An alisis tensorial y geometra de RiemannNelsonMerinoMoncada AlfredoPerezDonosoDecember19,2003AbstractElobjetivoquemotivaatrabajarconelc alculotensorialesconseguirquelafsicaseaindependientedelsistemacoordenadousadoparasude-scripci on. Enotraspalabras,serequierequebajounatransformaci ondecoordenadas, lasecuacionesqueexpresanlasleyesdelafsicapermanez-caninvariantes.El c alculotensorial nospermitir aestudiarlageometradealg unespacio,enparticularlageometradeRiemann.1 Introducci onUn espacio euclidiano se caracteriza por el hecho que admite sistemas coorde-nados cartesianos que lo cubren completamente. Sin embargo, existen espaciosde naturaleza m as general, tal como una supercie curvada, la cual no permitela existencia de un unico sistema coordenado que la cubra completamente.Iniciamos nuestro estudio generalizando el concepto primitivo de vector, de-bido al siguiente hecho:Algunas cantidades fsicas como la velocidad y la fuerza son representadasindistintamentecomovectores. Sinembargo, bajounatransformaci ondeco-ordenadas,suscomponentestransformandeacuerdoaleyesdistintas. Por lotanto, la velocidad y la fuerza son entes de distinto car acter. Esto nos llevar a aintroducir el concepto de vector contravariante y de vector covariante.Luego, se presentan algunas cantidades que para su especicaci on requierenm asdeun ndice, comoporejemplolamultiplicaci ondelascomponentesdedos vectores (covariantes o contravariantes). Esto motiva a denir el conceptogeneraldetensorcomounobjetocuyascomponentestransformanseg ununadeterminadaleydetransformaci on. Al introducirlosconceptosdeconexi onymetrica, podremoshacerunestudiodelaspropiedadesgeometricasdeunespacio dado. En particular, nos concentraremos en aquellos espacios que poseenunageometradeRiemann, comoporejemploslassuperciesinmersasenelespacio euclidiano tridimensional.2 VariedadesdiferenciablesDenici on:Una variedad diferenciable n-dimensional es un conjunto continuodepuntos M, cubiertocompletamenteporunconjuntocontabledevecindades1abiertas U1, ..., Unsobreloscualespuedenserdenidossistemascoordena-dos,talesqueenlasinterseccionesdedichasvecindades, suscorrespondientessistemasest anrelacionadosunos aotrosportransformacionesdecoordenadasdiferenciables.Unavariedadpuede ser concebidar usticamente comounespaciode di-mensi on n, an aloga a una supercie n-dimensional.En general, ella no puede sercubierta completamente por unsolo sistema coordenado. Curvas y superciesen el espacio eucldeo tridimensionalEnrepresentan ejemplos de variedades.Figure 1:Comoseveenlagura1, sobrecadaUiest adenidounsistemacoorde-nadodemodoqueacadapuntoPUiesposibleasignarunvocamenteunconjuntoordenadoden umeros(x1, ..., xn)llamadoscoordenadasdeP. Estemapeo uno a uno debe ser continuo, de modo que, cuando Pse mueve en Ui, lacorrespondiente n-upla (x1, ..., xn) se mueve en un dominio D contenido en En.Consideremoslagura2. El conjuntoMesunavariedaddiferenciablesiadmite una construcci on de modo tal que para todo puntoPen la intersecci onde dos abiertos,U1, U2 M, los correspondientes sistemas est an relacionadospor transformaciones de coordenadas diferenciables: xj= xj(xi), (1)xi= xi( xj).Recordemos que:xi xj xjxk= iky xjxixi xl= jl, (2)2Figure 2:=(x1, ..., xn)( x1, ..., xn)( x1, ..., xn)(x1, ..., xn)= 1. (3)Luego, el jacobiano de la transformaci on (1) no se anula sobreU1 U2.3 Escalares, vectoresytensoresPresentaremos ahoraciertasentidadesmatem aticasquepuedenserasociadassobreunavariedad. El casom assimpleesunapropiedadexpresadaporunn umero asociado a un puntoPde la variedad, el cual por denici on no cambiabajo una transformaci on de coordenadas (T.C.). Podemos pensar, por ejemplo,en un campo de temperaturas en alguna regi on del espacio.Denici on:Unafunci onreal (xi), denidaenunaregi ondelavariedadM, es llamadacampoescalar si bajounatransformaci ondecoordenadas severica:( xj) = (xi). (4)Veamosc omotransformaladiferencial deuncampoescalar. Tenemos =( xj), luego la diferencial del campo esd = xjd xj.Usando la regla de la cadena y las ecuaci ones (1) y (4) tenemos: xj=xlxl xj , (5)d xj= xjxi dxi. (6)As tenemos:d = xj d xj=xlxl xj xjxi dxi=xl

xl xj xjxi

dxi=xl

xlxi

dxi. (7)3De este modo obtenemos:d =xidxi= d. (8)Porlotantoladiferencial deuncampoescalaresnuevamenteuncampoescalar.El arreglo formado por las cantidades/xies un objeto matem atico lla-mado gradiente de, y otorga el incremento de como la suma de los produc-tosxidxi. Esta entidad, que est a asociada a un punto y transforma seg un laecuaci on (5), es el prototipo de lo que se conoce como vector covariante.Por otro lado, el arreglo formado por las diferenciales de las coordenadas esun ente cuya ley de transformaci on para sus componentes es distinta (ecuaci on6) y constituye el prototipo de lo que llamamos vector contravariante.Denici on: Se dice que un conjunto de cantidades(A1, ..., An) son las com-ponentesdeunvectorcovarianteenunpuntoPdecoordenadas (xi), sibajola T.C. xj= xj(xi),dichascomponentesobedecenlasiguienteleydetransfor-maci on:Ak =xi xkAi. (9)Para hallarlaleydetransformaci on inversamultiplicamoslaecuaci on(9)por xk/xl: xkxlAk =xi xk xkxl Ai= xkxlAk = ilAi= xkxlAk = Al. (10)De este modo, la ley de transformaci on (9) posee inversa y est a dada por:Ak = xixkAi. (11)Denici on:Se dicequeun conjunto den umeros(A1, ..., An),sonlascom-ponentesdeunvectorcontravarianteenunpuntoPdecoordenadas (xi), sibajo la T.C. xj= xj(xi), dichas componentes obedecen la siguiente ley de trans-formaci on:Bk= xkxi Bi. (12)An alogamentesemuestraquelaleydetransformaci oninversaest adadapor:Bk=xk xiBi. (13)Se debe enfatizar que estos objetos est an asociados a un punto de la variedadpero no son elementos de dicho espacio.Previamente probamos que la diferencial de un campo escalar es un invari-ante. Pero ladiferencial dedicho campoes la sumadelproducto delas com-ponentes de un vector covariante y uno contravariante. Por lo tanto, se inerequeengeneral elproductodelascomponentesdeunvectorcovariante yuno4contravariante,AkBk, (ambos denidos en el mismo punto) es un escalar y sele llama producto interno o producto escalar de los vectoresA yB.Consideremos el producto de las componentes Aide un vector contravariantey las componentesBkde unvector covariante. Veamos c omo transforma esteproducto bajo una T. C.:Ai Bk = xixlAlxm xkBm = xixlxm xkAlBm. (14)Las cantidadesAiBkson las componentes de un ente que para ser especi-cado completamente necesita m as de un ndice y que, bajo una transformaci ondecoordenadas, sus componentestransformanenformalineal yhomogeneaseg un la ecuaci on (14). Esto motiva la siguiente denici on:Denici on:Unconjuntode n2cantidades Tiksonlascomponentesdeuntensor de rango 2, de tipo (11), en un puntoP, si bajo una T.C. dichas compo-nentes transforman seg un la ley:Tik = xixlxm xkTlm. (15)De aqu podemos obtener una denici on m as general de objetos que para suespecicaci on requieren varios ndices.:Denici on:Un conjunto denr+scantidadesTi1...irk1...ksson las componentes deun tensorderangor + s,detipo (rs),enun puntoPsi bajouna T.C.dichascomponentes transforman seg un la ley:Ti1...irk1...ks= xi1xl1... xirxlrxm1 xk1...xms xksTl1...lrm1...ms. (16)Notemos que Ti1...irk1...kses un tensor de car acter mixto, contravariante de rangorycovariantederangos. Adem as, ladenici onnuevamentehacereferenciaexplcita al punto Pdonde est a denido el tensor, debido a que las coordenadasxkdel punto entran como argumento en cada una de las derivadas parciales.Usando laecuaci on (2),se prueba quela leyde transformaci on (16)poseeinversa y est a dada por:Ti1...irk1...ks=xi1 xl1...xir xlr xm1xk1... xmsxksTl1...lrm1...ms. (17)Claramente los dos tipos de vectores denidos previamente son casos espe-ciales de tensores. Un vector contravariante es un tensor del tipo (10) y un vectorcovariante es un tensor del tipo (01). Un escalar es llamado tensor de rango cero.En particular la relaci on xjxixi xl= jlpuede ser escrita en la forma:jl= xjxixk xl ik, (18)lo cual muestra que la delta de Kronecker es un tensor del tipo (11). Pero (18) sereduce a jl= jl , de modo que esta es una de las muy pocas entidades tensorialesnumericamente invariantes que es posible denir en una variedad cualquiera.5Veriquemos la validez de la propiedad transitiva para los tensores. Consid-eremos, por ejemplo, el caso de un vector covariante Ai, pues el razonamiento esgeneral. Por la T.C. xi = xi(xj) se tiene (9) y por el nuevo cambio xi = xi( xj),aplicando la misma regla, resulta:Ak = xi xkAi = xi xkxj xi Aj =xj xkAj(19)Es decir, vericando sucesivamente las transformaciones xi = xi(xj) y xi = xi( xj), se obtiene la misma ley que debe aplicarse para la transformaci on xi = xi(xj).Finalmente, de la ecuaci on (16), se desprende que si todas las componentesde un tensor son nulas en un sistema coordenado (S.C.) entonces ellas se anulanencualquiersistemacoordenado. Estosevericadirectamenteobservandoelcar acter lineal y homogeneo de la ley de transformaci on de las componentes deun tensor.4 AlgebratensorialsobrevariedadesConsideremos ahorauntratamientoformal de los procesos algebraicos quepueden ser aplicados a tensores en un puntoPjo de la variedad M.4.1 Adici onSeaSi1...irk1...ksuntensor deltipo(rs)denidoenelpuntoP. Suleydetransfor-maci on, de acuerdo con (16), es:Si1...irk1...ks= xi1xl1... xirxlrxm1 xk1...xms xksSl1...lrm1...ms, (20)ysea eltensorTi1...irk1...kscuyaleydetransformaci on est adadapor(16). Lasuma de los tensoresTi1...irk1...ksySi1...irk1...kses dada por:12Ti1...irk1...ks+Si1...irk1...ks= xi1xl1... xirxlrxm1 xk1...xms xks

Tl1...lrm1...ms + Sl1...lrm1...ms

, (21)lo cual muestra que la suma Ti1...irk1...ks+Si1...irk1...ksson las componentes de un tensor detipo (rs) en P. De (16) vemos tambien que las multiplicaci on de las componentesde un tensor de tipo (rs) por un escalar conduce a un tensor del mismo tipo. Estoimplicaqueelconjunto detodoslos tensores detipo(rs)enelpuntoPdeMconstituye unespacio vectorial dedimensi onnr+s. En particular,elconjuntodetodoslosvectorescontravariantesenPdenenunespacion-dimensionalllamado espacio tangente Tn(P), mientras que el conjunto de todos los vectorescovariantes enPconstituye el espacio tangente dualTn(P) n-dimensional.Es importante notar que la suma de tensores de distinto tipo no suministraun nuevo tensor..64.2 Multiplicaci onLa multiplicaci on de las componentes de dos tensores de tipo (r1s1) y (r2s2), denidosenP, conduce a un tensor de tipo (r1+r2s1+s2) enP. Este proceso es llamado pro-ducto externo o directo.Parailustrarestoconsideramos, porejemplo, untensordetipo(21)yuntensor de tipo (02), pues el razonamiento es general. Sus leyes de transformaci onson respectivamente:Tjlm = xjxi xlxkxp xmTikp, (22)Sqr =xu xqxv xr Suv.El productode las componentes de estos dos tensores se transformadeacuerdo a:Tjlm Sqr = xjxi xlxkxp xmxu xqxv xr TikpSuv(23)lo cual es obviamente la ley de transformaci on de las componentes de un tensorde tipo (23),Vikpuv = TikpSuv.El proceso de multiplicaci on puede ser combinado con el proceso de adici onde tensores, con tal que sus respectivos tipos sean apropiados. Para estos clara-mente se satisfacen las leyes conmutativa, asociativa y distributiva.4.3 Contracci onDado un tensor de tipo (rs) es posible seleccionar un superndice y un subndicey reemplazarlos por dos ndices identicos. Luego, en virtud de la convenci on desuma, lasumaesimplcitaylascantidadesobtenidasconstituyenlascompo-nentes de un tensor de tipo (r1s1). En efecto:Ti1...i...irk1...i...ks= xi1xl1... xixl... xirxlrxm1 xk1...xm xi...xms xksTl1...l...lrm1...m...ms(24)Ti1...i...irk1...i...ks=

xixlxm xi

xi1xl1... xirxlrxm1 xk1...xms xksTl1...l...lrm1...m...msTi1...i...irk1...i...ks= ml xi1xl1... xirxlrxm1 xk1...xms xksTl1...l...lrm1...m...msTi1...i...irk1...i...ks= xi1xl1... xirxlrxm1 xk1...xms xksTl1...l...lrm1...l...ms,la cual es la ley de transformaci on de un tensor de tipo (r1s1). Este proceso esconocido como contracci on.Claramente, el proceso de contracci on de un tensor de tipo (11) da origen aun escalar. En particular, para el caso del delta de Kronecker tenemos:jj= 11 + ...nn = n. (25)7Adem as, esposibleformarel productodelascomponentesdetensoresdetipoarbitrario,referidosalmismopunto, yluegocontraerlos (contal quelosprocesos de multiplicaci on conduzcan a tensores de tipo (rs) con r 1 ys 1).4.4 Simetrizaci onUn tensor es llamado simetrico con respecto a un par de superndices, o un pardesubndices, si el intercambiarlosnoafectael valordelascomponentesdedicho tensor. Si,porotro lado,esteproceso afecta acada componentemulti-plic andola por 1, entonces el tensor es llamado antisimetrico en dichos ndices.Finalmente se dice que un tensor es totalmente simetrico (antisimetrico) si lo escon respecto a cualquier par de superndices o a cualquier par de subndices. Engeneral cuando hablemos de tensores simetricos (antisimetricos) nos referimos atensores totalmente simetricos (antisimetricos) salvo que se indique lo contrario.Por ejemplo,si AijyBijson las componentes detensores detipo(02),en-toncesAijes un tensor simetrico si:Aij = Aji, (26)yBijser a un tensor antisimetrico siBij = Bji. (27)Comoconsecuenciainmediatadelaformadelaleydetransformaci ondetensores, estas ecuaciones son v alidas en cualquier sistema coordenado.Teorema: Todaslaspropiedadesdesimetraydeantisimetradelosten-sores son independientes de la elecci on del sistema coordenado.Dado un tensor de tipo (rs) con r > 1 o s > 1, podemos construr a partir dedicho tensor, un tensor simetrico y un tensor antisimetrico en cualquier par desuperndices o en cualquier par de subndices. Por ejemplo a partir del tensorAijpodemos denir:Sij :=12 (Aij + Aji) , (28)Tij :=12 (Aij Aji) ,los cuales son simetricos y antisimetricos respectivamente. El proceso que cor-responde aSijes referido como simetrizaci on.Vemostambienquetodotensordetipo(rs)conr>1os>1, sepuedeexpresar como suma de un tensor simetrico y uno antisimetrico en cualquier parde superndices o subndices. En el caso anterior tenemos:Aij =12 (Aij + Aji) + 12 (Aij Aji) . (29)84.5 InvarianciadelasecuacionestensorialesHemos visto que los tensores pueden ser sumados, restados o, m as generalmente,linealmente combinados con coecientes escalares. Podemos formar productosentretensoresyluegocontraerloscontal quelosprocesosdemultiplicaci onconduzcan a tensores de tipo (rs) conr 1 ys 1. Y todo esto es posible si ys olo si ellos se reeren al mismo punto deM.Tambiensemencion oqueunimportantetensordecadatipoesel tensorcero de ese tipo. Dicho tensor es numericamente invariante debido a que su leydetransformaci oneslineal yhomogenea. Porejemplo, estotienecomocon-secuencia queunaecuaci on comoSkl...pq...=Tkl...pq...seaindependientedelsistemacoordenado, yaqueestoesequivalenteaarmarqueSkl...pq... Tkl...pq...esel ten-sornulo. Estehechoesel quegarantizael teoremadelainvarianciadelaspropiedades de simetra y antisimetra de los tensores. Obviamente si S y Tsonde distinto tipo,o bien,si se reeren a puntos distintos, la ecuaci on carece detodo sentido invariante.Consideremos ahora un tensor de tipo (rs),r vectores covariantes, s vectorescontravariantes, y el siguiente producto contrado:Skl...pq...AkBl...FpGq... . (30)Entonces, deacuerdoconlas reglasdeproductoexternoeinterno, estamultiplicaci on es un escalar.La proposici on inversa es tambien verdadera: Supongamos que no sabemossi un arreglo de n umerosS......tiene caracter tensorial, pero sabemos que (30) esun escalar para cualquier conjunto arbitrario de vectores A...G.... Entonces S......son las componentes de un tensor del tipo denido por sus ndices.Enefecto, paraprobarestoconsideremosunatransformaci onparticularyllamemosS......alas componentes de Stransformadascomosi fueraunten-sor. LlamemosS......acualquier conjuntoden umeros quecomparteconS......lapropiedad de hacer (30) un escalar. Es decir tenemos:Skl...pq... Ak Bl... Fp Gq... = Skl...pq...AkBl...FpGq... , (31)Skl...pq... Ak Bl... Fp Gq... = Skl...pq...AkBl...FpGq... .Estas ecuaciones expresan queS......yS......dejan (30) invariante. Rest andolasobtenemos:

Skl...pq...Skl...pq...

Ak Bl... Fp Gq... = 0, (32)Skl...pq...Skl...pq... = 0,Skl...pq... =Skl...pq....Es decir, usando la arbitrariedad de los vectores A...G... hemos probado queestos arreglos son iguales y por lo tanto bajo las hip otesis mencionadasSdebeser un tensor.95 Densidadestensoriales.Consideremos un campo vectorial contravariante Aky las cuatro integrales:

Akdnx, (33)dondednx =dx1dx2...dxny la integral se toma sobre una regi on dada deM.Observamos que estas integrales no son invariantes bajo T.C. y por lo tanto noson las componentes de alg un nuevo vector. Del mismo modo, consideremos laintegral de un campo escalarA:I =

Adnx. (34)VeamoscomotransformabajounaT.C.. El elementodevolumenqueda:dnx =

xk xj

dn x, donde

xk xj

es el determinante jacobiano de la transformaci on.Luego:I =

Adnx =

A

xk xj

dn x =

Adn x =I. (35)DeestemodoI noesinvariantebajounaT.C. Peronosinteresaquelaintegral I s seaunescalar. Por otraparte, sabemos quesi sumamos s olocantidadesescalares el resultadoesunescalar. Ennuestrocasotenemosunaintegral envezdeuna suma. Luego si Adnx esunescalar entoncesIser a unescalar. Para esto la ley de transformaci on deA no debe serA =A, sino:A =

xixk

A, (36)de modo que:I =

Adnx =

A

xixk

xk xj

dn x =

Adn x =I. (37)Ahora I es un escalar, pero A ya no lo es. Esto motiva la siguiente denici on:Denici on: Unacantidad esllamadadensidadescalaropseudoescalarde pesop si bajo una T.C. esta obdece la ley: =

xi xk

p. (38)De lo anterior se concluye que la integral de una densidad escalar de peso 1es un escalar.Vamos a extender la noci on de densidad a entidades de m as componentes.Denici on: Unconjuntode nr+scantidades i1...irk1...kssonlascomponentesde una densidad tensorial de pesop y tipo (rs), en un puntoP, si bajo una T.C.dichas componentes transforman seg un la ley: i1...irk1...ks=

xi xk

p xi1xl1... xirxlrxm1 xk1...xms xksTl1...lrm1...ms. (39)10No se debe inferir que la integral de las componentes de una densidad ten-sorial es un tensor, pues no lo es (salvo el caso de una densidad escalar).Consecuencias inmediatas de la denici on de densidades tensoriales son:(i) Si todas las componentes de una densidad son nulas en un S.C., entoncesson nulas en cualquier S.C.(ii) La suma o diferencia de densidades del mismo tipo y referidas al mismopunto es otra densidad del mismo tipo.(iii) Ecuaciones entre densidades, referidas al mismo punto son independi-entes del S.C.(iv)Elproductodeunadensidadtensorialporuntensoresunadensidadtensorial.(v) La contracci on de ndices puederealizarse para densidadestensorialesdetipo(rs)conr, s 1, igualqueparatensores, resultandounadensidaddetipo (r1s1).Estas propiedades residen nuevamente en el caracter lineal y homogeneo dela transformaci on (39).A continuaci on se presentan algunas consideraciones con respecto a las den-sidades.(1)SeaTi1...inuntensortipo(0n)totalmenteantisimetrico. Si denotamosel valor numerico deT123...npor, entonces cualquier otra componenteTi1...inser a de acuerdo a si la permutaci oni1...ines par o impar, o bien ser a nulasi se repite un ndice. Escribamos la ley de transformaci on paraT12...n:T12...n =xk1 x1xk2 x2...xkn xnTk1...kn. (40)Escribiendo explcitamente la suma y usando las propiedades antisimetricasdeTse obtiene:T12...n =

xk xi

T12...n, (41)es decir, =

xk xi

. (42)Esto signica que un tensor antisimetrico de tipo (0n) puede ser consideradoalternativamentecomounaentidadconunasolacomponente, lacual esunpseudoescalar.(2) Sea A un escalar y i1...inuna entidad que en cualquier S.C. est a denidocomo A de acuerdo con el signo de la permutaci on i1...in es par o impar, perocero si los ndices no son todos diferentes. Una forma de expresar queA es unescalar es:i1...in=

xk xi

xi1xk1... xinxknk1...kn. (43)Esto se prueba usando las propiedades de denici on del objeto . Desarrol-lando explcitamente la suma se obtiene un determinante que se cancela con el11del lado derecho de (43):i1...in=

xk xi

xkxi

i1...in, (44)i1...in= i1...in. (45)Esto expresa queA es un escalar. Por lo tanto, es una densidad tensorialantisimetricadel tipo(n0). Es costumbredenotar el casoparticular A=1comoi1...in. Esta densidad es una herramienta muy util y recibe el nombre dedensidad tensorial de Levi-Civita.(3)Consideremosunavariedadde4dimensiones. Apartirdeklmnyuntensor antisimetrico de tipo (02),kl, podemos formar los siguientes productos:18

klmnklmn = 1234 + 2314 + 3124, (46)12

klmnkl = fmn.losquesonunadensidadescalaryunadensidadtensorialdetipo(20), re-spectivamente. De este modo vemos que podemos obtener densidades a partirde tensores antisimetricos.(4) Consideremos el tensor antisimetricoAiklen una variedad de 4 dimen-siones. Entonces se puede probar que, en principio, el n umero de componentesindependientes de este tensor es 4. Si formamos la siguiente densidad vectorialcontravariante:16

klmnAklm = n. (47)entonces las componentes de ser an las componentes independientes de A. Porlotanto,untensorantisimetrico detipo(03), Aklm, puedeser mapeadoaunadensidadvectorialcontravariante, n, cuyan-esimacomponentecorrespondea la componenteklm deltensor, donde(k, l, m, n) es unapermutaci on par de(1, 2, 3, 4).(5) A partir de un vector covariante Bk se puede formar la siguiente densidadtensorial antisimetrica de tipo (30):klm= klmnBn. (48)Todo esto nos lleva al siguiente teorema:Teorema: AtodotensorantisimetricoTi1...ipdeordenp nselepuedehacercorresponderuna densidadtensorial detipo(np0)cuyascomponentescontienenlascomponentesindependientesdel tensor. Lascomponentesde est an dadaspor :j1...jnp =1p!

j1...jnpi1...ipTi1...ip, (49)y recibe el nombre de densidad adjunta o dual del tensor original.12(6) Seagikun tensor de tipo (02) cuya ley de transformaci on para sus com-ponentes es: gik =xl xixm xkglm =xl xiglmxm xk. (50)Escribamos (49) en forma matricial: gik = aliglm

aT

mko bienG = AGAT, (51)conali =xl xiy aT

mk=xm xk.Calculamos el determinante de ambos lados de la ecuaci on (50) tenemos:detG = det(A) det(G) det(AT) (52)detG = det(A) det(G) det(A)detG = det2(A) det(G). (53)Si denotamos det( G) = g, det(G) = g y det(A) =

xi xk

, tenemos: g =

xi xk

2g. (54)Ahora calculamos la raz cuadrada y obtenemos: g =

xi xk

g. (55)Por lo tanto, concluimos que:Proposici on: (i)Larazdel determinantedecualquiertensorcovariantede rango 2 es una densidad escalar de peso 1.(ii) La razdeldeterminante decualquiertensor contravariante derango 2es una densidad escalar de peso 1.La armaci on (ii) se prueba en forma an aloga al que usamos para llegar a(i).De este modo, si gij es un tensor y su menor lo denotamos por Mij, entoncespodemos escribir:gmkMlk= lmg (56)gmkMlkg= lmNotemosque(56)esv alidoencualquiersistemacoordenadosiemprequeMlksea el menor de glken ese sistema. Ahora bien:(*) las cantidadesMlk/g est an completamente determinadas,(*) sabemos quelmes un tensor de tipo (11) ygmkes un tensor de tipo (02),13(*) la ecuaci on (56) es invariante bajo transformaciones coordenadas.Por lo tanto, las cantidades Mlk/g deben ser las componentes de un tensor.Teorema: Losmenoresnormalizadosdeuntensorcovariantederango2forman un tensor contravariante de rango 2 denotado por:glk=Mlkg. (57)Sepuedeprobarf acilmenteloinverso, esdecir, si formamoslosmenoresnormalizados deglkobtenemos un tensor covariante de rango 2. M as a un, esetensor es justamenteglk.Si multiplicamos (57) por la raz del determinante degikobtenemos obvia-mente una densidad tensorial contravariante de rango 2:

lk=Mlkg(58)

lk=gglkUna importante consideraci on nal tiene que ver con el producto externo. Sieste es puramente externo, es decir, no envuelve contracciones, entonces dichoproducto puede ser nulo si y s olo si uno de sus factores es el tensor cero.En otraspalabras, en el algebra de tensores y densidades tensoriales no hay divisores decero.6 Analisistensorial6.1 DerivadaordinariaSalvoel casodeunescalar, laderivadadelascomponentesdeuntensornotienesentido invariante (independientedelas coordenadas), ya queresulta delasustracci ondetensoresreferidosapuntosdistintos. Aqu noimportaquelospuntosseancercanospuesprecisamenteenladerivadasecontemplaelcambio delacomponente deltensor producido porunpeque nocambiodelascoordenadas.Veamos, por ejemplo, c omo transforma la derivada de un vector covarianteAky que se denota porAk,i. La ley de transformaci on deAkes:Ak =xl xkAl, (59)de modo queAk,i = Ak xi=xl xkxm xiAlxm+2xl xi xkAl. (60)Vemos queladerivadaparcial deuncampotensorial conrespectoalascoordenadas xise comporta como un tensor tipo (02) excepto por el segundo. La14ley de transformaci on es lineal pero no homogenea, lo que implica que si nuestroarreglo dederivadasseanulaenunS.C.entoncesnoseanulanecesariamenteen otro.Unresultado an alogo seobtienecuandounoprocedeaderivarlascompo-nentes de cualquier tensor o pseudotensor.Por ejemplo, la ley de transformaci onde un tensor tipo (02) es:Ajk =jxlkxmAlm, dondei = xi, (61)luego:Ajk,i =i Ajk =jxlkxmixnnAlm +

ijxlkxm+ jxlikxm

Alm.(62)Haydosterminosrestantesquesoncombinacioneslinealesdelascompo-nentes no derivadas, y cuyos coecientes son segundas derivadas de las coorde-nadas.Vamos aconsiderarahoraalgunasconstruccionesqueincluyenderivadasparciales y, sin embargo, si son tensores.(I) Sabemos que la derivada de un campo escalar, , es un vector covariante,,k. Calculamos ahora ,ki y ,ik y formemos lo que se llama rotor del gradientede:,k =kxll =kxl,l, (63),i =ixl,l, (64),ki =kxlixm,lm + ikxl,l,,ik =ixlkxm,lm + kixl,l =ixmkxl,ml + kixl,l,,ki ,ik =kxlixm(,lm,ml).Notar que en la tercera lnea se intercambiaron los ndices mudos m y l. Asvemos que el rotor es un tensor tipo (02). Claramente el rotor del gradiente deun campo escalar es cero (asumimos que es de claseC 2).(II) Del mismo modo se verica que el rotor de un campo vectorial covariantecualquieraAk: kAiiAkes un tensor tipo (02):Ak =kxlAl=Ai =ixlAl, (65)i Ak =kxlixmmAl + ikxlAl,k Ai =ixlkxmmAl + kixlAl,i Ak k Ai =kxlixm(mAllAm) .De este modo, el rotor de un vector covariante es un tensor antisimetrico detipo (02).(III) Formemos ahora lo que llamamos divergencia cclica de un rotor:l(iAkkAi) + i(kAl lAk) + k(lAiiAl) = 0. (66)15Vemosqueladivergenciacclicadeunrotoresnula. Veremosacontin-uaci on que la divergencia cclica de cualquier tensor antisimetrico tipo (02) (porsupuesto, el rotorcuentaentreellos)esuntensorantisimetricotipo(03). Enefecto, seaTikun tensor antisimetrico. Entonces:Tik =ixlkxmTlm. (67)Queremos mostrar que jTik + iTkj + kTjies untensor. Para esto cal-culemos dichos sumandos a partir de (67):j Tik =ixlkxmjxnnTlm +

j ixl kxm+ ixl j kxm

Tlm, (68)i Tkj =kxljxmixnnTlm +

ikxl jxm+ kxl ijxm

Tlm, (69)k Tji =jxlixmkxnnTlm +

kjxl ixm+ jxl k ixm

Tlm. (70)Si se suman los tres terminos, se combinan adecuadamente los ndices mudosl,m yn, y se usan las propiedades de antisimetra deT, se obtiene:j Tik + i Tkj + k Tji =ixlkxmjxn(nTlm + lTmn + mTnl) (71)lo cual prueba que la divergencia cclica de un tensor antisimetrico tipo (02)es un tensor antisimetrico tipo (03).Debemostenercuidadosiqueremoscontinuar. Si formamoslasderivadasparciales de las componentes de un tensor antisimetrico tipo (03) y sumamos laspermutaciones cclicas, debemos inclur un signo () cuando la permutaci on seaimpar.Estos son casos en que combinaciones lineales de las primeras derivadas detensores tiene caracter tensorial. As:-Si el gradiente de un campo escalar es nulo, entonces es constante.-Si el rotor de un vector covariante es nulo, entonces el vector es un gradientede alguna funci on escalar.Todo esto no es suciente para establecer un an alisis tensorial exhaustivo so-bre una variedad. Una simple pregunta a un no tiene respuesta: Que condici oncaracteriza un campo vectorial covariante constante?Obviamente la respuestano esAk,i = 0, pues esta ecuaci on no es invariante bajo T.C.6.2 DerivadainvariantedetensoresQueremos establecer cu anto vara un tensor de un punto al siguiente. Consid-eremos nuevamente el caso de la derivada de un vector covariante: Ak xi=xl xkxm xiAlxm+2xl xi xkAl. (72)Supongamos que tenemos raz on para armar que Ak es constante si Ak/xi=0. En otro S.C. esto se expresa como: Ak xi2xl xi xkAl = 0. (73)16Pero,Al = xnxlAn. Luego para expresar (73) consistentemente escribimos: Ak xi xnxl2xl xi xkAn = 0. (74)Si denimos:nki = xnxl2xl xi xk, (75)entonces (74) se escribe: Ak xinki An = 0, (76)lacual expresaenunS.C. arbitrarioque el arreglode derivadas parcialesAk/xise anula en el S.C. original. Puesto que la T.C. xk= xk(xi) es arbi-traria, en particular puede ser la transformaci on identidad. Entonces (43) nosdice que, necesariamente en el S.C. original, nki = 0. En realidad, nki = 0 en elS.C. original y en todos los que se relacionen con el mediante transformacioneslineales de coordenadas, ya que para estas se anulan las segundas derivadas en(42). Peroel hechodequeestossistemasseandistinguidos, porel hechodeque los nkisean nulos, es un problema que milita contra la idea de invarianzageneral. Sin embargo, esto se supera de una manera muy simple: abandonamostal suposici on. Esto nos lleva al concepto de conexi on afn.Denici on: Llamamosconexi onafnoanidad, nki, aunarreglode n3funciones para las cuales:(i) Asumimos un conjunto de valores arbitrariosen un S.C. particular y(ii)Est ansujetosaunaleydetransformaci onquehacealasiguienteex-presi on un tensor:44Ak,iAnnki Ak;i(77)donde Ak,iesladerivadaordinariade Aky Ak;iesllamadoderivadain-variante deAkcon respecto a la conexi onnki.Se debe notar que nki est a impuesta sobre nuestra variedad, y es una nuevaentidad.Nuestraconsideraci oninicial esuncasoparticularde(i)dondeelegimosnki = 0.Inferimos que(ii) sesatisfacesi adoptamosparankilasiguienteleydetransformaci on:nik = xnxlxr xixs xklrs + xnxl2xl xi xk. (78)Elterminoadicional esindependientedenki, dependes olodelatransfor-maci on de coordenadas.Esto es coherente con el hecho de que la conexi on noes nula en todos los S.C.a un cuando puede serlo en algunos. Notamos que laconexi on no es un tensor, puesto que (77) es lineal pero no homogenea.Adem as,es claro de (77) que la conexi on es simetrica con respecto a los subndices.Ahorabien, el hechode que lapartenohomogeneasealamismaparacualquier anidad tiene consecuencias relevantes. Consideremos dos anidades,17klm y klm, en la misma variedad. Entonces la diferencia es un tensor. En efecto,bajo una T.C. se tiene:niknik = xnxlxr xixs xklrs + xnxl2xl xi xk xnxlxr xixs xklrs xnxl2xl xi xk,(79)niknik = xnxlxr xixs xk

lrslrs

.Luego la diferencia klmklmes un tensor.Si ahora pensamos en una conexi on klm y una variaci on innitesimal de esta,klm +klm, entonces la diferencia klm es un tensor. De este modo concluimosque la suma de una anidad y un tensor es una anidad. Veamos que sucede sisumamos dos anidades, klmyklm:nik + nik = xnxlxr xixs xklrs + xnxl2xl xi xk+ xnxlxr xixs xklrs + xnxl2xl xi xk,(80)nik + nik = xnxlxr xixs xk

lrs + lrs

+ 2 xnxl2xl xi xk.Luegolasumadedosanidadesnoesunaanidad. Perosi ysonn umeros tales que + = 1 entonces tenemos:nik + nik = xnxlxr xixs xklrs + xnxl2xl xi xk+ xnxlxr xixs xklrs + xnxl2xl xi xk(81)nik + nik = xnxlxr xixs xk

lrs + lrs

+ xnxl2xl xi xk+ xnxl2xl xi xknik + nik = xnxlxr xixs xk

lrs + lrs

+ xnxl2xl xi xk.Por lo tanto,lrs + lrses una anidad si y s olo si + = 1.Las conexiones afn o anidades son un tipo relevante de entidades, adem asdelostensores ydensidades. La noci ondederivada invariante introducida es(76)noesunconceptoabsolutosinoquesereereaunaciertaanidad, lacual debe ser indicada. Si se han introducido m as que una, entonces debemosdistinguir las derivadas tomadas con respecto a anidades distintas.Se extender a ahora la noci on de derivada invariante a otros tensores. Parecenatural exigir a la derivaci on invariante lo siguiente:(i) que la regla ordinaria de la derivaci on de un producto se mantenga en laderivaci on invariante del producto de tensores,(ii) que la derivada invariante de un escalar sea la derivaci on ordinaria.Desde la igualdadAk = lkAl, la regla del producto nos dice que:Ak;m = lk;mAl + lkAl;m, (82)18y puesto que (82) debe mantenerse para cualquier S.C. se debe tener que lk;m =0. Esdecir, laderivadainvariantedel tensordeltadekroneckerconsideradocomo un campo debe ser cero con respecto a cualquier anidad.Consideremos ahora el invariante AkBk. De acuerdo con (i) y (ii) tenemos:

AkBk

,i = AkBk

;i , (83)AkBk,i + Ak,iBk= AkBk;i + Ak;iBk= AkBk;i + (Ak,iAnnki) Bk.Por cancelaci on de terminos obtenemos:AkBk;i = AkBk,i + AnBknki. (84)Si escribimos (84) intercambiando los ndices mudos n y k del ultimo termino,tenemos:AkBk;i = AkBk,i + AkBnkni , (85)Ak

Bk;iBk,iBnkni

= 0,peroAkes arbitrario, luego:Bk;i = Bk,i + Bnkni. (86)Esta ultima ecuaci on expresa la derivada invariante de un vector contravari-antedondeobviamenteBk,i=Bk/xi. ParavericarqueBk;iesuntensormiramos la ecuaci on (83) donde tenamos AkBk

,i = AkBk;i + Ak;iBk. El vec-tor Akes arbitrario y todos los terminos, salvo el primero del lado derecho, sonvectores. LuegoBk;i es un tensor.EsBk,i + Bnkinun tensor? (notar que se intercambiaron los subndicesi,n) Obviamente s, si es simetrico. Sin embargo si es antisimetrico entoncesdicha expresi on tambien es un tensor, pero es la derivada invariante deBkconrespecto a otra anidad que resulte de intercambiar los subndices de la primera.Para un tensor general Tkl...pq... aplicamos consideraciones similares al invarinte:Tkl...pq...AlBl...FpGq, (87)conAl, Bl, ..., Fp, Gqvectoresarbitrarios. Seobtieneentoncesqueparaladerivadaordinariahayterminosadicionales, unoporcada ndicedeT, cadaunodeloscualesconstadeunacontraci onentrelascomponentesdeTy.Siguiendo el modelo anterior se obtiene:53Tkl...pq...;i = Tkl...pq...,i + Tnl...pq...kni + Tkn...pq... lni + ... Tkl...nq...npiTkl...pn...nqi... (88)Notar que el ndice de diferenciaci on es siempre el segundo ndice covariantede y los restantes lugares son ocupados para asignar el que falta deT.196.3 TransporteparaleloUna forma interesante de introducir el concepto de derivada invariante y conexi oneslasiguiente. Hemosvistoqueladerivadaordinariadeuncampovectorialcovariante tiene problemas:Ai,j = limdxj0Ai(xk+ dxk) Ai(xk)dxj. (89)Paraqueladenici onseaconsistentedebemostransportarparalelamenteAi(xk)desdeel puntodecoordenadasxkhastaxk+ dxkyluegorealizarladiferencia. DenotamosporAial cambioenlascoordenadasdeAiluegodetransportarlo paralelamente a lo largo dedxk, como se ve en la gura.Figure 3:Es de esperar queAisea proporcional al desplazamientodxky tambien aAl. Por lo tanto suponemos:Ai = likAldxk. (90)dondelosliksonfunciones delascoordenadasycaracterizanel desplaza-miento paralelo. Estas funciones son las componentes de lo que llamamos unaconexi on.Ahora s podemos hacer la diferencia en (89):limdxj0Ai(xk+ dxk) Ai(xk) Aidxj(91)limdxj0Ai(xk+ dxk) Ai(xk)dxjkilAkdxldxjlimdxj0Ai(xk+ dxk) Ai(xk)dxjkijAkAi,j kijAk.20Esto nos lleva a la denici on de la derivada invariante de un vector covariantemediante la siguiente ecuaci on:Ai;j:= Ai,j kijAk. (92)Para encontrar la expresi on de la derivada invariante de un vector contravari-ante, debemos determinar el transporte paralelo de este vector.Para esto consideramos que el transporte paralelo del escalar AiBies nulo: (AiBi) = 0, (93)AiBi+ AiBi= 0,jikAjdxkBi+ AiBi= 0,Ai

ijkdxkBj+ Bi

= 0.Usando la arbitrariedad deAi tenemos:Bi= ijkdxkBj. (94)Por lotanto,laderivada invariantedeunvector contravariante utilizandola idea del transporte paralelo es:Bi;j := Bi,j + kijAk. (95)Para un tensor general, Tkl...pq..., aplicamos consideraciones similares al escalarTkl...pq...AkBl...FpGq..., con Ak, Bl, ...,Fp, Gq...,vectores arbitrarios.Lo que ahorapedimos es que la expresi on que determina el desplazamiento paralelo de dichoescalar,Tkl...pq..., sea nulo. Siguiendo el modelo anterior se obtiene:Tkl...pq...;i = Tkl...pq...,i + Tnl...pq...kni + Tkn...pq... lni + ... Tkl...nq...pniTkl...pn...qni... . (96)7 Torsi onDada una conexi on es posible denir el tensor de torsi on.Denici on:Se dene el tensor de torsi on como:Tkij := kijkji. (97)Notemos que este transforma como tensor debido a que al hacer la diferenciade las conexiones, se anula el termino no homogeneo de la ley de transformaci on.Una interesante interpretaci on geometrica de la torsi on es la siguiente:21Figure 4:Consideremos tres puntosP, Q, Sdelavariedad,innitesimalmentecer-canos, tal quelascoordenadasdePsonxk, dxk1esladiferenciadelascoor-denadasdelospuntos PyQ, ydxk2esladiferenciadelascoordenadasdelos puntosPyS(ver gura 4). Si transportamos las diferencialesdxk1ydxk2,ambos vectores denidos enP, detal manera que se forme unparalel ogramo,encontremos la condici on para que el paralelogramo se cierre.(1)Desplacemosprimeroel vectordxk2(P)atravesdedxk1.As tendremosqued xk2(Q) = dxk2 + dxk2 = dxk2 kijdxi2dxj1(98)es el nuevo vector transportado enQ.Este nos permitedenir las coorde-nadas de un nuevo punto R1, cuyas coordenadas son: xk+dxk1+dxk2kijdxi2dxj1.(2) Desplacemos el vectordxk1(P) a traves dedxk2.Ahora encontramos:d xk1(S) = dxk1 + dxk1= dxk2 kijdxi1dxj2. (99)Este nuevo vector transportado en S nos permite denir las coordenadas deun nuevo puntoR2cuyas coordenadas son: xk+ dxk2 + dxk1 kijdxi1dxj2.Si queremos que el paralel ogramo se cierre es necesario que los puntosR1yR2coincidan. Igualando las coordenadas de ambos puntos, encontramos:xk+ dxk2 + dxk1 kijdxi1dxj2 = xk+ dxk1 + dxk2 kijdxi2dxj1, (100)kij kji = 0. (101)Por lo tanto la condici on para que el paralel ogramo se cierre es que la torsi onsea nula, o equivalentemente que la conexi on sea simetrica en sus ndices covari-antes. Notemosqueestacondici onesindependientedel sistemacoordenadodebido a que la torsi on es un tensor.22Figure 5:8 IntegrabilidadyCurvaturaAnteriormente denimos el transporte paralelo de un tensor desde un puntoPde coordenadasxja un puntoQ de coordenadas xj+ dxj. Podemos hacer unasucesi on de transportes comenzando desde un puntoPde tal manera de volveral mismo punto originalP, formando un circuito cerrado. La pregunta naturalque surge es si el vector transportado coincide con el vector original, es decir, siel transporte entre dos puntos es independiente de la trayectoria.Figure 6:Denici on:Decimos que una conexi on kij es integrable si el transporte paralelo asociadoa ella es independiente de la trayectoria.23Encontremos las condiciones que debe satisfacer una conexi on para que seaintegrable.Para ello, consideremos un vector contravariante Akasociado a un puntoPde coordenadasxj. Denamos un campo vectorial tal que el vector asociado aun puntoQ coincida con el vectorAktransportado desdePaQ, es decir,Ak+ dAk= Ak+ Ak, (102)comodAk=Akxj dxjyAk= kijAidxjtenemos queAkxj+ kijAi= 0. (103)Estaeslacondici onquedebesatisfacer unvectorcontravarianteAkenelcaso que kijsea integrable.Las segundas derivadas parciales cruzadas de Akdeben ser iguales, es decir:2Akxmxj=2Akxjxm. (104)De las ecuaciones (103) y (104) se obtiene la condici on:xm

kijAi

xj

kimAi

= 0. (105)Esta condici on tambien se puede obtener imponiendo la condici on queAkseaunadiferencial exacta. Deestaforma, si transportamos Akatravesdeunacurvacontinua, obtenemos por el teoremafundamental del c alculoqueel transporteesindependientedelatrayectoria. Apliquemoslacondici ondeexactitud. ComoAk= kijAidxj, entonces se debe satisfacer:xm

kijAi

=xj

kimAi

,que corresponde a la ecuaci on (105). Desarrollando obtenemos queAimkij + kijmAiAijkimkimjAi= 0. (106)ComoAk= kijAidxjesunadiferencial exacta, tenemosquejAk=kijAi. ReemplazandojAken (106) tenemos:Aimkij Aijkim + klmlijAikljlimAi= 0, (107)Ai

mkij jkim + klmlij kljlim

= 0. (108)ComoAies un vector arbitrario, la condici on de integrabilidad es:mkij jkim + klmlij kljlim = 0. (109)Denici on:24Figure 7:Se dene el tensor de curvaturacomo:Rkimj := mkij jkim + klmlij kljlim. (110)Teorema:Una conexi on es integrable si y s olo si su curvatura es igual a cero.Una interpretaci on geometrica de la curvatura es la siguiente:Consideremoscuatropuntos P, Q, R, Scomoenlagura(??), dondelascoordenadas de Pson xk, dxk1es la diferencial que une los puntos Py Q, dxk2ladiferencial que une los puntosPyS. Si consideramos una conexi on simetrica,es decircontorsi onnula, el paralel ogramoqueseobtieneal transportarlasdiferenciales es cerrado. Esto nos permite denir un circuito cerrado.Sea Ak(P) un vector contravariante denido en el punto P. Traslademos estevector a traves del circuito hasta volver el puntoPy obtengamos la diferenciaentre el vector transportado y el vector original:AkAk.(1) TransportemosAkdePaQ:Bk(Q) = Ak+ Ak= Akkli(xj)Aldxi1. (111)(2) TransportemosBkdeQ aR:Ck(R) = Bk+ Bk = Bkkmn(Q)Bm(dxn2+ (dxn2)), (112)dondetransportamosBkatraves delvectordxn2+ (dxn2)quecorresponde adxk2transportado hasta el punto Q. Como la conexi on est a evaluada en el puntoQ, de coordenadas xk+ dxk1, debemos hacer una expansi on en serie, es decir:kmn(xi+ dxi1) = kmn(xi) +kmn(xi)xjdxj1, (113)25donde despreciamos los terminos de segundo orden.Reemplazando en la ecuaci on(112) y utilizando (111) obtenemos:Ck(R) = AkkliAldxi1kmnAmdxn2 + kmnnrsAmdxs1dxr2(114)jkmnAmdxj1dxn2 + kmnmli Aldxi1dxn2.(3)Traslademosel vectorCk(R)al punto Srealizandoel mismoproced-imiento anterior, pero a traves del vector (dx1+ (dx1))(R),tal queDk(S) =Ck+ Ck.(4) Finalmente, traslademos el vectorDkhasta el puntoP. As, nalmentese obtiene:AkAk= skqrrkqs + kmsmqrkprpqs

Aqdxr1dxs2. (115)Peroel terminoentreparentesiscorrespondealacurvatura. Porlotantopodemos escribir:AkAk= Rkrsqdxr1dxs2Aq. (116)Esdecir,ladiferenciaentreelvector transportado yeloriginal espropor-cional a la curvatura.Notemos de la ecuaci on (116) queRkimjdebe transformar como un tensor,porlotantosi lacurvaturaseanulaenunsistemacoordenado, entoncesseanular a en todos los dem as.En el caso de un plano con coordenadas cartesianas, sabemos que el trans-portenomodicael vector, esdecirkij=0(utilizamosel smbolo=paradenotar que esta igualdad es v alida en un sistema coordenado paricular ). Enestecaso, seg un(110), tenemosquelacurvaturaseanula, Rlijk=0, porlotanto, la conexi on es integrable.En general, si existe un sistema coordenado donde kij 0 en todo punto deuna regi on dada,entonces la curvatura esidenticamente ceroRlijk 0 enesaregi on. Adem as,como la curvatura es untensor, esta se anular a encualquiersistema coordenado.El contrarecproco tambien es v alido. Si existe un sistema coordenado en elcuallacurvaturaseadistintodecero, Rlijk =0, entoncesnoexistir aning unsistema coordenado enel cualla conexi on se anule identicamente en la regi ondada.Podemos expresar esto diciendo que la condici on necesaria y suciente paraencontrar un sistema coordenado donde la conexi on se anule identicamente kij 0, es queRlijk 0 yTkij 0.Al considerar la derivada covariante de un tensor se encuentra que esta, engeneral, no es independiente del orden de derivaci on. Al estudiar las condicionespara que esta sea independientedelorden dederivaci on encontramos que ellatambien est a relacionada con la curvatura y la torsi on.La derivada covariante de un vector contravariante es:A= A+ A. (117)26Consideremos la segunda derivada covariante deA:A= A+A+A+A+AAA.(118)Permutemos los ndices , obtenemosA= A+A+A+A+AAA.(119)Haciendo la diferencia entre (118) y (119) obtenemos:AA= RA+

A. (120)Por lo tanto, la derivada covariante es independiente del orden de derivaci onsi y s olo siR = 0 yT = 0.9 Lageodesicadeunaconexi onafnFigure 8:Consideremos dos puntos innitesimalmente cercanos P(xk) yP

(xk+dxk)en una variedad provista deuna conexi on . Como se ve enla gura (??),elvector dxkque une dichos puntos se transporta paralelamente aP

resultandoel vectordxk. Conel puntoP

yel vectordxkpodemosconstruirel nuevopuntoP

(xk+ dxk+ dxk) y luego transportardxkdesdeP

aP

resultandoel vectordxk, y as sucesivamente.Deeste modo, se obtiene una lnea poligonal que se aproxima a una curvaenel lmiteinnitesimal, esdecir, cuandodxkesrealmenteinnitesimal yeln umero de pasos se incrementa sin lmite. Esta curva se denomina geodesicaafn y posee la siguiente propiedad:(*) Si Ak(xi) es un vector tangente a la curva en P y se transporta de acuerdoalaconexi onal puntoP

, entoncesel vectorresultanteenP

tambienesparalelo a la curva.Engeneral, unacurvaesrepresentadadandosuscoordenadascomofun-ciones de un par ametro continuo (en general quiere decir que en lugar de27 podemos escoger cualquier funci on continua de). As tenemos la curva rep-resentada porxi= xi() yAk= dxk/d el vector que indica en cada punto ladirecci on de la curva. Para que esta curva tenga la propiedad (*) se exige queel vectorAktransportado dePaP

sea proporcional aAk(P

):Ak(xi+ dxi) = MAk(xi+ dxi), (121)Ak(xi) + Ak= M

Ak(xi) + d

Ak

,donde M es una constante de proporcionalidad, que en general depende de. Perod(Ak) = d(dxkd ) =d2xkd2d, (122)yAk= klmAldxm= klmdxld dxm= klmdxlddxmdd, (123)de modo que (121) queda:M d2xkd2d + klmdxlddxmdd = (1 M)dxkd, (124)M d2xkd2+ klmdxlddxmd

d = (1 M)dxkd .Resultanatural queladiferenciaentreMylaunidaddebeserdel ordende d, por locual podemos reemplazar Mpor 1enel primer terminode(124). Adem as, estadiferenciapuedecambiardeunpuntoaotro, demodoquepodemosdejarel factor1 Mdependiendode. Paraestoescribimos1 M = ()d, de modo que:d2xkd2+ klmdxlddxmd

d = ()ddxkd, (125)d2xkd2+ klmdxlddxmd= ()dxkd .Bajo el cambio de par ametro s = s(), la ecuaci on (125) se transforma en:d2xkds2+ klmdxldsdxmds=s

s

s2dxkds, (126)dondes

=ds/d. El segundo miembro de esta ecuaci on se anula si y s olosis

s

= 0, es decir, si:s =

exp

(u)dud

. (127)28Deeste modo,siempre es posible escoger unpar ametro tal queel segundomiembro de (127) se anule:d2xkds2+ klmdxldsdxmds= 0. (128)Se verica directamente que esta ecuaci on se mantiene bajo cualquier trans-formaci on lineal de par ametro ( s = as+b, con a, b constantes).De este modo, lassoluciones delaecuaci on (128), xi=xi(s), son representaciones parametricasde las geodesicas afn.10 MetricaLa metrica es el instrumento matem atico que permite introducir el concepto dedistancia.Denici on: Se denominaespaciometrico al espacio que cuenta con unaley para medir distancias.Sean xky xk+dxklas coordenadas de dos puntos innitesimalmente cercanosenunavariedad. Laexpresi onparaladistanciaentreestospuntospuedesermuy general, pero se le debe exigir que sea un escalar, es decir, que su valor seaindependiente del sistema coordenado. El caso m as estudiado es el que suponeque la distancia elemental entre dichos puntos est a dada por una expresi on dela forma:ds2 gdxdx, (129)donde lasgson funciones de las coordenadas x. Adem as, por denici on, lasgson las componentes de un tensor covariante de segundo orden, simetrico yrecibeelnombredetensormetrico. Estoasegura quedsseaefectivamenteun escalar y se denomina elemento de lnea.Acontinuaci onveremosqueunametricaintroducidasobrelavariedadesuna poderosa herramienta.Denici on: Longitud de una curva:Denition 1SeaCunacurvaenlavariedaddadaporxi=xi(),coni f. Denimos la longitud de la curva como el escalarL :=

fids =

fi

gdxdx=

fi

gdxddxdd. (130)Denici on: Longitud de un vector:Denition 2SeaAunvectorcontravariantedenidoenunpuntoPdelavariedad. Llamamos m odulo deAal escalar:|A|2 gAA. (131)Obviamente en la ecuaci on (131)g,AyAdeben estar evaluados en elmismo puntoP.Denici on: Producto escalar:29Denition 3Sean Ay Bdos vectores contravariantes denidos en un puntoPde la variedad. Se dene el producto interno entre dichos vectores como:A B gAB. (132)Denici on:Angulo entre vectores:Denition 4Se dene el angulo (A, B) entre los vectoresAyBmediantela relaci on:cos (A, B) :=A B|A| |B|=gAB

gAA

gBB . (133)Denici on: Losespaciosmetricosenloscualesladistanciaelemental sedeneporunaexpresi ondelaforma(129)condet(g) g =0sellamanespacios de Riemann.Adem as si det(g) = 0 se dice queges no-degenerada.Por ejemplo, en el espacio euclidiano n-dimensional y en coordenadas carte-sianas la metrica esg = , de modo que:ds2=dxdx, (134)donde = 1, 2, ..., n. La longitud de una curvaCest a dada por:L =

fi

dxddxdd, (135)elm odulodeunvectorA, elproductoescalar dedosvectoresAyByel angulo entre ellos est an dados por:|A|2AA, (136)A B AB,cos (A, B) = AB AA BB.Ahorabien, si det(g) g =0, entoncesexisteg(xi)untensorcon-travariante gtal que:gg = . (137)y recibe el nombre de metrica inversa deg.Consideremos ahora un vector contravariante A. Es posible denir un vec-tor covariante A

como:A

gAv. (138)30Congpodemos denir un vectorAcomo:A gA

. (139)De este modo vemos que usando la metrica podemos mapear vectores con-travariantes (en el espacio tangente) en vectores covariantes (en el espacio cotan-gente) y viceversa.Adem as, si usamos (138) en (139) obtenemos:A= gA

= ggA= A= A, (140)locual pruebaquehayunarelaci onunoaunoentrevectoresdel espaciotangenteycotangente. Enespaciosenqueg =0sepuedehablarportantodevectorescomoobjetosgeometricos, cadaunodeloscualespuededenirsetantoporsuscomponentescovariantes comocontravariantes. Por ejemplo, elespacio Euclidiano es un espacio de Riemann en el cual g= , de modo quelas componentes covariantes y contravariantes de cualquier vector coinciden ennumericamenteencoordenadas cartesianas. Deaququenoseanecesariataldistinci on en espacios euclidianos estudiados en coordenadas cartesianas.Figure 9:La utilidaddel tensor metrico para subir o bajar ndices tambien valepara tensores en general. Por ejemplo, a partir del tensorTpodemos denirel tensor:T= gT. (141)10.1 LageodesicametricaConsideremos dos puntos Py Q en una variedad provista de metrica. Se denela geodesica como la curva de longitud mnima entrePyQ.31SiCes una curva representada parametricamente por x= x(), entoncesCes una geodesica entrePyQ si y s olo siL =

fids (142)es extremal, es decir, si y s olo si:L = 0. (143)Pero (143) es equivalente a las ecuaciones de Lagrange:Lx=Sx dd

S

x

= 0, (144)dondeS =

gdxddxd . (145)Se puede probar que (144) es equivalente a la ecuaci on:d2xd2+{u}dxddxd= f()dxd, (146)donde

12g[g + gg] , (147)es llamado smbolo de Christoel de segunda especie. La funci onf, an aloga ala funci on() de la ecuaci on (125), siempre puede ser elegidaf= 0 eligiendoun par ametro s adecuado:d2xds2+{}dxdsdxds= 0. (148)Obvservamos que (148) tiene la misma forma que la ecuaci on (128) para lageodesica afn, de donde se deduce que {} debe ser una conexi on.Por ejemplo, en el espacio euclidiano y en coordenadas cartesianas {}= 0,de modo que seg un (148) las geodesicas de este espacio son rectas con ecuacionesx() = xo + u, conxoy constantes.11 Introducci onalageometradeRiemannPara empezar vamos a demostrar dos importantes teoremas.Teorema: SeaMnuna variedad con una metricagy una conexi on.Entonces, lalongituddeunvectorbajotransporteparaleloesconservadasi ys olo si:g = 0. (149)32En efecto, sea A(x) un vector denido en P(x) yA(x+dx) el vectorque resulta de transportar AdesdePaQ(x+ dx), es decir:A(Q) =

AAdx

P. (150)Las longitudes deAyAson respectivamente:|A|2= (gAA)P, (151)

A

2= g A A

Q , (152)perog(Q) = (g + gdx)P , (153)por lo tanto:

A

2= [g + gdx]

AAdx

AAdx

. (154)Desarrollando el producto y despreciando los terminos de segundo orden endx, se obtiene:

A

2= gAAgAAdxgAAdx+ (g) AAdx.(155)Igualando (151) y (155) se obtiene:gAAdxgAAdx+ (g) AAdx= 0. (156)Intercambiando adecuadamente los ndices mudos se obtiene: (g) AAdxgAAdx gAAdx= 0 (157)

ggg

AAdx= 0.Usando la arbitrariedad deAydxobtenemos:g gg = 0 (158)g = 0,lo cual demuestra el teorema.Teorema: La unica conexi on que satisface:(i)T = 0 (torsi on nula o equivalentemente simetrico)(ii) g=0(oequivalentementequeconservalalongituddeunvectorbajo transporte paralelo)es el smbolo de Christoel:

12g[g + gg] . (159)33En efecto, de (ii) tenemos:g = g gg = 0. (160)Luego:g= g + g. (161)Escribamos las ecuaciones quese obtienenpor permutaci oncircular delosndices,,:g = g + g(162)g = g + g. (163)Sumando (161) a (162) y restando (163) se obtiene:g+gg = g

+

+g

+g

.(164)Usando la condici on (ii) tenemos:g + gg = 2g, (165)g =12 [g + gg] [] . (166)Los smbolos [] se denominan smbolos de Christoel de primera especie.Multiplicando porg, obtenemos: =12g[g + gg] , (167) =12g[g + gg]

.Estaparticularconexi on, sedenominasmbolodeChristoel desegundaespecie. Si suponemos que existe otra conexi on = que satisface las hip otesisdel teorema se llega a una contradicci on, pues se obtiene que es unsmbolode Christoel. De este modo,

es la unica conexi on que satisface (i) y (ii).Es directo vericar que la derivada covariante de la metrica con respecto a laconexi on metrica (smbolo de Christoel) es identicamente nula. Para la inversatambien se tiene g= 0. En efecto,gg == (gg) = 0 =g= 0. Sin embargo, de la derivada covariante de la metrica con respectoa otras conexiones no podemos decir nada.Un espacio posee geometra de Riemann si satisface:T = 0 (168)yg = 0. (169)Corolario:Si en un espacio de Riemann existe un sistema coordenado en elcual las componentes de la metrica son constantes, entonces el espacio es plano,es decir tiene curvatura cero.34Enefecto, g=cte=

=0=R=0. Ejemplosdeestosespaciossonel espaciodeMinkowskydelarelatividadespecial oel espacioeuclidiano.Por supuesto el contrarrecproco es verdadero:Si R = 0entoncesnoexisteunsistemacoordenado dondeg=ctey = 0.12 Metricayconexi oninducidasSeaMNunavariedaddedimensi onNysea Snunavariedaddedimensi onn Ntal que SnestecontenidaenMN. Representaremoslasubveriedadparametricamente porx=x(zi), = 1, 2, .., N,i = 1, 2, .., n. Utilizaremosletrasgriegascuandolos ndicescorrenhastaN, yletraslatinascuandolosindices corren hastaR.Si MNposeeunametricagyunaconexi on, deseamosencontrar lametrica y la conexi on que se induce sobreSR.Figure 10:12.1 Inducci ondelametricaUn elemento de lnea enMNest a dado por:ds2= gdxdxv. (170)Comox=x(zi), tenemos que dx=xzi dzi. Por lotanto, sobre SRelelemento de lnea inducido esds2= gxzixzj dzidzj= gijdzidzj, (171)35congij = gxzixzj(172)dondegijcorresponde al tensor metrico inducido sobreSR.12.2 Inducci ondelaconexi onSea Aiun vector contravariante denido sobre SR tal quedzi= Ai. Necesita-mos una expresi on para el vector asociado aAisobreMN.Comodx=xzi dzitenemosdx=xzi Ai. Esto induce un vectorBenMNB=xzi Ai(173)dondeBcorresponde al vector asociado aAienMN.Comotenemos unaconexi ondenidasobre MNpodemos transportar elvector Bdesdeel puntoPdecoordenadas xal puntoQdecoordenadasx+ dx, el cual est a dado por:B(Q) = BBdx. (174)Reemplazando la ec. (173) tenemos que el vector transportado es:B(Q) =xzi Aixzixzj Aidzj. (175)Comodeseamosencontrarlaconexi ondeSRtransportemosel vector Akdesde el puntoPde coordenadaszial puntoQ de coordenadaszi+ dzicon laconexi on kijque deseamos encontrar.Ai(Q) = AiijkAjdzK. (176)Ahora debemos proyectar el vectorBk(Q) sobreSRe igualarlo conAi(Q).Perovemosdelaec. (173)quenopodemosobtenerdirectamenteunvectorsobreSRa partir de un vector enMN, pues aparece un factorxzi , el cual noes invertible por ser una matriz no cuadrada.Porlotanto, debemosdeniralg untipodeproyecci on, detal maneradepoder recuperar la ec. (173). Esta proyecci on nos permitira obtener un vectorenSRa partir de un vector enMN.Dado un vectorBenMNdenimos su proyecci on AisobreSRcomo:Ai= gij xzj gB, (177)dondegijcorresponde a la inversa de la metrica inducida.Veamos si podemos recuperar la ec. (173). Para ello multipliquemos a amboslados porgikAigik = jkxzj gB. (178)36Reemplazando la ec. (171) tenemos:Aigxzixzk=xzk gB, (179)Aixzi= B. (180)Donde la ec. (180) es igual a la ec. (173). Por lo tanto nuestra denici on deproyecci on satisfacelacondici onrequerida. Notemosqueparaestadenici onde proyecci on es necesario utilizar la metrica. Por lo tanto, en espacios que noposeen metrica no podemos realizar este procedimiento.Proyectemos ahora el vectorBsobreSR.SiCicorresponde a la proyecci on deBsatisface:Ci(Q) = gij(Q)xzj (Q)g(Q) B. (181)IgualemosCiconAigij(zk+ dzk) Aj= g(Q)xzi (Q) B. (182)Expandiendo en serieg(x+ dx) yxzi (zk+ dzk),encontramos:g(x+ dx) = g(x) + gdx, (183)xzi (zk+ dzk) =xzi (zk) +2xzjzidzj. (184)Reemplazando en (182) y expandiendo en seriegij(zk+ dzk) obtenemos:(gij + sgijdzs)(AjjlmAldzm) = (g + gdx)

xzi+2xzjzidzj

B,(185)

gijAjgijjlmAldzm+ sgijAjdzs

=

gxzi+ g2xzjzidzj+ gxzi dx

B.(186)ReemplazandoBde (175) y multiplicando tenemos:

gijAjgijjlmAldzm+ sgijAjdzs

= gxzixzlAl+ g2xzjzixzl Aldzj(187)+ gxzixzlAldxgxzixzmxznAmdzn.37Desarrollando la expresi on sgij, llegamos a :sgij = s

gxzixzj

(188)=

gxzixzjxzs+ g2xzszixzj+ g2xzszjxzi

.Reemplazando en (187) y reduciendo los terminos semejantes, encontramosgijjlmAldzm= g2xzszjxzi Ajdzs+ gxzixzmxznAmdzn. (189)Cambiando algunos ndices mudos y factorizando, llegamos agijjlmAldzm= gxzi

2xzmzl+ xzlxzm

Aldzm, (190)gijjlm = gxzi

2xzmzl+ xzlxzm

. (191)Finalmente despejando jlm, encontramosklm = gkigxzi

2xzmzl+ xzlxzm

. (192)La ecuaci on anterior nos entrega la conexi on inducida sobreSN.13 Resultadosdelaconexi onymetricainduci-das13.1 Aplicaci onalateoradesuperciesEn la teora de supercies, consideramos una variedad bidimensional sumergidaen R3, por lo tanto, debemos ser capaces de encontrar la teora de supercies apartir de los resultados anteriores.Para ello debemos considerar el hecho que la conexi on de R3en coordenadascartesianas es cero, y la metrica es la metrica euclidiana. En este caso losndicesgriegostomanlosvalores1, 2, 3ylos ndiceslatinos1, 2. Apliquemosestas condiciones primero al caso de la metrica y luego al de la conexi on.13.1.1 PrimeraformafundamentalSabemos por la ecuaci on (171) que la metrica inducida esgij = gxuixuj(193)38Utilizando la notaci on vectorial, y considerando los subndices como derivadastenemos:gij = xi xj. (194)Por lo tanto, el elemento de lnea sobre la supercie es:I = ds2= (xi xj) duiduj(195)que corresponde a la primera forma fundamental de la teora de supercies.13.1.2 EcuacionesdeGaussUtilicemos la ecuaci on (191), en notaci on vectorial toma la forma:xi xml = (xi xj) jml. (196)si existe N tal que xi N =0 podemos escribir la ecuaci on anterior como:xml = jmlxj + bmlN, (197)que corresponden a las ecuaciones de Gauss de la teora de supercies.13.2 Caractersticas deunavariedadqueestacontenidadentrodeunespaciocongeometradeRiemannQueremos ver que sucede con la conexi on inducida siMNposee una geometradeRiemann. Esdecir, queremossaber si SRposeetambienunageometradeRiemann. Paraellosupongamosquelaconexi ondeMNesel smbolodeChristoel: =12g(g + gg). (198)Reemplazando en (192), obtenemos:klm = gkigxzi2xzmzl+ 12gkigxzi g(g + gg) xzlxzm(199)= gkigxzi2xzmzl+ 12gkixzi(g + gg) xzlxzm(200)= gkixzig2xzmzl + 12 (g + gg) xzlxzm

. (201)Si SRposee una geometra de Riemanndebe satisfacer quesu conexi on esel smbolo de Christoel, es decir:klm =12gki(lgmi + mgliiglm) (202)39Desarrollemos esta expresi on e intentemos llegar a (201). Si gij = gxzixzjentoncesgmizl=gxxzlxzmxzi+ g2xzlzmxzi+ g2xzlzixzm(203a)glizm=gxxzmxzlxzi+ g2xzmzlxzi+ g2xzmzixzl(203b)glmzi=gxxzixzlxzm + g2xzizlxzm+ g2xzizmxzl(203c)Reemplazando en (202) obtenemos:klm = gkixzig2xzmzl+ 12 (g + gg) xzlxzm

(204)que corresponde a la ec. (201).Porlotantolaconexi ondeSRes(202), queesel smbolodeChristoelasociado a la metrica inducida sobrenSR. As, hemos demostrado el siguienteteorema.Teorema:Si una variedad dada posee una geometra de Riemann, entonces cualquiervariedad que este contenida en ella tambien tendr a una geometra de Riemann.Esto explica el hecho de que la conexi on asociada a una supercie inmersaen R3es el smbolo de Christoel y que no es posible encontrar una supercieque posea otro tipo de conexi on, respetando la proyecci on denida en (177)13.3 Proyecci onsobreunvector.Podemos denir la proyecci on de un vector enMNsobre un vector enSR de lasiguiente forma:SiBes un vector enMNyCies un vector enSR, entonces la proyecci ondeBsobreCiest a dada por:Bip =

gBxzmCm

gxzmxzj CmCjCi. (205)Probemosqueapartirdeestadenici onpodemosrecuperarlaexpresi on(177).Si queremos queBipcoincida conCitenemos:40Cigxzmxzj CmCj

=gB xzmCm

Ci, (206)gmjCmCj= gB xzmCm, (207)gmjCj= gB xzm, (208)Ck= gkmgB xzm. (209)Esdecir, apartirdelaproyecci ondenidapor(205), podemosreobtener(177).14 Isometras(simetrasdelametrica)Figure 11:SeanPyQ dos puntos cercanos de coordenadasxyx+ dxrespectiva-mente y = (x) un campo vectorial sobre una cierta variedad con metrica.Comoseveenlagura, podemosconstruirdosnuevospuntos RyScuyascoordenadas est an dadas por:R : x+ (P) (210)S : x+ dx+ (Q),donde es un par ametro innitesimal. Se dice entonces que (x) describeuna isometra de la variedad, si para puntos arbitrarios PyQ se cumple:dl2PQ = dl2RS. (211)41Ahora, veremos que condici on debe satisfacer el campo para que describauna isometra. Tenemos:dl2PQ = g(P)dxdx, (212)dl2RS = g(R) [dx+ ((Q) (P))] [dx+ ((Q) (P))] ,dondeg(R) = (g + g)P , (213)(Q) = + dx

P .Reemplazando(213) en(212), desarrollandoel productoydespreciandoterminos de orden superior, obtenemos:dl2RS = gdxdx+ [gdxdx+ gdxdx+ dxdxg] .(214)Cambiandoadecuadamentelos ndicesmudos, laecuaci on(214)tomalaforma:dl2RS = gdxdx+ [g+ g+ g] dxdx, (215)de modo que la condici on (211) nos queda:[g+ g+ g] dxdx= 0. (216)Aqu,dxydxson innitesimales, pero arbitrarios. Por lo tanto:g+ g+ g= 0. (217)Esta es una ecuaci on diferencial parcial que debe satisfacer para describiruna isometra. Si esta ecuaci on tiene m as de una soluci on linealmente indepen-diente, entonces existe m as de una direcci on de isometra, y los vectoressedenominan vectores de Killing.15 Aplicaciones15.1 Planoeuclidiano: Metrica, curvatura, geodesicas ysimetrasEn el plano euclidiano y en coordenadas cartesianas (x1= x, x2= y), la metricaes g= . Luego, de la ecuaci on (147) tenemos que los smbolos de Christoelson nulos y por lo tanto la curvatura tambien es nula.La ecuaci on de las geodesicas (148) esd2xd2= 0.Por lo tanto, las geodesicas en el plano son rectas.42Para las simetras tenemos que la ecuaci on (217) queda:+ = 0, (218)+ = 0.Escribimos explcitamente estas ecuaciones:11+ 11 = 0, (219)12+ 21= 0, (220)22+ 22= 0. (221)De (219) y de (221) se obtiene respectivamente que 1= 1(y) y 2= 2(x).De este modo la ecuaci on (220) toma la forma:d2dx+d1dy= 0. (222)Usandoelhechodequexeysoncoordenadas independientes, vemos queesta ecuaci on se satisface si y s olo si:d1dy= = cte, (223)d2dx= ,de modo que:1= y + , (224)2= x + .Esta soluci on se puede expresar como combinaci on lineal de tres solucionesindependientes:= 1, 2

= (y + , x + ) , (225)= (y, x) + (1, 0) + (0, 1) ,= (1) + (2) + (3),donde(1) := (y, x) , (226)(2) := (1, 0) ,(3) := (0, 1) .43Figure 12:15.2 Laesfera: Metricainducida,curvatura,geodesicasysimetrasConsideremos como segundo ejemplo la metrica que el espacio euclidiano tridi-mensional E3inducesobrelaesferaunitaria. SabemosqueencoordenadascartesianaslametricadeE3esg=ylarestricci onalospuntosdelaesfera es:x1= sin cos , (227)x2= sin sin ,x3= cos ,de modo que las coordenadas sobre la esfera son y. Usamos (172) paracalcular g: g = xx=xx= 1. (228)An alogamente, se obtienen las otras componentes: gij =

1 00 sin

, (229)dondei, j=, . Usando(147)obtenemosquelascomponentesnonulasdel smbolo de Christoel son: = sin cos , (230)

=

= cot .De este modo, se obtiene directamente que las ecuaciones para las geodesicassobre la esfera son:d2d2 sin cos

dd

2= 0, (231)d2d2+ 2 cot dddd= 0.44Tambien, mediante un c alculo directo, encontramos que las componentes nonulas de la curvatura de la esfera son:R = R = sin2, (232)R = R = 1.A continuaci on se estudiar an las simetras de la esfera. El sistema de ecua-ciones para los vectores de Killing sobre la esfera unitaria, seg un (217) es:g11+ g11+ g11 = 0, (233)g12+ g21+ g12 = 0,g22+ g22+ g22 = 0.Puesto que la metrica sobre la esfera es:g =

1 00 sin

, (234)tenemos:g1111+ g1111+ g11 = 0, (235)g1121+ g2212+ g12 = 0,g2222+ g2222+ g22 = 0.Luego:11+ 11= 0, (236)21+ sin 12= 0,2 sin22+ 11(sin ) = 0.Laprimeraecuaci onnosdiceque1=1(), demodoquelasegundaytercera ecuaci on nos queda:21+ sin12= 0, (237)2 sin22+ cos 1= 0.Sepuedevericar, reemplazandodirectamenteenestasecuaciones, queelsistema tiene por soluci on:= 1, 2

= (0, ) = (0, 1) , (238)dondeesuna constante. Esta soluci on representa unarotaci on enla di-recci on .45