (A+B) +CJawab:OP + PQ = OQ = (A + B ) dan PQ+QR = PR = (B+C)Karena, OP+PR = OR =D, yaitu A+(B+C)= D

OQ+QR =OR= D, yaitu ( A+B)+C =DDiperoleh,A +( B + C ) = ( A + B) + C

6.Jawab:

6xy + ( 3x2 + 2z2) + 4yz